新人教B版必修1高中数学集合之间的关系学案

课堂导学三点剖析一、子集、真子集、集合相等的概念【例1】判断下列说法是否正确,如果不正确,请加以改正.(1)对任意的集合A,有∅ A.(2)如果A⊇B且A≠B,那么B必是A的真子集.(3)如果A=B,则集合A是集合B的子集,但一定不是B的真子集.(4)如果对任意的x0∈A,都能得到x0∈B,则集合A是集合B的真子集.思路分析:紧扣子集、真子集的概念,空集的性质.解:(1)空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.此处没说集合A是否非空,因此说法错误,应有∅⊆A.(2)集合B是集合A的子集,实际上有两种可能:一是B是A的真子集;二是集合A与集合B 相等.∵A⊇B,又A≠B,∴B必是A的真子集.故此说法正确.(3)由A=B知A⊆B且B⊆A.A、B两集合的元素完全相同,A中的任一元素必是集合B中的元素,但集合B中不存在元素属于B但不属于A.故集合A是集合B的子集,但不是B的真子集.故此说法正确.(4)由对任意的x0∈A,能得到x0∈B,故集合A是集合B的子集,不能确定是否为真子集.故此说法错误.二、根据两集合间的关系进行有关运算【例2】已知A={x|x=2n+1,n∈Z},B={y|y=4k±1,k∈Z},求证:A=B.思路分析:根据两集合相等的定义,欲证A=B,必须证明A⊆B和B⊆A两方面.证明:(1)设任意x0∈A,则x0=2n+1,n∈Z.当n为偶数,即n=2k,k∈Z时,x0=2n+1=4k+1,k∈Z;当n为奇数,即n=2k-1,k∈Z时,x0=2n+1=4k-1,k∈Z.∴x0∈B.∴A⊆B.(2)设任意y0∈B,则y0=4k±1,k∈Z,若y0=4k+1=2(2k)+1,2k∈Z,∴y0∈B.若y0=4k-1=2(2k-1)+1,2k-1∈Z,∴y0∈A.∴B⊆A.综上知,A=B.温馨提示本题同学们容易出现“令2n+1=4k±1”的错误做法.两集合相等是通过两集合间的包含关系定义的,而不仅仅是通过“它们所含元素完全相同”来定义的.从本题可以看出,这样定义具有很强的操作性.三、元素与集合、集合与集合之间的关系【例3】以下各组中的两个对象是什么关系,用适当的符号表示出来.(1)0与{0};(2)0与∅;(3)∅与{0};(4){0,1}与{(0,1)};(5){(b,a)}与{(a,b)}.思路分析:首先要分清是“元素与集合”的关系，还是“集合与集合”的关系.如果是集合与集合，还要分清是什么关系.解:(1)0∈{0}.(2)0∉∅.(3)∅与{0}都是集合,两者的关系是“包含与否”的关系.∴∅{0}.(4){0,1}是含有两个元素0,1的集合;而{(0,1)}是表示以点(0,1)为元素的集合,它只含有一个元素.∴{0,1}≠{(0,1)}.(5)当a=b 时,{(a,b)}={(b,a)}.当a≠b 时,{(a,b)}≠{(b,a)}.温馨提示(1)要十分注意∈与⊆(或)之间的区别:“∈”是表示元素与集合之间的关系；“⊆(或)”是表示集合与集合之间的关系.(2)a 与{a}的区别:一般地,a 表示一个元素,而{a}表示只有一个元素a 的集合.各个击破类题演练1(1)已知A={m,n,f},写出A 的所有子集,并分别求出A 的子集、真子集、非空真子集的个数.(2)已知集合A 满足{a,b}⊆A ⊆{a,b,c,d},求所有满足条件的集合A.解析:(1)集合A 的所有子集为∅,{m},{n},{f},{m,n},{m,f},{n,f},{m,n,f},∴子集的个数为23=8,真子集的个数为23-1=7,非空真子集个数为23-1-1=6.(2)∵{a,b}⊆A,∴A 中必须含有元素a 、b.又∵A ⊆{a,b,c,d},∴满足条件的集合A 有{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,c,d},共4个.变式提升2写出集合M={a,b,c,d}的所有真子集.解析:集合A 的所有真子集为∅,{a},{b},{c},{d},{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d},{a,b,c}, {a,b,d},{a,c,d},{b,c,d}.类题演练2已知集合A={x,xy,x-y},集合B={0,|x|,y},若A=B,求实数x 、y 的值.解析:∵0∈B,A=B,∴0∈A.又由集合中元素的互异性,可以断定|x|≠0,y≠0,∴x≠0,xy≠0.故x-y=0,即x=y,此时A={x,x 2,0},B={0,|x|,x},∴x 2=|x|.当x=1时x 2=1矛盾,∴x=-1,即仅x=y=-1.变式提升2已知集合A={x|x 2+x-6=0},B={x|mx+1=0},若B A,求由实数m 所构成的集合M.解析:由A={-3,2},∵B A,当B=∅时,m=0;当B={-3}时,m=31; 当B={2}时,m=21-. ∴M={0,31,21-}. 类题演练3已知A={0,1},B={x|x ⊆A},则A 与B 的关系正确的是( )A.A ⊆BB.AB C.B A D.A ∈B解析:∵x ⊆A,A={0,1}.∴x 为∅,{0},{1},{0,1}.∴B={x|x ⊆A}={∅,{0},{1},{0,1}}.∴{0,1}是B 的一个元素,即A ∈B.故选D.答案:D变式提升3已知集合A={x|x=a+61,a ∈Z },B={x|x=2b 31-,b ∈Z },C={x|x=2c +61,c ∈Z }.则集合A 、B 、C 满足的关系是( )A.A=BC B.A B=C C.A B C D.B C A 解析:先整理A={x|x=616+a ,a ∈Z },B={x|x=623-b ,b ∈Z }={x|x=61)1(3+-b ,b ∈Z },C={x|x=613+c ,c ∈Z }, ∵3(b-1)+1和3c+1都表示被3除余1的数,6a+1表示被6除余1的数,∴AB=C. 答案:B。

