三角形(一)

期末章节复习(一)三角形考点1三角形的三边关系1．下列各线段中，能与长为4，6的两条线段组成三角形的是（）A．2 B．8 C．10 D．122．若三角形三边长分别为2，x，3，且x为偶数，则这样的三角形个数为（）A．2 B．3 C．4 D．53．△ABC的两边长分别是2和5，且第三边为奇数，则第三边长为__________．4．a，b，c为△ABC的三边，化简|a－b－c|－|a＋b－c|＋2a结果是__________．5．一个等腰三角形的周长为22 cm，若一边长为6 cm，求另外两边长．考点2三角形的高、中线与角平分线6．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（）A．BF＝CF B．∠C＋∠CAD＝90°C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF第6题第7题图第9题图第10题图第12题图7．如图，已知AD是△ABC的中线，且△ABD的周长比△ACD的周长多4 cm.若AB＝16 cm，则AC＝_______cm.考点3三角形的稳定性8．下列图形具有稳定性的是（）A B C D考点4三角形的内角和定理与外角性质9．如图，在△ABC中，D为AB延长线上一点，DE⊥AC于点E，∠C＝40°，∠D＝20°，则∠ABC为（）A．50°B．60°C．70°D．80°10．将一副三角板按图中的方式叠放，则∠1的度数为（）A．105°B．100°C．95°D．110°11．△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足关系式∠B＋∠C＝3∠A，则此三角形（）A．一定是直角三角形B．一定是钝角三角形C．一定有一个内角为45°D．一定有一个内角为60°12．如图，在△ABC中，∠A＝x°，∠B＝2x°，∠ACB＝6x°，则∠BCD的度数是_______．13．当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“梦想三角形”．如果一个“梦想三角形”有一个角为126°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为____________．14．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，BD＝AD＝DC，试判断△BAC的形状．15．如图，已知△ABC和△CDE，点E在AB边上，且AB∥CD，EC为∠AED的平分线．若∠BCE＝30°，∠B＝44°，求∠D的度数．16．如图，在△ABC中，∠A＝75°，∠ABC与∠ACB的三等分线分别交于M，N两点．(1)求∠BMC的度数；(2)若设∠A＝α，用α的式子表示∠BMC，∠BNC的度数．考点5多边形及其内角和、外角和17．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为__________．18．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是_________．19．如图，已知六边形ABCDEF的每个内角都相等，连接AD.(1)若∠1＝48°，求∠2的度数；(2)求证：AB∥DE.复习自测一、选择题(每小题3分，共30分)1．下面分别是三根小木棒的长度，能摆成三角形的是（）A．5 cm，8 cm，2 cm B．5 cm，8 cm，13 cmC．5 cm，8 cm，5 cm D．2 cm，7 cm，5 cm2．如图所示是一个起重机的示意图，在起重架中间增加了很多斜条，它所运用的几何原理是（）A．三角形两边之和大于第三边B．三角形具有稳定性C．三角形两边之差小于第三边D．直角三角形的两个锐角互余第2题图第3题图第4题图第6题图3．如图，AM是△ABC的中线，△ABC的面积为4 cm2，则△ABM的面积为（）A．8 cm2B．4 cm2C．2 cm2D．以上答案都不对4．如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于点D，则∠BAD的大小是（）A．45°B．54°C．40°D．50°5．小方画了一个有两边长为3 和5 的等腰三角形，则这个等腰三角形的周长为（）A．11 B．13 C．8 D．11或136．将两个分别含30°和45°角的直角三角板如图放置，则∠α的度数是（）A．10°B．15°C．20°D．25°7．不能作为正多边形内角的度数的是（）A．120°B．108°C．144°D．145°8．如图，在△ABC中，∠BDC＝110°，点D是∠ABC和∠ACB平分线的交点，则∠A＝（）A．40°B．50°C．60°D．70°第8题图第10题图第11题图第12题图9．已知三角形的三边长分别为2，a－1，4，则化简|a－3|＋|a－7|的结果为（）A．2a－10 B．10－2a C．4 D．－410．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A′处，折痕为DE.如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正确的是（）A．γ＝2α＋β B．γ＝α＋2β C．γ＝α＋β D．γ＝180°－α－β二、填空题(每小题4分，共24分)11．如图，图中共有______个三角形．第13题图第14题图第15题图12．如图，点B，C，E，F在同一直线上，AB∥DC，DE∥GF，∠B＝∠F＝72°，则∠D＝__________．13．如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE＝DF，∠F＝20°，则∠B的度数为_______．14．根据如图所示的已知角的度数，求出其中∠α的度数为_______．15．一个多边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的内角和为2 520°，则原多边形有________条边．16．将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝220°，则∠5＝__________．三、解答题(共46分)17．(10分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高．(1)图中有几个直角三角形？是哪几个？(2)∠1和∠A有什么关系？∠2和∠A呢？还有哪些锐角相等？18．(10分)如图所示，在△ABC中，已知AD是角平分线，∠B＝66°，∠C＝54°.(1)求∠ADB的度数；(2)若DE⊥AC于点E，求∠ADE的度数．19．(12分)已知一个正多边形相邻的内角比外角大140°.(1)求这个正多边形的内角与外角的度数；(2)直接写出这个正多边形的边数．20．(14分)在平面直角坐标系中，将等腰直角三角板OAB(∠OAB＝∠OBA＝45°)的直角顶点放在O点，直角边OB，OA分别在x轴、y轴上，A点的坐标为(0，4)．图1 图2 图3(1)如图1，D为AB上一点，且S△AOD＝S△BOD，求点D的坐标；(2)若另一直角三角板(∠OFE＝30°)的直角顶点放在O点(如图2)，直角边OF，OE分别在x轴、y轴上，EF交AB 于点G，∠AOB的平分线与∠AGF的平分线相交于点P，求∠P的度数；(3)如图3，M，N为x轴、y轴上两点，∠ANM的平分线与∠ABx的平分线相交于点Q，下列两个结论：①∠NMO－∠OAB∠Q的值不变；②∠NMO＋∠OAB∠Q的值不变，其中有且仅有一个是正确的，请你选出正确的结论，并求出其值．。

1、一个三角形的一边长是10，另一边长是7，那么它的周长ι的取值范围是（）2、在一个三角形中，有两条边相等，其一边为2cm，一边为6cm，则它的周长为（）cm。

3、三角形两边长为5cm和12cm，第三边与前两边中的一边相等，则三角形的周长为（）4、各边长均为整数的不等边三角形的周长等于12，这样的三角形有（）个。

5、在方格纸上，每个小格的顶点叫作格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形。

如图，在4×4的方格纸上，每小格的顶点，叫作格点，以AB为边的格点三角形ABC的面积为2个平方单位，则符合条件的C点共有（）个。

6、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A,锐角三角形B,钝角三角形C,直角三角形D,等边三角形7、三角形的角平分线是（）A、直线B、射线C、线段D、以上都不对8、若△ABC的三边分别为m，n，p且│m-n│+(n-p)2=0，则这个三角形为（）A、等腰三角形B、等边三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形9、下列各组的三条线段一定能组成三角形的是（）A、a-3，a，3（a>3) B、a+1，a+1，2a(a>0)C、a+5，a+3，a(a>0)D、a+b，a，b(a>0，b>0)10、下列说法中，正确的有（）（1）三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形；（2）三角形的角平分线、中线、高都是线段；（3）只有一条高在三角形内部的三角形是钝角三角形；（4）三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部（）A、0个B、1个C、2个D、3个11、画△ABC的BC边上的高AD，下列画法正确的是（）12、若有一条公共边的两个三角形成为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有（)A、2对B、3对C、4对 D 、6对13、若三角形三边的长为整数，周长是13，且一边的长为4，则符合条件的三角形有（）A、1个B、2个C、3个D、4个14、如图D，E分别为△ABC的边AC，BC的中点，则下列说法不正确的是（）A、DE是△BDC的中线B、BD是△ABC的中线C、AD=DC，BE=ECD、图中∠C的对边是DE15、在具备下列条件的线段a、b、c中，一定能组成三角形的是（）A.a+b>c B、a-b<c C、a：b：c=1：2：3 D、a=b=2c16、如图以AE为高的三角形有（）A、1个B、2个C、3个D、6个17、等腰三角形一定是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、不确定18、如图是人字形屋架的设计图，由AB、AC、BC、AD四根钢条焊接而成，其中A、B、C、D均为焊接点，且AB=AC，D为BC中点，现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC的中点D，如果焊接工身边只有可检验直角的直尺，那么为了准确快速的焊接，他首先应取得两根钢条，及焊接得点是（）A、AB和BC、焊接点BB、AB和AC、焊接点AC、AD和BC、焊接点DD、AB和AD、焊接点A19、如图在△ABC中，AD、CE是△ABC的两条高，BC=5cm，AD=3cm，CE=4cm，求AB的长。

