2015-2016学年安徽省合肥一六八中高二(上)数学期中试卷带解析答案(文科)

2015-2016学年安徽省合肥一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.每小题所给的四个选项中只有一个选项正确，请将正确的选项填入答题卡中，答错或不答不得分）1．（5分）下列结论中正确的是（）A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．当正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等时该棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线2．（5分）已知A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M在z轴上且到A、B两点的距离相等，则M点坐标为（）A．（﹣3，0，0）B．（0，﹣3，0）C．（0，0，﹣3）D．（0，0，3）3．（5分）直线2x﹣y+k=0与4x﹣2y+1=0的位置关系是（）A．平行B．不平行C．平行或重合D．既不平行也不重合4．（5分）一个正方体内接于半径为R的球，则该正方体的体积是（）A．2R3B．πR3C．R3D．R35．（5分）圆心为C（6，5），且过点B（3，6）的圆的方程为（）A．（x﹣6）2+（y﹣5）2=10 B．（x﹣6）2+（y+5）2=10 C．（x﹣5）2+（y﹣6）2=10 D．（x﹣5）2+（y+6）2=106．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l ⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l7．（5分）已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设圆中过点（2，5）的最长弦与最短弦为分别为AB、CD，则直线AB与CD的斜率之和为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣28．（5分）已知不等式组表示的平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=8 C．（x﹣4）2+（y﹣1）2=6 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2=59．（5分）如图是一个几何体的三视图（侧试图中的弧线是半圆），则该几何体的体积是（）A．8+2πB．8+πC．8+πD．8+π10．（5分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°．将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A﹣BCD．则在三棱锥A ﹣BCD中，下列命题正确的是（）A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC11．（5分）若直线y=kx+4+2k与曲线有两个交点，则k的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[﹣1，﹣）C．（，1]D．（﹣∞，﹣1]12．（5分）点P（x0，y0）在圆x2+y2=r2内，则直线和已知圆的公共点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．不能确定二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请将每小题对的答案填在答题卡中，答错或不答不得分）13．（5分）设直线3x﹣4y+5=0的倾斜角为α，则sinα=．14．（5分）若直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心，则+的最小值是．15．（5分）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2．将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为．16．（5分）已知正四面体ABCD的棱长为9，点P是三角形ABC内（含边界）的一个动点满足P到面DAB、面DBC、面DCA的距离成等差数列，则点P到面DCA 的距离最大值为．三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18-22，每题12分，共70分.请写出详细地解答步骤或证明过程）17．（12分）已知两直线x﹣2y+4=0和x+y﹣2=0的交点为P，直线l过点P且与直线5x+3y﹣6=0垂直．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）求直线l关于原点对称的直线方程．18．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．（1）求证：直线BD1∥平面PAC；（2）求证：平面PAC⊥平面BDD1；（3）求三棱锥D﹣PAC的体积．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1=2，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．（Ⅰ）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1﹣QC1D的体积．（锥体体积公式：，其中S为底面面积，h为高）20．（12分）已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．（1）求实数a，b间满足的等量关系；（2）求线段PQ长的最小值；（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程．21．（12分）已知曲线C的方程为x2+y2﹣3x=0（＜x≤3）．（1）曲线C所在圆的圆心坐标；（2）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．2015-2016学年安徽省合肥一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.每小题所给的四个选项中只有一个选项正确，请将正确的选项填入答题卡中，答错或不答不得分）1．（5分）下列结论中正确的是（）A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．当正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等时该棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线【解答】解：正八面体的各个面都是三角形，但不是三棱锥，故A错误；以锐角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是两个圆锥形成的组合体，故B错误；正六棱锥圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母棱锥的侧棱长一定大于底面多边形的边长，故C错误；圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线，故D正确；故选：D．2．（5分）已知A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M在z轴上且到A、B两点的距离相等，则M点坐标为（）A．（﹣3，0，0）B．（0，﹣3，0）C．（0，0，﹣3）D．（0，0，3）【解答】解：设点M（0，0，z），则∵A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M到A、B两点的距离相等，∴∴z=﹣3∴M点坐标为（0，0，﹣3）故选：C．3．（5分）直线2x﹣y+k=0与4x﹣2y+1=0的位置关系是（）A．平行B．不平行C．平行或重合D．既不平行也不重合【解答】解：∵由方程组，得2k﹣1=0，当k=时，方程组由无穷多个解，两条直线重合，当k≠时，方程组无解，两条直线平行，综上，两条直线平行或重合，故选：C．4．（5分）一个正方体内接于半径为R的球，则该正方体的体积是（）A．2R3B．πR3C．R3D．R3【解答】解：一个正方体内接于半径为R的球，可知正方体的对角线的长度就是球的直径，设正方体的棱长为：a，可得=2R，解得a=．该正方体的体积是：a3=．故选：C．5．（5分）圆心为C（6，5），且过点B（3，6）的圆的方程为（）A．（x﹣6）2+（y﹣5）2=10 B．（x﹣6）2+（y+5）2=10 C．（x﹣5）2+（y﹣6）2=10 D．（x﹣5）2+（y+6）2=10【解答】解：因为|BC|==，所以圆的半径r=，又圆心C（6，5），则圆C的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣5）2=10．故选：A．6．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l ⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l【解答】解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选：D．7．（5分）已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设圆中过点（2，5）的最长弦与最短弦为分别为AB、CD，则直线AB与CD的斜率之和为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣2【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，∴圆心坐标为（3，4），∴过（2，5）的最长弦AB所在直线的斜率为=﹣1，又最长弦所在的直线与最短弦所在的直线垂直，∴过（2，5）最短弦CD所在的直线斜率为1，则直线AB与CD的斜率之和为﹣1+1=0．故选：A．8．（5分）已知不等式组表示的平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=8 C．（x﹣4）2+（y﹣1）2=6 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5【解答】解：由题意知此平面区域表示的是以O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是（2，1），半径是，所以圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：D．9．（5分）如图是一个几何体的三视图（侧试图中的弧线是半圆），则该几何体的体积是（）A．8+2πB．8+πC．8+πD．8+π【解答】解：根据几何体的三视图得，该几何体的上半部分是棱长为2的正方体，下半部分是半径为1，高为2的圆柱的一半，∴该几何体的体积为V=23+×π×12×2=8+π．故选：B．10．（5分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°．将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A﹣BCD．则在三棱锥A ﹣BCD中，下列命题正确的是（）A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC【解答】解：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°∴BD⊥CD又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD=BD故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC．故选：D．11．（5分）若直线y=kx+4+2k与曲线有两个交点，则k的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[﹣1，﹣）C．（，1]D．（﹣∞，﹣1]【解答】解：曲线即x2+y2=4，（y≥0）表示一个以（0，0）为圆心，以2为半径的位于x轴上方的半圆，如图所示：直线y=kx+4+2k即y=k（x+2）+4表示恒过点（﹣2，4）斜率为k的直线结合图形可得，∵解得∴要使直线与半圆有两个不同的交点，k的取值范围是故选：B．12．（5分）点P（x0，y0）在圆x2+y2=r2内，则直线和已知圆的公共点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．不能确定【解答】解：圆心O（0，0）到直线x0x+y0y=r2的距离为d=∵点M（x0，y0）在圆内，∴x02+y02＜r2，则有d＞r，故直线和圆相离，直线与圆的公共点为0个故选：A．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请将每小题对的答案填在答题卡中，答错或不答不得分）13．（5分）设直线3x﹣4y+5=0的倾斜角为α，则sinα=．【解答】解：直线3x﹣4y+5=0的倾斜角为α，可得tanα=，α是锐角．即：=，又sin2α+cos2α=1，解得sinα=．故答案为：．14．（5分）若直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心，则+的最小值是4．【解答】解：x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心（﹣1，2），所以直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆心，可得：a+b=1，+=（+）（a+b）=2+≥4，当且仅当a=b=．+的最小值是：4．故答案为：4．15．（5分）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2．将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆锥，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥，几何体的体积为：=．故答案为：．16．（5分）已知正四面体ABCD的棱长为9，点P是三角形ABC内（含边界）的一个动点满足P到面DAB、面DBC、面DCA的距离成等差数列，则点P到面DCA 的距离最大值为2．【解答】解：设动点P到面DAB、面DBC、面DCA的距离分别为h1，h2，h3，∵正四面体ABCD的棱长为9，每个面面积为S==，取BC中点E，连结AE．过S作SO⊥面ABC，垂足为O，则AO==3，∴高h=SO==3，∴正四面体ABCD的体积V==S（h1+h2+h3），∴h1+h2+h3=3，∵满足P到面DAB、面DBC、面DCA的距离成等差数列，∴h 1+h2+h3=3h2=3，∴，h2+h3=2，∴点P到面DCA的距离最大值为2．故答案为：2．三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18-22，每题12分，共70分.请写出详细地解答步骤或证明过程）17．（12分）已知两直线x﹣2y+4=0和x+y﹣2=0的交点为P，直线l过点P且与直线5x+3y﹣6=0垂直．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）求直线l关于原点对称的直线方程．【解答】解：（Ⅰ）联立方程组，解得，∴直线x﹣2y+4=0和x+y﹣2=0的交点P（0，2），又∵直线5x+3y﹣6=0的斜率为，∴直线l的斜率为，∴直线l的方程为y﹣2=（x﹣0），化为一般式可得3x﹣5y+10=0；（Ⅱ）由题意和对称性可得直线l上的点P（0，2）关于原点的对称点（0，﹣2）在要求的直线上，由对称可得要求的直线与l平行，故斜率也为，∴直线l关于原点对称的直线方程为y+2=x，化为一般式可得3x﹣5y﹣10=018．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．（1）求证：直线BD1∥平面PAC；（2）求证：平面PAC⊥平面BDD1；（3）求三棱锥D﹣PAC的体积．【解答】解：（1）设AC∩BD=O，连接OP，∵O，P分别为BD，D1D中点，∴BD1∥OP…3′∵OP⊂平面PAC，BD1⊄平面PAC，∴BD1∥平面PAC…5′（2）∵D1D⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴D1D⊥AC…7′又AC⊥BD，D1D∩BD=D，∴AC⊥平面BDD1…9′∵AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面BDD1…10′（3）∵PD⊥平面ADC，（12分）=…14′∴V D﹣PAC19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1=2，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．（Ⅰ）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1﹣QC1D的体积．（锥体体积公式：，其中S为底面面积，h为高）【解答】解：（Ⅰ）在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行，由于直线l不在平面A1BC内，而BC在平面A1BC内，故直线l与平面A1BC平行．三角形ABC中，∵AB=AC=2AA1=2，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，∴AD⊥BC，∴l⊥AD．再由AA1⊥底面ABC，可得AA1⊥l．而AA1∩AD=A，∴直线l⊥平面ADD1A1 ．（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，过点D作DE⊥AC，∵侧棱AA1⊥底面ABC，故三棱柱ABC﹣A1B1C为直三棱柱，故DE⊥平面AA1C1C．直角三角形ACD中，∵AC=2，∠CAD=60°，∴AD=AC•cos60°=1，∴DE=AD•sin60°=．∵===1，﹣QC1D的体积==••DE=×1×∴三棱锥A=．20．（12分）已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．（1）求实数a，b间满足的等量关系；（2）求线段PQ长的最小值；（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程．【解答】解：（1）连接OQ，∵切点为Q，PQ⊥OQ，由勾股定理可得PQ2=OP2﹣OQ2．由已知PQ=PA，可得PQ2=PA2，即（a2+b2）﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2．化简可得2a+b﹣3=0．（2）∵PQ====，故当a=时，线段PQ取得最小值为．（3）若以P为圆心所作的⊙P 的半径为R，由于⊙O的半径为1，∴|R﹣1|≤PO ≤R+1．而OP===，故当a=时，PO取得最小值为，此时，b=﹣2a+3=，R取得最小值为﹣1．故半径最小时⊙P 的方程为+=．21．（12分）已知曲线C的方程为x2+y2﹣3x=0（＜x≤3）．（1）曲线C所在圆的圆心坐标；（2）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵曲线C的方程为x2+y2﹣3x=0，整理得其标准方程为：（x﹣）2+y2=，∴圆C的圆心坐标为（，0）．（2）结论：当k∈[﹣，]∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点．理由如下：直线代入圆的方程，消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0，令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±，又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，k的取值范围为[﹣，]∪{﹣，}．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。

高二数学试题（凌志班）一、选择题（本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分）1．下边四个命题：①分别在两个平面内的两直线是异面直线；②若两个平面平行，则此中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面；③假如一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；④假如一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行．此中正确的命题是()A．①②B．②④C．①③ D ．②③2．过点P( 1,3)且垂直于直线x 2 y 3 0 的直线方程为（）A．2x y 1 0B．2x y 50C ．x2y 5 0D．x 2 y 703．如图，矩形O'A'B'C'是水平搁置的一个平面图形的直观图，此中O'A'=3cm ， O'C'=1cm ，则原图形的面积是（）A．B．C．2 D ． 6cm4. 点（ 4，﹣ 2）到直线的距离是（）A． 1B．2C．D． 65．已知空间两条不一样的直线m,n 和两个不一样的平面,, 则以下命题中正确的选项是 ( )A ．若m / / , n , 则m //n B．若m, m n, 则nC ．若m / / , n / / ,则m / /nD ．若m / /, m, I n, 则m / /n 6．直线 l 过点 P（ 1，0），且与以 A（ 2，1），为端点的线段总有公共点，则直线l 斜率的取值范围是（）A．B．C．D．[1 ， +∞）7．已知ab0, bc 0，则直线ax by c 经过（）A ．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D．第二、三、四象限8．正方体 ABCD— A1 B1C1D1中， E、F 分别是 AA1与 CC1的中点，则直线ED与 D1F 所成角余弦值大小是（）A ．1B ．1C．1D．3 53229. 在三棱柱ABC A1B1C1中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点 D 是侧面 BB1C1C 的中心，则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是( )A ．30o B． 45o C． 60o D． 90o10．将正方形 ABCD沿对角线 BD折成直二面角A－ BD－ C，有以下四个结论：① AC⊥ BD；②△ ACD是等边三角形；③ AB与平面 BCD成 60°的角；④ AB 与 CD所成的角是 60°.此中正确结论的个数是（）A. 1B.2C.3D.411．如图 : 直三棱柱ABC—A1B1C1的体积为 V，点 P、Q分别在侧棱AA1和CC 1上， AP=C1Q，则四棱锥 B—APQC的体积为()A．VB．VC．VD．V（11题）234512．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段 B1D1上有两个动点1E、F，且 EF＝2，则以下结论错误的选项是()A． AC⊥ BEB．EF∥平面ABCD（12 题）C ．三棱锥A—BEF的体积为定值D ．△AEF的面积与△BEF的面积相等二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13．一个几何体的三视图及其尺寸( 单位： cm)以下图，则该几何体的侧面积为 _ ______cm 214.已知直线l1 : ax 2 y 6 0 与l2: x a 1 y a210 平行，则实数a的取值是．15．若直线 l为： 3y=x+6，则直线 l 的倾斜角为．16. 球的半径为5cm，被两个互相平行的平面所截得圆的直径分别为6cm 和 8cm，则这两个平面之间的距离是cm.三、解答题17．（本小题10 分）如图，在三棱柱ABC－A1B1 C1中，△ ABC与△ A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC， F、 F1分别是 AC， A1C1的中点．求证： (1) 平面 AB1F1∥平面 C1BF；(2)平面 AB1F1⊥平面 ACC1A1.（17 题）18．（本小题 12 分）设直线l 的方程为( a＋1) x＋ y＋2－ a＝0 ( a∈R)．(1)若 l 在两坐标轴上截距相等，求直线l 的方程；(2)若 l 不经过第二象限，务实数 a 的取值范围．19. （本小题12 分）已知直线．（ 1）若，务实数的值；（ 2）当时，求直线与之间的距离．20．（本小题 12 分）如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝ 2DC＝ 2，∠ACB＝120°，P， Q分别为 AE，AB的中点．（1）证明：PQ∥平面ACD；（2）求AD与平面ABE所成角的正弦值（19 题）21．（本小题12 分）以下图，边长为 2 的等边△ PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面， BC＝ 2 2， M为 BC的中点．（1）证明： AM⊥ PM；（2）求二面角 P－ AM－ D的大小．（21题）222．如图，△ ABC中， AC＝ BC＝AB，ABED是边长为 1 的正方形，平面ABED⊥底面ABC，2若 G， F 分别是 EC， BD的中点．（1）求证： GF∥底面 ABC；（2）求证：AC⊥平面 EBC；（22 题）（ 3）求几何体ADEBC的体积 V.理科凌志班参照答案一、选择题： 1-5 BABBD 6-10 BCACC 11-12 BD二、填空题13 . 80 14.-1 15 .30°16.1或7三、解答题17 . 证明 :(1)在正三棱柱ABC－ A1B1C1中，∵F、 F1分别是 AC、 A1C1的中点，∴B1F1∥ BF， AF1∥C1F.又∵ B1F1∩ AF1＝ F1， C1F∩ BF＝ F，∴平面 AB1F1∥平面 C1BF.(2) 在三棱柱ABC－ A1B1C1中， AA1⊥平面 A1B1C1，∴ B1F1⊥ AA1.又 B1F1⊥ A1C1， A1C1∩ AA1＝A1，∴B1F1⊥平面 ACC1A1，而 B1F1? 平面 AB1F1，∴平面 AB1F1⊥平面 ACC1A1.18. （1） 3x＋y＝ 0 或x＋y＋ 2＝ 0；（ 2）a≤－ 1.19. （ 1）由知，解得；（ 2）当时，有解得，或a=-1（舍去），即，距离为．20.（ 1）证明：由于 P， Q分别为 AE， AB的中点，所以 PQ∥ EB.又 DC∥ EB，所以 PQ∥ DC，又 PQ?平面 ACD，进而 PQ∥平面 ACD.（2）如图，连结CQ，DP，由于 Q为 AB的中点，且AC＝ BC，所以 CQ⊥ AB.由于 DC⊥平面 ABC， EB∥ DC，所以 EB⊥平面 ABC，所以 CQ⊥EB.故 CQ⊥平面 ABE.1由(1) 有 PQ∥DC，又 PQ＝ EB ＝DC，所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ，2所以 DP⊥平面 ABE，∠DAP为 AD和平面 ABE所成的角，在 Rt △ DPA 中， AD ＝5， DP ＝1，sin ∠ DAP ＝5，所以 AD 和平面 ABE 所成角的正弦值为55521.(1) 证明：以下图，取CD 的中点 E ，连结 PE ， EM ， EA ，∵△ PCD 为正三角形，∴PE ⊥ CD ，PE ＝ PDsin ∠ PDE ＝ 2sin60 °＝ 3.∵平面 PCD ⊥平面 ABCD ，∴PE ⊥平面 ABCD ，而 AM? 平面 ABCD ，∴ PE ⊥ AM.∵四边形 ABCD 是矩形，∴△ ADE ，△ ECM ，△ ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得 EM ＝ 3，AM ＝ 6 ，AE ＝ 3，2 2 2∴EM ＋ AM ＝ AE . ∴ AM ⊥ EM.又 PE ∩ EM ＝E ，∴ AM ⊥平面 PEM ，∴ AM ⊥PM.(2) 解：由 (1) 可知 EM ⊥ AM ， PM ⊥ AM ，∴∠ PME 是二面角 P －AM － D 的平面角．∴tan ∠ PME ＝PE3 ＝＝ 1，∴∠ PME ＝ 45° .EM3∴二面角 P －AM － D 的大小为 45° .22.(1) 证明：连结 AE ，以以下图所示．∵ADEB 为正方形，∴AE ∩ BD ＝F ，且 F 是 AE 的中点，又 G 是 EC 的中点，∴GF ∥ AC ，又 AC? 平面 ABC ， GF?平面 ABC ，∴GF ∥平面 ABC.(2) 证明：∵ ADEB 为正方形，∴ EB ⊥ AB ，又∵平面 ABED ⊥平面 ABC ，平面 ABED ∩平面 ABC ＝AB ， EB? 平面 ABED ，∴BE ⊥平面 ABC ，∴ BE ⊥ AC.2又∵ AC ＝ BC ＝ 2 AB ，222∴CA ＋ CB ＝ AB ，∴AC ⊥ BC.又∵ BC ∩ BE ＝ B ，∴ AC ⊥平面 BCE.22 (3) 取 AB 的中点 H，连 GH，∵ BC＝ AC＝2 AB＝2，1∴CH⊥ AB，且 CH＝2，又平面ABED⊥平面 ABC111.∴GH⊥平面 ABCD，∴ V＝3× 1×2＝6。

