微分方程复习题(1)

微分方程习题

§1 基本概念 1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.

（1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22

（2）⎰'=''=+y 0 22

2t -)(,1e y y y x dt

2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）

（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.） （1）1)(22=++y C x ； （2）x C x C y 2cos 2sin 21+=.

3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。 （1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。

（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。

（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。 §2可分离变量与齐次方程

1.求下列微分方程的通解 （1）2211y y x -='-；

（2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ； （3）

23xy xy dx

dy

=-；

（4）0)22()22

(=++-++dy dx y y x x y

x .

2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,02=='=-x y x y

e y ；

（2）2

1 ,12=

=+'=x y

y y y x 3. 求下列微分方程的通解 （1）)1(ln

+='x

y

y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x . 4. 求下列微分方程的特解 （1）

1. 微分方程e y y y x y x =='=2,ln tan π

的特解是x e y sin =.

2. 微分方程x xe y y y -=-'-''2的特解形式是（ ）

A ．x e b ax y -*+=)(； B. x e b ax x y -*+=)(；

C. x e ax y -*=2;

D. x e b ax x y -*+=)(2

3. 求微分方程x xe y y y =+'-''65的通解.

解：x x e C e C Y r r r r 3221212,3,2,065+====+-

x e b ax y )(+=*设 代入方程解得 ,43,21==

b a 则x e x y )32(41+=* 故通解为 x x x e x e C e C y )32(4

13221+++= 4. 求微分方程x x y y 232+-='-''满足初始条件5)0(,2)0(='=y y 的特解. 解：x e C C Y r r r r 21212,1,0,0+====-

)(2c bx ax x y ++=*设

代入方程解得 4,2,1===c b a 则x x x y 4223++=*

故通解为 ++=x e C C y 21x x x 422

3++

将5)0(,2)0(='=y y 代入得121==C C ，所以，+=x e y 14223+++x x x 5．微分方程y ''+ 3y '+ 2y = 0的通解是

6．微分方程x

y x y x y dx dy +=ln 的通解是x C e x y =. 7．微分方程23x y y ='-''的特解形式是（ ）．

考研数学二（微分方程）模拟试卷1(题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设非齐次线性微分方程y’＋P(x)y＝Q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，C为任意常数，则该方程的通解是

A．C[y1(x)－y2(x)]．

B．y1(x)＋C[y1(x)－y2(x)]．

C．C[y1(x)＋y2(x)]．

D．y1(x)＋C[y1(x)＋y2(x)]．

正确答案：B 涉及知识点：微分方程

2．设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y”＋p(x)y’＋q(x)y＝f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是A．C1y1＋C2y2＋y3．

B．C1y1＋C2y2－(C1＋C2)y3．

C．C1y1＋C2y2－(1－C1—C2)y3．

D．C1y1＋C2y2＋(1－C1－C2)y3．

正确答案：D 涉及知识点：微分方程

3．若连续函数f(x)满足关系式，则f(x)等于

A．exln2．

B．e2xIn2．

C．ex＋ln2．

D．e2x＋ln2．

正确答案：B 涉及知识点：微分方程

填空题

4．微分方程y’＋ytanx＝cosx的通解为________．

正确答案：y＝(x＋C)cosx；涉及知识点：微分方程

5．微分方程xy’＋y＝0满足初始条件y(1)＝2的特解为_______．

正确答案：xy＝2；涉及知识点：微分方程

6．微分方程xy”＋3y’＝0的通解为_______．

正确答案：y＝C1x－2＋C1；涉及知识点：微分方程

微分方程复习题

一、填空题

1．微分方程0)(22=+-+x y dx

dy dx dy n 的阶数是____________. 答：1

2．形如_ 的方程称为齐次方程.

答：

)(x y g dx dy = 3. 方程232d 10d x x t

+=是 阶 (线性、非线性)微分方程. 4．微分方程34()"30y y y y '++=的阶数为 .

5．微分方程d 0d y y x

+=的通解是 . e x y c -= 6．微分方程02=+'xy y 的通解是 . 2e x y c -=.

7. 一阶线性微分方程()()y P x y Q x '+=的通解为 .