1.2.1 集合之间的关系[学习目标] 1.理解集合之间包含与相等的含义，能写出给定集合的子集.2.能使用Venn 图表示集合间的关系.3.理解集合关系与其特征性质之间的关系，并能简单应用.[知识链接]1.已知任意两个实数a，b，如果满足a≥b，b≥a，则它们的大小关系是a＝b.2.若实数x满足x＞1，如何在数轴上表示呢？x≥1时呢？3.方程ax2－(a＋1)x＋1＝0的根一定有两个吗？[预习导引]1.集合相等、子集、真子集的概念(1)集合相等：①定义：如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么就说集合A等于集合B.②符号表示：A＝B.③图形表示：(2)子集①定义：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集.②符号表示：A⊆B或B⊇A.③图形表示：或(3)真子集①定义：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集.②符号表示：A B或B A.③图形表示：2.集合关系与其特征性质之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则有3.∅(1)∅是任意一个集合的子集；(2)∅是任意一个非空集合的真子集.要点一有限集合的子集确定问题例1 写出集合A＝{1,2,3}的所有子集和真子集.解由0个元素构成的子集：∅；由1个元素构成的子集：{1}，{2}，{3}；由2个元素构成的子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}；由3个元素构成的子集：{1,2,3}.由此得集合A的所有子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}.在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是A的真子集.规律方法 1.求解有限集合的子集问题，关键有三点：(1)确定所求集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.2.一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.跟踪演练1 已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，求集合M及其个数.解当M中含有两个元素时，M为{2,3}；当M中含有三个元素时，M为{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}；当M中含有四个元素时，M为{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}；当M中含有五个元素时，M为{2,3,1,4,5}；所以满足条件的集合M为{2,3}，{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}，{2,3,1,4,5}，集合M的个数为8.要点二集合间关系的判定例2 指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}；(4)M ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，N ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈N *}.解 (1)集合A 的代表元素是数，集合B 的代表元素是有序实数对，故A 与B 之间无包含关系.(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B . (3)集合B ＝{x |x ＜5}，用数轴表示集合A ，B 如图所示，由图可知A B .(4)由列举法知M ＝{1,3,5,7，…}，N ＝{3,5,7,9，…}，故N M .规律方法 对于连续实数组成的集合，通常用数轴来表示，这也属于集合表示的图示法.注意在数轴上，若端点值是集合的元素，则用实心点表示；若端点值不是集合的元素，则用空心点表示.跟踪演练2 集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |2x ＋7＞0}，试判断集合A 和B 的关系.解 A ＝{－3,2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞－72.∵－3＞－72，2＞－72，∴－3∈B,2∈B ∴A ⊆B 又0∈B ，但0∉A ，∴AB .要点三 由集合间的关系求参数范围问题例3 已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1＜x ＜m ＋1}，且B ⊆A . 求实数m 的取值范围. 解 ∵B ⊆A ，(1)当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. (2)当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1＜m ＋1，解得－1≤m ＜2，综上得{m |m ≥－1}.规律方法 1.(1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合.(2)利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误. 2.涉及字母参数的集合关系时，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用. 跟踪演练3 已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}. (1)若AB ，求a 的取值范围；(2)若B ⊆A ，求a 的取值范围. 解 (1)若AB ，由图可知a ＞2.(2)若B ⊆A ，由图可知1≤a ≤2.1.集合A ＝{x |0≤x ＜3，x ∈N }的真子集的个数为( ) A.4 B.7 C.8 D.16 答案 B解析 可知A ＝{0,1,2}，其真子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}.共有23－1＝7(个).2.设集合M ＝{x |x ＞－2}，则下列选项正确的是( ) A.{0}⊆M B.{0}∈M C.∅∈M D.0⊆M 答案 A解析 选项B 、C 中均是集合之间的关系，符号错误；选项D 中是元素与集合之间的关系，符号错误.3.已知M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x 2＋x ＝0}，则能表示M ，N 之间关系的Venn 图是( )答案 C解析 M ＝{－1,0,1}，N ＝{0，－1}，∴N M .4.已知集合A ＝{2,9}，集合B ＝{1－m,9}，且A ＝B ，则实数m ＝________. 答案 －1解析 ∵A ＝B ，∴1－m ＝2，∴m ＝－1. 5.已知∅x |x 2－x ＋a ＝0}，则实数a 的取值范围是________.答案 {a |a ≤14}解析 ∵∅x |x 2－x ＋a ＝0}.∴{x |x 2－x ＋a ＝0}≠∅. 即x 2－x ＋a ＝0有实根. ∴Δ＝(－1)2－4a ≥0，得a ≤14.1.对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法.(2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A 中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素.(3)在真子集的定义中，A、B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.2.集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集.集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n －2个非空真子集.。

§1.2集合之间的关系与运算1.2.1集合之间的关系自主学习学习目标了解子集、真子集、空集的概念，掌握用V enn图表示集合的方法，通过子集理解两集合相等的意义．自学导引1．一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中________________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作________(或________)，读作“____________”(或“____________”)．2．如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且________________________，此时，集合A 与集合B中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作________．3．如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的__________，记作________(或________)．4．________是任何集合的子集，________是任何非空集合的真子集．对点讲练知识点一写出给定集合的子集例1 (1)写出集合{0,1,2}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集；(2)填写下表，并回答问题．原集合子集子集的个数∅{a}{a，b}{a，b，c}由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，a n}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？规律方法(1)分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏．(2)集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集，有(2n－1)个真子集，(2n－1)个非空子集，(2n－2)个非空真子集．变式迁移1 已知集合M满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M.知识点二 集合基本关系的应用例2 (1)已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且B ⊆A .求实数m 的取值范围；(2)本题(1)中，若将“B ⊆A ”改为“A ⊆B ”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．规律方法 (1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必须的．变式迁移2 已知A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，B ＝{x |mx ＝1}，若B A ，求实数m 所构成的集合M .知识点三 集合相等关系的应用例3 已知集合A ＝{2，x ，y }，B ＝{2x,2，y 2}且A ＝B ，求x ，y 的值．规律方法 集合相等则元素相同，但要注意集合中元素的互异性，防止错解．变式迁移3 含有三个实数的集合可表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1，也可表示为{a 2，a ＋b,0}，求a ，b .1．元素、集合间的关系用符号“∈”或“∉”表示，集合、集合间的关系用“⊆”、“＝”或“”等表示．2．在特定的情况下集合也可以作为元素，如集合B ＝{∅，{0}，{1}，{0,1}}，则此时{1}∈B ，而不能是{1}B .3．解集合关系的问题时还需注意以下几个方面：(1)当A ⊆B 时，A ＝B 或A B .(2)判断两个集合间的关系：①先用列举法表示两个集合再判断；②分类讨论．(3)解数集问题学会运用数轴表示集合．(4)集合与集合间的关系可用V enn 图直观表示.课时作业一、选择题1．下列命题①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A 时，则A ≠∅，其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤a ＋2}，B ＝{x |3<x <5}，则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是( )A ．{a |3<a ≤4}B ．{a |3≤a ≤4}C ．{a |3<a <4}D ．∅3．设B ＝{1,2}，A ＝{x |x ⊆B }，则A 与B 的关系是( )A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A ∈BD ．B ∈A4．若集合A ＝{x |x ＝n ，n ∈N }，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝n 2，n ∈Z ，则A 与B 的关系是( ) A ．A B B ．A B C ．A ＝B D ．A ∈B5．在以下六个写法中：①{0}∈{0,1}；②∅{0}；③{0，－1,1}⊆{－1,0,1}；④0∈∅；⑤Z ＝{正整数}；⑥{(0,0)}＝{0}，其中错误写法的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题6．满足{0,1,2}A ⊆{0,1,2,3,4,5}的集合A 的个数是________．7．设M ＝{x |x 2－1＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若N ⊆M ，则a 的取值集合为________．8．若{x |2x －a ＝0，a ∈N }⊆{x |－1<x <3}，则a 的所有取值组成的集合为________________．三、解答题9．设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求实数a 、b 的值．10．已知集合A ＝{x |－2k ＋3<x <k －2}，B ＝{x |－k <x <k }，若A B ，求实数k 的取值范围．【探究驿站】11．已知集合M＝{x|x＝m＋16，m∈Z}，N＝{x|x＝n2－13，n∈Z}，P＝{x|x＝p2＋16，p∈Z}，请探求集合M、N、P之间的关系．§1.2集合之间的关系与运算1．2.1集合之间的关系答案自学导引1．任意一个A⊆B B⊇A A包含于BB包含A2．集合B是集合A的子集(B⊆A)A＝B3．真子集A B B A4．空集空集对点讲练例1 解(1)不含任何元素的集合：∅；含有一个元素的集合：{0}，{1}，{2}；含有两个元素的集合：{0,1}，{0,2}，{1,2}；含有三个元素的集合：{0,1,2}．故集合{0,1,2}的所有子集为∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}．其中除去集合{0,1,2}，剩下的都是{0,1,2}的真子集．(2)原集合子集子集的个数∅∅ 1{a}∅，{a} 2{a，b}∅，{a}，{b}，{a，b} 4{a，b，c}∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}8这样，含n个元素的集合{a1，a2，…，a n}的所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n －1，非空真子集的个数是2n－2.变式迁移1解由已知条件知所求M为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．例2 解(1)∵B⊆A，①当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤2m －1m ＋1≤42m －1<m ＋1，解得－1≤m <2，综上得m ≥－1.(2)显然A ≠∅，又A ⊆B ，∴B ≠∅，如图所示，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1<m ＋12m －1<－3m ＋1>4，解得m ∈∅.变式迁移2 解 由x 2－5x ＋6＝0得x ＝2或x ＝3.∴A ＝{2,3}由B A 知B ＝∅或B ＝{2}或B ＝{3}若B ＝∅，则m ＝0；若B ＝{2}，则m ＝12；若B ＝{3}，则m ＝13. ∴M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，13. 例3 解 方法一 ∵A ＝B∴集合A 与集合B 中的元素相同∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x y ＝y 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y 2y ＝2x ， 解得x ，y 的值为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝1或⎩⎨⎧ x ＝14y ＝12验证得，当x ＝0，y ＝0时，A ＝{2,0,0}这与集合元素的互异性相矛盾，舍去．∴x ，y 的取值为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝14，y ＝12. 方法二 ∵A ＝B ，∴A 、B 中元素分别对应相同．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2x ＋y 2，x ·y ＝2x ·y 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y (y －1)＝0， ①xy (2y －1)＝0. ② ∵集合中元素互异，∴x 、y 不能同时为0.∴y ≠0.由②得x ＝0或y ＝12. 当x ＝0时，由①知y ＝1或y ＝0(舍去)；当y ＝12时，由①得x ＝14. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1，或⎩⎨⎧ x ＝14，y ＝12.变式迁移3 解 由集合相等得：0∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1，易知a ≠0， ∴b a＝0，即b ＝0，∴a 2＝1且a 2≠a ，∴a ＝－1. 综上所述：a ＝－1，b ＝0.课时作业1．B [仅④是正确的．]2．B [∵A ⊇B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤3a ＋2≥5∴3≤a ≤4.]3．D [∵B 的子集为{1}，{2}，{1,2}，∅，∴A ＝{x |x ⊆B }＝{{1}，{2}，{1,2}，∅}，∴B ∈A .]4．A 5.B6．7解析 本题即求集合{3,4,5}的非空子集个数，共23－1＝7个．7．{－1,1,0}8．{0,1,2,3,4,5}9．解 ∵A ＝B 且1∈A ，∴1∈B .若a ＝1，则a 2＝1，这与元素互异性矛盾，∴a ≠1.若a 2＝1，则a ＝－1或a ＝1(舍)．∴A ＝{1，－1，b }，∴b ＝ab ＝－b ，即b ＝0.若ab ＝1，则a 2＝b ，得a 3＝1，即a ＝1(舍去)． 故a ＝－1，b ＝0即为所求．10．解 ∵A B ，①若A ＝∅，且B ≠∅，则k >0，且－2k ＋3≥k －2⇒0<k ≤53； ②若A ≠∅，且B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧ k >0－2k ＋3<k －2－k ≤－2k ＋3k ≥k －2且－k ＝－2k ＋3与k ＝k －2不同时成立，解得53<k ≤3. 由①②可得实数k 的取值范围为{k |0<k ≤3}．11．解 M ＝{x |x ＝m ＋16，m ∈Z }＝{x |x ＝6m ＋16，m ∈Z }． N ＝{x |x ＝n 2－13，n ∈Z }＝{x |x ＝3n －26，n ∈Z }． P ＝{x |x ＝p 2＋16，p ∈Z }＝{x |x ＝3p ＋16，p ∈Z }． ∵3n －2＝3(n －1)＋1，n ∈Z ，∴3n －2,3p ＋1都是3的整数倍加1，从而N ＝P .而6m ＋1＝3×2m ＋1是3的偶数倍加1，∴M N ＝P .。

