三次非均匀有理B样条曲线G 2连续的充分条件
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扭转立体曲面造型与数字离散化研究
扭转立体曲面造型与数字离散化研究摘要：水轮机导叶呈空间扭转曲面，无法展开成平面进行铣削加工，运用三维立体造型，进行曲面数字离散化处理，建立曲面数控加工模型，获得了很高的制造精度及生产效率。
关键词：叶面造形数字离散化余量估计五轴数控空间扭转曲面有很多种，高坝水轮机导叶片是一个呈“X”型的扭转空间曲面，它是这类曲面的典型代表，它的加工精度对于水轮机制造来说是非常重要的。
以前是采用“铸造+钳工打磨修配”，结果是形状精度极低、尺寸精度很差，严重影响到整个水轮机组的水力性能。
利用UG软件，对水轮机导叶片进行三维立体造型，建立数控曲面模型，进行曲面各点的离散化处理，制定3～5轴数控加工工艺方案并编写数控加工程序，加工的导叶片获得了很高的形状精度与尺寸精度，效率显著提高。
1 扭转曲面立体三维造型1.1 造型的工艺要求应用于高坝的水轮发电机组，水头高，发电能力强，对叶片的扭曲度要求很高，且大轴流机组的转轮直径为Φ5～8m之间。
“X”型的扭转空间曲面从进水边到出水边扭曲度超过1170，在叶片背面轮缘带有外裙边，在叶片轮毂侧带有很大的内裙边，使得导叶型面具有很大的扭曲。
为了叶片流体动力性能甚至整个机组的性能，也为了数控加工程序编制的需要，在导叶片的三维造型上必须保证型面连续光滑，然后通过数控程序来控制其加工精度。
1.2 曲面造型的理论模型曲面造型现在已形成了以有理B样条曲面(Rational B-spline Surface)参数化特征设计和隐式代数曲面(Implicit Algebraic Surface)两类方法，以插值(Interpolation)、拟合(Fitting)、逼近(Approximation)这三种手段为骨架的几何理论体系。
根据整个水轮机组的水力性能要求及实际情况，选择恰当的造型方法。
在进行造型的过程中，采用由点到线再到面的造型方法。
为了保证导叶型面的光顺及造型方法对型面具有很好的适应性，在生成样条曲线时，采用三次非均匀有理B 样条，即NURBS，其方程为：用3次NURBS样条保证了其造型曲面的各条曲线2阶连续可导。
基于遗传算法的机械手时间能耗最优平滑轨迹规划
基于遗传算法的机械手时间能耗最优平滑轨迹规划游玮;孔民秀;肖永强【摘要】本文提出了一种基于动力学模型的时间与能耗最优的平滑轨迹规划算法,考虑动力学与运动学约束条件,以时间与能量最优为优化目标,建立多关节机器人轨迹规划的数学模型,同时采用改进样条插值函数作为基础函数,保证运行过程中轨迹平滑及起始点与终止点速度、加速度及加加速度为零,之后采用基于遗传学原理的多目标优化算法NSGA-Ⅱ对时间与能耗进行优化,根据Pareto解集选择最优解,并针对一种3自由度重载机器人对提出的算法进行仿真,验证了该方法的可行性.【期刊名称】《机器人技术与应用》【年(卷),期】2015(000)005【总页数】6页(P25-30)【关键词】机器人;轨迹规划;改进样条函数;多目标优化;时间能量最优【作者】游玮;孔民秀;肖永强【作者单位】安徽埃夫特智能装备有限公司,安徽芜湖,241007;哈尔滨工业大学机电工程学院,哈尔滨,150001;安徽埃夫特智能装备有限公司,安徽芜湖,241007【正文语种】中文本文提出了一种基于动力学模型的时间与能耗最优的平滑轨迹规划算法，考虑动力学与运动学约束条件，以时间与能量最优为优化目标，建立多关节机器人轨迹规划的数学模型，同时采用改进样条插值函数作为基础函数，保证运行过程中轨迹平滑及起始点与终止点速度、加速度及加加速度为零，之后采用基于遗传学原理的多目标优化算法NSGAII对时间与能耗进行优化，根据Pareto解集选择最优解，并针对一种3自由度重载机器人对提出的算法进行仿真，验证了该方法的可行性。
本文是国家自然科学基金项目，项目编号51075086。
