势垒隧穿

“势垒遂穿”到扫描隧道显微镜

李春雨中国石油大学材料物理3 1309050320

【摘要】本文叙述了势垒遂穿效应的发现历史，科学理论以及未来的应用前景。同时，本文借此强调了基础理论对技术发明的重要性。【关键词】势垒遂穿，波函数，量子力学，扫描隧道显微镜

回顾科技史，以量子论、相对论为代表的近代物理学掀起了以能源、材料、信息为代表的现代技术革命，其中量子理论在形成中便带动了相关技术群的出现并促进了自身研究的深入和拓展。

一势垒遂穿的发展

于1928 年，乔治·伽莫夫正确地用量子隧穿效应解释了原子核的阿尔法衰变。同时期，Ronald Gurney 和Edward Condon 也独立地研究出阿尔法衰变的量子隧穿效应。不久，两组科学队伍都开始研究粒子穿透入原子核的可能性。

量子隧穿效应也可以存在于某些化学反应中。此类反应中，反应物分子的波函数从反应势垒穿过即可使反应发生，而在经典的化学反应中，反应物分子只有获得足够能量，越过活化能的能垒，反应才可以发生。发生隧穿的粒子质量越小（德布罗意波长越大），势垒的宽度越小（即势垒越窄），反应受量子隧穿效应的影响的可能性越大。因此一般发生隧穿的都是电子、氢原子或氘原子，很少有较重元素的原子参与隧穿的。势垒的宽度则由粒子隧穿前后所处位置之间的距离所决定，两个反应位点距离越近，隧穿的程度越大。并且能垒越低，隧穿程度也越大。

验证量子隧穿效应存在于化学反应中的一种方法是动力学同位

素效应（KIE）。在KIE实验中，反应的一个反应物的某一原子分别被同一元素质量不同的同位素所标记，分别进行反应，通过对比两者的反应速率，可以得出关于反应机理的信息。若一个反应的速率控制步骤涉及该同位素与其他元素形成的化学键的断裂，由于越重的同位素形成的化学键越不容易断裂，因此使用同一元素不同同位素标记的反应物参加反应时，反应的速率也应该是不同的，重同位素标记的反应物参与的反应速率应该较慢。如果这两种同位素分别是氕和氘（即氢-1和氢-2），通常情况下，kH/kD的值应该在6-10之间，也就是说，含C-H键的反应速率是含C-D键的反应速率的6-10倍。但如果反应中存在量子隧穿效应，由于质量m在因子Q中是处在指数位置上的，m的变化对速率的影响很大，因此kH/kD的值应该远大于10。实验事实也证明了这个假设。比如在下面的反应中，硝基丙烷的阿尔法-氢被有位阻的吡啶去质子化，并被碘代，反应的KIE值在25°C

时却达到25，意味着反应中很可能存在量子隧穿效应。

修正项Q的存在，使得存在量子隧穿效应反应的速率k受温度T 影响很小。相对于普通的化学反应，在温度明显升高或降低时，此类反应的速率通常不会有很明显的变化，仅有很小的差异。低温下，量子隧穿效应反而更加明显，研究此类反应也通常在低温下进行。然而，温度的升高，使一部分分子跃迁到第二振动能级（n=1）上，降低了势垒宽度，使反应速率加快。这便是速率受温度影响不为零的缘故。

量子隧穿效应最常见于有机化学反应中，尤其是一些含活性中间体的一种机制。酶使用量子隧穿效应来转移电子及氢原子、重氢原子一类的原子核。实验也显示出，在某种生理状况下，甚至连葡萄糖氧化酶(glucose oxydase) 的氧原子核都会发生量子隧穿效应。

质子-质子链反应也是量子隧穿效应的例子之一。

有科学家认为，化学反应中的量子隧穿效应是宇宙中众多有机分子得以合成的基础，也有可能是合成早期生命所需的有机化合物的重要机制。外太空中，温度极低，并且存在着大量的氢元素和氦元素，和大量的甲醛分子作合成原料，这些因素，都有利于量子隧穿效应的发生。通过很多类似的反应，可以由简单的无机原料，突破传统化学反应的禁阻，合成很多复杂的有机化合物。这些有机分子很可能与生命起源有重要关联。

