第三章 功和能
3-1 汽车在平直路面上行驶，若车与地面间的摩擦力恒定，而空气阻力与速度的平方成正比．设对于一辆质量为1500kg 的汽车总的阻力（其中F 以N 为单位，v 以m/s 为单位），求当车速为60 km/h ，加速度为1.0m/s 281300v .+=F 2时，汽车引擎所损耗的瞬时功率．
分析 作用力的瞬时功率等于该力与物体获得的速度的乘积．
解 当汽车的加速度为a 时，引擎牵引力为F 1，应用牛顿第二定律，运动方程为
ma F F =?1
则
2181300v .++=?=ma F ma F 根据瞬时功率的定义，汽车引擎所损耗的瞬时功率为
W 103.83 W 3600
100060])3600100060(8.13000.11500[ )8.1300(4221×=××××++×=++==v
v v ma F P 3-2 如习题1-7所述，若海岸高h = 10 m ，而猛烈的大风使船受到与绳的牵引方向相反的恒定的作用力F = 5000 N ，如图3-2所示．当岸上的水手将缆绳由50 m 收到30 m 后，求缆绳中张力的改变量，以及在此过程中水手所作的功．
分析 水手拉缆绳的过程中，是通过缆绳将力作用在船上实现船体运动作的功．由于缆绳中的张力是变力，直接计算它的功比较困难．根据动能定理，合外力的功等于物体动能的增量，船在此过程中开始前和结束后都保持静止，船只在水平方向发生位移，水平方向只受缆绳张力水平分量和恒定阻力F 作用，则水手通过缆绳张力所作的功的量值
应等于恒力F 所作的负功．
图3-2 解 缆绳长度由l 1=50 m 收到l 2=30 m 的过程中，位移为s ，水手作的功为
J
101.035J ) 10301050(5000 )
(52222222221×=???×=???==h l h l F Fs W 设此过程中开始前缆绳张力为F T1、结束后为F T2，它们的水平方向分量都应与恒力F 等大而反向，因此有
F l h l F =?1221T1
F l h l F =?2222T2
则
N 200N 10505010
30305000 222222112222T1T2=???????????×=???
????????=?h l l h l l F F F 3-3 质点沿x 轴运动，由x 1 = 0处移动到x 2 = 4 m 的过程中，受到力)1(0
0?=x x F F 的作用，其中x 0 = 2 m ，F 0 = 8 N ，作出F －x 曲线，求在此期间力F 对质点所作的功．
图3-3
分析 当质点沿x 轴作直线运动时，如果外力是质点位置坐标x 的函数)(x F F =，根据
功的定义，质点从位置x 1运动到x 2的过程中，
该力所作的功为，即为F －x 图像中x ∫=2
1d x x x x F W )(1到x 2区间曲线与x 轴线包围面积的代数和．
)(x F 解 根据题意，F －x 曲线如图3-3所示．按照功的定义，有
0J 42248 2d 1d 220
220002121
=?××=?=?==∫∫)(
)()()(x x x F x x x F x x F W x x x x 由图3-3可见，x 1到x 2区间曲线与x 轴线包围面积的代数和为零，与上面的计算结果一致．
)(x F 3-4 在x 轴线上运动的物体速度为v = 4 t 2 + 6（其中v 以m/s 为单位，t 以s 为单位），作用力（其中F 以N 为单位，t 以s 为单位）沿x 轴方向．试求在t 3?=t F 1 = 1 s 至t 2 = 5 s 期间，力F 对物体所作的功．
分析 当质点沿x 轴作直线运动时，如果外力是时间t 的函数，根据功的定义，无法直接积分计算，通常可利用微分关系式)(t F F =∫=2
1d )(x x x t F W t t t
x x d d d d d v ==
，将积分变量转换为时间t 进行计算．积分变量代换后，积分的上下限也要作相应的代换．
解 根据功的定义 []J
1281834d )186124( d )64)(3(d )(d )(21212
12121234232=?+?=?+?=+?===∫∫∫∫t t t t t t t t x x t t t t t t t t t t t t t F x t F W v
3-5 在光滑的水平桌面上固定有如图3-5(a)所示的半圆形屏障，质量为m 的滑块以初速v 0沿屏障一端的切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为μ，（1）证明当滑块从屏障另一端滑出时，摩擦力对它所作的功为
)(1e 2
120?=?μπv m W ；（2）说明上述结果为什么与圆弧半径无关． 分析 当外力无法表示成位移的函数时，功就不能直接由定义式积分进行计算．当无势能变化时，如果能确定物体初末状态的速度，可以应用动能定理，求出物体动能的增量就等于合外力对物体所作的功．
证 （1）首先应计算出滑块从屏障另一端滑出时的速度．设滑块在屏障中位于如图3-5(b)所示的位置，在竖直方向无运动，在水平面内受到屏障
压力F N 和摩擦力F f 作用，此时速度为v ，设屏障半径为R ，应用牛顿第二定律所得运动方程为
（a ） （b ）
图3-5
法向： R v 2m F =N 切向： t
m F d d f v =? 由于F f ＝μF N ，得 R
t 2
d d v v μ?= 利用关系式θ
θθd d d d d d d d v v v v R t t ==，上式可写为 v v μθ
?=d d (1) 由初末条件：当0=θ时，；当0v v =πθ=时，v v =，将上式分离变量并积分：
∫∫?=πθμ0d d 0v
v v v (2)
得滑块从屏障另一端滑出时的速度为 μπ?=e 0v v (3)
则摩擦力在此期间所作的功为
)(1e 2
12121220202?=?=?μπv v v m m m W （2）由（1）和（2）式可以看出，当滑块发生角位移θd 时，速度的变化只与角位移θd 有关，与半径无关，因此（3）式给出的末速度也只与半圆的张角有关，这就导致最终结果与圆弧半径无关了．
3-6 一个质点在指向中心的平方反比力的作用下，作半径为r 的圆
2r k F /=
周运动，求质点运动的速率和总机械能．（提示：选取距力心无穷远点的势能为零．）
分析 与物体间距离平方成反比的力是自然界中普遍存在的一种力，例如万有引力和电荷间的库仑力．如果该力指向中心，计算势能时，从空间任意一点到势能零点（无穷远点）积分的路径方向与力的作用方向相反，积分表达式的矢量乘积变为标量乘积后要取负号．
解 质点只在指向中心的力的作用下作圆周运动，当速率为v 时，法向加速度为，则质点的法向运动方程为
2r k F /=r /2v r
m r k 2
2v = 得 mr
k =v
选取距力心无穷远为势能零点，则势能为
r
k r r k E r r ?=?=?=∫∫∞∞d d 2p r F 总机械能为
r k r k r k r k m E E E 22212p k ?=?=?=+=v 3-7 在力)(j i F y x k +=的作用下，质点在xy 平面内运动，(1)分别计算质点由原点O 经路径OBA 和路径OA 移动到达A 点该力所作的功，其中AB 是以O 为圆心R 为半径的一段圆弧，如图3-7（a ）所示；(2)计算沿任意路径由位置P (x 1 , y 1)到Q (x 2 , y 2)该力所作的功，并由此证明该力是保守力．
分析 要证明某力是保守力，可以用定义：当力对物体所作的功只与物体的初末位置有关，而与物体运动路径无关，则该力为保守力．或者应用等价的定义：当物体沿闭合路径运动一周，力所作的功为零，则该力为保守力．
解 （1）根据功的定义，经路径OBA 该力所作的功为
O B x x
（a ） （b ）
图3-7
∫∫∫?+?=?=BA
OB OBA W s F s F s F d d d 1 由于力r j i F k y x k =+=)(，即沿原点指向质点所在位置的方向，所以有．从图3-7（a ）可以看出，在路径OB 上，力的方向与位移方向相
r F s F d d ?=?
