)(无限不循环小数负有理数 正有理数无理数?????????????????--???---)()32,21()32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数整数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、、ΛΛΛΛ?????????????实数第二章 实数 一、 平方根、立方根 1..算术平方根:一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,即x 2=a ,那么正数x 叫做a 的算术平方根,记作a 。0的算术平方根为0;从定义可知,只有当a ≥0时,a 才有算术平方根。 2.平方根:一般地,如果一个数x 的平方根等于a ,即x 2=a ,那么数x 就叫做a 的平方根。 正数有两个平方根(一正一负)它们互为相反数;0只有一个平方根,就是它本身;负数没有平方根。 3.正数的立方根是正数;0的立方根是0;负数的立方根是负数。 4. (1)())0,0(0,0>≥=≥≥=?b a b a b a b a ab b a (2)若b 3=a ,则b 叫做a 的立方根。 (3 (0)(0).a a a a a ≥?==?- 二、实数 1.实数的分类 (1)按实数的定义分类: 2、实数的运算 (1)有理数的运算定律在实数范围内都适用,其中常用的运算定律有加法交换律、乘法交换律、加法结合律、乘法分配律、乘法结合律。 (2)在实数范围内进行运算的顺序:先算乘方、开方,再算乘除,最后算加
减。运算中有括号的,先算括号内的,同一级运算从左到右依次进行。 3、实数的大小比较 常用方法:数轴表示法、作差法、平方法、估值法。 (1)在数轴上表示两个数的点,右边的点表示的数大,左边的点表示的数小。(2)正数大于零,负数小于零;两个正数,绝对值大的较大;两个负数,绝对值大的较小。(3)设a,b是任意两实数, 若a-b>0,则a>b; 若a-b=0,则a=b; 若a-b<0,则a实数典型例题(培优)
相交实数典型问题精析(培优) 例1.(2009 ) A . B C . D . 分析:本题考查实数的概念――相反数,要注意相反数与倒数的区 别,实数a 的相反数是-a ,选A.要谨防将相反数误认为倒数,错选D. 例2.(2009年江苏省中考题)下面是按一定规律排列的一列数: 第1个数:11122-??-+ ???;第2个数:2311(1)(1)1113234????---??-+++ ??? ???????; 第3个数:234511(1)(1)(1)(1)11111423456????????-----??-+++++ ??????? ???????????; ……第n 个数:232111(1)(1)(1)111112342n n n -??????----??-++++ ??? ? ?+????????. 那么,在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中,最大的数 是(A ) A .第10个数 B .第11个数 C .第12个数 D .第13个 数 解析:许多考生对本题不选或乱选,究其原因是被复杂的运算式子吓住 了,不善于从复杂的式子中寻找出规律,应用规律来作出正确的判断.也有一些考生尽管做对了,但是通过写出第10个数、第11个数、第12个数、第13个数的结果后比较而得出答案的,费时费力,影响了后面试题的解答,造成了隐性失分.本题貌似复杂,其实只要认真观察,就会发现,从第二个数开始,减数中的因数是成对增加的,且增加的每一对数都是互为倒数,所以这些数的减数 都是21,只要比较被减数即可,即比较141131121111、、、的大小,答案一目了然. 例3(荆门市)定义a ※b =a2-b ,则(1※2)※3=___. 解 因为a ※b =a2-b ,所以(1※2)※3=(12-2)※3=(-1)※3=(-
实数典型问题精析(培优) 例1.(2009的相反数是( ) A . B C .2 - D . 2 分析:本题考查实数的概念――相反数,要注意相反数与倒数的区别,实数a 的相反数是-a ,选A.要谨防将相反数误认为倒数,错选D. 例2.(2009年江苏省中考题)下面是按一定规律排列的一列数: 第1个数:11122-??-+ ???;第2个数:2311(1)(1)1113234????---??-++ + ??? ??????? ; 第3个数:234511(1)(1)(1)(1)11111423456???????? -----??-++ +++ ??????? ??????????? ; ……第n 个数:23 2111(1)(1)(1)111112342n n n -???? ?? ----??-++++ ??? ? ?+?????? ?? . 