三角形的全部公式，你知道多少（一）引言概述：三角形是几何学中最基本的图形之一，其具有丰富的性质和公式。

本文将介绍三角形的全部公式，以帮助读者更全面地了解和应用三角形的知识。

本文将从五个大点出发，分别阐述三角形的周长、面积、角度、边长和高线的相关公式。

正文：一、三角形的周长公式:1. 三角形的周长是三边长度之和，即P=a+b+c，其中a、b、c分别为三角形的三边长度。

2. 特殊情况下，如果三角形为等边三角形，则周长公式简化为P=3a，其中a为三边相等的边长。

二、三角形的面积公式：1. 三角形的面积可以通过海伦公式计算，即S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))，其中s为三角形的半周长，a、b、c为三角形的边长。

2. 另外，如果已知三角形的底和高，则可以利用三角形的底乘以高的公式直接求得面积，即S=(1/2)bh。

三、三角形的角度公式：1. 三角形的内角和为180°，即∠A+∠B+∠C=180°，其中∠A、∠B、∠C分别为三角形的三个内角。

2. 根据三角形内角和定理可得，如果两个角是直角，则第三个角为直角。

即若∠A=90°且∠B=90°，则∠C=90°。

四、三角形的边长公式：1. 根据余弦定理可得，三角形的一个边的平方等于另外两个边的平方和减去两倍两边的乘积与夹角的余弦的积，即c²=a²+b²-2abcos∠C。

2. 根据正弦定理可得，三角形的一个边的长度与其对应的角的正弦成比例，即a/sin∠A=b/sin∠B=c/sin∠C。

五、三角形的高线公式：1. 三角形可以根据高线划分为两个直角三角形，其中高线作为直角边，其他两边作为直角三角形的斜边。

2. 利用高线公式，可以计算三角形的高线长度，即h=(2S)/a=(2S)/b=(2S)/c，其中S为三角形的面积。

总结：三角形作为基本图形之一，在几何学中扮演着重要的角色。

通过学习本文介绍的三角形的全部公式，读者可以更全面地了解三角形的性质，并能够灵活应用这些公式进行相关计算和问题解决。

第七章三角形教案（一）教学目标1.认识三角形,了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形.2.经历度量三角形边长的实践活动中,明白得三角形三边不等的关系.3.明白得判定三条线段可否构成一个三角形的方法,并能运用它解决有关的问题.4.关心学生树立几何知识源于客观实际,用客观实际的观念,激发学生学习的爱好. 重点、难点 重点:1.对三角形有关概念的了解,能用符号语言表示三条形.2.能从图中识别三角形.3.通过度量三角形的边长的实践活动,从中明白得三角形三边间的不等关系. 难点:1.在具体的图形中不重复,且不遗漏地识别所有三角形.2.用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形. 教学过程 一、看一看1.投影:图形见章前P68-69图.教师叙述: 三角形是一种最常见的几何图形之一.(看条件许可, 能够把古埃及的金字塔、飞机、飞船、分子结构……的投影,给同学放映)从古埃及的金字塔到现代的飞机、上天的飞船,从宏大的建筑如P68-69的图,到微小的分子结构, 处处都有三角形的身影.结合以上的实际使学生了解到:我们所研究的“三角形”那个课题来源于实际生活之中. 学生活动:(1)交流在日常生活中所看到的三角形. (2)选派代表说明三角形的存在于我们的生活之中.2.板书:在黑板上老师画出以下几个图形.(1)CBA(2)CBA(3)E DCBA(4)EDBA(5)DCBA(1)教师引导学生观看上图:区别三条线段是否存在首尾顺序相接所组成的.图(1)三条线段AC 、CB 、AB 是否首尾顺序相接.(是) (2)观看发觉,以上的图,哪些是三角形? (3)描述三角形的特点:板书:“不在一直线上三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形”.教师提问:上述对三角形的描述中你认为有几个部分要引起重视. 学生回答:a.不在一直线上的三条线段.b.首尾顺次相接. 二、读一读指导学生阅读课本P71,第一部分至摸索,一段课文,并回答以下问题: (1)什么叫三角形?(2)三角形有几条边?有几个内角?有几个顶点? (3)三角形ABC 用符号表示________.(4)三角形ABC 的边AB 、AC 和BC 可用小写字母分别表示为________.三角形有三条边,三个内角,三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点, 三角形ABC 用符号表示为△ABC,三角形ABC 的三边,AB 可用边AB 的所对的角C 的小写字母c 表示,AC 可用b 表示,BC 可用a 表示. 三、做一做画出一个△ABC,假设有一只小虫要从B 点动身,沿三角形的边爬到C,它有几种路线能够选择各条路线的长一样吗?同学们在画图运算的过程中,展现议论,并指定回答以上问题: (1)小虫从B 动身沿三角形的边爬到C 有如下几条路线. a.从B→C b.从B→A→C(2)从B 沿边BC 到C 的路线长为BC 的长.从B 沿边BA 到A,从A 沿边C 到C 的路线长为BA+AC.通过测量能够说BA+AC>BC,能够说这两条路线的长是不一样的. 四、议一议1.在用一个三角形中,任意两边之和与第三边有什么关系?2.在同一个三角形中,任意两边之差与第三边有什么关系?3.三角形三边有如何样的不等关系?通过动手实验同学们能够得到哪些结论?三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边. 五、想一想三角形按边分能够,分成几类?按角分呢? (1)三角形按边分类如下: 三角形 不等三角形 等腰三角形 底和腰不等的等腰三角形 等边三角形 (2)三角形按角分类如下: 三角形 直角三角形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 六、练一练有三根木棒长分别为3cm 、6cm 和2cm,用这木棒能否围成一个三角形?分析:(1)三条线段能否构成一个三角形, 关键在捡判定它们是否符合三角形三边的不等关系,符合即可的构成一个三角形,看不符合就不可能构成一个三角形.⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎩(2)要让学生明确两条木棒长为3cm 和6cm,要想用三根木棒合起来构成一个三角形,这第三根木棒的长度应介于3cm 和8cm 之间,由于它的第三根木棒长只有2cm,因此不可能用这三条木棒构成一个三角形. 错导:∵3cm+6cm>2cm∴用3cm 、6cm 、2cm 的木棒能够构成一个三角形.错因:三角形的三边之间的关系为任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,那个地点3+6>2,没错,可6-3不小于2,因此回答这类问题应先确定最大边,然后看小于最大量的两量之和是否大于最大值,大时就可构成,小时就无法构成. 7.1.2 三角形的高、中线与角平分线教学目标1.经历析纸,画图等实践过程认识三角形的高、中线与角平分线.2.会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线, 通过画图了解三角形的三条高(及所在直线)交于一点,三角形的三条中线,三条角平分线等都交于点. 重点、难点 1.重点:(1)了解三角形的高、中线与角平分线的概念, 会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线.(2)了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点. 2.难点:(1)三角形平分线与角平分线的区别,三角形的高与垂线的区别. (2)钝角三角形高的画法.(3)不同的三角形三条高的位置关系. 教学过程 一、看一看把下面图表投影出来:三角形的重要线段 意义 图形 表示法三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段D CBA1.AD 是△ABC 的BC 上的高线.2.AD ⊥BC 于D.3.∠ADB=∠ADC=90°.三角形的中线 三角形中,连结一个顶点和它对边中的OD CBA线段D CBA1.AE 是△ABC 的BC 上的中线.2.BE=EC=12BC.三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交,那个角顶点与交点之间的线段21D CBA1.AM 是△ABC 的∠BAC 的平分线.2.∠1=∠2=12∠BAC.1.指导学生阅读课本P71-72的课文.2.认真观看投影表中的内容,并回答下面问题.(1)什么叫三角形的高?三角形的高与垂线有何区别和联系? 三角形的高是从三角形的一个顶点向它对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段,而从三角形一个顶点向它对边所在的直线作垂线这条垂线是直线.(2)什么叫三角形的中线?连结两点的线段与过两点的直线有何区别和联系?三角形的中线是连结一个顶点和它对边的中点的线段, 而过两点的直线有着本质的不同,一个代表的是线段,另一个却是直线.(3)什么叫三角形的角平分线?三角形的角平分线与角平分线有何区别和联系?三角形的角平分线是三角形的一个内角平分线与它的对边相交, 那个角顶点与交点之间的线段,而角平分线指的是一条射线.3.三角形的高、中线和角平分线是代表线段依旧代表射线或直线?三角形的高、中线和角平分线都代表线段, 这些线段的一个端点是三角形的一个顶点,另一个端点在那个顶点的对边上. 二、做一做1.让学生在练习本上画出三角形,并在那个三角形中画出它的三条高.( 假如他们所画的是锐角三角形,接着提出在直角三角形的三条高在哪里?钝角三角形的三条高在那儿?)观看这三条高所在的直线的位置有何关系?三角形的三条高交于一点,锐角三角形三条高交点在直角三角形内,直角三角形三条高线交点在直角三角形顶点,而钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部.2.让学生在练习本上画三角形,并在那个三角形中画出它的三条中线.( 假如他们所画的是锐角三角形,接着让他们画出直角三角形和钝角三角形,看看这些三角形的中线在哪里)?观看这三条中线的位置有何关系?三角形的三条中线都在三角形内部,它们交于一点,那个交点在三角形内.3.让学生在练习本上画一个三角形,并在这三角形中画出它的三条角平分线,观看这三条角平分线的位置有何关系不管是锐角三角形依旧直角三角形或钝角三角形, 它们的三条角平分线都在三角形内,同时交于一点.7.1.3三角形的稳固性 教学目标：通过观看和实地操作得到三角形具有稳固性，四边形没有稳固性，稳固性与没有稳固性在生产、生活中广泛应用重点：了解三角形稳固性在生产、生活是实际应用难点：准确使用三角形稳固性与生产生活之中 课前预备：小木条8个，小钉若干 教学过程：一、看一看，想一想课本P73投影出来二、做一做1、用三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？2、用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？3、在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？C BA三、议一议从上面实验过程你能得出什么结论？与同伴交流。