机器人轨迹规划是指根据一定规则和边界条件产生一些离散的运动指令作为机器人伺服回路的输入指令。
规划函数至少需要具有位置指令两阶导数连续，速度指令一阶导数连续，从而可以保证加速度信号连续，加加速度信号有界。
不充分光滑的运动指令会激起由于机械系统柔性所产生的谐振，在产生谐振的同时，轨迹跟踪误差会大幅度增加，谐振和冲击也会加速机器人驱动部件的磨损甚至损坏[1]。
计算机图形学曲线和曲面
曲线构造方法
判断哪些是插值、哪些是逼近
曲线构造方法
插值法
线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，用 线形函数 ：y=ax+b，近似代替f(x)，称为的线性插值函 数。
插值法
抛物线插值(二次插值):
已知在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3，要求构造 函数 ￠ (x)=ax2+bx+c,使得￠(x)在xi处与f(x)在xi处的值相 等。
曲线曲面概述
自由曲线和曲面发展过程
自由曲线曲面的最早是出现在工作车间，为了获得特殊的曲线，人们 用一根富有弹性的细木条或塑料条（叫做样条），用压铁在几个特殊 的点（控制点）压住样条，样条通过这几个点并且承受压力后就变形 为一条曲线。人们调整不断调整控制点，使样条达到符合设计要求的 形状，则沿样条绘制曲线。
5.1.2 参数样条曲线和曲面的常用术语
在工程设计中，一般多采用低次的参数样条曲线。 这是因为高次参数样条曲线计算费时，其数学模型难于 建立且性能不稳定，即任何一点的几何信息的变化都有 可能引起曲线形状复杂的变化。
因此，实际工作中常采用二次或三次参数样条曲线，如： 二次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 三次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 + A3t3
a3
1 0] a2 a1 a0
三次参数样条曲线
P(k) a3 0 a2 0 a1 0 a0 P(k 1) a3 1 a2 1 a1 1 a0 P '(k) 3a3t2 2a2t a1 a1 P '(k 1) 3a3 2a2 a1
P0 0 0 0 1 a3
非均匀有理B样条NURBS曲线课件
基函数与度数的关系
度数和基函数共同决定了曲线的形状和性质。选择合适的 度数和基函数可以实现各种复杂的曲线形状，同时保证曲 线的光滑度和连续性。
03 NURBS曲线的生成方法
初始曲线生成
确定曲线起点和终点
根据设计需求，确定曲线的起点和终点坐标。
选择控制点
根据曲线形状要求，选择合适的控制点，控制点的数量和位置将影 响曲线的形状和精度。
确定权重因子
权重因子用于控制曲线的形状，通过调整权重因子可以改变曲线的 弯曲程度。
曲线细分与光顺
细分
将初始曲线细分成若干个小段， 每段曲线采用B样条曲线进行拟合 ，提高曲线的精度。
光顺
对细分后的曲线进行光顺处理， 消除曲线中的拐点和平滑曲线的 形状，使曲线更加平滑和连续。
曲线修改与调整
修改控制点
参数化精度
参数化的精度决定了曲线 表示的准确性和光滑度， 精度越高，曲线表示越精 确。
控制点与权因子的影响
控制点
控制点和权因子的关系
控制点是NURBS曲线中的重要元素， 它们决定了曲线的形状和位置。通过 调整控制点的位置，可以改变曲线的 形状。
控制点和权因子共同决定了曲线的形 状，通过合理设置它们的值，可以实 现各种复杂的曲线形状。
非均匀有理B样条（ NURBS曲线课件
目录
Contents
• NURBS曲线的基本概念 • NURBS曲线的数学表示 • NURBS曲线的生成方法 • NURBS曲线的应用实例 • NURBS曲线的优缺点分析
01 NURBS曲线的基本概念
NURBS曲线的定义
NURBS曲线是一种参数曲线， 它由非均匀有理基函数（ NURBS基函数）定义。
易于实现