那么,在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中,最大的数是(A ) A .第10个数 B .第11个数 C .第12个数 D .第13个数 解析:许多考生对本题不选或乱选,究其原因是被复杂的运算式子吓住了,不善于从复杂的式子中寻找出规律,应用规律来作出正确的判断.也有一些考生尽管做对了,但是通过写出第10个数、第11个数、第12个数、第13个数的结果后比较而得出答案的,费时费力,影响了后面试题的解答,造成了隐性失分.本题貌似复杂,其实只要认真观察,就会发现,从第二个数开始,减数中的因数是成对增加的,且增加的每一对数都是互为倒数,所以这些数的减数都是 21,只要比较被减数即可,即比较14 1 131121111、、、的大小,答案一目了然. 例3(荆门市)定义a ※b =a 2 -b ,则(1※2)※3=___. 解 因为a ※b =a 2 -b ,所以(1※2)※3=(12 -2)※3=(-1)※3=(-1)2 -3=-2.故应填上-2. 说明:求解新定义的运算时一定要弄清楚定义的含义,注意新定义的运算符号与有理数运算符号之间的关系,及时地将新定义的运算符号转化成有理数的运算符号. 例4(河北省)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、…,这样的数称为“三角形数”,而把1、4、9、16、…,这样的数称为“正方形数”.从如图所示中可以发现,任何一个大于
经典例题类型一.有关概念的识别 1.下面几个数:0.23,1.010010001…,,3π,,,其中,无理数的个数有() A、1 B、2 C、3 D、4 解析:本题主要考察对无理数概念的理解和应用,其中,1.010010001…,3π,是无理数故选C 举一反三: 【变式1】下列说法中正确的是() A、的平方根是±3 B、1的立方根是±1 C、=±1 D、是5的平方根的相反数 【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念, ∵=9,9的平方根是±3,∴A正确. ∵1的立方根是1,=1,是5的平方根,∴B、C、D都不正确. 【变式2】如图,以数轴的单位长线段为边做一个正方形,以数轴的原点为圆心,正方形对角线长为半径画弧,交数轴正半轴于点A,则点A表示的数是() A、1 B、1.4 C、 D、 【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系.∵正方形的边长为1,对角线为,由圆的定义知|AO|=,∴A表示数为,故选C. 【变式3】 【答案】∵π= 3.1415…,∴9<3π<10 因此3π-9>0,3π-10<0 ∴ 类型二.计算类型题 2.设,则下列结论正确的是()
A. B. C. D. 解析:(估算)因为,所以选B 举一反三: 【变式1】1)1.25的算术平方根是__________;平方根是__________.2)-27立方根是__________. 3)___________,___________,___________. 【答案】1);.2)-3. 3),, 【变式2】求下列各式中的 (1)(2)(3) 【答案】(1)(2)x=4或x=-2(3)x=-4 类型三.数形结合 3. 点A在数轴上表示的数为,点B在数轴上表示的数为,则A,B两点的距离为______ 解析:在数轴上找到A、B两点, 举一反三: 【变式1】如图,数轴上表示1,的对应点分别为A,B,点B关于点A的对称点为C,则点C表示的数是(). A.-1 B.1- C.2- D.-2 【答案】选C [变式2]已知实数、、在数轴上的位置如图所示: 化简
第十三章实数----知识点总结 一、算术平方根 1. 算术平方根的定义:一般地,如果的等于a,即,那么这个正数x叫 做a的算术平方根.a的算术平方根记为,读作“根号a”,a叫做. 规定:0的算术平方根是0. ≥0) 理解:≥ a是x的平方 x的平方是a x是a的算术平方根 a的算术平方根是x a 当a 3. 当被开方数扩大(或缩小)时,它的算术平方根也扩大(或缩小); 4. 夹值法及估计一个(无理)数的大小(方法:) 二、平方根 1. 平方根的定义:如果的平方等于a,那么这个数x就叫做a的.即:如果, 那么x叫做a的. 理解:— a是x的平方 x的平方是a x是a的平方根 a的平方根是x 2.开平方的定义:求一个数的的运算,叫做.开平方运算的被开方数必须是才 有意义。 3. 平方与开平方:的平方等于9,9 4. 一个正数有平方根,即正数进行开平方运算有两个结果; 一个负数平方根,即负数不能进行开平方运算 5. 符号:正数a a的算术平方根; 正数a的负的平方根可用 6. 平方根和算术平方根两者既有区别又有联系: 区别在于正数的平方根有两个,而它的算术平方根只有一个; 联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根,而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。 三、立方根 1. 立方根的定义:如果的等于的(也叫
