半导体激光器设计理论II. 半导体激光模式理论
北京大学物理系郭长志（7 Sept. 2006, LT-II-1A.doc）
半导体激光器中，为了实现激射(振荡)，必须利用波导腔中的谐振现象；而为了降低阈值，实现室温连续激射，则必
光场集中在波导腔内；为了使辐
射出去的光场能量集中和稳定，
还必须使波导腔的结构能够保证
半导体激光器(图1.1)从同质结构
到异质结构，从低温脉冲激射到
室温连续激射,激射波长从0.9
左右的近红外到可见光和远红外
的发展,一方面是依靠新材料和新
工艺的探索，另一方面是依靠对
激射过程，特别是对波导结构及
其传播模式的研究才取得的。
半导体波导是利用以半导体材料为主的不同材料和注入非平衡载流子等的光学性质，按一定的几何分布组成的有利于光场集中并定向传播的结构。定向传播的波导轴线，可以是笔直的，也可以是弯曲的。在一定的波导结构中，只允许一定的偏振性、一定的场强空间分布、一定几何形状的波阵面(等相面）、一定的频谱的电磁波在其中传播，因而辐射出去的光场也具有一定的光束结构和频谱结构。也就是说，一定的波导结构确定一定的内外传播模式。从光在传播过程中所应遵从的麦克斯韦方程组及由其导出的波动方程和波导方程，结合实际的材料电磁性质分布和边界条件，可以从理论上定量地推知波导结构及其传播模式之间的内在联系。这方面的分析工作是理论认识和工程设计的重要依据。
半导体激光器的波导模式理论，在很大程度上继承了微波理论的成果，同时也赋予了新的光学处理。因此，在讨论半导体激光器的波导模式问题时，既可以从求解一定介质分布和边界条件的波导方程入手，也可以从分析波导腔内光的反射、折射、干涉和衍射现象入手。因为这两者在实质上是等价的，所以应该得出完全相同的结果。前者的方法是系统的，后者则较为直观。下面将以电磁波理论为主，导出主要结果：而以唯象光学作为补充，讨论结果的物理(光学)含义。
半导体激光器的波导模式理论与集成光学理论有若干共同的内容。然而，前者主要讨论有源介质波导的模式结构、选模机制和模式机制和模式稳定性等问题，其光源就在波导腔内；后者则着重讨论无源介质波导模式的饋入、饋出、耦合、转换、调制等问题[1]~[4]。
半导体激光器的波导模式理论的早期研究主要是结合如何在半导体中实现激射和降低阈值的问题的；近年来主要是结合如何改善稳态和瞬态的工作稳定性进行的；最近，则主要是结合如何实现动态单模(单频)的问题进行的。其研究成果，不但大大地推动了半导体激光器技术的发展，而且带动和促进了新的理论，例如微腔和光子量子尺寸等问题的研究。
§1 电磁过程的基本方程 §1.1 麦克斯威方程组
光在传播过程中，充分表现出其电磁波的本质。电磁波是某种电磁场分布的传播。电磁场可以用电场强度矢量E , 电位移矢量D , 磁场强度矢量H , 磁感应矢量B , 这四个与空间(x,y,z ) 和时间 (t ) 有关的基本物理量来描述。影响电磁场分布和传播过程的，一方面是所在介质的电容率 ε、磁导率 μ、电导率 σ 等电磁性质，另一方面是所在介质中的电荷密度 ρ 和电流密度矢量 j 的分布。它们之间的关系为： ρ=??D ，0=??B ，t B E ??-
=??，t
D
j H ??+=?? (1.1-1a,b,c,d ) E D ε=，H B μ=，E j σ= (1.1-2a,b,c )
(1.1-1a ) 是静电库伦定律的概括和推广，即认为库伦定律在动电情况下仍然成立：(1.1-1b )是静磁库伦定律和不存在独立磁荷这一事实的概括和推广：(1.1-1c ) 是法拉第电磁感应定律和楞次定律的概括：(1.1-1d ) 是电流产生磁场这一事实的概括和推广，即认为位移电流密度 ?D/?t 也和传导电流密度 j 一样产生磁场。(1.1-1) 构成麦克斯韦方程组，它是一切电磁场变化必须遵从的规律。(1.1-2a ) 描述介质的电极化性质；(1.1-2b ) 描述介质的磁化性质；(1.1-2c ) 描述介质的导电性质（如果 σ 与场强无关，则为欧姆定律），在光频电磁过程中，σ 往往与低频电导率的含意不尽相同，而只是从形式上反映介质的损耗性质。(1.1-2) 是三个描述介质性质的物质方程。如果 ε、μ 和 σ 是与场强无关的标量，则它们只适用于各向同性和线性近似成立的介质。在介质出现突变的界面上，(1.1-1) 相应地化为： S n n D D ρ=-21，021=-n n B B ，021=-t t E E ，S t t j H H =-21 (1.1-3a,b,c,d ) 这是在突变界面上的麦克斯韦方程组。(1.1-3a ) 表示在突变界面上1，2 两侧介质内的电位
移矢量不相等，其差等于界面上的表面电荷密度 ρs ；(1.1-3b ) 表示在突变界面上两侧介质内的磁感应矢量的法向分量总是相等的；(1.1-3c ) 表示在突变界面上两侧介质内的电场强度矢量的切向分量总是相等的；(1.1-3d ) 表示在突变界面上两侧介质内的磁场强度矢量的切向分量不相等，其差等于界面上的表面电流密度 j s 。如果在界面上无面电荷和面电流分布，则 (1.1-3) 的右边皆为零，有关的四个分量在界面上皆连续。这时由于在光频情况下，介质的磁导率通常与真空几乎没有差别，即 μ ≈ μ0 ，虽然由电场强度矢量构成的电力线通过界面时总有所偏折，但是由磁场强度矢量构成的磁力线通过界面时则不偏折，即磁场强度矢量本身在突变界面上总是连续的（H 1 = H 2）。
§1.2 波动方程
对于各向同性和线性近似成立的介质，麦克斯韦方程组 (1.1-1) 和物质方程 (1.1-2) 是线性的，可以把电磁波分解为单色波的叠加，故可先集中讨论一个单色波的行为。即可设整个电磁场共同随时间作简谐变化，其圆频率为 ω = 2πν，ν 为频率，则各电磁场皆包含一个共同的与时间 t 有关的因子 1,-≡i e
t
i ω，这时 (1.1-1d ) 化为：
()t
E
E i E i H ??=≡+=??εε
ωωεσ~~ (1.1-4) ω
σεεi -≡~，ω
εσεεεε0002~~i n -=≡，2220
022~~~~βεμω≡=≡n k k (1.1-5a,b,c ) 0
0002λπ
ω
μεω=
=
≡c k ，νλμε00
001
==
c (1.1-5d,e )
设： i r i k i n n
βββ+≡-≡~
,~ (1.1-6a )
因一般 2
2
n k <<，则：
2220n k n ≈-=εε，n 20=ω
εσ (1.1-6,c ) n
k k n k i r 0
00,,2λλβλ
π
β≡
-==
= (1.1-6d,e,f )
n ~,~ε各为介质的复电容率和复折射率；β~,~k 各为电磁波在介质中的复波数和复传播常数，
在无限介质中二者是相等的；k n ,各为介质的折射率和消光系数；k 0 ，λ0 各为电磁波在真空中的波数和波长；λ 是电磁波在折射率为 n 的介质中的波长。ε0 = 8.854×10-14法拉∕
厘米，μ0 = 4π×10-9
亨利∕厘米，c 0 = 2.998×1010 厘米∕秒，各为真空中的电容率，磁导率和光速。
由 (1.1-1a )：()0~~~=??+??=??=??E E E D εεε→??
? ????-=??εε~~E E (1.1-7a )
如果在一定区域内ε~→ (1.1-7b ) 取 (1.1-1c ) 的旋度，则由 (1.1-4)，特别是由位移电流假设，得：
()()2
2002
~t E H t E E E ??-=????-=?-???≡????εμμ (1.1-7c )
由(1.1-7b )，近似得： (1.1-8a )
同样也得： (1.1-8b ) 其中： k
n
c v ~~~~ωβω==≡ (1.1-8c ) (1.1-8a,b ) 是电磁波在具有复电容率的介质中应该满足的波动方程，v
~是其复传播速度。 假设整个电磁场共同随时间作简谐变化，实即假设电磁场量的时间变量t 可与空间变量
(x,y,z ) 分离，即电磁场量可看成只含空间变量的函数和只含时间变量的公因子T(t)的乘积：
(1.1-9a )
时间部分可取为： (1.1-9b )
而不失普遍性[见(1.2-1e )]，空间部分则满足亥姆霍兹(Helmholtz )方程:
(1.1-9c )
(1.1-9d )
电磁波传播的功率流密度由玻印亭(Poynting )矢量表示为： (1.1-10a ) 如果E 和H 皆用复数表示(仅其实部有物理意义)，则电磁波对时间平均的功率流密度应该
表示为： (1.1-10b ) 式中 * 表示复共轭(complex conjugate )量。
在无限大的均匀介质中，电磁场有一种最简单的传播方式，它是麦克斯韦方程组的平面波解。所谓平面波是指在垂直于传播方向的平面上一切电磁场分量皆不随空间变化。如果取 z 轴与传播方向重合，则平面波解的条件可以表示为：
(1.1-11a ) 如果再取 x 轴与电场强度分量E x 重合，则由(1.1-8a,b )和(1.1-10b )得：
(1.1-11b )
(1.1-11c )
(1.1-11d ) 其中 α 为介质的吸收系数： (1.1-11
e )
因而：
(1.1-11f )
若取 (1.1-11b,c ) 的实部，则正向平面波解的实数表达式为： (1.1-11g )
h ) 其等相面方程r
r t z βφ
βω
-=
(1.1-11i ) 它代表垂直于传播方向的平面。这等相面的传播速度（相速）为： (1.1-11j ) 可见，如果不考虑介质的色散，则平面波具有一系列的特点：(i ) 它能以任何频率传播；(ii )它是横波；(iii ) 它是线偏振的；(iv ) 其电磁场在垂直于传播方向的平面上是均匀的；(v ) 其波阵面或等相面是垂直于传播方向的平面；(vi ) 如果 α = -2βi = 0，则电场和磁场同相变化，
否则在电场和磁场的变化之间有一定相位差；(vii ) 当 α = -2βi >、= 或 < 0 时，电磁波的振幅将随着传播距离各按指数规律减小，不变或增大，只有在无损耗的介质中，其电磁场的分布才具有完全的空间周期性，即波长；(viii ) 其能流方向不受限制，而且与传播方向一致。当然，无限波阵面的平面波是不可能存在的，因为其传播能量将为无限大。但是，在比波长大得多的一定空间范围内是可能具有平面波的上述特点的。在有限空间内传播的电磁波，不可能单纯是上述平面波，但有时可以看成是许多平面波的某种叠加。
§2 光在波导结构中的传播
§2.1 波导方程 §2.1-1 波导解式 直腔光波导的一般形式，是嵌
在不同介质中的直柱状介质，其横截面的几何形状和ε
~而沿着轴线方向则相同(图1.2)。由于介质的电磁性质不均匀和界面的影响，电磁波在其中的传播方式不可能是任意的。令轴线方向为z ,则 描述其传播方式的波导解式应该具
有z 和t 变量可以分离的性质，而且皆含有共同的z 函数 Z (z ) 和 t 函数T (t ) 两个因子： (1.2-1a ) (1.2-1b ) 这时波动方程(1.1-8a )化为：
()()()()()()()()()()22022222
2,~,,,dt t T d z Z y x E t T dz z Z d y x E t T z Z y y x E x
y x E εμ=?+????????+?? 两边除以 ()()()t T z Z y x E ,~0εμ 得：
()()()()()()()222220222201~1,,,~1a dt t T d t T dz
z Z d z Z y y x E x y x E y x E -==+????????+??εμεμ (1.2-1c ) ()()()()()22
2
0222221~,,,1b dz z Z d z Z y y x E x y x E y x E =-=+??
