2023届湖南省衡阳市高三期末联考数学试题一、单选题1．已知集合，则（ ）32x A x x ⎧⎫-=≥⎨⎬⎩⎭R A = A ．B ．或{}1x x >{0x x ≤}1x >C ．D ．或{}01x x <<{0x x <}1x >【答案】B【分析】先解不等式求出集合，从而可求出.A R A 【详解】解不等式，，解得，32x x -≥330x x -≥01x <≤所以，则或．{01}A x x =<≤R A = {0x x ≤}1x >故选：B2．在复平面内，复数对应的点分别是，则复数的虚部为（ ）12,z z (2,1),(0,5)-21z z A ．2B ．C ．D ．2-2i-2i【答案】A【分析】根据复数的几何意义和复数的除法计算法则即得.【详解】由题可知，122i,5i z z =-=则，()()()2i 5i 5i12i 2i 2i 2i z +⋅===-+--+所以复数的虚部为2．21z z 故选：A.3．函数的部分图象大致为（ ）2cos2()sin xf x x +=A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性以及特殊点即可排除选项求解.【详解】的定义域为，关于原点对称，()f x {}π,Z x x k k ≠∈因为，所以为奇函数，故排除C,D ,2cos(2)2cos2()()sin()sin x xf x f x x x +-+-==-=--()f x 又，所以排除B,π102f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭故选：A4．过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（ ）(1,2)24y x =A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】B【分析】分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当斜率存在时，将直线与方程联立，分析即k 得解；【详解】当直线的斜率不存在时，直线，代入抛物线方程可，故直线与抛物线有1x =2y =±1x =两个交点．不满足要求，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，()21y k x -=-由，消得，，224y kx k y x =-+⎧⎨=⎩x 24480ky y k --+=当时，解得，直线与抛物线有且只有一个交点，符合题意；0k =1,2x y ==2y =当时，由，可得，0k ≠()()244840k k ∆=---=1k =即当时，符合题意．综上，满足条件的直线有2条．1k =故选：B.5．已知为球球面上的三个点，若，球的表面积为，则三棱锥,,A B C O 3AB BC AC ===O 36π的体积为（ ）O ABC -ABCD【答案】C【分析】利用球的表面积求出球的半径，由三角形的正弦定理求出三角形外接圆的半径，然后利用勾股定理求出三棱锥的高，最后利用椎体体积公式计算即可.O ABC -【详解】设球的半径为，则由球的表面积为，O R 24π36πR =所以3,R =设外接圆的半径为，圆心为，ABC r 1O 由，3AB BC AC ===所以为等边三角形，ABC 所以，22sin 60AB r r r =⇔=⇒= 所以点O 到平面ABC=所以三棱锥的体积为：O ABC -111133sin 60332ABC V S OO =⨯⨯⨯⨯⨯⨯= 故选：C.6．“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降，而“碳中和”是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值a （亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量S （亿吨）与时间t （年）满足函数关系式，若经过4年，该地区二氧化碳的排放量为（亿吨）．已知该tS ab =34a地区通过植树造林、节能减排等形式抵消自身产生的二氧化碳排放量为（亿吨），则该地区要实3a现“碳中和”，至少需要经过（ ）（参考数据：）lg 20.30,lg 30.48≈≈A ．13年B ．14年C ．15年D ．16年【答案】D【分析】由条件列式先确定参数，再结合对数运算解方程.434aab =3ta ab =【详解】由题意，，即，所以434aS ab ==434b =b =令，即，故，即，3t a ab =13t b =13t=1lg 3t =可得，即．1(lg32lg 2)lg34t -=-4lg3162lg 2lg3t =≈-故选：D7．2022年男足世界杯于2022年11月21日至2022年12月17日在卡塔尔举行．现要安排甲、乙等5名志愿者去A ，B ，C 三个足球场服务，要求每个足球场都有人去，每人都只能去一个足球场，则甲、乙两人被分在同一个足球场的安排方法种数为（ ）A ．