三次非均匀有理B样条曲线G 2连续的充分条件

扭转立体曲面造型与数字离散化研究摘要：水轮机导叶呈空间扭转曲面，无法展开成平面进行铣削加工，运用三维立体造型，进行曲面数字离散化处理，建立曲面数控加工模型，获得了很高的制造精度及生产效率。

关键词：叶面造形数字离散化余量估计五轴数控空间扭转曲面有很多种，高坝水轮机导叶片是一个呈“X”型的扭转空间曲面，它是这类曲面的典型代表，它的加工精度对于水轮机制造来说是非常重要的。

以前是采用“铸造+钳工打磨修配”，结果是形状精度极低、尺寸精度很差，严重影响到整个水轮机组的水力性能。

利用UG软件，对水轮机导叶片进行三维立体造型，建立数控曲面模型，进行曲面各点的离散化处理，制定3～5轴数控加工工艺方案并编写数控加工程序，加工的导叶片获得了很高的形状精度与尺寸精度，效率显著提高。

1 扭转曲面立体三维造型1.1 造型的工艺要求应用于高坝的水轮发电机组，水头高，发电能力强，对叶片的扭曲度要求很高，且大轴流机组的转轮直径为Φ5～8m之间。

“X”型的扭转空间曲面从进水边到出水边扭曲度超过1170，在叶片背面轮缘带有外裙边，在叶片轮毂侧带有很大的内裙边，使得导叶型面具有很大的扭曲。

为了叶片流体动力性能甚至整个机组的性能，也为了数控加工程序编制的需要，在导叶片的三维造型上必须保证型面连续光滑，然后通过数控程序来控制其加工精度。

1.2 曲面造型的理论模型曲面造型现在已形成了以有理B样条曲面(Rational B-spline Surface)参数化特征设计和隐式代数曲面(Implicit Algebraic Surface)两类方法，以插值(Interpolation)、拟合(Fitting)、逼近(Approximation)这三种手段为骨架的几何理论体系。

根据整个水轮机组的水力性能要求及实际情况，选择恰当的造型方法。

在进行造型的过程中，采用由点到线再到面的造型方法。

为了保证导叶型面的光顺及造型方法对型面具有很好的适应性，在生成样条曲线时，采用三次非均匀有理B 样条，即NURBS，其方程为：用3次NURBS样条保证了其造型曲面的各条曲线2阶连续可导。

基于遗传算法的机械手时间能耗最优平滑轨迹规划游玮;孔民秀;肖永强【摘要】本文提出了一种基于动力学模型的时间与能耗最优的平滑轨迹规划算法,考虑动力学与运动学约束条件,以时间与能量最优为优化目标,建立多关节机器人轨迹规划的数学模型,同时采用改进样条插值函数作为基础函数,保证运行过程中轨迹平滑及起始点与终止点速度、加速度及加加速度为零,之后采用基于遗传学原理的多目标优化算法NSGA-Ⅱ对时间与能耗进行优化,根据Pareto解集选择最优解,并针对一种3自由度重载机器人对提出的算法进行仿真,验证了该方法的可行性.【期刊名称】《机器人技术与应用》【年(卷),期】2015(000)005【总页数】6页(P25-30)【关键词】机器人;轨迹规划;改进样条函数;多目标优化;时间能量最优【作者】游玮;孔民秀;肖永强【作者单位】安徽埃夫特智能装备有限公司,安徽芜湖,241007;哈尔滨工业大学机电工程学院,哈尔滨,150001;安徽埃夫特智能装备有限公司,安徽芜湖,241007【正文语种】中文本文提出了一种基于动力学模型的时间与能耗最优的平滑轨迹规划算法，考虑动力学与运动学约束条件，以时间与能量最优为优化目标，建立多关节机器人轨迹规划的数学模型，同时采用改进样条插值函数作为基础函数，保证运行过程中轨迹平滑及起始点与终止点速度、加速度及加加速度为零，之后采用基于遗传学原理的多目标优化算法NSGAII对时间与能耗进行优化，根据Pareto解集选择最优解，并针对一种3自由度重载机器人对提出的算法进行仿真，验证了该方法的可行性。