三角形易错点1：三角形的概念，三角形中三种重要的线段——角平分线、中线、高.易错题1：如图，点A ，B ，C 分别是线段A 1B ，B 1C ，C 1A 的中点，若△ABC 的面积是1,那么△A 1B 1C 1的面积是______________.CBA1B 1A 1错解：4 正解：7赏析：错解的主要原因在对三角形中线的有关性质理解错误，以为外侧三个三角形与里面的△ABC 面积相等.三角形的一条中线把原三角形分成的两部分是两个等底同高的等积三角形，由此，连接B 1A ，C 1B ，A 1C ，图中的7个小三角形面积均相等，故答案为7.易错点2：三角形三边之间的关系——三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.易错题2：现有3cm ，4cm ，7cm ，9cm 长的四根木棒，任取其中的三根组成一个三角形，那么可组成三角形的个数是……………………………………………………………（ ）A .1个B .2个C .3个D .4个 错解：C 正解：B 赏析：本题对三角形三边的关系理解错误，可能以为三角形任意两边之和大于第三边的对立面是三角形任意两边之和小于第三边，其实，其对立面还包括等于的情况.从四根木棒中任取三根，共有3cm ，4cm ，7cm ；3cm ，4cm ，9cm ；3cm ，7cm ，9cm ；4cm ，7cm ，9cm 四种情况，但3＋4＝7,3＋4＜9，所以这两种情况不能组成三角形，故选B .易错点3：三角形按边、按角的分类，三角形内、外角的性质，特别是外角的两条性质. 易错题3：如图，在△ABC 中，∠ABC ＝50°，∠ACB ＝60°，点E 在BC 的延长线上，∠ABC 的平分线BD 与∠ACE 的平分线CD 相交于点D ，连接AD ，下列结论：①∠BAC ＝70°；②∠DOC ＝90°；∠BDC ＝35°；∠DAC ＝55°.其中，不正确的有………………（ ）A .①③B .②④C .②D .④F M O NP DA B错解：B 正解：C赏析：本题对①，②，③可利用三角形内角和定理及三角形外角的性质就可判断对错，关键是对④的判断易产生错误本题错解就是这种情况.判断④对错的关键是能否判定AD 是△ABC 的外角∠F AC 的平分线，为此，过点D 分别作DM ⊥AF 于点M ，DN ⊥AC 于点N ，DP ⊥CE 于点P ，由BD ,CD 分别平分∠BAC ，∠ACE ，可得DM ＝DP ，DN ＝DP ，所以DM ＝DN ，由角平分线的判定可得AD 平分∠F AC ，从而可通过计算判断④正确.易错点4：全等三角形的性质，三角形全等的判定，特别是两边一角对应相等的两个三角形不一定全等.易错题4：如图，已知AB ＝DC ，∠ACF ＝∠DBE ，则添加下列条件之一，能判定△ACF ≌△DBE 且是用“SAS ”判断全等的是……………………………………………………（ ）A .AF ＝DEB .∠A ＝∠DC .AF ∥DED .FC ＝EBF EDC AB错解：A 正解：D赏析：三角形全等的判定方法通常有SAS 、ASA 、SSS 、AAS 四种，本题错解的原因是对SAS 的条件没有理解清楚.两边一角对应相等的情况有两种：一种是SAS ，其条件是两边及其夹角对应相等，另一种是两边及其一组等边的对角对应相等，这样的两个三角形不全等.易错题5：如图，在△ABC 和△ABD 中，AC 与BD 相交于点E ，AD ＝BC ，∠DAB ＝∠CBA ，求证：AE ＝BE .EBCDA错解：∵∠DAB ＝∠CBA ，∴∠DAE ＝∠CBE ，在△ADE 和△BCE 中，∵AD ＝BC ，∠DAE ＝∠CBE ，∠DEA ＝∠CEB ，∴△ADE ≌△BCE （AAS ），∴AE ＝BE .正解：在△ADB 和△BCA 中，∵AD BC DAB CBA AB BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△BCA （SAS ），∴∠D ＝∠C . 在△ADE 和△BCE 中，∵AD BC DEA CEB D C =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADE ≌△BCE （AAS ），∴AE ＝BE .又解：在△ADB 和△BCA 中，∵AD BC DAB CBA AB BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△BCA （SAS ），∴∠ABD ＝∠BAC ，即∠ABE ＝∠BAE ，∴AE ＝BE .赏析：本题错在第一步，由∠DAB ＝∠CBA ，不能得出∠DAE ＝∠CBE ，可能是把未知条件当做已知条件用了.应先根据“SAS ”证△ADB ≌△BCA ，注意，这里的理由是“SAS ”而不是“SSA ”，由“SSA ”不能判断三角形全等，接下来可用“AAS ”或“ASA ”证△ADE≌△BCE 而得出结论，也可根据等腰三角形的判定“等角对等边”得出结论.易错点5：等腰三角形（含等边三角形）的性质与判定.易错题6：已知△ABC 是等边三角形，BD 为中线，延长BC 至点E ，使CE ＝CD ＝a ，连接DE ，则DE ＝__________.EBCDA错解：2a 正解赏析：本题可能以为DE ＝AC 而得出错解，在△DCE 中，用三边的关系也可判断2a 不正确.应先由等边三角形的性质得出BD 垂直平分AC ，∠CBD ＝30°，∠BCD ＝60°，又CE ＝CD ，∴∠E ＝∠CDE ，又∵∠BCD ＝∠E ＋∠CDE ，∴∠E ＝∠CBD ＝30°，∴BD ＝ED .再在Rt △BCD 中，由tan ∠BCD ＝BDCD得出BD ＝CD tan60，也可在Rt △BCD 中先得出BC ＝2CD ，再由勾股定理求得BD，∴DE.易错点6：运用等腰三角形的性质与判定计算或证明有关问题时注意分类讨论思想的运用.易错题7：在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得锐角为40°，则∠B 的度数为_______________.错解：65°正解：65°或25°赏析：本题只考虑了△ABC 中顶角∠BAC 为锐角的情况.由于等腰三角形的顶角可以是锐角，也可以是直角或钝角，∴本题应分三种情况讨论求解：①当∠BAC 为锐角时，如图1：40°图1E BCD A40°图2EBCDA图3EBCDADE 垂直平分AB ，∠ADE ＝40°，则∠A ＝50°，又∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∴∠B ＝180502︒-︒＝65°；当∠BAC 为钝角时，如图2，DE 垂直平分AB ，∠ADE ＝40°，则∠DAB ＝50°，∴∠BAC ＝180°－50°＝130°，又∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∴∠B ＝1801302︒-︒＝25°（或：由∠DAB ＝∠B ＋∠C ，而∠B ＝∠C ，∴∠B ＝12∠DAB ＝12×50°＝25°）；当∠BAC 为直角时，如图3，DE ∥AC ，不合题意，此种情况舍去.∴答案为65°或25°.易错点7：全等三角形与等腰三角形的综合应用.