对某些特殊一元四次方程求根公式的推导

一元二次四元数单边多项式的求根公式许伟;冯良贵【摘要】随着四元数代数广泛应用于量子力学、惯性导航及控制论等学科,四元数多项式的求根问题被许多学者关注.最近Janovska和Opfer从理论上给出了一种n次四元数单边多项式零点的求解方法,Feng和Zhao进一步给出了一般n次四元数单边多项式的零点显性表达式.本文根据Feng和Zhao的结果对一元二次四元数单边方程的根进行了讨论,并利用复数域上四次多项式的Ferrari求根公式建立了一元二次四元数单边方程的求解公式.与文献中现有的结果相比,本文建立的求根公式在许多方面展现了优越性.【期刊名称】《国防科技大学学报》【年(卷),期】2013(035)005【总页数】5页(P74-78)【关键词】四元数;二次方程;根式求解【作者】许伟;冯良贵【作者单位】国防科技大学理学院,湖南长沙410073;国防科技大学理学院,湖南长沙410073【正文语种】中文【中图分类】O153.4;O151.1随着四元数代数的广泛应用［1-3］，四元数单边多项式的求根问题被众多学者所关注［4-7］。

但由于四元数乘法的不可交换性，直到最近该问题的研究才获得突破性进展。

对于一般的n次四元数单边多项式p(x)=qnxn+qn-1 xn-1+…+q1x+1，qi∈H，2010年 Janovska和 Opfer在文献［8］中首次从理论上给出了一种求p(x)所有四元数零点的方法。

最近，Feng和Zhao给出了一般n次四元数单边多项式的零点显性表达式［11］。

本文应用该结果对一元二次单边四元数系数方程的零点进行研究，给出了一元二次四元数单边方程的根式求解公式。

文中，用R表示实数域，用C表示复数域，用H表示实四元数体，即H中的任何元素具有下面的形式q=a0+a1 i+a2 j+a3 k，其中 i，j，k是通常的四元数虚单位，满足i2=j2=k2=-1，ij=-ji=k，jk=-kj=i，ki=-ik=j，a0，a1，a2，a3∈R。

本科毕业论⽂_多项式⽅程的判别式与求根公式东莞理⼯学院本科毕业论⽂（2015届）题⽬: 多项式⽅程的判别式与求根公式学⽣姓名: 姚培基学号: 201141410230院（系）:计算机学院专业班级: 信息与计算科学（2）班指导教师:起⽌时间: 2015年1⽉—2015年5⽉多项式⽅程的判别式与求根公式摘要: 近代数学史甚⾄能说是⼀部求解多项式⽅程的历史。

对于⾼次⽅程的数值根求解法，⼈们从很早就开始并⼀直探求这样的问题。

⽽且在古代，很多⼈都想出了⼀个办法来解决各种各样的多项式⽅程。

如卡尔⽶诺的《⼤术》，贾宪的《黄帝九章算法细草》，秦九韶的《数书九章》等等。

在⽬前，有关问题求解多项式⽅程根的在⼯程实践中占有举⾜轻重的地位。

如在⼈类的⽣活过程中，经济建设和科学技术的发展过程中，计算⼀直起着⾮常重要的作⽤。

当⼈们在进⾏科学或者⼯程计算时，求解多项式⽅程组更是⾮常容易遇到的问题之⼀。

许多领域如⾃然⽣活和⼯程科学最终都可以归结为求解多项式⽅程组的问题。

这个时候⼈们就通常需要处理求解代数⽅程组的问题，如果当项较简单或变元较少时，计算过程就好相对来说简单⼀些;但是当项⾮常复杂或变元⾮常多的时候，那么其求解的过程中往往会遇到⽐较多的困难。

