2019年北京市高考数学试卷(文科)

数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题 共40分)一、选择题共8小题，每小题5分,共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 。

(1)已知集合A={x|-1<x<2}，B={x|x>1}，则AUB= (A) (-1，1) (B)（1，2） (C) (-1,+∞) (D) (1，+∞)(2)已知复数z=2+i ，则=(A)(B) (C) 3 (D) 5(3)下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是 (A)y =x12(B) y =2-x(C) 12log y x(D) y =1x(4)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4(5)已知双曲线x 2a2-y 2=1(a >) ，则a=(A)(B) 4 (C) 2 (D)12(6) 设函数f (x )=cos x +b sin x （b 为常数），则“b=0”是“f(x)为偶函数”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）即不充分也不必要条件(7) 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足m 2-m 1=52lg E 1E 2，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k = 。

已知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 （A ）10.110（B ）10.1 （C ）lg10.1（D ）10.110-(8) 如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为（A ）4β+4cos β （B ）4β+4sin β （C ）2β+2cos β （D ）2β+2sin β第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。

2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=（A）（–1，1）（B）（1，2）（C）（–1，+∞）（D）（1，+∞）（2）已知复数z=2+i，则z z⋅=（A）3（B）5（C）3 （D）5（3）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（A）12y x=（B）y=2x-（C）12logy x=（D）1yx=（4）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（5）已知双曲线2221xya-=（a>0）的离心率是5，则a=（A ）6 （B ）4 （C ）2 （D ）12（6）设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为k m 的星的亮度为k E （k =1,2）．已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 （A ）1010.1（B ）10.1 （C ）lg10.1（D ）10.110-（8）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（A ）4β+4cos β （B ）4β+4sin β （C ）2β+2cos β （D ）2β+2sin β第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2019年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1．（5分）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A．y=e﹣x B．y=x C．y=lnx D．y=|x|2．（5分）若集合A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3，4}B．{0，4}C．{1，2}D．{3}3．（5分）已知向量=（2，4），=（﹣1，1），则2﹣=（）A．（5，7） B．（5，9） C．（3，7） D．（3，9）4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．3 C．7 D．155．（5分）设a，b是实数，则“ａ＞b”是“ａ2＞b2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）7．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m ＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．48．（5分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若（x+i）i=﹣1+2i（x∈R），则x= ．10．（5分）设双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），则C的方程为．11．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为．12．（5分）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c= ；sinA= ．13．（5分）若x，y满足，则z=x+y的最小值为．14．（5分）顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序粗加工精加工时间原料原料A915原料B621则最短交货期为个工作日．三、解答题，共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}为等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和．16．（13分）函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E、F分别为A1C1、BC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE；（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．18．（13分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：排号分组频数1[0，2）62[2，4）83[4，6）174[6，8）225[8，10）256[10，12）127[12，14）68[14，16）29[16，18）2合计100（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写结论）19．（14分）已知椭圆C：x2+2y2=4．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．20．（13分）已知函数f（x）=2x3﹣3x．（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f （x）相切？（只需写出结论）2019年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1．（5分）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A．y=e﹣x B．y=x C．y=lnx D．y=|x|【分析】根据函数单调性的性质和函数成立的条件，即可得到结论．【解答】解：A．函数的定义域为R，但函数为减函数，不满足条件．B．函数的定义域为R，函数增函数，满足条件．C．函数的定义域为（0，+∞），函数为增函数，不满足条件．D．函数的定义域为R，在（0，+∞）上函数是增函数，在（﹣∞，0）上是减函数，不满足条件．故选：B．【点评】本题主要考查函数定义域和单调性的判断，比较基础．2．（5分）若集合A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3，4}B．{0，4}C．{1，2}D．{3}【分析】直接利用交集的运算得答案．【解答】解：∵A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，∴A∩B={0，1，2，4}∩{1，2，3}={1，2}．故选：C．【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．3．（5分）已知向量=（2，4），=（﹣1，1），则2﹣=（）A．（5，7） B．（5，9） C．（3，7） D．（3，9）【分析】直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案．【解答】解：由=（2，4），=（﹣1，1），得：2﹣=2（2，4）﹣（﹣1，1）=（4，8）﹣（﹣1，1）=（5，7）．故选：A．【点评】本题考查平面向量的数乘及坐标减法运算，是基础的计算题．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．3 C．7 D．15【分析】算法的功能是求S=1+21+22+…+2k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出的S值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=1+21+22+…+2k的值，∵跳出循环的k值为3，∴输出S=1+2+4=7．故选：C．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．5．（5分）设a，b是实数，则“ａ＞b”是“ａ2＞b2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，此题的关键是对不等式性质的理解．【解答】解：因为a，b都是实数，由a＞b，不一定有a2＞b2，如﹣2＞﹣3，但（﹣2）2＜（﹣3）2，所以“ａ＞b”是“ａ2＞b2”的不充分条件；反之，由a2＞b2也不一定得a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，所以“ａ＞b”是“ａ2＞b2”的不必要条件．故选：D．【点评】判断充要条件的方法是：①若p?q为真命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p?q为假命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p?q为真命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p?q为假命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．⑥涉及不等式平方大小的比较问题，举反例不失为一种有效的方法．6．（5分）已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）【分析】可得f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，由零点的判定定理可得．【解答】解：∵f（x）=﹣log2x，∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，满足f（2）f（4）＜0，∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，故选：C．【点评】本题考查还是零点的判断，属基础题．7．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m ＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．4【分析】根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°，可得PO=AB=m，可得m≤6，从而得到答案．【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有m≤6，故选：B．【点评】本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，是解题的关键，属于中档题．8．（5分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟【分析】由提供的数据，求出函数的解析式，由二次函数的图象与性质可得结论．【解答】解：将（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5）分别代入p=at2+bt+c，可得，解得a=﹣0.2，b=1.5，c=﹣2，∴p=﹣0.2t2+1.5t﹣2，对称轴为t=﹣=3.75．故选：B．【点评】本题考查了二次函数模型的应用，考查利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题，确定函数模型是关键．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若（x+i）i=﹣1+2i（x∈R），则x= 2 ．【分析】化简原式可得∴﹣1+xi=﹣1+2i，由复数相等的定义可得．