易错题8：我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”.如图1，四边形ABCD 即为“准等腰梯形”，其中∠B ＝∠C .在由不平行BC 的直线AD 截△PBC 所得的四边形ABCD 中，∠BAD 与∠ADC 的平分线交于点E ，若EB ＝EC ，请问当点E 在四边形ABCD 内部时（如图2所示），四边形ABCD 是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E 不在四边形ABCD 内部时，情况又将如何？写出你的结论.（不必说明理由）图1BCP D A 图2EBCDA图3BCDA错解：是“准等腰梯形”，理由：∵EB ＝EC ，∴∠EBC ＝∠ECB ，∴∠ABC ＝∠DCB ，∴是“准等腰梯形”.当点E 不在四边形ABCD 内部时，如图3，四边形ABCD 是“准等腰梯形”.正解：如图4，过点E 分别作EF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AD 于点G ，EH ⊥CD 于点H .∵AE 、DE 分别平分∠BAD 、∠ADC ，∴EF ＝EG ＝EH .又∵EB ＝EC ，∴Rt △BFE ≌Rt △CHE ，∴∠3＝∠4，又∵EB ＝EC ，∴∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠ABC ＝∠DCB .又∵四边形ABCD 为AD 截某三角形所得，且AD 不平行BC ，∴四边形ABCD 是“准等腰梯形”. 当点E 不在四边形ABCD 内部时，有两种情况：当点E 在四边形ABCD 的边BC 上时，如图5，四边形ABCD 是“准等腰梯形”；当点E 在四边形ABCD 的外部时，如图6，四边形ABCD 是“准等腰梯形”.4321HGF图4EBCD A 图5BCDA 图6BDA赏析：本题中第一问的理由不正确，没有充分利用两条角平分线的条件，第二问没有理解不在四边形内部的含义，不在四边形内部应包括在四边形上和四边形外部两种情况.这两种情况的理由是：当点E 在四边形ABCD 的边BC 上时，如图7，同理可得Rt △BFE ≌Rt △CHE ，∴∠B ＝∠C ，∴四边形ABCD 是“准等腰梯形”；当点E 在四边形ABCD 的外部时，如图8，同理可得Rt △BFE ≌Rt △CHE ，∴∠EBF ＝∠ECH ，∵EB ＝EC ，∴∠EBC ＝∠ECB ，∴∠EBF －∠EBC ＝∠ECH －∠ECB ，即∠ABC ＝∠DCB .∴四边形ABCD 是“准等腰梯形”.HGF 图7BCD A H GF 图8BCD A易错练1.如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条边上，若∠1＝25°，则∠2的度数为……………………………………………………………………………（ ） A .53° B .55° C .57° D .60°2.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 在BC 上，连接AD 、AE .若只添加一个条件就能得到∠DAB ＝∠EAC ，则下列条件中不正确的是………………………………………（ ） A .BE ＝CD B .AD ＝AE C .∠BAE ＝∠CAD D .∠DAE ＝∠DEA30°21第1题图第2题图BCDA3.已知等腰三角形ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AD ＝12BC ，则△ABC 的底角度数为_________. 4.在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 、F 分别在AB 、AC 上，AE ＝AF ，BF 与CE 相交于点D .求证：DB ＝DC ，并直接写出图中其他相等的线段.FEBC DA5.已知等腰三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，点E 在AC 边的延长线上，且∠DEC ＝45°，点M 、N 分别是DE 、AE 的中点，连接MN 交直线BE 于点F .当点D 在CB 边的延长线上时，如图1所示，易证MF ＋FN ＝12BE . （1）当点D 在CB 边上时，如图2所示，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，并说明理由.（2）当点D 在BC 边的延长线上时，如图3所示，请证明你发现的结论. （3）你能用式子综合概括本题中MF 、FN 与BE 之间的关系吗？NMF EBC DA图1N MFEBCDA图2NMFE BC DA 图3参考答案3.75°或45°或15°解析：分三种情况：如图①，AD为腰上的高，且在△ABC内部，∵AB＝BC，AD＝12BC，∴AD＝12AB，∴12ADAB=,又∵sin∠B＝ADAB,∴sin∠B＝12，∴∠B＝30°，∴底角为180302︒-︒＝75°；如图②，AD为底边上的高，∵AB＝BC，AD⊥BC，∴BD＝CD，又∵AD＝12BC，∴BD＝AD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴底角为45°；如图③，AD为腰上的高，且在△ABC外部，∵AB＝BC，AD＝12BC，∴AD＝12AB，∴12ADAB=,又∵sin∠DBA＝ADAB,∴sin∠DBA＝12，∴∠DBA＝30°，又∵∠DBA＝∠B ＋∠C，∠B＝∠C，∴底角为30°÷2＝15°.4.证明：在△ABF和△ACE中，∵AB ACBAF CAEAF AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABF≌△ACE（SAS），∴∠ABF＝∠ACE，∴BF＝CE，∵AB＝AC，AE＝AF，∴BE＝CF.∠ABF ＝∠ACE ，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴∠ABC －∠ABF ＝∠ACB －∠ACE ，即∠DBC ＝∠DCB ，∴DB ＝DC .图中其他相等的线段有DE ＝DF ，BE ＝CF ，BF ＝CE . 5.解：（1）不成立；猜想：FN －MF ＝12BE .理由如下：如图4，连接AD ，∵点M 、N 分别是DE 、AE 的中点，∴MN ＝12AD ，又∵AC ＝BC ，∠ACB ＝∠BCE ＝90°，∠DEC ＝45°，∴DC ＝EC ，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD ＝BE .∵MN ＝FN －MF ，∴FN －MF ＝12BE .N MFEBCD A图4（2）发现的结论： MF －FN ＝12BE .证明：如图5，连接AD ，∵点M 、N 分别是DE 、AE 的中点，∴MN ＝12AD ，又∵AC ＝BC ，∠ACB ＝∠BCE ＝90°，∠DEC ＝45°，∴DC ＝EC ，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD ＝BE .∵MN ＝MF －FN ，∴MF －FN ＝12BE .。

