高等数学同济版第8章：第1课 Newest

同济高数教案公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-第一章函数与极限教学目的：1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。

2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4、掌握基本初等函数的性质及其图形。

5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

6、掌握极限的性质及四则运算法则。

7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

高等数学课程建设组10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限；5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性；7、区间上连续函数的性质。

教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；5、闭区间上连续函数性质的应用。

§1. 1 映射与函数一、集合高等数学课程建设组1. 集合概念集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示.元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为aM.集合的表示:列举法: 把集合的全体元素一一列举出来.例如A={a, b, c, d, e, f, g}.描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为A={a1, a2, × × ×, a},nM={x | x具有性质P }.例如M={(x, y)| x, y为实数, x2+y2=1}.几个数集:N表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集.N={0, 1, 2, ×××, n, ×××}. N+={1, 2, ×××, n,×××}.R表示所有实数构成的集合, 称为实数集.Z表示所有整数构成的集合, 称为整数集.高等数学课程建设组高等数学课程建设组Z ={×××, -n , ×××, -2, -1, 0, 1, 2, ×××, n , ×××}. Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. },|{互质与且q p q Z p qp+∈∈=N Q 子集: 若xA , 则必有xB , 则称A 是B 的子集, 记为A ìB (读作A 包含于B )或B éA .如果集合A 与集合B 互为子集, A ìB 且B ìA , 则称集合A 与集合B 相等, 记作A =B .若A ìB 且A 1B , 则称A 是B 的真子集, 记作A ≠⊂B . 例如,N ≠⊂Z ≠⊂Q ≠⊂R .不含任何元素的集合称为空集, 记作. 规定空集是任何集合的子集.2. 集合的运算设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 或者属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集(简称并), 记作A èB , 即A èB ={x |xA 或xB }.设A 、B 是两个集合, 由所有既属于A 又属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集(简称交), 记作AB , 即AB ={x |xA 且xB }.设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 而不属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的差集(简称差), 记作A \B , 即A\B={x|xA且xB}.如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行, 所研究的其他集合A都是I的子集. 此时, 我们称集合I为全集或基本集. 称I\A 为A的余集或补集, 记作A C.集合运算的法则:设A、B、C为任意三个集合, 则(1)交换律AèB=BèA, AB=BA;(2)结合律 (AèB)èC=Aè(BèC), (AB)C=A(BC);(3)分配律 (AèB)C=(AC)è(BC), (AB)èC=(AèC)(BèC);(4)对偶律 (AèB)C=A C B C, (AB)C=A CèB C.(AèB)C=A C B C的证明:x(AèB)C xAèBxA且xBxA C且xB C xA C B C, 所以(AèB)C=A C B C.直积(笛卡儿乘积):设A、B是任意两个集合, 在集合A中任意取一个元素x, 在集合B 中任意取一个元素y, 组成一个有序对(x, y), 把这样的有序对作为新元素, 它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积, 记为A′B, 即A′B={(x, y)|xA且yB}.例如, R′R={(x, y)| x R且y R }即为xOy面上全体点的集合, R′R常记作R2.高等数学课程建设组3. 区间和邻域有限区间:设a<b, 称数集{x|a<x<b}为开区间, 记为(a, b), 即(a, b)={x|a<x<b}.类似地有[a, b] = {x | a ￡x￡b }称为闭区间,[a, b) = {x | a￡x<b }、(a, b] = {x | a<x￡b }称为半开区间. 其中a和b称为区间(a, b)、[a, b]、[a, b)、(a, b]的端点, b-a称为区间的长度.无限区间:[a, +￥) = {x | a￡x }, (-￥, b] = {x | x < b } , (-￥, +￥)={x | | x | < +￥}.区间在数轴上的表示:邻域: 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作U(a).设d是一正数, 则称开区间(a-d, a+d)为点a的d邻域, 记作U(a, d), 即U(a, d)={x | a-d< x < a+d}高等数学课程建设组={x | | x-a|<d}.其中点a称为邻域的中心, d称为邻域的半径.去心邻域 U(a, d):U(a, d)={x |0<| x-a |<d}二、映射1. 映射的概念定义设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与之对应, 则称f 为从X到Y的映射, 记作f : XY ,其中y称为元素x(在映射f下)的像, 并记作f(x), 即y=f(x),而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像; 集合X称为映射f的定义域, 记作D f, 即D f=X ;X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域, 记为R f, 或f(X), 即R f=f(X)={f(x)|xX}.需要注意的问题:高等数学课程建设组高等数学课程建设组(1)构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合X , 即定义域D f =X ; 集合Y , 即值域的范围: R f ìY ; 对应法则f , 使对每个xX , 有唯一确定的y =f (x )与之对应.