9.9.5直棱柱和正棱锥的直观图的画法

C'B'A'D'DAC C'B'A'D'DA C9.9棱柱和棱锥(三)教学目的：1.了解棱锥、正棱锥的概念，掌握正棱锥的性质.；2.能初步利用棱锥的概念及其性质解决一些简单角与距离的问题.3.灵活运用棱锥的概念及其性质解决有关角与距离问题；4.了解棱锥的侧面积、全面积的概念，能求出有关面积. 教学重点：棱锥、正棱锥的概念及其性质. 教学难点：棱锥、正棱锥的概念及其性质. 授课类型：新授课. 课时安排：4课时.教具：多媒体、实物投影仪. 教学过程：一、复习引入：1.多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．2．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体．3．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等.4．棱柱的概念：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱.两个互相平行的面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高（公垂线段长也简称高）.5．棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱.侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱.底面的是正多边形的直棱柱叫正棱柱.棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……设集合{}A =棱柱，{}B =斜棱柱，{}C =直棱柱，{}D =正棱柱，则,B C A D C =⊂U ．6．棱柱的性质（1）棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形；直棱柱侧面都是矩形；正棱柱侧面都是全等的矩形； （2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形（3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.7.平行六面体、长方体、正方体底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体长方体，棱长都相等的长方体叫正方体．8．平行六面体、长方体的性质(1)平行六面体的对角线交于一点，求证：对角线,,,AC BD CA DB ''''相交于一点，且在点O 处互相平分．(2)长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和.二、讲解新课：1.棱锥的概念：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥.其中有公共顶点的三角形叫棱锥的侧面；多边形叫棱锥的底面或底；各侧面的公共顶点()S ，叫棱锥的顶点，顶点到底面所在平面的垂线段()SO ，叫棱锥的高（垂线段的长也简称高）．2．棱锥的表示：棱锥用顶点和底面各顶点的字母，或用顶点和底面一条对角线端点的字母来表示.如图棱锥可表示为S ABCDE -，或S AC -． 3．棱锥的分类：（按底面多边形的边数）分别称底面是三角形，四边形，五边形……的棱锥为三棱锥，四棱锥，五棱锥……（如图） 4．棱锥的性质：定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积比等于顶点到截面的距离与棱锥高的平方比．已知：在棱锥S AC -中，SH 是高，截面A B C D E '''''平行于底面，并与SH 交于H '， 求证：截面A B C D E '''''～底面ABCDE ，且22A B C D E ABCDE S SH S SH''''''=． 解：因为截面平行于底面，∴//A B AB ''，//B C BC ''，//C D CD ''，… ∴,A B C ABC B C D BCD ''''''∠=∠∠=∠，…又∵平面SAH 分别与截面和底面相交于A H ''和AH ， ∴//A H AH ''，得A B SA SH AB SA SH ''''==，同理B C SH BC SH '''=，… ∴A B B C SH ABBC SH'''''===L ， 因此，截面A B C D E '''''～底面ABCDE ，且2222A B C D E ABCDE S A B SH S AB SH''''''''==． 中截面：经过棱锥高的中点且平行于底面的截面，叫棱锥的中截面.5．