对多项式⽅程的判别式和求根公式的研究，在理论研究和实际⼯程计算中，具有⼗分重要的意义。

关键词: 多项式; 判别式; 求根公式; MATLABDiscriminant and seek the root of polynomial equationsAbstract: the modern mathematics that would become a history of polynomial equation solution. People long ago began to explore the problem of high order equation of numerical method. But in ancient times, many people have been developed to solve all kinds of method of polynomial equations. Such as "chapter nine of the yellow emperor algorithm fine grass" of jia xian, chiu-shao the number of book chapter nine, Carl mino "big operation" and so on.In nowadays, polynomial equation for the root problem has a pivotal position in the engineering practice. As in human life, economic construction and development of science and technology in the process of calculation is always plays a very important role. In science and engineering calculation, to solve the polynomial equations is one of the most common problems in the natural life and the computing problem in the field of engineering science and many other eventually all boils down to solving the polynomial equations. At this time often need to deal with algebraic equations to solve the problem, if the argument or a simpler, less calculation process is relatively simple; And when the argument is very more or when the item is very complex, itssolving process is often more difficult.The discriminant and seek the root of polynomial equations, in theoretical research and practical engineering calculation, have very important significance.Key words: polynomial; The discriminant. Root formula; MATLAB⽬录⼀、引⾔ (1)（⼀）⼀元⼆次⽅程的判别式和求根与韦达定理 (1)⼆、⼀元多次多项式 (8)（⼀）代数基本定理 (9)（⼆）域论基础 (10)（三）多项式⽅程的判别式 (11)（四）⽜顿恒等式 (12)（五）关于⼀元五次⽅程 (19)三、总结与展望 (20)参考⽂献 (23)致谢 (25)⼀、引⾔在⼈类研究数学的历史长河中，追溯到公元9世纪的波斯，数学家、天⽂学家及地理学家花拉⼦⽶作为第⼀⼈给出了⼀元⼆次⽅程的⼀般解法。

一元四次方程的根式解上海 黄之关于代数方程的求根公式的历史，本文就不多说了，四次方程的求根公式应该属于费拉里的。

一，首先，想重复一次三次方程的求根公式，即d cx bx x x g +++=23)(的零点，首先将g(x)写成：)3272()3)(3()3()(323d bc b b x c b b x x g +-+++-++= 在形式上，使二次项消失。

然后令c b p +-=32,d bc b q +-=32723,23)2()3(q p +=∆, 计算后可得：d b c b bcd d c 3222327110816141271+--+=∆ 则有：2,1,0,223332332=∆--+∆+-+-=-k q e q e b x k i k i ππ 若方程系数都为实数，则0>∆时g(x)有一个实零点和一对共轭虚零点，当0=∆时，g(x)有一个重根，当0<∆时，g(x)有三个不相等的实零点：2,1,0,32cos 323=+-+-=k k p b x πθ 其中))3(2(cos 31p q--=-θ 也许值得一提的是，实系数方程023=+++d cx bx x 的根全部都是实数的充分必要条件是： 02711081614127132223≤+--+d b c b bcd d c 这表明，三个实数r,s,t ，则关于复数321,,x x x 的方程组：321133221321,,x x x t x x x x x x s x x x r =++=++=的解321,,x x x 都是实数的等价条件为：0418********≤+--+t r s r rst t s上式等号成立，等价于321,,x x x 中有某两个数相等.二，现在开始考虑四次方程的求根公式.首先考虑缺三次项的四次方程. 即024=+++e dx cx x 的根，将方程变形，引入一个参数y ：)41()(4122224e y dx x c y y yx x -+--=++ ○1 上式左边是一个平方式，期待右边也是平方式，故而需要：0)4)((22=---e y c y d上述关于y 的方程即：0)4(4223=-+--d ec ey cy y ，以本文开头的三次方程的求根公式解之，令23232)2()3(,38272,431q p d ec c q e c p +=∆-+-=--=，此时还不需要去简化.则得到（只需要取该关于y 的方程的一个实根即可，事实上任何一个根都可以.）： 2,1,0,223332332=∆--+∆+-+=-k q e q e c y k i k i ππ将上面的其中一个y 代入○1，即得到： 222))(2)(()21(c y d x c y y x ---=+ 则原方程可以化为两个二次方程：0)221(2=-+-±cy d y x c y x 由此，可以得到024=+++e dx cx x 的根： 222,1cy d c y c y x -+--±--= 224,3c y dc y c y x ----±-=三，那么最后，来考虑e dx cx bx x x f ++++=234)(的零点，先将f(x)写成：)411612563()4)(2181()4)(83()4()(243224e bd c b b b x d bc b b x c b b x x f +-+-+++-+++-++= 形式上使三次项消失，这可以通过考虑f(x)在某个待定点附近的泰勒展开式做到. 用刚才缺三次项的四次方程的求根公式解之，令：)411612563(4)83(312422e bd c b b c b p +-+--+--=2322432)2181()83)(411612563(38)83(272d bc b c b e bd c b b c b q +--+-+-+-++--=简化上述p,q 的表达式：e bd c p 4312-+-= 2322723831d c ec bcd e b q --++-= 而23)2()3(q p +=∆,其对应的y 为：2,1,0,2231813323322=∆--+∆+-++-=-k q e q e c b y k i k i ππ 事实上只需要取一个实值的y 即可.然后由第二段的缺三次项的四次方程的求根公式就得到最后的解，为了表达简洁，再令： 2,1,0,22332332=∆--+∆+-=-k q e q e t k i k i ππ（只需要取实值，事实上都可以，只需要取其中一个.）t c b s +-=32412 t c b r --=34212 故而e dx cx bx x x f ++++=234)(的四个零点是： 4224132,1b s d bc b r s x -+-+±-= 4224134,3b s d bc b r s x -+--±=可得：224321b s x x bs x x -=+--=+，而从整个过程不难讨论f(x)的零点情况，不再继续.四，事实上在第一段中，把三次方程归结为了形式：03=++q px x ，在这种情况下，只需作变换：zp z x 3-=即可将其归结到二次方程，所以得到第一段的解法. 提出一些问题供练习:1， 求出一个等腰三角形，使得它三个内角的正弦值之和等于它们的余弦值之和.2， 实数x 满足31≤≤-x ，当x 取什么值的时候，函数x x x x f -++++=321)(达到最大值？3，证明：2,1,0),32)1413(cos cos(37671=+-+-k k π，包含了以下三个数： 78sin ,74sin ,72sin πππ 4，证明：1910cos 196cos 194cos )3)1927(cos cos(319611πππ++=+--。