本文是国家自然科学基金项目，项目编号51075086。

机器人轨迹规划是指根据一定规则和边界条件产生一些离散的运动指令作为机器人伺服回路的输入指令。

规划函数至少需要具有位置指令两阶导数连续，速度指令一阶导数连续，从而可以保证加速度信号连续，加加速度信号有界。

不充分光滑的运动指令会激起由于机械系统柔性所产生的谐振，在产生谐振的同时，轨迹跟踪误差会大幅度增加，谐振和冲击也会加速机器人驱动部件的磨损甚至损坏[1]。

汽车车身A级曲面的表示与次数选择作为一种新颖的设计展示形式，汽车车身曲面已经在汽车设计领域中具有了重要的地位。

其中，A级曲面是一种被广泛使用的汽车设计曲面之一。

本文将介绍A级曲面的表示方法以及相应的次数选择问题。

A级曲面是一种最基础的汽车设计曲面，通常用于车身表面的主要曲线、连续曲面联通和型式线的设计。

A级曲面的特点在于其表面的连续性和光滑度，设计人员需要通过合理的曲面构建和优化来达到这一点。

表示A级曲面的方法和次数选择会影响到车身设计的效果和质量。

曲面表示方法目前，常见汽车车身曲面的表示方法包括：1. Bézier曲线Bézier曲线是基于多项式函数的一种数学方法，它能够通过少量控制点来构建连续光滑的曲线。

它被广泛应用于汽车车身曲面设计中，可以通过调整控制点的位置来实现曲线的精细调整和优化。

2. NURBS曲线NURBS曲线是非均匀有理B样条曲线的缩写，是一种比Bézier曲线更高级的曲线构造方法。

同样可以通过少量控制点来构建光滑的曲线，但相比于Bézier曲线，NURBS曲线更具有精确性和自由度，能够更好地实现曲面的优化和参数化管理。

3. 曲面拟合曲面拟合是通过对一组离散点进行曲面近似求解的方式，可以通过调整离散点的位置和权重来实现曲面的优化和精细调整。

曲面拟合的优势在于可以快速处理不规则曲面和复杂形式的汽车设计。

曲面表示次数选择表示A级曲面的次数通常会影响到车身曲面的精细度和流畅感。

通常的选择方法有以下几种：1. 3次曲面3次曲面是指由三次多项式函数组成的曲面，通常用于大致的曲面布局和分块设计。

具有计算速度快和精度较低的特点，但不适用于精细和低误差的曲面设计。

2. 4次曲面4次曲面由四次多项式函数组成的曲面，可以更好地达到曲面的精细度和光滑性，适用于大多数的汽车车身设计。

3. 高次曲面高次曲面拥有更高的曲面精度和更流畅的曲线特点，通常可以满足更为精细的曲面设计需求。

一、 判断题（10x1=10分）1、 构成图形的要素可分为两类：刻画形状的点、线、面、体的非几何要素与反映物体表面属性或材质的明暗、色彩等的几何要素。

（ 错误 ）2、 参数法描述的图形叫图形；点阵法描述的图形叫图像。

（ 正确 ）3、 EGA/VGA 为增强图形显示效果的一种图形处理软件的名称。

（ 错误 ）4、 对山、水等不规则对象进行造型时，大多采用过程式模拟方法。

（ 正确 ）5、 若两个图形是拓扑等价的，则一个图形可通过做弹性运动与另一个图形相重合。

（ 正确 ）6、 0阶参数连续性和0阶几何连续性的定义是相同的。

（ 正确 ）7、 Bezier 曲线可做局部调整。

（ 错误 ）8、 字符的图形表示分为点阵和矢量两种形式。

（ 正确 ）9、 LCD 表示发光二极管显示器。

（ 错误 ）10、 使用齐次坐标可以将n 维空间的一个点向量唯一的映射到n+1维空间中。

（ 错误 ） 二、 填空题（15x2=30分）1、目前常用的PC 图形显示子系统主要由3个部件组成：（1）帧缓冲存储器、（2）显示控制器、（3）ROM BIOS 。