12B ．18C ．36D ．48【答案】C【分析】先按3，1，1或2，2，1分组，再安排到球场.【详解】将5人按3，1，1分成三组，且甲、乙在同一组的安排方法有种，13C 将5人按2，2，1分成三组，且甲、乙在同一组的安排方法有种，23C 则甲、乙两人被分在同一个足球场的安排方法种数为．()123333CC A 36+=故选：C 8．已知，则（ ）()()π0,cos 2cos 212cos cos 2αβαβαβαβ<<<++=-++A ．B ．π6αβ+=π3αβ+=C ．D ．π6βα-=π3βα-=【答案】D【分析】直接利用三角函数恒等变换进行凑角化简，再根据，的范围即可求出结果.αβ【详解】由已知可将，，()()2ααβαβ=++-2()()βαβαβ=+--则，cos[()()]cos[()()]12cos()cos()αβαβαβαβαβαβ++-++--+=-++，2cos()cos()2cos()cos()10αβαβαβαβ+----++=，即或．[cos()1][2cos()1]0αβαβ+---=cos()1αβ+=1cos()2αβ-=又，所以，π02αβ<<<π0π,02αβαβ<+<-<-<所以，所以选项A ，B 错误，cos()1αβ+≠即，则，所以．则C 错，D 对，1cos()2αβ-=π3αβ-=-π3βα-=故选：D二、多选题9．将的图象向右平移个单位长度得到的图象，则（ ）2sin 2y x =π6()f x A ．B ．的图象关于直线对称π()2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x π12x =C ．的图象关于点对称D ．在内是增函数()f x π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭【答案】AC【分析】根据三角函数图象变换的知识求得的解析式，利用代入验证法判断BC 选项的正确()f x 性，根据三角函数单调性判断D 选项的正确性.【详解】将的图象向右平移个单位长度得到，A 正确.2sin 2y x =π6ππ()2sin 22sin 263f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为，所以的图象不关于直线对称，B 错误；πππ2sin 11263f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x π12x =因为，所以的图象关于点对称，C 正确；πππ2sin 0633f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭因为，所以函数在内不是增函数，D 错误．ππ2π2,33π,30,2x x ⎛⎫∈ ⎛⎪⎫-∈- ⎪⎝⎭⎭⎝()f x π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：AC10．为了解某班学生每周课外活动的时间，甲同学调查了10名男生，其平均数为9，方差为11；乙同学调查了10名女生，其平均数为7，方差为8．若将甲、乙两名同学调查的学生合在一起组成一个容量为20的样本，则该样本数据的（ ）A ．平均数为8.5B ．平均数为8C ．方差为10.5D ．方差为10【答案】BC【分析】根据平均数和方差的定义计算求解即可.【详解】由题意，该样本数据的平均数，10910781010a ⨯+⨯==+方差．222101011(98)8(78)10.52020s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦故选：BC11．已知定义在上的奇函数，且当时，，R (),,(0,),()()()f x m n f mn f m f n ∀∈+∞=+1x >()0f x <则（ ）A ．B ．有三个零点(1)0f =(2)f x -C ．在上为减函数D ．不等式的解集是()f x (,0)-∞(2)0xf x -<(,1)(3,)-∞+∞ 【答案】ABC【分析】令求解判断A ；由题得在上是减函数，进而结合奇函数性质，结合函1m n ==()f x (0,)+∞数图像平移变换判断BC ；令，进而得，函数在()(2)f x g x -=()()()1320g g g ===()g x 均为单调递减函数，再分，，，，五种情况讨论()(),2,2,-∞+∞0x <01x <<12x <<23x <<3x >求解即可.【详解】解：令，得，所以，选项A 正确．