方程公式历史一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0的求根公式是1545年由意大利学者卡当发表在《关于代数的大法》一书中，人们就把它叫做“卡当公式（有的数学资料叫“卡尔丹公式”）。

可是事实上，发现公式的人并不是卡当本人，而是塔塔利亚（Tartaglia N.，约1499~1557）。

发现此公式后，曾据此与许多人进行过解题竞赛，他往往是胜利者，因而他在意大利名声大震。

医生兼数学家卡当得知塔塔利亚总是获胜的消息后，就千方百计地找塔塔利亚探听他的秘密。

当时学者们通常不急于把自己所掌握的秘密向周围的人公开，而是以此为秘密武器向别人挑战比赛，或等待悬赏应解，以获取奖金。

尽管卡当千方百计地想探听塔塔利亚的秘密，但是在很长时间中塔塔利亚都守口如瓶。

可是后来，由于卡当一再恳切要求，而且发誓对此保守秘密，于是塔塔利亚在1539年把他的发现写成了一首语句晦涩的诗告诉了卡当，但是并没有给出详细的证明。

卡当并没有信守自己的誓言，1545年在其所著《重要的艺术》一书中向世人公开了这个解法。

他在此书中写道：“这一解法来自于一位最值得尊敬的朋友--布里西亚的塔塔利亚。

塔塔利亚在我的恳求之下把这一方法告诉了我，但是他没有给出证明。

我找到了几种证法。

证法很难，我把它叙述如下。

”从此，人们就把一元三次方程的求根公式称为卡当公式。

塔塔利亚知道卡当把自己的秘密公之于众后，怒不可遏。

按照当时人们的观念，卡当的做法无异于背叛，而关于发现法则者是谁的附笔只能被认为是一种公开的侮辱。

于是塔塔利亚与卡当在米兰市的教堂进行了一场公开的辩论。

许多资料都记述过塔塔利亚与卡当在一元三次方程求根公式问题上的争论，可是，名为卡当公式的一元三次方程的求解方法，确实是塔塔利亚发现的；卡当没有遵守誓言，因而受到塔塔利亚及许多文献资料的指责，卡当错有应得，但是卡当在公布这一解法时并没有把发现这一方法的功劳归于自己，而是如实地说明了这是塔塔利亚的发现，所以算不上剽窃；而且证明过程是卡当自己给出的，说明卡当也做了工作。