二关于势垒遂穿的有趣问题

2.1δ势垒贯穿的典型问题

势垒贯穿的典型问题按照势垒的情形可以大体上分为单δ势垒贯穿，强度相等的双δ势垒贯穿，强度不相等的双δ势垒贯穿以及δ势垒与其它势垒相结合时的势垒贯穿四大类。前面的两大类是比较常见的，也是研究得比较多的。到目前为止，人们对单δ势垒贯穿和等强度的双δ势垒贯穿问题都有了很完善的求解过程和较为完美的结论。

2.2多个势垒相结合的情形

多个势垒相结合的情形包括两个以上不同的δ势垒贯穿和两个以上的其他势垒和δ势垒相结合的势垒贯穿。 1、若是有n（n>2）个δ

势垒贯穿的情形，则n个δ势垒把空间分成n+1个区域。先根据薛定谔方程、波函数和这n个点处的边条件可以得到一个2n+1元一次方程组，然后再利用行列式来求方程组的解。因为在这里行列式的阶数要大于六阶，所以很难用人工直接计算的办法把行列式求解出来。不过随着计算机软件的飞速发展，对于阶数较高的复杂行列式可以借助Matlable软件或Mapal软件通过计算机来处理，从而能够很方便的得出需要的结果。

2、若是其他势垒和δ势垒相结合的情形，这时情况就会更复杂，因为其他势垒如方势垒在势垒内部同样要考虑波函数的变化情况。方程组的元数也要视具体的情况而定，在这时方程的元数不仅与方势垒的数目高度有关而且与δ势垒的数目和高度有关。不过求解的方法还是和前面的求解方法一样，只是在这里要考虑的边条件比前面的多。

3、多个势垒相结合的势垒贯穿问题中，势垒数目越多粒子流的透射系数也就会越小。如果是在有多个方势垒相结合下的势垒贯穿那么粒子流的透射系数就会趋于零。因为透射系数不仅与粒子的质量、势垒的高度有关，还与势垒的宽度有关，即势垒的宽度越大透射系数就越小。所以当方势垒的数目增加时就相当于增加了方势垒的宽度。三势垒遂穿的应用

量子隧穿理论被应用在一些科学领域，像电子的冷发射(cold emission)、半导体物理学、超导体物理学等等。快闪存储器的运作原理牵涉到量子隧穿理论。超大型集成电路(VLSI integrated circuit) 的一个严峻的问题就是电流泄漏。这会造成相当大的电力流失和过热

效应。最近电子贯穿势垒的事例已用于隧道二极管，这种二极管象晶体二极管一样，也是一种半导体器件，这种器件能够极其迅速地利用可控制的势垒穿透来开关电路，它有很高的频率响应，比任何晶体管都好得多。所以它目前用于高速电子光学电路中，它还可以用来制造工作频率高于1011Hz的振荡器。

另外一个重要应用领域是扫描隧道显微镜。普通的显微镜无法观察到很多微小尺寸的物体；可是，扫描隧道显微镜能够清晰地观察到这些物体的细节。扫描隧道显微镜克服了普通显微镜的极限问题（像差限制，波长限制等等）。它可以用隧穿电子来扫描一个物体的表面。四势垒遂穿与扫描隧道显微镜

扫描隧道显微镜的工作原理就是利用量子力学中的隧道效应，通过测量探针与被测样品之间的隧道电流的变化来分辨固体表面的形貌。

考虑在一维空间运动的粒子，它的势能在0

为了进一步说明扫描隧道显微镜的工作原理，现在我们来考虑这样的模型，两片被一层厚为a的绝缘层隔开的两片金属里的电子，给两片金属之间加上一个电压V，这时绝缘层就是一个势垒，它阻止了

两层金属间的电子运动，它阻止了电子从一块金属上打达另外一块。在经典物理中，电子是无论如何也不能从一块金属越过绝缘层到达另外一块金属，但是根据量子力学的隧道效应，电子可以通过隧道效应从一块金属越过绝缘层到达另外一块金属，从而形成隧道电流。根据量子力学，处于某一能级E的电子的穿透系数乘上单位时间内从内部到达表面的数量在乘上电子所带的电量即为隧道电流I。在进一步的计算中我们可以知道当势垒的宽度改变一个原子的限度（3?）时，隧道电流将改变1000倍，所以说隧道电流的大小随绝缘层的厚度变化而变化是相当灵敏的。因此扫描隧道显微镜可以观察到金属表面上极小的变化。