1m n ==(1)(1)(1)f f f =+(1)0f =，且，则，，12,(0,)x x ∀∈+∞12x x <211x x >210x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭所以，，()()()212111x f x f x f x f x x ⎛⎫-=-⨯= ⎪⎝⎭()()2211110x x f x f f x f x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=->⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以在上是减函数，()()12,()f x f x f x >(0,)+∞又为上的奇函数，，()f x R (1)0,(0)0f f -==所以有三个零点，将的图像向右平移2个单位长度得到的图像，()f x ()f x (2)f x -所以有三个零点，选项B 正确．(2)f x -由于为奇函数，所以在上也是减函数，选项C 正确．()f x ()f x (,0)-∞由于的图像向右平移2个单位长度得到的图像，即，()f x (2)f x -()(2)f x g x -=则，函数在均为单调递减函数，()()130g g ==()g x ()(),2,2,-∞+∞所以，当时，；时，；1x <()0g x >12x <<()0g x <当时，；时，；23x <<()0g x >3x >()0g x <所以，()(2)00xf x xg x -<⇔<所以，当时，；时，；时，；0x <()0xg x <01x <<()0xg x >12x <<()0xg x <当时，；时，.23x <<()0xg x >3x >()0xg x <所以，不等式的解集是，故D 错误.(2)0xf x -<()()(),01,23,-∞+∞ 故选：ABC ．12．如图，在棱长为的正方体中，是线段的中点，点，满足21111ABCD A B C D -E 1AD M N ，其中，则（ ）11111,A M AC B N B C λμ== ,(0,1)λμ∈A ．存在，使得平面平面(0,1)λ∈1AD M ⊥1AB C B ．存在，使得平面平面,(0,1)λμ∈MEN 1AB C C ．对任意,(0,1),MN λμ∈D ．当时，过，，12,23λμ==E M N 【答案】ACD 【分析】证明平面可判断A ；由平面平面，可判断和的重合点，进1D M ⊥1AB C 11A DC 1AB C M N 而可判断选项B ；找出最小时的位置，进而判断选项C ；利用构造平形四边的方法，找到截面，MN 进而求解判断选项D.【详解】对于A ，由正方体中，，又平面，1AC BD AC DD ⊥⎧⎨⊥⎩BD ⊂1BDD 平面，，可证平面,1DD ⊂1BDD 1BD DD D = AC ⊥1BDD 可得,又，平面，1AC D B ⊥11111B C BC B C C D ⊥⎧⎨⊥⎩1BC ⊂11BC D 平面，，可证平面，11C D ⊂11BC D 1111BC C D C = 1B C ⊥11BC D 可得，所以由，平面，11B C D B ⊥111D B ACD B B C ⊥⎧⎨⊥⎩AC ⊂1AB C平面，，可得平面，1B C ⊂1AB C 1AC B C C ⋂=1D B ⊥1AB C 所以当时，平面，12λ=1D M ⊥1AB C 即平面平面，故A 项正确；1AD M ⊥1AB C 对于B ，平面平面，又因为平面，11A DC 1AB C E ∈11A DC 所以与重合，与重合，M 1A N 1C 此时，不符合题意，故B 项错误；0,1λμ==对于C ，当时，，12λμ==111,MN B C MN AC ⊥⊥此时最小，最小值为，故C 项正确；MN 12对于D ，当时，12,23λμ==在上取靠近点的三等分点，11A D 1D G 连接并延长交于点，GE AD H 易得点是上靠近点的三等分点，H AD A 在上取靠近点的三等分点，如下图：BC B P 则，且GN HP AB ∥∥GN HP AB==又因为平面，所以，AB ⊥11AA D D AB GH ⊥即，则四边形为矩形，HP GH ⊥GHPN 又，NP ==2HP AB ==则矩形的面积为GHPN 2HP NP ⨯=，故D 项正确．=故选：ACD ．三、填空题13．已知向量，若，则__________．(,2),(1,3)a m b =-=()a b b -⊥ m =【答案】16【分析】根据向量垂直列方程，由此求得的值.m 【详解】由，得，即，则．()a b b -⊥ ()0a b b -⋅= 2,610a b b m ⋅=-= 16m =故答案为：1614．已知集合，函数满足不等式的解集为P ，则函数(0,1)(1,2)P = ()f x ()ln 0f x x ⋅>__________．（写出一个符合条件的即可）()f x =【答案】（答案不唯一）232x x -+-【分析】根据二次函数的图象与性质以及对数函数的图象与性质，可得答案.【详解】令，则的解集为P ．2()32f x x x =-+-()ln (1)(2)ln 0f x x x x x ⋅=--->故答案为：.232x x -+-15．双曲线的左、右顶点分别为A ，B ，P 为C 上一点，若点P 的纵坐标为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>1，，则C 的离心率为__________．