()d ()d e (()e d )P x x P x x y Q x x C

-⎰⎰=+⎰ 8. n 阶微分方程的通解含有 个独立的任意常数。

9. 方程d ()d x y f xy y x

=经变换_______，可以化为变量分离方程 . 10. 微分方程323d 0d x y x x

--=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 11. 设常系数方程e x y y y αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方

程的系数α= ，β= ，γ= .

12. 方程22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 .

13．方程04=+''y y 的基本解组是 ．x x 2cos ,2sin

14. 朗斯基行列式()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关 的 条件.

微分方程习题

§1 基本概念

1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.

（1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22

（2）⎰'=''=+y 0 222

t -)(,1e y y y x dt

2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）

（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）

（1）1)(22=++y C x ；

（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=.

3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。

（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。

（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。

（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。 §2可分离变量与齐次方程

1.求下列微分方程的通解

（1）2211y y x -='-；

（2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ；

（3）23xy xy dx

dy =-； （4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x .

2．求下列微分方程的特解

（1）0 ,02=='=-x y x y e y ；

（2）2

1 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解

（1）)1(ln +='x

y y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x .

4. 求下列微分方程的特解

第７章 微分方程练习题

习题７.1

1．选择题 〔1〕〔 〕是微分方程

〔〔A 〕〕dx x dy )14(-=． (〔B 〕)12+=x y ． (〔C 〕)0232

=+-y y ． (〔D 〕)⎰

=0sin xdx ．

〔2〕( )不是微分方程

〔〔A 〕〕03=+'y y ． (〔B 〕)x x dx

y

d sin 32

2+=． (〔C 〕)0232=+-y x y ． (〔D 〕)0)()(2

222=-++dy y x dx y x ．

〔3〕微分方程x xy y sin 43)(2

=+'的阶数为〔 〕

(〔A 〕) 2． (〔B 〕) 3． (〔C 〕) 1． (〔D 〕) 0． 2．判断函数是否为所给微分方程的解〔填“是〞或“否〞〕 〔1〕25,

2x y y y x =='． 〔 〕

(2)C y x x y x y y x =+--='-22,2)2(. ( )

(3)

C x y y dy

dx

+==+arccos ,0sin . ( )

(4)x

y y x y 1

,2

2

=

+=''. ( ) 习题7.2

1．解微分方程

(1) x dx dy 1=． (2) 2

211x

y dx dy --=． (3) y

x e

y -='2． (4)0)1()1(2

2

=++-dx y x dy x y ．

(5) 4,2

12

==+'=x y y xy y x ．

2．解微分方程

(1)0)()(=-+'+y x y y x ． (2)dx

dy

xy dx dy x

y =+2

2

． (3) x

y

x y y tan +=

'． 3．解微分方程

习题 2.5

1. 求解下列方程的解

（1） ysinx+

dx

dy cosx=1 解：移项得，dx

dy cosx=1-ysinx 两边同除cosx 得dx dy =—x x cos sin y+x cos 1 所以，y=e ⎰x x d cos )

(cos 1（⎰x cos 1e ⎰-x x d cos )(cos 1dx+c ）

y=cosx(2)cos 1(⎰x

dx+c) y=cosx(⎰

2sec xdx+c) y=cosx(tanx+c)

所以 y=sinx+cosxc 为方程的通解

(2)ydx-xdy=x 2ydy

解：两边同除x 2得，2x

xdy ydx -=ydy 则d （x

y -）=d （22y ） 所以，x

y y +22=c 为方程的通解。 （3）

dx

dy =4e -y sinx-1 解：两边同乘以e y 得，e y dx dy

=4sinx-e y 所以dx

e d y )

(=4sinx-e y 令u=e y 得，

u x dx du -=sin 4 u=e ⎰-dx 1 (⎰⎰dx xe sin 4dx+c)

u=e -x (⎰x xe sin 4dx+c)

又因为⎰x xe sin 4dx=4⎰x xde sin =4sinxe x -4⎰x e dsinx=4sinxe x -4⎰

x xe cos dx=4sinxe x -4 ⎰x xde cos =4sinxe x -4e x cosx+4⎰x e d （cosx ）=4sinxe x -4e x cosx-4⎰

x xe sin dx

常微分方程复习题

一、填空题

1．微分方程0)(

22=+-+x y dx dy dx dy n 的阶数是____________. 答：1

2．形如_ 的方程称为齐次方程。

答： )(x

y g dx dy = 3．方程04=+''y y 的基本解组是 ．

答:cos 2,sin 2x x .