同；在路径BA 上，力的方向与位移方向垂直，x kx d d =?r F 0d d =?=?r F s F ，因此可得
2012
1d d d d kR x kx x kx W R OB BA OB ===?+?=∫∫∫∫s F s F 同理，经路径OA 该力所作的功为
2012
1d d d d kR r kr k W R OA OA OA ==?=?=?=∫∫∫∫r r r F s F （2）P 点的径矢大小为r 1，Q 点的径矢大小为r 2，则，
．取任意路径L 如图3-7（b ）所示，则
212121y x r +=222222y x r +=)]()[()(2122212221222
121 d d d 2
1y y x x k r r k r kr W r r L L ?+?=?==?=?=∫∫∫r F s F 结果表明，沿任意路径力F 所作的功与路径无关，只与P 点和Q 点的位置有关，表明力F 为保守力．
3-8 沿x 轴运动的某粒子的势能是其位置x 的函数
x B x A x U ?=2)( 据此所作的势能曲线如图3-8所示．(1)试求粒子势能最小值所对应的运动的平衡
位置；(2)当粒子的总能量A
B E 82?=时，粒子将被约束在一定范围内振动，求粒子往返运动的转折位置．
分析 n m x
B x A x U ?=)(是粒子物理、固体物理和材料科学中描述粒子间相互作用经常出现的势能函数，对它的研究和讨论有十分重要的实际意义．这里仅就最简单的情况，即进行分析，获得粒子运动状态的初步印象．
12==n m ,当粒子的能量比较小时，将在平衡位置附近作简谐振动，因此平衡位置和往返运动的转折位置就有重要意义．
解 （1）由0d d =x x U )(可得势能函数最小值的位置，即
图3-8 2d d 23+?=x B x A x x U )(0= 解得 B A x 2= （2）在往返运动的转折点处，粒子的速度为零，即动能为零，总能量应等于粒子的势能，即
A
B x B x A x U 822?=?=)( 可得
088222=+?A ABx x B
解得 B A x 1711.= B
A x 8362.= 3-9 马拉雪橇上坡，从坡底到坡顶是一段半径为R 弧长为6π的圆弧形山
坡．假设马的拉力始终沿圆弧的切线方向，雪橇的质量为m ，雪橇与雪地间的滑动摩擦系数为μ，求在这段路程中马所作的功．
分析 在物体运动过程中，有摩擦力等非保守力
存在时，应用功能原理计算外力的功比较便捷，外力
和非保守内力的功等于物体系机械能的增量．
解 以雪橇与地球组成的系统为研究对象，雪橇
受力情况如图3-9所示，如果始末时刻雪橇为静止状
态，在上坡过程中，马的拉力的功和摩擦阻力的负功
之和等于雪橇重力势能的增量． 由于此过程雪橇高度的增加为)cos 6(1π
?R ，因此重力势能的增量为)cos (6
1π
?mgR ．当雪橇所在位置的法线方向与竖直方向夹角为θ时，摩擦力θμμcos mg F F ==N f ，位移θd d R s =，应用功能原理，马的拉力的功等于摩擦阻力的功与雪橇重力势能的增量之和，即
N F f R
图3-9 )6cos 6sin 1( )6cos 1(d cos d 06ππμπ
θθμπ?+=?+?=?=∫∫mgR mgR mgR W s F
3-10 用的初速度将一质量为m/s 200=v kg 50.=m 的物体竖直上抛，所达到的高度是，求空气对它的平均阻力．
m 16=h 分析 物体所受到的空气阻力是外力，重力是物体和地球组成的系统的内力，根据功能原理，空气阻力所作的功应等于系统机械能的增量．应在选取了势能零点后，确定系统的初末状态的机械能，计算出系统机械能的增量．
解 取物体抛出点为重力势能零点，则物体初始机械能为2012
1v m E =，达最高点时机械能为，设空气对它的平均阻力为F ，应用功能原理得
mgh E =2202
1v m mgh Fh ?=? 则 N 1.35N 8916
2205022
20=?××=?=).(.)(g h m F v 3-11 质量分别为m 1、m 2的二物体与劲度系数为k 的弹簧连接成如图3-11（a ）所示的系统，物体m 1放置在光滑桌面上，忽略绳与滑轮的质量及摩擦．当物体达到平衡后，将m 2往下拉h 距离后放手，求物体m 1、m 2运动的最大速率．
分析 应用机械能守恒定律解力学问题时，系统的选取十分重要．选定系统后，要区分内力和外力、保守力和非保守力以及作功的力和不作功的力．仅当外
力和非保守内力所作的功均为零时，才能应用机械能守恒定律．本题中m 1、
m 2二物体连接在一起，位移大小、速率和加速度的大小都相同．忽略绳与滑轮的质量及摩擦的情况下，张力F T 和F’T 为一对内力，大小相等，方向分别与物体运动方向相同和相反，因此系统运动过程中二力的功之和为零．
解 以弹簧与二物体组成的弹性系统以及物体与地球组成的重力系统为研究对象，二物体受力情况如图3-11（b ）所示．在系统运动过程中，因张力F T 和F’T 所作功之和为零，只有作用在m 2上的重力及作用在m 1上的弹簧弹性力作功，系统机械能守恒．
T ’T
m 2 m 2g x
（a ） （b ）
图3-11 取竖直向下为x 轴正向，系统平衡时m 2的位置为坐标原点，设此时弹簧的伸
长量为l 0，
根据胡克定律，弹簧的弹性力大小为0kl F =．由于系统处于平衡状态，应有，，且因0T 2=′?F g m 0T =?F F T T F F =′，则
002=?kl g m (1)
取m 2的平衡位置为重力势能零点，初始时，m 2向下位移h ，重力势能为
，弹簧伸长量为，弹性势能为gh m 2?)(h l +0202
1)(h l k +，则系统机械能为 gh m h l k E 22012
1?+=)( (2) 当m 2处于x 位置时，设速率为v ，则系统总动能为2212
1v )(m m +，重力势能为，弹簧伸长量为，弹性势能为gx m 2?)(x l +0202
1)(x l k +，则系统机械能为 2212202
121v )()(m m gx m x l k E ++?+= (3) 应用机械能守恒定律，，由（1）、（2）和（3）式得
1E E =)(222
12x h m m k ?+=v 显然时有最大值 0=x 212
max m m kh +=
v 3-12 用弹簧将质量分别为m 1和m 2的两块木板连接起来，必须加多大的力F
压到上面的板m 1上，以便当突然撤去F 时，上面的板跳起来能使下面的板也刚好被提离地面．
分析 对于弹簧连接的两块木板组成的系统，初始时有外力作用，运动过程中m 2还受到地面的压力，弹簧的弹性力是变力，两块木板之间有相对运动，应用牛顿定律解这样的问题显得相当复杂．考虑到撤去外力F 后，作用于系统的力除作为保守力的重力和弹簧的弹性力外，只有地面的压力．根据题意，下面的板刚好被提离地面，表明其处于与地面接触的临界状态，实际并没有离开地面，也就是说没有发生位移，那么地面的压力就没有作功．于是，撤去外力F 后，只有重力和弹簧的弹性力作功，系统机械能守恒．
解 以如图3-12（a ）所示的弹簧连接的两块木板组成的弹性系统、以及和地球组成的重力系统为研究对象，两块木板的始末状态和受力情况分别如图3-12（b ）和（c ）所示．
1
（a ） （b ） （c ）
图3-12
初刻，弹簧压缩形变量为x 1，弹性势能为212
1kx ，设此时系统重力势能为零，系统机械能为
2112
1kx E = 下面的板刚好被提离地面时，弹簧伸长形变量为x 2，弹性势能为222
1kx ，重力势能为，系统机械能为
)(211x x g m +2221122
1kx x x g m E +
+=)( 机械能守恒，21E E =，得 22211212
121kx x x g m kx ++=)( 即 )()(21122212
1x x g m x x k +=? 两边同除以，得 21x x +g m x x k 1212
1=?)( (1) 初始时，由图3-12（b ）可见，m 1处于平衡状态，因11kx F =，则有
011=?+kx g m F (2)
m 2刚好被提离地面时，由图3-12（c ）可见，地面压力为零，m 2处于平衡状态，因，则有
222kx F F =′=022=?kx g m (3)
(2)式减去(3)式得 )(2112x x k g m g m F ?+?=
将(1)式代入上式，得
g m m F )(21+=
3-13 质量m 的小球从光滑的轨道下滑，然后进入半径为R 的圆形轨道，开始下滑时，小球的高度R H 2=，如图3-13（a ）所示．求：（1）小球在什么位置
脱离圆轨道；（2）小球脱离圆轨道之后，能达到的最大高度；
（3）经过高度为R 的A 点时，小球对轨道的压力．
分析 当物体在光滑表面上运动时，支承面对物体的压力不作功，系统机械能守恒．在曲线形轨道上运动时，轨道的压力和重力的法向分量使物体产生法向加速度．物体脱离轨道的瞬间，轨道的压力为零，只有重力的法向分量使物体产生法向加速度．
A
（a ） （b ）
图3-13
解 （1）小球在轨道上某点C 受力情况如图3-13（b ）所示，此时速度为，则法向运动方程为
C v R m mg F 2
N C
v =+θsin (1)
如果就在C 点脱离圆轨道，0N =F ，由上式得
θsin gR =2C v (2)
小球运动过程中轨道压力方向始终与运动方向垂直，不作功，只有重力作功，机械能守恒．取轨道最低点为重力势能零点，初始时小球势能为，到达C
点时高度为R mg 2)sin (θ+=1R h ，势能为mgh ，动能为2C 2
1v m ，由机械能守恒定律得 2C 2
12v m mgh mgR += (3)
由(2)和(3)式，且)sin (θ+=1R h ，解得
R h 3
5=
(4) （2）小球离开轨道后作抛体运动，水平方向速度不变，等于C 点速度的水
平分量θsin C v ．最高点高度为，重力势能为，动能为max h max mgh θ22C 2
1sin v m ，应用机械能守恒定律，得
θ22C max 2
12sin v m mgh mgR += (5) 由(2)、(3)、(4)和(5)式，解得
R R h 85127