三角形判定定理（一）引言概述：三角形判定定理是数学中研究三角形性质的重要理论。

通过判定三个已知边长的数值是否能够构成一个三角形，并进一步确定该三角形的性质和特点。

本文将介绍三角形判定定理中的第一部分内容，包括三个判定条件及其应用。

正文：1. 第一判定条件：任意两边之和大于第三边。

- 两边之和等于第三边，无法构成三角形。

- 两边之和小于第三边，无法构成三角形。

- 两边之和大于第三边，可以构成三角形。

- 应用：通过已知的三边长，使用第一判定条件可以判断是否能够构成一个三角形。

2. 第二判定条件：两边的差小于第三边。

- 两边的差等于第三边，无法构成三角形。

- 两边的差大于第三边，无法构成三角形。

- 两边的差小于第三边，可以构成三角形。

- 应用：对于已知的三边长，在使用第一判定条件通过后，使用第二判定条件可以进一步确认三角形是否可行。

3. 第三判定条件：任意两边之比大于第三边之比。

- 两边之比等于第三边之比，无法构成三角形。

- 两边之比小于第三边之比，无法构成三角形。

- 两边之比大于第三边之比，可以构成三角形。

- 应用：通过已知的三边长比例关系，使用第三判定条件可以判断是否能够构成一个三角形。

4. 特殊情况的考虑：- 等边三角形：三边长度相等。

- 等腰三角形：两边长度相等。

- 直角三角形：一条边为直角边（与直角相对）。

- 钝角三角形：三个角中至少有一个角大于90度。

- 锐角三角形：三个角均小于90度。

- 应用：根据特殊情况的考虑，可以进一步确定三角形的性质和分类。

5. 示例和练习：- 提供一些具体的示例，让读者能够更好地理解三角形判定定理的应用。

- 给出一些判定是否为三角形的练习题，帮助读者巩固所学知识。

总结：三角形判定定理（一）由三个判定条件组成，分别是任意两边之和大于第三边、两边的差小于第三边以及任意两边之比大于第三边之比。

通过应用这些条件，我们可以判断已知边长能否构成三角形，并进一步了解三角形的性质和特点。

三角形（1）1、填空题：(1)由____________三条线段______所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做______；相邻两边的公共端点叫做______，相邻两边所组成的角叫做______，简称______．(2)如图所示，顶点是A、B、C的三角形，记作______，读作______．其中，顶点A所对的边______还可用______表示；顶点B所对的边______还可用______表示；顶点C所对的边______还可用______表示．(3)由“连接两点的线中，线段最短”这一性质可以得到三角形的三边有这样的性质______________________________．由它还可推出：三角形两边的差____________．(4)对于△ABC，若a≥b，则a＋b______c同时a－b______c；又可写成______＜c＜______．(5)若一个三角形的两边长分别为4cm和5cm，则第三边x的长度的取值范围是____________，其中x可以取的整数值为____________．2．已知：如图，试回答下列问题：(1)图中有______个三角形，它们分别是______________________________________.(2)以线段AD为公共边的三角形是_____________________________________.(3)线段CE所在的三角形是______，CE边所对的角是_____________________．(4)△ABC、△ACD、△ADE这三个三角形的面积之比等于_____∶_____∶_____．3．选择题：(1)下列各组线段能组成一个三角形的是( )．(A)3cm，3cm，6cm (B)2cm，3cm，6cm (C)5cm，8cm，12cm (D)4cm，7cm，11cm(2)有两根长分别为50cm，35cm的木条，如果要钉一个三角形木架，那么下列四根木条中应选取( )．(A)0.85m长的木条(B)0.15m长的木条(C)1m长的木条(D)0.5m长的木条(3)从长度分别为10cm、20cm、30cm、40cm的四根木条中，任取三根可组成三角形的个数是( )．(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个(4)若三角形的两边长分别为3和5，则其周长l的取值范围是( )．(A)6＜l＜15 (B)6＜l＜16 (C)11＜l＜13 (D)10＜l＜164. (1)一个等腰三角形的周长为18，若腰长的3倍比底边的2倍多6，求各边长．(2)已知等腰三角形的一边等于8cm，一边等于6cm，求它的周长．(3)一个等腰三角形的周长为30cm ，一边长为6cm ，求其它两边的长．(4)有两边相等的三角形的周长为12cm ，一边与另一边的差是3cm ，求三边的长．5．(1)若三角形三条边的长分别是7，10，x ，求x 的范围．(2)若三边分别为2，x －1，3，求x 的范围．(3)若三角形两边长为7和10，求最长边x 的范围．(4)等腰三角形腰长为2，求周长l 的范围．(5)等腰三角形的腰长是整数，周长是10，求它的各边长．6．已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 是AB 边上一点．(1)通过度量AB 、CD 、DB 的长度，确定AB 与)(21DB CD 的大小关系. (2)试用你所学的知识来说明这个不等关系是成立的．7．已知：如图，P 是△ABC 内一点．请想一个办法说明AB ＋AC ＞PB ＋PC ．8．如图，D 、E 是△ABC 内的两点，求证：AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋EC ．1．填空题：(1)从三角形一个顶点向它的对边画______，以______和______为端点的线段叫做三角形这边上的高．如右图，若CD 是△ABC 中AB 边上的高，则∠ADC ______∠BDC ＝______，C 点到对边AB 的距离是______的长．(2)连结三角形的一个顶点和它______的______叫做三角形这边上的中线．如右图，若BE 是△ABC 中AC 边上的中线，则AE ______.______21 EC (3)三角形一个角的______与这个角的对边相交，以这个角的______和______为端点的线段叫做三角形的角平分线．一个角的平分线与三角形的角平分线的区别是______________________________________________________________．如右图，如果AD 是△ABC 的角平分线，那么∠BAD ______∠CAD＝21______或∠BAC ＝2______＝2______．2．已知：△GEF ，分别画出此三角形的高GH ，中线EM ，角平分线FN ．3．(1)分别画出△ABC 的三条高AD 、BE 、CF ．(∠A 为锐角) (∠A 为直角) (∠A 为钝角)(2)这三条高AD 、BE 、CF 所在的直线有怎样的位置关系?4．(1)分别画出△ABC的三条中线AD、BE、CF．(2)这三条中线AD、BE、CF有怎样的位置关系?(3)设中线AD与BE相交于M点，分别量一量线段BM和ME、线段AM和MD的长，从中你能发现什么结论?5．(1)分别画出△ABC的三条角平分线AD、BE、CF.(2)这三条角平分线AD、BE、CF有怎样的位置关系?(3)设△ABC的角平分线BE、CF交于N点，请量一量点N到△ABC三边的距离，从中你能发现什么结论?6．已知：△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，如果D点把三角形ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求此三角形各边的长．7．(1)如果将一个三角形的三边的长确定，那么这个三角形的形状和大小就不会改变了，三角形的这个性质叫做________________________.(2)四边形是否具有这种性质?8．将一个三角形剖分成若干个面积相等的小三角形，称为该三角形的等积三角形的剖分(以下两问要求各画三个示意图)(1)已知一个任意三角形，并其剖分成3个等积的三角形．(2)已知一个任意三角形，将其剖分成4个等积的三角形．9．不等边△ABC的两条高长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．1．填空：(1)三角形的内角和性质是____________________________________________________.(2)三角形的内角和性质是利用平行线的______与______的定义，通过推理得到的．它的推理过程如下：已知：△ABC，求证：∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝______．证明：过A点作______∥______，则∠EAB＝______，∠F AC＝______．(___________，___________)∵∠EAF是平角，∴∠EAB＋______＋______＝180°．( )∴∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝∠EAB＋∠______＋∠______．( )即∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝______．2．填空：(1)三角形的一边与_________________________________________叫做三角形的外角．因此，三角形的任意一个外角与和它相邻的三角形的一个内角互为______．(2)利用“三角形内角和”性质，可以得到三角形的外角性质?如图：∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD与∠ACB互为______，即∠ACD＝180°－∠ACB．①又∵∠A＋∠B＋∠ACB＝______，∴∠A＋∠B＝______．②由①、②，得∠ACD＝______＋______．∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B由上述(2)的说理，可以得到三角形外角的性质如下：三角形的一个外角等于____________________________________________________.三角形的一个外角大于____________________________________________________.3．(1)已知：如图，∠1、∠2、∠3分别是△ABC的外角，求：∠1＋∠2＋∠3．(2)结论：三角形的外角和等于______．4．已知：如图，BE与CF相交于A点，试确定∠B＋∠C与∠E＋∠F之间的大小关系，并说明你的理由．5．已知：如图，CE⊥AB于E，AD⊥BC于D，∠A＝30°，求∠C的度数．6．依据题设，写出结论，想一想，为什么?已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，则：(1)∠A＋∠B＝______．即∠A与∠B互为______；(2)若作CD⊥AB于点D，可得∠BCD＝∠______，∠ACD＝∠______．7．填空：(1)△ABC中，若∠A＋∠C＝2∠B，则∠B＝______．(2)△ABC中，若∠A:∠B:∠C＝2:3:5，则∠A＝______，∠B＝______，∠C＝______．(3)△ABC中，若∠A:∠B:∠C＝1:2:3，则它们的相应邻补角的比为______.(4)如右图，直线a∥b，则∠A＝______度．(5)已知：如图，DE⊥AB，∠A＝25°，∠D＝45°，则∠ACB＝______．(6)已知：如右图，∠DAC＝∠B，∠ADC＝115°，则∠BAC＝______．(7)已知：如图，△ABC中，∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD，则∠A＝______(8)在△ABC中，若∠B－∠A＝15°，∠C－∠B＝60°，则∠A＝______，∠B＝______，∠C＝______．8．已知：如右图，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东60°，在B 处测得灯塔C位于北偏东25°，求∠ACB．9．已知：如图，在△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线．(1)若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数．(2)试问∠DAE与∠C－∠B有怎样的数量关系?说明理由．10．已知：如图，O是△ABC内一点，且OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB．(1)若∠A＝46°，求∠BOC；(2)若∠A＝n°，求∠BOC；(3)若∠BOC＝148°，利用第(2)题的结论求∠A．11．已知：如图，O是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACE的平分线的交点．(1)若∠A＝46°，求∠BOC；(2)若∠A＝n°，用n的代数式表示∠BOC的度数．12．类比第10、11题，若O是△ABC外一点，OB、OC分别平分△ABC的外角∠CBE、∠BCF，若∠A＝n°，画出图形并用n的代数表示∠BOC．13．如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两个外角平分线的交点，如果∠CMB；∠CNB＝3:2，求∠CAB的度数．14．如图，已知线段AD、BC相交于点Q，DM平分∠ADC，BM平分∠ABC，且∠A＝27°，∠M＝33°，求∠C的度数．。

