高斯-赛德尔迭代法matlab程序

标题：深入探讨MATLAB中的高斯-赛德尔迭代法一、概述MATLAB是一种强大的数学计算软件，被广泛应用于科学、工程和金融等领域。

在数值分析中，迭代法是解决非线性方程组和矩阵方程组的重要方法之一。

高斯-赛德尔迭代法是其中的一种，其在求解线性方程组时具有较好的收敛性和效率。

本文将深入探讨MATLAB中高斯-赛德尔迭代法的原理和实现方法。

二、高斯-赛德尔迭代法原理高斯-赛德尔迭代法是一种求解线性方程组的迭代法。

给定线性方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，b为常数向量，迭代法的基本思想是通过不断逼近方程组的解x。

高斯-赛德尔迭代法的迭代公式如下：\[ x^{(k+1)} = D^{-1} (b - (L+U)x^{(k)}) \]其中，D、L和U分别为系数矩阵A的对角线、严格下三角部分和严格上三角部分。

迭代法的初始值可以任意选择，通常选取一个与解接近的初值，然后通过迭代逼近真实解。

三、MATLAB中高斯-赛德尔迭代法的实现MATLAB提供了丰富的数值计算函数和工具箱，使得高斯-赛德尔迭代法的实现变得非常简单。

下面我们将介绍如何在MATLAB中使用高斯-赛德尔迭代法求解线性方程组。

1. 设置参数在使用高斯-赛德尔迭代法之前，我们首先需要设置一些参数，如系数矩阵A、常数向量b、迭代步数等。

在MATLAB中可以通过定义变量来实现这些参数的设置。

2. 编写迭代函数接下来，我们需要编写高斯-赛德尔迭代法的迭代函数。

通过编写一个MATLAB函数来实现迭代公式的计算和迭代过程的控制。

3. 调用函数求解完成迭代函数的编写后，我们就可以通过调用该函数来求解线性方程组。

在MATLAB中，可以使用循环语句控制迭代步数，并在每一步更新迭代值，直到满足收敛条件为止。

四、案例分析为了更好地理解高斯-赛德尔迭代法在MATLAB中的应用，我们以一个具体的案例来进行分析和实践。

假设我们需要求解以下线性方程组：\[ \begin{cases} 4x_1 - x_2 + x_3 = 8 \\ -x_1 + 4x_2 - x_3 = 9 \\2x_1 - x_2 + 5x_3 = 7 \end{cases} \]我们可以通过MATLAB编写高斯-赛德尔迭代法的函数，并调用该函数来求解以上线性方程组。

二维Gauss-Seidel迭代法是解线性方程组的一种常用方法，通过迭代求解，能够快速且精确地得到方程组的解。

在MATLAB中，可以使用简洁的代码实现二维Gauss-Seidel迭代法，下面我们将介绍该方法的原理以及在MATLAB中的具体实现。

一、Gauss-Seidel迭代法原理1. Gauss-Seidel迭代法是一种逐次逼近的方法，通过不断迭代更新方程组中的未知数，最终得到方程组的解。

其基本思想是利用已知的未知数值不断逼近更精确的解。

2. 对于线性方程组Ax=b，可以将其表示为x(k+1)=Tx(k)+c的形式，其中T为迭代矩阵，c为常量向量，x为未知数向量。

Gauss-Seidel 迭代法通过不断更新x(k)的值，逐步逼近方程组的解。

3. 迭代矩阵T和常量向量c的具体计算方式为：首先将系数矩阵A分解为下三角矩阵L、对角矩阵D和上三角矩阵U，然后得到T=-L*(D^-1)*U，c=L*(D^-1)*b。

4. 通过不断迭代更新x(k)的值，直到满足一定的精度要求或者迭代次数达到设定值，即可得到方程组的解。

二、MATLAB实现二维Gauss-Seidel迭代法在MATLAB中，可以很方便地实现二维Gauss-Seidel迭代法，以下是具体的实现代码：```matlabfunction [x, k] = gauss_seidel(A, b, x0, tol, max_iter)A为系数矩阵，b为常量向量，x0为初始解向量，tol为精度要求，max_iter为最大迭代次数返回x为方程组的解，k为实际迭代次数n = length(b);x = x0;k = 0;err = tol + 1;L = tril(A, -1); 下三角矩阵U = triu(A, 1); 上三角矩阵D = diag(diag(A)); 对角矩阵T = -L*(D\U);c = L*(D\b);while err > tol k < max_iterx_old = x;x = T*x + c;err = norm(x - x_old, inf);k = k + 1;endend```三、代码说明1. 函数gauss_seidel接受系数矩阵A、常量向量b、初始解向量x0、精度要求tol和最大迭代次数max_iter作为输入参数，返回方程组的解x和实际迭代次数k。

