迭代法求解线性方程组

简单迭代法求解线性方程组1．原理：将原线性方程组Ax=b中系数矩阵的主对角线移到一边并将其系数化为一，然后在给定迭代初值的情况下通过迭代的方法求解线性方程组的值。

2．C语言实现方式：(1)计算迭代矩阵：将系数矩阵的所有值分别处以各自所在行的主对角线值，然后将主对角线赋值为0。

(2)输入迭代初值，进行迭代将迭代初值存入y[n]矩阵，然后利用迭代式nn=nn+x[i][j]*y[j];y[i]=nn+b[i];经过有限次迭代得到误差要求以内的值3．源程序如下：#include<iostream>#include<math.h>#include<iomanip>using namespace std;#define kk 50 //定义最大方程元数int n,i,c,j,hh,gg,mm;double A[kk][kk],x[kk][kk],b[kk],y[kk],a[kk],z[kk],m,nn,d,e=1,w,fff ;void main(){cout<<"输入的方程元数"<<endl; //数据的输入cin>>n;cout<<"请输入方程系数矩阵:"<<endl;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++)cin>>A[i][j];cout<<"请输入右边向量:"<<endl;for(i=0;i<n;i++)cin>>b[i];cout<<"输入你想要的迭代精度(建议1e-5以上)！"<<endl; cin>>fff;cout<<"输入最大迭代次数（建议300次以上）！"<<endl; cin>>mm;//计算出迭代矩阵for(i=0;i<n;i++){b[i]=b[i]/A[i][i];for(j=0;j<n;j++){if(i==j){x[i][i]=0;}else{x[i][j]=-A[i][j]/A[i][i];}}}//输出迭代矩阵cout<<"计算出迭代矩阵为："<<endl;for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++)cout<<x[i][j]<<" ";cout<<b[i]<<" ";cout<<endl;}//赋迭代初值cout<<"输入迭代初值"<<endl;for(i=0;i<n;i++)cin>>y[i];int f=1;//简单迭代法cout<<" ";for(i=1;i<n+1;i++)cout<<'\t'<<"X["<<i<<"]"<<" "<<'\t';cout<<"精度";cout<<endl;cout<<"迭代初值为： ";cout<<setiosflags(ios::fixed);for(i=0;i<n;i++)cout<<y[i]<<" ";cout<<endl;while(e>fff){for(i=0;i<n;i++){z[i]=y[i];nn=0;for(j=0;j<n;j++){nn=nn+x[i][j]*y[j];y[i]=nn+b[i];}e=fabs(z[0]-y[0]);if(fabs(z[i]-y[i])>e)e=fabs(z[i]-y[i]);if(i==0){cout<<setiosflags(ios::fixed);cout<<"第"<<setw(3)<<setprecision(3)<<f++<<"次迭代"<<" "; }cout<<setiosflags(ios::fixed);cout<<setw(8)<<setprecision(8)<<y[i]<<" ";}cout<<e;cout<<endl;if(f>mm){cout<<"迭代次数大于"<<mm<<"次"<<endl;cout<<"认为方程发散，迭代不收敛"<<endl;exit(1);}}cout<<endl;cout<<endl;cout<<"方程迭代了"<<f-1<<"次,达到你所要求的精度"<<fff<<endl;cout<<"最后结果为："<<endl;cout<<endl;for(i=0;i<n;i++){cout<<"X"<<"["<<i+1<<"]"<<"="<<y[i];cout<<endl;}exit(1);}4．实验数据和结果：按照提示依次输入方程元数，系数矩阵，右边向量和迭代初值。

计算方法3_线性方程组迭代解法线性方程组的迭代解法是解决线性方程组的一种常见方法，常用于大规模的线性方程组求解。

该方法通过不断迭代更新解的近似值，直到满足一定的收敛准则为止。

线性方程组的迭代解法有很多种，其中最经典的是雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和超松弛迭代法。