|||2PA PB ==【分析】根据双曲线上的点与双曲线顶点连线斜率的关系，结合双曲线离心率公式进行求解即可.【详解】根据双曲线的对称性，由，不妨设点P 在第一象限，||||PA PB >设，即，，0(,1)P x 22200222111(1x x a a b b -=⇒=+(,0),(,0)A a B a -，222222000211111(1)PA PBb k k x a x a x a a a a b ⋅=⋅===+--+-，即，所以C22b a =2216b a ==【点睛】关键点睛：利用双曲线上的点与双曲线顶点连线斜率的关系是解题的关键.16．已知是函数的一个零点，且，则的最小值为0x 2()2e xf x b =-01,e 4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦22a b +__________．【答案】##.34e 4341e 4【分析】由题意得，设直线，则点是直线02012e0,,e 4x b x ⎡⎤+-=∈⎢⎥⎣⎦02:e 0x l y +-=(,)A a b l 上的一点，然后求出原点O 到直线l 的距离，构造函数，利用导数求出其e 1(),,e 414x g x x x ⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦最小值即可.【详解】由已知可得．02012e0,,e 4x b x ⎡⎤-=∈⎢⎥⎣⎦不妨设直线，则点是直线l 上的一点，2:e 0x l y +-=(,)A a b 原点O到直线l 的距离d==则||OA d =≥=设，2e 1e (43)(),,e ,()414(41)x x x g x x g x x x -⎡⎤=∈=⎢⎥'++⎣⎦在上递减，在递增e ()41xg x x =+13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,4e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦可得，34min 3e()44g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭所以的最小值为．22a b +34e4故答案为：34e4【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查函数与方程的应用，解题的关键是设直线，则点是直线l 上的一点，然后将问题转化为则大于等02:e 0x l y +-=(,)A a b ||OA =于原点O 到直线l 的距离，求出其最小值即可，d =e 1(),,e 414x g x x x ⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.四、解答题17．在数列中，．{}n a 23122341n a a a a n n n ++++=++ (1)求的通项公式；{}n a (2)证明：．12111134(2)8n a a n a +++<+ 【答案】(1)222n a n n =+(2)证明见解析【分析】（1）令可求得的值，令，由可得1n =1a 2n ≥23122341n a a a a n nn ++++=++ ，两式作差可得出的表达式，再验证的值是否满足的21231234n a a a an n n -++++=- n a 1a ()2n a n ≥表达式，综合可得出数列的通项公式；{}n a （2）计算得出，利用裂项相消法求出数列的前()()()()111411122n n n n a n n ⎡⎤-⎢++=++⎣⎦()12n n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭项和，即可证得结论成立.n 【详解】（1）解：因为，①23122341n a a a a n nn ++++=++ 则当时，，即，1n =122a =14a =当时，，②2n ≥21231234n a a a an nn -++++=- ①②得，所以，-21na n n =+()21n a n n =+也满足，故对任意的，.14a =()21n a n n =+N n *∈()21n a n n =+（2）证明：()()()()()()11111112212212412n n a n n n n n n n n n ⎛⎫==⋅=⋅-⎪+++++++⎝⎭，()()()1114112n n n n ⎡⎤=-⎢+++⎣⎦所以()()()()121111111111342412232334112n a a n a n n n n ⎡⎤+++=-+-++-⎢⎥+⨯⨯⨯⨯+++⎣⎦ ．()()111142128n n ⎡⎤=-<⎢⎥++⎣⎦18．某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关．