曲面积分中值定理的一个新证明

积分形式的中值定理积分形式的中值定理引言：积分形式的中值定理是微积分中的重要定理之一，它建立了积分和导数之间的联系，并在许多数学和科学领域中发挥着重要的作用。

在本文中，我们将深入探讨积分形式的中值定理以及它的应用，帮助读者更好地理解这一概念。

我们将按照从简到繁、由浅入深的方式介绍该定理，并结合实例进行说明。

一、中值定理的基本概念1. 定义：积分形式的中值定理是指对于任意函数f(x)，存在某个c∈[a,b]，使得∫[a,b]f(x)dx=f(c)(b-a)。

2. 中值定理与导数关系：中值定理的关键在于导数。

通过导数的定义和积分的反函数关系，我们可以推导出中值定理的积分形式。

二、中值定理的几何意义1. 几何解释：中值定理可以解释为在曲线上存在某个点，该点的斜率等于曲线上所有点的平均斜率。

2. 图像说明：通过绘制函数图像，我们可以很直观地理解中值定理的几何意义，并且可以通过观察图像来预测可能的c值。

三、中值定理的应用1. 求积分：中值定理在求积分中有广泛应用。

通过将积分形式的中值定理转化为导数形式的中值定理，我们可以更方便地计算各种积分。

2. 估计函数值：中值定理的一个重要应用是用于估计函数在某一区间内的取值。

通过找到合适的区间和对应的c值，我们可以推断出函数在该区间内的性质。

四、个人观点和理解中值定理在数学和科学研究中具有重要的作用。

它不仅为我们提供了一种求积分和估计函数值的方法，还帮助我们更深入地理解函数的性质和变化规律。

我个人认为，掌握中值定理可以使我们在解决实际问题时更加灵活和准确。

总结：积分形式的中值定理是微积分中的重要定理，它建立了积分和导数之间的联系。

通过中值定理，我们可以更好地理解函数的性质和变化规律，同时也为我们提供了一种求积分和估计函数值的方法。

掌握中值定理可以使我们在数学和科学研究中更加灵活、准确地应用它的原理和方法。

致谢：感谢您阅读本文，我希望您能通过本文对积分形式的中值定理有更深入的理解。

目录摘要····································································错误！未定义书签。

关键词····································································错误！未定义书签。

关于积分中值定理的证明(最全)word资料勾股定理证明评鉴勾股定理（又叫「勾股定理」）说：「在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。

」据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过 4000 年！又据记载，现时世上一共有超过 300 个对这定理的证明！我觉得，证明多，固然是表示这个定理十分重要，因而有很多人对它作出研究；但证明多，同时令人眼花缭乱，亦未能够一针见血地反映出定理本身和证明中的数学意义。

故此，我在这篇文章中，为大家选出了 7 个我认为重要的证明，和大家一起分析和欣赏这些证明的特色，与及认识它们的背境。

证明一图一在图一中，D ABC为一直角三角形，其中 Ð A为直角。

我们在边 AB、BC和AC之上分别画上三个正方形 ABFG、BCED和 ACKH。

过 A点画一直线 AL使其垂直于 DE并交 DE于 L，交 BC于 M。

不难证明，D FBC全等于 D ABD （S.A.S.）。

所以正方形 ABFG的面积 = 2 ´ D FBC的面积 = 2 ´ D ABD的面积 = 长方形 BMLD的面积。

类似地，正方形 ACKH的面积 = 长方形 MCEL的面积。

即正方形 BCED的面积 = 正方形 ABFG的面积 + 正方形 ACKH的面积，亦即是AB2 + AC2 = BC2。

由此证实了勾股定理。

这个证明巧妙地运用了全等三角形和三角形面积与长方形面积的关系来进行。

不单如此，它更具体地解释了，「两条直角边边长平方之和」的几何意义，这就是以 ML将正方形分成 BMLD和 MCEL的两个部分！这个证明的另一个重要意义，是在于它的出处。

这个证明是出自古希腊大数学欧几里得之手。

欧几里得（Euclid of Alexandria）约生于公元前 325 年，卒于约公元前 265 年。

他曾经在古希腊的文化中心亚历山大城工作，并完成了著作《几何原本》。

《几何原本》是一部划时代的著作，它收集了过去人类对数学的知识，并利用公理法建立起演绎体系，对后世数学发展产生深远的影响。

积分中值定理的改进和应用摘要：本文在《数学分析》（华东师大版）所叙述的第一、第二积分中值定理和前人对积分中值定理所作的改进的基础上，进一步把定理中的条件进行加强，从而得到一个更精细的定理，并分别从四个方面阐述了积分中值定理的应用。