本文将分别介绍这三种迭代解法及其计算方法。

雅可比迭代法是一种比较简单的线性方程组迭代解法，它的基本思想是先将线性方程组转化为对角占优的形式，然后通过迭代求解逐渐接近精确解。

雅可比迭代法的迭代公式为：其中，x^(k+1)是第k+1次迭代的近似解，n是未知数的个数，a_ij 是系数矩阵A的元素，f_i是方程组的右端向量的元素。

雅可比迭代法的计算步骤如下：1.将线性方程组转化为对角占优的形式，即保证矩阵A的对角元素绝对值大于其它元素的绝对值。

2.初始化向量x^(0)，设定迭代终止准则。

3.根据雅可比迭代公式，计算x^(k+1)。

4.判断迭代终止准则是否满足，如果满足，则停止迭代，返回近似解x^(k+1)；否则，继续进行下一次迭代。

高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进方法，它的基本思想是在每次迭代计算x^(k+1)时，利用已经计算出的近似解作为x的一部分。

高斯-赛德尔迭代法的迭代公式为：其中，x^(k+1)_i是第k+1次迭代的近似解中第i个未知数的值，x^(k)_i是第k次迭代的近似解中第i个未知数的值。

高斯-赛德尔迭代法的计算步骤如下：1.将线性方程组转化为对角占优的形式。

2.初始化向量x^(0)，设定迭代终止准则。

3.根据高斯-赛德尔迭代公式，计算x^(k+1)。

4.判断迭代终止准则是否满足，如果满足，则停止迭代，返回近似解x^(k+1)；否则，继续进行下一次迭代。

超松弛迭代法是对高斯-赛德尔迭代法的一种改进方法，它引入了松弛因子ω，通过调整参数ω的值，可以加快迭代的收敛速度。

超松弛迭代法的迭代公式为：其中，0<ω<2，x^(k+1)_i是第k+1次迭代的近似解中第i个未知数的值，x^(k)_i是第k次迭代的近似解中第i个未知数的值。

线性方程组的迭代式求解方法迭代法解方程的基本原理1.概述把 Ax=b 改写成 x=Bx+f ，如果这一迭代格式收敛，对这个式子不断迭代计算就可以得到方程组的解。

道理很简单：对 x^{(k+1)}=bx^{(k)}+f 两边取极限，显然如果收敛，则最终得到的解满足 \lim_{k\rightarrow\infty } x^{(k)}=x^*=Bx^*+f ，从而必然满足原方程 Ax^*=b 。

迭代方法的本质在于这一次的输出可以当作下一次的输入，从而能够实现循环往复的求解，方法收敛时，计算次数越多越接近真实值。

2.收敛条件充要条件：迭代格式 x=Bx+f 收敛的充要条件是 \rho (B)<1充分条件： \Vert B\Vert <1即 \Vert B\Vert <1 \Rightarrow \rho(B)<1\Leftrightarrow 迭代收敛一、Jacobi迭代法怎样改写Ax=b ，从而进行迭代求解呢？一种最简单的迭代方法就是把第i行的 x_i 分离出来(假定 a_{ii} \ne 0 )：\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j=b_i\Rightarrow x_i=\frac{b_i-\sum_{j=1,j\ne i}^{n}a_{ij}x_j}{a_{ii}}\quad \\这就是Jacobi(雅可比)迭代法。

迭代格式给定x^{(0)}=\left[x_1^{(0)},x_2^{(0)},\cdots,x_n^{(0)}\rig ht]^T ，则Jacobi法的迭代格式（也称分量形式）为x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\left ( {b_i-\sum_{j=1,j\ne i}^{n}a_{ij}x_j^{(k)}}\right),\quadi=1,2,\cdots,n\\矩阵形式设 A=D-L-U。

Jacobi法的矩阵形式（也称向量形式）为x^{(k+1)}=B_Jx^{(k)}+D^{-1}b\\其中迭代矩阵 B_J=D^{-1}(L+U)收敛条件\begin{eqnarray} \left. \begin{array}{lll} \VertB_J\Vert <1 \\ A 严格对角占优\\ A, 2D-A对称正定\end{array} \right \} \end{eqnarray} \Rightarrow \rho (B_J)<1\Leftrightarrow 迭代收敛特别地，若 A 对称正定且为三对角，则 \rho^2(B_J)=\rho (B_G)<1 。