NURBS曲线的数学模型相对简单，易于在计算机上实现，并且 已经有了许多现成的软件工具可供使用。
度数和基函数共同决定了曲线的形状和性质。选择合适的 度数和基函数可以实现各种复杂的曲线形状，同时保证曲 线的光滑度和连续性。
03 NURBS曲线的生成方法
初始曲线生成
确定曲线起点和终点
根据设计需求，确定曲线的起点和终点坐标。
选择控制点
根据曲线形状要求，选择合适的控制点，控制点的数量和位置将影 响曲线的形状和精度。
确定权重因子
权重因子用于控制曲线的形状，通过调整权重因子可以改变曲线的 弯曲程度。
曲线细分与光顺
细分
将初始曲线细分成若干个小段， 每段曲线采用B样条曲线进行拟合 ，提高曲线的精度。
光顺
对细分后的曲线进行光顺处理， 消除曲线中的拐点和平滑曲线的 形状，使曲线更加平滑和连续。
曲线修改与调整
修改控制点
参数化精度
参数化的精度决定了曲线 表示的准确性和光滑度， 精度越高，曲线表示越精 确。
控制点与权因子的影响
控制点
控制点和权因子的关系
控制点是NURBS曲线中的重要元素， 它们决定了曲线的形状和位置。通过 调整控制点的位置，可以改变曲线的 形状。
控制点和权因子共同决定了曲线的形 状，通过合理设置它们的值，可以实 现各种复杂的曲线形状。
非均匀有理B样条（ NURBS曲线课件
目录
Contents
• NURBS曲线的基本概念 • NURBS曲线的数学表示 • NURBS曲线的生成方法 • NURBS曲线的应用实例 • NURBS曲线的优缺点分析
01 NURBS曲线的基本概念
NURBS曲线的定义
NURBS曲线是一种参数曲线， 它由非均匀有理基函数（ NURBS基函数）定义。
易于实现
NURBS曲线的数学模型相对简单，易于在计算机上实现，并且 已经有了许多现成的软件工具可供使用。
B样条曲线图片版
B样条函数(basis)
1960年，de Boor开始研究用B样条做几何表示。之后它与 Mansfield, Cox分别独立发现了B样条的递归算法。
给出了B样条基函数的递归算法
1974年，Gordon与Riesenfeld将B样条函数推广到矢值形式， 得到了B样条函数。
从B样条函数到B样条曲线
样条函数的定义
5.B网逼近性质
B网大致反映了B样条曲线的形状，这有利于人机交互设计.
6.变差缩减性
设平面内 n+1 个控制顶点 构成B样条曲线 P(t) 的特征多边形。在 该平面内的任意一条直线与 P(t) 的交点个数不多于该直线和特征 多边形的交点个数。
B样条曲线的性质
7. 连续阶性：
曲线在重数为 m 的节点处，连续阶能达到k-1-m 。 连续阶=次数-重数 整条曲线的连续阶能达到次数-重数的最大值
B样条曲线的性质
8. 退化性：
节点矢量中两端节点具有重数k，所有内节点重数为k-1，这样的节 点矢量定义了分段的Bernstein基。 B样条曲线用分段Bezier曲线表示后，各曲线段就具有了相对的独 立性，移动曲线段内的一个控制顶点只影响该曲线段的形状。例 如:T=(0,0,0,0,1,1,1,2,2,2,2)
区间 的一个分割 : a x0 x1 xn b 定义于分割上的函数 g(x)满足两条件：
Ø 在[xi , xi1]上， g(x)是x的 k次多项式 Ø 节点 k次样条函数
g(x)Ck1[a,b]
g(x)在区间 上有直到 k-1阶的连续导数
节点序列上定义的满足一定的连续性的分段函数 连续阶最高
谢谢！
均匀B样条曲线没有保留Bezier曲线端点的几何性质
图3.1.23 三次均匀的B样条曲线
1960年，de Boor开始研究用B样条做几何表示。之后它与 Mansfield, Cox分别独立发现了B样条的递归算法。
给出了B样条基函数的递归算法
1974年，Gordon与Riesenfeld将B样条函数推广到矢值形式， 得到了B样条函数。
从B样条函数到B样条曲线
样条函数的定义
5.B网逼近性质
B网大致反映了B样条曲线的形状，这有利于人机交互设计.