正棱锥定义：底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥． 性质：（1）正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（叫正棱锥的斜高）．（2）正棱锥的高、斜高、斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形． 6．正棱锥的直观图的画法在过底面中心的垂线——'z 轴上取与底面中心距离等于棱锥高的点就得到了棱锥的顶点．给出了画图的比例尺，要特别注意平行于'y 轴的线段的长度的确定．正棱锥的直观图的画法，在具体画图的关键是：①用斜二测画水平放置的底面的直观图； ②正棱锥的顶点的确定；③画直观图的四个步骤：画轴（建立空间直角坐标系）⇒画底面⇒画侧棱（正棱锥画高线）⇒成图． 三、讲解范例：例1.已知正三棱锥S ABC -的高SO h =，斜高SM l =，求经过SO 的中点O '平行于底面的截面A B C '''∆的面积.解：连结,OM OA ，在Rt SOM ∆中，22OM l h =-． ∵棱锥S ABC -是正三棱锥，∴O 是ABC ∆中心， ∴2222tan6023AB AM OM l h ==⋅=-o，222333()ABC S AB l h ∆==-， 由棱锥截面性质得：2214A B C ABC S h S h '''∆∆'==，∴2233()4A B C S l h '''∆=-． 例2．已知A B C '''∆是三棱锥S ABC -的中截面，三棱锥S A B C '''-的侧面积为25cm ，求三棱锥S ABC -的侧面积．解：∵截面//A B C '''底面SBC ，∴//A B AB ''，//B C BC ''，//C D CD ''，∴2214S A B SAB S A B S AB '''∆∆''==，同理：14S B C SBC S S '''∆∆=，14S A C SACS S '''∆∆=， ∴14S A B S B C S A C SAB SBC SAC S S S S S S '''''''''∆∆∆∆∆∆++=++，即三棱锥S ABC -的侧面积是三棱锥S A B C '''-的侧面积的4倍， 所以，三棱锥S ABC -的侧面积为220cm ．点评：一般地，平行于棱锥底面的截面截得的棱锥与原棱锥的侧面积之比也等于截得棱锥的高与原棱锥高的平方比.例3．四棱锥的高为h ，底面为菱形，侧面PAD 和侧面PDC 所成的二面角为120o，且都垂直于底面，另两个侧面与底面所成的角都为60o，求此棱锥的全面积.EDCBAPGEP D CBA 解：∵侧面PAD ⊥底面AC ，侧面PDC ⊥底面AC ， ∴PD ⊥底面AC ，ADC ∠为二面角A PD C --的平面角，即120ADC ∠=o ，∵四边形为菱形，DBC ∆，取BC 中点E ，连结,PE DE ， 则DE BC ⊥，由三垂线定理知PE BC ⊥，∴PED ∠是侧面PBC 与底面AC 所成的二面角的平面角，60PED ∠=o ，在Rt PDE ∆中，,,PD h DE PE h ===， ∴23sin3DE CD h π==， ∵,PDA PDC PBC PAB ∆≅∆∆≅∆，22PDA PBC ABCD S S S S ∆∆=++Y 全222sin1)33PD CD BC PE AD h π=⋅+⋅+=． 说明：棱锥的侧面积等于各侧面三角形的面积之和，正棱锥的侧面积等于底面周长与斜高之积的一半． 四、课堂练习：1.判断下列结论是否正确，为什么？（1）有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥， （2）正四面体是四棱锥，（3）侧棱与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥，（4）侧棱长相等，各侧面与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥． 答：（1）错，（2）错，（3）错，（4）对．2．在三棱锥P ABC -中，ABC ∆为正三角形，90PCA ∠=o ，D 为PA 中点，二面角P AC B --为120o，2,PC AB ==（1）求证：AC BD ⊥；（2）求BD 与底面ABC 所成的角，（3）求三棱锥P ABC-的体积．解：（1）取AC 的E ，连结,BE DE ，则//DE PC ， 由PC AC ⊥，知DE AC ⊥，由ABC ∆为正三角形，得BE AC ⊥， 又DE BE E =I ，∵AC ⊥平面DEB ，BD ⊂平面DEB ， ∴AC BD ⊥． （2）作DG BE ⊥，垂足为G ，∵AC ⊥平面DEB ，DG ⊂平面DEB ，DG AC ⊥，DG ⊥平面ABC ，BD 与底面ABC 所成的角DBG ∠， 由DE AC ⊥，BE AC ⊥知DEB ∠是二面角P AC B --的平面角，120DEB ∠=o ，∵112DE PC ==，∴DG =，又∵3BE AB ==， ∴22213213cos12013BD =+-⨯⨯⨯=o∴sin DG DBE DB ∠==，∴BD 与底面ABC 所成的角为arcsin．