五扫描隧道显微镜的结构

一般的来说隧道扫描显微镜主要由三个部分组成：显微镜主题，控制电路，计算机控制系统（测量软件及数据处理软件)，在这其中最重要的就是主体，它包括了针尖平面扫描机构，针尖与样品距离控制调节机构，系统与外界震动隔离装置。

5.1针尖结构

根据量子力学的隧道效应可以知道隧道电流的大小与a密切相关所以针尖的条件非常重要，理想的针尖只有一个稳定的原子，现在主要的针尖材料有钨（W），铂铱合金即75%的铂和25%的铱。制备针尖主要有两种技术，分别是机械成型法和电化学腐蚀法。机械法主要是剪切成型，应用在铂铱合金上，电法学腐蚀一般应用在钨针尖上。利用剪切成型的针尖成斜锥状，在利用这种针尖时由于针剂的宽度和形

状的原因会使获得的图像会发生畸形，因此在使用时需要进行图像和扫描矫正，在进行图像矫正时难度较大，且要求较高。但是利用剪切法制作针尖方法简单，在一般情况下可以制得较好的针，也可以满足要求。电化学法主要用在钨针头的制作，制出的针尖其针头为圆锥状，其扫描出的图像与真实的图像比较接近，不需要进行太大的图像矫正，且矫正难度与要求较低。但是这种针头的使用受到实验条件的限制，且其制做的成本较高，并且以为是钨作为针头，在空气中容易氧化，利用率不高。

5.2扫描控制系统

STM在进行工作时不但要进行平面上的二维扫描还要进行竖直方向上的三维扫描，所以控制系统要可以进行三维运动。

虽然STM的原理很简单，但是由于其是在原子尺度上进行工作，针尖要进行工精密度移动，一般的机械装置难以胜任，所以在STM中用压电陶瓷作为ZYX 扫描控制器件。历史上，人们曾经利用三个互相垂直的管状或条状的压电陶瓷用来进行三维扫描控制，但这种装置由于其漂移较大而被淘汰。现在最常用的三维控制系统如图1.1所示，把压电陶瓷管的外电极沿与轴线平行的方向等分为四份，内电极仍为连续的，在相对的外电极上（X和X ,Y和Y )加偏压，压电陶瓷管将向一边偏转，由此实现YX 平面内的移动.如同时在内电极Z 加偏压，压电陶瓷管将伸长，从而实现z向的移动.这种单管扫描控制系统是STM技术的重要进步.它的主要优点是结构简单、紧凑、共振频率高，而且，管的轴对称性使YX 向的热漂移减小了很多，

纵向的漂移也很容易被补偿掉。针尖与样品间的距离控制系统主要是控制针尖与样品间的距离装置，其主要可以分为三种：①爬行方式：利用静电力，机械力，磁力的夹紧，并配合压电陶瓷的伸缩或者膨胀势样品架或针尖向前爬行。②机械调节装置：利用一个或多个高精密度得差分调节螺杆配合减速原理考靠接触力调节样品的位置。差分螺杆的调节不仅可以利用手动旋转也可以利用进步电机驱动等方式驱动。③螺杆与簧片的结合方式：用一个高精密的调节螺杆直接顶住一个差分簧片或者簧片系统调节。这三种各有各的千秋，第一种方式多使用于真空条件下，第二种在大气环境中使用的比较多，而第三种一般在低温条件下。

5.3震动隔绝系统

在前面的讨论中我们得知隧道电流的大小与两电极之间的距离成指数倍关系，微小的距离变化可以导致极大的电流变化，因此在试验当中震动的影响是不可忽略的，这时要考虑从两种震动的隔绝——外界震动和仪器固有震动。外界震动主要考虑建筑震动，通风管道震动，外界道路震动，变压器震动以及人员走动等。这些频率一般在Hz1001 之间，隔绝这些震动的方法主要是提高仪器的固有频率以及使用阻尼减震系统。STM系统的底座一般由大理石和橡胶板叠加堆放，这样的堆放方式使得底座的固有阻尼一般只有临界阻尼的十分之几甚至百分之几，它的主要作用是减小大幅震动冲击所带来的影响。除此之外还可以用弹簧将探测部分悬挂起来，弹簧的弹性系数较小。利用这两种技术一般可以满足扫描隧道显微镜的减震需要。如果要再次

