信号分析与处理_杨西侠_课后答案二三五章

cos t =
1 ( e j t + e - jt ) 2
0
F[
x (t) e ± jΩ 0 t ] = X(Ω ∓ Ω )
1 [ X(Ω–1) + X(Ω+1)] 2
Ω0 = 1
F [x(t) · cos t] =
2-11 已知升余弦脉冲 x(t) =
E πt ( 1 + cos ) (−τ < t < τ ) 求其傅里叶变换 2 2
(5)
∫ (e
−∞
+∞
+t
)
δ(t+2) dt = e2-2
3
(6)
∫−∞ (t + sin t )
+∞
π δ(t6
) dt =
π 6
+
1 2
(7)
∫
+∞
−∞
e− jΩt [δ (t ) − δ (t − t0 )]dt
+∞ −∞
=
∫
+∞
−∞
e− jΩtδ (t )dt – ∫ e− jΩtδ (t − t0 )dt
2
3
4
（5）x (-t)
x (-t)
1
t
-3 -2 -1 0 1 2
（6）x (-t-2)
2
1
x (-t-2) t
1ຫໍສະໝຸດ Baidu
-
-
-
-
-
0
（7）x ( -t/2-2 )
1
x ( -t/2-2 ) t
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
（8）dx/dt
1
dx/dt t
-2
-1
0
1
2
3
-δ (t-2)
2-3 应用脉冲函数的抽样特性，求下列表达式的函数值
(2) x(t)是偶函数，只含有奇次谐波分量 f(t) = f(-t), f(t) = -f(t±T/2)
f(t) t
-T/2 -T/4 0 T/4 T/2 3T/4 T
(3) x(t)是偶函数，含有偶次和奇次谐波分量
5
f(t) = f(-t)
f(t)
t
-T/2 -T/4 0 T/4 T/2 3T/4 T
+∞
1 2
= cos[Ω(t+1)+
π 4
]u(t+1) – cos[Ω(t-1)+
π 4
]u(t-1)
(3) x1(t) = u(t) – u(t -1) , x2(t) = u(t) – u(t-2)
x1(t)* x2(t) =
∫
+∞
−∞
[u(τ ) − u(τ − 2)][u(t −τ ) − u(t −τ +1)]dτ
12
∴ X(Ω) =
π2 E 2 sin 2Ω τ π2 Ω( 2 − Ω2 ) τ
2-12 已知一信号如图 2-81 所示，求其傅里叶变换
x(t)
t
-τ/2 0 τ/2
解：(1) 由卷积定理求 x(t) =
Gτ (t )
2
*
Gτ (t )
2
Gτ (t )
2
=
2E τ τ [u (t + ) − u(t − )] τ 4 4 2E τ Ωτ Sa( ) τ 2 4
(4) x(t)是奇函数，只含有奇次谐波分量 f(t) = -f(-t), f(t) = -f(t±T/2)
f(t) t
-T/2 -T/4 0 T/4 T/2 3T/4 T
(5) x(t)是奇函数，只含有偶次谐波分量 f(t) = -f(-t), f(t) = f(t±T/2)
f(t)
t
-T/2 -T/4 0 T/4 T/2 3T/4 T
1 0 -
x4
t
t
2-2 已知波形图如图 2-76 所示，试画出经下列各种运算后的波形图
1
x(t)
1 2 3
-1
0
t
图 2-76
（1）x ( t-2 ) 1
1
x t
-
0
1
2
3
4
（2）x ( t+2 )
x
1
t
0 1
（3）x (2t)
1
x(2t) t
-1
0
1
2
3
（4）x ( t/2 )
1
x t
-
-
0
1
1 2
(a1-jb1)| =
3 2
, |x2| =
1 2
c2 =
5 2
0 3 5 φ2 = arctan (0
φ1 = arctan (-
) = 0, φ-1= 0
)=-
π 2
,
φ-2=
π 2
|xn|
3
2
1
nΩ 1
-2Ω1
-Ω1
0
Ω1
2 Ω1
π/2
nΩ 1
-2Ω1
-Ω1
0
Ω1
2 Ω1
-π/2
9
2-8 求图 2-8 所示对称周期矩形信号的傅里叶级数
除去直流分量后是奇函数，又 f(t) = f(t±T/2)，是偶谐波函数，所以含有直流、偶次正弦谐波。 (d)
x (t) t
-T -T/2 0 T/2 T