??????+??εμω (1.2-1d ) 式中a 和b 是两个分离常数。
由 (1.2-1c,d ) 各求出：
(1.2-1e,f ) A , B , C , D 均为常数。只取含有iat e 和ibz e -的项，并将常数归并到E (x,y ) 中去，则波导解式
(1.2-2a )
(1.2-2b )
可见，例如对比平面波情况(1.1-11b,c )，分离常数a ≡ω和b ≡z β~
各具有圆频率和复传播常数
的含义，表示整个电磁场一起随着时间作简谐变化，并一起沿z 轴传播。这样的波导解式必将满足麦克斯韦方程组，从而得出下述两组特定形式的方程组。
§2.1-2 电磁场横向分量方程
把(1.2-2a,b )代入麦克斯韦方程组，则(1.1-1c,d )各化为：
()()()y x H i y x E i y y x E x y z z ,,~
,0ωμβ-=+?? (1.2-3a ) ()()()y x H i x
y x E y x E i y z x z ,,,~
0ωμβ-=??-
- (1.2-3b ) ()()()y x H i y
y x E x y x E z z y ,,,0ωμ-=??-?? (1.2-3c )
()()()y x E i y x H i y y x H x y z z ,~,~,εωβ=+?? (1.2-3d ) ()()()y x E i x
y x H y x H i y
z x z ,~,,~
εωβ=??-- (1.2-3e )
()()()y x E i y
y x H x y x H z
z y ,~,,εω=??-?? (1.2-3f ) 注意到 (1.1-5c )，由 (1.2-3a,b,d,e ) 求出：
(1.2-4a )
(1.2-4b )
(1.2-4c )
(1.2-4d )
可见，在直腔柱状光波导内传播的电磁波的电磁场横向分量，完全由其纵向分量的横向偏微商所确定。
§2.1-3 电磁场纵向分量方程
把(1.2-4c,d )代入(1.2-3f )，把(1.2-4a,b )代入(1.2-3c )，各消去电磁场横向分量，得：
(1.2-5a )
(1.2-5b ) 当然，把(1.2-2)直接代入波动方程(1.1-8)，也能得到(1.2-5)，同时还能得到电磁场横向分量的类似方程(平面亥姆霍兹方程)。所不同的是，电磁场横向分量还将受到(1.2-4)的约束，而电磁场纵向分量则是完全独立的。
§2.2 波导模式
因为在直腔柱狀光波导内传播的电磁波的电场纵向分量和磁场纵向分量是互相独立的，
而且它们的取值将完全确定各个横向分量，所以根据纵向分量E z (x,y ) 和H z (x,y ) 是否为零而有下述四种可能的波导模式。
(i ) 横向电磁波(TEM )模式：E z (x,y )=0, H z (x,y )=0。总电磁场量都只存在于横截面上。由 (1.2-4)，这时要求：ε
μωββ~~
~,
0~
~022===-k k z z (1.2-6a ) (ii ) 横向电波(TE )模式：E z (x,y )=0, H z (x,y )≠0 (1.2-6b ) (iii ) 横向磁波(TM )模式：E z (x,y )≠0, H z (x,y )= 0 (1.2-6c ) (iv ) 混合波(HW )模式：E z (x,y )≠0, H z (x,y )≠0 (1.2-6d ) 另外，根据电磁场量在远离波导轴线处是否为零，还可以把上述各种传播模式各分为导波模式(guided modes )和辐射模式(radiation modes )，二者的传播常数各存在于不同数值范围内，而且前者是分立(discrete )的，后者是连续(continuous )的，它们的整体就构成波导模式系统的完备集(complete set )。
§2.1 三层平板波导
§2.1-1电磁模型及其解的性质
波导的电磁模型指波导的几何结构、 尺寸、和折射率分布。如以平板界面的垂 直方向为x 方向、沿平板界面方向为y 方 向, 则z 方向按右手螺旋定则确定。图2.1 是三层波导的电磁模型示意。图中的坐标 原点取在中心平板层（芯层）的中心，故
其 z 轴垂直纸面向纸后。
平板波导是指每个波导层本身厚度相 等、折射率分布均匀、因此各层的界面是
互相平行的平面，其数学条件是其所涉的每个物理量对y 方向的偏微商为零：
(2.1-1a ) 因此，由麦克斯威方程组得出电磁波在波导中电磁场的4个横向分量和2个纵向分量的方程式将化为：
()()()??
??????+??--=y y x H x y x E k i
y x E z z z z
x ,,~~~,02
2ωμββ
(2.1-1b ) ()()()????????+??--=x y x H y y x E k i y x E z z z z y ,,~~~,022ωμβ
β(2.1-1c ) ()()()???
??
???-??-=x y x H y y x E k i
y x H z z
z z x ,~,~~~,2
2βεω
β(2.1-1d ) ()()()??
??????+??--=y y x H x y x E k i
y x H z z
z z
y ,~,~~~,2
2βεω
β(2.1-1e ) ()()()
()0,~~,,2
22
222=-+??+??y x E k y
y x E x y x E z z z z β
(2.1-1f ) ()()()
()0,~~,,2
22
222=-+??+??y x H k y y x H x y x H z z z z β
(2.1-1g ) 由此可得出如下反映作为一切波导原型的三层平板波导的基本性质的几个定理及其引理： [定理一] 三层平板波导中同时存在TE 和TM 两种传播模式，它们互相独立、互不干扰。
TE和TM模式的定义分别是其纵向电场为零而纵向磁场不为零（E z= 0，H z≠0）和纵向磁场为零而纵向电场不为零（H z= 0, E z≠ 0），因此上述(2.1-1b) 至(2.1-1g) 6个方程分裂为两组互相独立的方程组：
TE
(2.1-2a)
b) TM(2.1-2c)
d) 由于这两组对各自6
个分量的取值
互不矛盾、互不制约、各自求解、
并各自有解，故互相独立共同存在
于同一个三层平板波导中。
[定理二] 三层平板波导中传播模式
的电磁场量在每一层中的分布只可
能是简谐（正弦或余弦函数）式或
指数（指数函数）式的分布，因而
可能形成导波模式或辐射模式(包括
衬底模式和空气模式)，甚至也可能
形成馈入模式。
图2.2是纯折射率三层平板波
导可能存在的各种传播模式波矢关
系。以下将分别探讨馈入模式、导
波模式、和辐射模式。但馈入模式
(1?)暂可跳过，重点先放在建立导波模式的基本理论上，辐射模式将在§2.1-5中讨论。1?模式折射率大于折射率最高的芯层折射率时的传播模式–馈入模式
其电磁模型为：(2.1-3a)
图2.2 三层平板波导中可能存在的各种模式及波矢
上限制层： 0:22120221>-≡≥
n k d
x z βγ (2.1-3b ) 芯层： 0~:222220222>-≡-≡≤κβγn k d x z (2.1-3c ) 下限制层： 0:2
2
320223>-≡-≤n k d x z βγ (2.1-3d )
A ．在各层中的解式 - 电磁场的分布
A-1．在芯层（|x | ≤ d/2）。以TE 模式为例，由(2.1-2b )：
()()()()
()()x H x H n k x H k dx
x H d z z z z z z 22222220222222
22γββ=-=--= (2.1-3e ) ()x x z e a e a x H 22212γγ-+= (2.1-3f ) ()()()
x x z
z z z x e a e a i dx x dH k i x H 22212
22
222γγγβββ--=--=
(2.1-3g ) ()()()
x
x x x z z y e A e A e a e a i x x H k i x E 222221212
022
2202γγγγγωμβωμ--+=--=??-=
(2.1-3h ) 其中：22
21201,a i A a i
A γωμγωμ≡-≡ (2.1-3i ) ()()()
x x
z
x
x z
x e A e A e a e a i
x H 2222
210
212
2γγγγωμ
βγβ--+-=-= (2.1-3j )
()()x x x x z e A e A i
e a e a x H 2
2
22210
2
212γγγγωμγ---=+= (2.1-3k ) A-2．在上限制层（x ≥ d/2）。
(2.1-3l ) ()()x
z z z x e b i dx x dH i x H 1111211γγβγβ==
(2.1-3m )
()()11
01111012
101,11b i B e B e b i dx x dH i x E x
x z y γωμγωμγωμγγ-≡=-=-
= (2.1-3n ) ()x z x z x e B e b i
x H 1
1
10
111γγωμβ
γβ-== (2.1-3o )
()x x z e B i
e b x H 1
110
1
11γγωμγ== (2.1-3p ) A-3．在下限制层（x ≤ -d/2）。
(2.1-3q ) ()()x
z z z x e c i dx x dH i x H 313
3233γγβγβ--==
(2.1-3r )
()()13
01113032
303,33c i C e C e c i dx x dH i x E x
x z y γωμγωμγωμγγ≡==-
=-- (2.1-3s ) ()x z x z x e C e c i
x H 3
3
10
133γγωμβ
γβ---=-= (2.1-3t ) ()x x z e C i
e c x H 3
310
3
13γγωμγ---== (2.1-3u ) B ．边界条件 - 系数关系和本征方程
B-1．在芯层与上限制层的界面（x = d/2）。由(2.1-3h,n )和(2.1-3k,p )：
2
22
12
12122122d d
d y y e
A e
A e
B d E d E γγγ-
+=→??