提高系统的抗震能力可以再利用磁性涡流阻尼系统等其他减震措施。在探测时还要将探测部分即探针及样品放进金属罩中，隔绝电磁扰动，空气震动等干扰信号，提高探测准确性。

六扫描隧道显微镜的扩展——在扫描隧道显微镜基础上发展出来的各种新型显微镜

6.1原子力显微镜（AFM)

原子力显微镜（AFM)是利用了原子与分子之间的相互作用力（范德华力，价键力，表面张力，万有引力，磁力和静电力等）来观察样品表面的形形貌。为了研究导电样品和非导电样品，人们研制出了原子力显微镜，是利用针尖和样品原子间的相互作用力进行工作的，他的主要原理就是把纳米级的探针固定在操控灵敏的微米级的弹性悬臂上，当探针靠近样品时，其顶端的原子与表面原子之间的相互作用力会使得悬臂弯曲，从而偏离原来的初始位置，这样根据探针的偏离量构建三维模型，这样就能间接获取样品的表面形貌了。对于一般的原子力显微镜，常利用集成电路技术和工艺制造集成的针尖——微悬臂，当针尖对样品进行扫描时，由于针尖和样品之间存在短程的斥力，这个斥力使得微悬臂发生弯曲变形，利用反馈控制系统，使得针尖与样品之间的作用力保持恒定，通过不同的方法检测微悬臂的变形情况，这样就可以得到样品的表面形貌。

6.2磁力显微镜和静电力显微镜

原子力显微镜（AFM)，是利用探针和样品之间的短程力进行成像的，在这种情况下，样品和探针之间的长程力（如磁力和静电力）往

往不能被测量。磁力显微镜和静电力显微镜提供了一种新的测量长程力的工具，他们可以排除样品表面形貌的影响，而得到样品的一些其他信息。磁力显微镜及静电力显微镜的工作原理相似，其工作模式都属于抬起模式的原子力显微镜。

抬起模式的原理如下：

1.在样品表面扫描，得到样品的表面形貌信息，这个过程与轻敲模式中成像一样；

2.探针回到当前行扫描的开始点，增加探针与样品之间的距离（即抬起一定的高度），根据第一次扫描得到的样品形貌，始终保持探针与样品之间的距离，进行第二次扫描。在这个阶段，可以通过探针悬臂振动的振幅和相位的变化，得到相应的长程力的图像；

3.在抬起模式中，必须根据所要测量的力的性质选择相应的探针。

磁力显微镜和静电力显微镜采用的都是原子力显微镜的抬起模式。在抬起模式中，用户可以选择表面有磁性物质覆盖的微悬臂探针。当磁性针尖在磁性性质的扫描结果，形成磁力图。与磁力显微镜相似，用户可以在抬起模式中，选择表面有导电覆盖层的微悬臂探针，获得反映样品表面静电力性质的扫描结果，形成静电力图。3.2.3弹道电子发射显微镜

按照STM的工作原理当探针与样品的距离非常近时，由于探针的电势场高于样品，探针会向样品反射电子，这些隧道电子进入样品到达界面时，虽然大部分电子的能量由于被衰减而被样品势垒反弹回

来，但是仍有少量能量较高的分子能够穿透界面到达下层材料，这些穿透过界面的分子成为弹道分子。由于弹道分子在穿过界面时携带了许多有关界面的信息，因此它为界面的研究提供了有价值的数据。

6.3光子扫描隧道显微镜

关于光子扫描隧道显微镜（PSTM）是用光学探针探测样品表面附近被内全反射所激励的瞬衰场，从而获得表面结构信息。其分辨率远小于入射光的半波长。

PSTM的原理和工作方式在许多方面和STM相似。STM利用电子隧道效应，而PSTM则是利用光子隧道效应。当界面两边物质的折射率满足一定条件时，一束内全反射光会导致界面的另一侧产生一个瞬衰场。其强度随离界面的距离成指数关系。将一光学探针调节到样品表面的略衰场内，入射光的一些光子会穿过界面和光学探针之间的势垒，即产生光子隧道效应。产生的光子经过光导纤维传到光电倍增管并转换成电信号。至此以后，PSTM的工作情况与STM相同。