2015-2016学年安徽省合肥一六八中高二上学期期中数学试卷（文科）【解析版】一、选择题（共60题，每题5分．每题仅有一个正确选项．）1．下列说法中正确的是( )A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形2．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )A．120°B．150°C．180°D．240°3．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A．21+B．18+C．21 D．184．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A．2+B．C．D．1+5．已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α、β，下列命题中正确命题个数为( )①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若l⊥α，m⊥β且l⊥m则α⊥β③若l⊥n，m⊥n，则l∥m④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥αA．1 B．2 C．3 D．46．设四面体ABCD各棱长均相等，S为AD的中点，Q为BC上异于中点和端点的任一点，则△SQD在四面体的面BCD上的射影可能是( )A．B．C．D．7．设a，b，c分别是△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线sinA•x+ay+c=0与bx﹣sinB•y+sinC=0的位置关系是( )A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直8．直线x+（a2+1）y+1=0（a∈R）的倾斜角的取值范围是( )A．[0，]B．[，π）C．[0，]∪（，π）D．[，）∪[，π）9．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为( )A．1 B．2 C．3 D．410．已知正四棱锥S﹣ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为( )A． B．C．D．11．已知圆柱OO1底面半径为1，高为π，ABCD是圆柱的一个轴截面．动点M从点B出发沿着圆柱的侧面到达点D，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．现将轴截面ABCD绕着轴OO1逆时针旋转θ（0＜θ≤π）后，边B1C1与曲线Γ相交于点P，设BP的长度为f（θ），则y=f（θ）的图象大致为( )A．B．C．D．12．如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE⊥AC．则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是( )A．B．C．D．二、填空题（共20分，每题5分）13．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1：4，母线长是10 cm，则圆锥的母线长为__________cm．14．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC=BC，且∠BAC=，则PA与底面ABC所成角为__________．15．三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则=__________．16．光线由点A（﹣1，4）射出，遇到直线l：2x﹣3y﹣6=0后被反射，已知点在反射光线上，则反射光线所在的直线方程为__________．三、解答题（共70分，每题需有必要的解答过程）17．四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H．（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）证明：四边形EFGH是矩形．18．已知直线l：kx﹣y+1+2k=0．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l交x负半轴于A，交y正半轴于B，△AOB的面积为S，试求S的最小值并求出此时直线l的方程．19．已知点P到两定点M（﹣1，0）、N（1，0）距离的比为，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，，点F是PD 的中点，点E在CD上移动．（1）求三棱锥E﹣PAB体积；（2）当点E为CD的中点时，试判断EF与平面PAC的关系，并说明理由；（3）求证：PE⊥AF．21．（13分）如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E，F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4．将四边形EFCD沿EF折起成如图2的位置，使AD=AE．（Ⅰ）求证：BC∥平面DAE；（Ⅱ）求四棱锥D﹣AEFB的体积．22．（13分）如图，ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，ED=1，EF∥BD．（1）设EF=λBD，是否存在实数λ，使BF∥平面ACE；（2）求证：平面EAC⊥平面BDEF（3）当EF=BD时，求几何体ABCDEF的体积．2015-2016学年安徽省合肥一六八中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共60题，每题5分．每题仅有一个正确选项．）1．下列说法中正确的是( )A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形【考点】棱柱的结构特征．【专题】综合题．【分析】通过棱柱的定义以及棱柱的基本性质，判断四个选项的正误，A满足定义，B、C、D可以找出反例．【解答】解：棱柱的定义是，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，相邻的公共边互相平行，有这些面围成的几何体是棱柱；可以判断A正确；B不正确，例如正六棱柱的相对侧面；C不正确，只有直棱柱满足C的条件；D不正确，例如长方体．故选A【点评】本题是基础题，考查棱柱的定义，棱柱的基本性质，考查基本知识掌握的情况．2．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )A．120°B．150°C．180°D．240°【考点】扇形面积公式；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题．【分析】圆锥的全面积是底面积的3倍，那么母线和底面半径的比为2，求出侧面展开图扇形的弧长，可求其圆心角．【解答】解：圆锥的全面积是底面积的3倍，那么母线和底面半径的比为2，设圆锥底面半径为1，则圆锥母线长为2，圆锥的侧面展开图扇形的弧长是圆锥底面周长为2π，该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角：π，即180°故选C．【点评】本题考查圆锥的侧面展开图，及其面积等知识，考查空间想象能力，是基础题．3．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A ．21+B ．18+C ．21D ．18【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的表面积．【解答】解：由三视图可知，几何体是正方体的棱长为2，截去两个正三棱锥，侧棱互相垂直，侧棱长为1，几何体的表面积为：S 正方体﹣2S 棱锥侧+2S 棱锥底==21+．故选：A ．【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状．4．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A ．2+B ．C ．D ．1+【考点】斜二测法画直观图．【专题】计算题；作图题．【分析】原图为直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+，利用梯形面积公式求解即可．也可利用原图和直观图的面积关系求解．【解答】解：恢复后的原图形为一直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+，S=（1++1）×2=2+．故选A【点评】本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，属基础知识的考查．5．已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α、β，下列命题中正确命题个数为( )①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若l⊥α，m⊥β且l⊥m则α⊥β③若l⊥n，m⊥n，则l∥m④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥αA．1 B．2 C．3 D．4【考点】平面与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】①利用线面平行的判定定理即可得出；②利用面面垂直的判定定理即可判断出；③利用线线的位置关系即可得出；④利用面面垂直的性质定理即可得出．【解答】解：①若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，因此不正确；②若l⊥α，m⊥β且l⊥m，利用面面垂直的判定定理可得：α⊥β，正确；③若l⊥n，m⊥n，则l∥m、相交或为异面直线，因此不正确；④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，利用面面垂直的性质定理即可得出：n⊥α，因此正确．综上可知：只有②④正确．故选：B．【点评】本题综合考查了空间中线线、线面、面面的位置关系，熟练掌握判定定理及其性质定理是解决问题的关键，属于基础题．6．设四面体ABCD各棱长均相等，S为AD的中点，Q为BC上异于中点和端点的任一点，则△SQD在四面体的面BCD上的射影可能是( )A．B．C．D．【考点】平行投影及平行投影作图法．【专题】探究型；空间位置关系与距离．【分析】确定S在面BDC上的射影在平面ADC内部，即可判断正确选项．【解答】解：因为Q为BC上异于中点和端点的任一点，所以S在面BDC上的射影在平面ADC内部，Q在BC上，D为顶点，所以△SDQ在面BDC上的射影为图C，故选：C．【点评】本题考查平行投影以及平行投影的作图方法，考查空间想象能力．7．设a，b，c分别是△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线sinA•x+ay+c=0与bx﹣sinB•y+sinC=0的位置关系是( )A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直【考点】正弦定理的应用；直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】计算题．【分析】要寻求直线sinA•x+ay+c=0与bx﹣sinB•y+sinC=0的位置关系，只要先求两直线的斜率，然后由斜率的关系判断直线的位置即可．【解答】解：由题意可得直线sinA•x+ay+c=0的斜率，bx﹣sinB•y+sinC=0的斜率∵k1k2===﹣1则直线sinA•x+ay+c=0与bx﹣sinB•y+sinC=0垂直故选C．【点评】本题主要考察了两直线的位置关系中的垂直关系的判断，主要是通过直线的斜率关系进行判断，解题中要注意正弦定理的应用．8．直线x+（a2+1）y+1=0（a∈R）的倾斜角的取值范围是( )A．[0，]B．[，π）C．[0，]∪（，π）D．[，）∪[，π）【考点】直线的倾斜角．【专题】计算题．【分析】由直线的方程得斜率等于，由于0＞﹣≥﹣1，设倾斜角为α，则0≤α＜π，﹣1≤tanα＜0，求得倾斜角α的取值范围．【解答】解：直线x+（a2+1）y+1=0（a∈R）的斜率等于，由于0＞﹣≥﹣1，设倾斜角为α，则0≤α＜π，﹣1≤tanα＜0，∴≤α＜π，故选B．【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值的范围求角的范围，得到0≤α＜π，﹣1≤tanα＜0，是解题的关键．9．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为( )A．1 B．2 C．3 D．4【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】展开图复原几何体，标出字母即可找出异面直线的对数．【解答】解：画出展开图复原的几何体，所以C与G重合，F，B重合，所以：四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有：AB与GH，AB与CD，GH与EF，共有3对．故选：C【点评】本题考查几何体与展开图的关系，考查异面直线的对数的判断，考查空间想象能力．10．已知正四棱锥S﹣ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为( )A． B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想．【分析】由于是正方体，又是求角问题，所以易选用向量量，所以建立如图所示坐标系，先求得相关点的坐标，进而求得相关向量的坐标，最后用向量夹角公式求解．【解答】解：建立如图所示坐标系，令正四棱锥的棱长为2，则A（1，﹣1，0），D（﹣1，﹣1，0），S（0，0，），E，=，=（﹣1，﹣1，﹣）∴cos＜＞=故选C．【点评】本题主要考查多面体的结构特征和空间角的求法，同时，还考查了转化思想和运算能力，属中档题．11．已知圆柱OO1底面半径为1，高为π，ABCD是圆柱的一个轴截面．动点M从点B出发沿着圆柱的侧面到达点D，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．现将轴截面ABCD绕着轴OO1逆时针旋转θ（0＜θ≤π）后，边B1C1与曲线Γ相交于点P，设BP的长度为f（θ），则y=f（θ）的图象大致为( )A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】作图题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA，曲线Γ就是对角线BD，即可得出结论．【解答】解：（1）将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA，曲线Γ就是对角线BD．边B1C1与曲线Γ相交于点P，设BP的长度为f（θ），y=f（θ）的图象是一条射线，故选：A．【点评】本题考查轨迹问题，考查函数的图象，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12．如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE⊥AC．则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是( )A．B．C．D．【考点】直线与平面垂直的判定；平面的基本性质及推论．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】因为总保持PE⊥AC，那么AC垂直PE所在的一个平面，AC⊥平面SBD，不难推出结果．【解答】解：取CD中点F，AC⊥EF，又∵SB在面ABCD内的射影为BD且AC⊥BD，∴AC⊥SB，取SC中点Q，∴EQ∥SB∴AC⊥EQ，又AC⊥EF，∴AC⊥面EQF，因此点P在FQ上移动时总有AC⊥EP．故选A．【点评】本题考查学生应用线面垂直的知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．二、填空题（共20分，每题5分）13．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1：4，母线长是10 cm，则圆锥的母线长为13cm．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题．【分析】作出圆锥的轴截面如图，利用平行线截线段成比例，求出SA′，求出圆锥的母线长．【解答】解：作出圆锥的轴截面如图，设SA=y，O′A′=x；利用平行线截线段成比例，则SA′：SA=O′A′：OA，即（y﹣10）：y=x：4x，解得y=13．即圆锥的母线长为13cm．故答案为：13【点评】本题考查旋转体的截面知识，考查计算能力，是基础题．14．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC=BC，且∠BAC=，则PA与底面ABC所成角为．【考点】直线与平面所成的角．【专题】计算题；压轴题．【分析】P在底面的射影E是△ABC的外心，故E是BC的中点，三角形PAE中，求出三边边长、tan∠PAE 的值，即可得到PA与底面ABC所成角的大小．【解答】解：∵PA=PB=PC，∴P在底面的射影E是△ABC的外心，又故E是BC的中点，所以PA与底面ABC所成角为∠PAE，等边三角形PBC中，PE=，直角三角形ABC中，AE=BC=，又PA=1，∴三角形PAE中，tan∠PAE==∴∠PAE=，则PA与底面ABC所成角为．【点评】本题考查直线与平面成的角的求法．15．三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则=．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离；立体几何．【分析】画出图形，通过底面面积的比求解棱锥的体积的比．【解答】解：如图，三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，∴A到底面PBC的距离不变，底面BDE底面积是PBC面积的=，∴==．故答案为：．【点评】本题考查三棱锥的体积，着重考查了棱锥的底面面积与体积的关系，属于基础题．16．光线由点A（﹣1，4）射出，遇到直线l：2x﹣3y﹣6=0后被反射，已知点在反射光线上，则反射光线所在的直线方程为13x﹣26y+85=0．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】方程思想；待定系数法；直线与圆．【分析】求出点（﹣1，4）关于直线l1：2x+3y﹣6=0的对称点的坐标，利用两点式方程求出入射光线所在的直线方程．【解答】解：设点（﹣1，4）关于直线l1：2x﹣3y﹣6=0的对称点的坐标为（a，b），则，解得：a=，b=﹣，又由反射光线经过点B（3，），故反射光线的方程为：=﹣，即：13x﹣26y+85=0，故答案为：13x﹣26y+85=0．【点评】对称点的坐标的求法：利用垂直平分解答，本题是通过特殊直线特殊点处理，比较简洁，考查计算能力．三、解答题（共70分，每题需有必要的解答过程）17．四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H．（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）证明：四边形EFGH是矩形．【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）证明AD⊥平面BDC，即可求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）证明四边形EFGH是平行四边形，EF⊥HG，即可证明四边形EFGH是矩形．【解答】（Ⅰ）解：由题意，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD=DC=2，AD=1，∴AD⊥平面BDC，∴四面体ABCD的体积V==；（Ⅱ）证明：∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC=FG，平面EFGH∩平面ABC=EH，∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH．同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．【点评】本题考查线面垂直，考查线面平行性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．已知直线l：kx﹣y+1+2k=0．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l交x负半轴于A，交y正半轴于B，△AOB的面积为S，试求S的最小值并求出此时直线l的方程．【考点】过两条直线交点的直线系方程．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）直线l过定点，说明定点的坐标与参数k无关，故让k的系数为0 可得定点坐标．（2）求出A、B的坐标，代入三角形的面积公式化简，再使用基本不等式求出面积的最小值，注意等号成立条件要检验，求出面积最小时的k值，从而得到直线方程．【解答】解：（1）证明：由已知得k（x+2）+（1﹣y）=0，∴无论k取何值，直线过定点（﹣2，1）．（2）令y=0得A点坐标为（﹣2﹣，0），令x=0得B点坐标为（0，2k+1）（k＞0），∴S△AOB=|﹣2﹣||2k+1|=（2+）（2k+1）=（4k++4）≥（4+4）=4．当且仅当4k=，即k=时取等号．即△AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为x﹣y+1+1=0．即x﹣2y+4=0【点评】本题考查过定点的直线系方程特征，以及利用基本不等式求式子的最小值．19．已知点P到两定点M（﹣1，0）、N（1，0）距离的比为，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程．【考点】直线的一般式方程．【专题】计算题；压轴题．【分析】设P的坐标为（x，y），由题意点P到两定点M（﹣1，0）、N（1，0）距离的比为，可得，结合两点间的距离，化简整理得x2+y2﹣6x+1=0，又由点N到PM的距离为1，即|MN|=2，可得直线PM 的斜率，进而可得直线PM的方程，并将方程代入x2+y2﹣6x+1=0整理得x2﹣4x+1=0，解可得x的值，进而得P的坐标，由直线的方程代入点的坐标可得答案．【解答】解：设P的坐标为（x，y），由题意有，即，整理得x2+y2﹣6x+1=0，因为点N到PM的距离为1，|MN|=2所以PMN=30°，直线PM的斜率为直线PM的方程为将代入x2+y2﹣6x+1=0整理得x2﹣4x+1=0解得，则点P坐标为或或直线PN的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1．【点评】本题考查直线的方程，注意结合题意，选择直线方程的合适的形式，进行整理变形、求解．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，，点F是PD 的中点，点E在CD上移动．（1）求三棱锥E﹣PAB体积；（2）当点E为CD的中点时，试判断EF与平面PAC的关系，并说明理由；（3）求证：PE⊥AF．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）求出底面ABE的面积，求出高PA，即可求三棱锥E﹣PAB体积；（2）点E为CD的中点，推出EF||PC，证明EF∥平面PAC即可；（3）证明AF垂直平面PDC内的两条相交直线CD，PD，即可证明AF⊥平面PDC，从而证明PE⊥AF．【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，∴．（2）当点E为BC的中点时，EF||平面PAC．理由如下：∵点E，F分别为CD、PD的中点，∴EF||PC．∵PC⊂平面PAC，EF⊂平面PAC∴EF||平面PAC（3）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD∴CD⊥PA∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD∵AF⊂平面PAD∴AF⊥DC∵PA=AD，点F是PD的中点∴AF⊥PD，又CD∩PD=D∴AF⊥平面PDC∵PE⊂平面PDC，∴PE⊥AF．【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．21．（13分）如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E，F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4．将四边形EFCD沿EF折起成如图2的位置，使AD=AE．（Ⅰ）求证：BC∥平面DAE；（Ⅱ）求四棱锥D﹣AEFB的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）先根据面面平行的判定定理，证得面CBF∥面DAE，又BC⊂面CBF，根据面面平行的性质可知BC∥平面DAE；（Ⅱ）取AE的中点H，连接DH，根据线面垂直的判定定理可得EF⊥平面DAE，根据线面垂直的性质可知EF⊥DH，再根据，则DH⊥面AEFB，根据体积公式即可求出四棱锥D﹣AEFB的体积．【解答】解：（Ⅰ）∵CF∥DE，FB∥AE，BF∩CF=F，AE∩DE=E∴面CBF∥面DAE，又BC⊂面CBF，所以BC∥平面DAE（Ⅱ）取AE的中点H，连接DH，∵EF⊥ED，EF⊥EA∴EF⊥平面DAE又DH⊂平面DAE∴EF⊥DH，∵∴DH⊥面AEFB，所以四棱锥D﹣AEFB的体积【点评】本题主要考查棱锥的体积公式和线面平行的判定定理的应用．考查对定理的掌握情况和对基础知识的综合运用．22．（13分）如图，ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，ED=1，EF∥BD．（1）设EF=λBD，是否存在实数λ，使BF∥平面ACE；（2）求证：平面EAC⊥平面BDEF（3）当EF=BD时，求几何体ABCDEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【专题】综合题；转化思想；综合法．【分析】（1）存在．证明四边形EFBO是平行四边形，可得BF∥EO，使BF∥平面ACE；（2）利用面面垂直的判定定理证明平面EAC⊥平面BDEF；=2×S BDEF•AO（3）几何体的体积V ABCDEF=2V A﹣BDEF【解答】（1）解：存在．证明：记AC与BD的交点为O，则DO=BO=BD，连接EO，∵EF∥BD，当时，即EF=BD，∴EF∥BO且EF=BO，则四边形EFBO是平行四边形，∴BF∥EO，又∵EO⊂面ACE，BF⊄面ACE，∴BF∥平面ACE；…4’（2）证明：∵ED⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴ED⊥AC．∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC，又ED∩BD=D，∴AC⊥平面BDEF，又AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面BDEF；…8’（3）解：∵ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD，又∵EF∥BD且EF=BD，∴BDEF是直角梯形，又∵ABCD是边长为2的正方形，BD=2，EF=，∴梯形BDEF的面积为=，由（1）知AC⊥平面BDEF，∴几何体的体积V ABCDEF=2V A=2×S BDEF•AO=2×=2．…13’﹣BDEF【点评】本题主要考查空间直线与平面，面面垂直的判定以及空间几何体的体积，要求熟练掌握相应的判定定理．。