?
??=??? ?? (2.1-4a )
???
?
??
-=→??
?
??=??? ??-22210
2
2
1012122122d
d d z z
e A e A i e
B i d H d H γγγωμγ
ωμγ (2.1-4b) ()()
222
111212d d
e
A e
A B γγγγ+--+=
(2.1-4c )
()()???
?
??-=+--2
2212111212d
d e A e A B γγγγγγ (2.1-4d ) B-2．在芯层与下限制层的界面（x = -d/2）。由(2.1-3h,s )和(2.1-3k,u )：
2
22
12
12322322d
d
d y y e
A e
A e
C d E d E γγγ+=→??
?
??-=??? ??-- (2.1-4e )
???
?
??
-=-→??
?
??-=??? ??--22210
2
2
1032322322d d d z z e A e A i e
C i d H d H γγγωμγ
ωμγ (2.1-4f )
()
()222
113232d
d e
A e
A C γγγγ-+-+= (2.1-4g )
()()???
?
??-=--+-2
2212133232d d
e A e A C γγγγγγ (2.1-4h ) B-3．系数关系。由(2.1-4c,d )和(2.1-4g,h )： ()
()1
22111112
2
2111,,1212A A
A A
B B e
e
A B d
d ≡≡
=--+-γγγγ (2.1-4i ) ()
()2
1
122
2
2112,1212γγγγγγγγ≡
=+-+-d
d e
e
A B (2.1-4j ) ()
()
()()
2
122
12
2
12
12121211
d d d
e
e
e γγγγγγγγ+-+-+-+=-=? (2.1-4k )
()()
()()
()()
()()()
()21222122
1212
2
2
2
2
1112121211212121221212d
d d d
d d
d d
e
e e
e e e
e e B γγγγγγγγγγγγγγγγγγγγ--+--+--+--+=+=+=
?-=
(2.1-4l ) ()()
()()()()
()()
()()
d d
d
d
d d e
e
e
e e
e A 2
2
12121212121212122
122
1212
2
12
22111111γγγγγγγγγγγγγγγγγγγ+-=
+-=
+-=
?=
+---- (2.1-4m )
()()
1
1
112
2
2111,3232A C C e
e
A C d
d
≡
=-+--γγγγ (2.1-4n ) ()()
2
3
322
2
211132,3232γγγγγγγγ≡
=+-+--d d
e
e
A C (2.1-4o ) ()()()()2
322
32
2
3232323211d
d
d
e
e
e γγγγγγγγ----=--=
? (2.1-4p )
()()()
()()()()()()
()23222322
3232
2
2
2
21132323233232323221212d
d d
d
d
d d
d e
e e
e e e
e e C γγγγγγγγγγγγγγγγγγγγ+-+----+--+--=-=-=
?-=
(2.1-4q )
()()
(
)()
()()()()
()()
d d
d
d d d e
e
e
e
e
e A 2
2
32323232323232322
322
3232
2
32
22111111
γγγγγγγγγγγγγγγγγγγ---+-+-+--+=
-+=
-+=
?-=
(2.1-4r )
B-4．本征方程。由 (2.1-4m ) = (2.1-4r ) 得出： ()()
()()
d d
e
e
A 2
2
323212122γγγγγγγγγγ--+=
+-=
(2.1-4s )
或： (2.1-4t ) 2320321201222
0202
2
20
22
2
,,n N k n N k n k k N n k m m z
m z
-≡-=+???
? ??=≡→-=γγγββγ(2.1-4u ) 由于 γ2 > 0，则 (2.1-4t ) 的左右边皆大于 1，故有解。 对于对称(2.1-4v) 对于1.3,2.3,6.3312===n n n , λ0 = .87 μm, d = .1μm, 计算得出馈入模式的传播常数为 βz = 4.361?105 cm -1, 模式折射率为m N = 6.044，其模式电场在各层的分布如图2.3所示。
图2.3(a ) 三层平板波导的TE 馈入模式的电场在各层的分布
B-5．传播性质
芯层厚度为d 、各层折射率分别为312n n n >> 的纯折射率三层平板波导既然可以得出其本征值 βz 和波函数E yj (x), j = 1, 2, 3，表明电磁波动方程在这波导结构中有相应的传播解E yj (x, z, t)：
()()()()
()()z t i x z t i x z t i y y z z z e e B A e e B e x E t z x E βωγβωγβω---??=?==11111111,, (2.1-4w ) ()()()()()()
()z t i x x z t i x x z t i y y z z z e e A e A e e A e A e x E t z x E βωγγβωγγβω-----?+?=?+==22222112122,, ()()()()
()()z t i x z t i x z t i y y z z z e e B A e e B e x E t z x E βωγβωγβω-----??=?==33311333,, (2.1-4x,y )
其特点是：
(1) 2
2202301020n k i n k n k n k z z -=→>>>βκβ (2.1-4z )
因此不服从波矢三角形（图2.2、2.5）。
(2) 限制层的振幅是发散的：|E y1,3(±∞)| = ∞。这点可以理解为远处是光的发射源。 (3) 其模式功率为无限大，这点与平面波和辐射模式相似。
因此，可以认为这种特殊的传播模式是波导中可能存在的一种“馈入模式”。
A '．模式折射率大于折射率最高的芯层折射率时，是否可能存在限制层波函数远处为零的 传播模式，即导波模式？
A '-1．在芯层（|x | ≤ d/2）的分布。仍以TE 模式为例，由(2.1-2b )：
()()()()
()()x H x H n k x H k x
x H z z z z z z 22222220222222
22γββ=-=--=?? (2.1-3e ') ()x x z e a e a x H 22212γγ-+= (2.1-3f ') ()()()
x
x z z z z x e a e a i x x H k i x H 22212
22
222γγγβββ--=??--=
(2.1-3g ')
()()()
x x x x z z y e A e A e a e a i x x H k i x E 222221212
22
2202γγγγγωμβωμ--+=--=??-=
(2.1-3h ') 其中：22
21201,a i A a i
A γωμγωμ≡-≡ (2.1-3i ') ()()()
x x
z
x
x z
x e A e A e a e a i
x H 2222
210
212
2γγγγωμ
βγβ--+-=-= (2.1-3j ')
()()x x x x z e A e A i
e a e a x H 2
2
22210
2
212γγγγωμγ---=+= (2.1-3k ') A '-2．在上限制层（x ≥ d/2）的分布：
(2.1-3l ') ()()x z
z z x e b i x x H i x H 12112
1
1γγβγβ-=??=
(2.1-3m ') ()()2102221012
1
01,11b i B e B e b i x x H i x E x
x z y γωμγωμγωμγγ≡==??-
=-- (2.1-3n ') ()x z x z x e B e b i
x H 1
1
20
211γγωμβ
γβ---=-= (2.1-3o ') ()x x z e B i
e b x H 1
120
1
21γγωμγ---== (2.1-3p ') A '-3．在下限制层（x ≤ -d/2）：
(2.1-3q ') ()()x
z z z x e c i x x H i x H 32332
3
3γγβγβ=??=
(2.1-3r ') ()()2302
223032
303,33c i C e C e c i x x H i x E x
x z y γωμγωμγωμγγ-≡=-=??-
= (2.1-3s ') ()x z x z x e C e c i
x H 3
3
20
233γγωμβ
γβ-== (2.1-3t ')
()x x z e C i
e c x H 3
320
3
23γγωμγ== (2.1-3u ') B '．边界条件 - 系数关系和本征方程
B '-1．在芯层与上限制层的界面（x = d/2）。由(2.1-3h,n )和(2.1-3k,p )：
2
22
12
22122122d d
d y y e
A e
A e
B d E d E γγγ-
-+=→??
?
??=??? ?? (2.1-4a ')
???
?
??-=-→???
??=??? ??--2
2210
2
2
20
12122122d
d d z z
e A e A i e
B i d H d H γγγωμγ
ωμγ (2.1-4b ') ()()
2
22
121212d d
e
A e
A B γγγγ--++= (2.1-4c ')
()()???
?
??-=---+2
2212211212d
d e A e A B γγγγγγ (2.1-4d ') B '-2．在芯层与下限制层的界面（x = -d/2）。由(2.1-3h,s )和(2.1-3k,u )：
2
22
12
22322322d
d
d y y e
A e
A e C d E d E γγγ+=→??
?
??-=??? ??--- (2.1-4e ')
???
?
??-=→???
??-=??? ??---22210
2
2
2032322322d d d z z e A e A i e
C i d H d H γγγωμγ
ωμγ (2.1-4f ') ()
()2
22
123232d
d e
A e
A C γγγγ+--+= (2.1-4g ')
()()???
?