论文关键词：积分中值定理,函数,连续,单调,区间中占有重要的地位。

一、积分中值定理的叙述定理：（推广的积分第一中值定理）若函数与在闭区间上连续，且在上不变号，则在上至少存在一点，使。

特别地，当g(x)=1时有定理：（积分第二中值定理）若函数在在区间非负单调递减，为可积函数，则存在。

定理：若在上且单调递增，为可积函数, 则存在.定理（推论）：若在上为单调函数，为可积函数，则存在。

二、积分中值定理的改进将第一中值定理进行改进和加强得到：定理：若函数在闭区间上连续，在上连续且不变号，则在内至少存在一点，使。

特别地，当=1时有，现在我们在此基础上将定理5中的条件进行加强，从而得到：定理6：若函数在闭区间上严格单调且连续，而在上可积不变号，则在内存在唯一一点，使。

特别地，当=1时有证明：在区间中作映射T：=+，不妨设严格单调递增（严格单调递减的情况可类似证明），则< < ,那么C,从而T是到自身的映。

又对于，有：因为在上严格单调递增，所以，故必存在一个数，使得成立。

因此有：=，从而T是到自身的压缩映像，由Banach不动点原，存在唯一一点，即从而得，定理得证。

三、积分中值定理的应用１. 在具有某些性质的点的存在问题中的应用在积分学的学习过程中，有关定积分具有某些性质的点的存在问题的论证是一个难点。

一般，我们应仔细观察被积函数所具有的性质，注意利用微分中值定理、积分中值定理等途径来证明有关问题。

例1 若函数在闭区间上连续，且，证明：在内至少存在两点。

在中已用Rolle定理给出了一个证明，而本文将利用积分中值定理来证明。

分析：很明显=0在闭区间上至少存在一个根，那么我们采用反证法，即证=0在上不可能只存在唯一的一个根。

专题研究：应用微分中值定理的常见证明方法一 至少存在一点)b ,a (∈ξ，使得0)(f )n (=ξ的命题。

其思路有二：（1） 验证0)x (f )1-n (=在]b ,a [上满足罗尔中值定理条件(Roll theory),由该定理得证。

（2） 验证ξ为)x (f 1)-n (的最值点或极值点，用费马定理（Format theory ）得到命题证明。

例1 设函数)x (f 在]b ,a [上可导，且有0)b ('f )a ('f <-+，则在)b ,a (内至少存在一个ξ，使得0)('f =ξ 解：由题设0)b ('f )a ('f <-+，可知)b ('f )a ('f -+和异号，不妨设)a ('f +<0, )b ('f ->00ax )a (f )x (f )a ('f limax <--=→+,由极限的保号性可得：∴01>∃δ，当)a ,a (x 1δ+∈时有0ax )a (f )x (f <--)a (f )x (f <⇒同理：0bx )b (f )x (f )b ('f limax >--=→-∴02>∃δ，当)b ,-b (x 2δ∈时有0bx )b (f )x (f >--)b (f )x (f <⇒又因为)x (f 在]b ,a [上连续，)x (f 在]b ,a [上必有最小值，由以上可知最小值必在)b ,a (内。

设)}x (f {)(f ),b ,a (min bx a ≤≤=∈ξξ，由费马定理可知0)('f =ξ例2 若函数)x (f 在)b ,a (内具有二阶导数，且0)x (f )x (f )x (f 321===，其中 b x x x a 321<<<<，证明：在)x ,x (31内至少有一点ξ，使得：0)(''f =ξ 证：依题意，可对f(x)在],[],x ,[3221x x x 分别应用罗尔中值定理，故存在0)('f 1=ξ),(211x x ∈ξ，0)('f 2=ξ ),(322x x ∈ξ。

积分中值定理（开区间）的几种证明方法定理：设f 在[,]a b 上连续，则(,)a b ξ∃∈，使得()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰。

[证一]：由积分第一中值定理（P217），[,]a b ξ∃∈， 使得()()()b a f x dx f b a ξ=-⎰。

于是[()()]0.b a f x f dx ξ-=⎰由于函数()()()F x f x f ξ=-在[,]a b 上连续，易证（可反证）：(这还是书上例2的结论)(,)a b η∃∈，使得()()()0F f f ηηξ=-=，即()()f f ηξ=。

[证二]：令()()xa F x f t dt =⎰，则()F x 在[,]ab 上满足拉格朗日中值定理的条件，故(,)a b ξ∃∈，使得()()()()F b F a F b a ξ'-=-，即结论成立。

（注：书上在后面讲的微积分基本定理）[证三]：反证：假设不(,)a b ξ∃∈，使得 ()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰，由积分第一中值定理，知ξ只能为a 或b ，不妨设为b ，即1(,),()()()b a x a b f x f b f x dx b a∀∈≠=-⎰。

由于f 连续，故(,),x a b ∀∈ ()()f x f b >（或()()f x f b <），（这一点是不是用介值定理来说明）这样（上限x 改为b ）()()()().x b a af x dx f b dx f b b a >=-⎰⎰ （这个严格不等号不太显然要用书上例2结论来说明）矛盾。

[证四]：设f 在[,]a b 上的最大值为M ，最小值为m 。

若m M =，则f c ≡，ξ可任取。

若m M <，则1[,]x a b ∃∈，有1()0M f x ->，故[()]0b a M f x dx ->⎰，即 ()().ba f x dx Mb a <-⎰同理有()().ba mb a f x dx -<⎰ 由连续函数的介质定理知：(,)a b ξ∃∈，使得 1()().b a f f x dx b aξ=-⎰。

积分中值定理(开区间)的几种证明方法定理：设f 在［a,b ］上连续，则 (a,b)，使得f (x) f ()在［a,b ］上连续，易证(可反证)(这还是书上例2的结论)(a,b)，使得 F( ) f( ) f( ) 0，即 f ( ) f()。

x［证二］:令F(x) f (t)dt ，则F(x)在［a,b ］上满足拉格朗日中值定理的条件，故a(a,b)，使得 F(b) F(a) F ( )(b a)，即结论成立。