一元三次方程的求根公式及其推导有三个实数根。

有三个零点时，当有两个实数根。

有两个零点时，当有唯一实数根。

有唯一零点时，当。

，有两实根，为，则方程若有唯一实数根。

有唯一零点有一实根，则方程若有唯一实数根。

有唯一零点没有实根，则方程若实数根的个数。

点的个数即方程零即方程则设实数根的判定：程即可。

因此，只需研究此类方的特殊形式即公式化为均可经过移轴三次方程由于任一个一般的一元0)()(0)1281(811)()(0)()(0)1281(811)()(0)()(0)1281(811)()(33:0)(0)3(0)()(0)(,0).2(0)()(0)(',0).1(0)(,00)(,)(.1,0,0)2792()3)(39()3(0)3272()3)(3()3(032323221''3333233232323=⇔<+=∙=⇔=+=∙=⇔>+=∙--==-===<=⇔===⇔=>=++=++=++==++=+-++-++=+-++-++=+++x F x F p q F F x F x F p q F F x F x F p q F F px p x x F p x F x F x F p x F x F x F p q px x x F q px x x F q px x x F q px x D A ABC B B Ax AB AC B Ax D A BC AB A B x A BC A B x AD Cx Bx Ax βαβαβαβα33233232323323233231322321323232333333333333333333333332332332323212811210861128112108610)1281(811)27(41281121086112811210861181281918128190)1281(811)27(402727,3)(300)(33)(3)(.1.200128100128100128112810)1281(8110)0.(0.p q q p q q x p q p q p q q a B p q q a A B A p q q a p q q a p q p q p qa a B A q B A p B A q B A p AB q B A p AB q px x B A ABx x ABx B A B A AB B A B A x B A x B A B A B A x q px x p q q px x p q q px x p q p q p q p q p q p +--+++-=≤+=--⎪⎩⎪⎨⎧+--==++-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=++-=>+=--=-+⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==+-=-=++=+--++=+++=+=+=+==++<+=∆=++=+=∆=++>+=∆+=∆>+≥式，为：实数根的方程的求根公上方法只能导出有一个）。

一般实系数四次方程的一种求根公式与根的判别法则及其推导全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一般实系数四次方程可以写成如下形式：ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0，其中a, b, c, d, e均为实数且a \neq 0。

解这种四次方程是一个相对复杂且困难的问题，因为不像二次方程有求根公式那样简单。

我们可以通过一些方法来解决这个问题。

我们来看一种求根公式的推导过程。

假设我们已经知道了四次方程ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0的根为x_1, x_2, x_3, x_4，我们可以将它写成如下形式：ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4)我们可以将右边展开得到：a(x^4 - (x_1 + x_2 + x_3 + x_4)x^3 + \cdots + x_1x_2x_3x_4) = 0比较两边系数可得：\begin{cases}b = -(x_1 + x_2 + x_3 + x_4)\\c = x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4\\d = -(x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4)\\e = x_1x_2x_3x_4\end{cases}这些方程可以用来求解四次方程的根。

虽然这种方法比直接解四次方程要复杂一些，但是它可以帮助我们推导出四次方程的求根公式。

接下来，我们来看一下如何判别四次方程的根的情况。

根据代数基本定理，一个次数为n的多项式方程有n个复数根（包括重根）。

但是对于四次方程，通常我们更感兴趣的是它的实根情况。

我们可以通过计算四次方程的判别式来判断它的实根个数。

对于一般的四次方程ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0，它的判别式可以表示为：\Delta = 256a^3e^3 - 192a^2bde^2 - 128a^2c^2e^2 + 144a^2cd^2e - 27a^2d^4 + 16ab^4e - 4ab^3cd - 8abc^3e +4abcd^2 + b^2c^2e^2 - b^2d^2e - 4bc^3d如果判别式\Delta > 0，则四次方程有两对不相等的实根。

一元四次方程是指形式为ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0的方程，其中a、b、c、d、e为实数且a≠0。