??-=+--2
2212233232d d
e A e A C γγγγγγ (2.1-4h ') B '-3．系数关系：
由 (2.1-4c ', d ') 得出：()
()1
22112212
2
2121,,1212A A
A A
B B e
e
A B d
d ≡≡
=-+--γγγγ (2.1-4i ') ()
()2
1
122
2
212112,1212γγγγγγγγ≡
=+-+--d
d e
e
A B (2.1-4j ') ()
()
()()
2
122
12
2
1212121211d d d
e
e
e γγγγγγγγ-------=--=
? (2.1-4k ')
()()
()()
()()
()()()
()21222122
1212
2
2
2
2
2112121211212121221212d
d d d
d d
d d
e
e e
e e e
e e B γγγγγγγγγγγγγγγγγγγγ++----+--+-=-=-=
?-=
(2.1-4 l ') ()()
()()()()
()()
()()
d d
d
d
d d e
e
e
e e
e A 2
2
12121212121212122
122
1212
2
12
22111111
γγγγγγγγγγγγγγγγγγγ-+=
-+=
-+=
?-=
--+++ (2.1-4m ')
由 (2.1-4g ', h ') 得出： ()()
1
2
212
2
221,3232A C C e
e
A C d d
≡
=---+γγγγ (2.1-4n ') ()()
2
3
322
2
212132,3232γγγγγγγγ≡
=+--+d d
e
e
A C (2.1-4o ') ()()()()2
322
32
2
32
32323211
d
d
d
e
e
e γγγγγγγγ++++=-=? (2.1-4p ')
()()()
()()()()()()
()23222322
3232
2
2
2
22132323233232323221212d
d d
d
d
d d
d e
e e
e e e
e e C γγγγγγγγγγγγγγγγγγγγ----++--+--+=+=+=
?-=
(2.1-4q ') ()()
()()
()()()()
()()
d d
d
d d d e
e
e
e
e
e A 2
2
32323232323232322
322
3232
2
32
22111111γγγγγγγγγγγγγγγγγγγ--+------+-=
+-=
+-=
?=
(2.1-4r ')
B '-4．本征方程
由 (2.1-4m ') = (2.1-4r ') 得出： ()()
()()
d d
e
e
A 2
2
3232121221γγγγγγγγγγ-+-=
-+=
(2.1-4s ')
或： ???
?
??+-?+-=→+-?+-=
323212122121232322ln 212γγγγγγγγγγγγγγγγγγd e d (2.1-4t ') 232
0321201222
020*******,,n N k n N k n k k N n k m m z
m z -≡-=+???
? ??=≡→-=γγγββγ(2.1-4u ')
(2.1-4v ')
由于 γ2 > 0，则 (2.1-4t ') 和 (2.1-4v ') 右边大于1，但左边小于1，故无解。表明这种模式虽然可以得出其本征方程，但是无解，因此波导中不可能存在这种模式。
2? 模式折射率小于折射率最高的芯层折射率而大于限制层时的传播模式 – 导波模式 A . TE 导波模式
纯折射率三层平板波导中TE 导波模式在各层的波函数和本征方程分别为：
()()()?κωμβ?κωμκ?κ--=-=-=≤
x A H x i A
H x A E d x z x z y cos ,sin ,cos :20
2022(2.1-5a ) x z x x z x y e i B H e i B H e B E d
x 111011011111,,:2γγγωμβωμγ----===≥
(2.1-5b ) x z x x z x y e i B H e i B H e B E d
x 3330
33033333,,:2γγγωμβωμγ-===-
≤ (2.1-5c ) 2
112
1112sin ,2cos :2d
e d
e
B d A e
B d A d x γγγ?κκ?κ--=??
?
??-=??
?
??-= (2.1-5d )
2
332
3332sin ,2cos :2d
d
e
B d A e
B d A d x γγγ?κκ?κ--=??
?
??+=??
? ??+-= (2.1-5e )
1
22
12sin 2cos 1
1γκ?κ?κγγ??? ??-=??? ??-=d Ae d Ae B d
d
(2.1-5f )
3
2
2
32sin 2cos 33γκ
?κ?κγγ??? ??+=??
?
??+=d Ae d Ae
B d
d
(2.1-5g )
对于TE (2.1-5h )
消去?： (2.1-5i )
消去κ： (2.1-5j )
B . TM 导波模式
纯折射率三层平板波导中TM 导波模式在各层的波函数和本征方程分别为：
()()()?κωεβ?κωεκ
?κ-=-=-=≤
x A n i E x A n i E x A H d x z x z y cos ,sin ,cos :22
2
0222022(2.2-5k ) x z x x z x y e B n E e B n i E e B H d x 111121*********,,:2γγγωεβωεγ---===≥
(2.2-5l ) x
z x x z x y e B n E e B n i E e B H d x 33332
3
033230333,,:2γγγωεβωεγ---===-
≤ (2.2-5m ) 2
11212cos :22d
y y e
B d A d H d H γ?κ-=??
?
??-??? ??=??? ?? (2.2-5n )
2
1
2102201212sin :22d
z z e B n i d A n i d E d E γωεγ?κωεκ-=??? ??-??? ??=??? ?? (2.2-5o )
2
31232cos :22d
y y e
B d A d H d H γ?κ-=??
?
??+??? ??-=??? ??- (2.2-5p )
2
32
3
032201232sin :22d
z z e B n i d A n i d E d E γωεγ?κωεκ-=??? ??+??? ??-=??? ??- (2.2-5q )
1
2122
12sin 2cos 1
1γεκ?κ?κγγ?
?? ??-=??? ??-=d Ae d Ae
B d
d
(2.2-5r )
3
232
2
32sin 2cos 33γεκ?κ?κγγ??? ??+=??
?
??+=d Ae d Ae
B d d
(2.2-5s )
对于TM (2.1-5t )
消去?：
(2.2-5u )
消去κ： (2.2-5v )
[定理三] 三层平板波导中可能存在的传播模式是其电磁场量满足各个界面上的边界条件的传播模式。这条件将得出确定作为本征值的传播常数的本征方程，而由传播常数即可确定相应的作为本征函数的各个电磁场的分布。
[引理3.1] 光波导中各个界面上电场和磁场切向分量必需连续的边界条件等价于电场（或磁
半导体激光器设计理论II. 半导体激光模式理论 北京大学物理系郭长志（7 Sept. 2006, LT-II-1A.doc） 半导体激光器中，为了实现激射(振荡)，必须利用波导腔中的谐振现象；而为了降低阈值，实现室温连续激射，则必 光场集中在波导腔内；为了使辐 射出去的光场能量集中和稳定， 还必须使波导腔的结构能够保证 半导体激光器(图1.1)从同质结构 到异质结构，从低温脉冲激射到 室温连续激射,激射波长从0.9 左右的近红外到可见光和远红外 的发展,一方面是依靠新材料和新 工艺的探索，另一方面是依靠对 激射过程，特别是对波导结构及 其传播模式的研究才取得的。 半导体波导是利用以半导体材料为主的不同材料和注入非平衡载流子等的光学性质，按一定的几何分布组成的有利于光场集中并定向传播的结构。定向传播的波导轴线，可以是笔直的，也可以是弯曲的。在一定的波导结构中，只允许一定的偏振性、一定的场强空间分布、一定几何形状的波阵面(等相面）、一定的频谱的电磁波在其中传播，因而辐射出去的光场也具有一定的光束结构和频谱结构。也就是说，一定的波导结构确定一定的内外传播模式。从光在传播过程中所应遵从的麦克斯韦方程组及由其导出的波动方程和波导方程，结合实际的材料电磁性质分布和边界条件，可以从理论上定量地推知波导结构及其传播模式之间的内在联系。这方面的分析工作是理论认识和工程设计的重要依据。 半导体激光器的波导模式理论，在很大程度上继承了微波理论的成果，同时也赋予了新的光学处理。因此，在讨论半导体激光器的波导模式问题时，既可以从求解一定介质分布和边界条件的波导方程入手，也可以从分析波导腔内光的反射、折射、干涉和衍射现象入手。因为这两者在实质上是等价的，所以应该得出完全相同的结果。前者的方法是系统的，后者则较为直观。下面将以电磁波理论为主，导出主要结果：而以唯象光学作为补充，讨论结果的物理(光学)含义。 半导体激光器的波导模式理论与集成光学理论有若干共同的内容。然而，前者主要讨论有源介质波导的模式结构、选模机制和模式机制和模式稳定性等问题，其光源就在波导腔内；后者则着重讨论无源介质波导模式的饋入、饋出、耦合、转换、调制等问题[1]~[4]。