数学人教B 必修1第一章1.2.1 集合之间的关系1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．2．能使用维恩(Venn)图表达集合之间的关系，尤其要注意空集这一特殊集合的意义． 3．理解集合关系与其特征性质之间的关系，并能写出有限集的子集、真子集与非空真子集．1．集合之间的关系定义性质 特殊规定(结论)子集一般地，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫做集合B 的____，记作____或____，读作“A ______B ”或“B ____A ”对于集合A ，B ，C ，如果A ⊆B ，B ⊆C ，则A ____C根据子集的定义，任意一个集合A 都是______的子集，即________．空集是____________的子集．也就是说，对任意集合A ，都有____(其中A 也可能是)真子集如果集合A 是集合B 的子集，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的______，记作____或____，读作“A ________B ”或“B ______A ”对于集合A ，B ，C ，如果A B ，B C ，则A ____C 空集是____________的真子集，也就是说，对任意一个非空集合A ，都有___________相等一般地，如果集合A 的______元素都是集合B 的元素，反过来，集合B 的______元素也都是集合A 的元素，那么我们就说集合A 等于集合B ，记作A ＝B如果A ⊆B ，又B ⊆A ，则____；反之，如果A ＝B ，则________ 对于元素较少的有限集，可以将集合中的元素全部列举出来，说明两个集合中的元素完全相同，从而得到两个集合相等．对于无限集，只需说明两个集合之间具有相互包含关系，就可以得到两个集合相等A ⊆B 包括AB 和A ＝B 两种情况．其中AB ，可形象地理解为B 中元素至少比A中元素多一个；而A ＝B ，可从A 的元素与B 的元素完全一样去理解．【做一做1－1】有下列关系：①1∈{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0,1,2}⊆{0,1,2}；④{0,1,2}＝{2,0,1}．其中错误的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【做一做1－2】已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{3，x 2,2}，若A ＝B ，则x 的值是( )A．1 B．－1C．±1 D．0【做一做1－3】集合{x∈Z|2 009≤x≤2 011}的真子集的个数为()A．3 B．6 C．7 D．82．维恩(Venn)图我们常用平面内一条____________来表示一个集合，用这种图形可以形象地表示出集合之间的关系，这种图形通常叫做维恩(Venn)图．如果集合A是集合B的______，那么就把表示A的区域画在表示B的区域的内部(如图所示)．【做一做2】如图所示，对于集合A，B，C，D的关系，描述正确的是()A．B⊆C B．D⊆AC．A B D．A C3．集合关系与其特征性质之间的关系设A＝{x|p(x)}，B集合间的关系特征性质间的关系A⊆B ________A⊇B ________A＝B ________【做一做3】已知集合M＝{x|x＞2 011}，N＝{x|x≥a}，且x≥a⇒x＞2 011，则a满足的条件为__________．一、“∈”与“⊆”的区别与联系剖析：符号“∈”表示元素与集合之间的从属关系，也就是个体与总体的关系，是指单个对象与对象的全体的从属关系；而符号“⊆”表示集合与集合之间的包含关系，也就是部分与总体的关系，是指由某些对象组成的部分与全部对象组成的全体之间的包含关系．从属关系(∈)一般只能用在元素与集合之间；包含关系(⊆，)只能用在集合与集合之间．在使用以上符号的时候先要弄清楚是元素与集合的关系还是集合与集合之间的关系．例如，表示元素与集合之间的关系有：1∈N，－1∉N,1∈{1},0∈{0}等，但不能写成0＝{0}或0⊆{0}；表示集合与集合之间的关系有：N⊆R，{1,2,3}⊆{1,2,3}，{1,2,3}{1,2,3,4}等；但需要引起注意的是{}与∈{}的写法都是正确的，前者是从两个集合间的关系来考虑的，后者则把看成集合{}中的元素来考虑．二、探索集合的子集个数问题剖析：由子集的定义可知：若集合A是集合B的子集，则有A⊆B，它包含以下两个方面：(1)A B；(2)A＝B．由以上知识，可以得到：若B＝{a}，则其子集可以是，{a}，即集合中若有1个元素，其子集个数为2；若B＝{a，b}，则其子集可以是，{a}，{b}，{a，b}，即集合中若有2个元素，其子集个数为4；若B＝{a，b，c}，则其子集可以是，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，即集合中若有3个元素，其子集的个数为8；若B＝{a，b，c，d}，则其子集可以是，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}，即集合中若有4个元素，其子集的个数为16.综上所述，集合中的元素个数每增加1，其子集的个数变为原来的2倍，其对应关系为：元素个数子集数目12＝2122×21＝2232×22＝2342×23＝24由此可以猜测：若集合中有n个元素，则其子集的个数应为2n，其非空子集的个数为(2n －1)，其真子集的个数应为(2n－1)，其非空真子集的个数为(2n－2)．三、教材中的“思考与讨论”已知集合A的特征性质为p(x)，集合B的特征性质为q(x)．“如果p(x)，那么q(x)”是正确的命题，试问集合A和B的关系如何？并举例说明．剖析：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，“如果p(x)，那么q(x)”是正确的命题，则有p(x)⇒q(x)，即x∈A⇒x∈B，根据子集的定义有A⊆B．举例说明如下：A＝{x|x是6的约数}，B ＝{x|x是12的约数}，即集合A的特征性质p(x)是：x是6的约数；集合B的特征性质q(x)是：x是12的约数．而6的约数是1,2,3,6,12的约数是1,2,3,4,6,12，由此得知，“如果p(x)，那么q(x)”是真命题，则有“如果x是6的约数，那么x是12的约数”，即x∈A⇒x∈B，所以A⊆B．题型一子集、真子集的概念【例1】(2011·东北五校高一期末)有下列关系：①0∈{0}；②{0}；③{0,1}⊆{(0,1)}；④{(a，b)}＝{(b，a)}．其中正确的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4反思：注重元素与集合、集合与集合间关系的判断的本质要求，判断时要注意看清楚集合是数集还是点集，更要注意空集的特殊性．题型二两个集合相等及其应用【例2】已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N，求a，b的值．分析：M＝N→列方程组→解方程组求a，b的值反思：由集合相等的概念不难得到，若两个有限集相等，则一定会具有以下性质：(1)两个集合的元素的个数相等；(2)两个集合的元素之和相等；(3)两个集合的元素之积相等．另外，在考虑两个集合相等时，还应注意到集合中元素的互异性．本题结果易出现含有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0这种情况的错误，导致该种错误的原因是忽视了集合中元素的互异性． 题型三 根据子集关系，确定参数的值【例3】设集合A ＝{－1,1}，集合B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}，若B ≠，B ⊆A ，求a ，b的值．分析：由B ≠，B ⊆A ，可见B 是A 的非空子集．而A 的非空子集有三个：{－1}，{1}，{－1,1}，所以B 要分三种情形讨论．反思：利用分类讨论的思想，考虑集合B 的所有可能的情况，这是处理集合与其子集之间关系的常用方法．另外，此题也可以利用根与系数的关系求解．此题容易发生的错误是：没有注意题中的已知条件而考虑B ＝的情形．题型四 集合关系与其特征性质之间的关系【例4】已知集合A ＝{x |x ＝1＋a 2，a ∈R }，B ＝{y |y ＝a 2－4a ＋5，a ∈R }，判断这两个集合之间的关系，并判断它们的特征性质之间的关系．分析：首先化简集合，可以得出集合之间的关系，从而得出其特征性质之间的关系． 反思：集合关系与其特征性质之间的关系是必修1中新增添的内容，我们不仅可以通过判断两个集合之间的关系来判断它们的特征性质之间的关系，还可以用集合特征性质之间的关系判断集合之间的关系，但要注意转化的等价性．题型五 易错辨析【例5】集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}． (1)若B ⊆A ，求实数m 满足的条件；(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数． 错解：(1)由题意并结合数轴(如下图)，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.所以实数m 满足的条件是2≤m ≤3. (2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}， 所以A 的非空真子集的个数为28－1＝255.反思：空集是一种特殊的集合，也是集合运算中最活跃的一个集合，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．当B ⊆A 时，B 可能为易被忽视，要注意这一“陷阱”，在条件不明确时，要注意分类讨论．1已知集合A ＝{x ∈N ＋|－2 011＜x ＜2 012}，B ＝{x ∈Z |0≤x ≤2 011}，则集合A ，B 之间的关系为( )A．A＝B B．A B C．B A D．A⊃B2已知集合A＝{a}，C＝{a，b，c}，若A⊆B且B⊆C，则集合B的个数是()A．1 B．2 C．3 D．43设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则a满足的条件是()A．a≥2 B．a≤1 C．a≥1 D．a≤24已知集合A＝{2,9}，集合B＝{m2－m,9}，且A＝B，则实数m等于__________．5有下面5个命题：①空集没有子集；②任意集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若A，则A≠；⑤集合A⊆B，就是集合A中的元素都是集合B中的元素，集合B中的元素也都是集合A中的元素．其中不正确命题的序号有__________．6已知集合A中元素的特征性质p(x)：x2－2x－3＝0，集合B中元素的特征性质q(x)：ax－1＝0，a∈R.若q(x)⇒p(x)，试求a的值．答案：基础知识·梳理1．子集A⊆B B⊇A包含于包含⊆它本身A⊆A任意一个集合⊆A真子集A B B A真包含于真包含任意一个非空集合A每一个每一个A＝B A⊆B，且B⊆A【做一做1－1】A①正确；②错误，应为{1}{0,1,2}；③正确，也可以写成{0,1,2}＝{0,1,2}；④正确．故选A.【做一做1－2】C【做一做1－3】C∵{x∈Z|2 009≤x≤2 011}＝{2 009，2 010，2 011}，集合中有3个元素，∴真子集个数为23－1＝7.2．封闭曲线的内部真子集【做一做2】D3．p(x)⇒q(x)q(x)⇒p(x)p(x)⇔q(x)【做一做3】a＞2 011∵x≥a⇒x＞2 011，∴N⊆M.∴a＞2 011.典型例题·领悟【例1】B根据元素与集合的关系可知0∈{0}正确；由空集是任意非空集合的真子集可知{0}正确；③中集合{0,1}的元素是数，而集合{(0,1)}的元素是点，因此没有包含关系，故③错误；④中集合中的元素是点，而点的坐标有顺序性，因此{(a，b)}≠{(b，a)}，故④错误；综上，应选B.【例2】解：根据集合中元素的互异性和M＝N，有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a ，b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a .解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.再根据集合中元素的互异性，知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0不符合要求，舍去，所以a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.【例3】解：由B ⊆A ，知B 中的所有元素都属于集合A . 又B ≠，故集合B 有三种情形：B ＝{－1}或B ＝{1}或B ＝{－1,1}．当B ＝{－1}时，⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2a ＋b ＝0，(－2a )2－4b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1；当B ＝{1}时，⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a ＋b ＝0，(－2a )2－4b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1；当B ＝{－1,1}时，⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2a ＋b ＝0，1－2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1.综上所述，a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1.【例4】解：因为x ＝1＋a 2，a ∈R ，所以x ≥1. 因为y ＝a 2－4a ＋5＝(a －2)2＋1，a ∈R ，所以y ≥1， 故A ＝{x |x ≥1}，B ＝{y |y ≥1}，所以A ＝B . 故它们的特征性质之间的关系为： x ＝1＋a 2，a ∈R ⇔y ＝a 2－4a ＋5，a ∈R . 【例5】错因分析：(1)中忽略了B ＝时的情形；(2)中误认为是求A 的真子集或A 的非空子集的个数．正解：(1)①当B ＝时，⊆A ，符合题意，此时m ＋1＞2m －1，解得m ＜2.②当B ≠时，由题意结合数轴(如下图)，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m≤3.综合①②，可知m的取值范围是{m|m≤3}．(2)当x∈Z时，A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，所以A的非空真子集的个数为28－2＝254.随堂练习·巩固1．B2．D∵A⊆B⊆C，∴B可能为{a}，{a，b}，{a，c}，{a，b，c}．∴满足条件的集合B的个数是4.3．A结合数轴(如下图)，∵A⊆B，∴a≥2.4．－1或2∵A＝B，∴m2－m＝2，解得m＝－1或2.5．①②③⑤①错误，因为空集是任意一个集合的子集；②错误，因为空集只有一个子集；③错误，因为空集是任意一个非空集合的真子集，空集并不是它本身的真子集；④正确；⑤错误，因为其叙述不符合子集的定义，若A⊆B，则只需要集合A中的元素都是集合B中的元素．6．解：∵q(x)⇒p(x)，∴B⊆A.又A＝{－1,3}，∴结合方程ax－1＝0，a∈R的特点有B＝或{－1}或{3}．当B＝时，a＝0；当B＝{－1}时，1a＝－1，即a＝－1；当B＝{3}时，1a ＝3，即a＝13.综上可知，a的值为0或－1或13.。