做 ),即如果 2. , 叫被开方数,3叫根指数,不能省略,若省略表示平方。 理解: — a 是x 的立方 x 的立方是a x 是a 的立方根 a 的立方根是x 3. 一个正数有一个正的立方根;0有一个立方根,是它本身; 一个负数有一个负的立方根;任何数都有唯一的立方根。 4. 利用开立方和立方互为逆运算关系,求一个数的立方根,就可以利用这种互逆关系,检验其正确性,求负数的立方根,可以先求出这个负数的绝对值的立方根,再取其相反数,即 四、实数 1. 有理数的定义:任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 2. 无理数的定义:无限不循环小数叫无理数 3. 实数的定义:有理数和无理数统称为实数 4. 负无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分,实数也可以这样分类: 5. 实数与数轴上点的关系: 每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来, 数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数, 实数与数轴上的点就是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都是表示一个实数。 与有理数一样,对于数轴上的任意两个点,右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大 6. 7. 实数的绝对值:一个正实数的绝对值是本身;
第二章实数综合练习题 、实数的概念及分类 1、实数的分类 「正有理数r 「有理数3 零卜整数、有限小数和无限循环小数实数' L负有理数」 「正无理数r L无理数Y 卜无限不循环小数 L负无理数」 2、无理数:无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类: (1)开方开不尽的数,如J7,扼等; (2)有特定意义的数,如圆周率兀,或化简后含有兀的数,如兰+8等; 3 (3)有特定结构的数,如0.1010010001…等; 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果&与4互为相反数, 则有a+b=0, a=—b,反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离,叫做该数的绝对值。(lalNO)。零的绝对值是它本身,也可看成它的相反数,若lal=a,则Q0;若lal=-a,则龙0。 3、倒数 如果a与b互为倒数,则有ab=l,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可)。 解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一?对应的,并能灵活运用。 5、估算 三、平方根、算数平方根和立方根 1、算术平方根:一?般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算木平方根。特别地,。的算术平方根是0。 表示方法:记作“西”,读作根号a。 性质:正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。 2、平方根:一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根(或二次方根)。 表示方法:正数a的平方根记做“土石”,读作“正、负根号a”。 性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
实数知识点总结 考点一、实数的概念及分类 (3分) 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 整数包括正整数、零、负整数。 正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数 在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一点,归纳起来有四类: (1)开方开不尽的数,如32,7等; (2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如3 π+8 等; (3)有特定结构的数,如0.1010010001…等; (4)某些三角函数,如sin60o 等(这类在初三会出现) 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a 与b 互为相反数,则有a+b=0,a=-b ,反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离,|a|≥0。