2、 图形的输入设备有（4）键盘、鼠标、光笔（至少写三种）；图形的显示设备有（5）CRT 显示器、LCD 、投影仪（至少写三种）。

3、常用坐标系一般可以分为：建模坐标系、用户坐标系、（6观察坐标系、（7）规格化设备坐标系、（8）设备坐标系。

4、在多边形的扫描转换过程中，主要是通过确定穿越多边形区域的扫描线的覆盖区间来填充，而区域填充则是从（9）给定的位置开始涂描直到（10）指定的边界条件为止。

5、一个交互式计算机图形系统应具有（11）计算 、（12）存储、（13）对话、（14）输入和输出等五个方面的功能。

三、 简答题（5x6=30分）1、 请列举常用的直线段裁减算法（四种）。

答：答：直接求交算法、编码算法、中点再分算法、Cyrus-Beck 算法。

2、 考虑三个不同的光栅系统，分辨率依次为480640⨯，10241280⨯，20482560⨯。

第七章样条逼近方法教学目的及要求：掌握样条函数及性质、B-样条及性质、三次样条插值。

借助于多项式来逼近，虽然有很多优点，但由于多项式乃幂级数的特例，其在一点附近的性质足以决定它的整体性质。

然而自然界较大范围内的许多现象，如物理或生物现象间的关系往往呈现互不关联、互相割裂的本性。

亦即在不同区域中，它们的性状可以完全不相关。

另一方面，从数学上讲，例如在多项式插值理论中，具有n 个插值点的一元插值多项式是一个n-1次的多项式，它可能有n-3个拐点。

这对于比较平滑的函数来说就不是那么理想了。

本章介绍的样条（函数）是一种分段多项式，各相邻段上的多项式之间又具有某中连接性质。

因而它既保持了多项式的简单性和逼近的可行性，又在各段之间保持了相对独立的局部性质。

数十年来的理论和实践表明，样条是一类特别有效的逼近工具。

§1. 样条函数及其基本性质设给定一组结点∞=<<<<=∞-+110N N x x x x （1.1） 又设分段函数S(x)满足条件： 1．于每个区间[]),,0(,1N j x x j j =+上，S(x)是一个次数不超过n 的实系数代数多项式；2．S(x)于),(∞-∞上具有一直到n-1阶的连续导数。

则称)(x S y =为n 次样条函数。

常把以（1.1）为结点的n 次样条函数的总体记为N N n x x x x x S ,,.),,(121 称为样条结点。

一个（奇次）2n-1次样条函数)(x S y =，如果起在区间),[],(1∞-∞N x x 与上的表达式都是n-1次多项式（并不要求该两个n-1次多项式相同），则特别称之为2n-1次的自然样条函数。

以（1.1）为结点的2n-1次自然样条函数的总体记为.),,(2112N n x x x N -显然.),,(),,(21122112N n N n x x x S x x x N --⊂ （1.2） 下面来给出样条函数类),,(2112N n x x x S -中任一样条函数的一般表达式。