50max .== （3）位于A 点时，0=θ，由(1)式得 R
m F 2A N v = 应用机械能守恒定律，得
2A 2
12v m mgR mgR += 从以上两式得 mg F 2N =
3-14 劲度系数为的弹簧，水平放置，其一端固定在墙上，另一端被质量为8 kg 的物体压缩，当弹簧形变量为15 cm 时，将物体释放，在弹
簧的作用下，物体水平射出，物体和平面间摩擦力为5 N ，
（1）求弹簧恢复原长时，物体的速度；（2）若弹簧恢复原长后，物体和弹簧就脱离接触，求物体此后能跑多远．
N/m 10013×.分析 根据受力和各作用力作功的不同情况，将运动过程分阶段讨论，可以分别应用动能定理和功能原理求解．
解 （1）取物体与弹簧组成的弹性系统为研究对象，在弹簧恢复原长的过程中，重力和平面支承力不作功，摩擦力作负功，弹簧的弹性力是保守力，根据功能原理，摩擦力所作的功应等于系统机械能的增量．
f F 初始时，弹簧被压缩量，弹性势能为m 150.=x 22
1kx ；弹簧恢复原长时，速度为v ，动能为22
1v m ，则有 22f 2
121kx m x F ?=?v 得
m/s 1.62m/s 15052150100181 2123f 2=××?×××=
?=)...((x F kx m
v （2）物体和弹簧脱离后，在摩擦力作用下作减速运动，设此后位移为s ，应用动能定理，摩擦力所作的功等于物体动能的增量，则
2f 2
10v m s F ?=? 得 m 12m 5
2621822
f 2..=××==F m s v
3-15 如图3-15所示，自动卸料车重量为G 2，连同料重为G 1，它从静止开始沿着与水平方向成角的斜面下滑，滑到底端时与一呈自然长度的轻弹簧相碰，当弹簧压缩量达最大时，卸料车自动翻斗卸料，然后因弹簧的弹性力作用，料车反弹沿斜面回到原有高度．设车与斜面间的摩擦力为车重的0.25倍，求°3021G G 的值． 分析 由于卸料车下滑与返回过程的受力情况不同，应分两阶段分析讨论．因为整个过程中除摩擦力外，没有其他的非保守力和外力作功，所以可以应用功能原理求解． 解 以卸料车与弹簧和地球组成的弹性和重力系统为研究对象．
在下滑阶段，料车载重，设料车行程的
高差为h ，弹簧最大压缩量为?，取斜面顶端为重力势能零点，则重力势能增量
为，弹簧弹性势能增量为l h G 1?22
1)(l k ?，摩擦力1f 250G F .=作功为°
?302501sin .h G ，应用功能原理，得
图3-15 2112130250)(sin .l k h G h G ?+?=°
? 在料车返回过程中，重力势能增量为G ，弹簧弹性势能增量为h 222
1)(l k ??，摩擦力作功为2f 250G F .=°
?302501sin .h G ，应用功能原理，得 2222130250)(sin .l k h G h G ??=°
? 由以上两式可得
325
0302503021=?°+°=.sin .sin G G 3-16 如图3-16所示，滑块置于一竖直轻弹簧上，弹簧原长为R ，用力使弹簧压缩到R/2时释放，则滑块恰好能通过上方光滑的1/4圆弧形轨道，并由A
点抛出．(1)求弹簧的劲度系数；(2)求滑块落到地面时的水平位置．
分析 在滑块离开轨道之前，由于轨道光滑，除重力和弹簧的弹性力外无其他力作功，可以应用机械能守恒定律．滑块离开轨道后，作平抛运动，运用运动学中的公式求解．在竖直光滑圆形轨道上运动的物体，只受重力和轨道压力作用，轨道正压力作功为零，系统机械能守恒．当物体刚好能通过圆形轨道顶端，表明在顶点时轨道压力为零，物体圆周运动的法向加速度只由重力产生．
解 （1）取滑块和弹簧、地球的系统为研究对象，地面为重力势能零点，当弹簧被压缩时，弹性势能为2221??????R k ，重力势能为mgR 21，到达A 点时，重力势能为，速度为v ，动能为mgR 2221v m ，应用机械能守恒定律得 A
图3-16
2221221221v m mgR mgR R k +=+?????? (1) 根据题意，在A 点的运动方程为
R
m mg 2
v = (2) 由以上两式得 R
mg k 16
= （2）滑块脱离A 点后作平抛运动，竖直方向下落距离为2R ，水平运动距离为s ，则有
R gt 22
12= t s v = 再利用(2)式，得 R s 2=
3-17 劲度系数为k 原长为R 的弹簧一端固定在竖立的半径为R 的大圆环的顶点A ，弹簧另一端连接一环形重物由位置B 释放，在重力的作用下重物向下滑移，如图3-17所示，到达最低点C 时的速度刚好为零，如果忽略重物与大圆环之间的摩擦，求重物的质量以及运动中角加速度为零的位置．
分析 通常所讨论的问题中弹簧的长度方向与物体运动方向相同．如果弹簧的长度方向以及伸长或压缩方向与物体运动方向不同，只要弹簧的弹性形变量为x ，根据胡克定律，它作用于物体的弹性力大小就为kx ，系统的弹性势能就等于22
1kx ．
B 图3-17
解 以重物与弹簧以及地球组成的系统为研究对象，由于不计摩擦，只有重力和弹簧的弹性力作功，系统机械能守恒．
初始时，设重力势能为零，弹性势能为22122
1R k )(?，达最低点C 时，重力势能为，弹性势能为mgR ?22
1kR ，应用机械能守恒定律得 2222
11221kR mgR R k +?=?)( 则重物质量为 )(12?=g
kR m (1) （2）由图3-17可见，当弹簧与竖直方向夹角为θ时，重力在圆环切线方向的分量为)sin(θ2mg ；弹簧伸长量为)cos (R R ?θ2，弹性力为)cos (R R k ?θ2，它在圆环切线方向的分量为θθsin )cos (R R k ?2，则重物的切向运动方程为
R m R R k mg αθθθ=??sin )cos ()sin(22
令角加速度0=α，得
θθθθsin )cos (cos sin R R k mg ?=22
利用（1）式，得 2
241?=θcos 42312
241′°=?=arccos θ 3-18 在倾角为的光滑斜面上，质量为1.8 kg 的物体由静止开始下滑，到
达底部时将一个沿斜面放置的劲度系数°30N/m 2000=k 的弹簧压缩了0.2 m 后，
达瞬时静止，求：（1）物体达瞬时静止前在斜面上滑过的路程；
（2）它与弹簧开始接触时的速率． 分析 将物体和弹簧以及地球共同组成一个保守系统，只有重力和弹簧的弹性力作功，机械能守恒．由于实际问题所涉及的都是物体不同位置之间势能的差值，因此势能零点的选取不影响结果，只需考虑如何选取可以使表达式最简单． 解 （1）设物体沿斜面下滑的路程为s ，
物体达到的最低点为重力势能零点，弹簧压缩量为，弹性势能为0x 202
1kx ．开始下滑时重力势能为°30sin mgs ，应用机械能守恒定律，得
图3-18 202
130kx mgs =°sin m 544m 30898122020003022
20.sin ...sin =°
××××=°=mg kx s
（2）设物体与弹簧刚接触时，速度为v ，距最低点距离为，此时重力势能为，应用机械能守恒定律，得
0x °300sin mgx 202
13030v m mgx mgs +
°=°sin sin m/s 6.52m/s 3020544892 3020=°×?××=°=sin )..(.sin )(s-x g v
3-19 在气垫导轨上质量为m 的滑块被劲度系数分别为k 1、k 2的两弹簧连接到气轨的两端点A 、B 上．起初气轨水平放置，两弹簧均处于无形变状态，滑块位于O 点，如图3-19（a ）所示．现迅速将气轨的B 端抬高，使其与水平面的夹角为α，如图3-19（b ）所示，求滑块运动可能达到的最低点与O 点间的距离及滑块可能达到的最大速率．
分析 如果重力势能和弹簧的弹性势能同时存在，应用机械能守恒定律时，应该注意势能零点的选取问题．可以按表达式最简单的原则选取重力势能零点，而弹性势能零点则通常应选取在弹簧无形变位置．
（a ） （b ）
图3-19
解 取气轨倾斜后O 点为重力势能和弹性势能零点，设最低点与O 点间的距离为，在最低点时，重力势能为1x αsin 1mgx ?，两弹簧的弹性势能为21212
1x k k )(+，应用机械能守恒定律，得 02
121211=++?x k k mgx )(sin α 2
112k k mg x +=αsin 气轨倾斜后，在重力和弹性力作用下，O 点不再是平衡位置．设平衡位置为，与O 点距离为，应用牛顿定律可得
O ′0x 0021=+?x k k mg )(sin α (1)
O ′点重力势能为αsin 0mgx ?，弹性势能为20212
1x k k )(+，物体通过点时速率最大，设为，动能为O ′m v 2m 2
1mv ，应用机械能守恒定律，得
02
1212m 20210=+++?v m x k k mgx )(sin α (2) 由(1)和(2)式得
2
10m k k m g gx +=?=ααsin sin v 3-20 在一根光滑的半径很小的水平轴上，挂着一段均匀绳，长为l ，质量为
m ，如图3-20（a ）所示，绳开始滑动时，d BC =．求当l BC 3
2=时的加速度，并证明此时速度为
)(22922d ld l l
g ?+?=v 分析 挂在光滑细轴上的软绳，左右两段相互作用的张力大小相等，为内力，以整条软绳为研究对象，作用在左右两段上的重力相对于运动方向分别为同向和反向．轴的支承力始终垂直于绳的运动方向，不产生加速度，也不作功．与其他连接体问题类似，沿运动方向应用牛顿定律建立方程最为简捷．
d ? （a ） （b ）
图3-20 解 当l BC 32=时，设软绳加速度为a ，沿运动方向应用牛顿第二定律得 ma mg mg =?3
132 g a 3
1= 取B 点为重力势能零点，竖直向下为x 轴正向，位于坐标x 的绳上小段d x
的势能为x l
mgx d ?，则 初始时，，势能为 d BC =2021d d l mg x l
mgx d ?=? ∫d l BA ?=，势能为 2021d )(d l l mg x l
mgx d l ??=?∫? l d BC 32==时，势能为 2
3221??
?????l l mg l BA 31=，势能为 23121??
