4．solow 模型
4.1框架与假定
经济增长率：国民收入Y 的增长率
离散时间下：
绝对增长率：1--=∆t t Y Y Y 相对增长率：1
11----=∆t t t t Y Y Y Y Y 连续下Y 的增长率为：
变量对时间的导数为该变量的变化率Y
；变量的增长率为其自然对数的变化率
两变量积的增长率为各自增长率的和；两变量商的增长率为各自增长率的差
dt dlny
dt dlnx
dt )
lny lnx (d dt dlnxy +=+=
生产函数：Y t =F (K t ,A t L t )
Y t ：在时点t 的产出
K t ：在时点t 的资本存量
L t ：在时点t 的劳动力存量
A t ：在时点t 的知识或劳动有效性或技术存量
知识存量以劳动力强化型进入生产函数,索罗中性。
人均产出：Y/L=A （Y/AL ）=Af(k)
假设 f(0)=0,0)k ("f ,0)k ('f <>
)AL /K (ALf )AL ,K (F =
)k ('f )AL 1
)(AL K
('ALf K )
AL /K (ALf (K )
AL ,K (F ==∂∂=∂∂∴
所以，假设含义是：资本的边际产出〉0，但随着资本的增加而下降。
Inada 条件：0)('f ,)0('f ,0)0(f (.)f =∞∞==严格凹，
Cobb-Douglas PF ：αα-=1)AL (K )AL ,K (F
规模报酬不变。αk )k (f = 研究其性质。。。。。。
进一步研究：)t (d )
t (dlnL )t (L )t (L n == ，
积分得：nt )]0(lnL [)t (lnL +=
nt )]0(ln [)t (ln +=。
取指数得：
nt e )0(L )t (L =
nt e )0(A )t (A = 经济含义：劳动和技术进步都以指数形式增长。
4.2索罗模型的动态学
单位有效劳动拥有的资本存量的变化：
三种情况：
为常数
递增
即k递减
平衡增长路径：动态模型的变量常常趋向某些长期值，我们称这些值为“稳定状态”；经济倾向于回复到变量保持固定增长率的路径，称为“平衡增长路径”,k=k*,0
k 。
资本和产量的增长速度=技术进步率+人口增长率；
人均资本的增长率和人均产量增长率=技术进步率。
solow 模型的含义：不管出发点是什么，经济向一平衡增长路径收敛，在平衡增长路径上，该模型中的每个变量的增长率都等于常数（外生变量）。
4.3储蓄率的变化对产出的影响
平衡增长路径：
储蓄率S永久性增加
1、对产量的影响
s增加，k*逐步增加，直到k*新。如图4-3的C图。人均产量Y/L=Af(k).当k*旧不变时，Y/L以g的速度增长。若k递增，Y/L同时由于A和k的增长而
增长，增长速度>g 。在k *
新时，增长速度又回到g.。所以，储蓄率的一个永
久增长产生了人均产量增长率的暂时性增长，在达到新的稳态时，人均收入的增长率又回到g ，当然，这时人均收入水平增加了。因此，储蓄率的增加只有水平效应没有增长效应。如图4-3D 。
2、 对消费的影响
C=(1-s)f(k),s 增加，消费减少，随后随k 的增加而增加。至于是否会恢复到原来的水平，进一步分析：
在平衡增长路径上：C *= f(k *)-sf(k *)=f(k *
)-(n+g+δ)k *.
因而，s 的增加在长期内是增加还是减少c 取决于)g n ()k ('f δ++-的符号。 s
),g ,n ,s (k )]g n (),g ,n ,s (k ('f [s c ***∂∂++-=∂∂δδδ
图1。6
图c为黄金增长率。
1.5问题讨论：
1，储蓄率的变化对平衡增长路径上的产量水平有何影响？
2，储蓄率的变化对平衡增长路径上的产量水平发挥影响的速度怎样？
3，为什么索罗模型中实物资本的变动不能解释世界经济增长？
4，为什么索罗模型中实物资本的变动不能解释国家间的收入差距？
5，索罗模型中如何测算知识对经济增长的贡献？
6，德朗对鲍莫尔的批评是什么？
索洛模型和增长理论的关键问题
一个合理的假设是资本自由流动，那么各个国家稳态时的人均资本存量应该相等，（因而人均产出水平各国相同），因而，（储蓄率）人均资本存量既
不能很好的解释世界经济增长，也不能很好的解释国家间的收入差别。这就是solow模型的核心结论。
拉姆齐模型放松了储蓄内生化
4.4经验应用
一、增长因素分析
增长因素的分解见书p52。计量。
二、趋同