6.变差缩减性
设平面内 n+1 个控制顶点 构成B样条曲线 P(t) 的特征多边形。在 该平面内的任意一条直线与 P(t) 的交点个数不多于该直线和特征 多边形的交点个数。
B样条曲线的性质
7. 连续阶性：
曲线在重数为 m 的节点处，连续阶能达到k-1-m 。 连续阶=次数-重数 整条曲线的连续阶能达到次数-重数的最大值
B样条曲线的性质
8. 退化性：
节点矢量中两端节点具有重数k，所有内节点重数为k-1，这样的节 点矢量定义了分段的Bernstein基。 B样条曲线用分段Bezier曲线表示后，各曲线段就具有了相对的独 立性，移动曲线段内的一个控制顶点只影响该曲线段的形状。例 如:T=(0,0,0,0,1,1,1,2,2,2,2)
区间 的一个分割 : a x0 x1 xn b 定义于分割上的函数 g(x)满足两条件：
Ø 在[xi , xi1]上， g(x)是x的 k次多项式 Ø 节点 k次样条函数
g(x)Ck1[a,b]
g(x)在区间 上有直到 k-1阶的连续导数
节点序列上定义的满足一定的连续性的分段函数 连续阶最高
谢谢！
均匀B样条曲线没有保留Bezier曲线端点的几何性质
图3.1.23 三次均匀的B样条曲线
二次Bezier曲线与三次非均匀B样条曲线的拼接
化 为二 次 Ｂ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ 曲线与三次 １ ３ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ曲线之 间的拼接 问题 ， 并分别给 出了二次 Ｂ ６ ｚ ｉ ｅ ｒ曲线与三次非均
匀 Ｂ样条 曲线的拼接 的 ， Ｇ１ ， Ｇ２ 光滑拼接 条件．
关键词 ： Ｂ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ 曲线 ， Ｂ样条 曲线 ； Ｂ ｏ ， ｉ ｅ ｒ 构造方法； 光滑拼接 ； 中图分类号 ： Ｔ Ｐ ３ ９ １
第３ ２卷第 １ １ 期
２ ０ １ ３ 年 １ １ 月
数 学教 学研究
６ ３
二次 Ｂ ６ ｚ ｉ ｅ ｒ曲线与三次非均匀 Ｂ样条 曲线的拼接
赵
摘
菲 ，张贵仓 ，葸海英
（ 西 北师范大学 数学与统计学院 ，甘肃 兰州 ７ ３ ０ ０ ７ ０ ）
要： 利用 Ｂ样条 曲线的 Ｂ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ 构造 方法， 把二次 Ｂ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ 曲线与三次非均 匀 Ｂ样条 曲线的拼接转
＝
（
＋
＋
，
，
６ ４
数学教学研究
第３ ２卷第 １ １ 期
２ ０ １ ３年 １ １ 月
ｗ ， ｗ ， ＋ 南 ） ，
其 中
（ 口， ｂ ， Ｃ ， ）
＝
这里 有
一
一
” ＋１一 ‰
（ Ｒ０ ， Ｒ１ ， Ｒ２ ， Ｒ３ ） 一（ （ １ －ｌ １ ） 一 ３ ＋１ １ 一 ２ ， Ｚ ２ 一 ２ ＋（ １ 一 ２ ） ｒ ｎ 一 １ ， ｒ ｎ 一１ ， ￡ ３ ｒ 一 １ ＋（ １ — — ｌ ３ ） ｒ ） ，