正负半波对称，偶函数，奇谐波函数，所以只含有基波、奇次余弦分量。 (e)
x (t) t
-T/2 0 T/2 T
奇函数、正负半波对称，所以只含有正弦分量（基、谐） (f)
Gτ (Ω)
2
=
由时域卷积定理
X(Ω) =
Gτ (Ω) Gτ (Ω)
2 2
=
Eτ 2 Ωτ Sa ( ) 2 4
(2) 由微分特性求
2E τ
，–
τ <t<0 2
，0 < t <
x′(t )
=
–
2E τ
τ 2
0
，| t | >
τ 2
13
x′′(t )
由微分特性
=
2E τ
[δ( t +
τ τ ) +δ( t– )–2δ(t)] 2 2
E/2
x (t) t
-T -T/2
0
T/2
T
-E/2
解：这是一个正负半波对称的奇函数，奇谐函数，所以只含有基波和奇次正弦谐波。
bn =
2 T 2 T
∫ ∫
T
0
x ( t ) sin n Ω t dt E sin n Ω t dt 2
–
=
T 2 0 T 2 0
2 T
∫
T T 2
E sin n Ω t dt 2
8
x(t)
t
-T -T/2 0 T/2 T
正负半波对称、奇函数、奇谐波函数，所以只含有基波和奇次正弦谐波。
2-7 试画出 x(t) = 3cosΩ1t + 5sin2Ω1t 的复数谱图（幅度谱和相位谱） 解：a0 = 0, a1 = 3, b2 = 5, c1 = 3, c2 = 5 |x1| = |
-j Ω 1 Ω 2 X ( ) e F [x( 2t - 5)] = 2 2 5
11
(2) 由时移特性和尺度变换特性
F [x(at)] =
1 Ω X ( ) |a| a
F [x(t-t0)] = F [x(1–t)] =
X (Ω ) e -jΩt 0 X (-Ω ) e -jΩ
(3) 由欧拉公式和频移特性
当 t <0 时，x1(t)* x2(t) = 0
当 0<t <1 时，x1(t)* x2(t) =
∫ ∫
t
0 2
dτ dτ
=t
当 1<t <2 时，x1(t)* x2(t) =
1 1
=1
当 2<t<3 时，x1(t)* x2(t) = 当 3<t 时，x1(t)* x2(t) = 0
∫
t −2
dτ
=
∫
t
0
e − aτ d τ
=
1 (1 − e −at ) a
(2) x1(t) =δ(t+1) -δ(t-1) , x2(t) = cos(Ωt +
π 4
) · u(t)
π [cos( Ω t + )u(τ )][δ (t − τ + 1) − δ (t − τ − 1)]dτ x (t)* x (t) = ∫ −∞ 4
= 1- cos(t-1)
2-5 已知周期函数 x(t) 前 1/4 周期的波形如图 2-77 所示，根据下列各种情况的要求画出 x(t) 在一个周期 ( 0<t<T )的波形 (1) x(t)是偶函数，只含有偶次谐波分量 f(t) = f(-t), f(t) = f(t±T/2)
f(t) t
-T/2 -T/4 0 T/4 T/2 3T/4 T
=
−
E (cos nπ - 1) = nπ
0 ，n 为偶数，n = 2，4，6 ……
∴ x(t) =
2E 1 1 [ sin Ωt + sin 3Ωt + sin 5Ωt + ⋅ ⋅ ⋅ ] π 3 5
0 , n = 0, ±2, ±4 ……
指数形式的傅里叶级数
Xn=
1 2
(an-jbn) =
−
jE nπ
Eπ 3 x′′′(t ) = 3 sin πt [ u(t + τ ) - u(t - τ )] 2τ τ
=
π2 x′(t) 2 τ
+
Eπ 2 [ δ (t + τ ) - δ (t - τ )] 2τ 2
由微分特性可得：
( jΩ)3 X(Ω) =
E jτΩ π2 − jτΩ [-(jΩ ) X( Ω ) + (e − e )] 2 2 τ
T ) ]dt 2
T
=
E T
∫
[ sin n Ω t - sin n Ω (t T
=
=
E E T − cos nΩt |02 + cos [nΩ(t − )] |02 2 nπ 2nπ 2 E E − (cos nπ - 1) + cos (1 - cos nπ ) 2 nπ 2nπ
2E nπ
，n 为奇数，n = 1，3，5 ……
2-1 画出下列各时间函数的波形图，注意它们的区别 1）x1(t) = sin Ω t·u(t)