2014-2015学年安徽省合肥168中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题卷的表格里．）1．下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行D．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行2．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β B．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥β D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β3．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为（）A． 4和3 B．﹣4和3 C．﹣4和﹣3 D． 4和﹣34．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A． 28+6 B． 30+6 C． 56+12 D． 60+125．经过点P（1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（）A． x+2y﹣6=0 B． 2x+y﹣6=0 C． x﹣2y+7=0 D． x﹣2y﹣7=06．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，则该球的表面积为（）A． B． C． D． 16π7．已知0＜x＜1，0＜y＜1，则的最小值为（）A． B． C． 2 D． 88．如图，在三棱柱ABC﹣A'B'C'中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB'C'F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1：V2为（）A． 3：2 B． 7：5 C． 8：5 D． 9：59．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是（）A． [，2] B． [，2] C． [，4] D． [2，4]10．设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将正确答案填在答题卷的相应位置．）11．直线l：ax+（a+1）y+2=0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是．12．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2cm2，则原平面图形的面积为．13．已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为2cm的正方形，则这个正四面体的主视图的面积为cm2．14．如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知BC⊥AD，BC=2，AD=6，AB+BD=AC+CD=10，则三棱锥D ﹣ABC的体积的最大值是．15．在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确的是（写出所有正确命题的编号）．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点；③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；④如果k与b都是有理数，则直线y=kx+b经过无穷多个整点；⑤存在恰经过一个整点的直线．三、解答题（共6小题，满分75分）16．已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且EH∥FG．求证：EH∥BD．17．如图，在△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求点A和点C的坐标．18．如图，在锥体P﹣ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点（1）证明：AD⊥平面DEF（2）求二面角P﹣AD﹣B的余弦值．19．已知直线l：y=3x+3．（1）求点P（5，3）关于直线l的对称点P′的坐标；（2）求直线l1：x﹣y﹣2=0关于直线l的对称直线l2的方程；（3）已知点M（2，6），试在直线l上求一点N使得|NP|+|NM|的值最小．20．如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB 的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面BCP；（Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形；（Ⅲ）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明CD⊥AE；（2）证明PD⊥平面ABE；（3）求二面角A﹣PD﹣C的正切值．2014-2015学年安徽省合肥168中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题卷的表格里．）1．下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行D．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析： A，B，C列举所有情况，D考虑线面平行的性质定理及平行公理即可．解答：解：对于A，两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交、异面都有可能，故不正确；对于B，一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故不正确；对于C，两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，故不正确；对于D，由a∥α得，经过a的平面与α相交于直线c，则a∥c，同理，设经过a的平面与β相交于直线d，则a∥d，由平行公理得：c∥d，则c∥β，又c⊂α，α∩β=b，所以c ∥b，又a∥c，所以a∥b．故选：D．点评：本题主要考查了空间线面位置关系，要求熟练掌握相应的定义和定理，注意定理成立的条件．2．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β B．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥β D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现A，B，D中由条件均可能得到l∥β，即A，B，D三个答案均错误，只有C满足平面平行的性质，分析后不难得出答案．解答：解：若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l∥β，故A错误；若l∥α，α∥β，则l⊂β或l∥β，故B错误；若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故C正确；若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β，故D错误；故选C点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a⊂α，b⊄α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄，a∥α⇒a∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．3．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为（）A． 4和3 B．﹣4和3 C．﹣4和﹣3 D． 4和﹣3考点：两条直线平行的判定；直线的截距式方程．专题：待定系数法．分析：由直线在y轴上的截距为，可得=，解出 n，再由直线平行可得=≠，求出 m．解答：解：由题意得=，n=﹣3，直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，∴=≠，∴m=﹣4．故选 C．点评：本题考查直线在y轴上的截距的定义，两直线平行的性质．4．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A． 28+6 B． 30+6 C． 56+12 D． 60+12考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．解答：解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，所以S底==10，S后=，S右==10，S左==6．几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6．故选：B．点评：本题考查三视图与几何体的关系，注意表面积的求法，考查空间想象能力计算能力．5．经过点P（1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（）A． x+2y﹣6=0 B． 2x+y﹣6=0 C． x﹣2y+7=0 D． x﹣2y﹣7=0考点：直线的斜截式方程．专题：计算题．分析：设出直线方程的截距式，把经过的点P（1，4）的坐标代入得a与b的等式关系，把截距的和a+b变形后使用基本不等式求出它的最小值．解答：解：设直线的方程为+=1（a＞0，b＞0），则有+=1，∴a+b=（a+b）×1=（a+b）×（+）=5++≥5+4=9，当且仅当=，即a=3，b=6时取“=”．∴直线方程为2x+y﹣6=0．故选B．点评：本题考查直线方程的截距式，利用基本不等式求截距和的最小值，注意等号成立的条件需检验．6．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，则该球的表面积为（）A． B． C． D． 16π考点：球的体积和表面积．专题：球．分析：根据正四棱锥P﹣ABCD与外接球的关系求出球的半径，即可求出球的表面积．解答：解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，PE为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心O必在正四棱锥的高线PE所在的直线上，延长PE交球面于一点F，连接AE，AF，由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF，∵底面边长为4，∴AE=，PE=6，∴侧棱长PA==，PF=2R，根据平面几何中的射影定理可得PA2=PF•PE，即44=2R×6，解得R=，则S=4πR2=4π（）2=，故选：B点评：本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，根据条件求出球的半径是解决本题的关键．7．已知0＜x＜1，0＜y＜1，则的最小值为（）A． B． C． 2 D． 8考点：有理数指数幂的化简求值．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用四个和式的几何意义求得答案．解答：解：根号表示点（x，y）与原点（0，0）之间的距离，根号表示点（x，y）与点（0，1）之间的距离，表示点（x，y）与点（1，0）之间的距离，表示点（x，y）与点（1，1）之间的距离，∴函数就是四个距离之和，满足条件0＜x＜1，0＜y＜1的点（x，y）位于矩形内，则距离之和的最小值就是此矩形的对角线长的2倍，等于．故选：A．点评：本题考查了函数值的求法，考查了数学转化思想方法，关键是转化为几何意义，是中档题．8．如图，在三棱柱ABC﹣A'B'C'中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB'C'F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1：V2为（）A． 3：2 B． 7：5 C． 8：5 D． 9：5考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：由已知中平面EB'C'F将三棱柱分成一个棱台（体积为V1）和一个不规则几何体，（体积为V2），我们根据棱柱体积公式，和棱台的体积公式，结合组合体的体积求法，分别计算出V1，V2的表达式，即可得到答案．解答：解：设S△AEF=x，则S△ABC=S△A1B1C1=4x，S□EFBC=3xV1：V2=（4x+2x+x）：4x﹣[（4x+2x+x）]=7：5故选B点评：本题考查的知识点是棱柱的体积，棱台的体积，组合体的体积，其中分析出面EB'C'F 将三棱柱分成一个棱台（体积为V1）和一个不规则几何体，（体积为V2），是解答本题的关键．9．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是（）A． [，2] B． [，2] C． [，4] D． [2，4]考点：两条直线的交点坐标；函数最值的应用．专题：直线与圆．分析：可得直线分别过定点（0，0）和（1，3）且垂直，可得|PA|2+|PB|2=10．三角换元后，由三角函数的知识可得．解答：解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），∵动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0的斜率之积为﹣1，始终垂直，P又是两条直线的交点，∴PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．设∠ABP=θ，则|PA|=sinθ，|PB|=cosθ，由|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ∈[0，]∴|PA|+|PB|=（sinθ+cosθ）=2sin（θ+），∵θ∈[0，]，∴θ+∈[，]，∴sin（θ+）∈[，1]，∴2sin（θ+）∈[，2]，故选：B．点评：本题考查直线过定点问题，涉及直线的垂直关系和三角函数的应用，属中档题．10．设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（）A． B． C． D．考点：两条平行直线间的距离．专题：计算题．分析：利用方程的根，求出a，b，c的关系，求出平行线之间的距离表达式，然后求解距离的最值．解答：解：因为a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，所以a+b=﹣1，ab=c，两条直线之间的距离d=，∴d2==，因为0≤c≤，所以≤1﹣4c≤1，即d2，所以两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是．故选C．点评：本题考查平行线之间的距离的求法，函数的最值的求法，考查计算能力．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将正确答案填在答题卷的相应位置．）11．直线l：ax+（a+1）y+2=0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是{a|a＜﹣或a＞0} ．考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：当a=﹣1时，符合题意；当a≠﹣1时，只需＜0或＞1即可，解不等式综合可得．解答：解：当a+1=0即a=﹣1时，直线无斜率，倾斜角为90°，满足倾斜角大于45°；当a+1≠0即a≠﹣1时，直线的斜率＜0或＞1即可解不等式可得a＜﹣1或﹣1＜a＜﹣或a＞0综上可得a的取值范围为：{a|a＜﹣或a＞0}故答案为：{a|a＜﹣或a＞0}点评：本题考查直线的倾斜角，涉及不等式的解集和分类讨论，属基础题．12．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2cm2，则原平面图形的面积为8cm2．考点：平面图形的直观图．专题：空间位置关系与距离．分析：首先，根据所给的图形中∠BAD=45°，得到原图形为一个直角梯形，然后，根据高之间的关系进行求解．解答：解：根据题意，得∠BAD=45°，则原图形为一个直角梯形，上下底面的边长和BC、AD相等，高为梯形ABCD的高的2倍，∴原平面图形的面积为8cm2．故答案为：8cm2．点评：本题重点考查了斜二侧画法、平面图形的面积的求解方法等知识，属于中档题．解题关键是准确理解斜二侧画法的内涵，与x轴平行的线段长度保持不变，与y轴平行的线段的长度减少为原来的一半．13．已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为2cm的正方形，则这个正四面体的主视图的面积为2cm2．考点：由三视图求面积、体积．专题：作图题；综合题．分析：根据题意，画出图形，结合题目所给数据，求出正视图的三边的长，可求其面积．解答：解：这个正四面体的位置是AC放在桌面上，BD平行桌面，它的正视图是和几何体如图，则正视图 BD=2，DO=BO=，∴S△BOD=，故答案为：2．点评：本题考查由三视图求面积，考查空间想象能力逻辑思维能力，是中档题．14．如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知BC⊥AD，BC=2，AD=6，AB+BD=AC+CD=10，则三棱锥D﹣ABC的体积的最大值是．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．分析：过BC作与AD垂直的平面，交AD于E，过E作BC的垂线，垂足为F，则V=S△BCE×AD，进而可分析出当BE取最大值时，EF取最大值时，三棱锥D﹣ABC的体积也取最大值，利用椭圆的几何意义及勾股定理，求出EF的最大值，可得答案．解答：解：过BC作与AD垂直的平面，交AD于E过E作BC的垂线，垂足为F，如图所示：∵BC=2，AD=6，则三棱锥D﹣ABC体积V=S△BCE×（AE+DE）=V=S△BCE×AD=וBC•EF×AD=2EF故EF取最大值时，三棱锥D﹣ABC的体积也取最大值即BE取最大值时，三棱锥D﹣ABC的体积也取最大值在△ABD中，动点B到A，D两点的距离和为10，故B在以AD为焦点的椭圆上，此时a=5，c=3，故BE的最大值为b==4此时EF==故三棱锥D一ABC的体积的最大值是故答案为：点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，其中将求棱锥体积的最大值，转化为求椭圆上动点到长轴的距离最远是解答的关键．15．在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确的是①③⑤（写出所有正确命题的编号）．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点；③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；④如果k与b都是有理数，则直线y=kx+b经过无穷多个整点；⑤存在恰经过一个整点的直线．考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：①举一例子即可说明本命题是真命题；②举一反例即可说明本命题是假命题；③假设直线l过两个不同的整点，设直线l为y=kx，把两整点的坐标代入直线l的方程，两式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线l上，利用同样的方法，得到直线l经过无穷多个整点，得到本命题为真命题；④根据③为真命题，把直线l的解析式y=kx上下平移即不能得到y=kx+b，所以本命题为假命题；⑤举一例子即可得到本命题为真命题．解答：解：①令y=x+，既不与坐标轴平行又不经过任何整点，所以本命题正确；②若k=，b=，则直线y=x+经过（﹣1，0），所以本命题错误；设y=kx为过原点的直线，若此直线l过不同的整点（x1，y1）和（x2，y2），把两点代入直线l方程得：y1=kx1，y2=kx2，两式相减得：y1﹣y2=k（x1﹣x2），则（x1﹣x2，y1﹣y2）也在直线y=kx上且为整点，通过这种方法得到直线l经过无穷多个整点，又通过上下平移得到y=kx+b不一定成立．则③正确，④不正确；⑤令直线y=x恰经过整点（0，0），所以本命题正确．综上，命题正确的序号有：①③⑤．故答案为：①③⑤点评：此题考查学生会利用举反例的方法说明一个命题为假命题，要说明一个命题是真命题必须经过严格的说理证明，以及考查学生对题中新定义的理解能力，是一道中档题．三、解答题（共6小题，满分75分）16．已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且EH∥FG．求证：EH∥BD．考点：直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：证明题．分析：先由EH∥FG，得到EH∥面BDC，从而得到EH∥BD．解答：证明：∵EH∥FG，EH⊄面BCD，FG⊂面BCD∴EH∥面BCD，又∵EH⊂面ABD，面BCD∩面ABD=BD，∴EH∥BD点评：本题主要考查线面平行的判定定理，是道基础题．17．如图，在△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求点A和点C的坐标．考点：两条直线的交点坐标．专题：计算题．分析：根据三角形的性质解A点，再解出AC的方程，进而求出BC方程，解出C点坐标．逐步解答．解答：解：点A为y=0与x﹣2y+1=0两直线的交点，∴点A的坐标为（﹣1，0）．∴k AB==1．又∵∠A的平分线所在直线的方程是y=0，∴k AC=﹣1．∴直线AC的方程是y=﹣x﹣1．而BC与x﹣2y+1=0垂直，∴k BC=﹣2．∴直线BC的方程是y﹣2=﹣2（x﹣1）．由y=﹣x﹣1，y=﹣2x+4，解得C（5，﹣6）．∴点A和点C的坐标分别为（﹣1，0）和（5，﹣6）点评：本题可以借助图形帮助理解题意，将条件逐一转化求解，这是上策．18．如图，在锥体P﹣ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点（1）证明：AD⊥平面DEF（2）求二面角P﹣AD﹣B的余弦值．考点：与二面角有关的立体几何综合题；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何．分析：（1）利用线面垂直的判定定理进行证明是解决本题的关键，在平面DEF中找两条相交直线与AD垂直，利用60°角菱形的特征可以发现AD⊥DE，通过取出AD的中点构造一个平面可以证明AD⊥EF；（2）利用（1）中的结论找到二面角P﹣AD﹣B的平面角是解决本题的关键，求角往往要利用三角形中的余弦定理．解答：解：（1）取AD的中点G，连接PG，BG，在△ABG中，根据余弦定理可以算出BG=，发现AG2+BG2=AB2，可以得出AD⊥BG，又DE∥BG∴DE⊥AD，又PA=PD，可以得出AD⊥PG，而PG∩BG=G，∴AD⊥平面PBG，而PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB，又PB∥EF，∴AD⊥EF．又EF∩DE=E，∴AD⊥平面DEF．（2）由（1）知，AD⊥平面PBG，所以∠PGB为二面角P﹣AD﹣B的平面角，在△PBG中，PG=，BG=，PB=2，由余弦定理得cos∠PGB=，因此二面角P﹣AD﹣B的余弦值为．点评：本题考查立体几何中基本的线面关系，考查线面垂直的判定方法，考查二面角的求法，训练了学生基本的空间想象能力，考查学生的转化与化归思想，解三角形的基本知识和学生的运算能力，属于基本的立体几何题．19．已知直线l：y=3x+3．（1）求点P（5，3）关于直线l的对称点P′的坐标；（2）求直线l1：x﹣y﹣2=0关于直线l的对称直线l2的方程；（3）已知点M（2，6），试在直线l上求一点N使得|NP|+|NM|的值最小．考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）设点P的对称点为P'（a，b），由中点坐标公式和两直线垂直的条件列方程，解出即可；（2）首先求出两直线的交点，再由点关于直线对称的求法求出对称点，再由直线方程的形式，即可得到；（3）可由（1）的结论，连接P'M，交直线l于N，连接NP，再由三点共线的知识，即可求出N．解答：解：（1）设点P的对称点为P'（a，b），则，解得：，即点P'的坐标为（﹣4，6）；（2）解方程组得，即两直线l与l的交点坐标为因为直线l与l2关于直线l对称，所以直线l2必过点，又由（1）可知，点P（5，3）恰好在直线l上，且其关于直线l的对称点为P'（﹣4，6），所以直线l2必过点P'（﹣4，6），这样由两点式可得：，即7x+y+22=0；（3）由（1）得P'（﹣4，6），连接P'M，交直线l于N，连接NP，则|NP|+|NM|=|NP'|+|NM|=|P'M|最小，设出N（x，3x+3），则由P'，M，N共线，可得，，解得，x=1，则可得N（1，6）．点评：本题考查点关于直线对称、直线关于直线对称，以及运用：求最值，考查直线方程的知识，考查运算能力，属于中档题．20．如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB 的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面BCP；（Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形；（Ⅲ）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．考点：直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（Ⅰ）根据两个点是两条边的中点，得到这条线是两条边的中位线，得到这条线平行于PC，根据线面平行的判定定理，得到线面平行．（Ⅱ）根据四个点是四条边的中点，得到中位线，根据中位线定理得到四边形是一个平行四边形，根据两条对角线垂直，得到平行四边形是一个矩形．（Ⅲ）做出辅助线，证明存在点Q到四面体PABC六条棱的中点的距离相等，根据第二问证出的四边形是矩形，根据矩形的两条对角线互相平分，又可以证出另一个矩形，得到结论．解答：证明：（Ⅰ）∵D，E分别为AP，AC的中点，∴DE∥PC，∵DE⊄平面BCP，∴DE∥平面BCP．（Ⅱ）∵D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，∴DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF∴四边形DEFG为平行四边形，∵PC⊥AB，∴DE⊥DG，∴四边形DEFG为矩形．（Ⅲ）存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG，设Q为EG的中点，由（Ⅱ）知DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=EG，分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN，与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QM=QN=EG，∴Q为满足条件的点．点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查三角形中位线定理，考查平行四边形和矩形的判定及性质，本题是一个基础题．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明CD⊥AE；（2）证明PD⊥平面ABE；（3）求二面角A﹣PD﹣C的正切值．考点：二面角的平面角及求法．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）运用线面垂直的判定和性质定理即可得证CD⊥AE；（2）运用线面垂直的性质和判定定理，即可得到PD⊥平面ABE；（3）过E点作EM⊥PD于M点，连结AM，由（2）知AE⊥平面PCD，则AM⊥PD，则∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角．通过解三角形AEM，即可得到所求值．解答：（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，又AC⊥CD，AC∩PA=A，∴CD⊥平面PAC，又AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE；（2）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD∴PA⊥AB，又AD⊥AB，AD∩PA=A∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD∴AB⊥PD，由PA=AB=BC，∠ABC=60°，则△ABC是正三角形．∴AC=AB∴PA=PC∵E是PC中点∴AE⊥PC由（1）知AE⊥CD，又CD∩PC=C∴AE⊥平面PCD∴AE⊥PD，又AB⊥PD，AB∩AE=A∴PD⊥平面ABE；（3）解：过E点作EM⊥PD于M点，连结AM，由（2）知AE⊥平面PCD，则AE⊥PD，则PD⊥平面AEM，∴AM⊥PD，则∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角．设AC=a，AD==，PA=A，PD==a，AM===，在Rt△AEM中，AE=a，EM===a，则tan∠AME===．点评：本题考查线面垂直的性质和判定定理及运用，考查空间二面角的求法，考查运算和推理能力，属于中档题．21。