【题目】：Gauss-Seidel迭代法及Matlab代码实例【内容】：1. Gauss-Seidel迭代法介绍Gauss-Seidel迭代法是一种用于解线性方程组的数值方法，基于逐次逼近的思想，通过不断迭代逼近线性方程组的解。

该方法通常用于求解大型稀疏线性方程组，其收敛速度相对较快。

2. 迭代公式推导假设有如下线性方程组：$$Ax=b$$其中A为系数矩阵，b为常数向量，x为未知向量。

Gauss-Seidel迭代法的迭代公式为：$$x^{(k+1)}=(D+L)^{-1}(b- Ux^{(k)})$$其中，D为A的对角矩阵，L为A的严格下三角矩阵，U为A的严格上三角矩阵，k为迭代次数。

3. Matlab代码实现下面给出Gauss-Seidel迭代法的Matlab代码实例：```matlabfunction [x, k] = gaussSeidel(A, b, x0, tol, maxIter)A: 系数矩阵b: 常数向量x0: 初始解向量tol: 容差maxIter: 最大迭代次数x: 解向量k: 迭代次数n = length(b);x = x0;k = 0;while k < maxIterx_old = x;for i = 1:nx(i) = (b(i) - A(i,1:i-1)*x(1:i-1) - A(i,i+1:n)*x_old(i+1:n)) / A(i,i); endif norm(x - x_old, inf) < tolreturnendk = k + 1;enddisp('迭代次数达到最大值，未达到容差要求'); end```4. 应用实例假设有如下线性方程组：$$\begin{cases}2x_1 - x_2 + x_3 = 5\\-x_1 + 2x_2 - x_3 = -2\\x_1 - x_2 + 2x_3 = 6\end{cases}$$系数矩阵A为：$$\begin{bmatrix}2 -1 1\\-1 2 -1\\1 -1 2\end{bmatrix}$$常数向量b为：$$\begin{bmatrix}5\\-2\\6\end{bmatrix}$$取初始解向量x0为：$$\begin{bmatrix}0\\0\\\end{bmatrix}$$容差tol为1e-6，最大迭代次数maxIter为100。

题目：高斯-赛德尔迭代法的算法及程序设计摘要本文通过理论与实例对线性方程组的解法、收敛性及误差分析进行了探讨.在对线性方程组数值解法的讨论下用到了高斯-赛德尔迭代法，进一步研究和总结了高斯-赛德尔迭代法的理论与应用，使我们在分析问题与编辑程序时能更好的把握对高斯-赛德尔迭代法的应用。

关键词Gauss-Seidel迭代法；收敛性；误差分析；流程图；Mathematica编程目录第一章高斯-赛德尔迭代法 (1)§1.1 高斯-赛德尔迭代法的提出 (1)§1.1.1 高斯-赛德尔迭代法的思想理论 (1)§1.1.2 高斯-赛德尔迭代法的定义及表达形式 (2)§1.2 高斯-赛德尔迭代法的收敛性 (1)§1.3 高斯-赛德尔迭代法的误差分析 (1)第二章高斯-赛德尔迭代法的程序设计 (1)§2.1 高斯-赛德尔迭代法在上机中的应用 (1)§2.1.1 高斯-赛德尔迭代法的流程图 (1)§2.1.2 高斯-赛德尔迭代法的源程序 (1)参考文献 .............................................. 错误！未定义书签。