矩形波导中电磁波的传播模式 [摘要] 人类进入21世纪的信息时代，电子与信息科学技术在飞速发 展，要求人们制造各种高科技的仪器。在电磁学领域，能约束或引导电磁波能量定向传输的传输线或装置是导波系统。．矩形波导适用于频率较高的频段，但当频率足够高的时候，可以使多个波导模式同时工作， 所以我们有必要对波导中的电磁波传播模式参数进行研究 关键词：矩形波导 TM 波 TE 波 矩形波导由良导体制作而成，一般为了提高导电性能和抗腐蚀性能，在波导内壁镀上一层高电导率的金或银， 它是最常见的波导，许多波导元件都是由矩形波导构成的。为了简化分析，在讨论中我们将波导的良导电体壁近似为理想导电壁。由前面的讨论我们知道，矩形波导中不能传输TEM 波，只能传输TE 波和TM 波。设矩形波导宽为a,高为b,（a>b ）沿Z 轴放置，如图（1）所示。下面分别求解矩形波导中传输的TE 波和TM 波。 1TM 波 对于TM 波，z z E H ,0=可以表示为; z jk z z e y x E z y x E -=),(),,(0 (1) 式中),(0y x E 满足齐次亥姆霍兹方程，故有 0),(),(02 02 =+?y x E k y x E c (2) 采用分离变量法解此方程，在直角坐标系中，令 ) ()(),(0y Y x X y x E = (3)
0)()(2 ''=+x X k x X x 将（3）式代入（2）式中，并在等式两边同除以)()(y Y x X 得： 0) ()()()(2 ''''=++c k y Y y Y x X x X (4) 上式中第一项仅是X 的函数，第二项仅是Y 的函数，第三项是与X 、Y 无关的常数，要使上式对任何X 、Y 都成立，第一和第二项也应分别是常数，记为： 2 ''2 '') ()()()(y x k y Y y Y k x X x X -=-= 这样就得到两个常微分议程和3个常数所满足的方程： (5) 0)()(2 ''=+y Y k y Y y (6) 222y x c k k k += (7) 常微分方程（5）和（6）的通解为 )sin()cos()(21x k C x k C x Y x x += (8) )sin()cos()(43y k C y k C y Y y y += (9) 将（8）式和（9）式代入（3）式，再代入（1）式，就得到z E 的通解为 [][] z jk y y x x z z e y k C y k C x k C x k C z y x E -++=)sin()cos()sin()cos(),,(4321 由矩形波导理想导电壁的边界条件0=E ，确定上式中的几个常数，在4个理想导电壁上，z E 是切向分量，因此有： （1） 在0=X 的波导壁上，由0),,0(==z y x E z 得01=C ； （2） 在0=Y 的波导壁上，由0),0,(==z y x E z 得03=C ； （3） 在a X =的波导壁上，要使0),,(==z y a x E z 有0)sin(=a k x ，从而必须有 πm a k x =，其中 3,2.,1=m 为整数，由此得 a m k x π = （10） （4）在b X =的波导壁上，要使0),,(==z b y x E z 有，0)sin(=b k y 从而必定有πn b k y =，其中 3,2.,1=n 也为整数，由此得
第八章 矩形波导 1. 波导中的传播条件：f>fc 或λ<λc 2. 矩形波导能传输TM 波和TE 波，不能传输TEM 波。 3. 矩形波导中：TEmn 模：m 和n 皆可取0，但又不能同时为0 TMmn 模。显然，m,n 皆不可能为0，故最低阶模为TM11 其中：m 表示电磁场沿波导宽边a 分布的半波数的个数，n 表示电磁场沿波导窄边b 分布的半波数的个数。 当m 和n 取非零值时，TMmn 模和TEmn 模具有相同的截止参数，这种现象称为模式简并，相应的模式称为简并模式。例如，TM21模和TE21模是简并模式。 4. 波长 ①工作波长λ：定义：微波振荡源所产生的电磁波的波长。 v f λ= = 若填充空气，则8310/v c m s ===? 若填充r ε 的介质，则v = ②波导波长λg ：在波导内，合成波沿的等相位面在一个周期内所走过的路程定义为波导波长λg 。 2g π λβ = = ③截止波长λc ：电磁波处于能传输与不能传输的临介状态，此时对应的波长称为截止波长，对应的频率叫截止频率,fc.(或定义为：导行波不能在波导中传输时所对应的最低频率称为截止频率，该频率确定的波长称为截止波长。) g λλ >
c c v f λ= = c c v f λ= 5.传播速度 若填充空气，则8310/v c m s ===? ，若填充r ε 的介质，则v = ①相速度vp ：定义 p v ω β = = 或 p g v f λ= p v v > ②群速度vg ：群速度（能速）就是电磁波所携带的能量沿波导纵轴方向（z 轴）的传播速度。 g v = 2p g v v v = g v v < 6.色散现象：传播速度与频率有关的现象 时延失真：波导传输频带内各不同频率的信号传输时间不等，造成信号失真，这种失真称为时延失真。 7. 波阻抗：波导中某种波型的阻抗简称为波阻抗。定义为波导横截面上该波型的电场强度与磁场强度的比值。 TM 波的：x TM y E Z H ==TE 波 : TE Z =
微波技术与天线复习提纲（2011级） 一、思考题 1. 什么是微波？微波有什么特点？ 答：微波是电磁波谱中介于超短波与红外线之间的波段，频率围从300MHZ到3000GHZ，波长从0.1mm到1m； 微波的特点：似光性、穿透性、宽频带特性、热效应特性、散射特性、抗低频干扰特性、视距传播性、分布参数的不确定性、电磁兼容和电磁环境污染。 2. 试解释一下长线的物理概念，说明以长线为基础的传输线理论的主要物理现 象有哪些？一般是采用哪些物理量来描述？ 答：长线是指传输线的几何长度与工作波长相比拟的的传输线； 以长线为基础的物理现象：传输线的反射和衰落； 主要描述的物理量有：输入阻抗、反射系数、传输系数和驻波系数。 3. 均匀传输线如何建立等效电路，等效电路中各个等效元件如何定义？ 4. 均匀传输线方程通解的含义 5. 如何求得传输线方程的解？
6. 试解释传输线的工作特性参数（特性阻抗、传播常数、相速和波长） 答：传输线的工作特性参数主要有特征阻抗Z 0，传输常数，相速及波长。 1)特征阻抗即传输线上入射波电压与入射波电流的比值或反射波电压与反射波 电流比值的负值，其表达式为0Z = 它仅由自身的分布参数决定而与负载及信号源无关； 2）传输常数j γαβ=+是描述传输线上导行波的衰减和相移的参数，其中，α和β 分别称为衰减常数和相移常数，其一般的表达式为γ3)传输线上电压、电流入射波（或反射波）的等相位面沿传播方向传播的速度称为相速，即； 4）传输线上电磁波的波长λ与自由空间波长0λ 的关系2πλβ= =。 7. 传输线状态参量输入阻抗、反射系数、驻波比是如何定义的，有何特点，并 分析三者之间的关系 答：输入阻抗：传输线上任一点的阻抗Z i n 定义为该点的电压和电流之比， 与导波系统的状态特性无关，10001tan ()tan in Z jZ z Z z Z Z jZ z ββ+=+ 反射系数：传输线上任意一点反射波电压与入射波电压的比值称为传输线在该点的反射系数，对于无耗传输线，它的表达式为2(2)10110 ()||j z j z Z Z z e Z Z βφβ---Γ==Γ+ 驻波比：传输线上波腹点电压振幅与波节点电压振幅的比值为电压驻波比，也称为驻波系数。 反射系数与输入阻抗的关系：当传输线的特性阻抗一定时，输入阻抗与反射系数一一对应，因此，输入阻抗可通过反射系数的测量来确定；当10Z Z =时，1Γ=0，此时传输线上任一点的反射系数都等于0，称之为负载匹配。 驻波比与反射系数的关系：111||1|| ρ+Γ=-Γ，驻波比的取值围是1ρ≤<∞；当传输线上无反射时，驻波比为1，当传输线全反射时，驻波比趋于无穷大。显然，驻波比反映了传输线上驻波的程度，即驻波比越大，传输线的驻波就越严重。 8. 均匀传输线输入阻抗的特性，与哪些参数有关？
电磁场理论与微波技术复习提纲 一、总体要求 通过本课程的学习，建立起电磁场与电磁波的基本思想，掌握电磁场与微波技术的基本概念、基本原理、基本分析方法，对波导理论有比较完整的理解，了解电磁场与微波技术的最新发展和应用。 “电磁场理论与微波技术”由“电磁场与电磁波基本理论”和“微波技术基础”两部分构成。第一部分“电磁场理论”所占比例约为：55% 第二部分“微波技术基础”所占比例约为：45% “电磁场与电磁波基本理论”部分重点考查内容为： 基本概念和理论 静电场 恒定电场 麦克斯韦方程组 平面电磁波 “微波技术基础”部分考查内容为： 基本概念和理论 传输线理论 波导理论 微波网络基础 二、考试形式与试卷结构 1、试题分为选择题（20%）、填空题（20%）、名词解释题（8%）、简答题（10%）、计算题（42%）。试卷总分100分。 2、考试形式为闭卷考试 3、考试时间：120分钟 名词解释： 1、坡印廷矢量和平均坡印廷矢量 2、电位移矢量 3、主模 4、色散
5、体电荷分布、面电荷分布、线电荷分布、体电流分布、面电流分布、线电流分布 6、电偶极子 7、直线极化、左右旋圆极化、椭圆极化 8、趋肤效应 9、均匀平面波、TEM模、TE模、TM模 10、全反射和全透射 11、波导 12、基本振子和对称振子 13、简并现象 14、微波 简答题： 1、如何判断长线和短线？ 2、何谓分布参数电路？何谓集总参数电路？ 3、何谓色散传输线？对色散传输线和非色散传输线各举一个例子。 4、均匀无耗长线有几种工作状态？特点？条件是什么？ 5、说明二端口网络几种参量的物理意义？ 6、发生全反射和全透射的条件 7、分析微波网络的方法 8、写出常见的微波元件9、分析天线的方法10、写出常见的天线 11、用哪些参数可以描述天线的性能指标，并解释其中的一到两个参数。 12、通量和散度的区别 13、旋度和环流的区别14、负载匹配和电源匹配 计算题： 1、矢量分析 1.1、1. 2、1.4、1.15、1.20 2、无界空间均匀平面波2.45、2.46、3.2、3.14 3、理想介质和良导体为边界的均匀平面波垂直入射3.17、3.22 4、分离变量法2.23，平行导体板（ppt例题） 5、阻抗圆图 6、波导模式和波长等计算5.11、5.12 7、高斯定理和安培环路定理（ppt例题）