（ ｌ —Ｕ ｔ ｒ － １ ， ｒ ｒ ｝ １ 一 ，
科２ 一“ ” ＋ １ ， ， ｒ 卜 ３一 ｚ ‘ ２ ） ，
三次B样条曲线
B 样条曲线的基函 数
一次B 样条曲线的基函数
二次B 样条数曲字线图像的处基理函数
B 样条曲线的基函数
三次B 样条曲线的基函数
四次B 样条曲线的基函数
数字. 局部性
根据定义式可知，第 k 段n次B样条曲线只与 n+1
个
顶点Pi(i=0，1，…，n)有关，因此，当改动其中一
曲线和曲面
1. 样条函数的概念
1.1: 一般样条函数的定 1.3: 二次样条函数 义
1.2: 三次样条函数
2. B 样条曲线
2.1: B样条曲线的定义 2.5: 三次B样条曲线
2.2: B样条曲线基函数性 2.6: 二、三次B样条曲线
质
的应用
2.3: B样条曲线的性质 2.7: 非均匀B样条曲线
如果满足下列条件:
(1)在每一小区间〔xi-1,xi〕(i=1，2，…，n)内S(x)分
是三次多项式函数；
(2)在节点xi(i＝1，2，…，n-1)处成立 :
S (k ) ( xi 0) S (k ) ( xi 0), k 0,1,2,
即小区间上的三次多项式函数，在拼接点处xi 具有二
2.4: 二次B样条曲线
数字图像处理
1. 样条函数概念
样条函数的概念是美国数学家I.J.Schoenberg在 1946年首先提出的，他定义了一种B样条函数。尽管有 10年的时间未受到重视，但从60年代开始，随着电子 计算机技术的飞速发展和数据拟合以及函数逼近在生产 实验中的广泛应用，样条函数的理论和应用已迅速发展 成了一门成熟的学科。由于样条(Spline)函数发展的开
满足下面两个条件：
(1)在每个小区间〔xi-1,xi〕(i=1，2，…，n)内，S(x) 是具有K阶或K阶以上连续函数。
三次B样条曲线概述
数字图像处理
二次B 样条曲线
3. 当P0，P1，P2三顶点共线时，P0,2(t)(t∈〔0，1〕) 即蜕化为一段直线。 Pi=Pi+1 (0＜i≤m-2)，则二次B样条曲线经过顶点Pi，
4. 当给定一组顶点P0，P1，…，Pm(m＞2)，若存在
且在此处是尖点。
三点共线的情况
尖点的情况
数字图像处理
t∈〔0，1〕，Pk,n(t) 必定在控制顶点构成的凸包之中。
如左图所示，六个控制 顶点控制的三次B样条 曲线由三段B样条曲线 段组成。其中，每一条 曲线段由四个顶点控制 且包含在四个顶点构成 的凸包之中。
数字图像处理
B 样条曲线的性质
8.变差缩减性
数字图像处理
2.4 二次B样条曲线
取n=2，则有二次B样条曲线的基函数如下 ：
数字图像处理
B 样条曲线的性质
4. 对称性
根据B样条曲线的基函数的对称性可推导
Pk ,n (1 t ) P i k Gi , n (1 t )
i 0 n n
P i k Gn i , n (t )
i 0
(t [0,1])
它表明了B样条曲线段的起点和终点的几何性质完全 相同。
t 0, 1
三次B样条曲线
性质1：端点位置
