高一数学必修二第二章

2. 如图, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 求证: (1) B1D⊥平面A1C1B; (2) B1D与平面A1C1B的交点H是△A1C1B的重心 (三角形三条中线的交点). D1 C1 证明: (1) 连结B1D1, A1 则A1C1⊥B1D1, B1 H· 又A1C1⊥D1D, ∴A1C1⊥平面B1D1D, D C 则A1C1⊥B1D. A B 同理, 连结B1C, 可得BC1⊥B1D. ∴ B1D⊥平面A1C1B.
二面角的大小由它的平面角确定.
14. 两平面垂直的判定 一个平面过另一个平面的垂线, 则这两 个平面垂直. l⊥ a , ⇒ ba. l b ,
b
l
a
15. 平面与平面垂直的性质 ⊕两个平面垂直, 则一个平面内垂直 于交线的直线与于另一个平面垂直.
a b, a∩b = m, l a,
l⊥m,
E1 A1 D1 F1 D F B B1 C1
E A
C
6. 如图, 长方体的三个面的对角线长分别是 a, b, c, 求长方体对角线 AC 的长. D C 解: 设长方体中同一顶点 B A 处的三条棱长为 x, y, z, b a D C y x c 则 a2=x2y2, z b2=y2z2, A B c2=z2x2, 而 AC2=AC2CC2 =AB2BC2CC2 = x2y2z2 2 2 2 a b c = , 2 2 2 2 a b c AC = . 2
l a
⇒ l⊥ b .
m
b
⊕两平面垂直, 平行于一平面的直 线垂直于另一平面.
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复习参考题 A 组 1. 三个平面可将空间分成几部分? 你能画出它 们的直观图吗? 答: 三个平面可将空间分成 4个、或 6个、或 7个、 或 8个部分. 4部分 6部分 7部分 8部分
a b g g a b g
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2. 线线之间的位置关系
相交 平行
异面
共面
判定两直线平行的公理 4: 平行于同一条直线的两直线互相平行.
3. 两异面直线所成的角 ① 角的范围 (0, 90]. ② 由定义找角: 相交非钝角, 且两边分别平行两异面直线. ③ 垂直 异面垂直, 无垂足.
4. 线面平行的判定定理 b a, a a , ⇒ b∥ a . b//a, 由线线平行得线面平行. 5. 线面平行的性质定理 l∥ a , ⇒ l∥m. l b, b∩a = m 由线面平行得线线平行.
本章内容
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 第二章 小结
知识要点
复习参考题
自我检测题
1. 三个公理 公理1: 如果一条直线上的两点在一个平面 内, 那么这条直线在此平面内. 公理2: 过不在一条直线上的三点, 有且只 有一个平面. 三推论: ①两相交直线确定平面; ②两平行 直线确定平面; ③直线外的点与直线确定平面. 公理 3: 如果两个不重合的平面有 一个公共点, 那么它们有且只有一条过 该点的公共直线.
g
a
b
a
b源自文库
2. 如图, 一块正方体形木料的上底面上有一点 E, 经过点 E 在上底面上画一条直线与 CE 垂直, 怎样画? 画法: ① 连结C1E, D1 M C1 E ② 在平面A1C1内, · A1 N B1 过点 E 作 MN⊥C1E. 则 MN就是所要求作的直线. D C 其理由: A B ∵ CC1⊥平面A1C1, MN平面A1C1, ∴ MN⊥CC1. 所作 MN⊥C1E, 则 MN⊥平面C1EC, 得 MN⊥CE.
12. 直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行.
l1⊥ a ,
l2⊥a,
l1//l2.
由线面垂直得线线平行.
13. 二面角及它的平面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图 形叫做二面角. 以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个 半面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射 线所成的角叫做二面角的平面角.
如果平面内的一条直线垂直平面的一条 斜线在平面上的射影, 则这条直线垂直斜线.