(注：书上在后面讲的微积分基本定理 )b［证三］:反证：假设不 (a,b)，使得 f(x)dx f( )(b a)，由积分第一中值定理, a知只能为a 或b ，不妨设为b ，即1bx (a,b), f (x) f (b) - a f(x)dx 。

b a a 由于 f 连续，故 x (a,b), f (x) f(b)(或 f (x) f(b))，(这一点是不是用介值定理来说明 )这样x b(上限 x 改为 b ) f (x)dx f (b)dx f (b)(b a).a a(这个严格不等号不太显然要用书上例 2结论来说明)矛盾。

［证四］:设f 在［a,b ］上的最大值为 M ，最小值为m 。

若m M ，则f c ， 可任取。

b若 m M ，则 x - ［a,b ］，有 M f(x -) 0,故［M f (x)］dx 0,即ab f (x)dx M (b a).f(x)dx f( )(b a)。

［证一］:由积分第一中值定理(P217),b[a,b]，使得 f (x)dx a f( )(b a)。

于是a 【f (X ) f ( )]dx 0.由于函数F(x)同理有m(b ba) & f(x)dx.由连续函数的介质定理知：1 b (a,b)，使得f ( ) f (x)dx.。

b a a主：以上方法有的能推广到定理9.8的证明，有的不能，再思考吧！。

略谈积分中值定理及其应用(优选)word资料略谈积分中值定理及其应用白永丽 张建中(平顶山工业职业技术学院)积分中值定理是定积分的一个重要性质，它建立了定积分与被积函数之间的关系，从而使我们可以通过被积函数的性质来研究积分的性质，有较高的理论价值和广泛的应用。

本文就其在解题中的应用进行讨论。

一、积分中值定理的内容：定理1（积分第一中值定理） 若)x (f 在]b ,a [上连续，则在]b ,a [上至少存在一点ξ使得b a ),a b ()(f dx )x (f ba≤ξ≤-ξ=⎰（1）定理2（推广的积分第一中值定理） 若)x (g ),x (f 在闭区间]b ,a [上连续，且)x (g 在]b ,a [上不变号，则在]b ,a [至少存在一点ξ，使得b a ,dx )x (g )(f dx )x (g )x (f baba≤ξ≤ξ=⎰⎰ （2）证明：（推广的积分第一中值定理）不妨设在]b ,a [上0)x (g ≥则在]b ,a [有)x (Mg )x (g )x (f )x (mg ≤≤其中m,M 分别为)x (f 在]b ,a [上的最小值与最大值，则有：⎰⎰⎰≤≤bab ab adx )x (g M dx )x (g )x (f dx )x (g m若⎰=b a0dx )x (g ，则由上式知⎰=ba0dx )x (g )x (f ，从而对]b ,a [上任何一点ξ，定理都成立。

若⎰≠ba 0dx )x (g 则由上式得：M dx)x (g dx)x (g )x (f m baba≤≤⎰⎰则在]b ,a [上至少有一点ξ，使得⎰⎰=ξbabadx)x (g dx)x (g )x (f )(f即：.b x a ,dx )x (g )(f dx )x (g )x (f bab a≤≤ξ=⎰⎰显然，当1)x (g ≡时，（2）式即为（1）式二、积分中值定理的应用由于该定理可以使积分号去掉，从而使问题简化，对于证明包含函数积分和某个函数值之间关系的等式或不等式，常可以考虑使用积分中值定理，在应用积分中值定理时应注意以下几点：（1）在应用中要注意被积函数在区间]b ,a [上连续这一条件，否则，结论不一定成立。

曲线积分的中值定理
曲线积分的中值定理是泰勒积分中重要的概念，它是关于计算曲线上一段区间内的积分的定理。

泰勒积分是一种称为曲线积分的科学方法，它可以用来计算一定空间或时间内某函数在某段区间内变化的积分。

它可以帮助我们估计物理过程中动量、势能或运动量在一定空间或时间内的增加。

曲线积分的中值定理也是泰勒积分的核心，它用来估计曲线在某段区间内积分的三角形估计。

曲线积分的中值定理认为，曲线在某段区间内积分的值，与这段区间内曲线变化的值有很强的关联性。

它声称，如果我们在某段区间内把一条曲线分成N个小段，那么在这段区间内抽取一个数θ，θ的值位于[0,1]之间，而曲线的积分值可以使用它作为参数的函数的值的近似来表示。

若N 趋向无穷，则θ = 0.5 时曲线的积分值与函数值近似相等。

由此，曲线积分的中值定理提出，如果把一条曲线在某段区间内划分为足够多的小段，并使θ = 0.5，那么函数在当前区间内的积分值可以用近似的函数值来表示，这就是曲线积分的中值定理。