1 1 P0 P2 2 P ( 0 ) ( P 4 P P ) P1 , 0,3 0 1 2 6 3 2 3 P1 P3 2 P0,3 (1) 1 ( P1 4 P2 P3 ) 1 P2 , 6 3 2 3
数字图像处理
B 样条曲线示例
三次B 样条曲线示例
汽车车身A级曲面的表示与次数选择
汽车车身A级曲面的表示与次数选择作为一种新颖的设计展示形式，汽车车身曲面已经在汽车设计领域中具有了重要的地位。
其中，A级曲面是一种被广泛使用的汽车设计曲面之一。
本文将介绍A级曲面的表示方法以及相应的次数选择问题。
A级曲面是一种最基础的汽车设计曲面，通常用于车身表面的主要曲线、连续曲面联通和型式线的设计。
A级曲面的特点在于其表面的连续性和光滑度，设计人员需要通过合理的曲面构建和优化来达到这一点。
表示A级曲面的方法和次数选择会影响到车身设计的效果和质量。
曲面表示方法目前，常见汽车车身曲面的表示方法包括：1. Bézier曲线Bézier曲线是基于多项式函数的一种数学方法，它能够通过少量控制点来构建连续光滑的曲线。
它被广泛应用于汽车车身曲面设计中，可以通过调整控制点的位置来实现曲线的精细调整和优化。
2. NURBS曲线NURBS曲线是非均匀有理B样条曲线的缩写，是一种比Bézier曲线更高级的曲线构造方法。
同样可以通过少量控制点来构建光滑的曲线，但相比于Bézier曲线，NURBS曲线更具有精确性和自由度，能够更好地实现曲面的优化和参数化管理。
3. 曲面拟合曲面拟合是通过对一组离散点进行曲面近似求解的方式，可以通过调整离散点的位置和权重来实现曲面的优化和精细调整。
曲面拟合的优势在于可以快速处理不规则曲面和复杂形式的汽车设计。
曲面表示次数选择表示A级曲面的次数通常会影响到车身曲面的精细度和流畅感。
通常的选择方法有以下几种：1. 3次曲面3次曲面是指由三次多项式函数组成的曲面，通常用于大致的曲面布局和分块设计。
具有计算速度快和精度较低的特点，但不适用于精细和低误差的曲面设计。
2. 4次曲面4次曲面由四次多项式函数组成的曲面，可以更好地达到曲面的精细度和光滑性，适用于大多数的汽车车身设计。
3. 高次曲面高次曲面拥有更高的曲面精度和更流畅的曲线特点，通常可以满足更为精细的曲面设计需求。
三次B样条曲线
数字图像处理
B 样条曲线示例
三次B 三次 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
三次B 三次 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
四次B 样条曲线示例 四次
数字图像处理
B 样条曲线示例
五次B 五次 样条曲线示例
数字图像处理
2.2 B 样条曲线基函数的性质
B样条函数基函数为：
1 n−i G i ,n (t ) = ( − 1 ) j C nj+ 1 ( t + n − i − j ) n ∑ n! j = 0 t ∈ [ 0 ,1 ], i = 0 ,1 ,..., n
如左图所示，六个 控制顶点控制的三 次B样条曲线由三 段B样条曲线段组 成。其中，每一条 曲线段由四个顶点 控制。
数字图像处理
B 样条曲线的性质
2.几何不变性