（3）∵D 为PA 中点，∴P 到平面ABC 的距离2h DG ==，211333P ABC ABC V S h -∆===．五、小结：棱锥、正棱锥的概念，性质；棱锥平行于底面的截面性质结论可适当推广：平行于棱锥底面的截面截得的棱锥与原棱锥的对应面积（底面，侧面）之比，等于对应线段（高、侧棱等）的平方比.计算面积时，必须计算对应边上的高，因此要寻找斜高，底面三角形的高，截面三角形的高的相互关系，这种关系应通过棱锥的性质来体现． 六、课后作业： 七、板书设计（略）. 八、课后记：。

9.9棱柱和棱锥(一)教学目的：1.了解多面体、凸多面体的概念；2.理解棱柱的概念,能分清斜、直、正棱柱.掌握棱柱、直棱柱、正棱柱的概念及其性质，了解棱柱的表示及其分类；个人收集整理勿做商业用途3.能利用添辅助线、面的方法,计算长度、角度及截面问题.能初步利用棱柱的概念及其性质解决一些简单的问题.个人收集整理勿做商业用途教学重点：棱柱的概念及其性质.教学难点：棱柱的概念及其性质.授课类型：新授课.课时安排：1课时.教具：多媒体、实物投影仪.内容分析：简单多面体和球，共分4小节.简单几何体，是指最基本、最常见的几何体.按照大纲的规定，有关简单几何体只讨论棱柱、棱锥、多面体和正多面体、球.由于初中几何已学过圆柱和圆锥的有关内容，台体(圆台、棱台)又可以通过从大锥体上截去小锥体而得出，为节约课时以便实现高中数学教学内容的更新，本章中的简单几何体比原《立体几何》(必修本)在内容上精简幅度较大，删去了圆柱、圆锥、圆台、棱台等，只保留了最基本的多面体(棱柱和棱锥)、正多面体的有关概念、球等.个人收集整理勿做商业用途本节有四个知识点：棱柱、棱锥、棱柱和棱锥的直观图以及正多面体的有关概念.关于棱柱和棱锥的教学内容都包括有关概念、性质等内容，直观图的画法仅学习直棱柱和正棱锥的直观图.个人收集整理勿做商业用途这一节的内容，既是对简单几何体基础知识的重点讨论，又是对前面空间图形的基本性质和向量代数等相关知识的综合运用.个人收集整理勿做商业用途教学过程：一、复习引入：从一些常见的物体（凸多面体），例如三棱镜，方砖等，它们呈棱柱的形状（如图）二、讲解新课：1.多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．个人收集整理勿做商业用途2．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体．个人收集整理勿做商业用途3．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等.说明：我们今后学习的多面体都是．．凸多面体.4．棱柱的概念：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱.两个互相平行的面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；个人收集整理勿做商业用途两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高（公垂线段长也简称高）.5．棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱.侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱.1 / 32 / 3M'MB'C'A'CBAxyzGF EDC'B'A'CBA底面的是正多边形的直棱柱叫正棱柱.设集合{}A =棱柱，{}B =斜棱柱，{}C =直棱柱，{}D =正棱柱， 则,BC AD C =⊂．棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 6．棱柱的性质（1）棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形；直棱柱侧面都是矩形；正棱柱侧面都是全等的矩形；（2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形（图（1））； （3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形（图（2））．棱柱的概念有两个本质的属性：①有两个面（底面）互相平行；②其余每相邻两个面的交线互相平行．