实验 矩形波导中场结构模拟实验 一、实验目的要求： 1．通过实验编程及图像动态演示，形象具体的了解电磁波在波导中传播特性。 2．通过编写Matlab 程序，加深矩形波导中电磁波公式推导以及单模电磁波在矩形波导中的传播理解。 二、实验内容： 电磁场本身比较复杂和抽象，是涉及空间和时间的多维矢量场，需要具有较强的空间想象能力来理解它。 1．实验原理： 矩形波导是截面形状为矩形的金属波导管，如图一所示。 波导内壁面位置坐标设为：x=0和x=a ；y=0和y=b 。波导中填充介电常数为ε、磁导率为μ、电导率为σ的媒质，通常波导内填充理想介质（σ=0）。由于波导内没有自由电荷和传导电流，所以传播的电磁波是正弦电磁波。理想导电壁矩形波导中不可能传输TEM 模，只能传输TE 模或TM 模。对于矩形波导中TE MN 模的电场强度E 、磁场强度H 场分量表达式为： (02cos sin j t z x c j n m n E H x y e k b a b )ωβωμπππ???????=???????????? （1） (02sin cos j t z y c j m m n E H x y e k a a b )ωβωμπππ???????=???????????? （2） （3） 0z E =
(02sin cos j t z x c j m m n H H x y e k a a b )ωββ πππ???????=???????????? （4） (02cos sin j t z y c j n m n H H x y e k b a b )ωββπππ???????=???????????? （5） (0cos cos j t z z m n H H x y e a b )ωβππ?????=???????? （6） 其中：ω为微波角频率；m 和n 值可以取0或正整数，代表不同的TE 波场结构模式，称为TE 模，波导中可有无穷多个TE 模式；k c 为临界波束，k c 2=（m π/2）2+(n π/b ）2；β为相 位常数，β= 。 波导中的一个重要参数为截止频率f c ，有 c f = （7） 当工作频率低于截止频率f c 时，电磁场衰减很快，不可能传播很远，所以波导呈现高通滤波器的特性，只有工作频率高于截止频率f c 时电磁波才能通过。具有最低截止频率的模式，成为最低模式，也称为主模，其他模式都成为高次模式。在矩形波导内传输 的所有模型中，TE 10模为主模。 2． 实验步骤： 设置矩形波导宽边a =22.86mm ，窄边b =10.16mm ，波导内媒质为空气，当工作频率f 为9.84GHz 时，波导中只能传输TE 10模。 利用Matlab 显示矩形波导TE10模的电磁场分布的程序设计过程： （1）根据已知参数m ，n ，a ，b 和f 编程计算kc ，β和ω角频率等参数。 Matlab 中代码实现： a=22.86*1e-3; b=10.16*1e-3; f=9.84*1e9; m=1; n=0; miu=4*pi*1e-7; eps=8.854*1e-12; %E=2.71828; kc=((m*pi/a)^2+(n*pi/b)^2)^0.5; w=2*pi*f; beta=(miu*eps*w^2-kc^2)^0.5; （2）根据式1-6定义的各场强变量，以电场强度、磁场强度各分量为因变量，以时间t 为自变量。 Matlab 中代码实现： ngrid=20; x=[0:a/ngrid:a];y=[0:b/2:b]; z=[0:0.04/ngrid:0.04];%定义x ，y ，z 坐标空间矩阵 %公式表示 for p=0:ngrid%执行循环p 赋初值0，循环步长为1，总步长ngrid for q=0:2 for r=0:ngrid%三层循环，赋值ex 、ey 、ez 、hx 、hy 、hz 空间上的数值 ex(p,q,r)=j*(w*miu/kc^2)*(n*pi/b)*cos((m*pi/a)*x(p))*sin((n*pi/b)*y(q))*exp(j*(
光波导理论与技术大学课件 06 年复习题 x E y x t Ay cos t1. 已知一平面电磁波的电场表达式为 c ， 写出与之相联系的磁场表达式。(提示:利用麦克斯韦尔方程，注意平面波的特点) 2E 1 2E2. 证明平面电磁波公式 E A cost kx 是波动微分方程 0 的解。 x 2 v 2 t 23. 在直角坐标系任意方向上以角频率传播的平面波为 E A exp j t k r ，根据波动方程 2 2E ，导出用角频率、电容率、导磁率0 表示平面波的传 E 0 2 0 播常数 k。 t4. ?璧ド矫娌ㄓ?E A exp j t kz 表示，求用电容率、导磁率0 表 示的该平面波传播速度。(提示:考虑等相位面的传播速度)5. 用文字和公式说明电磁场的边界条件。6. 设时变电磁场为 A xt A x sin ωt ，写出该电磁场的复振 幅表示式，它是时间的函数还是空间的函数,7. 分别写出麦克斯韦尔方程组和波动方程的时域与频域的表达式。8. 说明平面波的特点和产生的条件。9. 写出平面波在下列情况下的传播常数或传播速度表示式: 1 沿任意方向的传播速度; 2 在折射率为 n 的介质中的传播常数; 3 波矢方向与直角坐标系 z 轴一致的传播常数。10. 平面波波动方程的解如下式，说明等式右边两项中正负号和参数 k 的物理意义。 E x z ， t E e j t kz E e j t kz11. 说明制成波片材料的结构特点，如何使波片成为 1/4 波片和 1/2 波片12. 如果要将偏光轴偏离 x 轴度的线偏振光转变 成 x 偏振光，应将/2 波片的主轴设定为偏离 x 轴多大角度13. 什么是布儒斯特 起偏角,产生的条件是什么14. 光波在界面反射时，什么情况下会产生半波损失15. 如何利用全反射使线偏振光变成园偏振光,16. 什么是消逝波,产生消逝波的条件是什么,17. 什么是相位梯度,它与光波的传输方向以及介质折射率是什么关系,18. 在非均匀介质中如何表示折射率与光线传播方向的关系,19. 光纤的数值孔径表示 什么,如何确定它的大小20. 在下列情况下，计算光纤数值孔径和允许的最大入射 角(光纤端面外介质折射率n1.00): 1 阶跃折射率塑料光纤，其纤芯折射率 n1
光波导的理论以及制备方法介绍 摘要 由光透明介质(如石英玻璃)构成的传输光频电磁波的导行结构。光波导的传输原理是在不同折射率的介质分界面上，电磁波的全反射现象使光波局限在波导及其周围有限区域内传播。 光波导的研究条件与当前科技的飞速发展是密不可分的，随着技术的发展，新的制备方法不断产生，从而形成了各种各样的制备方法，如离子注入法、外延生长法、化学气相沉淀法、溅射法、溶胶凝胶法等。重点介绍离子注入法。 光波导简介如图所示为光波导结构 图表1光波导结构 如图中共有三层平面相层叠的光学介质，其对应折射率n0,n1,n2。其中白色曲折线表示光的传播路径形式。可以看出，这是依靠全反射原理使光线限制在一层薄薄的介质中传播，这就是光波导的基本原理。为了形成全反射，图中要求n1>n0,n2。 一般来讲，被限制的方向微米量级的尺度。 图表2光波导模型 如图2所示，选择适当的角度θ（为了有更好的选择空间，一般可以通过调整三层介质的折射率来取得合适的取值），则可以将光线限制在波导区域传播。 光波导具有的特点光波导可以用于限制光线传播光路，由于本身其尺寸在微米量级，就使得其有很多较好的特点： （1）光密度大大增强 光波导的尺寸量级是微米量级，这样就使得光斑从平方毫米尺度到平方微米尺度光密度增大104—106倍。 （2）光的衍射被限制 从前面可以看出，图示的光波导已经将光波限制在平面区域内，后面会提到稍微变动一下技
术就可以做成条形光波导了，这样就把光波限制在一维条形区域传播，这就限制了光波的衍射，有一维限制（一个方向），二维限制（两个方向）区分（注：此处“一维”与“二维”的说法并不是专业术语，仅仅指光的传播方向的空间自由度，不与此研究专业领域的说法相混同）。 （3）微型元件集成化 微米量级的尺寸集成度高，相应的成本降低 （4）某些特性最优化 非线性倍频阈值降低，波导激光阈值降低 综上所述，光波导本身的尺寸优势使得其有很好的研究前景以及广泛的应用范围。 光波导的分类一般来讲，光波导可以分为以下几个大类别： 图表3平面波导（planar） 图表4光纤（fiber）
矩形波导中传播模式的研究 矩形介质光波导作为波导光学系统最基本的单元之一，是研究光电器件以及波导传播技术等课题的核心内容。为研究矩形介质波导中的传播模式，本文将从平板介质波导入手，运用电磁场基本理论，结合边界条件求解麦克斯韦方程组，得到光场传播模式的表达式，模的传播常数以及截止条件等相关参数。再以此为基础，分别以马卡蒂里理论、库玛尔理论以及有效折射率法在不同电磁波模式下分析比较矩形介质波导，并结合MMI耦合器分析单模和多模中的模场分布。最后使用Matlab绘制传播曲线并且基于BPM算法对不同条件的矩形波导进行模拟，分析并比较其传播模式。 1.1 引言 随着为微纳加工工艺技术的不断提高，晶体管的特征尺寸越来越小，单片集成的晶体管数目越来越多，由此带来的金属互联问题、漏电流问题以及散热问题难以解决。紧靠减小晶体管尺寸、提高工作频率的手段提高处理器性能的方式已遇到瓶颈[1]。光具有高传播速度、高宽带、并行性等本征的特质，使得光非常适用于海量数据传输处理等领域，研究并开发以此为核心的新型信息处理技术已成为普遍共识。而随着光通讯正在朝着高速率大容量的方向发展，在SOI材料上制备光波导是技术发展的必然趋势。在此背景下，研究矩形光波导中的传播模式是尤为重要的[2]。 本课题中的矩形波导是指由半导体材料制成的，具有矩形的波导芯层以及包围着芯层但折射率更低的包层结构，可以使光限制在芯层内传播的器件。本课题主要分析矩形光波导中存在的传播模式以及各种模式的传播特性。在第二章中，首先对平板波导理论进行推导，分析了平板波导中单模和多模条件。第三章中运用第二章中的关于平板波导的相关知识，分别在马卡蒂里理论、库玛尔理论以及有效折射率法下对矩形波导进行计算。前两者给出了不同区域内的两种光场分布重点讨论在有效折射率法矩形波导中可以存在的模式同波导横向长度和材料的折射率之间的关系以及不同模式下的场分布，并结合MMI（多模干涉）耦合器对单模和多模的模场分布进行具体分析。为了验证理论的正确性，我们拟基于BPM 算法对上述各种情况进行模拟绘图。