由于定义式所表示的B样条曲线是参数形式，因此，和 Bezier曲线一样，B样条曲线的形状和位置与坐标系选 择无关。
3. 连续性
当给定的m+n+1个控制顶点Pi (i=0，1，…，m+n)互不 相重，则所控制的整条B样条曲线具有n-1阶几何连续 (G n-1)。当给定的控制顶点相邻最大重顶点数为h（即h 个控制顶点重合在一起），则整条B样条曲线具有n-h1阶几何连续(G n-h-1)。
数字图像处理
B 样条曲线的性质
4. 对称性
根据B样条曲线的基函数的对称性可推导
Pk , n (1 − t ) = =
∑
n
n
i=0
Pi + k G i , n (1 − t ) Pi + k G n − i , n ( t ) ( t ∈ [ 0 ,1 ])
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维普资讯
下 面探讨 Ｂ（ ）与 Ｃ（ “ ）的 Ｇ 连 续条 件
１ Ｇ。 连续 条件
两曲线 Ｂ（ 与 Ｃ（ “） ）Ｇ。 续 的充要 条件 是 Ｂ（ 连 “）与 Ｃ（ ）具有公 共连 接 点 则有 ： 定理 １ 两 曲线 Ｂ（ ）与 ｃ（ “ ）Ｇ。 连续 的 充要条件 是 ｂ ＝ Ｃ ０ 证明： 如上 所述 ， 曲线 Ｂ（ 两 “）与 Ｃ（ ）Ｇ。 连续 当 且仅 当 Ｂ（／ ／ ． ）与 Ｃ（７ 有公共 连 接 点， ＂ ｔ ）具 即
这就 定义 了两条 三次非均 匀 有理 Ｂ 样条 曲线 ． 其方程分 别 为
∑
Ｂ（ “）＝
Ｉ
．“ ） （
∑ 面ｃ ． ３） （
， ∈ ［ ． ］ 其 中， ，（ ） （ ｏ １． ，“ Ｊ
， “∈ ［ ， ］ ｃ（ ｏ １ ， ）＝￡ ———一
∑ ． ， （ ）
共 的切矢方 向， 即需
Ｂ（ “）Ｉ Ｉ＝ ｎ ）Ｉ ｏ ： Ｃ （ ： （） ３
其 ，＞， Ｂ） 舍 ｃ） 詈 其 ，“＝ Ｎ（Ｉ ） 中 ｏ （ ＝ ， ＝ ， 中 （ 骞 Ｊ ） ＝ ａ 记“ （ Ａ） ．ｎ ， “
∑ ， “ ． （ ＝∑面ｃ ） ＝∑面Ｍ． ）记 Ｂ（） “ Ｉ Ａ （） ３ ）Ｄ ） （ ∞（ ． ） （ ， ． １ ＝Ｂ（） １ （
维普资讯
２０ ０ ２年 ２月
松 辽 学刊（ 自然科 学版 ）
Ｓ ｎ ｌｏＪ ｕｎ ｌＮ ｔｒｌ ｃｅ ｃ Ｅ ｉｏ ） ｏ ｇｉ ｒａ（ ａｕ ａ Ｓ ｉ ｅ ｄｔ ｎ ａ ｏ ｎ ｉ
№ ． １ Ｆｅ ｂ．
第１ 期
三次非均匀有理 Ｂ样条 曲线 Ｇ 连续 的充分条件
则根 据 Ｌ ｉ ｉ ｅ ｎｔ ｂ ｚ求导法则 得 ：
㈩ ＝ …
㈤： 规罟 ｏ 定 ＝
收稿 日期 ：９ ２０ ６ ２ ０－ ｉ１
㈩＋ 煮
ＭＩｌ） ＋－ ｌ（ ｋ“
作者简 介： 车翔玖 （９ ９ ， 现为吉林大学教学研 究所计算教学 专业 ２ ０ 级博士研究生， １６ 一） 男， ００ 主要研 究 Ｃ Ｇ ， Ａ Ｄ 小渡分析
一
２ — ０
Ｂ（ ）Ｉ １＝ Ｃ（７ ＝ “ ： ＂ ｖ０ ｔ ）Ｉ （） １
经 计算（ ） 得 ： １式
＝ ，
即
ｃ 。
（） ２
（） ２ 式即 为两 曲线 Ｂ（ ）与 Ｃ（ “ ）Ｇ。 续 的充要条 件 ． 连