【解答】解：∵（x+i）i=﹣1+2i，∴﹣1+xi=﹣1+2i，由复数相等可得x=2故答案为：2【点评】本题考查复数相等的充要条件，属基础题．10．（5分）设双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），则C的方程为x2﹣y2=1 ．【分析】利用双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），可得c=，a=1，进而求出b，即可得出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），∴c=，a=1，∴b=1，∴C的方程为x2﹣y2=1．故答案为：x2﹣y2=1．【点评】本题考查双曲线方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题．11．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为2．【分析】由主视图知CD⊥平面ABC、B点在AC上的射影为AC中点及AC长，由左视图可知CD长及△ABC中变AC的高，利用勾股定理即可求出最长棱BD的长．【解答】解：由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE=CE=1；由主视图知CD=2，由左视图知BE=1，在Rt△BCE中，BC=，在Rt△BCD中，BD=，在Rt△ACD中，AD=2．则三棱锥中最长棱的长为2．故答案为：2．【点评】本题考查点、线、面间的距离计算，考查空间图形的三视图，考查学生的空间想象能力，考查学生分析解决问题的能力．12．（5分）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c= 2 ；sinA= ．【分析】利用余弦定理列出关系式，将a，b，以及cosC的值代入求出c的值，由cosC的值求出sinC的值，再由a，c的值，利用正弦定理即可求出sinA的值．【解答】解：∵在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣1=4，即c=2；∵cosC=，C为三角形内角，∴sinC==，∴由正弦定理=得：sinA===．故答案为：2；．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．13．（5分）若x，y满足，则z=x+y的最小值为 1 ．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+y为，由图可知，当直线过C（0，1）时直线在y轴上的截距最小．此时．故答案为：1．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．（5分）顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序粗加工精加工时间原料原料A915原料B621则最短交货期为42 个工作日．【分析】先完成B的加工，再完成A的加工即可．【解答】解：由题意，徒弟利用6天完成原料B的加工，由师傅利用21天完成精加工，与此同时，徒弟利用9天完成原料A的加工，最后由师傅利用15天完成精加工，故最短交货期为6+21+15=42 个工作日．故答案为：42．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．三、解答题，共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}为等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和．【分析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得结论；（2）利用分组求和法，有等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列的和．【解答】解：（1）∵{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，∴3+3d=12，解得d=3，∴a n=3+（n﹣1）×3=3n．设等比数列{b n﹣a n}的公比为q，则q3===8，∴q=2，∴b n﹣a n=（b1﹣a1）q n﹣1=2n﹣1，∴b n=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．（2）由（1）知b n=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．∵数列{a n}的前n项和为n（n+1），数列{2n﹣1}的前n项和为1×=2n﹣1，∴数列{b n}的前n项和为n（n+1）+2n﹣1．【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．16．（13分）函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）由题目所给的解析式和图象可得所求；（Ⅱ）由x∈[﹣，﹣]可得2x+∈[﹣，0]，由三角函数的性质可得最值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=3sin（2x+），∴f（x）的最小正周期T==π，可知y0为函数的最大值3，x0=；（Ⅱ）∵x∈[﹣，﹣]，∴2x+∈[﹣，0]，∴当2x+=0，即x=时，f（x）取最大值0，当2x+=，即x=﹣时，f（x）取最小值﹣3【点评】本题考查三角函数的图象和性质，属基础题．17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E、F分别为A1C1、BC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE；（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．【分析】（1）证明AB⊥B1BCC1，可得平面ABE⊥B1BCC1；（2）证明C1F∥平面ABE，只需证明四边形FGEC1为平行四边形，可得C1F∥EG；（3）利用V E﹣ABC=S△ABC?AA1，可求三棱锥E﹣ABC的体积．【解答】解：（1）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∴BB1⊥AB，∵AB⊥BC，BB1∩BC=B，BB1，BC?平面B1BCC1，∴AB⊥平面B1BCC1，∵AB?平面ABE，∴平面ABE⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则∵F是BC的中点，∴FG∥AC，FG=AC，∵E是A1C1的中点，∴FG∥EC1，FG=EC1，∴四边形FGEC1为平行四边形，∴C1F∥EG，∵C1F?平面ABE，EG?平面ABE，∴C1F∥平面ABE；（3）解：∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，∴AB=，∴V E﹣ABC=S△ABC?AA1=×（××1）×2=．【点评】本题考查线面平行、垂直的证明，考查三棱锥E﹣ABC的体积的计算，正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键．18．（13分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：排号分组频数1[0，2）62[2，4）83[4，6）174[6，8）225[8，10）256[10，12）127[12，14）68[14，16）29[16，18）2合计100（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写结论）【分析】（Ⅰ）根据频率分布表求出1周课外阅读时间少于12小时的频数，再根据频率=求频率；（Ⅱ）根据小矩形的高=求a、b的值；（Ⅲ）利用平均数公式求得数据的平均数，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布表知：1周课外阅读时间少于12小时的频数为6+8+17+22+25+12=90，∴1周课外阅读时间少于12小时的频率为=0.9；（Ⅱ）由频率分布表知：数据在[4，6）的频数为17，∴频率为0.17，∴a=0.085；数据在[8，10）的频数为25，∴频率为0.25，∴b=0.125；（Ⅲ）数据的平均数为1×0.06+3×0.08+5×0.17+7×0.22+9×0.25+11×0.12+13×0.06+15×0.02+17×0.02=7.68（小时），∴样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组．【点评】本题考查了频率分布表与频率分布直方图，再频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=．19．（14分）已知椭圆C：x2+2y2=4．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．【分析】（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2=4化为标准方程为，求出a，c，即可求椭圆C的离心率；（Ⅱ）先表示出线段AB长度，再利用基本不等式，求出最小值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2=4化为标准方程为，∴a=2，b=，c=，∴椭圆C的离心率e==；（Ⅱ）设A（t，2），B（x0，y0），x0≠0，则∵OA⊥OB，∴=0，∴tx0+2y0=0，∴t=﹣，∵，∴|AB|2=（x0﹣t）2+（y0﹣2）2=（x0+）2+（y0﹣2）2=x02+y2++4=x2+++4=+4（0＜x2≤4），因为≥4（0＜x02≤4），当且仅当，即x02=4时等号成立，所以|AB|2≥8．∴线段AB长度的最小值为2．【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（13分）已知函数f（x）=2x3﹣3x．（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f （x）相切？（只需写出结论）【分析】（Ⅰ）利用导数求得极值点比较f（﹣2），f（﹣），f（），f（1）的大小即得结论；（Ⅱ）利用导数的几何意义得出切线方程4﹣6+t+3=0，设g（x）=4x3﹣6x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，（x）有3个不同的零点”．利用导数判断函数的单调性进而得出函数的等价于“ｇ零点情况，得出结论；（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论写出即可．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2x3﹣3x得f′（x）=6x2﹣3，令f′（x）=0得，x=﹣或x=，∵f（﹣2）=﹣10，f（﹣）=，f（）=﹣，f（1）=﹣1，∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为．（Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x0，y0），则y0=2﹣3x0，且切线斜率为k=6﹣3，∴切线方程为y﹣y0=（6﹣3）（x﹣x0），∴t﹣y0=（6﹣3）（1﹣x0），即4﹣6+t+3=0，设g（x）=4x3﹣6x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，等价于“ｇ（x）有3个不同的零点”．∵g′（x）=12x2﹣12x=12x（x﹣1），∴g（x）与g′（x）变化情况如下：x（﹣∞，0）0（0，1）1（1，+∞）g′（x）+0﹣0+g（x）↗t+3↘t+1↗∴g（0）=t+3是g（x）的极大值，g（1）=t+1是g（x）的极小值．当g（0）=t+3≤0，即t≤﹣3时，g（x）在区间（﹣∞，1]和（1，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．当g（1）=t+1≥0，即t≥﹣1时，g（x）在区间（﹣∞，0]和（0，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．当g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1时，∵g（﹣1）=t﹣7＜0，g（2）=t+11＞0，∴g（x）分别在区间[﹣1，0），[0，1）和[1，2）上恰有1个零点，由于g（x）在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上单调，故g（x）分别在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上恰有1个零点．综上所述，当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切时，t的取值范围是（﹣3，﹣1）．（Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y=f（x）相切；过点B（2，10）存在2条直线与曲线y=f（x）相切；过点C（0，2）存在1条直线与曲线y=f（x）相切．【点评】本题主要考查利用导数求切线方程及判断函数的单调性求最值等知识，考查转化划归思想及分类讨论思想的运用能力和运算能力，属难题．第21页（共21页）。