一般的三次参数样条曲线的几何连续性及其插值方法作者：柏庆昆学位授予单位：东北师范大学被引用次数：2次1.张同琦曲线几何连续性[期刊论文]-渭南师专学报 1999(2)2.罗扬.方逵参数曲线几何连接的几个定理[期刊论文]-国防科技大学学报 1995(2)3.施法中计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条4.盛中平有关Hermite插值问题的两个具体展示5.高益明.裴锡灿计算方法教程6.R A Lorentz Multivariate Hermite interpolation by algebraic polyno mials:A survey 20007.K Hollig.J Koch Geometric Hermite interpolation[外文期刊] 19958.K Hollig.J Koch Geometric Hermite interpolation with maximal order and smoothness 19969.Ulrich Reif on the local existence of the quadratic geometric Hermite interpolant[外文期刊] 199910.Lianghong Xu.Jianhong Shi Geometric Hermite interpolation for space curves[外文期刊] 200111.F M Fernandez Generating function for Hermite polynomials of arbi trary order 199812.A Gfrerrer.O Roschel Blended Hermite interpolants[外文期刊] 200113.L J Gray.M Garzon on a Hermite boundary integral approxima tion 200514.Berlin Heidelberg Curves and Surfaces in Computer Aided Geometric Aided Geometric design15.宋家宏.李成.王建华空间曲线的高阶几何Hermite插值[期刊论文]-计算机辅助设计与图形学学报 2004(6)16.杨存典n次分段Hermite插值多项式的构造 2000(02)17.姜献峰.梁友栋有理Bezier曲线的几何连续条件及其应用 1992(04)18.冯仁忠.王仁宏三次B样条曲线间G2连续条件[期刊论文]-大连理工大学学报 2003(4)19.苏本跃.余宏杰一类G2连续的C-Bézier保凸插值曲线[期刊论文]-安徽技术师范学院学报 2003(2)20.方逵.文锦(G2-连续的)保形分段三次插值曲线 1999(03)21.康宝生.贺文杰Gk保形分段2k次参数多项式插值[期刊论文]-高等学校计算数学学报 2002(3)22.张宏鑫.王国瑾保持几何连续性的曲线形状调配[期刊论文]-高校应用数学学报A辑 2001(2)23.张三元基于代数曲线段的G2连续的曲线造型方法[期刊论文]-计算机学报 2000(2)24.张三元.孙守迁.潘云鹤基于几何约束的三次代数曲线插值[期刊论文]-计算机学报 2001(5)25.杨莉.晁翠华.贾晓G2连续的三次有理Bezier样条插值曲线[期刊论文]-机械科学与技术 2000(3)26.任群.康宝生.田捷平面G2组合三次α-Bézier曲线的几何构造[期刊论文]-工程图学学报 2003(3)27.赖舜男.吴学礼.汪国平G2三次Hermite样条曲线形状的交互修改[期刊论文]-计算机应用研究 2004(10)28.方逵.吴凡参数五次GC2 Hermite插值 2000(01)29.芦殿军Bezier曲线的拼接及其连续性[期刊论文]-青海大学学报（自然科学版） 2004(6)30.G3连续的有理三次Bézier样条曲线造型[期刊论文]-自然科学进展 2001(7)31.陈宝平.尹志凌基于有理二次Bezier曲线的G2连续的插值曲线[期刊论文]-内蒙古大学学报（自然科学版）2004(4)32.苏步青.华宣积应用几何教程 19901.王远军.曹沅.Wang Yuanjun.Cao Yuan非均匀三次参数样条曲线的能量最优光顺算法[期刊论文]-计算机辅助设计与图形学学报2005,17(9)2.章虎冬.ZHANG Hu-dong平面参数三次样条曲线的优化光顺算法[期刊论文]-工程图学学报2009,30(2)3.章虎冬.蒋大为.ZHANG Hu-dong.JIANG Da-wei三次参数样条曲线的自动光顺算法[期刊论文]-西安邮电学院学报2006,11(3)4.张彩明高精度三次参数样条曲线的构造[期刊论文]-计算机学报2002,25(3)5.张镜污染环境下Leslie系统的生存分析与Volterra方程周期解及渐近稳定性[学位论文]20066.谈勇.王治森.闫晓婧基于累加弦长的三次参数样条曲线的插补控制[期刊论文]-合肥工业大学学报(自然科学版) 2004,27(6)7.崔利宏.秦克.张淼.车翔玖CAGD中双三次张量积非均匀B样条曲面G2光滑条件[期刊论文]-长春工程学院学报(自然科学版)2002,3(4)8.车明刚三维Minkowski空间中非类光曲线的双曲达布像和从切高斯曲面[学位论文]20069.李艳秋具简化Holling Ⅳ型功能反应函数的时滞培养器模型的大范围周期解[学位论文]200610.何军.张彩明.周元峰三次参数样条曲线的光顺[会议论文]-20071.郑坤,毛维辰,严哲,张红萍一种含断层的复杂层状地质体三维自动构模方法研究[期刊论文]-岩土力学 2013(02)2.党相懿,杨文广,蒋东翔基于样条曲线的压气机特性内插算法研究[期刊论文]-航空发动机 2015(01)引用本文格式：柏庆昆一般的三次参数样条曲线的几何连续性及其插值方法[学位论文]硕士 2006华中科技大学硕士学位论文“假”的生产及其逻辑——对“华南虎事件”的分析姓名：张斌申请学位级别：硕士专业：社会学指导教师：吴毅20080603摘要“华南虎事件”是2007年公众关注的焦点，本研究起始于这样一个疑问：“华南虎事件”中陕西省有关方面为何要造假？本研究以故事的形式将事件较为完整地呈现出来，通过对事件的参与者陕西省林业厅、地方政府、评审专家、周正龙、官僚系统、网络、傅德志、新闻媒体、国家林业局等在事件中的表现的描述，揭示了他们背后的结构性力量，并由此逐渐呈现出了整个事件的逻辑。