仿真平台与工具应用实践Jacobi迭代法求解线性方程组实验报告院系:专业班级:姓名:学号:指导老师:一、实验目的熟悉Jacobi迭代法原理；学习使用Jacobi迭代法求解线性方程组；编程实现该方法；二、实验内容应用Jacobi迭代法解如下线性方程组:, 要求计算精度为三、实验过程（1）、算法理论迭代格式的引出是依据迭代法的基本思想: 构造一个向量系列, 使其收敛至某个极限, 则就是要求的方程组的准确解。

Jacobi迭代将方程组:在假设, 改写成如果引用系数矩阵, 及向量, , ,方程组（1）和（2）分别可写为: 及, 这样就得到了迭代格式用迭代解方程组时, 就可任意取初值带入迭代可知式, 然后求。

但是, 比较大的时候, 写方程组和是很麻烦的, 如果直接由, 能直接得到, 就是矩阵与向量的运算了, 那么如何得到, 呢？实际上, 如果引进非奇异对角矩阵将分解成：要求的解, 实质上就有而是非奇异的, 所以存在, 从而有我们在这里不妨令就得到迭代格式：（2）算法框图（3）、算法程序m 文件:function x=jacobi(A,b,P,delta,n)N=length(b); %返回矩阵b的最大长度for k=1:nfor j=1:Nx(j)=(b(j)-A(j,[1:j-1,j+1:N])*P([1:j-1,j+1:N]))/A(j,j);enderr=abs(norm(x'-P)); %求（x'-P）模的绝对值P=x';if(err<delta) %判断是否符合精度要求break;endendE=eye(N,N); %产生N行N列矩阵D=diag(diag(A));f=A*inv(D); %f是A乘D的逆矩阵B=E-f;Px=x';k,errBMATLAB代码:>> clear allA=[4, -1, 1;4, -8, 1;-2, 1, 5];b=[7, -21, 15]';P=[0,0,0]';x=jacobi(A,b,P,1e-7,20)（4）、算法实现用迭代法求解方程组:正常计算结果是2, 3, 4 , 下面是程序输出结果：P =2.00004.00003.0000k =17err =9.3859e-008B =0 -0.1250 -0.2000-1.0000 0 -0.20000.5000 0.1250 0x =2.00004.00003.0000四、实验体会五、MATLAB是非常实用的软件, 能够避免大量计算, 简化我们的工作, 带来便捷。

高斯-赛德尔迭代法例题高斯-赛德尔迭代法是一种用于解线性方程组的迭代方法。

它通过不断更新变量的值来逼近方程组的解。

以下是一个使用高斯-赛德尔迭代法求解线性方程组的例题：考虑以下线性方程组：```2x + y + z = 9x + 3y + z = 10x + y + 4z = 16```我们可以将方程组表示为矩阵形式：```| 2 1 1 | | x | | 9 || 1 3 1 | x | y | = | 10 || 1 1 4 | | z | | 16 |```迭代的过程如下：1. 选择一个初始解向量，比如x=0, y=0, z=0。

2. 使用迭代公式进行更新：-更新x 的值：x_new = (9 - y - z) / 2-更新y 的值：y_new = (10 - x_new - z) / 3-更新z 的值：z_new = (16 - x_new - y_new) / 43. 重复步骤2，直到解向量的值收敛于方程组的解。