1．2.1 集合之间的关系整体设计教学分析课本从学生熟悉的集合出发，引入集合间的关系，同时，结合相关内容介绍子集等概念．在安排这部分内容时，课本注重体现逻辑思考的方法，如归纳等．值得注意的问题：在集合间的关系教学中，建议重视使用Venn图，这有助于学生通过体会直观图示来理解抽象概念；随着学习的深入，集合符号越来越多，建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号，例如∈与 的区别．三维目标1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，能判断给定集合间的关系，提高利用类比发现新结论的能力．2．在具体情境中，了解空集的含义，掌握并能使用Venn图表达集合的关系，加强学生从具体到抽象的思维能力，树立数形结合的思想．重点难点教学重点：理解集合间包含与相等的含义．教学难点：属于与包含之间的区别．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.实数有相等、大小关系，如5＝5,5＜7,5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？(让学生自由发言，教师不要急于作出判断，而是继续引导学生)欲知谁正确，让我们一起来观察、研探．思路 2.复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填空：(1)0____N；(2)2____QR.类比实数的大小关系，如5＜7,2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？(答案：(1)∈；(2)；(3)∈)推进新课新知探究提出问题1观察下面几个例子：①A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}；②设A为国兴中学高一3班男生的全体组成的集合，B为这个班学生的全体组成的集合；③设C＝{x|x是两条边相等的三角形}，D＝{x|x是等腰三角形}；④E＝{2，4，6}，F＝{6，4，2}.,你能发现两个集合间有什么共同特点吗？(2)例子①中集合A是集合B的子集，例子④中集合E是集合F的子集，同样是子集，有什么区别？(3)结合例子④，类比实数中的结论：“若a≤b，且b≤a，则a＝b”，在集合中，你发现了什么结论？(4)按升国旗时，每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内，从楼顶向下看，每位同学是哪个班的，一目了然.试想一下，根据从楼顶向下看的，要想直观表示集合，联想集合还能用什么表示？(5)试用Venn图表示例子①中集合A和集合B.(6)已知A⊆B，试用Venn图表示集合A和B的关系．(7)与实数中的结论“若a≥b，且b≥c，则a≥c”相类比，在集合中，你能得出什么结论？活动：教师从以下方面引导学生：(1)观察两个集合间元素的特点．教师给出定义：一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A.规定：空集是任何一个集合的子集．(2)从它们含有的元素间的关系来考虑．规定：如果A⊆B，但存在x∈B，且x A，我们称集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)．(3)实数中的“≤”类比集合中的⊆．(4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的，学生看成集合中的元素，从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内．教师指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面内一条封闭曲线的内部代表集合，这种图称为维恩(Venn)图．(5)封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等，没有限制．(6)分类讨论：当A⊆B时，A B或A＝B.(7)类比子集．讨论结果：(1)①集合A中的元素都在集合B中；②集合A中的元素都在集合B中；③集合C中的元素都在集合D中；④集合E中的元素都在集合F中．可以发现：对于任意两个集合A、B有下列关系：集合A中的元素都在集合B中，或集合B中的元素都在集合A中．(2)例子①中A⊆B，但有一个元素4∈B，且4A，而例子②中集合E和集合F中的元素完全相同．(3)若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合．(5)如图甲所示表示集合A，如图乙所示表示集合B.(6)如下图所示．(7)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；若A B，B C，则A C.应用示例思路1例1写出集合A＝{1,2,3}的所有子集和真子集．分析：如何一个不漏地写出集合{1,2,3}的所有子集呢？我们采用下面的步骤：(1)因为空集∅是所有集合的子集，所以首先写出∅；(2)写出所有由一个元素构成的子集：{1}，{2}，{3}；(3)写出所有由两个元素构成的子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}；(4)写出所有由三个元素构成的子集：{1,2,3}．解：集合A的所有子集是：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是A的真子集．点评：本题主要考查子集和真子集的概念，以及分类讨论的思想．通常按子集中所含元素的个数来写出一个集合的所有子集，这样可以避免重复和遗漏．思考：集合A中含有n个元素，那么集合A有多少个子集？多少个真子集？解：当n＝0时，即空集的子集为∅，即子集的个数是1＝20；当n＝1时，即含有一个元素的集合如{a}的子集为∅，{a}，即子集的个数是2＝21；当n＝2时，即含有两个元素的集合如{a，b}的子集为∅，{a}，{b}，{a，b}，即子集的个数是4＝22……集合A中含有n个元素，那么集合A有2n个子集，由于一个集合不是其本身的真子集，所以集合A有(2n－1)个真子集.变式训练已知集合P＝{1,2}，那么满足Q⊆P的集合Q的个数是( )A．4 B．3 C．2 D．1解析：集合P＝{1,2}含有2个元素，其子集有22＝4个，又集合Q⊆P，所以集合Q有4个．答案：A例2说出下列每对集合之间的关系：(1)A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,3,5}；(2)P＝{x|x2＝1}，Q＝{x||x|＝1}；(3)C＝{x|x是奇数}，D＝{x|x是整数}．解：(1)B A；(2)P＝Q；(3)C D.点评：本题主要考查集合间的包含关系．其关键是首先明确两集合中的元素具体是什么．判断两个集合A、B之间是否有包含关系的步骤是：先明确集合A、B中的元素，再分析集合A、B中的元素之间的关系，得：当集合A中的元素都属于集合B时，有A⊆B；当集合A中的元素都属于集合B，当集合B中至少有一个元素不属于集合A时，有A B；当集合A 中的元素都属于集合B，并且集合B中的元素也都属于集合A时，有A＝B；当集合A中至少有一个元素不属于集合B，并且集合B中至少有一个元素也不属于集合A时，有A B，且B A，即集合A、B互不包含.变式训练某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时，该产品才合格．若用A表示合格产品的集合，B表示重量合格的产品的集合，C表示长度合格的产品的集合．已知集合A、B、C均不是空集．(1)则下列包含关系哪些成立？A⊆B，B⊆A，A⊆C，C⊆A.(2)试用Venn图表示集合A、B、C间的关系．活动：学生思考集合间的关系以及Venn图的表示形式．当集合A中的元素都属于集合B时，则A⊆B成立，否则A⊆B不成立．用相同的方法判断其他包含关系是否成立．教师提示学生以下两点：(1)重量合格的产品不一定是合格产品，但合格的产品一定重量合格；长度合格的产品不一定是合格产品，但合格的产品一定长度合格．(2)根据集合A、B、C间的关系来画出Venn图.解：(1)包含关系成立的有：A⊆B，A⊆C.(2)集合A、B、C间的关系用Venn图表示，如下图所示.