用分离变量法解三维坐标中的拉普拉斯方程

带入方程得到一个简单的二阶常微分方程:
解这个常微分方程得到其通解为： ，
进而得到方程(1)的通解为：
1.求解方程(2)
继续进行变量分离: ,将形式解 带入方程(2)整理，分离并令其中常数为 得到:
及
对该式中关于 的方程，由 的几何意义，其有自然边界条件 ，所以求解 的方程:
求解该方程得到: 。
将 代入 式中的第二个式子，得到关于 的微分方程，作变量代换 得到 阶连带勒让德方程: ，其 的特例叫勒让德方程。
由于单值性要求 ， 只能取整数， 。
所以
【参考文献】
[1]梁昆淼.数学物理方法.高等教育出版社.
[2]同济大学数学系.高等数学.高等教育出版社.
[3]华南理工大数学系.线性代数与解析几何.高等教育出版社.
用分离变量法解三维坐标中的拉普拉斯方程
郝晨阳
（晋中学院信息技术与工程学院）
由于在解决静电场问题时常常会用到拉普拉斯方程，同时有很多物理问题也用到它，因此对它的求解非常重要。
直角坐标系中
直角坐标系中拉普拉斯方程:
变量分离：
设
拉普拉斯方程变为：
上式成立的唯一条件是三项中每一项都为常数，故可分解为下列三个方程
下面对 阶勒让德方程考虑:
求解关于 的二阶常微分方程:
在 的邻域上求解上述方程，采用常点邻域上级数法求解。
令该方程在 的邻域上的级数解为:
将其代入到方程式中，得到 的递推关系: 从而得到 阶勒让德方程的解: 其中 为:
上述中在 是某个奇数 时 止到 ，从而 退化为多项式，在 是某个偶数 时 止到 ，从而 退化为多项式。
其中 且 、 和 为常数，但不能全为实数或全为虚数。
以常微分方程 为例，其解的形式为:
若 为零，则
若 为实数，则
若 为虚数， ，则 或
同理可解出 和
因此拉普拉斯方程在直角坐标系中的解为：
球坐标系中
球坐标系中拉普拉斯方程:
令方程具有分离变量的解：
则得到两个微分方程： (1)
(2)
1.求解方程(1)
进行变量代换，令 ，则
对以上两种退化多项式的可能性，取适当 使每种情况下的最高次幂 的系数为:
从而得到 阶勒让德方程的特解 阶勒让德多项式:
下面对 阶连带勒让德方程考虑:
为方便求解先作函数变换:ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
阶连带勒让德方程化为 的微分方程:
把勒让德方程 求 次导整理得到:
从而看出，勒让德方程的 的 次导数是上述方程的解，从而可得出连带勒让德方程的解:
故拉普拉斯方程的一般解为:
根据 和 的不同而不同，但它们都是拉普拉斯方程的解，则它们的线性叠加也是。
所以拉普拉斯方程在球坐标系中的通解为:
式中:
其中
柱坐标系中
柱坐标系中拉普拉斯方程为:
由于柱坐标系中较为难解，故只讨论 为常数的情况，即 。
分离变量:
令 ，则得到下列常微分方程:
解上述方程得:
有两个线性无关的解 。