零的绝对值是它本身,若|a|=a ,则a ≥0;若|a|=-a ,则a ≤0。正数大于零,负数 小于零,正数大于一切负数,两个负数,绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 如果一个数的平方等于a ,那么这个数就叫做a 的平方根(或二次方跟)。 一个数有两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“a ±”。 2、算术平方根 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根,记作“a ”。 正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。 a (a ≥0) 0≥a ==a a 2 -a (a <0) ;注意a 的双重非负性: a ≥0 3、立方根 如果一个数的立方等于a ,那么这个数就叫做a 的立方根(或a 的三次方根)。 一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。 注意:33a a -=-,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 考点四、科学记数法和近似数 1、有效数字 一个近似数四舍五入到哪一位,就说它精确到哪一位,这时,从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字,都叫做这个
实数习题集 【知识要点】 1.实数分类: 2.相反数:b a ,互为相反数 0=+b a 4.倒数:b a ,互为倒数 0;1=ab 没有倒数. 5.平方根,立方根:==x ,a x a x 记作的平方根叫做数则数若,2±a . 若a x ,a x a x 33,==记作的立方根叫做数则数 6.数轴的概念与画法.实数与数轴上的点一一对应;利用数形结合的思想及数轴比较实数大小的方法. 【课前热身】 1、36的平方根是 ;16的算术平方根是 ; 2、8的立方根是 ;327-= ; 3、37-的相反数是 ;绝对值等于3的数是 4 、的倒数的平方是 ,2的立方根的倒数的立方是 。 5 、2的绝对值是 ,11的绝对值是 。 6、9的平方根的绝对值的相反数是 。 7 +的相反数是 ,-的相反数的绝对值是 。 8 - -+的相反数之和的倒数的平方为 。 【典型例题】 例1、把下列各数分别填入相应的集合里: 2 ,3.0,10,1010010001.0,125,722,0,1223π---?- 有理数集合:{ }; 无理数集合:{ }; 负实数集合:{ }; 例2、比较数的大小 (1) 2332与 (2)6756--与 实数 有理数 无理数 整数(包括正整数,零,负整数) 分数(包括正分数,负整数) 正无理数 负无理数 )0(>a 3. 绝对值: =a a 0 a - )0(=a )0( 精品文库 例3.化简: (1)233221-+-+- (2 例4.已知b a ,是实数,且有0)2(132=+++-b a ,求b a ,的值. 例5 若|2x+1|与x y 481 +互为相反数,则-xy 的平方根的值是多少? 总结:若几个非负数的和为零,则每个非负数都为零,这个性质在代数式求值中经常被使用. 例6.已知b a ,为有理数,且3)323(2b a +=-,求b a +的平方根 第六章《实数》知识点总结及典型例题练习题 一、平方根 1. 平方根的含义 如果一个数的平方等于a ,那么这个数就叫做a 的平方根。 即a x =2 ,x 叫做a 的平方根。 2.平方根的性质与表示 ⑴表示:正数a 的平方根用a ± 表示,a 叫做正平方根,也称为算术平方 根,a -叫做a 的负平方根。 ⑵一个正数有两个平方根:a ± (根指数2省略) 0有一个平方根,为0,记作00= ,负数没有平方根 ⑶平方与开平方互为逆运算 开平方:求一个数a 的平方根的运算。 a a =2 ==? ??-a a 00<≥a a ()a a =2 (0≥a ) ⑷a 的双重非负性:0≥a 且0≥a (应用较广) 例:y x x =-+-44 得知0,4==y x ⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位,它的正的平方根的小数点就相应地 向右或向左移动一位。 区分:4的平方根为____ 4的平方根为____ ____4=4开平方 后,得____ 3.