2019年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（5分）（2019•北京）已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，B ＝{x |x ＞1}，则A ∪B ＝（ ）A ．（﹣1，1）B ．（1，2）C ．（﹣1，+∞）D ．（1，+∞）2．（5分）（2019•北京）已知复数z ＝2+i ，则z •（ ） z =A ． B ． C ．3 D ．5353．（5分）（2019•北京）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）A ．y ＝xB ．y ＝2﹣xC ．y ＝log xD ．y 1212=1x4．（5分）（2019•北京）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．（5分）（2019•北京）已知双曲线y 2＝1（a ＞0）的离心率是，则a ＝（ ）x 2a 2‒5A ． B ．4 C ．2 D ． 6126．（5分）（2019•北京）设函数f （x ）＝cos x +b sin x （b 为常数），则“b ＝0”是“f （x ）为偶函数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（5分）（2019•北京）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2﹣m 1lg ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k ＝1，2）．已知=52E 1E 2太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）A ．1010.1B ．10.1C ．lg 10.1D ．10﹣10.18．（5分）（2019•北京）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为（ ）A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

六大注意1 考生需自己粘贴答题卡的条形码考生需在监考老师的指导下，自己贴本人的试卷条形码。

粘贴前，注意核对一下条形码上的姓名、考生号、考场号和座位号是否有误，如果有误，立即举手报告。

如果无误，请将条形码粘贴在答题卡的对应位置。

万一粘贴不理想，也不要撕下来重贴。

只要条形码信息无误，正确填写了本人的考生号、考场号及座位号，评卷分数不受影响。

2 拿到试卷后先检查有无缺张、漏印等拿到试卷后先检查试卷有无缺张、漏印、破损或字迹不清等情况，尽管这种可能性非常小。

如果有，及时举手报告；如无异常情况，请用签字笔在试卷的相应位置写上姓名、考生号、考场号、座位号。

写好后，放下笔，等开考信号发出后再答题，如提前抢答，将按违纪处理。

3 注意保持答题卡的平整填涂答题卡时，要注意保持答题卡的平整，不要折叠、弄脏或撕破，以免影响机器评阅。

若在考试时无意中污损答题卡确需换卡的，及时报告监考老师用备用卡解决，但耽误时间由本人负责。

不管是哪种情况需启用新答题卡，新答题卡都不再粘贴条形码，但要在新答题卡上填涂姓名、考生号、考场号和座位号。

4 不能提前交卷离场按照规定，在考试结束前，不允许考生交卷离场。

如考生确因患病等原因无法坚持到考试结束，由监考老师报告主考，由主考根据情况按有关规定处理。

5 不要把文具带出考场考试结束，停止答题，把试卷整理好。

然后将答题卡放在最上面，接着是试卷、草稿纸。

不得把答题卡、试卷、草稿纸带出考场，试卷全部收齐后才能离场。

请把文具整理好，放在座次标签旁以便后面考试使用，不得把文具带走。

6 外语听力有试听环外语考试14:40入场完毕，听力采用CD 播放。

14：50开始听力试听，试听结束时，会有“试听到此结束”的提示。

听力部分考试结束时，将会有“听力部分到此结束”的提示。

听力部分结束后，考生可以开始做其他部分试题。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）文科数学一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.1、（2019•北京）已知集合A={x|-1<x<2}，B={x|x>1}，则AUB=（ ） A. （-1，1） B. （1，2） C. （-1，+∞） D. （1，+∞） 【答案】C【解析】【解答】因为{}{}12,1,A x x B x x =-<<=> 所以{}1,A B x x =>-U 故答案为：C.【分析】本题考查了集合的并运算，根据集合A 和B 直接求出交集即可. 2、（2019•北京）已知复数z=2+i ，则·z z =（ ）【答案】D【解析】【解答】根据2z i =+，得2z i =-， 所以(2)(2)415z z i i ⋅=+⋅-=+=， 故答案为：D.【分析】根据z 得到其共轭，结合复数的乘法运算即可求解.3、（2019•北京）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）A. 12y x = B. y=2-xC.12log y x = D. 1y x= 【答案】A【解析】【解答】A ：12y x =为幂函数，102α=>，所以该函数在()0,+∞上单调递增； B:指数函数xx1y 22-⎛⎫== ⎪⎝⎭，其底数大于0小于1，故在()0,+∞上单调递减； C ：对数函数12log y x =，其底数大于0小于1，故在()0,+∞上单调递减； D ：反比例函数1y x=，其k=1>0，故在()0,+∞上单调递减； 故答案为：A.【分析】根据幂函数、指数函数、对数函数及反比例函数的单调性逐一判断即可. 4、（2019•北京）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B【解析】【解答】k=1，s=1， s=2212312⨯=⨯-，k<3,故执行循环体k=1+1=2，2222322s ⨯==⨯-； 此时k=2<3，故继续执行循环体k=3，2222322s ⨯==⨯-，此时k=3，结束循环，输出s=2. 故答案为：B.【分析】根据程序框图，依次执行循环体，直到k=3时结束循环，输出s=2即可.5、（2019•北京）已知双曲线2221x y a-=（a>0a=（ ）B. 4C. 2D. 12【答案】D【解析】【解答】双曲线的离心率c e a ===， 故2251,a a =+解得211,42a a ==， 故答案为：D.【分析】根据双曲线的标准方程，表示离心率，解方程，即可求出a 的值.6、（2019•北京）设函数f （x ）=cosx+bsinx （b 为常数），则“b=0”是“f （x ）为偶函数”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】【解答】若b=0，则()cos f x x =为偶函数， 若()cos sin f x x b x =+为偶函数，则()()()cos sin cos sin ()cos sin f x x b x x b x f x x b x -=-+-=-==+， 所以2sin 0,b x =B=0,综上，b=0是f （x ）为偶函数的充要条件. 故答案为：C.【分析】根据偶函数的定义，结合正弦函数和余弦函数的单调性，即可确定充分、必要性. 7、（2019•北京）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 1-m 2=125lg 2E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k=1，2）.己知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10-10.1 【答案】A【解析】【解答】解：设太阳的亮度为1E ,天狼星的亮度为2E ， 根据题意1251.45(26.7)lg 2E E ---=, 故122g25.2510.15E l E =⨯=， 所以10.11210E E =；故答案为：A.