但是，曲线积分的中值定理只是一种估算，它不能代替实际的积分计算，也不能作为实际积分计算的一部分。

市中值定理是一种非常便捷和有用的工具，它可以节省我们大量的时间和精力，改良计算效率，但它不能作为实际积分计算的完全替代品。

总之，曲线积分的中值定理是一种有效的估算方法，它可以代替实际的积分计算，可以节省我们大量的时间和精力，但是它仍然不能取代实际的积分计算。

曲面积分中值定理的一个新证明
张晓娇;曹萍
【期刊名称】《徐州工程学院学报》
【年(卷),期】2006(021)003
【摘要】对曲面积分中值定理,给出了一个新的证明,并举出相关例子加以应用.【总页数】3页(P101-103)
【作者】张晓娇;曹萍
【作者单位】徐州师范大学数学系,江苏,徐州,221116;徐州师范大学数学系,江苏,徐州,221116
【正文语种】中文
【中图分类】O172.2
【相关文献】
1.柯西中值定理的新证明及中值定理的两个应用 [J], 高崚嶒;陈燕
2.Rolle中值定理的一个新证明 [J], 李万军
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4.曲面积分中值定理的一个新证明 [J], 张晓娇;曹萍
5.曲面积分中值定理的一个新证明 [J], 张晓娇;曹萍
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收稿日期:2006-01-10作者简介:张晓娇(1984-),女,山东淄博人,大学本科,主要从事数学分析研究.第21卷第3期徐州工程学院学报2006年3月V ol.21N o.3Jour nal o f Xuzho u I nstitute of T echno lo gyM A R.2006曲面积分中值定理的一个新证明张晓娇,曹　萍(徐州师范大学数学系,　江苏　徐州　221116) 【摘　要】　对曲面积分中值定理,给出了一个新的证明,并举出相关例子加以应用.【关键词】　曲面积分;积分中值定理;对称性;曲面面积【中图分类号】　O172.2　【文献标识码】A 【文章编号】1673-0704(2006)03-0101-030　引言众所周知,在微积分中,中值定理有着重要的应用.随着研究的深入,积分中值定理已被推广于曲面积分中,然而本文的作者却没有发现一个完整详细的证明.因此本文给出了一个规范的证明,并将此定理应用到对称性的证明及对曲面积分的估计值上.同时笔者发现包虎在文献[1]中应用曲线积分中值定理证明对称性时不严密:文[1]在其例1中,仅有曲线关于轴对称,而对f (x ,y )不做要求时,就得出(-N ,G )是C 2的中值点.然而当函数f (x ,y )不是对称函数时,(-N ,G )不一定是C 2的中值点,故对其证明方法加以改进,并应用在本文例1的证明中.1　主要结论及其证明引理1　设有光滑曲面S ∶z =z (x ,y ),(x ,y )∈D ,f (x ,y ,z )为S 上的连续函数,则k S f (x ,y ,z )d S =k D f (x ,y ,z (x ,y ))1+f 2x +f 2y d x d y .引理2　若f (x ,y )在有界闭区域D 上连续,g (x ,y )在D 上可积且不变号,则存在一点(N ,G )∈D ,使得k D f (x ,y )g (x ,y )d R =f (N ,G )k Dg (x ,y )d R .引理3　若空间曲面S 由参量方程x =x (u ,v ),y =y (u ,v ),z =z (u ,v ),(u ,v )∈D 确定,其中D 为可求面积的有界区域,x =x (u ,v ),y =y (u ,v ),z =z (u ,v )在D 上具有连续的一阶偏导数,且5(x ,y )5(u ,v ),5(y ,z )5(u ,v ),5(z ,x )5(u ,v )中至少有一个不等于零,则曲面S 的面积公式为$S =k D ′EG -F2d u d v .其中:E =x 2u +y 2u +z 2u ,F =x u x v +y u y v +z u z v ,G =x 2v +y 2v +z 2v ;D ′为D 在uv 平面上的像.定理[1]　若D 为x oy 平面上的有界闭区域,z =z (x ,y )是光滑的曲面S ,函数f (x ,y ,z )在S 上连续,则曲面S 上至少存在一点(N ,G ,F )使・101・kSf(x,y,z)d S=f(N,G,F)$S.其中$S是曲面S的面积证明:　设曲面S的参数方程为x=x(u,v)y=y(u,v)z=z(u,v)　其中(u,v)∈D.则由引理1得kSf(x,y,z)d S=k D f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))EG-F2d u d v.(1)根据引理2存在一点(u0,v0)∈D使得上式为kSf(x,y,z)d S=k D f(x(u0,v0),y(u0,v0),z(u0,v0))EG-F2d u d v.令F=x(u0,v0),G=y(u0,v0),F=z(u0,v0)及引理1得kSf(x,y,z)d S=f(N,G,F)$S.从而定理得证.2　应用例1:设函数f(x,y,z)在光滑闭曲面S上连续,关于y oz平面对称,那么(1)若f(x,y,z)是关于x的奇函数,则k S f(x,y,z)d S=0;(2)若f(x,y,z)是关于x的偶函数,则k S f(x,y,z)d S=2k S1f(x,y,z)d S.其中S1:x=x(y,z)≥0.证明:设S1为S在y oz平面的前半部分,即x=x(y,z)≥0,设S2为S在y oz平面的后半部分,即x= x(y,z)<0,则由积分区域的可加性有kSf(x,y,z)d S=k S1f(x,y,z)d S+k S2f(x,y,z)d S.(2)由于f(x,y,z)在光滑闭曲面S上连续,所以f(x,y,z)在S1上连续,根据曲面积分中值定理在S1上至少存在一点(N,G,F)使kS1f(x,y,z)d S=f(N,G,F)$S1.(3)其中$S1为S1的面积.(1)当(x,y,z)是关于x奇函数时,有f(N,G,F)=-f(-N,G,F),由于S1与S2关于y oz平面对称,所以(-N,G,F)∈S2且kS2f(x,y,z)d S=f(-N,G,F)$S2.(4)因S1与S2关于yoz平面对称,故有$S1=$S2,均记为$S,于是综合(2)、(3)、(4)有如下等式成立kSf(x,y,z)d S=[f(N,G,F)-f(N,G,F)]$S=0$S=0(2)当f(x,y,z)是关于x的偶函数时,有f(N,G,F)=f(-N,G,F),由于S1与S2关于y0z平面对称,所以(-N,G,F)∈S2且有kS2f(x,y,z)d S=f(-N,G,F)$S2.(5)因S1与S2关于y oz平面对称,故有$S1=$S2,均记为$S,于是综合(2)、(3)、(5)有如下等式成立・102・kf(x,y,z)d S=[f(N,G,F)+f(N,G,F)]$S=2f(N,G,F)$SS结论得证.例2　估计积分I=k S ln[1+(x+y+z)2]d S的值.其中S为球面x2+y2+z2= 1.解:由条件x2+y2+z2=1知对任意的(x,y,z)∈S,有0≤(x+y+z)2≤3由曲面积分中值定理知至少存在一点(x0+y0+z0)使得I=k S ln[1+(x+y+z)2]d S=ln[1+(x0+y0+z0)2]$S而$S=4P12=4P0=ln(1+0)≤ln[1+(x0+y0+z0)2]≤ln(1+3)=2ln2故0≤k S ln[1+(x+y+z)2]d S≤4Põ2ln2=8P ln2即0≤I≤8P ln2.注:在此感谢苏简兵副教授对本文的悉心指导.参　考　文　献[1]包虎.积分中值定理的推广及其应用[J].内蒙古民族师院学报(自然科学报),1999,(2):185-187.A New Proving of the Mean Value Theorem of Integral on SurfaceZHAN Xiao-jiao,CAO Ping(Departmen t of M athematics,Xuz hou Nor mal U nivers ity,Xuzhou,221116,C hina) 【Abstract】　In this paper,a new prov ing o f the mean value theor em o f integral on surface is given, w ith som e application in related cases presented.【Key words】　sur face integ ral;mean value theorem;symm etry;surface ar ea・103・。