?????l l mg 此时绳的速率为v ，动能为22
1v m ，应用机械能守恒定律，得 2222231213221212121??????????????=???l l mg l l mg m d l l mg d l mg v )(
解得 )(22922d ld l l
g ?+?=v 3-21 假设地球可以看成是质量为m ′、半径为R 的球体，试由（3-20）式推求以地面为重力势能零点时质量为m 的物体在距地面高度为h 处（）的重力势能的表达式，并将所得结果与（3-15）式作比较．
R h <<分析 物体与地球之间的作用力是万有引力，是与物体质心间距离平方成反比的力，往往取无限远处为这类力的势能零点．但在地球表面附近，通常取地球表面为重力势能零点．由于计算势能时，一般都是计算两位置的势能差，因此选取不同的零点，所得最终结果都相同．
解 由（3-20）式得物体从高度为h 处移动到地面万有引力作的功为
)(h R R h m m G h R R m m G r r m m G W R
h R +′=??????+?′=′?=∫+0020 11d 根据势能定义，此功就等于重力势能．注意到在地球表面附近，则
h R >>20p R
h m m G W E ′≈= 与（3-15）式作比较，得 20
R
m G g ′=
小学数学跟进式拓展习题 （三年级第二学期用） 长清区教研室 二〇一一年三月
前言 新一轮基础教育课程改革强调加强对学生能力的培养，倡导发展学生的个性特长。学生通过学习数学，不仅要掌握数学基础知识，更主要的是要学会如何正确地思考问题，不断增强分析和解决问题的能力，从而促使其全面、持续、和谐地发展。 小学数学教材中也编有少量的动脑筋思考题供学有余力的学生选做，它对于培养学生学习数学的兴趣、拓宽知识面、发展智力、提高能力有很大的作用，越来越受到教师和家长的重视。但教材中的思考题存在着数量少，不系统，不连贯等问题，学生很难掌握，也不利于形成知识体系。鉴于此，我们编写了《小学数学跟进式拓展习题》。本书有以下特点： （1）以教材为蓝本，紧扣新课程标准选编内容和训练题，杜绝了任意拔高要求的现象。 （2）与该年级所学知识点同步，突出训练专题性，既有利于学生知识和能力的综合，又有利于对学生的新课学习进行引导。 （3）本书侧重对学生思维能力、解题能力和综合能力的训练。书中例题的分析与解答，尽量通俗易懂，力图教会学生怎样做题，练习则可以让学生学会如何动脑筋。 由于编写时间较为仓促，尽管我们已做出了辛勤、巨大的努力，可能还存在不少问题，恳请广大教师、同学提出宝贵意见，以便我们进一步修改、完善。 本册由田广瑞、刘金陵、赵姗、顾建峰、付霞、李晓、王辉、张军编写，田广瑞统稿。 编写组 2010年3月
目录 一除法与余数 (1) 二余数和妙用 (5) 三倍数问题 (8) 1.求一个数的几倍是多少的问题 (9) 2.已知一个数的几倍是多少，求这个数的应用题 (10) 3.和倍问题 (11) 4.差倍问题 (12) 四长方形和正方形 (14) 五重叠问题 (16)
1、为什么要提出马克思主义中国化？ 马克思主义中国化是马克思主义的题中应有之义，是马克思主义理论联系实际的科学品质所决定的。对于中国共产党来说，深入学习研究马克思列宁主义理论，将之应用于中国的具体的环境，使之成为伟大中华民族的一部分而和这个民族血肉相联，是历史赋予我们的重要使命。 2、中国特色社会主义理论体系的组成部分和各自回答的基本问题 党的十七大指出：“中国特色社会主义理论体系，就是包括邓小平理论、三个代表重要思想以及科学发展观等重大战略思想在内的科学理论体系。” 邓小平理论所围绕“什么是社会主义、怎样建设社会主义”这个首要的基本的理论问题，第一次比较系统地初步回答了中国社会主义的发展道路、发展阶段、根本任务、发展动力、外部条件、政治保证、战略步骤、领导力量和依靠力量、祖国统一等一系列基本问题。 三个代表重要思想，围绕建和和发展中国特色社会主义这个主题，进一步回答了什么是社会主义、怎样建设社会主义的问题，创造性地回答了建设什么样的党、怎样建设党的问题，深化了对中国特色社会主义的认识。 科学发展观进一步回答了实现什么样的发展、怎样发展等重大问题，体现了党对共产党执政规律、社会主义建设规律、人类社会发展规律认识的进一步深化。 3、“三个代表”重要思想的精神实质 “三个代表”重要思想是马克思主义在中国发展的最新成果，是系统的科学理论，其精神实质就是：坚持与时俱进，坚持党的先进性，坚持立党为公、执政为民。 4、如何正确理解马克思主义中国化各个理论成果之间既一脉相承又与时俱进的关系？ 毛泽东思想、邓小平理论和“三个代表”重要思想之间既是一脉相承的，又是与时俱进的，是一个统一的科学思想体系。前者为后者的形成和发展奠定了理论基础，后者是在继承前者基本原理基础上的进一步丰富和发展。它们辨证统一于中国革命、建设和改革的伟大实践中，不断开拓着马克思主义在中国发展的新境界。 5、毛泽东对实事求是的科学含义的界定 “一切从实际出发，理论联系实际，实事求是，在实践中检验真理和发展真理。” 一切从实际出发，是贯彻实事求是思想路线的前提和基础；理论联系实际，是贯彻实事求是思想路线的根本途径和方法；在实践中检验真理和发展真理，是贯彻实事求是思想路线的验证条件和目的。 6、为什么要不断地推进理论创新？怎样科学地理解理论创新？ 实践基础上的理论创新是社会发展和变革的先导，要通过理论创新推动制度创新、科技创新、文化创新以及其他各方面的创新，为各个方面的创新提供指导。实现理论创新，必须自觉地把思想认识从那些不合时宜的观念、做法和体制中解放出来，从对马克思主义的错误和教条式的理解中解放出来，从主观主义和形而上学的桎梏中解放出来，使我们的思想和行动更加符合社会主义初级阶段的国情和时代发展的要求。 7、正确处理统一战线中的两个联盟的关系 第一，放手发展和加强工农联盟，使它真正成为统一战线的基础和依靠； 第二，尽可能扩大第二个联盟，团结一切可以团结的力量； 第三，正确地发挥两个联盟之间的相互作用，使它们互相促进。 总之，中国革命的实践证明两个联盟关系的处理是否得当，对统一战线的巩固、对革命事业的发展，是十分重要的。 8、无产阶级要实现对同盟者的领导必须具备的条件 第一，要制订统一战线的正确的政治纲领，作为全国人民一致行动的具体目标。 第二，要对同盟者进行政治教育，在政治上把同盟者尽可能提高到当前革命纲领的水平。 第三，要率领同盟者向着共同的敌人作坚决的斗争，并取得胜利。 第四，要在教育提高同盟者的同时，照顾同盟者的利益，至少不损害其利益。 第五，要不断加强党的自身建设，保持思想的统一性，纪律的严格性，发挥先锋模范作用。 9、新民主主义革命的经济纲领的主要内容 经济纲领：没收风间爱你地主阶级的土地贵农民所有；没收官僚资产阶级的垄断资本贵新民主主义的俄国家所有，保护民族工商业。 10、“工农武装割据”的基本思想 在无产阶级及其政党正确领导下，以武装斗争为主要斗争形式，以土地革命为中心内容，以农村根据地为重要依托，三者紧
公路工程试验检测员考试试题( 练习题 ) （如有类同，纯属巧合） 公路工程试验检测员考试试题 钢筋类习题 一、填空题 1．写出下列钢筋弯曲试验的弯心直径： HRB335￠32- （128）Q235￠ 10－（10）2．公路工程用钢筋一般应检测项目有屈服强度、极限强度、冷弯和塑性性能。3．帮条焊接头或搭接焊接头的焊缝厚度不小于主筋直径的0.3倍，焊缝宽度 b 不应小于主筋直径的0.8倍。 4．某钢筋拉伸试验结果屈服强度为412.2MPa、抗拉强度为587.5MPa,则其测定结果的修约值分别为410 MPa、585 MPa。 二、判断题 1．钢筋牌号 HRB335中 335 指钢筋的极限 ( 屈服 ) 强度。（×）2．焊接钢筋力学性能试验应每批成品中切取6（三）个试件。（×）4．材料在进行强度试验时，加荷速度快者的实验结果值偏小（大）。（×） 5．当用钢筋牌号是HRB335的材料进行帮条焊和搭接焊，可用E4303焊条进行焊接。 （√） 三、选择题 1．钢筋拉伸试验一般应为（D）温度条件下进行。 A、23±5℃ B、0- 35℃ C 、5- 40℃D、10- 35℃ 2．钢筋经冷拉后，其屈服点、塑性和韧性（A） A．升高、降低B、降低、降低C、升高、升高 D 、降低、升高3．钢结构构件焊接质量检验分为（ABD） A、焊接前检验 B、焊后成品检验 C、焊缝无损伤 D、焊接过程中检 测 4．在进行钢筋拉伸试验时，所用万能试验机测力计示值误差不大于极限荷载的±1％ （C） A．± 5％B、±2％ C ±1％ 5．钢材焊接拉伸试验，一组试件有 2 根发生脆断，应再取（C）根进行复验。 A．2 B.4 C . 6 6．当牌号为HRB335钢筋接头进行弯曲试验时，弯曲直径应取（B）。 A、 2d B 、 4 d C、 5 d 7、预应力混凝土配筋用钢绞线是由（C）根圆形截面钢丝绞捻而成的。 A、 5 B 、6C、 7D、 8
行程问题典型例题及答案详解 行程问题是小学奥数中的重点和难点，也是西安小升初考试中的热点题型，纵观近几年试题，基本行程问题、相遇追及、多次相遇、火车、流水、钟表、平均速度、发车间隔、环形跑道、猎狗追兔等题型比比皆是，以下是一些上述类型经典例题（附答案详解）的汇总整理，有疑问可以直接联系我。 例1：一辆汽车往返于甲乙两地，去时用了4个小时，回来时速度提高了1/7，问：回来用了多少时间？ 分析与解答：在行程问题中，路程一定，时间与速度成反比，也就是说速度越快，时间越短。设汽车去时的速度为v千米/时，全程为s千米，则：去时，有s÷v=s/v=4，则 回来时的时间为：，即回来时用了3.5小时。评注：利用路程、时间、速度的关系解题，其中任一项固定，另外两项都有一定的比例关系（正比或反比）。 例2：A、B两城相距240千米，一辆汽车计划用6小时从A城开到B城，汽车行驶了一半路程，因故障在中途停留了30分钟，如果按原计划到达B城，汽车在后半段路程时速度应加快多少？ 分析：对于求速度的题，首先一定是考虑用相应的路程和时间相除得到。 解答：后半段路程长：240÷2=120（千米），后半段用时为：6÷2－0.5=2.5（小时），后半段行驶速度应为：120÷2.5=48(千米/时)，原计划速度为：240÷6=40（千米/时），汽车在后半段加快了：48－40=8（千米/时）。 答：汽车在后半段路程时速度加快8千米/时。 例3：两码头相距231千米，轮船顺水行驶这段路程需要11小时，逆水每小时少行10千米，问行驶这段路程逆水比顺水需要多用几小时？ 分析：求时间的问题，先找相应的路程和速度。 解答：轮船顺水速度为231÷11=21（千米/时），轮船逆水速度为21－10=11（千米/时），逆水比顺水多需要的时间为：21－11=10（小时） 答：行驶这段路程逆水比顺水需要多用10小时。
例1．（1）已知 -=-，求x． 20092008 x x (2)实数a、b、c满足关系式 + + -3 - = + 5 199 199，试确定a、b、c的值． 3 - 2 2 - c b a b c a b + + a- b a - 练习：（1）．若 y+=xy的值． 1 （2）．已知a、b满足 b=, 求|2| -. a b 例2．代数式3-的最大值为，这时,a b的关系是． 练习：
（1）代数式y x -+6的最小值为 ，这时x,y 的关系 是 ． (2)实数a ，b 在数轴上位置如图所示，化简： 222()a b a b -+- 例3．已知1813+ 与1813-的小数部分分别为a ，b ，求a + b 的值． 练习．已知97+与97-的小数部分分别为x ，y ，求3x +2y 的值． 例4．已知：3m n A m n -=++是m + n + 3的算术平方根，232m n B m n -+=+是m + 2n 的立方根，求B A -的立方根． 练习．已知226a b m a +-=+是a ＋6的算术平方根，366a b n b --=-是b －6的立方根. （1）求m 、n 的值； （2）若 3m n +的整数部分为p ，小数部分为q ，求2p pq +的值.