假设我们进行3次迭代，初始解向量为x=0, y=0, z=0。

则迭代的过程如下：1. 第一次迭代：-更新x 的值：x_new = (9 - 0 - 0) / 2 = 4.5-更新y 的值：y_new = (10 - 4.5 - 0) / 3 ≈1.83-更新z 的值：z_new = (16 - 4.5 - 1.83) / 4 ≈2.422. 第二次迭代：-更新x 的值：x_new = (9 - 1.83 - 2.42) / 2 ≈2.87-更新y 的值：y_new = (10 - 2.87 - 2.42) / 3 ≈1.9-更新z 的值：z_new = (16 - 2.87 - 1.9) / 4 ≈2.813. 第三次迭代：-更新x 的值：x_new = (9 - 1.9 - 2.81) / 2 ≈1.65-更新y 的值：y_new = (10 - 1.65 - 2.81) / 3 ≈1.85-更新z 的值：z_new = (16 - 1.65 - 1.85) / 4 ≈3.14经过3次迭代后，解向量的值接近于x ≈ 1.65, y ≈1.85, z ≈3.14，这就是方程组的近似解。

线性方程组迭代法
线性方程组迭代法，又称坐标下降法，是一种用于解线性方程组的迭代求解方法，常用于线性规划以及单纯形法等技术。

早在上世纪50年代，此方法就在解决
线性规划问题中得到了广泛应用，到目前为止，这种技术仍然广泛使用。

线性方程组迭代法是一种基于不断迭代调整变量，使目标函数达到最优结果的
迭代求解法。

其基本步骤是：
(1) 初始化目标函数变量：首先，初始化线性方程组的目标函数的变量；
(2) 评估梯度：选择合适的算法计算目标函数的梯度；
(3) 根据该梯度更新变量：更新目标函数变量的值，使得在此次更新之后的值
更加有利于满足线性方程组的要求；
(4) 重复上述步骤，直到目标函数足够接近最优值为止；
线性方程组迭代法能够快速地求解出线性规划问题的最优解，因此，它在计算
机上经常被用来优化问题，进而提高系统运行效率。

随着网络技术的发展，线性方程组迭代法在互联网领域得到了广泛应用，这在大大缩短了计算机程序的运行时间，提高了互联网的效率。

同时，线性方程组迭代法也有助于提高系统的性能，改善用户的体验，提升企业的品牌形象。

数值分析第六章线性方程组迭代解法线性方程组是数值分析中的重要内容之一，其求解方法有很多种。

其中一种常用的方法是迭代解法，即通过不断迭代逼近方程组的解。

本文将介绍线性方程组迭代解法的基本思想和常用方法。

线性方程组可以用矩阵形式表示为Ax=b，其中A是系数矩阵，b是常数向量，x是未知向量。

线性方程组的解可以是唯一解，也可以是无穷多个解。

迭代解法的基本思想是通过不断迭代，并利用迭代序列的极限，逼近线性方程组的解。

迭代解法适用于大型的线性方程组，而直接求解法则适用于小型的线性方程组。

常用的迭代解法有雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和逐次超松弛迭代法。

雅可比迭代法是最简单的线性方程组迭代解法之一、它的基本思想是将线性方程组的每个方程都单独表示为未知数x的显式函数，然后通过不断迭代求解。

雅可比迭代法的迭代公式为：x(k+1)=D^(-1)(b-(L+U)x(k))其中，D是A的对角元素构成的对角矩阵，L是A的下三角矩阵，U 是A的上三角矩阵，x(k)是第k次迭代的解。

高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进版。

它的基本思想是将每个方程的解带入到下一个方程中，而不是等到所有方程都迭代完毕后再计算下一组解。

高斯-赛德尔迭代法的迭代公式为：x(k+1)=(D-L)^(-1)(b-Ux(k))其中，D是A的对角矩阵，L是A的下三角矩阵（除去对角线），U是A的上三角矩阵（除去对角线），x(k)是第k次迭代的解。

逐次超松弛迭代法是对高斯-赛德尔迭代法的改进。

它引入了松弛因子w，通过调节松弛因子可以加快收敛速度。

逐次超松弛迭代法的迭代公式为：x(k+1)=(D-wL)^(-1)[(1-w)D+wU]x(k)+w(D-wL)^(-1)b其中，D是A的对角矩阵，L是A的下三角矩阵（除去对角线），U是A的上三角矩阵（除去对角线），w是松弛因子，x(k)是第k次迭代的解。

线性方程组迭代解法需要设置迭代停止准则，通常可以设置迭代次数上限或者设置一个精度要求。