附录 .................................................. 错误！未定义书签。

第一章 高斯-赛德尔迭代法考虑线性方程组A x b=其中A 为非奇异矩阵，对于由工程技术中产生的大型稀疏矩阵方程组（A 的阶数n 很大但零元素很多）,利用迭代法求解线性方程组A x b =是合适的.在计算机内存和运算两方面，迭代法通常都可利用A 中有大量零元素的特点.本章将介绍迭代法中的高斯-赛德尔法的思想理论、收敛性及误差分析.§1.1 高斯-赛德尔迭代法的提出§1.1.1 高斯-赛德尔迭代法的思想理论在研究雅可比迭代法时，计算1k i x +时，已得(1)(1)(1)121,,,k k k i x x x +++- （这些分别为121,,,i x x x - 的第k+1次近似），Gauss-Seidel 迭代法认为在计算时启用新值，从而产生1(1)(1)()111()i nk k k ii ij jij j j j i iixb a xa x a -++==+=--∑∑.具体原理如下图所示图1.1 基本迭代原理§1.1.2 高斯-赛德尔迭代法的定义及表达形式定义1.1 我们注意到在雅可比迭代法中并没有对新算出的分量11k x+，12k x +， ，11k i x +-进行充分利用．不妨设想，在迭代收敛的条件下，我们把(1)()()()11211331111(1)()()()22112332222(1)()()()1122,111()1(1(k k k k n n k k k k n n k k k k n n n n n n nn x a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x b a +++--⎧=---+⎪⎪⎪=---+⎪⎨⎪⎪⎪=---+⎪⎩式中第一个方程算出的11k x +立即投入到第二个方程中，代替()1k x 进行计算，当12k x +算出后代替()2k x 马上投入到第三个方程中计算，依次进行下去，这样也许会得到更好的收敛效果．根据这种思路建立的一种新的迭代格式，我们称为高斯-赛德尔（Gauss-Seidel ）迭代公式，高斯=赛德尔迭代法的分量形式：(1)()()()11211331111(1)(1)()()22112332222(1)(1)(1)(1)1122,111()1(1(k k k k n n k k k k n n k k k k nn n n n nnn x a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x b a +++++++--⎧=---+⎪⎪⎪=---+⎪⎨⎪⎪⎪=---+⎪⎩高斯-赛德尔迭代法的矩阵形式：(1)(),(0,1,2,)k k xBxf k +=+= 其中1()BD L U -=- ，1()f D L b -=- B称为高斯-赛德尔迭代矩阵，f 称为高斯-赛德尔迭代常量.. §1.2 高斯-赛德尔迭代法的收敛性根据上节所述，高斯-赛德尔迭代法的迭代格式为(1)(),(0,1,2,)k k xBxf k +=+= （1-1） 其中1()B D L U-=-，1()f D L b -=- .本节要讨论的问题就是任意选取初始值(0)x ，利用迭代格式(1-1)得到的向量序列{}()k x 是否一定收敛，如果收敛的话需要满足什么条件？下面我们给出一般迭代收敛的条件:定理1.2 简单迭代法(1-1)收敛的充分必要条件是迭代矩阵B 的谱半径()1B ρ<．定理1.3 若迭代矩阵B 的某种范数1<B 则（1-2-1）确定的迭代法对任意初值(0)X均收敛于方程组x Bx f =+的唯一解*x 。

Gauss-Seidel迭代法是解线性方程组的一种常用方法，它通过不断迭代更新解向量，逐步逼近方程组的精确解。

在实际应用中，我们往往需要判断迭代法是否收敛，以保证计算结果的准确性和可靠性。

本文将以matlab为例，介绍如何利用数值计算软件对Gauss-Seidel迭代法的收敛性进行判断，并对其进行详细分析和讨论。

一、Gauss-Seidel迭代法简介Gauss-Seidel迭代法是一种逐次迭代的线性代数方法，用于求解线性方程组Ax=b的解向量x。

它的迭代更新公式为：xn+1i=1/aii(bi-∑(j=1,j≠i)n aijxj)其中，i=1,2,...,n；n为方程组的阶数；aii为系数矩阵A的第i行第i 列元素；bi是方程组右端的常数；xj为解向量x的第j个分量；∑(j=1,j≠i)n aijxj为除去第i个分量的求和。

通过不断迭代更新解向量的各个分量，最终可以逼近线性方程组的解。

二、Gauss-Seidel迭代法的收敛性判断针对Gauss-Seidel迭代法的收敛性判断，我们可以利用数值计算软件matlab进行分析。

在matlab中，可以使用以下命令进行Gauss-Seidel迭代法的计算：function[x,k]=GaussSeidel(A,b,x0,tol,maxk)n=length(b);x=x0;for k=1:maxkx0=x;for i=1:nx(i)=1/A(i,i)*(b(i)-A(i,:)*x+x(i));endif norm(x-x0,inf)<tolreturn;endenderror('达到最大迭代次数，方法未收敛');end在上述matlab代码中，A为系数矩阵，b为右端常数向量，x0为初始解向量，tol为迭代精度，maxk为最大迭代次数。