三角形怎么分类（一）引言概述：三角形是几何学中最基本的图形之一，根据三角形的边长和角度关系，可以将其分类为不同类型。

本文将详细讨论三角形的分类方法，并分析每一类别的特征和性质。

通过了解三角形的分类，我们可以更好地理解和应用几何学中的相关概念和定理。

正文：1. 根据边长分类1.1 等边三角形1.2 等腰三角形1.3 不等边三角形1.4 直角三角形1.5 钝角三角形1.6 锐角三角形1.7 等腰锐角三角形1.8 等腰钝角三角形1.9 ...（根据需要进行补充）2. 根据角度分类2.1 锐角三角形2.2 直角三角形2.3 钝角三角形2.5 余弦三角形2.6 绝对余弦三角形2.7 ...（根据需要进行补充）3. 根据边长和角度关系分类3.1 等腰直角三角形3.2 等腰钝角三角形3.3 锐角等边三角形3.4 直角等腰三角形3.5 ...（根据需要进行补充）4. 根据内角和外角之和分类4.1 内角和为180°的三角形4.2 外角和为360°的三角形4.3 内角和小于180°的三角形4.4 内角和大于180°的三角形4.5 ...（根据需要进行补充）5. 根据特殊性质分类5.1 等角三角形5.2 相似三角形5.3 相等三角形5.5 ...（根据需要进行补充）总结：通过对三角形的分类方法进行细致的探讨，我们可以深入理解不同类型三角形的特征和性质。

从边长、角度、边长和角度关系、内外角之和以及特殊性质的角度考虑，我们能够更好地应用几何学中的定理和概念，并解决与三角形相关的问题。

熟练掌握三角形的分类方法不仅扩展了我们对几何学的认识，也为我们在实际应用中提供了更多便利和创新的思路。

因此，通过学习本文所介绍的三个大点分类方法，并结合具体例子进行练习和应用，有助于进一步巩固和拓展我们对三角形分类的认识。

一个三角形有几条边？
三角形是一个简单而重要的几何图形，它具有三条边和三个角。

在数学中，我们可以通过观察三角形的特征来回答这个问题。

三角形的定义
根据数学定义，一个三角形是一个由三条线段组成的多边形。

这些线段称为三角形的边。

三角形的边是由三个点（称为顶点）连
接而成。

三角形的边数
根据上述定义，一个三角形有三条边。

这意味着无论三角形的
形状和大小如何，它都具有三条边。

这是三角形的基本特征之一。

三角形的其他特征
除了三条边，三角形还有其他重要的特征：
1. 三个角：三角形有三个内角，它们的和总是等于180度。

这
是三角形的另一个基本特征。

2. 顶点：三角形有三个顶点，它们是三条边交汇的地方。

3. 边长：三角形的边可以具有不同的长度，这取决于三角形的
形状和大小。

4. 形状：三角形的形状可以各不相同，例如等边三角形、等腰
三角形和直角三角形等。

总结
根据数学定义，一个三角形具有三条边和三个角。

无论三角形
的形状如何，它都符合这个基本特征。

因此，一个三角形有三条边。

三角形讲义（一）知识讲解三角形：由不在同一条直线上的线段首尾顺次连接组成的图形叫三角形。

三角形的三要素：⎪⎩⎪⎨⎧在三角形内部的角内角：相邻两边组成的端点顶点：相邻两边的公共线段边：组成三角形的三条三角形的表示方法：如果三角形的三个顶点为A 、B 、C ，三角形可表示为ABC ∆三角形三边的表示法：三角形的三边都是线段，可用表示线段的办法表示边。

用表示端点的两个大写字母或一个小写字母表示。

三角形的周长：用代数式表示为c b a C ++=。

三角形的面积：用代数式表示为Cab ah S ∠==sin 2121 三角形的稳定性：如果三角形的三边固定，那么三角形的形状和大小就固定了。

三角形的分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧钝角三角形锐角三角形斜角三角形直角三角形按角分类等边三角形腰、底不相等等腰三角形不等边三角形按边分类三角形 三角形的三线和五心三线⎪⎩⎪⎨⎧高线中线角平分线角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和对边交点之间的线段。

定理：三角形的三条角平分线交于一点。

已知：AD,BD 分别平分ABC ∆的内角B A ∠∠,，求证：CD 平分C ∠证明：过点D 作AC DF BC DE ⊥⊥,,AB DG ⊥CCD DFDE DEDG BCDE AB DG B DFDG ACDF AB DG A ∠∴=∴=∴⊥⊥∠=∴⊥⊥∠平分平分平分,,BD ,,AD注意：角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段。