1。 二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是 ．

答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）

2. 方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ．

答：x

x x e ,e

3。 若()t ϕ和()t ψ都是()X A t X ''=的基解矩阵,则()t ϕ和()t ψ具有的关系是 。

4。一阶微分方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 是全微分方程的充分必要条件是 .

5。 方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只含x 的积分因子的充要条件是 。有只含y 的积分因子的充要条件是 .

6. 一曲线经过原点，且曲线上任意一点()y x ,处 的切线斜率为y x +2，则曲线方程为 。

7。 称为n 阶齐线性微分方程。

8. 常系数非齐线性方程()(1)11()n n x n n m y a y a y a y e P x α--'+++=(其中()m P

x 是m 次多项式）中,则方程有形如 的特解.

9. 二阶常系数线性微分方程32x y y y e '''-+=有一个形如 的特解.

10. 微分方程4210y y y ''''''+-=的一般解为 。

微分方程复习题

一、选择题

1、函数x c y sin -=（C 为任意常数）是微分方程x y sin =''的 （ C ）

（A ）通解 （B ）特解

（C ）是解，但既非通解也非特解 （D ）不是解

2、微分方程： y y '''''=的通解为( B )

（A ）2

123x e c x c x c ++++ （B ）123x

c e c x c ++

（C ）2123c x c x c ++ （D ）32123c x c x c ++

3、设有微分方程：（1）、()()dy

k a y b y dx =--； （2）、cos dy

y x dx =+；

（3）、22(2)0y dx y xy x dy -+-=， 则（ C ）。

（A ）方程（1）是线性微分方程 （B ）方程（2）是线性微分方程

（C ）方程（3）是线性微分方程 （D ）它们都不是线性微分方程

4、微分方程0)2()(322=+++dy xy y dx y x 是 （ B ）

（A ）可分离变量的微分方程 （B ）全微分方程

（C ）齐次方程 （D ）一阶线性方程

5、微分方程xy y 2='的通解是（ D ）

（A ） 2Ce y = （B ） 2x e y =

（C ） 2Cx y = （D ） 2x Ce y =

6、下列方程中是伯努利微分方程的是（ B ）

（A ） 022=++'x y y （B ） 0sin 2=++'x xy y

（C ） x y ='2)( （D ） 023=++'x y y

7、微分方程ydy dx y xydy dx +=+2满足初始方程条件y (0)=2的特解是（ C

第７章 微分方程练习题

习题７.1

1．选择题 （1）（ ）是微分方程

（（A ））d x x d y )14(-=． (（B ）) 12+=x y ． (（C ）) 0232

=+-y y ． (（D ）)⎰

=0sin xdx ． （2）( )不是微分方程

（（A ））03=+'y y ． (（B ）) x x dx

y

d sin 32

2+=． (（C ）) 0232=+-y x y ． (（D ）) 0)()(2

222=-++dy y x dx y x ．

（3）微分方程x xy y sin 43)(2

=+'的阶数为（ ）

(（A ）) 2． (（B ）) 3． (（C ）) 1． (（D ）) 0． 2．判断函数是否为所给微分方程的解（填“是”或“否”） （1）25,

2x y y y x =='． （ ）

(2) C y x x y x y y x =+--='-22,2)2(. ( )

(3)

C x y y dy

dx

+==+arccos ,0sin . ( )

(4) x

y y x y 1

,2

2

=

+=''. ( ) 习题7.2

1．解微分方程

(1) x dx dy 1=． (2) 2

2

11x

y dx dy --=．

(3) y

x e y -='2． (4)0)1()1(2

2=++-dx y x dy x y ．

(5) 4,2

12

==+'=x y y xy y x ．

2．解微分方程

(1) 0)()(=-+'+y x y y x ． (2) dx

dy

xy

dx dy x y =+2

2． (3) x

y

x y y tan +='．

微分方程期末试题及答案

1. 试题

（1）求解微分方程：dy/dx = x^2 + 2x.

（2）求解初值问题：dy/dx = 2x - 3, y(0) = 1.

（3）求解微分方程：y'' + 4y' + 4y = 0.

（4）求解初值问题：y'' - 4y' + 4y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 2.

2. 解答

（1）解微分方程：dy/dx = x^2 + 2x.