一元四次方程的求根问题是代数学中的重要问题之一，其解的存在性和求解方法一直备受关注。

而笛卡尔在16世纪提出了一元四次方程的求根公式，被称为笛卡尔法，成为了解决一元四次方程的重要方法之一。

二、笛卡尔法的描述笛卡尔法是一种较为复杂的求根方法，其描述如下：1. 将一元四次方程ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0转化为y^4+py^2+qy+r=0的方程，令x^2=y。

2. 令y=z+u/z，其中u是待定常数，z是变数，代入原方程中得到关于z的方程。

3. 再次变形，得到关于z的代数方程，求解该方程得到z的值。

4. 根据y=z+u/z和x^2=y，解出x的值得到一元四次方程的解。

三、笛卡尔法的优缺点1. 优点：a. 笛卡尔法能够有效地求解一元四次方程的根，为代数方程的求解提供了一种新的思路和方法。

b. 笛卡尔法的解法相对严谨，能够得到准确的根值。

2. 缺点：a. 笛卡尔法求解过程繁琐，需要经过多次复杂的变形和代数运算，b. 笛卡尔法难以直观地解释，不易理解和掌握。

四、使用笛卡尔法求解一元四次方程的示例为了更直观地展示笛卡尔法的具体求解过程，我们选取一个具体的一元四次方程进行求解。

设一元四次方程为2x^4-3x^3+4x^2-5x+6=0。

1. 根据笛卡尔法的描述，首先将方程转化为y^4+py^2+qy+r=0的形式，得到y^4-3y^2+4y-5=0。

2. 令y=z+u/z，代入等价方程中得到z^4+u^2/z^2-3z^2-2u+4+u^2/z^2-5=0。

3. 化简合并同类项得到z^4+z^2(u^2-3)+(-2u+4+u^2/z^2-5)=0。

4. 求解得到z的值，再根据y=z+u/z和x^2=y，解出x的值。

5. 最终得到一元四次方程的解。

五、总结笛卡尔法作为一种传统的求根方法，对于一元四次方程的解法具有一定的重要性。

一元四次方程韦达定理
韦达定理（Vieta's formulas）是一个用于求解一元多次方程的
定理，其中最常见的是一元二次方程和一元三次方程。

但是并没有具体的一元四次方程的韦达定理。

一般来说，一元四次方程的求解可以通过多种方法来实现，但没有一个特定的公式可以直接求解。

常用的方法包括因式分解、配方法、求根公式等。

具体的求解方法往往与方程的形式和系数有关，而不是一个通用的定理。

如果你有具体的一元四次方程，可以将方程的形式和系数提供出来，这样可以得到更具体和准确的解答。

拉格朗日一元四次方程拉格朗日一元四次方程是指关于未知量的四次方程，即最高次数为4的一元方程。

它的一般形式可以表示为：ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0其中，a、b、c、d和e为已知系数，而x为未知数。

拉格朗日一元四次方程是求解曲线与x轴的交点问题，它的解通常可以使用代数和数值方法来求解，其中拉格朗日插值法是求解这类方程的一种常用方法。

拉格朗日插值法是通过插值多项式来逼近原函数，将方程转化为代数问题。

具体步骤如下：第一步，假设方程有四个不同的根x1、x2、x3和x4，则可以将方程表示为：(x - x1)(x - x2)(x - x3)(x - x4) = 0第二步，展开上述方程并将其化简，可以得到：x^4 - (x1 + x2 + x3 + x4)x^3 + (x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4)x^2 - (x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3x4)x +x1x2x3x4 = 0该方程是拉格朗日一元四次方程的标准形式，其中x1x2x3x4为因式分解中的常数项。

通过上述方式，我们将拉格朗日一元四次方程转化为了标准形式，从而可以更方便地进行求解。

当然，对于复杂的情况，我们可能需要借助计算器或计算软件来得到更精确的解。

另外，除了拉格朗日插值法，还有其他方法可以用来求解拉格朗日一元四次方程，比如求根公式和数值迭代法等。

总之，拉格朗日一元四次方程是一类重要的数学问题，它可以通过拉格朗日插值法以及其他数值方法来求解。

在实际应用中，我们可以根据具体情况选择最合适的方法，以获得准确的解。

求解含分式的一元四次方程一元四次方程是指次数为4的一元多项式方程，通常可以表示为：ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0其中，a、b、c、d、e为实数系数，且a≠0。