曲线积分的中值定理第9卷第2期1993年6月黄淮学刊HUANGHUAIJOURNALV o1.9No.2june.1993摘要已有结果.曲线积分的中值定理张庆政拳文分jj'】给出了两种类型的曲线积分的第一第二中值定理,推广了关麓词可求长曲线光滑曲线.曲线枳中圈分类号O172.2镬,乎在流行的微积分教科书巾,一般只给出重积分,第一型曲线积分和第一型曲面积分的第一中值定理".且不够深八,对重积分.曲线积分和曲面积分的第二中值定理均没有论及.关于重积分的第二中值定理和两种类型的曲面积分的第一,第二中值定理,笔者已在拙作【6,7)中探讨.本文利用定积分第一,第二中值定理及多元函数的方向导数,建立了两种类型曲线积分的第一,第二r值定理.这一工作连同【6,7)使多元函数积分学的内容更加完善和丰富.1第一型曲线积分的中值定理1.t第一型曲线积分的第一中值定理定理1?1设()c是y平面上的可求长曲线,()jf(x,y)s存在,(3)J.g(x,Y)ds存在且g(x,Y)在C上不变号赃存在常数a,使得J.g(x'y)ds—af.g(xds其中-nf(x,y)≤a≤spf(,y).证与定积分第一中值定理"的证明完全类似,从略.在定理1.1中,取g(x,y)--1使得If(x,Y)ds=a?L其中L为胁线C的长度".定理12设(1)c为xy平面上的可求长连续曲线,(2)f(x,y)在C上连续,(3) 同定理1.1中(3).则存在(x.,Y o)∈c,使得』f(x,y)g(x,y)ds=f(x..ya)jg(x,y)ds性穰日期l993—03—02黄淮学刊(自然科学版)1995年,|r瓤由条传(,1),(2)及(5)易知,j.f(,y)s存在.由定理1-l-J.得Jf(x.y)g(x,y)ds=aJg(x,)ds其中a同定理1.1..不失一般性.设c的方程xx(t),Y—et),证t≤e,由条件(1),x(t),y(t)在(a,B)上连续再由条件(2),f(x(t),Y(t))在(a,B)上也连续,于是1.1¨(y)~…inff((),y()((t),y(t)),,sp(,y)-…Sup…f((t),y()B]fix(t),y(t))F虹一元函数的介值定理知,存在t∈(a,9),使得f(x(t),y(t.))=a.记x=x(t.).Y:'y(to),则(xo.Y.)∈C且结论成立.在定理1.2中,令g(x,y);1可得lf(x,Y)ds=f(x口.yD)?L其中L为C的长度(见(2)).当C为光滑曲线时,定理I.2的结论显然成立,故此时也{'上式成立.对于空间曲线上的第一型曲线积分,也有与定理1.1—1.2类似的结论.我们把这些结论统称为第一型曲线积分的第一申值定理.1.2第一型曲线积分的第二中值定理定理1.5设c(A,B)Kxy~]Z面上的光滑曲线,I(x,y)as~,f(x,y)在c(A.e.B)'B)上可微,曲线上每点处的切线方向t捐向曲线从A到B的方向(1)若方向导致～≤0,(x,y)∈c(A,B),f(B)≥0,州存在P∈C(A,B),使得,f(x,y)g(x,y)ds=f(A)』,,g(x')ds;,(2)若≥0,(x,y)∈C(A,B),f(A)≥0,则存在P:∈C(A,B),使得Jf(x,y)昏(x,y)ds=f(B)jg(x,y)ds;(3)若在c(A,B)E不变号,E1存在P.EC(A,B),使得at证(1)闪曲{Zc(A,B)可求长,故由(5,),可设其参数方程为x—x(s),yy(s),OGsKL,其中参数s为弧长,L为c(A-B)的长度,A(x(o),y(O)),B(x(L),y(L)).由SdyXg日) C B ( f + S d y x ( 匿8 P rJ" C A ( fII S d y X ( g ) y X (第2期张庆政,曲线积分的中值定理.'y)存在姒可知又f(x,Y)C(A,B)L连0,.f.f(x'y)=x(s)Iy(s)]ds从而有f(xy)g(x,y)ds==Jf【x(s)由C(A.B)光滑知x(s).y(s)在(o,L]上连续,又f(x,y)在C(A,B)上可微,故f[x(s),Y(s)]在【0,L]上可微,且誓=芸s)+嘉s)_可一".设南y轴正向夹角分删为(x),(y).刚而方向余为c.s.y)=}=y(s),从而一善=芸c.sx+劳≤.曲南定积分第二中值定理"知,存在S.∈0,L]使得誓(s).J:f(x(s),y(s)]g(x(s),y(s)]ds:f(x(.)y(.)]J:蓉(x(s).y(s)]ds记P.(x(s,),y(s))JP.∈C(A,B),注意jg(x(s).y(s)]ds=Jg(x,y)ds,●c(htP.,便知结论成立.(2)证明与(1)类似.(3)不妨设of≥0,(x,y)∈C(A.B).令F(x.y)=f(x.y)一f(A),~llF(x,y)atc(A,B)L可微月一旦≥o.南(2)知,存在P.∈C(A,B),使得fF(x,y)ds=F(B)fcJ^,B)c整理即得结论.