11. 直线和平面所成的角 ⊕斜线与斜线在平面上的射影的夹角(锐角). ⊕垂线与平面所成的角为90. ⊕平行线或在平面内的直线与平面所成的 角为 0. ⊕斜线和平面所成的角是斜线和平面内所 有直线所成角中最小的. ⊕两条平行线和同一个平面所成的 角相等.
A
b
B组 1. 如图, 边长为 2 的正方形 ABCD 中, (1) 点 E 是 AB 的中点, 点 F 是 BC 的中点, 将 △AED, △DCF 分别沿 DE, DF 折起, 使 A, C 两点 重合于点 A, 求证: AD⊥EF. (2) 当 BE=BF= 1 BC 时, 求三棱锥 AEFD 的体积. 4 D A (1) 证明: ∵DA⊥AE, DC⊥CF, ∴DA⊥AE, DA⊥AF, E 则 DA⊥平面 AEF, B F C 于是得 DA⊥EF.
2. 如图, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 求证: (1) B1D⊥平面A1C1B; (2) B1D与平面A1C1B的交点H是△A1C1B的重心 (三角形三条中线的交点). D1 C1 证明: (2) 设A1C1∩B1D1=O, O A1 则O, H, B是平面A1BC1与平 B1 H· E 面B1BDD1的公共点, 即B, H, O共线. D C 而O点是A1C1的中点, A B 即BO是△A1C1B的中线. 同理, 设BC1∩B1C=E, A1, H, E共线且是△A1C1B的中线. ∴H是△A1C1B的重心.
B
5. 如图, 正方体 ABCD-A1B1C1D1中, AE=A1E1, AF=A1F1, 求证 EF//E1F1, 且 EF=E1F1. 证明: 连结EE1, FF1, 在正方体中, AE∥A1E1, AF∥A1F1, 又知 AE=A1E1, AF=A1F1, ∴ AEE1A1和AFF1A1是□, 则 EE1//AA1, 且EE1=AA1, FF1//AA1, 且FF1=AA1, 得 EE1//FF1, 且EE1=FF1, ∴ 四边形EE1F1F是□, 则 EF//E1F1, 且EF=E1F1.
9. 线面垂直的判定定理 ⊕如果一条直线和一个平面内的两条 相交直线都垂直, 那么这条直线垂直于这 个平面. l⊥ a , l⊥ b , l⊥ a . a a , b a , a∩b=P, ⊕两平行线中的一条垂直于一个平 面, 那么另一条也垂直于这个平面.
10. 三垂线定理 如果平面内的一条直线垂直平面的斜线, 则这条直线垂直斜线在平面上的射影;
3. 证明: 两两相交且不过同一点的三条直线必 在同一个平面内. 如图, 已知直线 a∩b=A, b∩c=B, c∩a=C. 求证 a, b, c 共面. b a a 证明: ∵ a∩b = A, A ⇒ a、b 确定平面, 设为 a, B 则 a a , b a , 又 c∩a = C, c∩b = B, 得 Ca, Bb, 于是得 Ca, Ba, 即得 ca, ∴ a、b、c 共面于 a.
9. 如图, 平面 a、b、g 两两相交, a、b、c 为三 条交线, 且 a//b, 求证 a//b//c. 证明: ∵ a∥b, g∩b = b, a g , a//b.
c
a b
b
g
同理, a∥b, a∩b = c, a//c. a a ,
于是得 b//c, ∴得 a//b//c.
a
10. 如图, a∩b = AB, PC⊥a, PD⊥b, C, D 是垂足, 试判断直线 AB 与 CD 的位置关系? 并证明 你的结论. P 答: AB⊥CD. B 证明: ∵a∩b =AB, C ∴ABa, ABb. a D 而 PC⊥a, PD⊥b, ∴ PC⊥AB, PD⊥AB. 则 AB⊥平面PCD. 而 CD平面PCD, ∴AB⊥CD.
D
E
C
8. 已知 a, b, g 是三个平面, 且 a∩b = a, a∩g = b, b∩g = c, 且a∩b = O. 求证 a, b, c 三线共 点.