在解一元四次方程的过程中，当含有分式时，我们需要将方程转化成一般的四次方程形式。

接下来，我将详细介绍如何求解含有分式的一元四次方程。

1. 将方程转化成标准形式我们先将方程中的分式转化为整式。

假设方程中存在分式部分为m/n，则可令新的未知数为 t = n·x，将方程中的 x 替换为 t/n，从而消除分式。

此时我们得到一个关于未知数 t 的新方程：a(t/n)^4 + b(t/n)^3 + c(t/n)^2 + d(t/n) + e = 0即：a(t^4/n^4) + b(t^3/n^3) + c(t^2/n^2) + d(t/n) + e = 0再将n^4带到n的4次幂项，可以化简为：at^4 + b(t^3n) + c(t^2n^2) + d(tn^3) + en^4 = 0这样，我们就得到了新的一元四次方程。

2. 引入新的未知数为了简化计算，我们可以引入一个新的未知数 y = t^3，将方程转化为关于 y 的新方程。

这里注意到，当我们将 t 替换为 y 的立方根时，方程中的 t 项都会消失，从而简化问题的解法。

3. 求解新方程现在我们得到了一个关于 y 的新方程，即：ay^4 + b(y * n)^2 + c(y * n^2)^2 + d(y * n^3) + e(n^4) = 0化简后可得：ay^4 + bny^2 + cn^2y^2 + dn^3y + en^4 = 0这是一个关于 y 的一元多项式方程，我们可以使用各种求解四次方程的方法来求解。

比如，可以利用求根公式、牛顿法或者分解因式等方法进行求解。

4. 求解得到 t得到 y 的值之后，我们可以通过将 y 的立方根代入原方程中求解得到 t 的值：t = y^(1/3)5. 求解得到 x最后，我们可以通过代入 t 的值来求解 x 的值：x = t/n通过上述步骤，我们可以求解含有分式的一元四次方程，并得到解x 的值。