我们把定理1.3砭审问曲线E昀第一型曲线秘分昀类似结论t统称为第一裂曲线积分的第二中戗定理d]SySX【gLOr_J=Sd)yX(gBr...,C日r...JC黄淮学刊(自然科学版)1993掘2第二型曲线积分的第一中值定理2.1第=墅曲线积分的第一中位定理定理2.1设C(A,B)是xy平面上的定向光滑曲线.曲线上每点处的切线与曲线方向一致,且切线与x轴正向的夹角均为锐角(或均为钝角),f(X,y),g(x,y)在c(A,B)上连续.g(x,Y)在C(A,B)上不变号.则存在(Xo,y.)∈C(A,B),使得Jf(xJy),y,dx=f(xoIy.)J.y)dx.一证设C(,B)的参数方程为:x=x(t),y=y(t).a≤t≤,A(x(a),y(a)),Bfx'(B),Y(日)).则'Jf(x,y)g(x.y)dx=』f(x(t),y(t))g(x(t),y(t))x,(t)dt.设曲线在点(x(c)(c))处的切线与x轴正向夹角为Y,则cost.7亍不变号,从而x(t)在(a,B)上不变号.由定积分第一中值定理知,存在t.∈(a,日),使得f:f(x(t)y(t))g(x(t))x(t)dt=f(x(t.),y(t.))J:g(x(t),y(t))x(t)dt,记x.=x(t.),yo=yfE0).0ll!(Xo,yo)∈c(A,B)且结论成立.推论2.1设曲线C(A.B)与函数f(x,Y)满足定理2.1条件,则存在(x..y)∈c(A,B),使得If(x,y)dx=f(Xo.Y o)IB—xA).c,B'}.其中X^,xn分别表示A,B的横坐标.证在定理2.1净,取g(x,y)i1可得』dx=f_ya)fdx,其中(X.,Y.)∈c(A.B).由定理2.1的证明知于是结论成立.若曲线C(A,B)的切线与x轴正向的夹角有时为锐角有时为钝角.则定理2.1及其推论未必成立.例如.取C(A,B)为X=Y,一1≤y≤1.A(1.一1).B(1,】)f(x,y)=y,g(x,y)=x,经验算便知:fUx,y)g(x,r)dx={.fg(,y)dx:0.但在这种情况下,c,B)c,^,Ⅱ我们有下述结论,^X—BII)一)B(—t,d)c(,X口a......,=X,d日r●●JC第2期张庆政t曲线积分的中值定理定理2.2设C(A,B)是平面上的定向光滑曲线,曲线上每点处的切线与曲线方向一致,f(x,y)在c(A,B)上连续,则存在(xo,to)∈C(A,B),使得.f(x)dx=f(x0~Y0).L.co..其中LJ,jC(A,B)的长度,丫.为曲线在(xo,Y.)处的切线与x轴正向的夹角.证仿定理2.1的证明可得!.,f(x,y)dx=j:f【(t),y(t))x(t)dt=』:f(x(t)?y(t)).x(t)x/x(t)+Y.(t)x"(t)+Y(t)dt由曲线光滑及定积分第一中值定理可知.存在to∈【a,6).使得J:x(t)'y(t)]x,(t)dt(x(ty(fo)]丽j:v/x,T耵dt,记x.=x(t.),Y e=Y(t.),c.s丫.=下),则(x口,Y.)∈C(A,B),再由弧长公式便知结论成立.对于平面曲线上的另一种(关于坐标y的)第二型曲线积分和空间曲线上的三种(关于坐标,y,z的)第二型曲线积分,也有与定理2.1—2.2类似的结论.我们把这些结论统称为第二型曲线积分的第一中值定理.2.2第:型曲蛙积分的第=中值定理定理2.5设C(A,B)是y平面上的定向光滑曲线,g(x,y)在C(A,B)上连续,f(x.y)在C(A,B)上可微,曲线上每点处的切线方向t与曲线方向一致.(1)若—a;f≤o.(x,y)∈C(A,B),f(B)≥0,则存在P.∈C(A,B),使得atjf(x,y)g(xly)dx=f(A)Jg(x,y)dx.～…J'^'rlJ(2)若≥0,(x,y)∈C(A.B),f(A)≥0,则存在P:∈C(A,B),使得(3)若af在c(A,B)上不变号,则存在P∈C(A,B),使得.l,,f(x,y)g(xJy)dx=fcA){,,gcxJy)dx+fcB)l.g(x,y)dxc,B)c【^,P_'crP.B)CZr●.●,CB(fJJXd)yX(gyXf日r●.JC黄淮学刊(自然科学版)1993年证与定理I.3的证明类似,略.对于平面曲线上的另一种第二型曲线积分和空间曲线上的三种第二型曲线积分,也有与定理2.3类似的结论.我们把这些结论统称为第二型曲线积分的第二中值窟理. 参考文献(1]华东师大数学系.数学分析(下).北吼高等教肯出版社,1981.364—365(2]SunJia-yong,Calculuswithrelatedtopits.Xi-an:North—Westernpolytech- nicalUnivel"sitypl"ess,1988,299—50O(3)刘玉琏等.数学分学讲义(下).北京:高等教育出版社,1984,313536(4)张庆政.二重积分和三重积分的第二中值定理.黄淮学刊,1989,(2);4,—52(5)张庆政等.曲面秘分的巾值定理.河南教学院,1992,(4):23--28。