七总结

人类对自然世界的探索从来没有止步，自从人们开始利用放大镜观察世界开始，人们就对未知的探索的激情就日益高涨，显微镜的发明更为人类探索自然打开了大门，而扫描隧道显微镜的发明更是吹响人类进军纳米世界的号角，虽然我们关于对微观世界了解还是非常有限的，但是随着科学技术的发展相信在不久的未来会有更加微妙的显微镜把我们带向更加奇妙的世界,在新技术的指导下，我们将更加细致，精确的了解世界，使我们的视野思维高度达到更高的程度，探

寻奇妙的世界，挖掘事物的本质特征及其属性，创造更加奇妙的科学技术，为我们的生活服务，创造出更加美好的未来。

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(完整word版)一维势垒问题总结

一维势垒中的透射系数 利用传递矩阵方法研究了粒子在一维势垒中运动时的粒子的透射系数,主要研究的是在一个方势垒两个方势垒中透射系数，对以上的透射系数的总结，推出了对于任意势垒中透射系数， 并讨论了透射系数、反射系数与势垒宽度的关系. 一维方势垒 势垒模型 在方势垒中，遇到的问题和 值得注意的地方。在求方势垒波 函数中，首先要知道这是一个什 么样问题，满足什么样的方程， 方程可以写成什么样的形式，在 求解方程中，波函数的形式应该 怎样需要怎样的分段，分段的过程中，特别要强调的边界条件问题。并且验证了概率流密度。 在量子力学中，粒子在势垒附近发生的现象是不一样的，能量E 大于势垒高度0u 的粒子在势垒中有一部分发生反射，而能量小于0u 的粒子也会有部分穿过势垒，这在经典力学中是不会发生的。 下面讨论的是一维散射（即在非束缚态下问题，在无穷远处波函数不趋于零）。重点讨论的是粒子通过势垒的透射和反射，重点在于求出波函数，这就必须求解薛定谔方程，由于)(x U 是与时间无关的，此处是定态薛定谔方程。 定态薛定谔方程通式： ψψψE U m =+?-2 22h 在量子力学里, 必须知道波函数ψ, 因此必须要解薛定谔方程 t i U x m ??=+??-ψ ψψh h 2222 一维散射问题是一个非束缚态问题(()U x 与时间无关, 而E 是正的).因此令 t E i e x t x h -=)(),(ψψ

由此得到 ψψψ E U dx d m =+- 2 222h 按照势能()U x 的形式, 方程(2)一般需要分成几个部分求解.将上式改写成如下形式 022 2=+ψψ k dx d ?? ?><<<=. ,0,0; 0,)(0a x x a x u x U 先讨论0u E >的情形 粒子满足薛定谔方程分解为三个区域： ?????? ???>=-<<=+-<=-a x x E x dx d m a x x E x u x dx d m x x E x dx d m ),()(20),()()(20),()(2332 2 222022 2 2112 2 2ψψψψψψψh h h （1） ???? ?????>=+<<=-+<=+a x x mE x dx d a x x u E x dx d x x mE x dx d ,0)(2)(0,0)()()(0,0)(2)(3232220222 12 122ψψψψψψh h 特征方程02=++q pr r 的两个根21,r r 方程 0=+'+''qy y p y 的通解 两个不相等的实根21r r ≠ x r x r e C e C y 2121+= 两个相等的实根21r r = x r e x C C y 1)(21+= 一对共轭复根 βαi r ±=2,1 )sin cos (21x C x C e y x ββα+= 注： 0=+''qy y 的通解:特征方程02=+q r ,当0