【分析】根据已知，结合指数式与对数式的转化即可求出相应的比值.8、（2019•北京）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（ ）A. 4β+4cos βB. 4β+4sin βC. 2β+2cos βD. 2β+2sin β 【答案】B【解析】【解答】设圆心为O ，根据,APB β∠=可知AB 所对圆心角2,AOB β∠=故扇形AOB 的面积为22242πββπ⋅⋅=，由题意，要使阴影部分面积最大，则P 到AB 的距离最大，此时PO 与AB 垂直，故阴影部分面积最大值4,AOB PAB S S S β=-+V V 而2sin 22cos 4sin cos 2AOB S ββββ⨯⨯==V ，()2sin 222cos 4sin 4sin cos 2PAB S βββββ⨯⨯+==+V ，故阴影部分面积最大值444sin ,AOB PAB S S S βββ=-+=+V V 故答案为：B.【分析】根据圆周角得到圆心角，由题意，要使阴影部分面积最大，则P 到AB 的距离最大，此时PO 与AB 垂直，结合三角函数的定义，表示相应三角形的面积，即可求出阴影部分面积的最大值. 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分，9、（2019•北京）已知向量a r =（-4.3），b r =（6，m ），且a b ⊥r r，则m= . 【答案】8【解析】【解答】根据两向量垂直，则数量积为0，得()4630,m -⨯+= 解得m=8. 故答案为8.【分析】根据两向量垂直，数量积为0，结合平面向量的数量积运算即可求解.10、（2019•北京）若x ，y 满足214310x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪-+≥⎩.则y-x 的最小值为 ，最大值为 . 【答案】-3|1【解析】【解答】作出可行域及目标函数相应的直线，平移该直线，可知在经过（2,-1）时取最小值-3，过（2，3）时取最大值1. 故答案为-3；1.【分析】作出可行域和目标函数相应的直线，平移该直线，即可求出相应的最大值和最小值. 11、（2019•北京）设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l.则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 .【答案】()2214x y -+=【解析】【解答】由题意，抛物线的焦点坐标F （1,0），准线方程：x=-1， 焦点F 到准线l 的距离为2， 故圆心为（1,0），半径为2， 所以圆的方程为()2214x y -+=；故答案为()2214x y -+=.【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，即可得到圆心和半径，写出圆的标准方程即可. 12、（2019•北京）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为 .【答案】40【解析】【解答】根据三视图，可知正方体体积31464V ==，去掉的四棱柱体积()22424242V +⨯=⨯=，故该几何体的体积V=64-24=40. 故答案为40.【分析】根据三视图确定几何体的结构特征，求出相应的体积即可.13、（2019•北京）已知l ，m 是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断： ①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： . 【答案】若②③，则①【解析】【解答】若l α⊥，则l 垂直于α内任意一条直线， 若m αP ，则l m ⊥； 故答案为若②③，则①.14、（2019•北京）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为 . 【答案】130|15【解析】【解答】①草莓和西瓜各一盒，总价60+80=140元， 140>120，故顾客可少付10元，此时需要支付140-10=130元；②要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可， 根据题意，买草莓两盒，消费最低，此时消费120元， 故实际付款（120-x ）元，此时李明得到()12080%x -⨯， 故()12080%1200.7x -⨯≥⨯，解得15x ≤； 故最大值为15. 故答案为①130；②15.【分析】①根据已知，直接计算即可；②根据题意，要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可，因此选最低消费求解，即可求出相应的最大值. 三、解答题共6小题，共80分.15、（2019•北京）在△ABC 中，a=3，b-c=2，cosB=-12. （I ）求b ，c 的值：（II ）求sin （B+C ）的值.【答案】解：（I ）根据余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 故()22129232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯-⎪⎝⎭， 解得c=5，B=7；（II ）根据1cos 2B =-，得sin B =，根据正弦定理，sin sin b cB C=，5sin C=，解得sin C =，所以11cos 14C =，所以()111sin sin cos cos sin 21421414B c BC B C ⎛⎫+=+=+-⨯=⎪⎝⎭【解析】【分析】（I ）根据余弦定理，解方程即可求出c 和b ；（II ）根据同角三角函数的平方关系，求出sinB ，结合正弦定理，求出sinC 和cosC ，即可依据两角和的正弦公式，求出sin （B+C ）.16、（2019•北京）设{a n }是等差数列，a 1=-10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列.（I ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值. 【答案】解：（I ）根据三者成等比数列，可知()()()23248106a a a +=++，故()()()2102810101036d d d -++=-++-++， 解得d=2，故()1021212n a n n =-+-=-； （Ⅱ）由（I ）知()210212112n n n S n n -+-⋅==-，该二次函数开口向上，对称轴为n=5.5， 故n=5或6时，n S 取最小值-30.【解析】【分析】（I ）根据等比中项，结合等差数列的通项公式，求出d ，即可求出n a ；（Ⅱ）由（1），求出n S ，结合二次函数的性质，即可求出相应的最小值.17、（2019•北京）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：（II ）从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率； （III ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B 的学生中，随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元，结合（II ）的结果，能否认为样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.