三角形的中线：连接三角形一个顶点和它对边的中点的线段。

定理：三角形的三条中线交于一点。

已知：AF,BD 分别是ABC ∆的中线，CE 过AF,BD 的交点，求证：CE 是ABC ∆的中线。

证明：连接DF,与CE 交于点G 。

,,11//,,221212D E AC BC DF DH DF AB DG AE AB DB DG DH EB DB DG EB AE EB CE ABC ∴===∴==∴=∴=∴∆分别是的中点是的中线三角形的高线：从三角形的顶点向对边做垂涎，顶点与垂足之间的线段。

一个直角三角形的三条边
直角三角形是一种特殊的三角形，它的三条边分别是a、
b和c，它们的关系是a的平方加上b的平方等于c的平方，
所以它也叫勾股定理的三角形。

从历史的角度来看，直角三角形是古希腊数学家几何学家勾股在公元前四世纪时发现的，他发现了一个有趣的定理，叫做勾股定理，它说明了直角三角形的三边之间的关系。

从那以后，勾股定理就被广泛用于数学教育和科学研究中。

从几何学的角度来看，直角三角形是一种特殊的三角形，它的三条边分别是a、b和c，它们的关系是a的平方加上b的平方等于c的平方，另外，它的三个内角分别是90度、45度
和45度。

因此，它的特征是它的三角形是直角三角形。

从物理学的角度来看，直角三角形也有许多应用，最常见的是它可以用来计算距离。

例如，当知道直角三角形的两条直角边时，就可以通过勾股定理计算出第三条边，从而得出距离。

此外，直角三角形还在绘图中被广泛使用，它可以用来绘制矩形、平行四边形、多边形等等几何图形，有助于人们更好地理解和研究几何图形之间的关系。

总之，直角三角形是一种特殊的三角形，它在历史、几何学和物理学中都有着重要的作用，它也是勾股定理的基础，有助于我们更好地理解几何图形之间的关系。

三角形（一）§1考点导航1、三角形的基本性质2、特殊三角形3、解直角三角形§2 考点剖析§3 典题精讲板块一：三角形的基本性质【例1】（三角形的边与角）（1）（2012广东）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（）A．5 B．6 C．11 D．16★★★（2）（2013河北）如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B=30°，∠C=100°，如图2．则下列说法正确的是（）A．点M在AB上B．点M在BC的中点处C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远（3）（2015广东）如图，直线a∥b，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是（）A．75°B．55°C．40°D．35°（4）如图，将△ABC沿DE折叠，点A落在A'处，已知∠1+∠2=100°，则∠A的大小等于.★★（5）（2013河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90°B．100°C．130°D．180°★（6）如图，依次以三角形、四边形、…、n边形的各顶点为圆心画半径为l的圆，且圆与圆之间两两不相交．把三角形与各圆重叠部分面积之和记为S3，四边形与各圆重叠部分面积之和记为S4，…．n边形与各圆重叠部分面的值为．（结果保留π）积之和记为S n．则S90【例2】（角平分线）模型说明&结论（三角形两内角平分线）BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线则∠P=90°（三角形内角与外角平分线）BP、CP分别是∠ABC和∠ACE的角平分线则∠P=（三角形两外角平分线）BP、CP分别是∠ABC和∠ACE的角平分线则∠P=90°OM、ON分别是∠AOC和∠BOC的角平分线则∠MON=90°PE、PF分别是∠BEF和∠EFD 的角平分线且AB∥CD则∠EPF=90°（1）（2014广州）已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，PD=10，则PE的长度为．★（2）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4、AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（）A．157B．125C．207D．215（3）如图，在△ABC中，点P是△ABC三条角平分线的交点．则∠PBC+∠PCA+∠PAB=；若∠APC=125°，则∠ABC的度数=．（4）（2014达州）如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（）A．90°﹣αB．90°+αC．D．360°﹣α★（5）（2014威海）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（）A．∠BAC=70°B．∠DOC=90°C．∠BDC=35°D．∠DAC=55°（中线与中位线）（6）（2014广东）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=6，则DE=．★★（7）（2015广东）如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是．（角平分线与中位线）★（8）（2014•枣庄）如图，△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD 于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（）A．B．1 C．D．7（高线）（9）如图，AD、CE是△ABC的两条高，已知AD=10，CE=9，AB=12．则△ABC的面积=；BC的长为=．★（10）在△ABC中，BC上的高为AD，如果AD=4，BD=6，CD=2，则=．（垂直平分线）（11）如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）．A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm（12）如图，∠BAC＝105°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠P AQ＝°．板块二：特殊三角形【例3】（等腰三角形的性质与判定）（1）（2014广东改编）一个等腰三角形，如果两边长分别是3和7，则它的周长为；如果两边长为5和4，那么它的周长是．（2）（2014天津）如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为度．★★（3）（2016六盘水）如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠A n ﹣1A nB n﹣1的度数为（）A．B．C．D．MBANCQP第（12）题第（11）题★（4）已知等腰三角形一边上的高线等于某边的一半，则该等腰三角形的顶角的度数为．（5）如图，在△ABC中，AB=AC=5，∠A=60°，BD⊥AC于D，点E在BC的延长线上，要使DE=DB，则CE 的长应等于_______（6）（2010广州）如图，BD是△ABC的角平分线，∠ABD=36°，∠C=72°，则图中的等腰三角形有个．★（7）（2010株洲）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6 B．7C．8 D．9【例4】（2012广东）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°．（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数．（等腰三角形与高线的综合题，难题，建议非学霸班可以用图①-图③）★★★★【例5】（2014盐城）【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF ⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．小军的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．【变式探究】如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD﹣PE=CF；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：【结论运用】如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值；【迁移拓展】图5是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，且AD•CE=DE•BC，AB=2dm，AD=3dm，BD=dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．【例6】（直角三角形的性质与判定）（1）直角三角形斜边上的高与中线的长分别为5和6，那么它的面积是．★（2）（2014泰安）如图，∠ACB=90°，D 为AB 的中点，连接DC 并延长到E ，使CE=CD ，过点B 作BF ∥DE ，与AE 的延长线交于点F ．若AB=6，则BF 的长为（ ） A ．6 B ．7 C ．8D ．10★（3）如图，已知∠AOB=60°，点P 在边OA 上，OP=20，点M 点N 在边OB 上，PM=PN ．若MN=4，则OM 等于 ．（4）已知△ABC 的∠A ，∠B 和∠C 的对边分别是a ，b 和c ，下面给出了五组条件： ①∠A ：∠B ：∠C=1：2：3； ②a ：b ：c=3：4：5； ③2∠A=∠B +∠C ； ④a 2﹣b 2=c 2；⑤a=6，b=8，c=13．其中能独立判定△ABC 是直角三角形的条件的序号分别是 （请写出所有的）板块三：解直角三角形（特殊角的三角函数值）（解直角三角形的四种基本类型）角度 三角函数30︒ 45︒ 60︒sin α12 22 32 cos α32 22 12 tan α3313已知条件解法类型一条边和一个锐角斜边c和锐角A∠90B A∠=︒-∠，sina c A=，cosb c A=直角边a和锐角A∠90B A∠=︒-∠，tanabA=，sinacA=两条边两条直角边a和b22c a b=+，由tanaAb=，求A∠，90B A∠=︒-∠斜边c和直角边a22b c a=-，由sinaAc=，求A∠，90B A∠=︒-∠【例7】（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=,BC=,解该直角三角形.（2）如图，在Rt ABC△中，90ACB=︒∠，CD AB⊥于点D．已知5AC，5sin ACD=∠，①求AD的长；②求AB的长．DCB （3）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上．若DB=6，AD=12CD，sin∠CBD=23，求AD的长和tanA 的值．BADC（解直角三角形的四种基本图形）30︒45︒30︒45︒平移60︒45︒重叠型翻折平移45︒30︒45︒30︒两侧型45︒60︒【例8】（1）如图，在△ABC 中，∠B=60°，∠A=75°，BC=3，则求AB 的长.★（2）如图，在△ABC 中，∠B=120°，sinA=，AB=8-2，求AC 的长.★（3）如图，在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，tanA=2， ∠D=∠B=90°，求此四边形ABCD 的面积★【变8】（1）如图，在四边形ABCD中，tanC=，∠B=∠D=90°，AD=2AB，CD=3，求BC。