在函数中，我们设定了最大迭代次数以及迭代精度的条件，当满足这些条件时，算法将停止迭代。

三、Gauss-Seidel迭代法的收敛性分析Gauss-Seidel迭代法的收敛性与系数矩阵A的性质有关。

Gauss-Seidel迭代法是一种用于解线性方程组的数值方法，特别适用于稀疏矩阵。

以下是一个使用Matlab实现Gauss-Seidel迭代法的简单示例代码：```matlabfunction [x, iteration] = gaussSeidel(A, b, tol, maxIter)% 输入参数：% A：系数矩阵% b：右侧常数向量% tol：迭代收敛容差% maxIter：最大迭代次数n = length(b);x = zeros(n, 1); % 初始化解向量iteration = 0;while iteration < maxIterx_new = x; % 存储前一次迭代的解for i = 1:n% 计算新的解x(i) = (b(i) - A(i,1:i-1)*x(1:i-1) - A(i,i+1:n)*x_new(i+1:n)) / A(i,i);end% 计算迭代误差error = norm(x - x_new, inf);if error < tolreturn;enditeration = iteration + 1;endwarning('Gauss-Seidel迭代未收敛到指定容差。

');end```使用这个函数时，您需要提供系数矩阵A、右侧常数向量b、迭代收敛容差tol和最大迭代次数maxIter作为输入参数。

函数将返回解向量x和迭代次数iteration。

示例用法：```matlabA = [4, -1, 0; -1, 4, -1; 0, -1, 3];b = [12; -1; 0];tol = 1e-6;maxIter = 1000;[x, iteration] = gaussSeidel(A, b, tol, maxIter);fprintf('解向量x = \n');disp(x);fprintf('迭代次数= %d\n', iteration);```这将求解线性方程组Ax = b，并返回解向量x以及迭代次数。

高斯赛德尔算法程序说明高斯赛德尔算法（Gauss-Seidel algorithm）是一种用于求解线性方程组的迭代方法。

它通过逐次修正线性方程组的解来逼近方程组的精确解。

算法步骤如下：1. 初始化解向量的初值，可以是全零向量或者任意向量。

2. 对于每个方程，使用当前的解来计算该方程中除未知数所在位置以外的其他已知数和常数项的值，然后用这些值代入方程中求解未知数的值，更新当前解向量的对应分量。

3. 重复步骤2，直到当前解向量的变化足够小或达到迭代次数的上限。

通过迭代计算，可以逼近线性方程组的精确解。

高斯赛德尔算法的程序示例：```pythondef gauss_seidel(A, b, x0, tol=1e-6, max_iter=100):n = len(A)x = x0.copy()# 迭代计算for k in range(max_iter):for i in range(n):sum1 = sum(A[i][j] * x[j] for j in range(i))sum2 = sum(A[i][j] * x[j] for j in range(i + 1, n))x[i] = (b[i] - sum1 - sum2) / A[i][i]# 检查当前解的变化是否足够小error = max(abs(A[i][i] * x[i] - b[i]) for i in range(n))if error < tol:breakreturn x```输入参数说明：- A: 系数矩阵（n × n）- b: 常数向量（长度为n）- x0: 初始解向量（长度为n）- tol: 解的变化容许度，默认为1e-6- max_iter: 最大迭代次数，默认为100输出为线性方程组的近似解向量。

需要注意的是，在使用高斯赛德尔算法求解线性方程组时，有时候可能会出现算法发散的情况，即迭代无法收敛到方程组的解。

题目：高斯-赛德尔迭代法的算法及程序设计摘要本文通过理论与实例对线性方程组的解法、收敛性及误差分析进行了探讨.在对线性方程组数值解法的讨论下用到了高斯-赛德尔迭代法，进一步研究和总结了高斯-赛德尔迭代法的理论与应用，使我们在分析问题与编辑程序时能更好的把握对高斯-赛德尔迭代法的应用。