例3判定下列集合A与B的关系：(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；(2)A＝{x|x＞3}，B＝{x|x＞5}；(3)A＝{x|x是矩形}，B＝{x|x是有一个角为直角的平行四边形}．解：(1)因为x是12的约数⇒x是36的约数，所以A⊆B；(2)因为x＞5⇒x＞3，所以B⊆A；(3)因为x是矩形⇔x是有一个角为直角的平行四边形，所以A＝B.点评：A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则如果p(x) ⇔q(x)，则A＝B；反之，如果A＝B，则p(x) ⇔q(x).变式训练本节练习A 4思路2例1已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B A，则实数m＝________.活动：先让学生思考B⊆A的含义，根据B⊆A，知集合B中的元素都属于集合A，集合元素的互异性，列出方程某某数m的值．因为B⊆A，所以3∈A，m22的值分类讨论．解析：∵B⊆A，∴3∈A，m2∈A.∴m2＝－1(舍去)或m2＝2m－1.解得m＝1.∴m＝1.答案：1点评：本题主要考查集合和子集的概念，以及集合元素的互异性．本题容易出现m2＝3，其原因是忽视了集合元素的互异性．避免此类错误的方法是解得m的值后，再代入验证．讨论两集合之间关系时，通常依据相关的定义，观察这两个集合元素的关系，转化为解变式训练已知集合M＝{x|2－x＜0}，集合N＝{x|ax＝1}，若N M，某某数a的取值X围．分析：集合N是关于x的方程ax＝1的解集，集合M＝{x|x＞2}≠∅，由于N M，则N＝或N≠∅，要对集合N是否为空集分类讨论．解：由题意得M＝{x|x＞2}≠∅，则N＝∅或N≠∅．当N＝∅时，关于x的方程ax＝1中无解，则有a＝0；当N≠∅时，关于x 的方程ax ＝1中有解，则a≠0，此时x ＝1a. 又∵N M ，∴1a ∈M.∴1a ＞2.∴0＜a ＜12. 综上所得，实数a 的取值X 围是a ＝0或0＜a ＜12， 即实数a 的取值X 围是{a|0≤a＜12}.例2 (1)分别写出下列集合的子集及其个数：∅，{a}，{a ，b}，{a ，b ，c}．(2)由(1)你发现集合M 中含有n 个元素，则集合M 有多少个子集？活动：学生思考子集的含义，并试着写出子集．(1)按子集中所含元素的个数分类写出子集；(2)由(1)总结当n ＝0，n ＝1，n ＝2，n ＝3时子集的个数规律，归纳猜想出结论．解：(1)∅的子集有：∅，即∅有1个子集；{a}的子集有：∅、{a}，即{a}有2个子集；{a ，b}的子集有：∅、{a}、{b}、{a ，b}，即{a ，b}有4个子集；{a ，b ，c}的子集有：∅、{a}、{b}、{c}、{a ，b}、{a ，c}、{b ，c}、{a ，b ，c}，即{a ，b ，c}有8个子集．(2)由(1)可得：当n ＝0时，有1＝20个子集；当n ＝1时，集合M 有2＝21个子集；当n ＝2时，集合M 有4＝22个子集；当n ＝3时，集合M 有8＝23个子集．因此，含有n 个元素的集合M 有2n 个子集．点评：本题主要考查子集的概念以及分类讨论和归纳推理的能力．集合M 中含有n 个元素，则集合M 有2n 个子集，有2n －1个真子集，记住这个结论，可以提高解题速度．写一个变式训练已知集合A {2,3,7}，且A 中至多有一个奇数，则这样的集合A 有… ( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个解析：对集合A 所含元素的个数分类讨论．A ＝∅或{2}或{3}或{7}或{2,3}或{2,7}共有6个．答案：D知能训练1．判断正误：(1)空集没有子集．( )(2)空集是任何一个集合的真子集．( )(3)任一集合必有两个或两个以上子集．( )(4)若B ⊆A ，那么凡不属于集合A 的元素，则必不属于B.( )分析：关于判断题应确实把握好概念的实质．解：该题的4个命题，只有(4)是正确的，其余全错．对于(1)、(2)来讲，由规定：空集是任何一个集合的子集，且是任一非空集合的真子集．对于(3)来讲，可举反例，空集这一个集合就只有自身一个子集．对于(4)来讲，当x∈B时必有x∈A，则x A时也必有x B.2．集合A＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}，写出A的真子集．分析：区分子集与真子集的概念，空集是任一非空集合的真子集，一个含有n个元素的集合的子集有2n个，真子集有2n－1个，则该题先找该集合元素，后找真子集．解：因－1＜x＜3，x∈Z，故x＝0,1,2，即A＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}＝{0,1,2}．真子集有∅、{1}、{2}、{0}、{0,1}、{0,2}、{1,2}，共7个．3．(1)下列命题正确的是( )A．无限集的真子集是有限集B．任何一个集合必定有两个子集C．自然数集是整数集的真子集D．{1}是质数集的真子集(2)以下五个式子中，错误的个数为( )①{1}∈{0,1,2}②{1，－3}＝{－3,1} ③{0,1,2}⊆{1,0,2}④∅∈{0,1,2}⑤∅∈{0}A．5 B．2 C．3 D．4(3)M＝{x|3＜x＜4}，a＝π，则下列关系正确的是( )A．a M B．a M C．{a}∈M D．{a}M解析：(1)该题要在四个选项中找到符合条件的选项，必须对概念把握准确，无限集的真子集有可能是无限集，如N是R的真子集，排除A；由于∅只有一个子集，即它本身，排除B；由于1不是质数，排除D.(2)该题涉及到的是元素与集合，集合与集合的关系．①应是{1}⊆{0,1,2}，④应是∅⊆{0,1,2}，⑤应是∅⊆{0}．故错误的有①④⑤.(3)M＝{x|3＜x＜4}，a＝π.因3＜a＜4，故a是M的一个元素．{a}是{x|3＜x＜4}的子集，那么{a}M.答案：(1)C (2)C (3)D4．判断如下集合A与B之间有怎样的包含或相等关系．(1)A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}；(2)A＝{x|x＝2m，m∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}．解：(1)因A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，故A、B都是由奇数构成的，即A＝B.(2)因A＝{x|x＝2m，m∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}，又x＝4n＝2·2n，在x＝2m中，m可以取奇数，也可以取偶数；而在x＝4n中，2n只能是偶数．故集合A、B的元素都是偶数，但B中元素是由A中部分元素构成，则有B A.5．已知集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，Q＝{x|ax＋1＝0}满足Q P，求a所取的一切值．解：因P ＝{x|x 2＋x －6＝0}＝{2，－3}，当a ＝0时，Q ＝{x|ax ＋1＝0}＝∅，Q P 成立． 又当a≠0时，Q ＝{x|ax ＋1＝0}＝{－1a}， 要Q P 成立，则有－1a ＝2或－1a ＝－3，a ＝－12或a ＝13. 综上所述，a ＝0或a ＝－12或a ＝13. 点评：这类题目给的条件中含有字母，一般需分类讨论．本题易漏掉a ＝0，ax ＋1＝0无解，即Q 为空集的情况，而当Q ＝∅时，满足Q P.6．已知集合A ＝{x∈R |x 2－3x ＋4＝0}，B ＝{x∈R |(x ＋1)(x 2＋3x －4)＝0}，要使A P ⊆B ，求满足条件的集合P.解：由A ＝{x∈R |x 2－3x ＋4＝0}＝∅，B ＝{x∈R |(x ＋1)(x 2＋3x －4)＝0}＝{－1,1，－4}， 由A P ⊆B 知集合P 非空，且其元素全属于B ，即P 是B 的非空子集，则满足条件的集合P 为{1}或{－1}或{－4}或{－1,1}或{－1，－4}或{1，－4}或{－1,1，－4}．点评：要解决该题，必须确定满足条件的集合P 的元素，而做到这点，必须明确A 、B ，充分把握子集、真子集的概念，准确化简集合是解决问题的首要条件．7．集合A ＝{x|－2≤x≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x≤2m－1}，(1)若B ⊆A ，某某数m 的取值X 围；(2)当x∈Z 时，求A 的非空真子集个数；(3)当x∈R 时，没有元素x 使x∈A 与x∈B 同时成立，某某数m 的取值X 围．