(2)对每个xX , 元素x 的像y 是唯一的; 而对每个yR f , 元素y 的原像不一定是唯一的; 映射f 的值域R f 是Y 的一个子集, 即R f ìY , 不一定R f =Y .例1设f : RR , 对每个x R , f (x )=x 2.显然, f 是一个映射, f 的定义域D f =R , 值域R f ={y |y 30}, 它是R 的一个真子集. 对于R f 中的元素y , 除y =0外, 它的原像不是唯一的. 如y =4的原像就有x =2和x =-2两个.例2设X ={(x , y )|x 2+y 2=1}, Y ={(x , 0)||x |￡1}, f : X Y , 对每个(x , y )X , 有唯一确定的(x , 0)Y 与之对应.显然f 是一个映射, f 的定义域D f =X , 值域R f =Y . 在几何上, 这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x 轴的区间[-1, 1]上.(3) f :]2 ,2[ππ-[-1, 1], 对每个x ]2,2[ππ-, f (x )=sin x . f 是一个映射, 定义域D f =]2,2[ππ-, 值域R f =[-1, 1]. 满射、单射和双射:设f是从集合X到集合Y的映射, 若R f =Y, 即Y中任一元素y都是X中某元素的像, 则称f为X到Y上的映射或满射; 若对X中任意两个不同元素x 11x 2, 它们的像f(x 1)1f(x 2), 则称f为X到Y的单射; 若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射).上述三例各是什么映射2. 逆映射与复合映射设f是X到Y的单射, 则由定义, 对每个yR f , 有唯一的xX, 适合f(x)=y, 于是, 我们可定义一个从R f到X的新映射g, 即g : R f X,对每个yR f , 规定g(y)=x, 这x满足f(x)=y. 这个映射g称为f的逆映射, 记作f -1, 其定义域1-D=R f , 值域1-f R=X .f按上述定义, 只有单射才存在逆映射. 上述三例中哪个映射存在逆映射设有两个映射g : XY 1, f : Y 2Z,其中Y 1ìY 2. 则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则, 它将每个xX映射成f[g(x)]Z . 显然, 这个对应法则确定了一个从X到Z的映射, 这个映射称为映射g和f构成的复合映射, 记作f o g, 即f o g: X Z,高等数学课程建设组(f o g)(x)=f[g(x)], xX .应注意的问题:映射g和f构成复合映射的条件是: g的值域R g必须包含在f的定义域内, R gìD f . 否则, 不能构成复合映射. 由此可以知道, 映射g和f的复合是有顺序的, f o g有意义并不表示g o f也有意义. 即使f o g与g o f都有意义, 复映射f o g与g o f也未必相同.例4 设有映射g : R[-1, 1], 对每个x R, g(x)=sin x,映射f : [-1, 1][0, 1], 对每个u[-1, 1], 2f-u=.1)(u则映射g和f构成复映射f o g: R[0, 1], 对每个x R, 有xfxfgg-.x===f=)sin1xcos|)|)((2x(sin[()]三、函数1. 函数概念定义设数集DìR, 则称映射f : D R为定义在D上的函数, 通常简记为y=f(x), xD,其中x称为自变量, y称为因变量, D称为定义域, 记作D f, 即D f=D.应注意的问题:记号f和f(x)的含义是有区别的, 前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则, 而后者表示与自变量x对应的函数值. 但为了叙述方便,习惯上常用记号“f (x ), xD ”或“y =f (x ), xD ”来表示定义在D 上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f .函数符号: 函数y =f (x )中表示对应关系的记号f 也可改用其它字母, 例如“F ”, “j ”等. 此时函数就记作y =j (x ), y =F (x ). 函数的两要素:函数是从实数集到实数集的映射, 其值域总在R 内, 因此构成函数的要素是定义域D f 及对应法则f . 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的. 函数的定义域:函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 一种是对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际意义确定.求定义域举例:求函数412--=x xy 的定义域.要使函数有意义, 必须x 10, 且x 2 -430. 解不等式得| x |32.所以函数的定义域为D ={x | | x |32}, 或D =(-￥, 2]è[2, +￥]).单值函数与多值函数:在函数的定义中，对每个xD , 对应的函数值y 总是唯一的, 这样定义的函数称为单值函数. 如果给定一个对应法则, 按这个法则, 对每个xD , 总有确定的y 值与之对应, 但这个y 不总是唯一的, 我们称这种法则确定了一个多值函数. 例如, 设变量x 和y 之间的对应法则由方程x 2+y 2=r 2 给出. 显然, 对每个x [-r , r ]，由方程x 2+y 2=r 2,可确定出对应的y 值, 当x =r 或x =-r 时, 对应y =0一个值; 当x 取(-r , r )内任一个值时, 对应的y 有两个值. 所以这方程确定了一个多值函数.对于多值函数, 往往只要附加一些条件, 就可以将它化为单值函数, 这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支. 例如, 在由方程x 2+y 2=r 2给出的对应法则中, 附加“y 30”的条件, 即以“x 2+y 2=r 2且y 30”作为对应法则, 就可得到一个单值分支221)(x r x y y -==; 附加“y￡0”的条件, 即以“x 2+y 2=r 2且y ￡0”作为对应法则, 就可得到另一个单值分支222)(x r x y y --==.表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解析法(公式法), 这在中学里大家已经熟悉. 其中, 用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 即坐标平面上的点集 {P (x , y )|y =f (x ), xD }称为函数y =f (x ), xD 的图形. 图中的R f 表示函数y =f (x )的值域. 函数的例子:例. 函数⎩⎨⎧<-==0||x x x y . 称为绝对值函数. 其定义域为D =(-￥, +￥), 值域为R f =[0, +￥).例. 函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==01000 1sgn x x x x y .称为符号函数. 其定义域为D =(-￥, +￥), 值域为R f ={-1, 0, 1}. 例 设x 为任上实数. 不超过x 的最大整数称为x 的整数部分, 记作[ x ]. 函数y = [ x ]称为取整函数. 其定义域为D =(-￥, +￥), 值域为R f =Z . 0]75[=, 1]2[=, [p ]=3, [-1]=-1, [-3. 5]=-4.分段函数:在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数. 例。