例5．已知，a 、b 、c 为实数，且 20ax bx c ++=，22(3)0a c -+=， 则2410x x -= ． 练习（1）．若 与267x y --互为相反数，则1x y += ． （2） 互为相反数，则代数式12x y += ． 例6．比较大小： （1） （223 （3） 1与1 练习．已知，，判断a ，b 的大小。 例7．设x 、y 都是有理数，满足2417222-=++y y x ，求x + y 的值．
土木工程试验与检测（一） 一、填空题（每空1分，共15分） 1．结构检测方法按其检测方法的不同可分为非破损检测法、半破损检测法、破损检测法。 2.超声波检测混凝土裂缝的方法有平测法、对测法、斜测法。 3.防止钢筋锈蚀最重要的措施是增加混凝土的密实性和混凝土的保护层 厚度。 4.在砌体结构检测中，当采用原位轴压法、扁顶法、原位单剪法、筒压法时，要求每个测区的测点数不应少于1个。 5. 在单桩竖向静载荷试验中，当采用慢速维持荷载法时，每级加载为预估极限荷载的 1/10-1/15 。 6.对钢结构强度及变形的检测，常用的有电测法、机测法和表面硬度法。 7.静力载荷试验目的是确定地基土的临塑荷载、极限荷载，为评定地基土的承载力提供依据和估算地基土的变形模量。 8.影响钢筋混凝土结构耐久性的最关键问题是钢筋锈蚀。 二、名词解释（每题5分，共25分） 1.非破损检测法 答：所谓非破损检测法，是以某些物理量与混凝土标准强度之间得相关性位基本依据，在不破损混凝土结构的前提下，测得混凝土某些物理特性，并按相关关系推算出混凝土得特征强度作为检测结果。 2. 混凝土碱骨料反应 答：混凝土的碱骨料反应是指混凝土中水泥、外加剂、掺合料和拌合水中的可溶性碱（钾、钠）溶于混凝土孔隙中，与骨料中的活性成分（活性氧化硅）在混凝土硬化后逐渐发生的一种化学反应，反应生成物吸水膨胀，使混凝土产生膨胀压力，导致混凝土开裂和强度降低，严重时会导致混凝土完全破坏的现象。 3. 混凝土的冻融破坏
答：混凝土冻融破坏是指在水饱和或潮湿状态下，由于混凝土正负变化，建筑物的已硬化混凝土内部孔隙水结冻膨胀，溶解松弛，产生疲劳应力，造成混凝土由表及里逐渐剥蚀的破坏现象。 4. 回弹法 答：回弹法是指在结构或构件混凝土上测得其回弹值和碳化深度来评定该结构或构件混凝土强度的非破损检测方法。 5. 静力载荷试验 答：静力载荷试验是指在拟建建筑物场地上，在挖至设计的基础埋置深度的平整坑底放置一定规格的方形或圆形承压板，在其上逐级施加荷载，测定相应荷载作用下地基土的稳定沉降量，分析研究地基土的强度与变形特性，求得地基容许承载力与变形模量等力学数据。 三、简答题(每题10分，共40分) 1. 钢筋锈蚀的必要条件是什么？影响钢筋锈蚀的主要因素有哪些？ 答：钢筋锈蚀的必要条件是必须存在氧气和水份。（2.5分）影响钢筋锈蚀的主要因素有： （1）PH值（1.5分） （2）Cl-含量（1.5分） （3）氧（1.5分） （4）混凝土的密实性（1.5分） （5）混凝土保护层（1.5分） 2. 在单桩竖向静载荷试验中，当采用慢速维持荷载法时，终止加载的条件是什么？ 答：在单桩竖向静载荷试验中，试验加载方式有慢速维持荷载法、快速维持荷载法、等贯入速率法及平衡荷载法。（4分） 当出现下列情况之一时，即可终止加载：
第1章总论 ◇拓展练习 单项选择题 1.在没有通货膨胀时，（）的利率可以视为纯粹利率。 A、短期借款 B、金融债券 C、国库券 D、商业汇票贴现 2.影响财务管理目标实现的两个最基本因素是（）。 A、时间价值和投资风险 B、经营现金流量和资本成本 C、投资项目和资本结构 D、资本成本和折现率 3.每股利润最大化相对于利润最大化作为财务管理目标，其优点是（）。 A、考虑了资金的时间价值 B、考虑了投资的风险价值 C、有利于企业提高投资效率，降低投资风险 D、反映投入资本与收益的对比关系 4.企业财务关系中最为重要的关系是（）。 A、股东与经营者之间的关系 B、股东与债权人之间的关系 C、股东、经营者、债权人之间的关系 D、企业与作为社会管理者的政府有关部门、社会公众之间的关系 5.下列说法错误的是（）。 A、纯粹利率是指无风险情况下的平均利率 B、在没有通货膨胀时，国库券的利率可以视为纯粹利率 C、利息率依存于利润率，并受平均利润率制约 D、利息率最高限不能超过平均利润率 6.下列现金循环属于长期现金循环的是（）。 A、现金形式的循环 B、企业正常经营周期内可以完全转变为现金的存货的循环 C、应收帐款形式的循环 D、长期资产形式的循环 7.下列说法不正确的是（）。 A、盈利企业不可能发生资金流转困难 B、损额小于折旧额，支付日常的开支通常并不困难 C、任何要迅速扩大经营规模的企业，都会遇到相当严重的现金短缺情况 D、亏损大于折旧的企业往往连被其它企业兼并，连减低盘进企业税负价值也没有 8.下列不属于利率组成部分的是（）。 A、平均利润率 B、纯粹利率 C、通货膨胀补偿率 D、风险报酬率 9.财务管理目标是企业价值或股东财富最大化，反映财务管理目标实现程度是 （）。 A、利润多少 B、每股盈余大小 C、每股股利大小 D、股价高低 10.下列各项中，属于企业筹资引起的财务活动有（）。 A、偿还借款 B、购买国库券 C、支付利息 D、利用商业信用 11.假定甲公司向乙公司赊销产品，并持有丙公司债券和丁公司的股票，且向戊公司支 付公司债利息。假定不考虑其他条件，从甲公司的角度看，下列各项中属于本企业 与债权人之间财务关系的是（）。 A、甲公司与乙公司之间的关系 B、甲公司与丙公司之间的关系 C、甲公司与丁公司之间的关系 D、甲公司与戊公司之间的关系 12.财务管理的核心工作环节为（）。 A、财务规划和预测 B、财务决策 C、财务预算 D、财务分析、业绩评价与激励
毛邓三选择题-题库-(第章)
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第八章中国特色社会主义经济 一、单项选择题 1、我国自改革开放以来，在对市场经济认识上的重大突破是:Ｃ A、市场经济是法制经济 Ｂ、市场机制对资源配置起基础性作用?Ｃ、市场经济不属于社会基本制度范畴 D、市场经济是有国家干预的经济 2、建立社会主义市场经济体制主要是使市场：B Ａ、调节整个社会的生产和流通 B、在国家宏观调控下对资源配置起基础性作用 C、在流通领域发挥作用 D、自发地调节社会总量平衡 ３、我国现阶段,不同国有企业的职工付出同样的劳动,获得的劳动报酬会有所差别,这是因为：Ｄ A、贯彻按劳分配会使一部分企业先富起来? B、按劳分配和按资分配是结合在一起的 C、按劳分配要贯彻效率优先、兼顾公平的原则 Ｄ、按劳分配的实现程度与国有企业的经营成果联系在一起 4、国有经济的主导作用主要体现在:Ａ A、控制力 B、在社会总资产中的比重 C、在社会总资产中的绝对数 D、在社会总资产中的占优势,且有质的提高 5、非公有制经济C Ａ、是社会主义经济的一部分 B、就是指个体经济和私营经济 C、是社会主义市场经济的主要组成部分 D、是有限度地允许其发展二、多项选择题 1、非公有制经济包括AＢCＤ A、个体经济 B、私营经济 C、外资经济 D、混合经济中的非公有成分 2、按生产要素分配，就其内容可分为：ＡBCD A、以劳动作为生产要素参与分配 B、以劳动以外的生产要素所有者参与分配 Ｃ、以管理参与分配 D、以知识产权参与分配 3、承认和允许人们在收入方面存在差距因为:AＢCD Ａ、劳动者的个人禀赋和家庭负担的不同 Ｂ、存在城乡、地区、脑力与体力等不同 C、多种所有制经济和不同的分配方式 D、竞争的结果 4、社会保障体系包括ABCD Ａ、社会保险 B、社会救济 C、社会福利 Ｄ、社会优抚 4、建设社会主义新农村的总要求是:ABCD A、生产发展, Ｂ、生活富裕 Ｃ、管理民主 D、乡风文明，村容整洁 6、积极扩大就业：我们要ABCＤ A、要放在经济发展更加突出的位置 B、坚持劳动者自主择业 C、坚持市场调节, D、发挥政府重要作用 7、计划经济的主要弊端是ABCD
小学数学拓展练习题（数学） 1．计算 =??2000 1004.001992.0_________。 2．有三张卡片，在它们上面各写有一个数字（下图）。从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排起来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数。请你将其中的素数都写出来。 3．有一个班的同学去划船．他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人；如果减少一条船，正好每条船坐9人．问：这个班共有多少同学？ 4．在下图的七个圆圈内各填一个数，要求每一条直线上的三个数中，当中的数是两边两个数的平均数。现在已经填好两个数，那么x=？ 5．一个整数乘以13后，乘积的最后三位数是123，那么这样的整数中最小的是？