关键词 Gauss-Seidel迭代法；收敛性；误差分析；流程图；Mathematica编程目录第一章高斯-赛德尔迭代法 (1)§1.1 高斯-赛德尔迭代法的提出 (1)§1.1.1 高斯-赛德尔迭代法的思想理论 (1)§1.1.2 高斯-赛德尔迭代法的定义及表达形式 (2)§1.2 高斯-赛德尔迭代法的收敛性 (1)§1.3 高斯-赛德尔迭代法的误差分析 (1)第二章高斯-赛德尔迭代法的程序设计 (1)§2.1 高斯-赛德尔迭代法在上机中的应用 (1)§2.1.1 高斯-赛德尔迭代法的流程图 (1)§2.1.2 高斯-赛德尔迭代法的源程序 (1)参考文献 (22)附录 (23)第一章 高斯-赛德尔迭代法考虑线性方程组Ax b =其中为非奇A 异矩阵，对于由工程技术中产生的大型稀疏矩阵方程组（A 的阶数很大n 但零元素很多）,利用迭代法求解线性方程组是合适Ax b =的.在计算机内存和运算两方面，迭代法通常都可利用中A 有大量零元素的特点.本章将介绍迭代法中的高斯-赛德尔法的思想理论、收敛性及误差分析.§1.1 高斯-赛德尔迭代法的提出§1.1.1 高斯-赛德尔迭代法的思想理论在研究雅可比迭代法时，计算1k i x +时，已得(1)(1)(1)121,,,k k k i x x x +++-（这些分别为121,,,i x x x -的第k+1次近似），Gauss-Seidel 迭代法认为在计算时启用新值，从而产生1(1)(1)()111()i nk k k ii ij j ij j j j i ii xb a x a x a -++==+=--∑∑. 具体原理如下图所示()k x →→→图1.1 基本迭代原理§1.1.2 高斯-赛德尔迭代法的定义及表达形式定义1.1 我们注意到在雅可比迭代法中并没有对新算出的分量11k x +，12k x +，，11k i x +-进行充分利用．不妨设想，在迭代收敛的条件下，我们把(1)()()()11211331111(1)()()()22112332222(1)()()()1122,111()1(1(k k k k n n k k k k n n k k k k nn n n n n nn x a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x b a +++--⎧=---+⎪⎪⎪=---+⎪⎨⎪⎪⎪=---+⎪⎩式中第一个方程算出的11k x +立即投入到第二个方程中，代替进行计()1k x 算，当算出后代12k x +替马上投入()2k x 到第三个方程中计算，依次进行下去，这样也许会得到更好的收敛效果．根据这种思路建立的一种新的迭代格式，我们称为高斯-赛德尔（Gauss-Seide l ）迭代公式，高斯=赛德尔迭代法的分量形式：(1)()()()11211331111(1)(1)()()22112332222(1)(1)(1)(1)1122,111()1(1(k k k k n n k k k k n n k k k k nn n n n n nn x a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x b a +++++++--⎧=---+⎪⎪⎪=---+⎪⎨⎪⎪⎪=---+⎪⎩高斯-赛德尔迭代法的矩阵形式：(1)(),(0,1,2,)k k x Bx f k +=+=其中1()B D L U -=-，1()f D L b -=-B 称为高斯-赛德尔迭代矩阵，f 称为高斯-赛德尔迭代常量..§1.2 高斯-赛德尔迭代法的收敛性根据上节所述，高斯-赛德尔迭代法的迭代格式为(1)(),(0,1,2,)k k x Bx f k +=+= （1-1）其中1()B D L U -=-，1()f D L b -=- .本节要讨论的问题就是任意选取初始值(0)x ，利用迭代格式(1-1)得到的向量序列是否一{}()k x 定收敛，如果收敛的话需要满足什么条件？ 下面我们给出一般迭代收敛的条件:定理1.2 简单迭代法(1-1)收敛的充分必要条件是迭代矩阵的B 谱半径()1B ρ<． 定理1.3 若迭代矩阵B 的某种范数1<B 则（1-2-1）确定的迭代法对任意初值均收敛于(0)X 方程组的唯x Bx f =+一解*x 。

【精品】高斯-赛德尔迭代法的算法及程序设计高斯-赛德尔迭代法是求解线性方程组的一种迭代法，它是对高斯消元法的改进。

其基本思想是用当前的结果来更新方程组中的未知量，不断迭代直到满足停止条件。

本文介绍了高斯-赛德尔迭代法的算法原理和程序设计。

一、算法原理对于线性方程组 Ax = b，我们可以将系数矩阵 A 分解为 A = L + D + U，其中 L 是A 的下三角部分，D 是 A 的对角线部分，U 是 A 的上三角部分。

将方程组写成如下形式：(A + L)x = (b - Ux) + Dx令则原方程组可化为Bx = c + Dx^{(k)}其中 k 表示迭代次数，x^{(k)} 表示第 k 次迭代的未知量。

通过不断地迭代，我们可以得到 x^{(k+1)}，直到 x^{(k+1)} 与 x^{(k)} 的差值小到可接受的误差范围内。

高斯-赛德尔迭代法的迭代公式如下：x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}\left(b_i - \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij}x_j^{(k+1)} - \sum_{j=i+1}^{n} a_{ij}x_j^{(k)}\right),\ i = 1, 2, \dots, n其中 x_j^{(k+1)} 表示第 k+1 次迭代中已经计算出的第 j 个未知量的值。