第三章代数方程代数方程的理论有下列几个主要问题：(1) 根式解问题；(2) 根的分布及近似计算；(3) 根的存在问题；(4) 根的性质的研究.本章着重介绍（1）和（2）两个问题，对于（3）和（4）两个问题仅作简略的叙述.根式解问题就是如何把方程的根用公式表达出来，这里具体列出了实数域上二、三、四次方程根的表达式，并且指出根与系数之间的相互关系，还叙述了阿贝耳定理，即五次以及更高次的代数方程没有一般的根式解.本章介绍了代数方程的性质，其中提到关于根的存在问题的重要的“代数基本定理”；并且叙述了伽罗瓦所指出的，存在用代数方法不能解的具体方程；也介绍了代数方程的某些特殊解法与对称多项式的基本定理；给出了根的隔离的各种判别法.最后介绍了方程实根的近似计算的多种方法，并对秦九韶法作了详细说明.§1 二、三、四次方程的根的表达式1. 基本概念[数域] 如果一个数系满足下列两个条件，则称这个数系为一个数域：(i) 系中有不等于零的数；(ii) 对系内任意两个数（这两个数也可相同）的和、差、积、商（零不能作除数）仍为系内的数，这就是说，系内的数对于四则运算是封闭的.例如，有理数系、实数系、复数系都是数域.[多项式的根] 形如f(x)=a0x n+a1x n-1+a2x n-2+ +a n-1x+a n=0的方程称为在一个数域S上的一个未知数的n次代数方程，f(x)称为一元n次多项式，式中n 为正整数，a0,a1,a2, ，a n-1,a n是属于数域S的常数，称为方程的系数，最高次项系数a0简称为首项系数.设c是一个常数,使f(c)=0,则称c为多项式f(x)或方程f(x)=0的根.本节先考虑在实数域上的二、三、四次方程.2.二次方程3.三次方程[x 3－1=0] 方程 x 3－1=0的三个根为 x 1=1, x 2=ω=231i +-, x 3=ω2=231i -- (i 2=－1) (1)[x 3+px +q =0(卡尔丹公式)] 方程x 3+px +q =0的三个根为x 1=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-332322p q q 332322⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--p q q x 2=ω+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-332322p q q ω2 332322⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--p q q (2)x 3=ω2 +⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-332322p q q ω 332322⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--p q q式中ω,ω2同(1).这叫做卡尔丹公式. 根与系数的关系为x 1+x 2+x 3=0, qp x x x -=++321111, x 1x 2x 3=－q判别式为∆=3232⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛p q∆>0时，有一个实根和两个复根；∆=0时，有三个实根，当p =q =0时，有一个三重零根；当03232≠⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛p q 时，三个实根中有两个相等；∆<0时，有三个不等的实根. 三个根的三角函数表达式（仅当p <0时）为 x 1=2 3r cos θx 2=2 3r cos(θ+120°) x 3=2 3r cos(θ+240°) 式中r =33⎪⎭⎫ ⎝⎛-p , θ=31arc cos ⎪⎭⎫⎝⎛-r q 2[ax 3+bx 2+cx +d =0] 一般三次方程ax 3+bx 2+cx +d =0)0(≠a 上式除以a ，并设x =y ab 3-则化为如下的形式y 3+py +q =0可按（2）的情形处理，解出y 1，y 2，y 3，则一般三次方程的三个根为x 1=y 1a b 3-， x 2=y 2a b 3- ， x 3=y 3a b 3- 三个根与系数的关系为x 1+x 2+x 3=a b -, dc x x x -=++321111, x 1x 2x 3=ad - 4.四次方程[ax 4+cx 2+e =0] 方程ax 4+cx 2+e =0 中，设y =x 2，则化为二次方程 ay 2+cy +e =0可解出四个根为x 1,2,3,4=aaec c 242-±-±[ax 4+bx 3+cx 2+bx +a =0] 方程ax 4+bx 3+cx 2+bx +a =0中，设y =x +x1，则化为二次方程，可解出四个根为x 1,2,3,4=242-±y y , y =a a ac b b 28422+-±-[x 4+bx 3+cx 2+dx +e =0] 一般四次方程ax 4+bx 3+cx 2+dx +e =0都可化为首项系数为1的四次方程，而方程x 4+bx 3+cx 2+dx +e =0的四个根与下面两个方程的四个根完全相同：x 2+(b +c b y 482-+)+2x (y +cb y dby 482-+-)=0x 2+(b －c b y 482-+)+2x (y －cb y d by 482-+-)=0式中y 是三次方程8y 3-4cy 2+(2bd -8e )y +e (4c -b 2)-d 2=0的任一实根.5．阿贝耳定理五次以及更高次的代数方程没有一般的代数解法（即由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根的方法）.这是阿贝耳定理.。

一元四次方程因式分解一元四次方程是指次数最高为四次方的单变量方程，其一般形式为ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0。

对于一元四次方程，我们可以通过因式分解的方法将其转化为一元二次方程的形式，从而求得方程的解。

我们可以先对一元四次方程进行因式分解，将其写成两个二次因式相乘的形式。

假设一元四次方程为(ax^2 + bx + c)(dx^2 + ex + f) = 0。

通过展开等式，我们可以得到一个关于系数的方程组。

根据方程组的解，我们可以确定二次因式的具体形式。

在求解方程组时，我们可以利用二次方程的求根公式来求解。

对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其根可以通过公式x = (-b±√(b^2 - 4ac))/(2a)来求得。

将二次因式的形式代入方程组，我们可以得到与二次方程相似的形式，从而求得二次因式的根。

在求解方程组时，我们需要注意以下几点：1. 方程组的解可以是实数或复数。

当方程组没有实数解时，我们可以得到复数解。

2. 方程组的解可以重复。

即方程组存在重复的根，这在因式分解时是很常见的情况。

通过求解方程组，我们可以得到两个二次因式，从而将一元四次方程因式分解为两个二次因式相乘的形式。

这样，我们就可以通过求解二次因式来求解一元四次方程。

除了因式分解的方法，我们还可以利用其他方法来求解一元四次方程，如配方法、完全平方式等。

每种方法都有其特点和适用范围，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解方程。

总结起来，一元四次方程的因式分解是将其转化为两个二次因式相乘的形式，通过求解二次因式来求解方程。

除了因式分解的方法，还有其他方法可以求解一元四次方程。

不同的方法适用于不同的情况，我们可以根据具体问题选择合适的方法来求解方程。