6．下图是一张道路图，每段路上的数字是小王走这段路所需的分钟数。请问小王从A 出发走到B ，最快需要几分钟？ 7.在下面四个算式中，得数最大的是 ：（ ） ①20)191171(?+ ②30)291241(?+ ③40)371311(?+ ④ 50)471411(?+ 8．有三堆砝码，第一堆中每个法码重3克，第二堆中每个砝码重5克，第三堆中每个砝码重7克。请你取最少个数的砝码，使它们的总重量为130克写出的取法：需要多少个砝码？其中3克、5克和7克的砝码各有几个？ 9． 在一个圆圈上有几十个孔（不到100个），如图。小明像玩跳棋那样，从A 孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A 孔。他先试着每 隔2孔跳一步，结果只能跳到B 孔。他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B 孔。最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A 孔。你知道这个圆圈上共有多少个孔吗？ 10．一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是：1，2，3，5，8，13，21，34，55，问：这串数的前100个数中（包括第100个数）有多少个偶数？
毛邓三单选题6 （251-300） 251．新民主主义革命胜利之初，我国国内主要矛盾是（）A．经济基础和上层建筑的矛盾 B．先进的生产关系和落后的生产力之间的矛盾 C．人民大众与地主阶级、国民党残余势力和帝国主义的矛盾 D．无产阶级同资产阶级的矛盾 252．建国初期国民经济恢复任务完成的时间是（）A．1950年6月B．1951年7月 C．1952年12月D．1956年9月 253．农业合作化时期，党对富农经济的政策是（）A．保存并限制B．一举消灭 C．限制并逐步消灭D．顺其自然 254．我国农业社会主义改造的特点是（）A．集体化与机械化并举B．先集体化，后机械化 C．先机械化，后集体化D．社会主义改造和社会主义建设并举255．新民主主义的基本国情是指（）A．中国是一个半殖民地半封建社会B．中国是一个经济相当落后的农业国 C．中国是一个脱胎于半殖民地半封建社会的社会主义国家 D．中国处于经济文化不够发达的社会主义初级阶段 256．1950年党的七届三中全会规定的中心任务是（）A．向国民党残余势力、地主阶级和帝国主义进攻 B．争取国家财政经济状况根本好转 C．巩固人民民主专政 D．实现国家工业化 257．高级形式的国家资本主义是指（）A．加工订货B．统购包销 C．经销代销D．公私合营 258．过渡时期总路线的主体是（）A．国家的社会主义工业化B．私营经济的国有化 C．个体农业的集体化D．对个体农业、手工业和资本主义工商业的改造259．国家资本主义企业的生产关系发生根本改变是在（）A．实行统购包销后B．委托加工订货后 C．个别企业公私合营后D．全行业公私合营后
260．过渡时期总路线所表述的社会主义建设和社会主义改造的关系是（）A．先改造后建设B．先建设和后改造 C．建设和改造都暂缓进行D．改造和建设同时并举 261．我国国民经济恢复时期是指（）A．1949～1950年B．1946～951年 C．1949～1952年D．1949～1956年 262．新中国成立前后，党的领导人对我国从新民主主义向社会主义过渡的构想是（）A．经过充分发展后一举过渡B．边发展过渡 C．先发展然后逐步过渡D．先过渡后发展 263．基本完成对生产资料私有制的社会主义改造的时间是（）A．1952年B．1953年 C．1956年D．1957年 264．新民主主义社会属于（）A．社会主义体系B．独立的社会形态 C．资本主义体系D．带有过渡性质的资本主义体系 265．我国的过渡时期是指（）A．1949～1952年B．1953～1956年 C．1956～1966年D．1949～1956年 266．具有半社会主义性质的农业互助合作组织是（）A．初级农业生产合作社B．常年互助组 C．临时互助组D．高级农业生产合作社 267．毛泽东《不要四面出击》的重要讲话是在（）A．七届二中全会B．七届三中全会 C．八届九中全会D．八届十中全会 268．我国对资本主义工商业进行社会主义改造的政策是（）A．无偿没收B．按实际价值购买 C．无偿调拨D．和平赎买 269．我国对农业进行社会主义改造由低级到高级的步骤依次是（）A．初级社、高级社、互助组B．互助组、高级社、初级社 C．初级社、互助组、高级社D．互助组、初级社、高级社 270．1955年，在中国共产党内率先提出“以苏为鉴”探索适合中国社会主义建设道路的是 （）A．刘少奇B．陈云
一、填空题（197题） 1、高强混凝土强度检测技术规程(JGJ/T294-2013)主要适用于强度等级为 C50~C100的混凝土抗压强度检测。 2、实验室管理体系文件由质量手册、程序文件、作业指导书和其他（报告、文 件、记录、表格）组成。 3、制备沥青试样时，当沥青中无水分时，加热温度宜为软化点温度以上 90℃，通常为135 ℃左右。 4、高强混凝土强度检测技术规程(JGJ/T294-2013)标准中规定高强回弹仪标称 能量有两种，分别是4.5J和5.5J，率定时的标准数值分别是88±2，5.5J 的回弹仪率定值为83±1。 5、公路试验检测数据报告按格式容分标题区、表格区、落款区三部 分；按容属性，由管理要素和技术要素构成。 6、《铁路混凝土工程施工质量验收标准》（TB 10424-2010）规定:砌体砌筑完毕 后应及时覆盖，保温保湿，养护期不得小于7 d 7、原材料投料方式应满足混凝土搅拌技术要求和混凝土拌合物质量要求。 8、按我国现行试验规程，沥青与粗集料黏附性的试验方法集料的粒径有关，大 于13.2 mm的集料采用水煮法，小于或等于13.2 mm的集料采用水浸法。 9、公路仪器设备按照量值溯源的具体方式，仪器设备分为I类、II类和III类三 类管理方式。 10、JGJ107-2010《钢筋机械连接技术规程》中规定：混凝土结构中要求充分 发挥钢筋强度或对接头延性接头要求较高的部位，优先选用Ⅱ级接头，当在同一连接区段必须实施100%钢筋接头的连接时，应采用Ⅰ级接头。混凝土结构中钢筋应力较高但对延性要求不高的部位可采用Ⅲ级接头。
11、实验室应记录接受检测或校准样品的状态，包括与正常或规定条 件的偏离。 12、量值溯源是测量结果通过具有适当准确度的中间比较环节逐级往上追溯至 基准或计量标准的过程。 13、混凝土应在浇筑地点抽取试样，取样频率为：每拌制同配合比的混凝土100 盘，且不超过100 m3时，取样不得少于一组。 14、混凝土强度的检验评定方法有：标准差已知方法检验、标准差未知方 法和小样本方法。 15、大体积混凝土掺用粉煤灰主要的目的是为了减少水泥用量，降低水化热。 16、CFG桩施工开始前应及时进行复合地基承载力或单桩承载力试验，以 确认设计参数。 17、铁路连续梁顶推法施工时，梁体制造长度应考虑预应力混凝土的弹性压缩 及收缩和徐变的影响。 18、预应力拉千斤顶在拉前必须校正，校正系数不得大于 1.05 倍，校正有效 期为一个月且不超过200 次拉作业，拆修更换配件的千斤顶必须重新校正。 19、锚杆正式施工前，应按设计要求进行工艺性试验，做锚杆抗拔力试验，确认 其能达到设计要求后，确定钻孔、注浆等施工参数。试验锚杆数为工作锚杆的1% ，且不少于3 根。 20、工程中的对安全、卫生、环境保护和公众利益起决定性作用的检验 项目称为主控项目。 21、实验室应优先选择标准、行业标准、地方标准；实验室应确保
第二章习题答案： 解：由 wilson 参数方程exp[()/]L j ij ij ii L i V RT V λλΛ= --求得： 21212111 exp[()/]L L V RT V λλΛ=-- 33177.5510e x p [(1035.33)/(8.314378.47)] 100.91102.445 --?=--??= 同理可得：21Λ= 13Λ= 31Λ= 23Λ= 32Λ=