二、程序设计1. 定义函数：定义高斯-赛德尔迭代法函数 gauss_seidel(A, b, x0, eps, max_iter)，其中 A 表示系数矩阵，b 表示常数向量，x0 表示初始解向量，eps 表示停止条件中的误差限，max_iter 表示最大迭代次数。

2. 初始化变量：在程序中对变量进行初始化，包括未知量向量 x，误差 e，迭代次数 k 和停止标志 flag。

3. 迭代求解：利用高斯-赛德尔迭代法的迭代公式对未知量进行计算，并进行误差判断，判断误差是否小于 eps 或迭代次数是否超过了 max_iter，如果满足其中一个条件，则将停止标志 flag 置为 True，否则将进行下一次迭代。

高斯-赛德尔迭代法matlab程序disp('划分为M*M个正方形')M=5 %每行的方格数，改变M可以方便地改变剖分的点数u=zeros(M+1);%得到一个（M+1）*（M+1）的矩阵disp('对每个剖分点赋初值，因为迭代次数很高，所以如何赋初值并不重要，故采用对列线性赋值。

')disp('对边界内的点赋初值并使用边界条件对边界赋值：')for j=1:M-1for i=1:M-1u(i+1,j+1)=100*sin(pi/M*j)/M*(M-i);%对矩阵（即每个刨分点）赋初值endendfor i=1:M+1u(1,i)=100*sin(pi*(i-1)/M);%使用边界条件对边界赋值u(1,M+1)=0;endutic %获取运行时间的起点disp('迭代次数为N')N=6 %迭代次数，改变N可以方便地改变迭代次数disp('n为当前迭代次数，u为当前值，结果如下：')for n=1:Nfor p=2:Mi=M+2-p;for j=2:Mu(i,j)=0.25*(u(i,j-1)+u(i+1,j)+u(i-1,j)+u(i,j+1));%赛德尔迭代法endendn %输出nu %输出uenddisp('所用的时间：')t=toc %获取算法运行需要的时间[x,y]=meshgrid(0:1/M:1,0:1/M:1);z=u(1,:);for a=2:M+1z=[z;u(a,:)];%获取最终迭代的结果，幅值给z，z的值代表该点的点位值endmesh(x,y,z)%绘制三维视图以便清楚地显示结果mesh(x,y,z,'FaceColor','white','EdgeColor','black') %绘制三维视图以便清楚地显示结果。

题目：高斯-赛德尔迭代法的算法及程序设计摘要本文通过理论与实例对线性方程组的解法、收敛性及误差分析进行了探讨.在对线性方程组数值解法的讨论下用到了高斯-赛德尔迭代法，进一步研究和总结了高斯-赛德尔迭代法的理论与应用，使我们在分析问题与编辑程序时能更好的把握对高斯-赛德尔迭代法的应用。

关键词Gauss-Seidel迭代法；收敛性；误差分析；流程图；Mathematica编程目录第一章高斯-赛德尔迭代法 (1)§1.1 高斯-赛德尔迭代法的提出 (1)§1.1.1 高斯-赛德尔迭代法的思想理论 (1)§1.1.2 高斯-赛德尔迭代法的定义及表达形式 (2)§1.2 高斯-赛德尔迭代法的收敛性 (1)§1.3 高斯-赛德尔迭代法的误差分析 (1)第二章高斯-赛德尔迭代法的程序设计 (1)§2.1 高斯-赛德尔迭代法在上机中的应用 (1)§2.1.1 高斯-赛德尔迭代法的流程图 (1)§2.1.2 高斯-赛德尔迭代法的源程序 (1)参考文献 .............................................. 错误！未定义书签。