曲线积分与曲面积分中值定理作者：吴世玕， 杜红霞， WU Shi-gan， DU Hong-xia作者单位：吴世玕,WU Shi-gan(江西理工大学理学院,江西,赣州,341000)， 杜红霞,DU Hong-xia(江西理工大学机电工程学院,江西,赣州,341000)刊名：赣南师范学院学报英文刊名：JOURNAL OF GANNAN TEACHERS COLLEGE年，卷(期)：2006，27(6)被引用次数：0次1.华东师范大学数学系数学分析 20011.期刊论文殷月竹.杨忠连.Yin Yuezhu.Yang Zhonglian巧用对称性解第二类曲线积分和第二类曲面积分-科技信息2008,""(30)本文探讨了对称性在第二类曲线积分和第二类曲面积分中的应用,给出了一些有用的结论,并举例说明.利用对称性,使许多用"正规"的方法处理十分麻烦的第二类曲线积分和第二类曲面积分都能简单解决,事半功倍.2.期刊论文刘富贵.鲁凯生.Liu Fugui.Lu Kaisheng利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法-武汉理工大学学报（交通科学与工程版）2006,30(6)由于第二类曲线积分与曲面积分涉及到方向性问题,因此利用对称性来计算较为困难.文中给出了利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法,并证明了方法的可行性,并通过实例表明,此方法有时能起到简化计算的作用.3.期刊论文徐龙封关于曲线积分和曲面积分教学中几个难点的突破-安徽工业大学学报(社会科学版)2003,20(3)加强曲线、曲面积分概念讲解,标准化曲线、曲面积分的计算程序,沟通有关积分之间关系,以消除学生对斯托克斯等公式的深奥感,有效地突破了曲线、曲面积分教学中的几个难点.4.期刊论文赵清波.李文潮.赵东涛.张辉曲线积分与曲面积分的一题多解-数理医药学杂志2008,21(3)就曲线积分与曲面积分的多解问题作一探究.尽可能多地找出它的解决途径和方法,不仅能拓宽思路,也可总结规律、积累经验,并找到解决问题的最佳途径和方法.5.期刊论文程希旺.CHENG Xi-wang对称性在曲线积分和曲面积分计算中的应用-遵义师范学院学报2007,9(5)引进了函数关于点、直线与平面的奇偶性的概念,对文[1]-[4]中所给出的关于利用积分孤段与积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性计算曲线积分与曲面积分的结果作了进一步推广,得到了一些更为一般性的结果.6.期刊论文李育强.石瑞民曲线积分在曲面积分中的应用-大学数学2003,19(3)提出用曲线积分解决投影为曲线的一类曲面积分的方法,证明了方法的可行性.并通过实例表明该方法在解决问题时所带来的方便.7.会议论文于兴江.孟晗区间值函数与Fuzzy值函数的曲线积分和曲面积分1998该文在文［１］的基础上，定义了区间值函数与Ｆｕｚｚｙ值函数在平面或空间的可度量的几何体上的积分，从而给出了区间值函数与Ｆｕｚｚｙ值函数的曲线积分和曲面积分，讨论了它们的性质和计算方法。