射频与微波技术原理及应用培训教材 华东师范大学微波研究所 一、Maxwell(麦克斯韦)方程 Maxwell 方程是经典电磁理论的基本方程，是解决所有电磁问题的基础，它用数学形式概括了宏观电磁场的基本性质。其微分形式为 0 B E t D H J t D B ρ???=- ????=+??=?= (1.1) 对于各向同性介质，有 D E B H J E εμσ=== (1.2) 其中D 为电位移矢量、B 为磁感应强度、J 为电流密度矢量。 电磁场的问题就是通过边界条件求解Maxwell 方程，得到空间任何位置的电场、磁场分布。对于规则边界条件，Maxwell 方程有严格的解析解。但对于任意形状的边界条件，Maxwell 方程只有近似解，此时应采用数值分析方法求解，如矩量法、有限元法、时域有限差分法等等。目前对应这些数值方法，有很多商业的电磁场仿真软件，如Ansoft 公司的Ensemble 和HFSS 、Agilent 公司的Momentum 和ADS 、CST 公司的Microwave Studio 以及Remcom 公司的XFDTD 等。 由矢量亥姆霍兹方程联立Maxwell 方程就得到矢量波动方程。当0,0J ρ==时，有 222200E k E H k H ?+=?+= (1.3) 其中k 为传播波数，22k ωμε=。 二、传输线理论 传输线理论又称一维分布参数电路理论，是射频、微波电路设计和计算的理论基
础。传输线理论在电路理论与场的理论之间起着桥梁作用，在微波网络分析中也相当重要。 1、微波等效电路法 低频时是利用路的概念和方法，各点有确切的电压、电流概念，以及明确的电阻、电感、电容等，这是集总参数电路。在集总参数电路中，基本电路参数为L、C、R。由于频率低，波长长，电路尺寸与波长相比很小，电磁场随时间变化而不随长度变化，而且电感、电阻、线间电容和电导的作用都可忽略，因此整个电路的电能仅集中于电容中，磁能集中于电感线圈中，损耗集中于电阻中。 射频和微波频段是利用场的概念和方法，主要考虑场的空间分布，测量参数由电压U、电流I转化为频率f、功率P、驻波系数等，这是分布参数电路。在分布参数电路中，电磁场不仅随时间变化也随空间变化，相位有明显的滞后效应，线上每点电位都不同，处处有储能和损耗。 由于匀直无限长的传输系统在现实中是不存在的，因此工程上常用微波等效电路法。微波等效电路法的特点是：一定条件下“化场为路”。具体内容包括： (1)、将均匀导波系统等效为具有分布参数的均匀传输线； (2)、将不均匀性等效为集总参数微波网络； (3)、确定均匀导波系统与不均匀区的参考面。 2、传输线方程及其解 传输线方程是传输线理论的基本方程，是描述传输线上的电压、电流的变化规律及其相互关系的微分方程。电路理论和传输线之间的关键不同处在于电尺寸。集总参数电路和分布参数电路的分界线可认为是l/λ≥0.05。 以传输TEM模的均匀传输线作为模型，如图1所示。在线上任取线元dz来分析(dz<<λ)，其等效电路如图2所示。终端负载处为坐标起点，向波源方向为正方向。 图1. 均匀传输线模型图2、线元及其等效电路根据等效电路，有
微波技术基础考察小论文 请讨论矩形波导TE 10模的截止波长、相速、波导波长、波阻抗；其外形结构尺寸的确定遵循什么原则？ 一、理论依据 1） 通常将由金属材料制成的、矩形截面的、内充空气介质的规则金属波导称为矩形波导, 它是微波技术中最常用的传输系统之一 矩形波导TE 波的截止波数: 2 2 ?? ? ??+??? ??=b n a m K c ππ 它与波导尺寸、传输波型有关。m 和n 分别代表TE 波沿x 方向和y 方向分布的半波个数, 一组m 、n, 对应一种TE 波, 称作TE mn 模; 但m 和n 不能同时为零, 否则场分量全部为零。因此，矩形波导能够存在TE m0模和TE 0n 模及TE mn (m,n ≠0)模; 其中TE 10模是最低次模（主模）, 其余称为高次模。 2）单模传输 在传输过程中，如若我们需要传输TE 10模，我们需要抑制高次模的传输。因此工作波长应该满足： 10 20 TE TE λλλ<< 1001TE TE λλλ<< 二、问题解答 对于TE 10模即m = 1, n = 0 1）TE 10模的截止波数c K 为： a K c π= 2） 截止波长c λ： a a K c c 222=== πππλ 3）相速p v 表示波的等相位面沿波导的轴向（z ）传播的速度， 其值：
2 2 211?? ? ??-= ??? ? ??-= = a v v w v c p λλλβ 4）波导波长g λ表示波导内沿其轴向传播的电磁波，它的相邻的两个同相位点之间的距离， 其值： 2 1???? ??-= = c p g f v λλλ λ 将截止波长代入，则： 波导波长： 2 2 211?? ? ??-= ??? ? ??-= = a f v c p g λλ λλλ λ 5）在不计损耗的情况下，在行波状态下，电场的横向分量Et 和磁场的横向分量Ht 不仅构成了沿波导轴正Z 方向传播的波，而且对于同一波形而言，t E 和 t H 的比值在波导横截面内处处相等，它与坐标Z 无关，并具有阻抗的量纲。我们称这个比值为波型阻抗Zw 。 其值： 2 211?? ? ??-= == a w H E Z t t w λε μ β μ 6）外形结构尺寸的确定： 1.为使单模TE 10传输，而抑制TE 01和TE 20。我们需要其工作波长大于TE 01和TE 20的截止波长，小于TE 10的截止波长（如图1）。 而通过计算有：a TE 210=λ a TE =20λ b TE 201=λ 则： a a 2<<λ b 2>λ
微波技术实验 微波技术是从20世纪初开始发展起来的一门新兴科学技术，1940年前处于实验室研究阶段，1940~1945年处于实际应用阶段，1945年以后形成了一系列以微波为基础的新兴科学，如微波波谱学，射电天文学，射电气象学等；1965年以后，向固体化、小形化方向发展，并逐步得到了实际应用。特别在天体物理、射电天文、宇宙通讯等领域，具有别的方法和技术无法取代的特殊功能。 [实验目的] 1、学习用物理学的理论探究微波的特点及微波发射和传输的原理， 2、掌握观测速调管的工作特性，描绘工作特性曲线（振荡膜）和频率特性曲线； 3、观测波导管的工作状态，用直接法，等指示度法，功率衰减法测量大、中、小驻波比，测量波导波长g ，测频率f ，并计算光速C 和群速u ，相速g V ； 4、观测体效应管的振荡特性，I -V 曲线、P -V 曲线、f -V 曲线。 [实验原理] 一、微波基本知识 1、微波及其特点 微波是波长很短（频率很高）的电磁波。一般把波长1m ~0.1mm ，频率在300MHz ~3000GHz 范围内的电磁波称为微波。根据波长的差异还可以将微波分为分米波、厘米波、毫米波、亚毫米波。不同范围的电磁波既有其相同的特性，又有各自不同的特点，本实验所产生的微波频率在8600MHz ~9600MHz 范围内。微波具有以下特性： 1）似光性。由于微波波长短，其数量级可达到毫米（10-3m ），与光波的数量级（10-6 m ）可相比拟，因此微波具有光的传播特性，在一般物体面前呈直线传播状态。利用这个特点可制成方向性极强的天线、雷达等。 2）频率高，振荡周期短。微波的振荡周期10-9~10-13 s ，已经和电子管中电子的飞越时间（10-9 s ）可相比拟。作为一种高频率的电磁辐射，由于趋肤效应，辐射耗损相当严重。因此，一般的电子管、集中参数元件，一般的电流传输线已不能在微波器件中使用，而必须用分布参数元件，如波导管、谐振腔、测量线等来代替，其测量的量是驻波比、特性阻抗、频率等。 3）能穿透电离层。微波可以畅通无阻地穿过地球周围的电离层，是进行卫星通讯，宇航通讯和射电天文研究的有效手段。 4）量子特性。在微波波段，电磁波每个量子的能量范围约为10-6~10-3ev 。许多原子和分子发射和吸收的电磁波能量正好处于微波波段内，人们正是利用这一特点研究分子和原子结构，发展了微波波谱学、量子电子学等新兴学科，并研制了量子放大器、分子钟和原子钟。 2、常用的微波振荡器 2.1 反射式速调管振荡器 反射式速调管振荡器由反射速调管、稳压电源和高频结构三部分组成，核心部分是反射速调管。 反射速调管的结构如图1所示，它由阴极（灯丝）、反射极和栅极（谐振腔）三部分组成。灯丝（阴极）的作用是发射热电子；谐振腔相对阴极成正电位，用来加速电子，并激励微波振荡；反射极电压可在一定范围（0~-200V ）调节，反射极的作用是与谐振腔形成反射空间，使电子群聚并反射到谐振腔，提供微波功率。实验室所用的速调管型号通常有K-27，
矩形波导中电磁波的传播模式 ［摘要］人类进入21世纪的信息时代，电子与信息科学技术在飞速发展，要求人们制造各种高科技的仪器。在电磁学领域，能约束或引导电磁波能量定向传输的传输线或装置是导波系统。?矩形波导适用于频率较高的频段，但当频率足够高的时候，可以使多个波导模式同时工作，所以我们有必要对波导中的电磁波传播模式参数进行研究 关键词：矩形波导TM波TE波 矩形波导由良导体制作而成，一般为了提高导电性能和抗腐蚀性能，在波导内壁镀上一层高电导率的金或银，它是最常见的波导，许多波导元件都是由矩形波导构成的。为了简化分析，在讨论中我们 将波导的良导电体壁近似为理想导电壁。 由前面的讨论我们知道，矩形波导中不能 传输TEM 波，只能传输TE波和TM波。 设矩形波导宽为a,高为b, (a>b)沿Z轴 放置，如图(1)所示。下面分别求解矩形波 导中传输的TE波和TM波 仃M波 对于TM波，H z=O, E z可以表示为； E z(x, y,z) = E°(x, y)e*z(1) 式中E o(x,y)满足齐次亥姆霍兹方程，故有 ' 2E o(x,y) k C?°(x,y) = O ⑵ 采用分离变量法解此方程，在直角坐标系中，令 E°(x,y)=X(x)Y(y) ⑶