1 0 -
x π
2 3 4
t
2）x2(t) = sin[ Ω ( t – t0 ) ]·u(t)
1 0 -
x2 t
t
3）x3(t) = sin Ω t·u ( t – t0 )
x3
1
t
0
t
4）x2(t) = sin[ Ω ( t – t0 ) ]·u ( t – t0 )
(6) x(t)是奇函数，含有偶次和奇次谐波分量 f(t) = -f(-t)
6
f(t)
t
-T/2 -T/4 0 T/4 T/2 3T/4 T
f(t) t
-T/2 -T/4 0 T/4 T/2 3T/4 T
2-6 利用信号 x(t)的对称性，定性判断图 2-78 所示各周期信号的傅里叶级数中所含有的频率分量 (a)
T
=
0
=
1 T
− 4E nπ (1 − cos ) , n = 1, 2, … 2 2 (nπ )
∴ x(t) =
3E 4
–
4E 1 1 [ cos Ω t + cos2 Ω t + cos 3Ω t + ...] 4 9 π2
2-10 若已知 F[x(t)] = X(Ω)利用傅里叶变换的性质确定下列信号的傅里叶变换 (1) x(2t–5) (2) x(1–t) (3) x(t) · cos t 解：(1) 由时移特性和尺度变换特性可得
=3-t
4
x1(t)* x2(t)
1
t
0 1 2 3
(4) x1(t) = u(t -1) , x2(t) = sin t · u(t)
x1(t)* x2(t) =
∫
+∞
−∞
sin(τ ) u(τ ) u(t − τ − 1)dτ
=
∫ sinτ u(t-τ -1)dτ = ∫
0
∞
t -1
0
t -1 sinτ dτ = - cosτ |0
ao =
1 T
∫
T 4 0
4E t dt T
=
E 8
+
1 T
∫
3T 4 T 4
E dt
+
1 T
∫
T
3T 4
4E(1 -
t ) dt T
=
=
E E 2E 9 2 2 + + E – 2 (T − T ) 8 2 16 T 6 E 3E 3E = – 4 4 4
an =
2 T 1 T
=
∫ ∫
T
0
x(t) cos n Ω t dt x(t) (e jn Ω t + e - jn Ω t ) dt
(1)
∫ ∫ ∫ ∫
+∞
−∞ +∞
x(t − t0 ) δ(t) dt = x(-t )
0
(2)
−∞ +∞
x(t0 − t ) δ(t) dt = x(t )
0
(3)
−∞
δ (t − t0 ) δ (t0 − t )
−t
t0 u(t 2
t0 ) dt = u( 2
)
+∞
(4)
−∞
u(t – 2t0) dt = u(-t0)
, n = ±1, ±3, ±5 ……
10
∞
∴ x(t) = a0 +
∑ (X
n=0
n
e jnΩt + X n e − jnΩt )
2-9 求图 2-9 所示周期信号的傅里叶级数
E
x (t) t
-T/2
0
T/4
T/2
3T/4
T
解：此函数是一个偶函数 x(t) = x(-t) ∴ 其傅里叶级数含有直流分量和余弦分量
解：x(t) = 求微分
E πt ( 1 + cos ) [ u( t +τ)–u( t–τ)] 2 2
x′(t ) x′′(t )
=
−
Eπ πt sin [ u(t + τ ) - u(t - τ )] 2τ τ
=
Eπ 2 πt − 2 cos [ u(t + τ ) - u(t - τ )] 2τ τ Eπ 2 [ δ (t + τ ) - δ (t - τ )] + 2τ 2
x(t)
t
-2T -T 0 T 2T
这是一个非奇、非偶、非奇偶谐波函数，且正负半波不对称，所以含有直流、正弦等所有谐波分量， 因为去除直流后为奇函数。 (b)
x (t) t
-T 0 T
7
这是一个奇函数。也是一个奇谐波函数，所以只含有基波、奇次正弦谐波分量。 (c)
x(t)
t
-T -T/2 0 T/2 T
= 1 – cosΩt0 + jsinΩt0
= 1-
e − jΩt0
2-4 求下列各函数 x1(t)与 x2(t) 之卷积，x1(t)* x2(t) (1) x1(t) = u(t), x2(t) = e-at · u(t) ( a>0 )
x1(t)* x2(t) =
∫
+∞
−∞
u(τ )e −aτ u(t −τ )dτ