要注意“有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体”不一定是棱柱． 三、讲解范例：例1.已知正三棱柱ABC A B C '''-的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC '上的点，且14CN CC '=，求证：AB MN '⊥． 证明（法一）：设AB a =，AC b =，AA c '=， 则||||||1a b c ===，1,0a a a c b c ⋅=⋅=⋅=，AB a c '=+，1()2AM a c =+，14AN b c =+，111224MN AN AM a b c =-=-++，111()()224AB MN a c a b c '⋅=+-++111cos600224=-++=，∴AB MN '⊥． （法二）：取B C ''的中点M '， ∴//MM BB ''，又∵BB '⊥底面ABC ， ∴MM '⊥底面ABC ，∵ABC ∆是正三角形，M 是BC 边的中点， ∴AM BC ⊥，分别以,,MC MA MM '为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则11(,0,)24MN =，3(0,,0)2A ，1(,0,1)2B '-，13(,,1)22AB '=--， 1131()0()102224AB MN '⋅=⨯-+⨯-+⨯=．∴AB MN '⊥．例2．正三棱柱ABC A B C '''-的底边长为a 的正三角形，在侧棱BB '上截取3 / 3。

高二数学第八节 棱锥知识精讲 人教版1.棱锥的概念有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥，这个多边形叫做棱锥的底面，其余各面叫做棱锥的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高.如图所示的棱锥，多边形ABCDE 是底面，三角形SAB 、SAC 等是侧面，SA 、SB 等是侧棱，S 是顶点SH 是高.棱锥用表示顶点和底面各顶点.如图，棱锥S —ABCDE.或者用表示顶点和底面一条对角线的端点字母来表示.如图棱锥S —BD.棱锥按底面边数分可分为：底面是三角形的棱锥叫做三棱锥，底面是四边形的棱锥叫四棱锥，……棱锥的顶点在底面上的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥.2.棱锥的性质.一般棱锥的性质定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得棱锥的高和已知棱锥的高的平方比.中截面：过棱锥的高的中点平行于底面的截面叫做棱锥的中截面.正棱锥的性质：①各条侧棱相等；②各侧面是全等的等腰三角形；③棱锥的高、斜高和斜高在底面的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形.其中各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高.3.正棱锥的直观图画法.因为正棱锥的直观图由底面和顶点所决定，底面的画法与直棱柱的底面画法相同，顶点和底面中心的距离，等于它的高，把顶点和底面中心的连线段画在轴上，画法是画轴——画底面——画高线——成图.4.正棱锥的侧面积.棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的，展开图的面积就是棱锥的侧面积.定理：如果正棱锥的底面周长是c ，斜高是h ′，那么它的侧面积是S 正棱锥侧=21ch ′. 棱锥的全面积等于侧面积与底面积的和.5.棱锥的体积公式.定理1：等底面积等高的两个锥体的体积相等.定理2：如果三棱锥的底面积是S.高是h.那么它的体积是V 三棱锥=31Sh. 定理3：如果一个锥体的底面积是S.高是h ，那么它的体积是V 锥体=31Sh.注意：计算三棱锥的体积时，以任何一个面作为底面其体积公式仍然成立，正如棱柱的平行六面体一样，以任何一个面作为底面.体积公式V=Sh.这两个特殊几何体为后面讲到等体积法提供了模型.【重点难点解析】正棱锥的概念和性质以及由棱锥的高、斜高、侧棱及其射影所组成的四个直角三角形在解题中经常使用.必须重点掌握，但正棱锥的概念的记忆是本节的难点，必须准确无误.例1 下列命题中是真命题的是( ) A.底面是正方形的棱锥是正四棱锥 B.各条侧棱都相等的棱锥是正棱锥C.由一个面是多边形，其余各个面是三角形所围成的几何体是棱锥D.正四面体是正三棱锥解 解此题时概念要明确，正棱锥不仅要求底面是正多边形，而且还要求其顶点在底面的射影是底面的中心，所以A 、B 不正确，C 中的各三角形没有指明共顶点，C 也不正确，D 是真命题，所以选D.