【答案】解：（I ）据估计，100人中上个月A 、B 两种支付方式都使用的人数为100-5-27-3-24-1=40人，故该校学生中上个月A 、B 两种支付方式都使用的人数为400人；（II ）该校学生上个月仅使用B 支付的共25人，其中支付金额大于2000的有一人，故概率为125； （III ）不能确定人数有变化，因为在抽取样本时，每个个体被抽到法机会是均等的，也许抽取的样本恰为上个月支付抄过2000的个体，因此不能从抽取的一个个体来确定本月的情况有变化. 【解析】【分析】（I ）根据题意，结合支付方式的分类直接计算，再根据样本估计总体即可； （II ）根据古典概型，求出基本事件总数和符合题意的基本事件数，即可求出相应的概率； （III ）从统计的角度，对事件发生的不确定性进行分析即可.18、（2019•北京）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，E 为CD 的中点.（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；（Ⅲ）棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面PAE ？说明理由. 【答案】（Ⅰ）证明：因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥， 又因为PA ABCD ⊥平面，所以BD PA ⊥，而PA AC A =I ， 故BD PAC ⊥平面；（Ⅱ）因为60ABC ∠=︒,所以60ADC ∠=︒，故ADC V 为等边三角形， 而E 为CD 的中点，故AE CD ⊥,所以AE AB ⊥, 又因为PA ABCD ⊥平面，所以AB PA ⊥, 因为PA AE A =I ，所以AB PAE ⊥平面,又因为AB PAB ⊂平面，所以PAB PAE ⊥平面平面； （Ⅲ）存在这样的F ，当F 为PB 的中点时，CF PAE P 平面； 取AB 的中点G ，连接CF 、CG 和FG ，因为G 为AB 中点，所以AE 与GC 平行且相等，故四边形AGCE 为平行四边形，所以AE GC P ,故GC PAE P 平面 在三角形BAP 中，F 、G 分别为BP 、BA 的中点，所以FG PA P , 故FG PAE P 平面,因为GC 和FG 均在平面CFG 内，且GC FG G =I , 所以CGF PAE P 平面平面，故CF PAE P 平面.【解析】【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理，证明直线与平面内两条相交直线垂直即可； （Ⅱ）根据面面垂直的判定定理，证明直线与平面垂直，即可得到面面垂直；（Ⅲ）根据面面平行的判定定理，证明面面平行，即可说明两平面没有公共点，因此，一个平面内任意一条直线与另一平面均无公共点，即可说明线面平行.19、（2019•北京）已知椭圆C ：22221x y a b+=的右焦点为（1.0），且经过点A （0，1）.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设O 为原点，直线l ：y=kx+t （t ≠±1）与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，|OM|·|ON|=2，求证：直线l 经过定点. 【答案】解：（I ）根据焦点为（1,0），可知c=1， 根据椭圆经过（0,1）可知b=1，故2222a b c =+=，所以椭圆的方程为2212x y +=； （II ）设()()1122,,,P x y Q x y ， 则直线111:1y AP y x x -=+，直线221:1y AQ y x x -=+， 解得1212,0,,011x x M N y y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,故()1212121212111x x x x OM ON y y y y y y ⋅=⋅=---++， 将直线y=kx+t 与椭圆方程联立， 得()222124220k x ktx t +++-=，故2121222422,1212kt t x x x x k k --+==++，所以22221212228282,1212k t t k t k t y y y y k k+-++==++， 故()2121t OM ON t +⋅==-，解得t=0，故直线方程为y=kx ，一定经过原点（0,0）.【解析】【分析】（I ）根据焦点坐标和A 点坐标，求出a 和b ，即可得到椭圆的标准方程； （II ）设出P 和Q 的坐标，表示出M 和N 的坐标，将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示OM 与ON ，根据2OM ON ⋅=，解得t=0，即可确定直线恒过定点（0,0）. 20、（2019•北京）已知函数f （x ）=14x 3-x 2+x. （I ）求曲线y=f （x ）的斜率为1的切线方程； （II ）当x ∈[-2，4]时，求证：x-6≤f （x ）≤x ；（Ⅲ）设F （x ）=|f （x ）-（x+a ）|（a ∈R ），记F （x ）在区间[-2，4]上的最大值为M （a ）.当M （a ）最小时，求a 的值. 【答案】解（I ）()23'214f x x x =-+，令()'1f x =， 则1280,3x x ==，因为()8800,327f f ⎛⎫==⎪⎝⎭， 故斜率为1的直线为y=x 或88273y x -=-， 整理得，斜率为1的直线方程为x-y=0或64027x y --=； （II ）构造函数g （x ）=f （x ）-x+6， 则()23'24g x x x =-，令()'0g x =，则1280,3x x ==， 故g （x ）在[-2,0]上单调递增，在80,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故g （x ）的最小值为g （-2）或83g ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而g （-2）=0，8980327g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，故()min (2)0g x g =-=⎡⎤⎣⎦， 所以()0g x ≥，故在[-2,4]上，()6x f x -≤； 构造函数h （x ）=f （x ）-x ， 则()23'24h x x x =-，令()'0h x =，则1280,3x x ==，故h （x ）在[-2,0]上单调递增，在80,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故h （x ）的最大值为h （0）或h （4），因为h （0）=0，h （4）=0，所以()0h x ≤，故在[-2,4]上，()f x x ≤， 综上在[-2,4]上，()6x f x x -≤≤； （Ⅲ）令()()()3214x f x x a x x a ϕ=-+=--， 则()23'24x x x ϕ=-，令()'0x ϕ=，则1280,3x x ==， 故ϕ（x ）在[-2,0]上单调递增，在80,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以ϕ（x ）的最小值为ϕ（-2）=-6-a 或864327a ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 最大值为ϕ（0）=-a 或ϕ（4）=12-a ， 故()()F x x ϕ=其最大值()12,36,3a a M a a a -≤⎧=⎨+>⎩，故当a=3时，M （a ）有最小值9.【解析】【分析】（I ）求导数，根据导数的几何意义，结合斜率为1，求出切点坐标，利用点斜式，即可求出相应的切线方程；（II ）构造函数，要证()6x f x x -≤≤，只需要证在[-2,4]上6()0f x x g x -≥+=（）和()()0h x f x x =-≤即可，求导数，利用导数确定函数单调性，求出函数极值即可证明；（Ⅲ）求导数，利用导数确定函数单调性，求出函数的最值，确定M （a ）的表达式，即可求出M （a ）取最小值时相应的a 值.。