２ Ｇ 连续 条件
两 曲线 Ｂ（ ）与 ｃ（ ）Ｇ一 滑拼接 的 充要条 件是 ： Ｇ。 件外 ． 光 除 条 还需 在 公 共连 接 点处具 有 公
∑ 面＾． ‘ （）
ｌ Ｏ
＝０ １ …， ） ．（ ， ， ｎ ， ３ ） （ ｉ＝０ １ …． ） 别定义 在节 点矢量 Ｕ、 上按 德布 尔 一 考克 斯递 推公 ，， ｍ 分 Ｖ 式 给 出的三次非 均 匀 Ｂ 样 条基 函数 ． 德布 尔一考克 斯递 推公 式如下 ：
Ａ （ ： ． １ “）Ｉ ＩＢ（ ）＝ Ｂ（ ）Ｉ ｌｎ（ ） ｎ（ ）Ｉ １Ｃ （ ）＝ Ｃ （ ）Ｉ ０ Ｄ Ｏ “ ： ， １ ＝ “ ： ， ０ ｕ … （ ）＝ Ｄ （ ）Ｉ ０ ｕ … ｃ（ ）＝ Ｃ（ ）Ｉ ０ （ ）＝ （ ）Ｉ ０ ｎ （ ）＝ ｎ （ ）Ｉ ｌ ｛ ＝ ｏ ｕ ： ． Ｏ ｕ ： ， １ “ ： ， ０ （ ） 口）Ｉ ０ …
车翔 玖
（ 华大 学师 范理学 院 吉林 市 １２ １ ） 北 ３０ ３
摘
Байду номын сангаас
要： 本文依据 Ｂ样条理论． 研究了三次非均匀有理 Ｂ样条曲线 Ｇ连续问题， ２ 且给出了两条邻接三次
非均匀有理 Ｂ样条曲线间 连续 的一十 充分条件
关键 词 ： 非均匀有理 Ｂ样条；２ ； Ｇ连续 充分条件
中图分类 号 ：２１５ ０４． 文献 标识码 ； 文章编号 ；００ ８０２０）１ ０２ — ４ Ａ １ —１４（０２０ ～ ００ ０ ０ 在 Ｃ Ｇ 中 ， 一 的 曲线 、 Ａ Ｄ 单 曲面 往往 难 以满 足描 述 复 杂形 状 的 需 要 ， 必 须采 用 组 合 曲线 、 就 曲 面。 即对复 杂 的曲线 ． 曲面在 满足 一定 的光捐 拼接条 件 下， 采用 分段 与分 片拟 合 ， 满足 实 际的 需要 以 这 里， 要解决 的关 键 问题就是 怎样 实现 光 滑拼 接 的 问题 ． 目前 ， 于 Ｂ ｚ ｒ曲线 、 关 ｅｉ ｅ 曲面 光 滑 拼接 的 结
果 已 Ｅ趋成 熟 ， ｌ 但却鲜 见有 关 Ｂ样 条 曲线 、 曲面 尤 其是 ＮＵＲ Ｓ（ Ｂ 非均 匀 有 理 Ｂ样 条 ） 线、 曲 曲面 光
滑 拼接 的讨 论 ． 本文 研究 了一类 ＮＵＲ Ｓ曲线 即三 次非均匀 有理 Ｂ样条 曲线 Ｇ 连 续条 件 ． Ｂ ２
问题 ： 定 Ｒ 中两个 控制 点 列 ｛ ，， 给 ６ ｝ｊ＝０ １ … ， ｛ ， ， ， ｎ； Ｃ ｝ ｉ＝０ １ … ， ． 给定 参数 “、 的次 ，， 又 数 都是 ３ 及 两个节 董矢量 ｕ、 其 中 ： ， ｖ． Ｕ＝［ ０＝ “ ｌ＝ “ ２＝ “ ，＝ ０ “ ，－ “ ， ｌ＝ Ｕ ＋ ． ４・． “ ＋ － ｎ ２＝ “ 十 ３＝ “ 十 ４＝ １ ］ ｖ ＝ ［ ０＝ 口 ２＝ ３＝ ０ ４ ……＂ 口 ｌ： ， ， ７ ｏ 且设权 因子 权 因子 ｔｌ＝ Ｖ ＋ ＋ ｍ ２＝ Ｖ ＋ ｍ ３＝ 口 ＋ ｍ ４＝ １ ］ ≥ ０ ｊ＝ ０ １ …， ， 中 ｗｏ ｗ ， ．， ｎ 其 ， ＞ Ｏ ； ≥ ０ ｉ＝ ０ １ …， 其 中 面０ ． ０ ． ． ， ｍ． ， ＞ ，