2015-2016学年安徽省合肥八中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题包括12小题，每小题5分．每小题只有一个选项符合题意．）1．（5分）设a∈R，则a＞1是＜1的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要2．（5分）与直线l：y=2x+3平行且与圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0相切的直线方程是（）A．B．C．D．3．（5分）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A．B．C．D．4．（5分）圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0与圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣2=0的位置关系是（）A．相离B．外切C．内切D．相交5．（5分）如图长方体中，AB=AD=2，CC1=，则二面角C1﹣BD﹣C的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°6．（5分）如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（）A．B．C．D．7．（5分）设m，n，l为空间不重合的直线，α，β，γ是空间不重合的平面，则下列说法准确的个数是（）①m∥l，n∥l，则m∥n；②m⊥l，n⊥l，则m∥n；③若m∥l，m∥α，则l∥α；④若l∥m，l⊂α，m⊂β，则α∥β；⑤若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α∥β⑥α∥γ，β∥γ，则α∥β．A．0 B．1 C．2 D．38．（5分）已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）A．12πB．36πC．72πD．108π9．（5分）已知点（1，﹣2）和在直线l：ax﹣y﹣1=0（a≠0）的两侧，则直线l倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，点P、Q分别在棱AA1和CC1上，AP=C1Q，则平面BPQ把三棱柱分成两部分的体积比为（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：311．（5分）已知点P在直线x+2y﹣1=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，PQ的中点为M（x0，y0），且y0＞x0+2，则的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，现将△ABD沿BD折起后使AC=，在四面体ABCD四个面中两两构成直二面角的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（每小题4分，满分16分．）13．（4分）命题“∃x0∈R，”的否定是．14．（4分）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为．15．（4分）经过点P（1，1）的直线在两坐标轴上的截距都是正数，若使截距之和最小，则该直线的方程是．16．（4分）直线y=x+b与曲线有且有一个公共点，则b的取值范围是．三、解答题（满分74分．）17．（12分）已知命题p：函数y=log0.5（x2+2x+a）的值域为R，命题q：函数y=﹣（5﹣2a）x是R上的减函数．若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a 的取值范围是什么？18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C 的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣3上，过点A作圆C的切线，求切线方程；（2）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．19．（12分）如图四边形ABCD是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且NB=MD=2，E为BC的中点．（I）求异面直线NE与AM所成角的余弦值；（II）求二面角N﹣AM﹣D的余弦值．20．（12分）已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0，圆C关于直线x+y﹣1=0对称，圆心在第二象限，半径为（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（I）证明：BE∥平面ADP；（II）求直线BE与平面PDB所成角的正弦值．22．（14分）在几何体ABCDE中，四边形ABCD是正方形，CE⊥平面ADE且CE=EF=2，F是线段DE的中点．（I）求证：平面BCF⊥平面CDE；（II）求二面角A﹣BF﹣E的平面角的正弦值．2015-2016学年安徽省合肥八中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题包括12小题，每小题5分．每小题只有一个选项符合题意．）1．（5分）设a∈R，则a＞1是＜1的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：a＞1时，由反比例函数的图象可知，反之若，如a=﹣1，不满足a＞1，所以a＞1是的充分不必要条件故选：A．2．（5分）与直线l：y=2x+3平行且与圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0相切的直线方程是（）A．B．C．D．【解答】解：∵直线l：y=2x+3∴k l=2若圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0的切线与l平行所以切线的斜率k=2观察四个答案；A中直线的斜率为1，不符合条件，故A错误；B中直线的斜率为，不符合条件，故B错误；C中直线的斜率为﹣2，不符合条件，故C错误；D中直线的斜率为2，符合条件，故D正确；故选：D．3．（5分）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A．B．C．D．【解答】解：设圆柱底面积半径为r，则高为2πr，全面积：侧面积=[（2πr）2+2πr2]：（2πr）2=．故选：A．4．（5分）圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0与圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣2=0的位置关系是（）A．相离B．外切C．内切D．相交【解答】解：圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0 即（x+1）2+（y+4）2=25，表示以A（﹣1，﹣4）为圆心，以5为半径的圆．C2：x2+y2﹣4x+4y﹣2=0 即（x﹣2）2+（y+2）2=10，表示以A（2，﹣2）为圆心，以为半径的圆．两圆的圆心距d==，大于两圆的半径之差小于半径之和，故两圆相交，故选：D．5．（5分）如图长方体中，AB=AD=2，CC1=，则二面角C1﹣BD﹣C的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：取BD的中点E，连接C1E，CE由已知中AB=AD=2，CC1=，易得CB=CD=2，C1B=C1D=根据等腰三角形三线合一的性质，我们易得C1E⊥BD，CE⊥BD则∠C1EC即为二面角C1﹣BD﹣C的平面角在△C1EC中，C1E=2，CC1=，CE=故∠C1EC=30°故二面角C1﹣BD﹣C的大小为30°故选：A．6．（5分）如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（）A．B．C．D．【解答】解：如图据条件可得几何体为底面边长为2的正方形，侧面是等边三角形高为2的正四棱锥，故其体积V=×4×=．故选：C．7．（5分）设m，n，l为空间不重合的直线，α，β，γ是空间不重合的平面，则下列说法准确的个数是（）①m∥l，n∥l，则m∥n；②m⊥l，n⊥l，则m∥n；③若m∥l，m∥α，则l∥α；④若l∥m，l⊂α，m⊂β，则α∥β；⑤若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α∥β⑥α∥γ，β∥γ，则α∥β．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①若m∥l，n∥l，则m∥n，根据公理4：平行于同一直线的两只线平行，所以①正确；②由m⊥l，n⊥l，在同一个平面可得m∥n，在空间不成立，故错误；③若m∥l，m∥α则l∥α或l⊂α，故错误；④若α∩β=a且m∥a∥l，此时α∥β不成立．故错误；⑤若α∩β=a且m∥a∥l，此时α∥β不成立．故错误；⑥α∥γ，β∥γ，利用平面与平面平行的性质与判定，可得α∥β，正确．故选：C．8．（5分）已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）A．12πB．36πC．72πD．108π【解答】解：如图，设正四棱锥底面的中心为O，则在直角三角形ABC中，AC=×AB=6，∴AO=CO=3，在直角三角形PAO中，PO==3，∴正四棱锥的各个顶点到它的底面的中心的距离都为3，∴正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，且球半径r=3，球的表面积S=4πr2=36π故选：B．9．（5分）已知点（1，﹣2）和在直线l：ax﹣y﹣1=0（a≠0）的两侧，则直线l倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：因为点（1，﹣2）和在直线l：ax﹣y﹣1=0（a≠0）的两侧，所以，（a+2﹣1）（a﹣1）＜0，即：（a+1）（a﹣）＜0，解得﹣1＜a＜，设直线l倾斜角为θ，∴a=tanθ，∴﹣1＜tanθ＜，∴0＜θ＜，或＜θ＜π，故选：C．10．（5分）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，点P、Q分别在棱AA1和CC1上，AP=C1Q，则平面BPQ把三棱柱分成两部分的体积比为（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3【解答】解：设直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V，∵连接BA1，BC1，点P、Q分别在棱AA1和CC1上，AP=C1Q，∴四棱锥的B﹣APQC，B﹣C1QPA1，的底面积相等∴把直三棱柱ABC﹣A1B1C1分割为：B﹣APQC，B﹣C1QPA1，B﹣B1A1C1，∴三棱锥的B﹣B1A1C1为V，∴四棱锥B﹣APQC，B﹣C1QPA1的体积之和为：V﹣V=，∵四棱锥的B﹣APQC，B﹣C1QPA1，的底面积，高相等．∴四棱锥的B﹣APQC，B﹣C1QPA1，的体积相等，即为，∴棱锥B﹣APQC，B﹣C1QPA1，B﹣B1A1C1的体积相等，为，∴平面BPQ把三棱柱分成两部分的体积比为2：1，故选：A．11．（5分）已知点P在直线x+2y﹣1=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，PQ的中点为M（x0，y0），且y0＞x0+2，则的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：设P（x1，y1），=k，则y0=kx0，∵PQ中点为M（x0，y0），∴Q（2x0﹣x1，2y0﹣y1）∵P，Q分别在直线x+2y﹣1=0和x+2y+3=0上，∴x1+2y1﹣1=0，2x0﹣x1+2（2y0﹣y1）+3=0，∴2x0+4y0+2=0即x0+2y0+1=0，∵y0=kx0，∴x0+2kx0+1=0即x0=﹣，又∵y0＞x0+2，代入得kx0＞x0+2即（k﹣1）x0＞2即（k﹣1）（﹣）＞2即＜0∴﹣＜k＜﹣故选：A．12．（5分）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，现将△ABD沿BD折起后使AC=，在四面体ABCD四个面中两两构成直二面角的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：如图，∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，现将△ABD沿BD折起后使AC=，∴BD==，CD==，∴BD2+CD2=BC2，AD2+CD2=AC2，∴AD⊥CD，BD⊥CD，又AD∩BD=D，∴CD⊥平面ABD，∵CD⊂平面BDC，CD⊂平面ADC，∴平面ABD⊥平面BDC，平面ABD⊥平面ADC，∵AB2+AC2=BC2，∴AB⊥AC，∵AB⊥AD，AD∩AC=A，∴AD⊥平面ABC，∵AD⊂平面ABD，AD⊂平面ADC，∴平面ABD⊥平面ABC，平面ADC⊥平面ABC．∴在四面体ABCD四个面中两两构成直二面角的个数为4个．故选：C．二、填空题（每小题4分，满分16分．）13．（4分）命题“∃x0∈R，”的否定是∀x∈R，2x＞0．【解答】解：据含量词的命题的否定形式得到：命题“∃x0∈R，”的否定是“∀x∈R，2x＞0”故答案为“∀x∈R，2x＞0”14．（4分）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为4π．【解答】解：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．这是两个底面半径为，母线长2的圆锥，故S=2πrl=2π××2=4π．故答案为：4π．15．（4分）经过点P（1，1）的直线在两坐标轴上的截距都是正数，若使截距之和最小，则该直线的方程是x+y﹣2=0．【解答】解：设直线的截距式为：=1（a，b＞0），则=1．∴a+b=（a+b）=2+≥2+2=4，当且仅当a=b=2时取等号．∴该直线的方程是x+y﹣2=0．故答案为：x+y﹣2=0．16．（4分）直线y=x+b与曲线有且有一个公共点，则b的取值范围是．【解答】解：直线y=x+b是一条斜率为1，截距为b的直线；曲线变形为x2+y2=1且x≥0显然是一个圆心为（0，0），半径为1的右半圆．根据题意，直线y=x+b与曲线有且有一个公共点做出它们的图形，则易得b的取值范围是．三、解答题（满分74分．）17．（12分）已知命题p：函数y=log0.5（x2+2x+a）的值域为R，命题q：函数y=﹣（5﹣2a）x是R上的减函数．若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是什么？【解答】解：对于命题p：因其值域为R，故x2+2x+a＞0不恒成立，所以△=4﹣4a≥0，∴a≤1．对于命q：因其是减函数，故5﹣2a＞1，则a＜2．∵p或q为真命题，p且q为假命题，∴p真q假或p假q真．若p真q假，则，则a∈∅，若p假q真，则，则1＜a＜2．综上，知1＜a＜2，故实数a的取值范围为（1，2）．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C 的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣3上，过点A作圆C的切线，求切线方程；（2）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）由题设，圆心C在y=x﹣3上，也在直线y=2x﹣4上，2a﹣4=a ﹣3，∴a=1，∴C（1，﹣2）．∴⊙C：（x﹣1）2+（y+2）2=1，由题，当斜率存在时，过A点切线方程可设为y=kx+3，即kx﹣y+3=0，则=1，解得：k=﹣，…（4分）又当斜率不存在时，也与圆相切，∴所求切线为x=0或y=﹣x+3，即x=0或12x+5y﹣15=0；（2）设点M（x，y），由|MA|=2|MO|，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，解得：0≤a≤．19．（12分）如图四边形ABCD是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且NB=MD=2，E为BC的中点．（I）求异面直线NE与AM所成角的余弦值；（II）求二面角N﹣AM﹣D的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标D﹣xyz，依题意，得D（0，0，0），A（2，0，0），M（0，0，2），C（0，2，0），B（2，2，0），N（2，2，2），E（1，2，0）．∴=（﹣1，0，﹣2），=（﹣2，0，2），∵cos＜，＞===﹣，∴异面直线NE与AM所成角的余弦值为•（Ⅱ）=（﹣2，0，2），=（0，2，2），设平面AMN的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，1），平面AMD的法向量=（0，1，0），设二面角N﹣AM﹣D的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角N﹣AM﹣D的余弦值为．20．（12分）已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0，圆C关于直线x+y﹣1=0对称，圆心在第二象限，半径为（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由x2+y2+Dx+Ey+3=0知圆心C的坐标为（﹣，﹣）∵圆C关于直线x+y﹣1=0对称∴点（﹣，﹣）在直线x+y﹣1=0上即D+E=﹣2，①且=2②又∵圆心C在第二象限∴D＞0，E＜0由①②解得D=2，E=﹣4∴所求圆C的方程为：x2+y2+2x﹣4y+3=0（Ⅱ）∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，设l：x+y=a∵圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于半径，即||=，∴a=﹣1或a=3所求切线方程x+y=﹣1或x+y=321．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（I）证明：BE∥平面ADP；（II）求直线BE与平面PDB所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）如图，取PD中点M，连接EM，AM．∵E，M分别为PC，PD的中点，∴EM∥DC，且EM=DC，又由已知，可得EM∥AB，且EM=AB，∴四边形ABEM为平行四边形，∴BE∥AM．∵AM⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，∴BE∥平面ADP．解：（Ⅱ）连接BM，由（Ⅰ）有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD，而EM∥CD，∴PD⊥EM．又∵AD=AP，M为PD的中点，∴PD⊥AM，∴PD⊥BE，∴PD⊥平面BEM，∴平面BEM⊥平面PBD．∴直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，∵BE⊥EM，∴∠EBM为锐角，∴∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角．依题意，有PD=2，而M为PD中点，∴AM=，进而BE=．∴在直角三角形BEM中，sin∠EBM===．∴直线BE与平面PDB所成角的正弦值为．22．（14分）在几何体ABCDE中，四边形ABCD是正方形，CE⊥平面ADE且CE=EF=2，F是线段DE的中点．（I）求证：平面BCF⊥平面CDE；（II）求二面角A﹣BF﹣E的平面角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AD⊥CD，∵CE⊥平面ADE，AD⊂平面ADE，∴AD⊥CE，∵CD∩CE=C，∴AD⊥平面CDE，∵BC∥AD，∴BC⊥平面CDE，∵BC⊂平面BCF，∴平面BCF⊥平面CDE．解：（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，过D作EC的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，4，2），F（0，2，0），E（0，4，0），=（0，﹣4，﹣2），=（﹣2，﹣2，﹣2），=（﹣2，0，﹣2），设平面ABF的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（，1，﹣2），设平面BEF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，﹣），设二面角A﹣BF﹣E的平面角为θ，则cosθ===，∴sinθ==．二面角A﹣BF﹣E的平面角的正弦值为．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