对方程两边同时积分，得到:

∫dy = ∫(x^2 + 2x)dx.

得到 y = (1/3)x^3 + x^2 + C.

其中C为常数。

（2）求解初值问题：dy/dx = 2x - 3, y(0) = 1.

对方程两边同时积分，得到:

∫dy = ∫(2x - 3)dx.

得到 y = x^2 - 3x + C.

根据初值条件 y(0) = 1，代入可得C = 1，因此 y = x^2 - 3x + 1.

（3）解微分方程：y'' + 4y' + 4y = 0.

首先求特征方程：

r^2 + 4r + 4 = 0.

解此二次方程，得到 r = -2.（重根）

因此通解为 y = (C1 + C2x)e^(-2x)，其中C1，C2为常数。

（4）求解初值问题：y'' - 4y' + 4y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 2.

首先求特征方程：

r^2 - 4r + 4 = 0.

解此二次方程，得到 r = 2.（重根）

因此通解为 y = (C1 + C2x)e^(2x)，其中C1，C2为常数。

根据初值条件 y(0) = 1，代入可得C1 = 1.

第7章微分方程练习题

习题7 .1

1 •选择题 (1)(

)是微分方程

((A )) d = (4x -1)d .

( (B ) ) y =2x 1 . ((C ) )y 2

一 3y 2 = 0 . (

(D ) ) sin xdx = 0.

(2)(

)

不是微分方程

((A )) y 3y =0 .

((B))亠4 = 3X + Sin X . dx

((C ))

3y 2

一 2x y = 0 .

2 2 2 2

((D) ) (x y )dx (x - y )dy 二 0

(3)微分方程(y )2

3xy =4sinx 的阶数为(

) ((A ) ) 2 . ( (B ) ) 3. ( (C ) 1.

(

(D ) ) 0 • 2 •判断函数是否为所给微分方程的解(填“是”或“否”

)

⑵ (x _2y)y =2x

2

-y, x -x y

⑶ dx . - sin y =

0, dy

y 二 arccosx

C ⑷

井 2丄

2

y =X y ,

1 y - x

习题7.2

1. 解微分方程

2

二

C

( )

(1)

(1) xy =2y, y =5x .

dy 1

dx x

dy dx

i-y 2 1 -x 2

(5) x 2

y xy y x =1_ 二4

-

2 •解微分方程

（1）（x y ）y

（一八。• ⑵

y2

X 2/

y =e 2x_y ⑷ y(l _x 2)dy x(1 y 2)dx =0.

dy xy - • dx

3 .解微分方程

(1) y y =e (2) y cosx y sin x =

1.

选择题

(1)( )是微分方程

((A)) = (4x -

1)d .

例1． 设()y y x =在(,)-∞+∞内具有二阶导数且0y '≠.()x x y =是()y y x =的反函

数。试求微分方程

2

3

2(sin )(

)0d x dx y x dy

dy

++=的通解.

[答案：121sin 2

x x y C e C e x -=+-

]

解：[析]这是一个二阶非线性方程，无固定解法

但已知y=y(x)是x=x(y)的反函数且y ’≠0

故可尝试考虑y=y(x)满足一个可解方程，从而求出y=y(x),进而得到x=x(y)的表达式 因为

dx dy

=

1'

y 所以

2

2

d x dy

=－

()

2

'''y y dx

dy

=－

()

3

''

'y y

代入原方程得y ''－y=sin x 解为y=1c x e +2x c e -－1sin 2

x

即为原方程的通解

例2． 设连续，且满足2

22

()()()x

x

f x e

x t f t dt -'=--⎰.求()f x 的表达式. [答案：2

2

2()x x e f x x e =-+]

解：两边关于x 求导

()'

f

x =－2x 2

x e -－2x ()'

x

f

t dt ⎰

=－2x 2

x

e

-－2x[()f x －()0f ]

由()0f =1 故()'

f x +2x ()f x =－2x 2

x e -+2x

即2

x

e

()'

f

x +2x 2

x e ()f x =－2x+2x 2

x

e

[2

x

e

()f x ]'=－2x+2x 2

x

e

由()0f =1 即解得2

x

e ()

f x =－2x +2

x

e

例3． 设()()()F x f x g x =，其中函数(),()f x g x 在(,)-∞+∞内满足以下条件：