由wilson 方程 可得： 1 1.039γ= 2 1.678γ= 3 1.508 γ= 在T=378.47K 下， 由安托尼公式： 苯： 1 ln 20.79362788.51/(52.36)s P T =-- 得1s P =207.48KPa 甲苯：2ln 20.90653096.52/(53.67)s P T =--得2s P =86.93KPa 对二甲苯：3 ln 20.98913346.65/(57.84)s P T =-- 得3 s P =38.23KPa 对于非理想溶液，则s i i i P K P γ= ， 故11 1 2.13s P K P γ= =，2 1.44K = 30.57K = 对于完全理想溶液，则s i i P K P =， 故意 1 1 2.05s P K P == 20.86K = 30.38K = 2.习题2参照教材例2-1 P10 3.乙酸甲酯（1）-丙酮（2）-甲醇（3）三组分蒸汽混合物组成为y1=0.33,y2=0.34,y3=0.33(摩尔分数)。气相假定为理想气体，液相活度系数用Wilson 方程表示，试求50℃时该蒸汽混合物之露点压力。 解：由有关文献查得和回归的所需数据为： 50℃时各纯组分的饱和蒸气压，kPa P 1S =78.049 P 2S =81.848 P 3S =55.581 50℃时各组分的气体摩尔体积，cm3/mol V 1l =83.77 V 2l =76.81 V 3l =42.05 ln 1ln()ki k i ij j j k kj j j x x x γΛ=-Λ- Λ∑ ∑∑
双流县实验小学五年级数学长方体表面积拓展练习题姓名班级 1.把8个棱长为10厘米的小正方体拼成一个大正方体，然后拿走 一个小正方体（如图），这时图形的表面积是多少？ 2一个底面是正方形的长方体，底面边长为5分米，侧面展开是一个正 方形，这个长方体的表面积是多少平方分米？ 3．如图是一个无盖长方体盒的展开图，请算这个长方体的表面积． 4、．求这个零件的表面积．（单位：cm） 5．要做一种管口周长40厘米的通气管子10根，管子 长2米，至少需要铁皮多少平方米？ 6．如图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的 棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大 正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方 米？7．宽和高都是6分米的长方体，如果将长减少2分米就变成了一个正方体，原长方体的表面积是多少？ 8．如图是一个长3厘米、宽与高都是2厘米的长方体．将它 挖掉一个棱长1厘米的小正方体，它的表面积是平方厘米? 9．用铁丝做一个长10厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体框架，至少需要多长的铁丝？在这个长方体框架外面，糊一层纸，至少需要多少平方厘米的纸？ 10．有一个长方体，底面是正方形，高是底面边长的2倍，这个长方体的棱长总和是64厘米．这个长方体的底面面积是多少平方厘米？ 11.计算这块空心砖的表面积．（单位：厘米）． 12．一个长方体（如图），如果高增加4厘米，就变成了棱 长是10厘米的正方体．表面积增加了多少？
13．一块长方形铁皮（如图），长25厘米，宽15 厘米，从四个角分别剪去边长2厘米的小正方形， 然后把四周折起来，做成没有盖子的铁盒，请你 帮忙计算一下：做这样一个盒子至少需要多少铁 皮？ 14、如图：一块长方形纸板剪掉阴影部分的正方 形后，做成一个无盖的纸盒，纸盒的表面积是多少？ 15．图中每个正方体的棱长都是3厘米．下面各图的表面积分别是多少？ ( )个面积是1854平方厘米 16．将四个大小相同的正方体粘成一个长方体（如图）后，表面积减少24 平方分米，求长方体的表面积． 17、电焊工人需要把三块大小一样的正方形钢块焊接成一个长60厘米的 长方形零件（如图），然后在这个零件的表面刷上一层防锈的油漆，刷油 漆的面积是多少平方米？ 18．有个长方体铁盒，它的高与宽相等．如果长缩短 15厘米，就成为表面积是54平方厘米的正方体，这个长方体盒的宽是长 的几分之几？ 19．一个长方体如果高缩短3厘米，就成了一个正方体．这时表面积比原 来减少了48平方厘米，原来长方体的表面积是多少？ 20把19个边长为2厘米的正方体重叠起来，作成如图那样的组合形体， 求这个组合形体的表面积？ 21．如图表示一个正方体，它的棱长为4厘米，在它的上下、前后、左右 的正中位置各挖去一个棱长为1厘米的正方体，问此图的表面积是多少？ 22．如图，做一个这样的火柴盒需要多少平方厘米的纸板 （包括里面的内盒，盒子的厚度忽略不记）？
习题 1、量纲是否就是单位，两者之间有什么关系？ 2、“Dimension”一词包含什么涵义？说说它的历史演变。 3、自由落体问题有哪几种提法？各有哪些基本量和导出量？ 4、从物理上分析摆锤质量与单摆周期无关的原因。 5、求谐振子的自振频率。 6、从量纲幂次式的讨论中得到的偏导数关系，求出量纲函数的最终表达式。 7、查阅基尔比契夫提出的“相似三定理”说的是什么？它与π定理的说法不同，哪种说法更 为本质？ 8、从隐函数法证明π定理。 9、求盛水容器底侧的小孔出流速度。 10、若溢洪道的断面为三角形，讨论溢洪流量。 11、分析定常管流问题中的摩擦系数和总管阻；并问什么情况下可不考虑密度的影响？说明 其物理原因。 12、能否用水洞做机翼的模型实验，或用风洞做潜艇的模型实验？如果可以，问尺寸和速度 的缩比范围？ 13、作船舶润湿面积的量纲分析。 14、轴承问题中是否应该考虑惯性力的作用？说明理由。 15、用量纲分析法求小球在粘性流体中下落最终速度和粘性阻力（结果与Stokes公式对照）。 16、什么条件下可以不考虑表面张力对水波波速的影响，从物理上做简单分析。 17、讨论两端固定的梁在分布载荷作用下的挠度。 18、讨论悬臂梁在自重作用下的最大挠度与梁长的关系。 19、讨论方形空心简支梁的挠度分布，若用实心梁来模拟，要求符合什么条件？ 20、什么样的结构物质需要考虑重力的作用？ 21、调查一下国内做结构物的重力效应实验的离心机有多大，写出主要参数。 22、求有限弹性体的固有周期。 23、弹性体中体波的传播有无色散现象，说说物理原因？ 24、杆径对杆中弹性波波速起什么物理作用？ 25、求两块平板正面相撞引起的弹性波的波速（与有关弹性波书中的结果作对比）。 26、若硬度计的压头不是锥形而是球形，可否分析硬度和强度在什么条件下成正比？ 27、什么是几何相似？什么是几何相似率？举例说明。 28、相似率是否一定要求几何相似？为什么？ 29、估计和比较几种典型金属材料中弹性变形和热传导的传播时间。 30、估计和比较含水地层中弹性变形和渗流的传播时间。 作业上交时间可能在期中的时候，请小伙伴们相互转告。
毛邓三单选题 1-50 1．毛泽东首次提出“马克思列宁主义的理论和中国革命的实践相结合”的思想原则的文章是 （） A．《反对本本主义》 B．《实践论》 C．《中国共产党在民族战争中的地位》 D．《〈共产党人〉发刊词》 2．马克思主义与中国革命实际相结合的第一次历史性飞跃的理论成果是（） A．新民主主义 B．新三民主义 C．毛泽东思想 D．邓小平理论 3．毛泽东思想产生和形成在（） A．20世纪前中期 B．20世纪中期 C．20世纪中后期 D．20世纪后期 4．中国共产党破除把马克思主义教条化、把共产国际决议和苏联经验神圣化的错误倾向的运动是（） A．国民革命运动 B．土地革命运动 C．农民革命运动 D．延安整风运动 5．毛泽东明确提出使马克思主义中国化的重要会议是（） A．八七会议 B．遵义会议 C．中共六届六中全会 D．中共七大 6．毛泽东思想关于党的建设理论最核心的内容和最主要的特点是（） A．着重于从思想上建设党 B．加强党的组织建设 C．加强党员的党性修养 D．保持党的优良作风 7．对马克思主义中国化认识早，做得最好，贡献最大的是（） A．李大钊 B．毛泽东 C．周恩来 D．邓小平 8．中国无产阶级以独立姿态登上政治舞台，成为中国民主革命的领导者是在（） A．新文化运动中 B．十月革命后不久 C．五四运动中 D．中国共产党成立之后 9．在中共党的七大上，对毛泽东思想作了科学概括和全面概述的是（） A．周恩来 B．王稼祥 C．朱德 D．刘少奇 10．中国人民找到马克思列宁主义这一救国真理是在（） A．辛亥革命爆发后 B．十月革命爆发后 C．中共一大召开后 D．国共合作建立后