2015-2016学年安徽省合肥一六八中高二（上）开学数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设M、N是两个非空集合，定义M与N的差集为M-N={x|x∈M且x∉N}，则M-（M-N）等于（）A.NB.M∩NC.M∪ND.M【答案】B【解析】解：M-N={x|x∈M且x∉N}是指图（1）中的阴影部分．同样M-（M-N）是指图（2）中的阴影部分．即M∩N，如果N为M的真子集，则M-（M-N）=N；若M与N的V enn图互不相交，则M-（M-N）=M．故选B．本题为新定义问题，画出基本韦恩图求解即可对新定义问题，正确理解定义是解题的关键．2.已知f（x）是定义在R上的函数，且f（x）=f（x+2）恒成立，当x∈（-2，0）时，f（x）=x2，则当x∈[2，3]时，函数f（x）的解析式为（）A.x2-4B.x2+4C.（x+4）2D.（x-4）2【答案】D【解析】解：∵f（x）=f（x+2），∴f（x）是周期为2的周期函数，∵当x∈（-2，0）时，f（x）=x2，根据周期性，当x∈2，3]时，f（x）=f（x-4）=（x-4）2故选D根据f（x）=f（x+2）判断出函数的周期性，再根据周期性，把∈[2，3]的函数值变形到（-2，0）上来求．本题考查了函数的周期性的判断与应用，是高考必考内容．3.已知函数f（x）=＞，则f（log23）=（）A.3B.C.1D.2【答案】B【解析】解：∵2=log24＞log23＞log22=1∴f（log23）=f（log23-1）而log23-1＜1∴f（log23）=f（log23-1）==3×=故选B．先判定log23的取值范围，然后代入分段函数化简得f（log23）=f（log23-1），再判定log23-1的范围，代入解析式，利用指对数运算性质进行求解即可．本题主要考查了对数函数的运算性质，以及函数求值，同时考查了计算能力，属于基础题．4.计算log2sin+log2cos的值为（）A.-4B.4C.2D.-2【答案】D【解析】解：∵==2-2．∴原式===-2．故选：D．由于=．可得原式==，即可得出．本题考查了倍角公式、对数函数的运算性质，属于基础题．5.若a=20.5，b=logπ3，c=log2sin，则（）A.a＞b＞cB.b＞a＞cC.c＞a＞bD.b＞c＞a【答案】A【解析】解：＜＜，由指对函数的图象可知：a＞1，0＜b＜1，c＜0，故选A利用估值法知a大于1，b在0与1之间，c小于0．估值法是比较大小的常用方法，属基本题．6.奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（）A.-2B.-1C.0D.1【答案】D【解析】解：∵f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，∴设g（x）=f（x+2），则g（-x）=g（x），即f（-x+2）=f（x+2），∵f（x）是奇函数，∴f（-x+2）=f（x+2）=-f（x-2），即f（x+4）=-f（x），f（x+8）=f（x+4+4）=-f（x+4）=f（x），则f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1，∴f（8）+f（9）=0+1=1，故选：D．根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论．本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．7.如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC=BD，AD=1，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：=cos∠DAC，∵||=1，∴•=cos∠DAC=||•cos∠DAC，∵∠BAC=+∠DAC，∴cos∠DAC=sin∠BAC，•=cos∠DAC=||•cos∠DAC=||sin∠BAC，变形得|AC|sin∠BAC=|BC|sin B，在△ABC中，由正弦定理得=∠•=cos∠DAC=||•cos∠DAC=||sin∠BAC，=|BC|sin B=|BC|•=，故选：B．利用平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，求解向量的数量积即可．本题考查平面向量的数量积，向量在几何中的应用，平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题8.已知正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5．若存在两项a m，a n使得，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：设等比数列的公比为q（q＞0），则∵a7=a6+2a5，∴a5q2=a5q+2a5，∴q2-q-2=0，∴q=2，∵存在两项a m，a n使得，∴a m a n=16a12，∴q m+n-2=16，∴m+n=6∴=（m+n）（）=（10+）m=1，n=5时，=；m=2，n=4时，=．∴的最小值为，故选B．根据a7=a6+2a5，求出公比的值，利用存在两项a m，a n使得，写出m，n 之间的关系，结合基本不等式得到最小值．本题考查等比数列的通项和基本不等式，实际上应用基本不等式是本题的重点和难点，关键注意当两个数字的和是定值，要求两个变量的倒数之和的最小值时，要乘以两个数字之和．9.已知各项不为0的等差数列{a n}满足a4-2a72+3a8=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则b2b8b11等于（）A.1B.2C.4D.8【答案】D【解析】解：∵数列{a n}是各项不为0的等差数列，由a4-2+3a8=0，得，，，∴，解得：a7=2．则b7=a7=2．又数列{b n}是等比数列，则b2b8b11=．故选：D．由已知方程结合等差数列的性质求解a7，再利用等比数列的性质求解答案．本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了学生的计算能力，是中档题．10.如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A.3B.4C.5D.8【答案】B【解析】解：由题意循环中x，y的对应关系如图：当=8时不满足循环条件，退出循环，输出y=4．故选B．列出循环中x，y的对应关系，不满足判断框结束循环，推出结果．本题考查循环结构框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力．11.函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，将f（x）的图象向右平移个长度单位，所得图象对应的函数解析式为（）A.f（x）=sin2xB.f（x）=-sin2xC.f（x）=sin（2x-）D.f（x）=sin（2x+）【答案】C【解析】解：依题意，知A=1，T=-=，∴T==π，ω=2；又ω+φ=2kπ+π（k∈Z），∴φ=2kπ+（k∈Z），又|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），∴将f（x）的图象向右平移个长度单位，得y=f（x-）=sin[2（x-）+]=sin（2x-），故选：C．依题意，知A=1，T=π，从而可求ω=2；再由ω+φ=2kπ+π（k∈Z），|φ|＜可求得φ，从而可得y=f（x）的解析式，最后利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换即可求得将f（x）的图象向右平移个长度单位，所得图象对应的函数解析式．本题考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象的解析式的确定及图象变换，考查分析运算能力，属于中档题．12.函数，＞，＜图象上关于坐标原点O对称的点有n对，则n=（）A.3B.4C.5D.无数【答案】B【解析】解：当x＜0时，函数f（x）=cos，则关于原点对称的图象为y=-cos，x＞0，作出函数的图象如图：当x=10时，y=lg11＞1，y=-cos=1，x＞0，则由图象可知两个图象的交点个有4个，故n=4，故选：B．要求函数图象上关于坐标原点对称，则有f（-x）=-f（x），转化为方程根的个数，再用数形结合法求解．本题主要通过分段函数来考查函数奇偶性的应用，同时还考查了学生作图和数形结合的能力．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为______ ．【答案】10【解析】解：由960÷32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=9+（n-1）30=30n-21．由451≤30n-21≤750解得15.7≤n≤25.7．再由n为正整数可得16≤n≤25，且n∈z，故做问卷B的人数为10，故答案为：10．由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n=9+（n-1）30=30n-21，由451≤30n-21≤750求得正整数n的个数，即为所求．本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题．14.设x，y满足的约束条件，则z=x+2y的最大值为______ ．【答案】7【解析】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=-，平移直线y=-，由图象可知当直线y=-经过点B时，直线y=-的截距最大，此时z最大．由，得，即B（3，2），此时z的最大值为z=1+2×3=1+6=7，故答案为：7．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．15.向量，，，，若与的夹角等于，则|的最大值为______ ．【答案】4【解析】解：如图，设=，=，则=，与的夹角等于，即∠OBA=，再设||=a，||=t，在△OAB中，根据余弦定理有：22=a2+t2-2at•cos，整理得：t2-at+a2-4=0，由（-a）2-4（a2-4）≥0，得：a2≤16，所以0＜a≤4．所以||的最大值为4．由已知得到的坐标，然后由数量积的对于求之．在平面直角坐标系中，标出与对应的点，构造出三角形后运用余弦定理得关于向量的模的方程，由判别式大于等于0可得||的最大值．本题考查了数量积表示两个向量的夹角，考查了方程思想，考查了数形结合思想，是中档题．16.给出四个命题：（1）若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；（2）若sin A=cos B，则△ABC为直角三角形；（3）若sin2A+sin2B+sin2C＜2，则△ABC为钝角三角形；（4）若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，则△ABC为正三角形，以上正确命题的是______ ．【答案】（3）（4）【解析】解：（1）若sin2A=sin2B，∵A，B∈（0，π），∴2A=2B，或2A+2B=π，解得A=B，或A+B=，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，因此不正确；（2）若sin A=cos B=，∵A，B∈（0，π），∴A=-B，或A+-B=π，解得A+B=或，则△ABC为钝角三角形或直角三角形，因此不正确；（3）∵sin2A+sin2B+sin2C＜2，∴++＜2，化为cos2A+cos2B+cos2C＞-1，∴2cos2A+2cos（B+C）cos（B-C）＞0，∴cos A[-cos（B+C）-cos（B-C）]＞0，∴cos A cos B cos C＜0，因此△ABC为钝角三角形，正确；（4）若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，∵cos（A-B）∈（-1，1]，cos（B-C）∈（-1，1]，cos（C-A）∈（-1，1]，可知：只有三个都等于1，又A，B，C∈（0，π），∴A-B=B-C=C-A=0，∴A=B=C，则△ABC为正三角形，正确．以上正确的命题是：（3）（4）．故答案为：（3）（4）．（1）由sin2A=sin2B，A，B∈（0，π），可得2A=2B，或2A+2B=π，即可判断出正误；（2）由sin A=cos B=，A，B∈（0，π），可得A=-B，或A+-B=π，即可判断出正误；（3）由sin2A+sin2B+sin2C＜2，利用倍角公式可得：++＜2，化为cos2A+cos2B+cos2C＞-1，再利用倍角公式、和差公式化为cos A cos B cos C＜0，即可判断出正误；（4）由cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，利用余弦函数的值域，可得A-B=B-C=C-A=0，即可判断出正误．本题考查了三角函数的值域、三角形内角和定理、倍角公式与和差公式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.设函数f（x）=x2+|x-2|-1，x∈R．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）求函数f（x）的最小值．【答案】解：（1）f（x）=，＜若f（x）奇函数，则f（-x）=-f（x）所以f（0）=-f（0），即f（0）=0．∵f（0）=1≠0，∴f（x）不是R上的奇函数．又∵f（1）=1，f（-1）=3，f（1）≠f（-1），∴f（x）不是偶函数．故f（x）是非奇非偶的函数．（2）当x≥2时，f（x）=x2+x-3，为二次函数，对称轴为直线x=，则f（x）为[2，+∞）上的增函数，此时f（x）min=f（2）=3．当x＜2时，f（x）=x2-x+1，为二次函数，对称轴为直线x=则f（x）在（-∞，）上为减函数，在[，2）上为增函数，此时f（x）min=f（）=．综上，f（x）min=．【解析】本题第一问考查分段函数的奇偶性，用定义判断；第二问是求最值的题目：求最值时，先判断函数在相应定义域上的单调性，在根据单调性求出函数的最值．函数的奇偶性是高考常考的题目，而出的题目一般比较简单，常用定义法判断；函数的最值也是函数问题中常考的题目，一般先判断函数的单调性，在求最值，而学生往往忽略了判断单调性这一步．18.已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且tan A+tan B=．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若+=3，求sin A sin C的值．【答案】解：（Ⅰ）已知等式变形得：+=，去分母得：sin A cos B+sin B cos A=2sin C cos B，即sin（A+B）=2sin C cos B=sin C，∵sin C≠0，∴cos B=，则B=60°；（Ⅱ）由+=3，整理得：a2+c2=3ac，∵cos B=，a2+c2=3ac，∴b2=a2+c2-2accos B=2ac，由正弦定理得：sin2B=2sin A sin C=，则sin A sin C=．【解析】（Ⅰ）已知等式左边利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后根据sin C不为0求出cos B的值，即可确定出B的度数；（Ⅱ）已知等式去分母整理后得到关系式，利用余弦定理列出关系式，把得出关系式及cos B的值代入，并利用正弦定理化简，即可求出sini A sin C的值．此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，正弦、余弦定理，熟练掌握定理及基本关系是解本题的关键．19.设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【答案】解：设事件A为“方程有实根”．当a＞0，b＞0时，方程有实根的充要条件为a≥b（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：（0，0）（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2）其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，∴事件A发生的概率为P==（2）由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}∴所求的概率是【解析】首先分析一元二次方程有实根的条件，得到a≥b（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件可以通过列举得到结果数，满足条件的事件在前面列举的基础上得到结果数，求得概率．（2）本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，根据概率等于面积之比，得到概率．本题考查古典概型及其概率公式，考查几何概型及其概率公式，本题把两种概率放在一个题目中进行对比，得到两种概率的共同之处和不同点．20.已知函数f（x）=2sin（x+）cosx．（Ⅰ）若x∈[0，]，求f（x）的取值范围；（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A为锐角，f（A）=，b=2，c=3，求cos（A-B）的值．【答案】解：（Ⅰ）===…．（4分）∵，，∴，，．∴，．…．（7分）（Ⅱ）由，得sin（2A+）=0，又A为锐角，故A=，又b=2，c=3，∴a2=4+9-2×2×3×cos=7，解得a=．…．（10分）由，得，又b＜a，从而B＜A，cos B=．∴…（14分）【解析】（Ⅰ）利用三角函数中的恒等变换应用可求得f（x）=sin（2x+）+，利用x∈[0，]，可求得2x+∈[，]，从而可求得f（x）的取值范围；（Ⅱ）依题意可求得sin（2A+）=0，A为锐角，可知A=，b=2，c=3，利用余弦定理可求得a=，继而可求得sin B及cos B的值，利用两角差的余弦可得cos（A-B）的值．本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的单调性与值域，考查正弦定理的应用，属于中档题．21.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a2a n=S2+S n对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求a1，a2的值；（Ⅱ）设a1＞0，数列{lg}的前n项和为T n，当n为何值时，T n最大？并求出T n的最大值．【答案】解：（Ⅰ）当n=1时，a2a1=S2+S1=2a1+a2①当n=2时，得②②-①得，a2（a2-a1）=a2③若a2=0，则由①知a1=0，若a2≠0，则a2-a1=1④①④联立可得，或，综上可得，a1=0，a2=0或，或，（Ⅱ）当a1＞0，由（Ⅰ）可得，当n≥2时，，∴∴（n≥2）∴=令由（Ⅰ）可知==∴{b n}是单调递减的等差数列，公差为-lg2∴b1＞b2＞…＞b7=＞当n≥8时，＜∴数列的前7项和最大，==7-【解析】（Ⅰ）由题意，n=2时，由已知可得，a2（a2-a1）=a2，分类讨论：由a2=0，及a2≠0，分别可求a1，a2（Ⅱ）由a1＞0，令，可知==，结合数列的单调性可求和的最大项本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及利用数列的单调性求解数列的和的最大项，还考查了一定的逻辑运算与推理的能力．22.已知数列{a n}满足a1=1，|a n+1-a n|=p n，n∈N*．（Ⅰ）若{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；（Ⅱ）若p=，且{a2n-1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式．【答案】解：（Ⅰ）∵数列{a n}是递增数列，∴a n+1-a n＞0，则|a n+1-a n|=p n化为：a n+1-a n=p n，分别令n=1，2可得，a2-a1=p，，即a2=1+p，，∵a1，2a2，3a3成等差数列，∴4a2=a1+3a3，即4（1+p）=1+3（p2+p+1），化简得3p2-p=0，解得或0，当p=0时，数列a n为常数数列，不符合数列{a n}是递增数列，∴；（2）由题意可得，|a n+1-a n|=，则|a2n-a2n-1|=，|a2n+2-a2n+1|=，∵数列{a2n-1}是递增数列，且{a2n}是递减数列，∴a2n+1-a2n-1＞0，且a2n+2-a2n＜0，则-（a2n+2-a2n）＞0，两不等式相加得a2n+1-a2n-1-（a2n+2-a2n）＞0，即a2n+1-a2n+2＞a2n-1-a2n，又∵|a2n-a2n-1|=＞|a2n+2-a2n+1|=，∴a2n-a2n-1＞0，即，同理可得：a2n+3-a2n+2＞a2n+1-a2n，即|a2n+3-a2n+2|＜|a2n+1-a2n|，则a2n+1-a2n=当数列{a n}的项数为偶数时，令n=2m（m∈N*），，，，…，，这2m-1个等式相加可得，==，则；当数列{a n}的项数为奇数时，令n=2m+1（m∈N*），，，…，，这2m个等式相加可得，…-…+ =-=，则，且当m=0时a1=1符合，故，综上得，为偶数为奇数．【解析】（Ⅰ）根据条件去掉式子的绝对值，分别令n =1，2代入求出a 2和a 3，再由等差中项的性质列出关于p 的方程求解，利用“{a n }是递增数列”对求出的p 的值取舍；（Ⅱ）根据数列的单调性和式子“|a n +1-a n |=p n”、不等式的可加性，求出和a 2n +1-a 2n =，再对数列{a n }的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n 项和公式，求出数列{a n }的奇数项、偶数项对应的通项公式，再用分段函数的形式表示出来．本题考查了等差数列的通项公式，等比数列前n 项和公式、数列的单调性，累加法求数列的通项公式，不等式的性质等，同时考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大．。