已知第一关的通过率为0.7，第二关、第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.2，四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加．假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动．(1)求甲获得奖金的期望；(2)已知甲和乙最后所得奖金之和为900元，求甲获得一等奖的概率．【答案】(1)52.5(2)12【分析】（1）由题知甲获得的奖金可能的取值为0，200，700，进而依次计算对应的概率，求解期望即可；（2）根据条件概率的计算公式求解即可.【详解】（1）解：（1）设甲获得的奖金为元，则可能的取值为0，200，700．X X ，(200)0.70.50.50.80.14P X ==⨯⨯⨯=，(700)0.70.50.50.20.035P X ==⨯⨯⨯=，(0)10.140.0350.825P X ==--=所以，甲获得的奖金的概率分布列为：X0200700P0.8250.0350.14所以．()0.82500.142000.03570052.5E X =⨯+⨯+⨯=（2）解：由（1）可知，获得二等奖的概率为0.14，获得一等奖的概率为0.035．设事件A ：甲和乙最后所得奖金之和为900元，设事件B ：甲选手获得一等奖，由（1）知获得二等奖的概率为，获得一等奖的概率为，0.140.035所以，()0.140.03520.0098P A =⨯⨯=()0.140.0350.0049P AB =⨯=所以，所求的概率．()()()0.0350.1410.0350.1422P AB P B A P A ⨯===⨯⨯19．在中，角、、所对的边分别为、、，，．ABC A B C a b c 1c =cos cos 1b C B -=(1)证明：．2B C =(2)若为锐角三角形，求的取值范围．ABC a 【答案】(1)证明见解析(2)()1,2【分析】（1）由已知可得出，利用正弦定理化简得出，求出cos cos b C c B c -=()sin sin B C C-=的取值范围，讨论与的关系，可证得结论成立；B C -B C -C （2）由为锐角三角形求出的取值范围，利用正弦定理化简得出关于的函数关系式，ABC C a C 结合余弦函数的基本性质可求得的取值范围.a 【详解】（1）解：由，可得，cos cos 1b C B -=cos cos b Cc B c -=所以，则．sin cos sin cos sin B C C B C -=()sin sin B C C-=因为，，所以，，0πB <<0πC <<ππB C -<-<因为，则.()sin sin 0B C C -=>0πB C <-<所以，或（舍去），即．B C C -=πB C C -+=2B C =（2）解：由为锐角三角形，可得，即，ABC π02π02π02A B C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩π0π32π022π02C C C ⎧<-<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩解得，所以，，则，ππ64C <<ππ232C <<10cos 22C <<由正弦定理可得，sin sin a cA C =则()sin sin sin cos cos sin sin 2cos cos 2sin sin sin sin sin B C A B C B C C C C Ca C C C C+++====.()222sin cos cos 2sin 2cos cos 22cos 211,2sin C C C C C C C C +==+=+∈故的取值范围是.a ()1,220．在三棱柱中，，O 为的中点．111ABC A B C -1112,A B AC AA AB AC ===⊥BC(1)证明：平面．1A O ⊥ABC (2)已知，在线段上（不含端点）是否存在点Q ，使得二面角的余弦值2AB AC ==11B C 11Q AC B --Q 的位置，若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，11134B Q B C = 【分析】（1）根据边相等可证明三角形全等，进而可证线线垂直，进而可证线面垂直，（2）建立空间直角坐标系，根据向量共线以及法向量的夹角即可求解【详解】（1）证明：连接，因为，O 为的中点，所以．AO AB AC ⊥BC OA OB OC ==因为，所以，111A B AC AA ==111A OA A OB A OC ≅≅ 所以．111AOA AOB AOC ∠=∠=∠又，所以，即，．11πA OB A OC ∠+∠=11π2A OB A OC ∠=∠=1A O BC ⊥1A O AO ⊥因为，平面，所以平面．BC AO O ⋂=,BC AO ⊂ABC 1A O ⊥ABC（2）如图所示，分别以所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则1,,OA OB OA ，设，1(0,A C A B1111,((0,B Q B C AB AC λ===,()0,BC =-．