附录 .................................................. 错误！未定义书签。

第一章 高斯-赛德尔迭代法考虑线性方程组Ax b =其中A 为非奇异矩阵，对于由工程技术中产生的大型稀疏矩阵方程组（A 的阶数n 很大但零元素很多）,利用迭代法求解线性方程组Ax b =是合适的.在计算机内存和运算两方面，迭代法通常都可利用A 中有大量零元素的特点.本章将介绍迭代法中的高斯-赛德尔法的思想理论、收敛性及误差分析.§1.1 高斯-赛德尔迭代法的提出§1.1.1 高斯-赛德尔迭代法的思想理论在研究雅可比迭代法时，计算1k i x +时，已得(1)(1)(1)121,,,k k k i x x x +++- （这些分别为121,,,i x x x - 的第k+1次近似），Gauss-Seidel 迭代法认为在计算时启用新值，从而产生1(1)(1)()111()i nk k k ii ij j ij j j j i ii xb a x a x a -++==+=--∑∑. 具体原理如下图所示图1.1 基本迭代原理§1.1.2 高斯-赛德尔迭代法的定义及表达形式定义1.1 我们注意到在雅可比迭代法中并没有对新算出的分量11k x +，12k x +， ，11k i x +-进行充分利用．不妨设想，在迭代收敛的条件下，我们把 (1)()()()11211331111(1)()()()22112332222(1)()()()1122,111()1(1(k k k k n n k k k k n n k k k k nn n n n n nn x a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x b a +++--⎧=---+⎪⎪⎪=---+⎪⎨⎪⎪⎪=---+⎪⎩式中第一个方程算出的11k x +立即投入到第二个方程中，代替()1k x 进行计算，当12k x +算出后代替()2k x 马上投入到第三个方程中计算，依次进行下去，这样也许会得到更好的收敛效果．根据这种思路建立的一种新的迭代格式，我们称为高斯-赛德尔（Gauss-Seidel ）迭代公式，高斯=赛德尔迭代法的分量形式：(1)()()()11211331111(1)(1)()()22112332222(1)(1)(1)(1)1122,111()1(1(k k k k n n k k k k n n k k k k n n n n n n nn x a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x b a +++++++--⎧=---+⎪⎪⎪=---+⎪⎨⎪⎪⎪=---+⎪⎩高斯-赛德尔迭代法的矩阵形式：(1)(),(0,1,2,)k k x Bxf k +=+= 其中1()BD L U -=- ，1()f D L b -=- B称为高斯-赛德尔迭代矩阵，f 称为高斯-赛德尔迭代常量.. §1.2 高斯-赛德尔迭代法的收敛性根据上节所述，高斯-赛德尔迭代法的迭代格式为(1)(),(0,1,2,)k k x Bx f k +=+= （1-1）其中1()B D L U -=-，1()f D L b -=- .本节要讨论的问题就是任意选取初始值(0)x ，利用迭代格式(1-1)得到的向量序列{}()k x 是否一定收敛，如果收敛的话需要满足什么条件？下面我们给出一般迭代收敛的条件:定理1.2 简单迭代法(1-1)收敛的充分必要条件是迭代矩阵B 的谱半径()1B ρ<．定理1.3 若迭代矩阵B 的某种范数1<B 则（1-2-1）确定的迭代法对任意初值(0)X 均收敛于方程组x Bx f =+的唯一解*x 。

matlab逐次超松弛迭代法
逐次超松弛迭代法（Gauss-Seidel Overrelaxation Method）
是一种用于求解线性方程组的数值方法，常用于解决大型稀疏矩阵
的方程组。

在MATLAB中，可以通过编写逐次超松弛迭代法的代码来
实现该算法。

首先，让我们回顾一下逐次超松弛迭代法的基本原理。

该方法
是基于迭代的思想，通过不断迭代计算得到线性方程组的近似解。

在每一次迭代中，通过更新当前解向量的各个分量来逐步逼近方程
组的精确解。

逐次超松弛迭代法引入了松弛因子，可以加速收敛速度。

在MATLAB中，可以使用以下步骤来实现逐次超松弛迭代法：
1. 首先，编写一个函数来表示线性方程组的系数矩阵和右侧向量。

这个函数可以接受系数矩阵、右侧向量和当前解向量作为输入，并返回更新后的解向量。

2. 接下来，编写主程序来调用这个函数，并设置迭代的终止条件。

可以选择设置最大迭代次数或者设定一个收敛精度作为终止条
件。

3. 在主程序中，使用一个循环来进行迭代计算，直到满足设定的终止条件为止。

在每一次迭代中，调用上述编写的函数来更新解向量。

4. 最后，输出得到的近似解向量作为结果。

需要注意的是，逐次超松弛迭代法的收敛性与松弛因子的选择有关，通常需要根据具体的线性方程组进行调整。

总之，在MATLAB中实现逐次超松弛迭代法需要编写系数矩阵和右侧向量的函数以及主程序来进行迭代计算，并且需要注意收敛性和松弛因子的选择。

希望这个回答能够帮助你更好地理解和实现逐次超松弛迭代法。

matlab迭代函数程序Matlab是一种高级的数学软件，其内置了许多迭代函数，可以帮助用户更方便地进行数值计算和数据分析。

本文将介绍一些常用的Matlab迭代函数及其应用，希望能够对读者有所帮助。

一、for循环for循环是Matlab中最基本的迭代函数之一，其语法格式为： for 循环变量=初始值:步长:终止值循环体end其中，循环变量是一个标量或向量，初始值、步长和终止值都是数值。