积分中值定理（开区间）的几种证明方法定理：设f 在[,]a b 上连续，则(,)a b ξ∃∈，使得()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰。

[证一]：由积分第一中值定理（P217），[,]a b ξ∃∈， 使得()()()b a f x dx f b a ξ=-⎰。

于是[()()]0.b af x f dx ξ-=⎰ 由于函数()()()F x f x f ξ=-在[,]a b 上连续，易证（可反证）：(这还是书上例2的结论)(,)a b η∃∈，使得()()()0F f f ηηξ=-=，即()()f f ηξ=。

[证二]：令()()xa F x f t dt =⎰，则()F x 在[,]ab 上满足拉格朗日中值定理的条件，故(,)a b ξ∃∈，使得()()()()F b F a F b a ξ'-=-，即结论成立。

（注：书上在后面讲的微积分基本定理）[证三]：反证：假设不(,)a b ξ∃∈，使得 ()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰，由积分第一中值定理，知ξ只能为a 或b ，不妨设为b ，即1(,),()()()b a x a b f x f b f x dx b a∀∈≠=-⎰。

由于f 连续，故(,),x a b ∀∈ ()()f x f b >（或()()f x f b <），（这一点是不是用介值定理来说明）这样（上限x 改为b ）()()()().xba a f x dx fb dx f b b a >=-⎰⎰ （这个严格不等号不太显然要用书上例2结论来说明）矛盾。

[证四]：设f 在[,]a b 上的最大值为M ，最小值为m 。

若m M =，则f c ≡，ξ可任取。

若m M <，则1[,]x a b ∃∈，有1()0M f x ->，故[()]0b a M f x dx ->⎰，即 ()().ba f x d x Mb a<-⎰同理有()().ba mb a f x dx -<⎰ 由连续函数的介质定理知：(,)a b ξ∃∈，使得 1()().b a f f x dx b aξ=-⎰。

中值定理首先我们来看看几大定理：1、 介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A 及f(b)=B ，那么对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ<b).Ps:c 是介于A 、B 之间的，结论中的ξ取开区间。

介值定理的推论：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有最大值M ，最小值m,若m ≤C ≤M,则必存在ξ∈[a,b], 使得f(ξ)=C 。

（闭区间上的连续函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值。

此条推论运用较多）Ps ：当题目中提到某个函数f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。

2、 零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号，即f(a).f(b)<0,那么在开区间内至少存在一点ξ使得f(ξ)=0.Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0.3、 罗尔定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b). 那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得f`(x)=0;4、 拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导;那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得 f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a).5、 柯西中值定理：如果函数f(x)及g(x)满足（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、对任一x(a<x<b),g`(x)≠0, 那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得)`()`()()()()(ξξg f a g b g a f b f =--Ps ：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。

勒贝格曲面积分全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：勒贝格曲面积分，是数学中的一个重要概念，被广泛应用于物理学、工程学等领域。

在三维空间中，曲面积分是对曲面上的向量场或者标量场进行积分的一种方法，通过曲面积分可以描述场沿曲面的流量或者作用量。

在勒贝格曲面积分的理论基础上，人们可以更深入地研究场的性质，解决实际问题。

曲面积分的概念最早由高斯提出，但是到了19世纪末20世纪初，勒贝格进一步完善了曲面积分的理论体系，成为了现代数学中的重要内容之一。

勒贝格曲面积分的基本思想是将曲面上的场分解为垂直于曲面的法向分量和沿曲面的切向分量，然后分别对这两个分量进行积分，最终得到曲面上的积分值。

在数学表达上，勒贝格曲面积分可以写成如下形式：\iint_S \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = \iint_S\mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \mathrm{d}SS表示曲面，\mathbf{F}表示场，\mathbf{n}表示曲面的单位法向量，\mathrm{d}\mathbf{S}表示曲面的面积元素。

勒贝格曲面积分可以分为两种类型，一种是对向量场的曲面积分，另一种是对标量场的曲面积分。

对于向量场的曲面积分，结果是一个向量，表示场经过曲面的总流量；而对于标量场的曲面积分，则是一个标量，表示标量场在曲面上的积分均值。

除了物理学和工程学，勒贝格曲面积分还有着许多其他应用领域。

在地质学中，曲面积分可以用来描述地球表面的地质性质，比如地热分布、地震活动等。

在生物学中，曲面积分可以应用于细胞膜的表面积计算，研究细胞内的物质运输等。

在计算机图形学中，曲面积分可以用来计算曲面上的光照效果，渲染逼真的图像。

第二篇示例：勒贝格曲面积分是微积分中的一个重要概念，它广泛应用于物理学、工程学等领域。

在这篇文章中，我们将介绍勒贝格曲面积分的概念、计算方法以及应用。

勒贝格曲面积分是对矢量场在曲面上的积分，通过曲面上的矢量场与曲面元素相乘后求和来计算。