非均匀有理B 样条（学习记录和上机练习）非均匀有理B 样条，通常简称为NURBS(Non-Uniform Rational B-Splines)。

NURBS 是非有理B 样条、有理以及非有理Bezier 曲线曲面的推广。

一、Bezier 曲线1、 Bezier 曲线一条n 次Bezier 曲线可以表示为i n i n i P u Bu C )()(0,∑== 0≤u ≤1 （1）}2、 有理Bezier 曲线一条n 次有理Bezier 曲线的定义为∑∑===ni in i n i i i n i w u B P w u B u C 0,0,)()()( 0≤u ≤1 （3） 其中i w 是标量，称为权因子。

图1、3次Bezier 曲线 图2、3次有理Bezier 曲线图3、n=3 Bernstein 图形 图4、n=9 Bernstein 图形图5、Bezier 双三次曲面片 图6、有理Bezier 双三次曲面片二、B 样条基函数1、B 样条基函数的定义和性质令},,,{10m u u u U =是一个实数序列，即i u ≤1,,1,0,1-=+m i u i 。

其中，i u 称为节点，U 称为节点矢量，用)(,u N p i 表示第i 个p 次（p+1阶）B 样条基函数，其定义为：个多项式），在节点处)(,u N p i 是p-k 次连续可微的，其中k 是节点的重复度。

2、B 样条基函数的导数1 基函数的求导公式为： )()(1,1111,,u N u u p u N u u p N p i i p i p i i p i p i -++++-+-+-=' （5） 对基函数求导得到一般的求导公式：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+++--++--11)1(1,1)1(1,)(,i p i k p i i p i k p i k pi u u N u u N p N （6） 为了完整性，另一个计算B 样条基函数各阶导数的公式（参考[Butt76]）:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-++++++-+)(1,1111)(1,)(,k p i i p i p i k p i i p i i k p i N u u u u N u u u u k p p N 1,,1,0-=p k （7） //-------------------------------------------------------------------------//计算所有非零B 样条基函数并返回其值//i 为参数u 所在的节点区间下标elseright=0;tmpN[di][j]=left*tmpN[di][j-1]+right*tmpN[di+1][j-1];}}N[i-k]=tmpN[i-k][p];}}//-----------------------------------------------------------------------//计算基函数的1阶导数并保存在NP[]中//i 为参数u 所在的节点区间下标//p 为B 样条函数次数P>2void DerBasisFunc(int i,int p,float u,float U[],float NP[]){int j,di,dp,k;float tul,tur,left,right,saved,dl,dr;float tmpN[50][50];for(k=0;k<=p;k++){}}图7、三次B 样条曲线三、B 样条曲线曲面1 B 样条曲线的定义P 次B 样条曲线为：i n i p i P u Nu C )()(0,∑== a ≤u ≤b （8）这里{}i P 是控制点，{})(,u N p i 是定义在非周期节点矢量上的p 次B 样条基函数。