量纲与谐原理
我们经常遇到许多物理量,如长度、时间、质量、力、速度、密度及动量等。它们的名称、记号与量纲如表所示。
表1 流体力学中常见物理量的量纲
速度表示单位时间内所经历的距离,它的单位就是[米/秒]。距离就是长度l ,它的量纲就是[L ],而时间t 的量纲就是[T ],故速度v 的量纲就是[1LT -]。
动量就是质量m 与速度v 之积。质量的量纲就是[M ],故动量的量纲就是[1MLT -]。 如果我们选定三个相对对立的,例如长度l 的量纲[L ]、时间t 的量纲[T ]、质量m 的量纲[M ]为基本量纲,那么其她物理量的量纲都可用这三个基本量纲来表示。如表5-1中所示,例如,加速度a 的量纲可表示为[2LT -],力F 的量纲可表示为[2LMT -]。当我们把一些物理量进行组合、分析或作比较时,用量纲表示就比较便利。
如果我们要写出一个流体微团的运动方程
F ma =∑v v
式子左边就是作用在微团的各力与,它可以包括:重力W v 、压力P v 、粘滞τv
、力弹性力E
v 等;右边就是微团的惯性力ma v
。于就是得到
+++W P E ma t =v v v v v
(5-1)
上式中的每项都就是力,所以各项的量纲都就是[2
LMT -]。又如,关于理想流体的伯努利方程
2
++=2v p z H g g
r 表示流管中三项能头之与保持常数,即等于总能头H 。每项的单位都就是米,故它们的量纲
都就是[L]。不仅如此,在力学上任何有物理意义的方程或关系式,每一项的量纲必定相同。这称为力学方程的量纲与谐性原理,又称为“量纲齐次性规律”。量纲与谐原理就是由傅里叶1822年提出来的,它就是量纲分析法中具有基本重要性的一个概念,也就是量纲分析法的理论基础,并可具体表达成:只有相同类型的物理量才能相加减,也就就是相同量纲的物理量才可以相加减或比较大小;不同类型的物理量相加减没有任何意义。例如,速度可以与速度相加减,但绝不可以加上粘性系数或压力。当然,相同量纲与不同单位的物理量之间就是可以相互加减与比较大小的,因为只要将其单位稍加换算即可完成。
一个量纲齐次性的方程,可以化为无量纲方程,只要用方程中的任意一项除其她各项。例如,在式(5-1)中,用惯性力项遍除其她各项,于就是各项都变成无量纲量,而各无量纲量之与
等于1,即
+++1W P E
ma ma ma ma
τ=v v v v v v v v 由以上讨论可见,运用量纲可以更明显地指出物理量的性质。
不同量纲的物理量不能相加减,但它们可以根据某种需要进行乘除,从而导出另一量纲的物理量。
量纲与谐原理可以用来检验新建方程或经验公式的正确性与完整性,也可以用来确定公式中物理量的未知指数,还可以用来建立有关方程式。对于量纲齐次的方程,只要用方程的任一项量纲去除其余各项,就可以使方程的每一项都变成无量纲量,方程变为无量纲方程。量纲分析就就是基于物理方程具有与谐原理,通过量纲分析与计算,将原来含有较多物理量的方程转化为含有比原物理量少的无量纲方程,使得为研究这些变量关系而进行的实验大大简化。
量纲分析法原理
在量纲与谐原理基础上发展起来的量纲分析法分为瑞利法与p 定理白金汉定理法。 为了简单地说明量纲分析法,我们先来讨论理论力学中熟悉的单摆周期,其关系式为
=2t π
(5-2) 假设,我们先前只见过单摆的物理现象,而还不知这个表明单摆周期的关系式时,可以根据与摆动有关的物理量,用量纲法进行如下探索。
现把有关物理量与它们的量纲列出如表所示。
表2 单摆摆动相关的物理量及其量纲
假设t 与其余变量之间的关系,可以写成下一函数形式,即
=t 常量l m g αβγ
⨯⋅⋅ (5-3) 其中的指数αβ、与γ,就是待定的未知数。式中的变量用它们的量纲代替后,得到量纲关系式
(
)
2
+2T=L M LT =L M T g
a b
a g
b g --鬃鬃
由于上式的左边可以写成001L M T ,故有
001+2L M T =L M T a g b g -鬃
但一个具有物理意义的关系式,其各项的基本量纲必然相同,或者说,就是满足量纲的齐次性条件的。于就是,上式两边的每个量纲的指数必然相同,即
L: +=0a g ,
M: 0β=, T : 21γ-=
解这些方程后得
1=2α
1=2
γ-
代入式(5-3),即得出
=t 常量12
12l
g -⨯⋅
或
常量 在解中没有说明这个无量纲常量之值,故还得由实验来决定。
在实验中,用摆长不同的摆,测量它们摆动的时间。我们发现,只要摆幅小,若测得摆动的时间各为123t t t 、、……,杆的长度各为123l l l 、、……,将得出不变的结果,即
t t t …=2π 以此代入上式得到
π (5-4) 可见,上式与按运动基本原理导出的式(5-2)完全一样。
求解上式的过程说明,量纲分析法就是个通过分析工程问题中各有关量的量纲,利用量纲齐次性条件,探索描述问题方程的有效方法。