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)文科数学本试卷共20题，共150分。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=（A）（–1，1）（B）（1，2）（C）（–1，+∞）（D）（1，+∞）（2）已知复数z=2+i，则z z⋅=（A）3（B）5（C）3 （D）5（3）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（A）12y x=（B）y=2x−（C）12logy x=（D）1yx=（4）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（5）已知双曲线2221xya−=（a>0）的离心率是5，则a=（A）6（B）4 （C）2 （D）1 2（6）设函数f（x）=cos x+b sin x（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为k m 的星的亮度为k E （k =1,2）．已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 （A ）1010.1（B ）10.1（C ）lg10.1（D ）10.110−（8）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（A ）4β+4cos β （B ）4β+4sin β （C ）2β+2cos β （D ）2β+2sin β第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2019年北京市高考数学试卷（文科）（解析版）绝密★本科目考试启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B =A. （–1，1）B. （1，2）C. （–1，+∞）D. （1，+∞）【答案】C【解析】【分析】根据并集的求法直接求出结果.【详解】∵{|12},{|1}A x x B x =-<<=> ，∴(1,)A B ⋃=+∞ ，故选C.【点睛】考查并集的求法，属于基础题.2.已知复数z =2+i ，则z z ⋅=A. B. C. 3 D. 5【答案】D【解析】【分析】 题先求得z ，然后根据复数的乘法运算法则即得. 【详解】∵z 2i,z z (2i)(2i)5=+⋅=+-= 故选D.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的定义等知识，属于基础题..3.下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是 A. 12y x = B. y =2x - C. 12log y x = D. 1y x= 【答案】A【解析】【分析】由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可..【详解】函数122,log x y y x -==， 1y x= 在区间(0,)+∞ 上单调递减， 函数12y x = 在区间(0,)+∞上单调递增，故选A .【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.4.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B【解析】根据程序框图中的条件逐次运算即可.【详解】运行第一次， =1k ，2212312s ⨯==⨯- ， 运行第二次，2k = ，2222322s ⨯==⨯- ， 运行第三次，3k = ，2222322s ⨯==⨯- ， 结束循环，输出=2s ，故选B .【点睛】本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查.5.已知双曲线2221x y a-=（a ＞0则a =A. B. 4 C. 2 D. 12【答案】D【解析】【分析】本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于a 的方程求解.【详解】 ∵双曲线的离心率c e a==，c =，=， 解得12a =， 故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a,b,c 的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【解析】【分析】根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -进行判断.【详解】0b = 时，()cos sin cos f x x b x x =+=, ()f x 为偶函数；()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=- ，得0bsinx =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.7.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m 1的星的亮度为E 2（k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10–10.1 【答案】A【解析】【分析】由题意得到关于12,E E 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值. 【详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-, ()10.111212222lg ( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选：A【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.8.如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A. 4β+4cosβB. 4β+4sinβC. 2β+2cosβD.2β+2sinβ【答案】B【解析】【分析】阴影部分的面积S=S△P AB+ S1- S△OAB.其中S1、S△OAB的值为定值.当且仅当S△P AB取最大值时阴影部分的面积S取最大值.【详解】观察图象可知，当P为弧AB的中点时，阴影部分的面积S取最大值，此时∠BOP=∠AOP=π-β, 面积S的最大值为βr2+S△POB+ S△POA=4β+12|OP||OB|s in（π-β）+12|OP||OA|Sin（π-β）=4β+2Sinβ+2Sinβ=4β+4 Sinβ，故选B.【点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2019年北京卷⽂数⾼考试题及答案绝密★本科⽬考试启⽤前2019年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试数学（⽂）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考⽣务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答⽆效。