合肥一六八中学2015-2016学年第一学期期中考试高二地理试题（考试时间：90分钟满分：100分）一、单项选择题（共25小题，每一小题2分，总分50分）西湖龙井获得国家工商总局授予的“地理标志”证明商标。

“西湖龙井”地理标志证明商标保护生产地域面积包括了西湖风景名胜区和西湖区周边的168平方千米。

据此完成1～2题。

1．西湖龙井茶以“色绿、香郁、味甘、形美”闻名天下，享有“百茶之首”“绿茶皇后”之美誉。

这主要得益于()A．手工妙茶，经验丰富B．历史悠久，文化优势C．地理环境，独特形成D．知名品牌，产品形象2．对西湖龙井的地理标志保护生产地域面积为168平方千米产地的叙述，错误的是()A．西湖龙井茶的生产有一定明确的界线B．西湖龙井茶产地内部有一定的连续性C．西湖龙井茶的生产有一定优势、特色D．西湖龙井茶产地与其他茶叶区有差异性据英国《每日邮报》消息：最新卫星照片显示，北极在人类历史上首次成为一个岛屿。

结合下图，完成3～4题。

3．要监测北极冰川面积的变化，应运用的主要技术手段为()A．遥感技术B．全球定位系统C．地理信息系统D．数字地球4．要想动态显示北极冰川面积近30年的变化状况，并预测其变化趋势，需要应用的技术手段()A．遥感技术B．全球定位系统C．地理信息系统D．数字地球读图，完成5～7题。

5．根据图中信息判断，该盆地为()A．塔里木盆地B．准噶尔盆地C．柴达木盆地D．四川盆地6．图中甲山地北坡降水较多，其原因是()A．受来自太平洋的东南季风影响B．受来自大西洋的西风影响C．受来自印度洋的西南季风影响D．受来自北冰洋的西南风影响7．制约该盆地农业发展的最主要的自然因素是()A．光热条件B．土壤条件C．地形条件D．水源条件读“某地等高线图”,回答8～10题。

8.在图中①、②、③三地依次可见到()A.牧场、雪山、盐湖B.葡萄园、牧场、青稞C.葡萄园、牧场、油井D.坎儿井、草原、地热田9.图中③所在地区人口密度小,主要原因是()A.地形崎岖,交通不便B.地势高,气候严寒C.资源贫乏,人口承载力小D.深居内陆,气候干旱10.图中③所在地区农业发展的有利条件是()①太阳辐射强,昼夜温差大②受西南季风影响,降水丰富③邻近河流,有灌溉水源④地形平坦,土壤肥沃A.①②B.①③C.②④D.③④下图中a图阴影部分为全国农业和农村经济发展“十二五”规划中的甘肃新疆主产区，b图为该主产区的局部放大示意图。

高二数学试题（凌志班）（考试时间：120 分钟满分： 150 分）注意事项：1、 2、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

选择题答案请用 2B 铅笔正确地填涂在答题卡上相应地点，非选择题答案一定填写在答题卷上相应地点，不然不得分。

3、考试结束后，请将答题卡和答题卷一并交第Ⅰ卷一、选择题（共 60 题，每题 5 分。

每题仅有一个正确选项。

）1. 以下说法正确的选项是( )A. 有两个平面相互平行，其他各面都是平行四边形的多面体是棱柱B. 四棱锥的四个侧面都能够是直角三角形C. 有两个平面相互平行，其他各面都是梯形的多面体是棱台D. 棱台的各侧棱延伸后不必定交于一点2. 如图，矩形 O ′A ′B ′C ′是水平搁置的一个平面图形的直观图，此中 O ′A ′＝ 6 cm ，O ′C ′＝ 2 cm ，则原图形是( )A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 一般的平行四边形3. 已知圆锥的全面积是底面积的 3 倍，那么该圆锥的侧面睁开图扇形的圆心角为( )A ．120°B ．150°C ．180°D ．240°4. 已知直线 a 、 b 是异面直线，直线c 、d 分别与 a 、b 都订交，则直线 c 、d 的地点关系A. 可能是平行直线B. 必定是异面直线C. 可能是订交直线D.平行、订交、异面直线都有可能5．在正四周体的6 条棱中随机抽取 2 条，则其 2 条棱相互垂直的概率为 （）A ．3B．2C．1D．143536. 已知相互垂直的平面，交于直线l . 若直线 ， 知足 ∥α ， n ⊥β，则（）m nmA. m ∥ lB. m ∥ nC. n ⊥ lD. m ⊥ n7．直线 x cos y sina0 与 x siny cosb 0 的地点关系是（）A ．平行B ．垂直C ．斜交 D．与 a, b,的值相关8．设△ ABC 的一个极点是 A(3 ，－ 1) ，∠ B ，∠ C 的均分线方程分别为x ＝ 0，y ＝ x ，则直线 BC的方程为 ()1 5A ．y ＝ 2x ＋5B ． y ＝ 2x ＋ 3C ．y ＝ 3x ＋5D ． y ＝－ 2x ＋ 29.,是两个不重合的平面，在以下条件中，可判断平面,平行的是 ( )A.m, n 是平面内两条直线，且 m //, n //B.内不共线的三点到的距离相等C.,都垂直于平面D. m, n是两条异面直线，m, n，且 m // , n // 10．已知圆台上、下底面面积分别是π、 4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是 ( )A.2 3πB． 2 3π C.7 3πD.73π36311. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A．64＋32π B ． 64＋64π C ．256＋64π D ． 256＋128π12.在单位正方体 ABCD-A1B1C1D1的面对角线 A1B上存在一点 P使得 AP+D1P获得最小值 , 则此最小值是（）2+6C.2+2D.2+ 2A.2B.2第Ⅱ卷二、填空题（共 20 分，每题 5 分）13.直线 l ： ax＋(a ＋ 1)y ＋2＝ 0 的倾斜角大于45°，则 a 的取值范围是 ________________.14.四棱锥 S ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2 ，点S, A, B, C , D都在同一个球面上，则该球的体积为 _________．15.如图，已知正三棱柱ABCAB C 的底面边长为 2 cm，高为 5 cm，则一质点自点 A 出发，沿111着三棱柱的侧面绕行两周祥达点A1的最短路线的长为 ________cm.16.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平川降雨量是________寸．( 注：① 平川降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；② 一尺等于十寸 )三、解答题（共70 分，每题必需要有必需的解答过程）17（ 10 分）. 已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为30 cm 和 20 cm ，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高.18（12分）.如图，在四棱锥P ABCD中，平面PAD⊥平面 ABCD，AB AD , BAD 600， E, F 分别是 AP, AD 的中点．求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD .（分）如图，在三棱锥P ABC 中，平面 PAC平面 ABC ， PAC BAC 60o，19 12.AC4， AP3，AB 2 .（1）求三棱锥P ABC的体积；（2）求点 C 到平面PAB距离 .20( 此题满分12 分 )已知点 P到两个定点M(－1，0)， N(1，0)距离的比为2，点N到直线PM的距离为 1. 求直线PN的方程．21（ 12 分） . 如图 1，在直角梯形ABCD中，AD // BC, BAD, AB BC 1AD a ，22E 是AD的中点， O 是 OC 与 BE 的交点，将ABE 沿BE折起到图2 中A1 BE 的地点，得到四棱锥 A1 BCDE .(I)证明： CD 平面 AOC1；(II)当平面 A1BE平面 BCDE 时，四棱锥 A1BCDE 的体积为 36 2 ，求 a 的值.22（ 12 分）．如下图，在四棱锥P﹣ ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠ DAB=60°，PA=PD，M 为 CD的中点， BD⊥ PM．（ 1）求证：平面PAD⊥平面 ABCD；（ 2）若∠ APD=90°，四棱锥P﹣ ABCD的体积为，求三棱锥A﹣ PBM的高．合肥一六八中学 2018— 2019 学年第一学期期中考试高二数学试题（凌志班）命题人：汪克亮 审题人：贾秋雨（考试时间： 120 分钟满分： 150 分）注意事项：4、5、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

高二理科数学试题(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．经过圆上任意三个不同的点可以作出_____个平面.( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或无数个2.已知光线从点A(-3,4)射出,到x 轴上的点B 后,被x 轴反射,这时反射光线恰好过点C(1,6),则BC 所在直线的方程为( ) A.5x-2y+7=0 B.2x-5y+7=0 C.5x+2y-7=0 D.2x+5y-7=03．如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M,N 分别是BB 1,BC 的中点, 则图中阴影部分在平面ADD 1A 1上的投影为( )4. 设长方体的三条棱长分别为a 、b 、c ，若长方体所有棱长度之和为24，一条对角线长度为5，体积为2，则111a b c++等于( ). A . 411 B . 114 C .112 D .2115．设a 、b 是不同的两条直线，α、β是不同的两个平面，分析下列命题，其中正确的是（ ）．A ．a α⊥，b β⊂ ，a b αβ⊥⇒⊥B ．α∥β，a α⊥，b ∥βa b ⇒⊥C ．αβ⊥，a α⊥ ，b ∥a b β⇒⊥D ．αβ⊥，a αβ=I ，a b b β⊥⇒⊥ 6．连结Rt ABC ∆的直角顶点C 与斜边AB 的两个三等分点,DE ，所得线段,CD CE 的长分别为sin α和cos α(0)2πα<<，则AB 长为（ ）． A ．43 B ．5 C ．5D ．5 7.已知四棱锥底面四边形中顺次三个内角的大小之比为2:3:4，此棱锥的侧棱与底面所成的角相等，则底面四边形的最小角是（ ）．A ．18011oB ．60oC ．18013o D ．无法确定8.《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种.在《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知“堑堵”ABC-A 1B 1C 1的所有顶点都在球O 的球面上,且AB=AC=1.若球O 的表面积为3π,则这个三棱柱的体积是( ) A.61 B.31 C.21 D.1 9.球面上有三点A,B,C 组成这个球的一个截面的内接三角形的三个顶点,其中AB=18,BC=24,AC=30,球心到这个截面的距离为球半径的一半,则该球的表面积为( ) A.1200π B.1400π C.1600π D.1800π10.两条异面直线a ，b 所成的角3π，直线a ⊥c ，则直线b 与c 所成的角的范围为( )．A.],[36ππB.],[23ππC.],[26ππD.],[326ππ11.如图,三棱锥P-ABC 的底面在平面α内,且AC ⊥PC,平面PAC ⊥平面PBC,点P,A,B 是定点,则动点C 的轨迹是( )A.一条线段B.一条直线C.一个圆D.一个圆,但要去掉两个点 12.已知矩形ABCD,AB=1,BC△ABD 沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中( ) A.存在某个位置,使得直线AC 与直线BD 垂直 B.存在某个位置,使得直线AD 与直线BC 垂直 C.存在某个位置,使得直线AB 与直线CD 垂直D.对任意位置,三对直线“AC 与BD ”,“AB 与CD ”,“AD 与BC ”均不垂直 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上) 13.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有 个. 14.若动点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)分别在直线1l :2x+y-7=0和2l :2x+y-5=0上移动,则AB 的中点到原点的距离的最小值为 .15.如图,正方体ABCDA'B'C'D'有12条棱，选取其中6条棱，每条棱上取一点，使这6个点正好成为正八面体的6个顶点.(注：正八面体共有6个顶点.）比如就从点A 出发，来进行构建。

合肥一六八中学2015-2016学年第一学期期中考试高二理科数学试题 一、选择题（12*5=60） 1、下列说法不正确的是（） A.圆柱的侧面展开图是一个矩形 B.圆锥中过圆锥轴的截面是一个等腰三角形 C.直角三角形绕它的一边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个圆锥 D.用一个平面截一个圆柱，所得截面可能是矩形 2、已知直线与垂直，则是（） A．1或3 B．1或5 C．1或4 D．1或2 3、对于不重合的两个平面，给定下列条件： ①存在直线；②存在平面； ③存在平面，使得且；④内有不共线的三点到的距离相等； 其中，可以判定平行的条件有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4、任意连接长方体四个顶点构成的四面体，其最多可以有几个面是直角三角形（）A、一个B、两个C、三个D、四个 5、某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是B．C．D． ,则直线必不经过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 7、已知三棱锥中分别是的中点，且直线所成的角为，则线段的长度为（） A．1 B. C. 1或 D.1或 8、平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题： ①⊥⊥；②⊥⊥ ③与相交与相交或重合；④与平行与平行或重合； 其中不正确的命题个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1 9、直线的倾斜角的取值范围是（） A． B． C． D. 10、已知三棱锥S-ABC中，SA，SB，SC两两互相垂直，底面ABC上一点P到三个面SAB，SAC，SBC的距离分别为，1，，则PS的长度为（） A．3 B． C． D．9 11、如图，在正方体中，点为线段的中点.设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（） A． B． C． D． 12、锐二面角的棱上一点A，射线ABα，且与棱成45°角，与β成30°角，则二面角的大小是（）A、30°B、45°C、60°D、90° 二、填空题（4*5=20） 13、一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个边长为2的等边三角形，则这个平面图形的面积为。

高二上学期入学考试 化学试卷 说明 1．本试卷满分1分，考试时间分钟； 2．请将答案填写在答题相应的答题处，否则不得分。

可能用到的相对原子质量：H 1 C 1 O 16 Na 23 Mg 24 S 32 Cl 35.5 K 39 选择题（共54分） 一、单项选择题：本题包括小题，每小题分，共分。

每题只有一个选项符合题意。

A．该粒子不显电性 B．该粒子质量比氢原子大 C．该粒子质量数为4 D．在周期表中与氢元素占同一位置 2、石墨烯是由碳原子构成的单层片状结构的新材料（结构示意图如下），可由石墨剥离而成，具有极好的应用前景。

下列说法正确的是 A．石墨烯与石墨互为同位素 B．0.12g石墨烯中含有6.02×1022个碳原子 C．石墨烯是一种有机化合物 D．石墨烯中的碳原子间以共价键结合 3、下列有关物质的性质、应用或制取的说法正确的是 A．自来水厂可用明矾对水进行消毒杀菌 B．工业上将氯气通入澄清石灰水中，制取漂白粉 C．除去氯化钙溶液中少量盐酸，加入足量碳酸钙粉末，充分搅拌再过滤 D．常温下浓硝酸与铝不反应，可用铝制容器存放浓硝酸 下列过程中，共价键被破坏的是 A．碘升华B．溴蒸气被活性炭吸附C．葡萄糖溶于水D．HCl气体溶于水 、下列各组顺序的排列错误的是 A．半径：F—＞Na＋＞Mg2＋＞Al3＋ B．沸点：H2O< H2S H2SO4>H3PO4 D．熔点：SiO2＞NaCl＞CO2 、下列离子方程式正确的是 A．向盐酸中滴加氨水：H++ OH—=H2O B．Na2SiO3溶液中通入过量的CO2：SiO32－+CO2+H2O＝H2SiO3↓+CO32－ C．FeBr2溶液中通入足量的Cl2：2Fe2++4Br－+3Cl2＝2Fe3++2Br2+6Cl－ D．Na2SO3溶液中加入稀硝酸：SO32－+2H+＝SO2↑+H2O 、在一定条件下，RO3n-与R2-发生如下反应：RO3n-+2R2-+6H+=3R+3H2O 下列关于元素R的叙述正确的是 A．R原子最外层有4个电子 B．RO3n-中的R只能被还原 C．HnRO3为强酸 D．R的单质既具有氧化性又具有还原性 、某物质化学式为NH5，常温下是固态，能与水剧烈反应放出两种气体。