解：(1)当m ＋1＞2m －1即m ＜2时，B ＝∅满足B ⊆A.当m ＋1≤2m－1即m≥2时，要使B ⊆A 成立，需⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥－2，2m －1≤5，可得2≤m≤3.综上所得实数m 的取值X 围为m≤3.(2)当x∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，∴A 的非空真子集个数为28－2＝254.(3)∵x∈R ，且A ＝{x|－2≤x≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x≤2m－1}，又没有元素x 使x∈A 与x∈B 同时成立．则①若B ＝∅即m ＋1＞2m －1，得m ＜2时满足条件；②若B≠∅，则要满足条件有：⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m－1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m－1，2m －1<－2，解之，得m ＞4.综上，有m ＜2或m ＞4.点评：此问题解决要注意：不应忽略∅；找A 中的元素；分类讨论思想的运用． 拓展提升问题：已知A ⊆B ，且A ⊆C ，B ＝{0,1,2,3,4}，C ＝{0,2,4,8}，则满足上述条件的集合A共有多少个？活动：学生思考A⊆B，且A⊆C所表达的含义．A⊆B说明集合A是集合B的子集，即集合A中元素属于集合B，同理有集合A中元素属于集合C.因此集合A中的元素是集合B 和集合C的公共元素．思路1：写出由集合B和集合C的公共元素所组成的集合，得满足条件的集合A；思路2：分析题意，仅求满足条件的集合A的个数，转化为求集合B和集合C的公共元素所组成的集合的子集个数．解法一：因A⊆B，A⊆C，B＝{0,1,2,3,4}，C＝{0,2,4,8}，由此，满足A⊆B，有：∅，{0}，{1}，{2}，{3}，{4}，{0,1}，{0,2}，{2,3}，{2,4}，{0,3}，{0,4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{3,4}，{0,2,4}，{0,1,2}，{0,1,3}，{0,1,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{2,3,4}，{0,3,4}，{0,1,2,3}，{1,2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3}，{1,3,4}，{0,1,2,4}，{0,2,3,4}，{0,1,2,3,4}，共25＝32(个)．又满足A⊆C的集合A有∅，{0}，{2}，{4}，{8}，{0,2}，{0,4}，{0,8}，{2,4}，{2,8}，{4,8}，{0,2,4}，{0,2,8}，{0,4,8}，{2,4,8}，{0,2,4,8}，共24＝16(个)．其中同时满足A⊆B，A⊆C的有8个，即∅，{0}，{2}，{4}，{0,2}，{0,4}，{2,4}，{0,2,4}，实际上到此就可看出，上述解法太繁．解法二：题目只求集合A的个数，而未让说明A的具体元素，故可将问题等价转化为B、C的公共元素组成集合的子集数是多少．显然公共元素有0、2、4，组成集合的子集有23＝8(个)．点评：有关集合间关系的问题，常用分类讨论的思想来解决；关于集合的子集个数的结论要熟练掌握，其应用非常广泛．课堂小结本节课学习了：①子集、真子集、Venn图等概念；②能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集，进一步确定其是否是真子集；③清楚两个集合包含关系的确定，主要靠其元素与集合关系来说明．作业课本本节练习B 2、3、4.设计感想本节教学设计注重引导学生通过归纳来获得新知，在实际教学中，要留给学生适当的思考时间，使学生自己通过归纳得到正确结论．丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念，学生的数学学习活动不能仅限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、合作交流、阅读自学等都应成为学生学习数学的重要方式．备课资料[备选例题]例1下面的Venn图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，问集合A、B、C、D、E分别是哪种图形的集合？分析：结合Venn图，利用平面几何中梯形、平行四边形、菱形、正方形的定义来确定．解：梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形，故A＝{四边形}；梯形不是平行四边形、菱形、正方形，而菱形、正方形是平行四边形，故B ＝{梯形}，C ＝{平行四边形}；正方形是菱形，故E ＝{正方形}，即A ＝{四边形}，B ＝{梯形}，C ＝{平行四边形}，D ＝{菱形}，E ＝{正方形}．例2 设集合A ＝{x||x|2－3|x|＋2＝0}，B ＝{x|(a －2)x ＝2}，则满足B A 的a 的值共有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个解析：由已知得A ＝{x||x|＝1或|x|＝2}＝{－2，－1,1,2}，集合B 是关于x 的方程(a －2)x ＝2的解集，∵B A ，∴B＝∅或B≠∅．当B ＝∅时，关于x 的方程(a －2)x ＝2无解，∴a－2＝0.∴a＝2.当B≠∅时，关于x 的方程(a －2)x ＝2的解为x ＝2a －2∈A， ∴2a －2＝－2或2a －2＝－1或2a －2＝1或2a －2＝2. 解得a ＝1或0或4或3，综上所得，a 的值共有5个．答案：D例3 集合A ＝{x|0≤x＜3且x∈N }的真子集．．．的个数是( ) A ．16 B ．8 C ．7 D ．4解析：A ＝{x|0≤x＜3且x∈N }＝{0,1,2}，则A 的真子集有23－1＝7个．答案：C例4 已知集合A ＝{x|1≤x≤3}，B ＝{x|(x －1)(x －a)＝0}，试判断集合B 是不是集合A 的子集？是否存在实数a 使A ＝B 成立？分析：先在数轴上表示集合A ，然后化简集合B ，由集合元素的互异性，可知此时应考虑a 的取值是否为1，要使集合B 成为集合A 的子集，集合B 的元素在数轴上的对应点必须在集合A 对应的线段上，从而确定字母a 的分类标准．解：当a ＝1时，B ＝{1}，所以B 是A 的子集；当1＜a≤3时，B 也是A 的子集；当a ＜1或a ＞3时，B 不是A 的子集．综上可知，当1≤a≤3时，B 是A 的子集．由于集合B 最多只有两个元素，而集合A 有无数个元素，故不存在实数a ，使B ＝A. 点评：分类讨论思想，就是科学合理地划分类别，通过“各个击破”，再求整体解决(即先化整为零，再聚零为整)的策略思想．类别的划分必须满足互斥、无漏、最简的要求，探索划分的数量界限是分类讨论的关键．[思考](1)空集中没有元素，怎么还是集合？(2)符号“∈”和“⊆”有什么区别？剖析：(1)疑点是总是对空集这个概念迷惑不解，并产生怀疑的想法．产生这种想法的原因是没有了解建立空集这个概念的背景，其突破方法是通过实例来体会．例如，根据集合元素的性质，方程的解能够组成集合，这个集合叫做方程的解集．对于1x＝0，x 2＋4＝0等方程来说，它们的解集中没有元素．也就是说确实存在没有任何元素的集合，那么如何用数学符号来刻画没有元素的集合呢？为此引进了空集的概念，把不含任何元素的集合叫做空集．这就是建立空集这个概念的背景．由此看出，空集的概念是一个规定．又例如，不等式|x|＜0的解集也是不含任何元素，就称不等式|x|＜0的解集是空集．(2)难点是经常把这两个符号混淆，其突破方法是准确把握这两个符号的含义及其应用X 围，并加以对比．符号∈只能适用于元素与集合之间，其左边只能写元素，其右边只能写集合，说明左边的元素属于右边的集合，表示元素与集合之间的关系，如－1∈Z ，12Z ；符号⊆只能适用于集合与集合之间，其左右两边都必须写集合，说明左边的集合是右边集合的子集，表示集合与集合之间的关系，如{1}⊆{1,0}，∅⊆{x|x ＜0}．。