考试结束后，将本试卷和答题卡⼀并交回。

第⼀部分（选择题共40分）⼀、选择题共8⼩题，每⼩题5分，共40分。

在每⼩题列出的四个选项中，选出符合题⽬要求的⼀项。

（1）已知集合A={x|–11}，则A∪B=（A）（–1，1）（B）（1，2）（C）（–1，+∞）（D）（1，+∞）（2）已知复数z=2+i，则（A）（B）（C）3（D）5（3）下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是（A）（B）y=（C）（D）（4）执⾏如图所⽰的程序框图，输出的s值为（A）1（B）2（C）3（D）4（5）已知双曲线（a>0）的离⼼率是，则a=（A）（B）4（C）2（D）（6）设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的（A）充分⽽不必要条件（B）必要⽽不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）在天⽂学中，天体的明暗程度可以⽤星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满⾜，其中星等为的星的亮度为（k=1,2）．已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的⽐值为（A）1010.1（B）10.1（C）lg10.1（D）（8）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐⾓，⼤⼩为β.图中阴影区域的⾯积的最⼤值为（A）4β+4cosβ（B）4β+4sinβ（C）2β+2cosβ（D）2β+2sinβ第⼆部分（⾮选择题共110分）⼆、填空题共6⼩题，每⼩题5分，共30分。

（9）已知向量=（–4，3），=（6，m），且，则m=__________．（10）若x，y满⾜则的最⼩值为__________，最⼤值为__________．（11）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．则以F为圆⼼，且与l相切的圆的⽅程为__________．（12）某⼏何体是由⼀个正⽅体去掉⼀个四棱柱所得，其三视图如图所⽰．如果⽹格纸上⼩正⽅形的边长为1，那么该⼏何体的体积为__________．（13）已知l，m是平⾯外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥；③l⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的⼀个论断作为结论，写出⼀个正确的命题：__________．（14）李明⾃主创业，在⽹上经营⼀家⽔果店，销售的⽔果中有草莓、京⽩梨、西⽠、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种⽔果进⾏促销：⼀次购买⽔果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客⽹上⽀付成功后，李明会得到⽀付款的80%．①当x=10时，顾客⼀次购买草莓和西⽠各1盒，需要⽀付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的⾦额均不低于促销前总价的七折，则x的最⼤值为__________．三、解答题共6⼩题，共80分。

2019年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（5分）已知集合{|12}A x x =-<<，{|1}B x x =>，则(A B =U ) A ．(1,1)-B ．(1,2)C ．(1,)-+∞D ．(1,)+∞2．（5分）已知复数2z i =+，则(z z =g ) A ．3B ．5C ．3D ．53．（5分）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是( ) A ．12y x =B ．2x y -=C ．12log y x =D ．1y x=4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．1B ．2C ．3D ．45．（5分）已知双曲线2221(0)x y a a-=>5，则(a = )A 6B ．4C ．2D ．126．（5分）设函数()cos sin (f x x b x b =+为常数），则“0b =”是“()f x 为偶函数”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（5分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足1 21252Em m lgE-=，其中星等为km的星的亮度为(1,2)kE k=．已知太阳的星等是26.7-，天狼星的星等是 1.45-，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A．10.110B．10.1C．10.1lg D．10.110-8．（5分）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，APB∠是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为()A．44cosββ+B．44sinββ+C．22cosββ+D．22sinββ+二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9．（5分）已知向量(4,3)a=-r，(6,)b m=r，且a b⊥rr，则m=．10．（5分）若x，y满足2,1,4310,xyx y⎧⎪-⎨⎪-+⎩„……则y x-的最小值为，最大值为．11．（5分）设抛物线24y x=的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为．12．（5分）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为．13．（5分）已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l m ⊥；②//m α；③l α⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ． 14．（5分）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为 ．三、解答题共6小题，共80分。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷文科）数学试题本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