合肥一六八中学2014-2015学年第一学期高二年级期中考试数学(理科)试卷命题人：汪克亮审题人：黄小娟时长：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题卷的表格里。

）1. 下列命题正确的是()A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行D．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行答案：D2.设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是( )A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则答案：C3.已知直线：平行于直线：，且在y轴上的截距为13，则的值分别为( )A．4,3 B．－4,3 C．－4，－3 D．4，－3答案：C4. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()A．28＋65B．30＋6 5C．56＋12 5 D．60＋125答案：B5.经过点P(1,4)的直线的两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为() A.x＋2y－6＝0 B.2x＋y－6＝0C.x－2y＋7＝0D.x－2y－7＝0AEB CF A'B'C'V V 12第12题答案 B6. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，则该球的表面积为( )A. B. C. D. 答案：B 7.已知，，则22222222)1()1()1()1(y x y x y x y x -+-++-+-+++的最小值为( )A. B. C. D.8答案：A8．如图，在三棱柱中，若、分别 为、的中点，平面将三棱柱分成体积 为、的两部分，那么为（ ） A ．3：2 B ．7：5 C ．8：5 D ．9：5答案：B9.设，过定点A 的动直线和过定点B 的动直线交于点，则的取值范围是( ) A ． B ． C ． D ． 答案：B10．设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a 、b 是关于x 的方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实数根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为( )A.12，24B.2，22 C.2，12D.22，12答案：D二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

合肥一六八中学第一学期期中考试高二数学试题（宏志班）一、选择题（共60题，每题5分。

每题仅有一个正确选项。

）1.下列说法正确的是 ( )A.有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C.有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点2.如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，则原图形是( )A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四边形 3.已知直线a b 、是异面直线，直线c d 、分别与a b 、都相交，则直线c d 、的位置关系A.可能是平行直线B.一定是异面直线C.可能是相交直线D.平行、相交、异面直线都有可能4．在正四面体的6条棱中随机抽取2条，则其2条棱互相垂直的概率为 （ ）A ．34B ．23C ．15D ．135.已知互相垂直的平面错误！未找到引用源。

交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥错误！未找到引用源。

，则（ ）A.m ∥lB.m ∥nC.n ⊥lD.m ⊥n6．直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．与,,a b θ的值有关7．设△ABC 的一个顶点是A(3，－1)，∠B ，∠C 的平分线方程分别为x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程为( )A ．y ＝2x ＋5B ．y ＝2x ＋3C ．y ＝3x ＋5D ．y ＝－12x ＋528.βα,是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面βα,平行的是 ( )A.n m ,是平面α内两条直线，且ββ//,//n mB.α内不共线的三点到β的距离相等C.βα,都垂直于平面γD.n m ,是两条异面直线，βα⊂⊂n m ,，且αβ//,//n m 9.某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）（）A、错误！未找到引用源。

合肥一六八中学2015—2016学年第一学期期中考试高二数学(文科)试题（考试时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

2.选择题和非选择题答案必须填写在答题卷上相应位置，否则不得分。

3.考试结束后，请将答题卡和答题卷一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题（共60题，每题5分。

每题仅有一个正确选项）.1.设02x π＜＜，则“2sin 1x x ＜”是“sin 1x x ＜”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 1.B2. 如果命题“曲线C 上的点的坐标都是方程(,)0f x y =的解”是正确的，则下列命题中正确的是（ ）A.曲线C 是方程(,)0f x y =的曲线；B.方程(,)0f x y =的每一组解对应的点都在曲线C 上；C.不满足方程(,)0f x y =的点(,)x y 不在曲线C 上；D.方程(,)0f x y =是曲线C 的方程.2【答案】C3. 若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21，则双曲线12222=-by a x 的渐近线方程为（ ） A ．x y 23±= B ．x y 3±= C ．x y 21±= D ．x y ±= 3.【解析】椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，可得2214c a=，可得22214a b a -=，解得b a =，∴双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为：y x =，故选A ．4. 已知命题:p x R ∃∈,使sin x = 命题:q x R ∀∈,都有210.x x ++> 给出下列结论：①命题“q p ∧”是真命题 ；②命题“q p ⌝∧”是假命题；③命题“q p ∨⌝”是真命题 ；④命题“q p ⌝∨⌝”是假命题 .其中正确的是（ ） A.①②③ B.③④ C.②④ D.②③ 4D【解析】由sin 1x =>，知命题p 是假命题，由22131()024x x x ++=++>，知命题q 是真命题，可判断②、③正确.5. 以双曲线2214x y -=的中心为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程是（ ）A ．24y x = B．2y = C．2y = D．2y =5【解析】双曲线2214x y -=的右焦点为F，2p=2p =，则所求抛物线的方程为2y =；故选B ．6. 在四面体ABCD 中，AB AD ⊥，1AB AD BC CD ====，且ABD BCD ⊥平面平面，M 为AB 中点，则CM 与平面ABD 所成角的正弦值为（ ） ABC6【解析】如图所示，取BD 中点O ，连接CO 、MO ，由已知条件1==CD BC ，所以CO BD ⊥，由平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面BCD =BD ，所以⊥CO 平面ABD ，则CMO ∠即为直线CM 与平面ABD 所成的角，由AD AB ⊥，所以2=BD ，则得到：CD BC ⊥，所以2221==BD CO ，2121==AD MO ，所以在COM Rt ∆中，tan CO CMO MO∠==,所以sin CMO ∠=OM DC BA7. 若双曲线22221x y a b-=)0(>>b a 的渐近线和圆08622=+-+x y x 相切，则该双曲线的离心率等于（ ）A B ．2 C ．3 D7【解析】根据圆方程，得到圆心坐标03C （，），圆22680x y y +-+=与渐近线相切，说明圆C 到渐近线的距离等于半径1，再根据双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式，算出c=3a ，即可得出该双曲线的离心率．圆22680x y y +-+=可化为2231y x -+=（）∴圆心坐标03C （，），∵双曲线22221x y a b -=的渐近线为0ay bx ±=，圆22680x y y +-+=与渐近线相切，∴C 到渐近线的距离为1,3,3c a e =∴=∴=，8. 过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 作倾斜角为60的直线l ，若直线l 与抛物线在第一象限的交点为A 并且点A 也在双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线上，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 8【解析】过抛物线：22(0)y px p =>的焦点02pF ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，且倾斜角为60︒的直线l 的方程为2p y x ⎫=-⎪⎭，联立直线方程与抛物线方程可得直线l 与抛物线在第一象限的交点为A 32p ⎛⎫⎪⎝⎭， 点A 也在双曲线：22221(00)x y a b a b -=>>，的一条渐近线上，应在by x a =上，则32b p a =⨯，则有2243b b a a =⇒=，222222247133b c a e e e a a -==-=⇒=⇒=，故选A ．9. 已知如图所示的三棱锥ABC D -的四个顶点均在球O 的球面上，ABC ∆和DBC ∆所在的平面互相垂直，3=AB ，3=AC ，32===BD CD BC ，则球O 的表面积为（ ）A ．π4B ．π12C ．π16D ．π369【解析】如图所示，∵222AB AC BC +=，∴CAB ∠为直角，即过△ABC 的小圆面的圆心为BC 的中点O '，ABC △和DBC △所在的平面互相垂直，则圆心在过DBC △的圆面上，即DBC △的外接圆为球的大圆，由等边三角形的重心和外心重合易得球半径为2R =，球的表面积为24π16πS R ==，故选C ．10. 某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形,侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（ ）A ．B ．4C ．D ．【答案】C【解析】由三视图知该几何体为棱锥S ABD -，如图2，其中SC ⊥平面ABCD ．四面体S ABD -的四个面中面SBD 的面积最大，三角形SBD是边长为8=，故选C ．11. （文科）若曲线1,11,11x e x y x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩，与直线1y kx =+有两个不同的交点，则实数kB ACD的取值范围是( )A ．(33---+B ．(3(0,)-++∞C ．(,3(0,)-∞--+∞UD ．()()0+∞，【答案】B.11【解析】根据题意，将()f x 的图象画出，从而可知当直线1y kx =+与曲线11y x =-相切时，联立方程，消去y 可得，2211(1)20(1)8031kx kx k x k k k x +=⇒+--=⇒∆=-+=⇒=-±-，又∵切于第一象限，∴3k =-+k 的取值范围是(3(0,)-++∞.11.（理科）已知椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若1F ，2F ，P 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）A ．95 B ．3 C ．9411【解析】可以证明，焦点三角形中，当点P 在椭圆短轴端点时，21PF F ∠最大．在该椭圆中，可计算最大时仍为锐角，即直角三角形的顶点只可能是焦点，所以点P 到x 轴的距离为点P 的纵坐标y 的绝对值y ．将)(c c x -=或代入椭圆方程得，49±=y ,所以49=y ．故选D ． 12. 如图，已知直线a ∥平面α，在平面α内有一动点P ，点A 是定直线a 上定点，且AP 与a 所成角为θ（θ为锐角），点A 到平面α距离为d ，则动点P 的轨迹方程为（ ）．2222tan x y d θ+=．2222tan x y dθ-=．22()tan d y d x θ=-．22()tan d y d x θ=--12【答案】B【解析】解决本题的关键是正确理解题意并正确的表示出tan θ，对于tan θ的表示将影响着整个题目的解决，至于如何想到表示tan θ，可以考虑选项里面的暗示，解题时需要先设动点坐标，然后表示tan θ找到关系.设(,)P x y，则tan θ=2222tan x y d θ-=．二、填空题（共20分，每题5分） 13. 在ABC ∆中，“>6A π”是“1sin >2A ”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一） 13【答案】必要不充分14. 直线y=x+m 与圆x 2+y 2=4交于不同的两点M 、N ，且，其中O 为坐标原点，则实数m 的取值范围是 . 14. 【答案】试题分析：MN 的中点为A ，则2=+，利用||≥|+|，可得||≥2||，从而可得||≤1，利用点到直线的距离公式，可得≤1，即可求出实数m 的取值范围．试题解析：解：设MN 的中点为A ，则OA⊥MN，并且2=+，∵||≥|+|，∴||≥2||，即为2≥2||，解得||≤1，∴O 到直线MN 的距离≤1，解得﹣≤m ．故答案为：．15. 在平面直角坐标系中，已知点A 在椭圆221259x y +=上，()1,AP OA R λλ=-∈，且72OA OP ⋅=，则OP 在x 轴上的投影线段长的最大值是 .【答案】15【解析】因为点A 在椭圆221259x y +=上，所以可设(5cos ,3sin )A θθ，(1)AP OA λ=-，所以(5c o s ,O P O A λλθλθ==,22225cos 9sin 16cos 972OA OP λθλθλθλ⋅=+=+=,所以有27216cos 924|cos |λθλλθ=+≥=，即|cos |3λθ≤，又向量OP 在x 轴上投影为向量OP 的横坐标，所以OP 在x 轴上的投影线段长为5|cos |λθ，其最大值为5315⨯=16.（文科）如图所示，正方体''''ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱'AA ，'CC 的中点，过直线EF 的平面分别与棱'BB 、'DD 分别交于,M N 两点，设BM x =，[0,1]x ∈，给出以下四个结论：①平面MENF ⊥平面BDD B ''；②直线AC ∥平面MENF 始终成立； ③四边形MENF 周长()L f x =，[0,1]x ∈是单调函数；④四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常数；以上结论正确的是___________． 16【答案】①②④【解析】①因为',EF BB EF BD ⊥⊥，所以''EF BDD B ⊥平面，所以平面MENF ⊥平面BDD B ''成立；②因为//AC EF ，所以直线AC ∥平面MENF 始终成立；③因为()MF f x ==，所以()f x 在[]01，上不是单调函数；④'''1111134346C MENF F MC E F C NE V V V --=+=⋅+⋅=，故()h x 为常数． 16．（理科）已知正四棱锥V ABCD -可绕着AB 任意旋转，//平面CD α．若2AB =，VA =,则正四棱锥V ABCD -在面α内的投影面积的取值范围是 ．16.【解析】由题意可得正四棱锥的侧面与底面所成角为3π，侧面上的高为2，设正四棱锥的底面与平面α所成角为θ，当06πθ≤≤时投影为矩形，其面积为2×2cos θ=4cosθ4⎡⎤∈⎣⎦,当26ππθ≥>时，投影为一个矩形和一个三角形，此时VAB 与平面α所成角为23πθ-，正四棱锥在平面α上的投影面积为4cos θ+1222cos 3cos 233ππθθθθ⎛⎫⎛⎫⨯⨯-=+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当232ππθ≥≥时投影面积为12222cos 2cos 2233ππθθ⎛⎫⎛⎫⎤⨯⨯-=-∈ ⎪ ⎪⎦⎝⎭⎝⎭，综上，正四棱锥V ABCD -在面α内的投影面积的取值范围是4⎤⎦.三、解答题（共70分，每题需有必要的解答过程）17.(本题满分10分) 设命题p ：“若0a ≥，则20x x a +-=有实根”．（1）试写出命题p 的逆否命题；（2）判断命题p 的逆否命题的真假，并写出判断过程．解：（1）掌握四种命题的构成关系就不难写出p 的逆否命题；原结论否定作条件，原条件否定作结论；（2）从条件出发能推出结论，则为真命题，否则为假命题，本题从条件能推出结论，故为真命题．（1）p 的逆否命题：若20x x a +-=无实根，则0a <． （2）∵20x x a +-=无实根，∴140a ∆=+<∴104a <-< ∴“若20x x a +-=无实根，则0a <”为真命题． 18. (本题满分10分) 已知四边形ABCD 满足AD ∥BC ，BA=AD=DC=21BC=a ，E 是BC 的中点，将△BAE 沿着AE 翻折成△B 1AE ，使面B 1AE ⊥面AECD ，F ，G 分别为B 1D ，AE 的中点． （Ⅰ）求三棱锥E ﹣ACB 1的体积； （Ⅱ）（文科）证明：B 1E ∥平面ACF ； （Ⅲ）（理科）证明：平面B 1GD ⊥平面B 1DC ．18.解：（Ⅰ）由题意知，AD ∥EC 且AD=EC ，所以四边形ADCE 为平行四边形， ∴AE=DC=a ，∴△ABE 为等边三角形， ∴∠AEC=120°， ∴连结B 1G ，则B 1G ⊥AE ，又平面B 1AE ⊥平面AECD 交线AE ， ∴B 1G ⊥平面AECD 且∴（Ⅱ）（文科）证明：连接ED 交AC 于O ，连接OF ， ∵AEDC 为菱形，且F 为B 1D 的中点， ∴FO ∥B 1E ，又B 1E ⊄面ACF ，FO ⊂平面ACF ， ∴B 1E ∥平面ACF（Ⅲ）(理科)证明：连结GD ，则DG ⊥AE ，又B 1G ⊥AE ，B 1G ∩GD=G ， ∴AE ⊥平面B 1GD ．又AE ∥DC ，∴DC ⊥平面B 1GD ，又DC ⊂平面B 1DC ∴平面B 1GD ⊥平面B 1DC ． 19. 已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝2，点P 坐标为（2，－1），过点P 作圆C 的切线，切点为A 、B ．（1）求直线PA ，PB 的方程； （2）求切线长PA 的值； （3）求直线AB 的方程．【答案】（1）7x―y―15＝0，或x ＋y －1＝0；（2）；（3）x －3y ＋3＝0. 试题解析：（1）易知切线斜率存在，设过P 点圆的切线方程为y ＋1＝k （x －2）， 即kx―y―2k―1＝0.因为圆心（1，2）到直线的距离为2，13 2＋－－k k ＝2，解得k ＝7，或k ＝－1故所求的切线方程为7x―y―15＝0，或x ＋y －1＝0（2）在Rt △PCA 中，因为|PC|＝222 － 1 －＋ 1 － 2)()(＝10，|CA|＝2， 所以|PA|2＝|PC|2－|CA|2＝8.所以过点P 的圆的切线长为22 （3）容易求出k PC ＝－3，所以k AB ＝31如图，由CA 2＝CD·PC，可求出CD ＝PC CA 2＝102设直线AB 的方程为y ＝31x ＋b ，即x －3y ＋3b ＝0由102＝23 ＋ 1 3 ＋ 6 － 1 b 解得b ＝1或b ＝37（舍）所以直线AB 的方程为x －3y ＋3＝0.19(本题满分12分) 如图，直三棱柱111ABC A B C 中，D 是AB 的中点．（1）证明：1//BC 平面1ACD ；（2）设12AA AC CB AB ====，1BC 与D A 1所成角的大小． 19试题解析：（1）证明：连结1AC ，交1AC 于点O ，连结OD ，因为D 是AB 的中点，所以1//BC OD ，因为1BC ⊄平面1ACD ，OD ⊂平面1ACD ，所以1//BC 平面1ACD ． （2）解：结合（1）易知1A DO ∠即为异面直线1BC 与D A 1所成角， 因为AC BC D =，为AB 的中点，所以CD AB ⊥，又因为该三棱柱是直三棱柱，所以CD ⊥平面11ABB A ，即CD ⊥平面1A DE ，1111122AA AC CB AB A D DO A O A C ====∴====，11cos 6A DO A DO π∴∠=∴∠=． 20.(本题满分12分) 在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为直角梯形,AD ∥BC ，︒=∠90BAD ，PA ⊥底面ABCD ，且22====BC AB AD PA ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点．（1）求证：PB ADMN ⊥平面； （2）（文科）求BD 与平面ADMN 所成的角； （3）（理科）点E 在线段PA 上，试确定点E 的位置，使二面角E CD A --为︒45． 试题解析：（1）∵M 、N 分别为PC 、PB 的中点，AD ∥BC ∴AD ∥MN ，即,,,A D M N 四点共面∵N 是PB 的中点，PA=AB,∴AN ⊥PB ．∵AD ⊥面PAB,∴AD ⊥PB ． 又∵AD AN N ⋂= ∴PB ⊥平面ADMN ． （2）连结DN ，∵PB ⊥平面ADMN ，∴∠BDN 是BD 与平面ADMN 所成的角． 在Rt BDN ∆中,1sin ,2BN BDN BD ∠== ∴BD 与平面ADMN 所成的角是6π．（3）作AF CD ⊥于点F ，连结EF ∵PA ⊥底面ABCD ∴CD PA ⊥ ∴CD PAF ⊥平面∴CD EF ⊥ ∴AFE ∠就是二面角A CD E --的平面角若45AFE ∠=︒，则AE AF =由AF CD AB AD ⋅=⋅可解得AF =∴当AE =时，二面角A CD E --的平面角为45°21(本题满分13分) 抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．（1）若2AF FB =，求直线AB 的斜率；（2）设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．试题解析：（1）依题意知F （1,0），设直线AB 的方程为1x my =+．将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得2440y my --=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以124y y m +=，124y y =-．①因为2AF FB =，所以122y y =-．②联立①和②，消去12,y y，得m =． 所以直线AB的斜率是±．（2）由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2AOB S ∆．因为12122||||2AOB S OF y y ∆=⨯⋅⋅-==， 所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4.22．(文科，本题满分13分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，与x 轴平行的直线与椭圆E 交于B 、C 两点，过B 、C 两点且分别与直线AB 、AC 垂直的直线相交于点D ．已知椭圆E的离心率为（1）求椭圆E 的标准方程；（2）证明点D 在一条定直线上运动，并求出该直线的方程； （3）求BCD ∆面积的最大值．【答案】（1）22194x y +=；（2）详见解析，3x =；（3）274； 试题分析：（1）利用离心率和焦准距建立,,a b c 的关系式求解；（2）顺着题意，设点,B C的坐标，表示出,BD CD 的方程，利用方程组得到D 点坐标满足的关系式，若关系式为二元一次方程，则该方程表示直线；（3）用（2）中所设坐标作为目标函数的变量，可以发现容易消去横坐标，从而得到一个关于0y 的目标式，利用基本不等式或二次函数可以求得最大值；试题解析：（1）由题意得c a =2a c c -=，解得3,a c ==，所以4b ==，所以椭圆E 的标准方程为22194x y +=．（2）设0000(,),(,)B x y C x y -，显然直线,,,AB AC BD CD 的斜率都存在，设为1234,,,k k k k ，则001200,33y y k k x x ==+-+，00340033,x x k k y y +-=-=， 所以直线,BD CD 的方程为：0000000033(),()x x y x x y y x x y y y +-=--+=++， 消去y 得0000000033()()x x x x y x x y y y +---+=++，化简得3x =， 故点D 在定直线3x =上运动．（3）由（2）得点D 的纵坐标为2000000039(3)D x x y x y y y y --=++=+，又2200194x y +=，所以220994y x -=-，则200000009354(3)4D y x y x y y y y y --=++=+=-，所以点D 到直线BC 的距离h 为00005944D y y y y y -=--=， 将0y y =代入22194x y +=得x =±，所以BCD ∆面积0119224ABCS BC h y ∆=⋅=⨯22000112727442224y y y -+=⋅≤⋅=，当且仅当2200144y y -=，即0y =时等号成立，故0y =BCD ∆面积的最大值为274． 22．（理科，本题满分13分）(本题满分13分)如图，已知椭圆C :22221x y a b+=（0a b >>）经过点31,2⎛⎫P ⎪⎝⎭，离心率12e =，直线l 的方程为4x =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）AB 是经过椭圆右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，问：是否存在常数λ，使得123k k k λ+=？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）存在常数2λ=符合题意． 试题分析：（1）根据点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，可将其代入椭圆方程，又12c e a ==且222a b c =+解方程组可得,,a b c 的值．（2）设直线AB 的方程为(1)y k x =-，与椭圆方程联立消去y 可得关于x 的一元二次方程，从而可得两根之和，两根之积．根据斜率公式可用k 表示出123,,k k k ．从而可得λ的值．试题解析：解：（Ⅰ）由点312P ⎛⎫⎪⎝⎭，在椭圆上得，221914a b +=，①又12e =，所以12c a =，② 由①②得222143c a b ===，，，故椭圆C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）假设存在常数λ，使得123k k k λ+=， 由题意可设AB k 的斜率为， 则直线AB 的方程为(1)y k x =-，③代入椭圆方程22143x y +=， 并整理得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-=，设1122()()A x y B x y ，，，，则有2212122284(3)4343k k x x x x k k -+==++，，④ 在方程③中，令4x =得，(43)M k ，，从而121212332211y y k k x x --==--，，33312412k k k -==--． 又因为A F B ，，共线，则有AF BF k k k ==， 即有121211y yk x x ==--， 所以12k k +=1212332211y y x x --+=--12121231111211y y x x x x ⎛⎫+-+ ⎪----⎝⎭=322k -1212122()1x x x x x x +--++，⑤将④代入⑤得12k k +=322k -2222228243214(3)814343k k k k k k k -+=---+++，又312k k =-， 所以12k k +=32k ，故存在常数2λ=符合题意．。