证明: ∵a∩b = O, 得 Oa, Ob, a∩b = a, ab, a∩g = b, bg,
c
a
b a
b
g
Ob, Og, 即O为 b 与 g 的公共点, 而 b∩g = c, ∴交线 c 必过 O 点, 则 a, b, c 三线共点O.
B组 1. 如图, 边长为 2 的正方形 ABCD 中, (1) 点 E 是 AB 的中点, 点 F 是 BC 的中点, 将 △AED, △DCF 分别沿 DE, DF 折起, 使 A, C 两点 重合于点 A, 求证: AD⊥EF. (2) 当 BE=BF= 1 BC 时, 求三棱锥 AEFD 的体积. 4 D A (2) 解: ∵BC=2, 则 BE = BF = 1 BC = 1 , E 4 2 34 , 3 == A 得 AE = CF = AE F = , B 4 F C 2 AD=AD= 2, 2 2 2 A D EF = BE BF = , ∴ 三棱锥 AEFD 的体积为 2 E EF 2 2 H F 17 1 1 △A EF 的高 A H = A E ( ) V = ( EF AH ) AD = 2 . B 12 3 2
7. 如图, 四棱锥 V-ABCD 中, 底面 ABCD 是边 长为 2 的正方形, 其他四个侧面都是侧棱长为 5 的 等腰三角形, 试画出二面角 V-AB-C 的平面角, 并求 它的度数. V
解: 分别取 AB、CD 的中点 E、F, 连结 VE、EF, 则∠VEF就是二面角V-AB-C 的平面角. A 连结VF, 由已知可得VF=VE= ( 5 )2 12 =2, 又 EF=2, ∴∠VEF=60, 即二面角 V-AB-C 的度数是60. F B
A
B C
B
4. 如图, 正方体的棱长是 a, C, D 分别是两条 棱的中点. (1) 证明四边形 ABCD 是一个梯形; (2) 求四边形 ABCD 的面积. D E E A O 解: (2) 在底面正方形中求得 B C
AB = 2 a, 2 A 则 CD = a, 2 O 如图, 在Rt△OOE中可求得 梯形的高 OE= a 2 ( 2a )2 = 3 2 a, 4 4 1 ∴梯形ABCD的面积为 S = ( AB CD) OE 2 = 9 a 2(平方单位). 8
6. 面面平行的判定定理 a a , b a , a∩b, ⇒ a∥b. 由线面平行得面面平行. a∥ b , b∥ b , 7. 面面平行的性质定理 ab, g a = a, ⇒ a∥ b. g b = b, 由面面平行得线线平行.
8. 线面垂直的定义 ⊕若直线 l 垂直平面 a 内的任意一直 线, 则叫 l⊥a. 应用: 若 l⊥a, 则 l 垂直平面 a 内的任意一直线. l⊥ a , l⊥m. ma, ⊕过空间任意一点, 有且只有一条直 线和已知平面垂直.
A D F E B
B组 1. 如图, 边长为 2 的正方形 ABCD 中, (1) 点 E 是 AB 的中点, 点 F 是 BC 的中点, 将 △AED, △DCF 分别沿 DE, DF 折起, 使 A, C 两点 重合于点 A, 求证: AD⊥EF. (2) 当 BE=BF= 1 BC 时, 求三棱锥 AEFD 的体积. 4 D A (2) 解: ∵BC=2, 则 BE = BF = 1 BC = 1 , E 4 2 得 AE = CF = AE = AF = 3 , B F C 2 2 2 2 A D EF = BE BF = , 2 E H F △AEF的高AH = A E 2 ( EF )2 2 B
C
c
4. 如图, 正方体的棱长是 a, C, D 分别是两条 棱的中点. (1) 证明四边形 ABCD 是一个梯形; (2) 求四边形 ABCD 的面积. D A
证明: (1) 如图, 连结上底面 对角线AB, ∵C, D是两棱中点, ∴CD//AB, 且CD = 1 AB. 2 而 AB//AB, 且AB=AB, ∴CD//AB, 且CD≠AB, 则ABCD是梯形.