1.2.1集合之间的关系一、教学目标： １.理解掌握集合间的基本关系--包含，真包含关系，并能用韦恩图表示２.区别元素与集合，集合和集合间的关系３.了解空集的含义．重点：子集的概念难点：元素与子集、属于与包含之间的区别。

二、复习回顾：回答（1）集合中元素的特性_____________________（2）元素与集合之间的关系是________________（3）集合的表示方法_______________________三、知识预习：1：对于两个集合A 和B ，如果集合A 中______一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫作集合B 的________，记作_____或______（读作：A 包含于B 或B 包含A ）注（1）A B ⊆有两种可能：①A 中所有元素是B 中的一部分元素②A 与B 是中的所有元素都相同；（2）判定A 是B 的子集，即判定“任意x A x B ∈⇒∈”.（3） 空集∅是任何集合的子集；任何一个集合是它本身的子集；(4) 易混符号：①“∈”与“⊆”②{}0与∅2：如果集合P 中存在着不是集合Q 的元素，那么____________，或___________,分别记作_________或_________3：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做B 的______，记作：_______或________，读作A 真包含于B 或B 真包含A . 注： （1）空集是任何非空集合的真子集。

（2）判定A 是B 的真子集，即判定“任意x A x B ∈⇒∈，且存在00x B x A ∈⇒∉”； 4、含n 个元素的集合A 的子集个数为________，真子集个数为___________，非空真子集个数为__________.5：对于两个集合A 与B ，如果_________________________,反过来，___________________________就说___________，记作A =B （读作集合A 等于集合B ）； 注：（1）如果两个集合所含的元素完全相同，那么这两个集合相等；（2）A B ⊆且B A ⊆⇔A=B6、集合关系的传递性：A B ⊆，B C ⊆⇒A C ⊆； A B,B C ⇒A C7：集合的维恩图表示法如果集合A是集合B的真子集，那么就把表示A的区域画在表示B的区域的内部（如图（3））8、集合关系与其特征性质之间的关系一般地，设A={x|p(x)}，B={x|q(x)}，如果_______，则x A x B∈⇒∈.于是x具有性质p(x)⇒x具有性质q（x），即____________,反之，如果__________,则A一定是B的子集。