将(3)式代入(2)式中，并在等式两边同除以 X(χ)Y(y)得: XW Xiy) k 2 C x(χ) Y(y) 上式中第一项仅是X 的函数，第二项仅是Y 的函数，第三项是与X 、Y 无关的 常数，要使上式对任何 X 、Y 都成立，第一和第二项也应分别是常数，记为: X ''(X) k χJ X(X^ 0 ⑸ Y ''(y) k ：Y(y 「0 ⑹ 2 2 2 k c = kχ + ky ⑺ 常微分方程(5)和(6)的通解为 Y(X)=C i cos(k χX) C 2Sin(k χX) Y(y) =C 3C0s(k y y) C 4Sin(k y y) 将(8)式和(9)式代入(3)式，再代入(1)式，就得到 E z 的通解为 E z (x, y, z) - C 1 cos(k χX) C 2 sin( k χX) IC 3 cos( k y y) C 4 sin( k y y) ^jkZZ 由矩形波导理想导电壁的边界条件 E = 0，确定上式中的几个常数，在4个理想 导电壁上，E Z 是切向分量，因此有： (1) 在X "的波导壁上，由E Z (X =O,y,z)=0得C 1 =0 ； (2) 在Y=0的波导壁上，由E z (x,y =0,z) =0得C^0； (3) 在X = a 的波导壁上，要使E z (x = a, y, z) = 0有Sin(k x a) = 0，从而必须有 k χa =m 二，其中m =1.,2,3^为整数，由此得 (4) 在 X = b 的波导壁上，要使 E z (x,y =b, z) =0有，Sin(k y b) =0 从而必定有 k y b = n 二，其中n =1.,2,3…也为整数，由此得 x ''(χ) X(χ) -k 这样就得到两个常微分议程和 Y ''(y) _ Y (y) 3个常数所满足的方程: (8) (9) k χ m? (10)
微波的波长(或频率)范围 微波的主要特性 微波的发展和应用 微波的主要特性 渡越时间效应及传播延时效应 导波和导波系统 平行双线的辐射损耗将随着频率f的升高而急剧地升高 ——chap1 边界条件 光滑导体壁构成的导波系统中不可能存在慢波 横电磁波TEM只能存在于多导体导波系统中，如双线、同轴线等这类导波系统中 TE波和TM波可以独立存在于金属柱面波导、圆柱介质波导和无限宽的平板介质波导中 波(EH波或HE波)则存在于一般开波导和非均匀波导，这是由于单独的TE波或TM波不能满足复杂的边界条件，必须二者线性叠加方能有合适的解之故 TEM波只能存在于多导体构成的导波系统中 对于可传播TEM波的导波系统，为获取导波的传输特性，分析思路和具体方法是什么？ 导波的分类 TEM波的特性分析 TE波、TM波的特性分析 ——chap1 3 对于可传播TE或TM波的金属柱面波导，为获取导波的传输特性，分析思路和具体方法是什么？ 在无耗导波系统中，传播波的电能时均值与磁能时均值彼此相等 模式正交性 ——chap1 5 导波系统 导波系统基本功能 传输线的结构和特点其导波是TEM波或准TEM波 导波系统中电磁波在横方向上运动与在纵方向上的运动有何不同？导波的纵向传播特点与导波的横向分布有无关系？为什么？ 场沿z为指数规律分布，截止场的阻抗为纯虚数，TE场阻抗为是感抗，TM场的阻抗是容抗。同轴线 同轴线有两种类型硬同轴线软同轴线 一定尺寸的同轴线，在频率增高时除传播TEM波外还可以传播TE波和TM波，但它们均属于要避免的波型。 精确地绘制场结构图直接根据场分量和它们沿坐标的变化规律作图。 同轴线的磁场结构电流分布图 开槽 顺着电流线方向开一窄槽缝，电流不致遭受破坏，场分布也不致发生变化 若要耦合出电场，可用探针，让探针平行于电力线；若要耦合出磁场，则可用小环，让磁
仿真分析
矩形波导（无探针激励） 1.建立三维模型 坐标轴 外截面(单位mm) 内截面(单位mm) X 轴(a) 25.4 22.86 Y 轴(b) 12.7 10.16 Z 轴 50 2.设置材料：copper 3.设置激励：在Z=0和Z=50mm 的矩形面上设置波端口 一、设置频率：fmin 9GHz fmax 11GHz 中心频率10GHz 仿真结果与分析 理论计算： 工作波长：m m m GHz s m f c 3003.01010100.39 8==??== λ mm mm a cTE 3072.4586.222210 >=?==λ mm mm a cTE 3086.2220 <==λ mm mm b cTE 3032.2016.102201 <=?==λ 因此，可以判断在工作频率为10GHz 时，只能传输10TE 模。 10TE 模的相位常数m rad a 05.1582122 =?? ? ??-=λλ π β 波导波长mm m a g 75.3903975.02122 ==?? ? ??-= = λλ β π λ 10TE 模的相速s m a p 82 10975.321?=??? ??-== λυ β ωυ 10TE 模的波阻抗Ω=?? ? ??-= 58.49921120210a Z TE λπ
图1.1电场矢量分布图 图1.2电场幅度沿Y方向分布图 图1.3磁场矢量分布图 图1.4磁场幅度沿X方向分布图
图1.5磁场幅度沿Z方向分布图 S参数图1.6波导仿真 11 S参数图1.7波导仿真 12 图1.8回波损耗
矩形波导中电磁波截止波长的计算 周和伟 物理与电子信息工程学院 07物理学 07234030 [摘要]:本文从麦克斯韦方程组出发，从理论上推导了电磁场遵循的波动方程和时谐电磁波遵循的波动方程；根据边值关系从理论上求出了时谐电磁波在矩形波导中的解，并对矩形波导管中传播的电磁波波解进行了讨论；计算了不同尺寸的矩形波导管的截止波长，截止波长大多属于厘米量级，说明波导管只适用于传播微波。 [关键词]:矩形波导电磁波截止波长 1 绪言 波导是一种用来约束或引导电磁波传输的装置，矩形波导是指横截面是矩形的波导，一般是中空的金属管。也有其他形式的波导装置，如介质棒或由导电材料和介质材料组成的混合构件[1]。因此，在广义的定义下，波导不仅是指矩形中空金属管，同时也包括其他波导形式如矩形介质波导等，还包括双导线、同轴线、带状线、微带和镜像线、单根表面波传输线等。根据波导横截面的形状不同还有其他形状波导，如圆波导等。尽管已存在很多不同波导形式，且新的形式还不断出现，但直到目前，在实际应用中矩形波导是一种最主要的波导形式。由于无线信号传输媒介，具有传输频带宽、传输损耗小、可靠性高、抗干扰能力强等特点，因此波导技术在电子技术领域运用非常广泛，主要用于铁氧体结环形器，窄壁缝隙天线阵[2]，速调管矩形波导窗，高精度矩形弯铜波导管加工研究【3】等器件设备的制造生产，以及在地铁信号系统中的应用都很广泛。为了加深对波导传输特性的理解，本文从麦克斯韦方程组出发，推导了电磁场遵循的波动方程和时谐电磁波遵循的波动方程；根据边值关系从理论上求出了时谐电磁波在矩形波导中的解，并对矩形波导管中传播的电磁波波解进行了讨论；计算了不同尺寸的矩形波导管的截止波长，发现其截止波长都在厘米量级，说明波导管只适用于传播微波。 2 电磁波基本原理 2.1建立麦克斯韦方程组的历史背景 麦克斯韦首先从论述力线着手，初步建立起电与磁之间的基本关系。1855年，他发表了第一篇电磁学论文《论法拉第的力线》。在这篇论文中，用数学语言表述了法拉第
矩形波导模式和场结构分析 第一章 绪论 1.1选题背景及意义 矩形波导(circular waveguide)简称为矩波导，是截面形状为矩形的长方形的金属管。若将同轴线的内导线抽走，则在一定条件下，由外导体所包围的矩形空间也能传输电磁能量，这就是矩形波导。矩波导加工方便，具有损耗小和双极化特性，常用于要求双极化模的天线的馈线中，也广泛用作各种谐振腔、波长计，是一种较常用的规则金属波导。 矩波导有两类传输模式,即TM 模和TE 模。其中主要有三种常用模式，分别是主模TE 11模、矩对称TM 01模、低损耗的TE 01模。在不同工作模式下，截止波长、传输特性以及场分布不尽相同，同时，各种工作模式的用途也不相同。导模的场描述了电磁波在波导中的传输状态，可以通过电力线的疏密来表示场得强与弱。 本毕业课题是分析矩形波导中存在的模式、各种模式的场结构和传播特性，着重讨论11TE 、01TE 和01TM 三个常用模式，并利用MATLAB 和三维高频电磁仿真软件HFSS 可视化波导中11TE 、01TE 和01TM 三种模式电场和磁场波结构。 1.2国内外研究概况及发展趋势 由于电磁场是以场的形态存在的物质，具有独特的研究方法，采取重叠的研究方法是其重要的特点，即只有理论分析、测量、计算机模拟的结果相互佐证，才可以认为是获得了正确可信的结论。时域有限差分法就是实现直接对电磁工程问题进行计算机模拟的基本方法。在近年的研究电磁问题中，许多学者对时域脉冲源的传播和响应进行了大量的研究，主要是描述物体在瞬态电磁源作用下的理论。另外，对于物体的电特性，理论上具有几乎所有的频率成分，但实际上，只有有限的频带内的频率成分在区主要作用。 英国物理学家汤姆逊(电子的发现者) 在1893 年发表了一本论述麦克斯韦电磁理论的书,肯定了矩金属壁管子(即矩波导) 传输电磁波的可实现性, 预言波长可与矩柱直径相比拟, 这就是微波。他预言的矩波导传输, 直到1936 年才实现。汤姆逊成为历史上第一位预言波导的科学家。这证明科学预言可以大大早于技术的发展, 同时也表明了应用数学的威力。英国物理学家瑞利在1897 年发表了论文, 讨论矩形截面和矩形截面“空柱”中的电磁振动, 它们对应后来的矩形波导和矩波导, 并引进了