一维多阶梯势垒的透射系数

一维多阶梯势垒的透射系数 甘肃省西和县何坝职校 胡来喜 742105 对于一般势垒，求解透射系数往往比方势垒复杂。应用W.K.B 半经典近似法[1] 可以精确推导出一般势垒的透射系数[1-3]，只是在推导过程中要用到比较高深的数学知识。于是，有些文章将一般势垒分成多个宽度为i x ?的小方势垒，组成一维多阶 梯势垒，并有应用鲁阿德（Rouard ）递推方法[4]和一维阶梯位势递推关系[5]分别得出一维多阶梯势垒透射系数的递推公式，这两种递推公式对于少数阶梯势垒很适用，但在阶梯势垒过多时要借助于计算机程序[6]才能完成。本文在参照了教科书[7]中求解方势垒透射系数方法的基础上，以连续函数势垒作为一般势垒的一个特例，将连续函数势垒分割成多个宽度为x ?的矩形势垒，如图1，对其过程应用相关数学处理，得出推导一维多阶梯势垒透射系数，再应用极限方法使阶梯势垒回归到连续函数势垒，推导出连续函数势垒的透射系数。最后，对推导过程中用到的近似处理进行了误差讨论，比较严密地证明了教科书[7,8]中关于势垒透射系数的结论。 1 一维多阶梯势垒透射系数 如图1所示，一般势垒U(x)的定态薛定谔方程为： 12 图1

()()22 2d ψ+K x ψx =0dx ， ()x -∞<<∞ （1）式中 () K x = （2） 令 ()()k x K x = （3）把粒子经过的区域分成n 个小区域，每个小区域的U(x)近似为常数，成为“阶梯势垒”，从而每个区域的K(x)也近似为常数（图2）。 由（1）式解出的各区域的波函数具有相同形式，如第j 区域和第n 区域为： ()j j j j iK x iK x j j j x A e B e ψ-=+，j=0,1,…，n-1 （4） ()n n iK x n n x A e ψ= （5） 得到入射波的几率流密度为： 0000**02i ? J ψψψψμ??= ?-???入入入入()0200?k x ψμ=入002000 iK x ?k A e μ= （6） 透射波的几率流密度为： ** 2n n n D n i ?J ψψψψμ??= ?-???n ()2n n n ?k x ψμ=2 n n iK x n n n ?k A e μ= (7) 入射粒子从左到右经势垒后的透射系数为： 图2

一维周期势垒中粒子的隧道效应的计算及应用

分类号： 本科生毕业论文（设计）题目：一维周期势垒中粒子的隧道效应的计算及应用 作者单位：物理学与信息技术学院 作者姓名：王乐 专业班级：物理学（2）班 指导教师（职称）：张林（副教授） 论文完成时间：二〇〇八年五月

一维周期势垒中粒子的隧道效应的计算及应用 王乐 （陕西师范大学物理学信息技术学院 物理系 陕西 西安710062） 摘 要：隧道效应是经典物理学中不能理解的量子现象。本文进一步对一维势垒遂穿问题进行了详细讨论，考察了一维势垒遂穿在隧道扫描显微镜上的应用。论文最后利用传递矩阵的方法对双势垒和多层势垒的隧道效应问题进行了讨论，给出了n 个势垒遂穿的严格结果。 关键词：势垒，隧道效应，双势垒 1 引言 隧道效应是微观世界独特的现象，它发生的机制，前人虽然已经做了很好的分析和完美的解释，但隧道效应真正的产生机制还不是很清楚，例如粒子在势垒中究竟如何隧穿，粒子隧穿的渡越时间，隧穿共振的机制等。人们从量子力学的理论发现无论粒子的能量是E > U 还是E < U ，粒子都会既有反射又有透射：R ≠0，D ≠0，而且根据几率守恒有R+D=1。虽然这个问题的解答从物理上并不令人满意，但1982年，Binning 和Rohrer 依据隧道效应原理却成功制造出扫瞄隧道显微镜，使人类直接观察和操纵原子成为现实。 隧道效应是应用非常广泛的重要效应，它在集成电路，冷电子发射，核衰变，超灵敏电磁探测器等方面都有一定的应用。近来又发现了隧道效应中的超光速现象，如果能加以应用，将极大的提高信号传递的速度。可见隧道效应在微观世界是极为普遍的现象，其在实际应用中有重要价值。近年来，人们发现一些宏观量，如微颗粒的磁化强度、量子相干器件中的磁通量等也具有隧道效应。宏观量子效应的研究对基础研究及实用都有着重要意义，它限定了磁带、磁盘进行信息存储的时间极限和器件进一步微型化的极限。 为了更为清晰地认识隧道效应在各种势垒中的隧穿行为，我将从薛定谔方程出发，进一步讨论此类问题。 2 一维矩形势垒中粒子的隧道效应 对于一维矩形势垒，其势场函数可以表示为： ?? ???><≤≤=),0(,0) 0(,)(0a x x a x U x U 如图1所示。具有一定能量E 的粒子由