循环体中的语句将会被重复执行，直到循环变量达到终止值为止。

下面是一个简单的例子，计算1到10的累加和：sum = 0;for i = 1:10sum = sum + i;enddisp(sum);输出结果为55，即1+2+3+...+10的和。

二、while循环while循环是另一种常用的迭代函数，其语法格式为：while 条件循环体end其中，条件可以是任何能够返回逻辑值的表达式，循环体中的语句将会被重复执行，直到条件为假为止。

下面是一个简单的例子，计算1到10的累加和：sum = 0;i = 1;while i <= 10sum = sum + i;i = i + 1;enddisp(sum);输出结果为55，与for循环的结果相同。

三、递归函数递归函数是一种特殊的函数，其定义中包含对自身的调用。

在Matlab中，递归函数的语法与普通函数相同，但需要注意避免死循环。

下面是一个递归函数的例子，计算n的阶乘：function f = factorial(n)if n == 0f = 1;elsef = n * factorial(n-1);endend该函数首先判断n是否为0，若是则返回1；否则返回n乘以n-1的阶乘。

例如，计算5的阶乘可以使用以下语句：disp(factorial(5));输出结果为120。

四、向量化运算向量化运算是Matlab的一大特色，可以大大提高计算效率。

其基本思想是将循环语句转化为矩阵运算，避免了循环带来的额外开销。

matlab中应用的高斯-赛德尔迭代程序主程序如下：function X=gsdddy(A,b,X0,P,wucha,max1)D=diag(diag(A));U=-triu(A,1);L=-tril(A, -1);dD=det(D);if dD==0disp('请注意：因为对角阵D奇异，所以此方程无解')elsedisp('请注意：因为对角阵距D非奇异，所以此方程有解')iD=inv(D -L);B2=iD*U;f2=iD*b;jX=A\b;X=X0;[n m]=size(A);for k=1:max1X1=B2*X+f2;djwcX=norm(X1 -X,P);xdwcX=djwcX/(norm(X,P)+eps);if(djwcX<wucha)|(xdwcX<wucha)returnelsek;X1';k=k+1;X=X1;endendif(djwcX<wucha)|(xdwcX<wucha)disp('请注意：高斯－赛德尔迭代收敛，此A的分解矩阵D,U,L和方程组的精确解jX和近似解X如下：')elsediso('请注意：高斯－赛德尔迭代的结果没有达到给定的精度，并且迭代次数已经超过最大迭代次数max1,方程组的精确解jx和迭代X如下：')X=X';jX=kX';endendX=X';D;U;L;jX=jX';在主窗口框中输入以下例子>> A=[10 3 1;2 -10 3;1 3 10];>> b=[14;11;20];X0=[0 0 0]';>> X=gsdddy(A,b,X0,inf,0.001,100)请注意：因为对角矩阵D非奇异，所以此方程组有解。

X =1.2820 -0.2592 1.9496欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。

function[x,k]=GaussSeidel(A,b,x0,eps,M)%高斯赛德尔迭代法求方程组的解(矩阵公式求解)%A 为方程组的系数矩阵； b 为方程组的右端项%x 为线性方程组的解了； x0 为迭代初值%eps 为误差限； M 为迭代的最大次数if nargin==3eps= 1.0e-6;%默认精度M = 10000;%参数不足时默认后两个条件elseif nargin ==4M = 10000;%参数的默认值elseif nargin<3error('参数不足');returnend[n,m]=size(A);nb=length(b);%当方程组行与列的维数不相等时，停止计算，并输出出错信息if n~=merror('矩阵 A 行数和列数必须相等!');return;end%当方程组与右端项的维数不匹配时，停止计算，并输出出错信息if n~=nberror('矩阵 A 的行数必须和 b 的长度相等!');return;endL =zeros(n,n);U =zeros(n,n);D =zeros(n,n);for i=2:nfor j=1:i-1L(i,j)=-A(i,j);endendfor i=1:n-1for j=i+1:nU(i,j)=-A(i,j);endendfor i=1:nD(i,i)=A(i,i);endB=inv(D-L)*U; g=inv(D-L)*b;%B 为迭代矩阵%g 为右端项pr=max(abs(eig(B))); % 求迭代矩阵谱半径if pr>=1error('迭代矩阵谱半径大于 1 迭代法不收敛');return;endk=0;tol=1;while tol>=epsx = B*x0+g;k = k+1; %迭代步数tol = norm(x-x0);% 前后两步迭代结果的误差x0 = x;if(k>=M)disp('Warning: 迭代次数太多，可能不收敛！ ');return;endend。