13.1.1 全等三角形【教材分析】全等三角形是八年级上册人教版数学教材第十一章第一节的教学内容。

本节课是“全等三角形”的开篇，是全等三角形全等的条件的基础，也是进一步学习四边形、圆等图形的基础之一。

全等三角形是研究图形的重要工具，学生只有掌握好全等三角形的内容，并且能灵活的运用他们，本章是在学过了线段、角、相交线、平行线以及三角形的有关知识以及在七年级教材中的一些简单的说理内容之后来学习，为学习全等三角形奠定了基础。

通过本章的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识，同时为学生今后学习相似三角形奠定了基础，三角形全等的部分判定定理，可以直接类比到相似三角形的判定中去，因此本章相关知识的学习对于学生初步了解平面图形的运动性质具有重要意义.【课时分配】【教学目标】➢1．知识与技能经历图形的抽象、性质探讨、位置确定等过程，掌握全等三角形的概念和性质。

理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角。

建立符号意识和空间观念，初步形成几何直观，发展形象思维与抽象思维。

经历探索全等三角形性质的过程，能在全等三角形中正确找出对应边、对应角。

在参与观察、猜想数学活动中，发展演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。

学会独立思考，体会数学的比较归纳基本思想和思维方式。

➢3．情感、态度与价值观积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。

在数学学习过程中，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心。

体会数学的特点，了解数学的价值。

养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯。

形成坚持真理、修正错误、严谨求实的科学态度。

【重点难点】➢重点：经历图形的抽象、性质探讨、位置确定等过程，掌握全等三角形的概念和性质。

理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角。

➢难点：建立符号意识和空间观念，初步形成几何直观，发展形象思维与抽象思维。

经历探索全等三角形性质的过程，能在全等三角形中正确找出对应边、对应角。

三角形（1）班级某某学号一、选择题1.sin450的值等于（）A. 12B.22C.32D. 12.如图，某防洪大坝的横断面是梯形，斜坡AB的坡度i=1∶2.5，则斜坡AB的坡角 为（）（精确到1°）A．24° B．22° C．68° D．66°3.下列判断中错误．．的是（）A. 有两角和一边对应相等的两个三角形全等B. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等C. 有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D. 有一边对应相等的两个等边三角形全等4.在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为（）A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．4，65.如图，在ΔABC中，AB=AC,∠A=360，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（）A. 6个B. 7个C. 8个D. 9个6.如图，已知等腰△ABC 中，顶角∠A=36°，BD 为∠ABC 的平分线，则AD AC的值等于（ ）A. 12B. 512-C. 1D. 512+ 7.如图，若正△A 1B 1C 1内接于正△ABC 的内切圆，则11A B AB的值为（ ）A. 12B. 22C. 13D. 33 8.如图，AB//CD ，AE//FD ，AE 、FD 分别交BC 于点G 、H ，则图中共有相似三角形（ ）A. 4对B. 5对C. 6对D. 7对9.在Rt△ABC 的直角边AC 边上有一点P （点P 与点A 、C 不重合），过点P 作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC 相似，满足条件的直线共有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．3条或4条10.将边长为3cm 的正三角形的各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，再顺次连接这个正六边形的各边中点，又形成一个新的正六边形，则这个新的正六边形的面积等于（ ）233 293 293 D. 22738cm二、填空题11.如图，△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，∠AFD=158°，则∠EDF等于度。

人教版八年级数学（上册），第一章：三角形一、三角形相关概念1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角．3．三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线及这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法及角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点及垂足的线段就是该边上的高．（二）三角形三边关系定理①三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b．②三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c，c>b-a．注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可（三）三角形的稳定性三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理．三角形内角和性质的推理方法有多种，常见的有以下几种：（四）三角形的内角结论1：三角形的内角和为180°．表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（1）构造平角①可过A点作MN∥BC(如图)②可过一边上任一点，作另两边的平行线（如图）（2）构造邻补角，可延长任一边得邻补角（如图）构造同旁内角，过任一顶点作射线平行于对边（如图）结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．表示：如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，那么∠A+∠B=90°（因为∠A+∠B+∠C=180°）注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数．（五）三角形的外角1．意义：三角形一边及另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD为△ABC的一个外角，∠BCE也是△ABC的一个外角，这两个角为对顶角，大小相等．2．性质：①三角形的一个外角等于及它不相邻的两个内角的和.②三角形的一个外角大于及它不相邻的任何一个内角.如图中，∠ACD=∠A+∠B , ∠ACD>∠A , ∠ACD>∠B.③三角形的一个外角及及之相邻的内角互补3．外角个数过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有六个外角．（六）多边形①多边形的对角线2)3(nn条对角线②n边形的内角和为（n－2）×180°③多边形的外角和为360°考点11.对下面每个三角形，过顶点A 画出中线，角平分线和高.考点21、下列说法错误的是( ). A ．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B ．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C ．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D ．三角形的三条高可能相交于外部一点2、下列四个图形中，线段BE 是△ABC 的高的图形是( )3．如图3，在△ABC 中，点D 在BC 上，且AD=BD=CD ，AE 是BC 边上的高，若沿AE 所在直线折叠，点C 恰好落在点D 处，则∠B 等于（ ）A ．25° B．30° C．45° D．60°4. 如图4，已知AB=AC=BD ，那么∠1和∠2之间的关系是（ ）A. ∠1=2∠2B. 2∠1+∠2=180°C. ∠1+3∠2=180°D. 3∠1-∠2=180°5.如图5，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，且ABC S ∆= 42cm ，则S 阴影等于( )A ．22cm B. 12cm C. 122cm D. 142cm 6.如图7，BD=DE=EF=FC ，那么，AE 是 _____ 的中线。

第一讲 三角形基本概念知识点一： 三角形1、定义：由不在同一条直线上的三条线段顺次首尾相接所组成的图形叫做三角形。

2、分类：（1）按角分：锐角三角形；直角三角形；钝角三角形；（2）按边分：不等边三角形；等腰三角形；等边三角形；3、角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

4、中线：连接一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线。

5、高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。

注意：三角形的角平分线、中线和高都有三条。

6、三角形的三边关系：三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

7、三角形的内角：三角形的内角和等于180。

如图：180321=∠+∠+∠ 8、三角形的外角（1）三角形的一个外角与相邻的内角互补。

18041=∠+∠（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

324∠+∠=∠ （3）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

4∠＞2∠或4∠＞3∠ 6、三角形的周长、面积求法和三角形稳定性。

（1）如图1：C △A BC =AB ＋BC ＋AC 或C △A BC = a ＋b ＋c 。

四个量中已知其中三个能求第四个。

（2）如图2：AD 为高，S △ABC =·BC ·AD三个量中已知其中两个能求第三个。

（3）如图3：△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的高，则有：S △ABC =·AB ·CD=·AC ·BC 即：AB ·CD=AC ·BC四条线段中已知其中三条能求第四条。

知识点二：多边形及其内角和1、n 边形的内角和=()2180-⨯n；2、n 边形的外角和=360。

3、一个n 边形的对角线有()23-n n 条，过n 边形一个顶点能作出()3-n 条对角线，把n 边形分成了()2-n 个三角形。