)1.已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B =（C ）A.（–1，1）B.（1，2）C.（–1，+∞）D.（1，+∞）2.已知复数z =2+i ，则z z ⋅=（D ）C.3D.53.下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（A ）A.12y x =B.y=2x -C.12log y x= D.1y x=4.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（B ）A.1B.2C.3D.45.已知双曲线2221x y a-=（a >0a =（D ）A.6B.4C.2D.126.设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（C ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为k m 的星的亮度为k E （k =1,2）．已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（A ）A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10.110-8.如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（B ）A.4β+4cosβB.4β+4sinβC.2β+2cosβD.2β+2sinβ第二部分（非选择题 共110分）二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分。

2019年北京卷 文科数学真题（解析版）一、选择题：每小题5分，共40分。

1.已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B =（ ） A. （–1，1） B. （1，2）C. （–1，+∞）D. （1，+∞）【答案】C 【详解】∵{|12},{|1}A x x B x =-<<=> ，∴(1,)A B ⋃=+∞ ，故选C.2.已知复数z =2+i ，则z z ⋅=（ ） A.3B.5C. 3D. 5【答案】D 【详解】∵z 2i,z z (2i)(2i)5=+⋅=+-= 故选D.3.下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A. 12y x = B. y =2x -C.12log y x =D. 1y x=【答案】A【详解】函数122,log xy y x -==， 1y x= 在区间(0,)+∞ 上单调递减， 函数12y x = 在区间(0,)+∞上单调递增，故选A .4.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【详解】运行第一次， =1k ，2212312s ⨯==⨯- ，运行第二次，2k = ，2222322s ⨯==⨯- ，运行第三次，3k = ，2222322s ⨯==⨯- ，结束循环，输出=2s ，故选B .5.已知双曲线2221x y a-=（a ＞0则a =（ ）A.B. 4C. 2D.12【答案】D【详解】分析：详解：∵双曲线的离心率ce a==，c =，∴a=，解得12a = ，故选D.6.设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【详解】0b = 时，()cos sin cos f x x b x x =+=, ()f x 为偶函数； ()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=- ，得0bsinx =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.7.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m 1的星的亮度为E 2（k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ） A. 1010.1 B. 10.1C. lg10.1D. 10.110-【答案】D【详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -= , 令2 1.45m =- ，126.7m =- ，()1212221g( 1.4526.7)10.155E m m E =-=-+=，10.110.112211010E E E E -=⋅= ，故选D.8.如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（ ）A. 4β+4cos βB. 4β+4sin βC. 2β+2cos βD. 2β+2sin β【答案】B【详解】观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π-β, 面积S 的最大值为βr 2+S △POB + S △POA =4β+12|OP ||OB |s in （π-β）+12|OP ||OA |Sin （π-β）=4β+2Sinβ+2Sinβ=4β+4 Sinβ，故选B .二、填空题：每小题5分，共30分。

绝密★本科目考试启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=（A）（–1，1）（B）（1，2）（C）（–1，+∞）（D）（1，+∞）（2）已知复数z=2+i，则z z⋅=（A）3（B）5（C）3 （D）5（3）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（A）12y x=（B）y=2x-（C）12logy x=（D）1yx=（4）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（5）已知双曲线2221xya-=（a>0）的离心率是5，则a=（A ）6 （B ）4 （C ）2 （D ）12（6）设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为k m 的星的亮度为k E （k =1,2）．已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 （A ）1010.1（B ）10.1（C ）lg10.1（D ）10.110-（8）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（A ）4β+4cos β （B ）4β+4sin β （C ）2β+2cos β （D ）2β+2sin β第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

名师考前提醒01选择题做完就填答题卡这是针对考试总会忘记填答题卡的考生，为避免非智力因素失分，一般每门一做完选择题就填答题卡。

这时填答题卡心态较平静，不会因为担心时间不够而出现涂写错位的情况。

考试成绩的好坏往往与考试的心情有关，所以我们一定要调节好自己的考试心情。

特别是刚开始的状态，利用一些小的技巧如做完试题就填涂答题卡等，这样可以避免在最后时间较紧的情况下因匆忙而涂错、涂串或是没有涂完而造成遗憾。

02考前看相关资料转换思维考英语前最好看看复习资料，并不是要记住什么知识点，而是让大脑提前进入状态。

而数学试卷对一些学生来说比较发怵，建议在心中回忆梳理一下相关知识点，可驱使自己进入状态，效果不错。

考试紧张，这是很正常的事情，考试不紧张，就不正常了。

但是不能过度紧张，那样会给自己很大的压力不利于水平的发挥。

可以和同学聊一聊天，说说话放松一下。

03遇事都往好处想看大题时，先不想该怎么做，只是看它如何表述，甚至跟自己说“这题我会做，第一问认真看就能做对”，让自己有一个平和的心态答题。

即使是弱科，我们也要知足常乐，我只要把会做的都做上，在一场考试中把会的都做对其实就是很好的发挥了。

时刻给自己打一打气，阿Q一下，这样把对自己的期待放低一些，心态就平稳了，也就高兴了，这可以使得思路更顺畅，而超水平发挥也就很正常了。

04别看他人答题的速度考场上不要左顾右盼，观察别人做题的进度，万一人家比自己快，会给自己压力。

在考场上和比较熟悉的老师、同学可以主动打个招呼。

即使是不认识的老师，也可问候一声“老师好”，一般老师都会像老朋友似地回以微笑，这可以缓解紧张的情绪。

这一些方法和措施都是很有助于调节考试心态与考试情绪的。

有心理学家研究证明，人在平稳的平稳或是心情高兴的时候，智商最高，情商也不错，更容易发挥出自己的高水平来。

05答题遇困难要镇静，巧用考前5分钟这个问题是涉及到考试策略与方法的，对于每一学科的考试，我们都应该有自己的考试策略和答题风格。