11111111(,0)AQ A B B Q A B B C AB BC λλ=+=+=+= 设平面的法向量为，由 得 11A B C (,,)m x y z =10,0,m AB m A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩0,0,⎧=⎪⎨=⎪⎩令，得，即．1y =1,1x z ==-(1,1,1)m =-设平面的法向量为，由 得1AQC (,,)u a b c = 110,0,u A Q u A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩)0,0,b ⎧+-=⎪⎨⎪=⎩令，得，即．1b =12,1a c λ=-=-(12,1,1)u λ=--，cos ,u 34λ=即当时，二面角11134B Q B C = 11Q AC B --21．已知，曲线在处的切线方程为．0ab ≠23()xf x a x =-1x =630x by +-=(1)求a ，b 的值；(2)证明：当时，．(0,1]x ∈()tan f x x <【答案】(1)3,2a b ==-(2)证明见解析【分析】（1）根据切点和斜率求得.,a b（2）化简，利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.()tan f x x <【详解】（1）由题可知，即．33(1)1f a b -==-1b a =-又，所以，()()()22222223633()a x x a x f x a x a x -++==--'2336(1)(1)a f a b +==-'-解得，即．32a b =⎧⎨=-⎩3,2a b ==-（2），，23()3xf x x =-(0,1]x ∈要证，，()tan f x x <23sin 3cos x xxx <-只需证，23sin 3cos sin 0x x x x x -->令，2()3sin 3cos sin g x x x x x x =--则，2()3cos 3cos 3sin 2sin cos (sin cos )g x x x x x x x x x x x x x =-+--=-'令，则，()sin cos ,(0,1]h x x x x x =-∈()cos cos sin sin 0h x x x x x x x '=-+=>所以在上单调递增，所以，即，()h x (0,1]()(0)0h x h >=()0g x '>所以在上单调递增，则，即当时，．()g x (0,1]()(0)0g x g >=(0,1]x ∈()tan f x x <22．已知O 为坐标原点，M 是椭圆上的一个动点，点N 满足，设点N 221:14x C y +=ON = 的轨迹为曲线．2C (1)求曲线的方程．2C (2)若点A ，B ，C ，D 在椭圆上，且与交于点P ，点P 在上．证明：1C 2,CD AB AC =BD 2C 的面积为定值．PCD 【答案】(1)；221123x y +=(2)证明见解析.【分析】（1）利用相关点法即得；（2）由题可得A ，B 分别为的中点，进而可得C ，D 都在直线上，然后利用,PC PD 0040x x y y +=弦长公式及三角形面积公式结合条件即得.【详解】（1）设，则，(,),(,)N x y M m n2214m n +=因为，ON =所以，,x y ==所以，221123x y +=即曲线的方程为；2C 221123x y +=（2）设，则，()()()112200,,,,,C x y D x y P x y 22001123x y +=由，可知A ，B 分别为的中点，2CD AB = ,PC PD 所以，10102020,,,2222x x y y x x y y A B ++++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则，作差可得．2211210210142142x y x x y y ⎧+=⎪⎪⎪⎨+⎛⎫⎪⎪+⎛⎫⎝⎭⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩2200100123042x x x y y y +++-=因为，22001123x y +=所以，010140x x y y +=同理，020240x x y y +=所以C ，D 都在直线上，0040x x y y +=联立，可得，00224014x x y y xy +=⎧⎪⎨+=⎪⎩222220002200,4141212x xx y x x y⎛⎫===- ⎪+⎝⎭即||CD ==点P 到直线的距离，CDd ===所以的面积为，PCD 11||22d CD ⋅==即的面积为定值．PCD 【点睛】方法点睛：圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.。
