时域、S域、Z域转换

对于时域到 z 域的转换可以根据各次时间量的时间次序进行转 换。如，对于系统 y (t ) Ay (t 1) By (t 2) Cx (t ) Dx (t 1) ，则可以将 其转换为 G( z )
Y ( z) C Dz 1 。 X ( z ) 1 Az 1 Bz 2
何两个频率不同的正弦波都是正交的。如果将两个正弦波相乘并在整个时间轴上求积分，则积分值为零。这说明可以将不同的频率分量
相互分离开
。
3 z 域 z 域是对离散时间系统的描述，其来源于连续系统的拉氏变换，z 变换时对采样函数拉氏变换的变形。对连续时间系统进行采样，并对 采样信号进行处理的空间域就称为 z 域。 4 域间转换 4.1 时域到 s 域

结合 z 域的含义，定义 E ( z ) e(nT ) z n ，然后结合等比级数求
n0
和的方法进行整合。 4.3 s 域与 z 域
z 域可来自于时域，也可来自于 s 域。 设连续函数 e(t ) 是可拉氏变换的，且在 t 0 时，存在 e(t ) 0 ，则 拉氏变换式可以写为 E ( s) e(t )e st dt 。 对于采样信号 e (t ) ，存在 e (t ) e(nT ) (t nT ) 。对此采样信号
n 0


其展开各相中均含有 e sT ，令 z e sT ，即 s ln z ，则可得：
E ( z ) E ( s) |
1 s ln z T
1 T
e(nT ) z n 。
n 0

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附录： 1 z 域、s 域分析 令 e(t ) 1(t ) ，则存在 E ( z ) 1 z 1 z 2 z 3 z n ，对 E ( z ) 进 行求和，则得 E ( z )
自动控制中，基于时间考虑，控制系统包括时间连续和时间离散 两种，对于连续时间控制系统，一般会考虑将其转换为 s 域进行分析 处理；对于离散时间控制系统，则一般考虑将其转换到 z 域进行分析 处理。在这几种空间域中，存在相互转换的关系。下面分别进行分析 描述： 1 时域 时域是对控制系统最直观的描述，不管是连续还是离散控制系 统，其结构都可以用时间来进行描述。 2 s 域 s 域又称为频域，其对控制系统的分析是纯数学分析，而时域则 是对控制系统和控制过程的直观描述。 一般将正弦波视为频域中唯一 存在的波形（因为时域中的任何波形都可以用正弦波进行合成）注：任
对于时域到 s 域的转换可以跟踪积分、 微分关系进行转换。 如， 对于系统 f (t ) A
d 2i di B C idt ，可根据积分、微分的对应，直接 2 dt dt
将其转换为 F ( s) As 2 Bs
C 。对于系统的积分，一般都是考虑将 s
积分转换为微分进行处理的。 结合拉普拉斯变换 F ( s) 0 f (t )e st dt ， 可以对时域到 S 域进行转 换，另外，令 s j ，则可以对 S 域进行频域分析。 4.2 时域到 z 域
n0

。 进行拉氏变换，则可得： E ( s ) e(nT ) (t nT )e st dt
n0



结合 (t nT ) f (t )dt f (nT ) ，可以知道： E ( s) e(nT )e nsT
1 ，则当 z 1 1 ，此无穷级数收敛。 1 1 z
因为 z 1 e sT e T 1, Re( s ) ， 所以在级数收敛时， 存在条件
0 。
2 z 变化表