例2 三棱锥A —BCD 中，AC=BD,AD=BC,AB=CD 三个侧面与底面所成的二面角分别为α、β、γ，则cos α+cos β+cos γ=.解 如图所示，设AC=BD=a,AD=BC=b,AB=CD=c由已知所有侧面三角形和底面三角形都是全等的三角形. 记为S ，侧面在底面的射影分别为S 1、S 2、S 3则SS 1=cos α,S S2=cos β,S S 3=cos γcos α+cos β+cos γ=S S S S 321++=SS=1例3 已知三棱锥S —ABC 的底面面积是a ，三棱锥的高是h ，M 、N 、P 、Q 分别是SB 、SC 、AC 、AB 的中点，求五面体MN —PQBC 的体积解 如图，过M 作MD ∥BA 交SA 于D ，则D 是SA 的中点，连结ND ，则ND ∥AC 所求五面体MN —PQBC 的体积等于原三棱锥的体积与五面体SA —MQPN 的体积之差而V S —ABC =31ah ， V S —DMN =31·41a ·2h =241ah ，V 三棱柱DMN —APQ =S △AQP ·21h=81ah ，∴V MN —PQBC =V S —ABC -（V S-DMN +V DMN-APQ ）=31ah-(241ah+81ah) =61ah例4 棱锥被平行于底的平面分成体积相等的三部分.求这棱锥的高被分成三部分的比. 解 设棱锥的高为h ，它被截成的三部分自上而下设为h 1，h 2，h 3，则有 (h h 1)3=31,(123h h h +)3=2,(h h h 3-)3=32.所以h 1=393h,h 2=(32-1)h 1=393(32-1)h ，h 3=31833-h.所以h 1∶h 2∶h 3=1∶(32-1)∶(33-32).说明 求体积之比或面积之比常用相似比.例5 已知四棱锥S —ABCD 的底面是边长为6的正方形，SA ⊥底面ABCD ，且SA=8，M 是SA 的中点，过M 和BC 作截面交SD 于N.(1)求证：截面MB 是梯形，并求截面的面积； (2)求截面MB 与底面ABCD 的夹角α.解 (1)先证MN ∥BC 且MN ≠BC.因为BC ∥AD ，所以AD ∥截面MB ，从而 AD ∥MN ，BC ∥MN.又MN=21AD=21BC ，所以MN ≠BC.于是MN 和BC 平行但不相等，故MB 是梯形.再求截面的面积：SA ⊥平面ABCD.易证MN 和BC 都垂直于平面ABS.所以MB ⊥MN ，MB ⊥BC ，故S 截=21(MN+BC)·MB =21(3+6)1636 =913. (2)首先要找到二面角的平面角.根据上面的证明，知∠MBA 的是截面与底面所成二面角的平面角，即∠MBA=α.于是tan α=AB MA =64=32∴α=arctan 32【难题巧解点拨】例1 以四面体各面的重心为顶点构成一个新的四面体.求这两个四面体的表面积的比.解 因相似多面体全面积的比等于对应边的平方的比，故只须求出对应边的比.∵B 1D 1＝32EF ＝31BD ， ∴BD D B 11＝31.同理，AB B A 11＝AC C A 11＝AD D A 11＝BC C B 11＝CD D C 11＝31，故ABCD 和A ′B ′C ′D ′是相似多面体，其表面积的比为1∶9.例2 如图，四棱锥的高为h ，底面为菱形，侧面VDA 和侧面VDC 所成的二面角为120°，且都垂直于底面，另两个侧面与底面所成的角都是45°，求此棱锥的全面积.分析：由面面垂直的性质可证得VD ⊥底面，因为S ΔVDA ＝S ΔVDC ，∠ADC ＝120°，DB 是其平分线，而S ΔVBC ＝S ΔVAB ，所以全面积不难求得.解 由已知条件可得VD ⊥底面ABCD ，VD ⊥DA ，VD ⊥DC ，∴∠ADC ＝120°. ∵ABCD 为菱形，∴BD 是∠ADC 的平分线.ΔADB 和ΔDBC 是全等的等边三角形，取BC 的中点E ， 连DE ，BC ⊥DE ，BC ⊥VE ，∴∠VED ＝45°. 在直角ΔDEC 中，EC ＝DE ·ctg60°＝33h,BC ＝332h,VE ＝2h. ∴S 底＝BC ·DE ＝332h ·h ＝332h 2, S ΔVBC ＝S ΔVAB ＝21·332h ·2h ＝36h 2,S ΔVAD ＝S ΔVDC ＝21h ·332h ＝33h 2.∴S 全＝332h 2+362h 2+332h 2＝32(23+6)h 2 评析：本题的关键是侧面VDA 和侧面VDC 都垂直于底面，则它们的交线VD ⊥底面ABCD ，从而∠ADC ＝120°.例3 已知三棱锥各侧面与底面成60°角.底面三角形各角成等差数列，且最大边与最小边是方程3x 2-21x+13＝0的两根.求此三棱锥的侧面积和体积.解 如图，设底面三角形的边长为a 、b 、c.