计算a 的方法????? ? ? ??精确到某位小数 =非完全平方类 =完全平方类 773294 *若0>>b a ,则b a > 二、立方根和开立方 1.立方根的定义 如果一个数的立方等于a ,呢么这个数叫做a 的立方根,记作3a 2. 立方根的性质 任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。0的立方根是0. 3. 开立方与立方 开立方:求一个数的立方根的运算。 ()a a =3 3 a a =3 3 33a a -=- (a 取任何数) 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 *0的平方根和立方根都是0本身。 三、推广: n 次方根 1. 如果一个数的n 次方(n 是大于1的整数)等于a ,这个数就叫做a 的n 次方根。 当n 为奇数时,这个数叫做a 的奇次方根。 当n 为偶数时,这个数叫做a 的偶次方根。 2. 正数的偶次方根有两个。 n a ± 0的偶次方根为0。00=n 负数没有偶次方根。 正数的奇次方根为正。0的奇次方根为0。负数的奇次方根为负。 中考典型例题精析二 考点一 实数的大小比较 例 1 (2015·潍坊)在|-2|, 20 ,2-1,2这四个数中,最大的数是( ) A .|-2| B .20 C .2-1 D. 2 考点二 实数非负性的应用 例 2 (2015·绵阳)若a +b +5+||2a -b +1=0,则(b -a)2 015= ( ) A .-1 B .1 C .52 015 D .-5 2 015 考点三 实数的混合运算 例 3 (2015·安顺)计算:? ?? ??-12-2 -(3.14-π)0+|1-2|-2sin 45°. 基础巩固训练: 1.在13,0,-1,2这四个实数中,最大的数是( ) A. 13 B .0 C .-1 D. 2 2.计算:3-2×(-1)=( ) A .5 B .1 C .-1 D .6 3.下面计算错误的是( ) A .(-2 015)0 =1 B.3 -9=-3 C. ? ?? ??12-1 =2 D .(32)2=81 4.若(a -2)2+||b +3=0,则(a +b)2 016的值是( ) A .1 B .-1 C .2 016 D .-2 016 5.若a =20 ,b =(-3)2 ,c =3 -9,d =? ?? ??12-1 ,则a ,b ,c ,d 按由小到大的顺序排 列正确的是( )A .c <a <d <b B .b <d <a <c C .a <c <d <b D .b <c <a <d 6.计算: 3-4 -? ?? ??12-2 = . 7.实数m ,n 在数轴上的位置如图所示,则 |n -m|= . 8.计算:3 -27-(-3)÷ ? ?? ?? -13×3= . 9.计算:(1)(1-2)0 +(-1) 2 016 -3tan 30°+? ?? ??13-2 ; (2) (-1) 2 016 +(1-π)0 ×3 -27-? ?? ??17-1 +|-2|. 考点训练 一、选择题 1.(2015·山西)计算-3+(-1)的结果是( ) A .2 B .-2 C .4 D .-4 2.杨梅开始采摘了!每筐杨梅以5千克为基准,超过的千克数记为正数,不足的千克数记为负数,记录如图.则这4筐杨梅的总质量是( ) A .19.7千克 B .19.9千克 C .20.1千克 D .20.3千克 3.在实数-1,0,1 2,-3,2 0160中,最小的数是( ) A .-3 B .-1 C. 1 2 D .0 4.(2015·衡阳)计算()-10+||-2的结果是( ) A .- 3 B .1 C .-1 D .3 5.(2015·北海)计算2-1+12的结果是( ) A .0 B .1 C .2 D .212 6.下列计算错误的是( ) A .4÷(-2)=-2 B .4-5=-1 C .(-2)-2=4 D .2 0140=1 7.(2015·常州)已知a =22,b =33,c =55,则下列大小关系正确的是( ) A .a >b >c B .c >b >a C .b >a >c D .a >c >b 8.(2015·六盘水)下列运算结果正确的是( )A .-87×(-83)=7 221 B .-2.68-7.42=-10 C .3.77-7.11=-4.66 D.-101102<-102103 9.计算9-2 0160 ×? ?? ??12-1 的结果为( )A .4 B .1 C. 12 D .0 新浙教版七年级上册数学第三章《实数》知识点及典型例题实数知识点、典型例题及练习题单元复习
中考典型例题精析 实数的运算及大小比较
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