2015-2016学年安徽省合肥八中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本题包括12小题，每小题5分．每小题只有一个选项符合题意．）1．（5分）直线x+y﹣1=0的倾斜角为（）A．B．C． D．2．（5分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=1 C．（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=23．（5分）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．2πD．4π4．（5分）直线y=kx+1与圆x2+y2﹣2y=0的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．取决于k的值5．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是（）A．B．1 C．D．6．（5分）已知圆x2+y2﹣2x+my=0上任意一点M关于直线x+y=0的对称点N也在圆上，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．27．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列几种说法不正确的是（）A．A1C1⊥BDB．D1C1∥ABC．二面角A1﹣BC﹣D的平面角为45°D．AC1与平面ABCD所成的角为45°8．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中与AD1成60°角的面对角线的条数是（）A．4条 B．6条 C．8条 D．10条9．（5分）已知两个平面垂直，下列命题中：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．410．（5分）在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB=2CD，M为AE的中点，设E﹣ABCD的体积为V，那么三棱锥M﹣EBC的体积为（）A．B．C．D．11．（5分）点A、B、C、D在同一个球的球面上，，AC=2，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为（）A．8πB．C．D．12．（5分）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（）A．2 B．1 C．D．二、填空题（每小题4分，满分16分．）13．（4分）设圆x2+y2﹣4x﹣5=0的弦AB的中点为P（3，1），则直线AB的方程是14．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P﹣ABC的主视图与左视图的面积的比值为．15．（4分）若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r=．16．（4分）底面是正三角形且侧棱和底面垂直的三棱柱ABC﹣A 1B1C1的侧棱长为3，底面边长为1，沿侧面从A点经过棱BB1上的M点再经过棱CC1上的N点到A1点．当所经路径AM﹣MN﹣NA1最短时，AM与A1N所成的角的余弦值为．三、解答题（满分36分．）17．（12分）如图，矩形OABC的顶点O为原点，AB边所在直线的方程为3x+4y ﹣25=0，顶点B的纵坐标为10．（Ⅰ）求OA，OC边所在直线的方程；（Ⅱ）求矩形OABC的面积．18．（12分）如图，圆柱OO1的底面圆半径为2，ABCD为经过圆柱轴OO1的截面，点P在上且，Q为PD上任意一点．（Ⅰ）求证：AQ⊥PB；（Ⅱ）若线段PD的长为，求圆柱OO1的体积．19．（12分）已知圆C与y轴相切，圆心在x轴下方并且与x轴交于A（1，0），B（9，0）两点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过点A（1，0）且被圆C所截弦长为6，求直线l的方程．2015-2016学年安徽省合肥八中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题包括12小题，每小题5分．每小题只有一个选项符合题意．）1．（5分）直线x+y﹣1=0的倾斜角为（）A．B．C． D．【解答】解：设直线x+y﹣1=0的倾斜角为θ．由直线x+y﹣1=0化为y=﹣x+1，∴tanθ=﹣，∵θ∈[0，π），∴θ=．故选：C．2．（5分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=1 C．（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2【解答】解：由题意知圆半径r=，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．故选：D．3．（5分）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．2πD．4π【解答】解：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．V=2×S•h=2×πR2•h=2×π×（）2×=．故选：B．4．（5分）直线y=kx+1与圆x2+y2﹣2y=0的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．取决于k的值【解答】解：圆x2+y2﹣2y=0 即x2+（y﹣1）2=1，表示以（0，1）为圆心，半径等于1的圆．圆心到直线y=kx+1的距离为=0，故圆心（0，1）在直线上，故直线和圆相交，故选：A．5．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是（）A．B．1 C．D．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是如图所示的直三棱锥，且侧棱PA⊥底面ABC，PA=1，AC=2，点B到AC的距离为1；∴底面△ABC的面积为S1=×2×1=1，侧面△PAB的面积为S2=××1=，侧面△PAC的面积为S3=×2×1=1，在侧面△PBC中，BC=，PB==，PC==，∴△PBC是Rt△，∴△PBC的面积为S4=××=；∴三棱锥P﹣ABC的所有面中，面积最大的是△PBC，为．故选：A．6．（5分）已知圆x2+y2﹣2x+my=0上任意一点M关于直线x+y=0的对称点N也在圆上，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【解答】解：∵圆x2+y2﹣2x+my=0上任意一点M关于直线x+y=0的对称点N也在圆上，∴直线x+y=0经过圆心C（1，﹣），故有1﹣=0，解得m=2，故选：D．7．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列几种说法不正确的是（）A．A1C1⊥BDB．D1C1∥ABC．二面角A1﹣BC﹣D的平面角为45°D．AC1与平面ABCD所成的角为45°【解答】解：对于A，连接AC，则AC⊥BD，A1C1∥AC，∴A1C1⊥BD，故A正确；对于B，∵D1C1∥DC，DC∥AB，∴D1C1∥AB，故B正确；对于C，∵BC⊥平面A1ABB1，A1B⊂平面A1ABB1，∴BC⊥A1B，∵AB⊥BC，平面A1BC∩平面BCD=BC，A1B⊂平面A1BC，AB⊂平面BCD，∴∠ABA1是二面角A1﹣BC﹣D的平面角，∵△A1AB是等腰直角三角形，∴∠ABA1=45°，故C正确；对于D，∵C1C⊥平面ABCD，AC1∩平面ABCD=A，∴∠C1AC是AC1与平面ABCD所成的角，∵AC≠C1C，∴∠C1AC≠45°，故D错误．故选：D．8．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中与AD1成60°角的面对角线的条数是（）A．4条 B．6条 C．8条 D．10条【解答】解：在几何体中，根据正方体的性质知所有过A和D1点的正方体面的对角线与它组成的角都是60°，这样就有4条，根据正方体的性质，在正方体的各侧面上的对角线平行的也满足条件，故一共有8条，故选：C．9．（5分）已知两个平面垂直，下列命题中：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：对于①，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故①错误；对于②，设平面α∩平面β=m ，n ⊂α，l ⊂β，∵平面α⊥平面β，∴当l ⊥m 时，必有l ⊥α，而n ⊂α，∴l ⊥n ，而在平面β内与l 平行的直线有无数条，这些直线均与n 垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即②正确；对于③，当两个平面垂直时，•一个平面内的任一条直线不垂直于另一个平面，故③错误；对于④，当两个平面垂直时，•过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面，这是面面垂直的性质定理，故④正确；故选：B ．10．（5分）在四棱锥E ﹣ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD ，AB=2CD ，M 为AE 的中点，设E ﹣ABCD 的体积为V ，那么三棱锥M ﹣EBC 的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵AB ∥CD ，AB=2CD ，∴V 三棱锥B ﹣ACE =2V 三棱锥D ﹣ACE ．∵M 为AE 的中点，∴S △MCE =S △ACM ，∴V 三棱锥B ﹣ACM =V 三棱锥B ﹣MCE ，∵V 三棱锥B ﹣ACE =V 三棱锥B ﹣ACM +V 三棱锥B ﹣MCE ，∴V 三棱锥B ﹣ACM =V 三棱锥B ﹣MCE =V 三棱锥D ﹣ACE ，∵V=V 三棱锥B ﹣ACM +V 三棱锥B ﹣MCE +V 三棱锥D ﹣ACE ，∴V 三棱锥M ﹣EBC =V 三棱锥B ﹣MCE =V ．故选：C ．11．（5分）点A、B、C、D在同一个球的球面上，，AC=2，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为（）A．8πB．C．D．【解答】解：根据题意知，△ABC是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，不变，高最大时体积最大，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC×DQ=，所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为S△ABC即×1×DQ=，∴DQ=2，如图．设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R2=12+（2﹣R）2，∴R=则这个球的表面积为：S=4π（）2=故选：B．12．（5分）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：建立如图所示的坐标系：可得B（4，0），C（0，4），故直线BC的方程为x+y=4，△ABC的重心为（，），设P（a，0），其中0＜a＜4，则点P关于直线BC的对称点P1（x，y），满足，解得，即P1（4，4﹣a），易得P关于y轴的对称点P2（﹣a，0），由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，直线QR的斜率为k==，故直线QR的方程为y=（x+a），由于直线QR过△ABC的重心（，），代入化简可得3a2﹣4a=0，解得a=，或a=0（舍去），故P（，0），故AP=故选：D．二、填空题（每小题4分，满分16分．）13．（4分）设圆x2+y2﹣4x﹣5=0的弦AB的中点为P（3，1），则直线AB的方程是x+y﹣4=0【解答】解：由x2+y2﹣4x﹣5=0得：（x﹣2）2+y2=9，得到圆心O（2，0），所以求出直线OP的斜率为=1，根据垂径定理可知OP⊥AB所以直线AB的斜率为﹣1，过P（3，1），所以直线AB的方程为y﹣1=﹣1（x﹣3）即x+y﹣4=0故答案为x+y﹣4=014．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P﹣ABC的主视图与左视图的面积的比值为1．【解答】解：三棱锥P﹣ABC的主视图与左视图都是三角形，底面ABC的射影都是正方体的棱长，P到底边的距离（三角形的高）都是正方体的棱长，所以，三棱锥P﹣ABC的主视图与左视图的面积的比值为：1．故答案为：1．15．（4分）若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r=2．【解答】解：若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，O为坐标原点，且∠AOB=120°，则圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=rcos=r，即=r，解得r=2，故答案为：2．16．（4分）底面是正三角形且侧棱和底面垂直的三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为3，底面边长为1，沿侧面从A点经过棱BB1上的M点再经过棱CC1上的N点到A1点．当所经路径AM﹣MN﹣NA1最短时，AM与A1N所成的角的余弦值为．【解答】解：如图5（甲），过A作AP∥A1N交C1C于P，则AM与AP所夹锐角（或直角），就是所求的角，沿侧棱AA1把三棱柱ABC﹣A1B1C1剪开展开，如图5（乙），当路径AM﹣MN﹣NA1最短时，M、N在线段AA1上，最短路径是AA1，由此可知，BM=1，CN=2，故AM=AP=，MP==．∴（）2=（）2+（）2﹣=﹣，故AM与A1N所成的角的余弦值为．故答案为：．三、解答题（满分36分．）17．（12分）如图，矩形OABC的顶点O为原点，AB边所在直线的方程为3x+4y ﹣25=0，顶点B的纵坐标为10．（Ⅰ）求OA，OC边所在直线的方程；（Ⅱ）求矩形OABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵OABC是矩形，∴OA⊥AB，OC∥AB．由直线AB的方程3x+4y﹣25=0可知，∴，∴OA边所在直线的方程为，即4x﹣3y=0，OC边所在直线的方程为，即3x+4y=0．（Ⅱ）∵点B在直线AB上，且纵坐标为10，∴点B的横坐标由3x+4×10﹣25=0解得x为﹣5，即B（﹣5，10）．∴，∴，（11分）∴矩形OABC的面积S=|OA||AB|=5018．（12分）如图，圆柱OO1的底面圆半径为2，ABCD为经过圆柱轴OO1的截面，点P在上且，Q为PD上任意一点．（Ⅰ）求证：AQ⊥PB；（Ⅱ）若线段PD的长为，求圆柱OO1的体积．【解答】解：（1）∵AB是⊙O 1直径，∴AP⊥BP，∵AD⊥平面ABP，BP⊂平面ABP，∴AD⊥BP，又∵AD∩AP=A，AD⊂平面ADP，AP⊂平面ADP，∴BP⊥平面ADP，∵AQ⊂平面ADP，∴BP⊥AQ．（2）∵，∴∠AO1P=60°，又∵O1A=O1P，∴△AO1P是等边三角形，∴AP=O1A=2，∵AD⊥平面ABP，AP⊂平面ABPAD⊥AP，∴AD═=2，A2•AD=8π．∴V=πO19．（12分）已知圆C与y轴相切，圆心在x轴下方并且与x轴交于A（1，0），B（9，0）两点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过点A（1，0）且被圆C所截弦长为6，求直线l的方程．【解答】解：（1）由题意，r=5，设圆心坐标为（5，b）（b＜0），则9﹣1=2，∵b＜0，∴b=﹣3，∴圆C的方程（x﹣5）2+（y+3）2=25；（Ⅱ）直线l过点A（1，0）且被圆C所截弦长为6，圆心到直线的距离等于4．当斜率不存在时，x=1，符合题意；当斜率存在时，设直线l：y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0，∵圆心到直线距离为4，∴=4，∴k=﹣∴直线l的方程为7x+24y﹣7=0故所求直线l为x=1，或7x+24y﹣7=0．。