则由条件知∠B ＝60°，a+c ＝7,ac ＝313，得b 2＝a 2+c 2-2accosB ＝(a+c)2-2ac(1+cosB)＝72-2·313(1+21)＝36⇒b ＝6,由三角形面积公式，得21acsinB ＝pr(其中p 为半周长，r 为内切圆半径)，求得r ＝63.由于各侧面与底面成的角相等，∴顶点在底面上的射影是三角形的内心，且各侧面上的高相等，∴h ＝rtg60°＝63·3＝21，h 侧＝︒60cos r ＝33.故S 侧＝21(7+6)×33＝6133 (平方单位)，V ＝31·21acsinB ·h ＝61×313×23×21＝72133 (立方单位).例4 正三棱锥A-BCD ，底面边长为a ，侧棱为2a ，过点B 作与侧棱AC 、AD 相交的截面，在这样的截面三角形中，求(1)周长的最小值；(2)周长为最小时截面积的值，(3)用这周长最小时的截面截得的小三棱锥的体积与三棱锥体积之比.图1解 (1)沿侧棱AB 把正三棱锥的侧面剪开展成平面图.如图1，当周长最小时，EF 在直线BB ′上∵ΔABE ≌ΔB ′AF ，∴AE ＝AF ，AC ＝AD ，∴B ′B ∥CD ，∴∠1＝∠2＝∠3，∴BE ＝BC ＝a ，同理B ′F ＝B ′D ＝a.∵ΔFDB ′∽ΔADB ′，∴B D DF '＝B A B D ''，a DF ＝a a 2＝21,∴DF ＝21a,AF ＝23a.又∵ΔAEF ∽ΔACD ，∴BB ′＝a+43a+a ＝411a,∴截面三角形的周长的最小值为411a.(2)如图，∵ΔBEF 等腰，取EF 中点G ，连BG ，则BG ⊥EF.∴BG ＝22EG BE -＝22)83(a a -＝855a ∴S ΔBEF ＝21·EF ·BG ＝21·43a ·855a ＝64553a 2.(3)∵V A-BCD ＝V B-ACD ，而三棱锥B —AEF ，三棱锥B —ACD 的两个高相同，所以它们体积之比于它们的两底面积之比，即CAD B AEF B V V --＝ACD AEF S S △△＝22CD EF ＝169 评析 把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法.本题中的四面体，其中任何一个面都可以做为底面，因而它可有四个底面和与之对应的四条高，在解决有关三棱锥体积题时，需要灵活运用这个性质.例5 在三棱锥A —BCD 中，ΔABC 和ΔBCD 都是边长为a 的正三角形，二面角A —BC —D ＝φ，问φ为何值时，三棱锥的全面积最大。

直棱柱和正棱锥的直观图的画法，正多面体一、课题：直棱柱和正棱锥的直观图的画法，正多面体二、教学目标：1．掌握直棱柱和正棱锥的直观图的画法；2．培养画图、视图、析图的能力；3．了解正多面体的概念，了解正多面体只有5种．三、教学重点、难点：坐标系的建立、顶点的确定．四、教学过程：〔一〕复习：斜二测画法的规那么．〔二〕新课讲解：1．直棱柱、正棱锥的直观图：例1．斜二测画法画一个底面边长为4cm ，高为6cm 的正六棱柱的直观图．分析：要画正六棱柱的直观图，根据斜二测画法的画法规那么，只需建立恰当的坐标系，画出下底面的直观图，在根据正六棱柱的对称性确定上底面的六个顶点即可．画法：根据斜二测画法的画法规那么及画直观图的步骤可得以下步骤：〔1〕画轴：画x '轴、y '轴、z '轴，记坐标原点为O '，使如下图；〔2〕画底面：按x '轴、y '轴画边长为4cm 正六边行的直观图ABCDE ；〔3〕画侧棱：过,,,,,A B C D E F 各点分别作'z 轴的平行线，并在这些平行线上截取AA '、BB '、CC '、DD '、EE '、FF '，使它们都等于6cm ；〔4〕成图：顺次连结,,,,,A B C D E F '''''',并加以整理(去掉辅助线,并将被遮住的部分该为虚 线),就得到正六棱柱的直观图．说明：此题的关键是建立恰当的三维坐标系及画正六边行的直观图,我们选择恰当的坐标系的标准是尽可能的使所画平面图形的边和坐标轴平行或在坐标轴上．例2．画一个底面边长为5cm ,高为11.5cm 的正五棱锥的直观图,比例尺为1:5.分析：画正五棱锥的直观图只需根据斜二侧画法,选择恰当的坐标系画出正五边形的直观图,进而确定出正五棱锥的顶点即可.画法：〔1〕画轴：画x '轴、y '轴、z '轴，记坐标原点为O '，使45x O y '''∠=〔或135〕，使90x O z '''∠=；〔2〕画底面：x '轴、y '轴画边长为1cm 正五边形的直观图ABCDE 并使正五边行的中心对应与点O '；〔3〕画高线：在'z 轴上取11.5 2.35O S cm '==； 〔4〕成图：顺次连结,,,,SA SB SC SD SE ,并加以整理(去掉辅助线,并将被遮住的部分该为虚线),就得到正棱锥的直观图．说明：正棱锥的直观图由底面和顶点所决定。