四、多选题（144题） 2.关于水泥凝结时间的测定，以下说法正确的是（AC） A、记录水泥全部加入水中的时间为起始时间 B、试件在湿气养护箱中养护至加水后15min时进行第一次测定 C、当试针沉至距底板3-5mm时，水泥达到初凝状态 D、当试针沉入试体1mm时，即环形附件不能在试件上留下痕迹时，水泥达到终凝状态 3.路基填料物理改良土的掺合料可以采用（A B C）。 A、砂 B、砾石 C、碎石 D、水泥 E、石灰 4.GB/T17671-1999标准规定，试件龄期从水泥加水搅拌开始时算起，不同龄期强度试验在下列时间里进行(ACD) 。 A、24h±15min B、7d±4h C、72h±45min D、≥28d±8h 5.闪光对焊钢筋接头外观检查的内容与要求（ABCD）。 A、接头处不得有横向裂纹； B、与电极接触处的钢筋表面不得有明显烧伤； C、接头处的弯折角不得大于3° D、接头处的轴线偏移不得大于钢筋直径的0.1倍，且不得大于2mm。 7.混凝土结构耐久性修复与防护技术规程(JGJ/T 259-2012)明确混凝土结构出现什么情况下应进行耐久性修复与防护（ABC） A 结构出现严重的耐久性损伤 B 耐久性评定不满足要求 C 达到设计年限需继续使用，经评估需要时； D 结构出现轻微损伤 9.铁路混凝土原材料中水矿渣粉的进场检验指标是有哪些（ABC）。 A、密度 B、比表面积 C、流动度比 D、细度 10.检测土的颗粒密度的目的是计算土的（ACD） A、孔隙比 B、压实系数K C、孔隙率 D、饱和度 11.关于泵送混凝土说法正确的有（A B C） A、泵送混凝土的最小水泥用量宜为300kg/m3。 B、泵送混凝土的水灰比宜为0.4～0.6。 C、泵送混凝土的砂率宜为38%～45%。 D、以上都不正确。
毛邓三课后习题1-4套选择题及答案． 理论体系概论课后习题1-4套选择题及答案 第一套 一、单项选择题（ 1 － 15 题，每小题 1 分，共 15 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合试题要求的。） 1 、马克思主义中国化的基本要求是 A ．把马克思主义基本原理同中国具体实际相结合 B ．把马克思主义同外国经验相结合 C ．反对教条主义和经验主义 D ．坚持调查研究和走群众路线 2 、区别旧民主主义革命与新民主主义革命的根本标志是
A ．革命的指导思想不同 B ．革命的领导阶级不同 C ．革命的前途不同 D ．革命的对象不同 3 、中国在对资产阶级工商业实行社会主义改造的过程中，在利润分配上采取的政策是 A ．统筹兼顾 B ．劳资两利 C ．公私兼顾 D ．四马分肥 4 、在社会主义改造基本完成以后，正确处理人民内部矛盾成为国家政治生活的主题。中国共产党提出的正确处理人民内部矛盾的方针政策中不包括的是 A ．统筹兼顾，适当安排 B ．有理、有利、有节 C ．百花齐放，百家争鸣 D ．长期共存，互相监督 5 、中国共产党同一切剥削阶级政党的根本区别在于 A ．有无群众观点 B ．有无自我批评精神 C ．有无坚强的组织 D ．有无优良的作风 6 、贯彻“三个代表”重要思想，本质在坚持 A ．党的先进性 B ．党的领导 C ．执政兴国 D ．执政为民 7 、邓小平理论中，关于建设中国特色社会主义首先要搞清楚的首要基本理论问题是 A ．解放思想，实事求是 B ．社会主义初级阶段 C ．是姓“资”还是姓“社”的判断标准 D ．什么是社会主义、怎样建设社会主义 8 、一切从实际出发，是我们制定路线、方针的基本原则，现阶段中国最大的实际是 A ．生产力水平低，经济发展落后 B ．人口数量多，增长快，素质不高 C ．社会主义市场经济体制还不完善 D ．处于并将长期处于社会主义初级阶段 9 、邓小平历来十分重视农业问题。他强调指出：“农业是根本，不要忘掉”。“农业搞不好，工业就没有希望，吃、穿、用的问题也解决不了。”他告诫我们：“ 90 年代经济如果出问题，很可能出在农业上；如果农业出了问题，多少年缓不过来，整个经济和社会发展的全局都要受到严重影响”。这些话的意思是，农业 A ．是我国国民经济中的第一产业 B ．在国民经济中处于基础地位 C ．对国民经济的发展起主导作用 D ．是经济现代化的重要标志 10 、实现经济社会可持续发展的关键是 A ．速度、比例和效益的统一 B ．经济发展与人口、资源、环境相协调 C ．形成一、二、三产业的合理结构 D ．科技、教育与经济的紧密结合 11 、中共十六大提出全面建设 A ．四个现代化 B ．社会主义市场经济 C ．小康社会 D ．中国特色社会主义 12 、在我国经济发展过程中，既可以发挥市场经济的优势，又可以发挥社会主义制度的优越性，在处—理市场机制和宏观调控、当前发展和长远发展、效率和公平等关系方面，能够比西方国家做得更好和更有成效。这是因为 A ．我国既坚持公有制的主体地位，又允许和鼓励多种所有制经济共同发展 B ．我国既坚持按劳分配约主体地位，又允许和鼓励多种分配方式并存 C ．我国的市场经济体制是同社会主义基本制度结合在一起的 D ．我国的改革开放是同四项基本原则结合在一起的 13 、在下列收入中属于按劳分配性质的收入是 A ．个体劳动者的劳动所得 B ．外资企业职工的工资收入 C ．股份制企业职工按股分红收入 14 、“民主和少数服从多数的原则不是一个东西。民主就是承认少数的国家。”这句话理解为 A ．民主是指一种国家制度 B ．民主是手段不是目的 C ．国家的实质是少数服从多数 D ．民主是固体不是政体 2 理论体系概论课后习题1-4套选择题及答案 15 、中国特色社会主义文化建设的根本，是 A ．在全社会形成共同理想和精神支柱 B ．发展教育和科学 C ．营造良好的文化环境 D ．深化文化体制改革 二、多项选择题（ 16 － 30 题，每小题 2 分，共 30 分。下列每题给出的四个选项中，至少有一个选项是符合试题要求的。）
“一道课本习题的变式及解法探究”教学设计 教学内容：人教版义务教育课程标准实验教程八年级数学第十二章复习题，第12题证明及拓展变式题解法探究。 教学目标： 1.知识与技能：经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，证明与等腰三角形有关的问题。 2.过程与方法： （ 1）．通过对一道题的解法及变式的探究，培养学生的猜想、证明和合作交流能力。 （2）．通过对本节课的探究，培养学生的审题能力、分析能力，激发学生学习数学的兴趣。 3.情感与态度： （1）.在探究过程中，培养学生善于观察，勤于思考，获得严谨认真的思维习惯和解决问题的方法。 （2）.在合作与交流活动中发展学生的思维意识和团队精神，在探究活动中感受成功的喜悦。 教学重点：怎样据题目条件构建全等三角形，证明线段之间的关系。 教学难点：怎样从基本图形中找到解决问题的途径和根据证明的需要添加辅助线。 教学过程： 出示原题：如图1，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD，求证：DB=DE 师：结合平时学习，证明线段相等常常有哪些方法? 生:常常构造全等三角形或构造等腰三角形. 师：此题如何证明呢? 生:如图1，根据等边三角形ABC及D为AC的中点， 可知：∠DBC=300，∠ACB=600，又因为DC=CE，可知 ∠E=300,那么，∠DBE=∠DEB,故DB=DE.
师:若在本题条件中，增加点F 点与点B 重合，BE+BF 与BC 有何数量关系? 生：BE+BF=32BC 师:很好！今天我们把以上问题作为原题并将这一问题进行拓展变形，得到如下问题。 变式1：将图1中的∠FDE 绕D 点顺时针旋转一定的角度（如图2），DF 交AB 与F 点，DE 交BC 的延长线于E 点，其中，“等边△ABC 中，D 为AC 的中点”这一条件不变，将“CD=CE 换成∠FDE=1200”则DE 与DF 有怎样的数量关系? BE+BF 与BC 有何数量关系? 师:仔细读题，画出满足条件的图形，明确已知和求证，通过量一量、猜一猜，它们有什么数量关系?（学生动手画图，教师用投影仪展示学生的作图） 生：我通过度量发现DE=DF ，猜想BE+BF=3 2BC 仍然成立。 师:这仅仅是一个猜想，还必须经过推理论证，如何证明呢? （同学们先思考、再分组讨论）。 师:巡视各小组，参入讨论。追问：如何构建全等三角形或寻求其它途径? 生：过D 点作DM ∥BC 并交AB 与M,再证明DE=DF. 师：怎么证明DE=DF?. 生：可证明△MDF ≌△CDE ． 师:很好！请同学们按此思路写出证明过程。教师展示学生的证明过程。 证法1：如图2.①过D 点作DM ∥BC 并交AB 与M ，则∠AMD=∠ABC==600, ∠ADM=∠ACB=600, ∴∠DMF=∠MDC=1200,又∠FDE=1200, ∴∠MDF=∠CDE. ∵△AMD 是等边三角形，AD=DM. 又AD=CD, ∴DM=CD ，∠DMF=∠DCE, ∴△MDF ≌△CDE(ASA) ∴DE=DF. ②由①知△MDF ≌△CDE ，∴MF=CE ∴BE+BF=BC+CE+BF=BC+BM 而AM=21AC=21AB,BM=2 1BC.