集合之间的关系．子集一般地，如果集合中的任意一个元素都是集合的元素，那么集合叫做集合的子集，记作⊆或⊇.读作“包含于”，或“包含”．理解子集的定义要注意以下七点：()“是的子集”的含义：集合中的任意一个元素都是集合中的元素，即由任意∈，能推出∈.例如：{}⊆，⊆，{为山东人}⊆{为中国人}等．()当集合中存在着不是集合的元素，我们就说不是的子集，记作“”(或)，读作“不包含于”(或“不包含”)．例如：＝{}不是＝{}的子集，因为集合中的元素不是集合中的元素．()任意一个集合是它本身的子集．因为对于任意一个集合，它的任意一个元素都属于集合本身，记作⊆.例如：{}⊆{}等．()空集是任意一个集合的子集，即对于任意一个集合，都有⊆. ()在子集的定义中，不能理解为子集是中的“部分元素”所组成的集合．因为若＝，则中不含任何元素；若＝，则中含有中的所有元素．但在这两种情况下集合都是集合的子集．()包含关系具有传递性：对于集合，，，若⊆，⊆，则⊆.()写集合的所有子集时，注意按一定顺序写出，避免遗漏和重复．【例】已知集合＝{}，集合＝{－}，若⊆，则实数＝.解析：∵⊆，＝{}，∴∈.∴－＝，即＝.答案：点技巧有限集合子集的确定技巧()确定所求的集合；()合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；()注意两个特殊的集合，即空集和集合自身，看它们是否能取到．．真子集如果集合是集合的子集，并且中至少有一个元素不属于，那么集合叫做集合的真子集，记作或，读作“真包含于”，或“真包含”．例如：{}{}．关于真子集注意以下四点：()空集是任何非空集合的真子集．()对于集合，，，若，，则. ()任何集合都一定有子集，但是不一定有真子集，空集没有真子集．一个集合的真子集的个数比子集的个数少，即少了它本身．()由真子集的定义可知，集合中的任何一个元素必定是集合中的一个元素；但集合中的元素，至少有一个不属于.要证明“”，应先证明⊆，再证明中至少有一个元素，使得即可．例如，已知集合＝{，}，集合＝{，，，}，试判断集合，的真包含关系．显然⊆，又因为中存在一个元素，而，所以.【例】下列命题：①空集没有子集；②任一集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若，则≠，其中正确的有( )．个．个．个．个解析：对于①，空集是任何集合的子集，故⊆，即①不正确；对于②，只有一个子集，是其自身，即②不正确；对于③，空集不是空集的真子集，即③不正确；对于④，空集是任何非空集合的真子集，即④正确．答案：谈重点 对真子集的理解()若集合是集合的真子集，则集合中所有元素都属于集合，并且集合中至少有一个元素不属于集合；()子集包括集合相等与真子集两种情况，真子集是以子集为前提的，若集合不是集合的子集，则一定不是的真子集；()与任何集合是它自身的子集不同，任何集合都不是它自身的真子集．．维恩图维恩()表示一个集合，这种图形通常叫做内部．．封闭曲线在数学中，常用平面内一条图．比如，中国的直辖市组成的集合为，用维恩图表示，如图所示．【例】如图，下面对集合，，，的关系描述正确的是( )．⊆ ．⊆． ．解析：由题图易知，.答案：谈重点 对图的理解()图表示集合直观、明确，封闭曲线可以是矩形、椭圆或圆等等，没有限制．()图也是集合的表示方法之一．．集合相等每一个元素都是集合的元素，反过来，集合的每一个一般地，如果集合的集合的元素，那么我们就说集合等于集合，记作＝.谈重点 对集合相等的理解．＝⊆，且⊆，这是证明两个集合相等的重要依据；．集合相等还可以用元素的观点来定义：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．【例－】下列集合＝的是( )．＝{}，＝{}．＝{＋＝}，＝{－}．∈∈．⊆解析：对于∈，而，故≠；对于，＝{＋＝}＝{－}＝；对于，由∈∈，不能确定⊆，⊆是否同时成立；对于，仅由⊆无法确定与是否相等．答案：【例－】已知＝{，，}，＝{，，}，且＝，求实数，.分析：由＝知，集合，中元素相同，故可列出，的两个方程组，从而解出，的值．要注意验证所得结果是否满足集合中元素的互异性．。

2014年高中数学 集合之间的关系学案 新人教B 版必修1一、三维目标： 知识与技能：（1）了解集合之间的包含、相等关系的含义；（2）理解子集、真子集的概念；（3）能利用Venn 图表达集合间的关系；（4）了解空集的含义。

过程与方法：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，能判断给定集合间的关系，掌握并能使用Venn 图表达集合间的关系。

情感态度与价值观：通过学习，提高利用类比发现新结论的能力，加强从具体到抽象的思维能力，树立数形结合的思想。

二、学习重、难点：重点：子集与空集的概念；能利用Venn 图表达集合间的关系。

难点：弄清属于与包含的关系。

三、学法指导：研读学习目标，了解本章重难点，精读教材，独立完成学案，通过小组学习解决部分疑难问题，再通过课堂各小组展示及质疑对抗，共同提高，完成学习任务。

【小组活动一】想一想：比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系： （1）{1,2,3}A =，{1,2,3,4,5}B =；（2）}167|{班的同学级为国际学校x x C =；}67|{D 级的同学为国际学校x x = （3）{|}E x x =是两条边相等的三角形，{}F x x =是等腰三角形【小组活动二】1.阅读教材10---12页，完成下列表格：（1）空集是任何集合的子集；（2） 空集是任何非空集合的真子集； （3） 任何一个集合是它本身的子集；例1、写出集合A={1,2,3}的所有子集和真子集。

例2 、说出下列每对集合之间的关系 （1） A={1,2,3,4,5} B={1,3,5} （2） P={1|2=x x }Q={1|||=x x } （3） C={1|>x x } D={2|≥x x } 跟踪练习：用适当的符号填空⑴ ___{0}∅ ⑵ 2___{(1,2)}⑶ ∅___2{R |20}x x ∈+= ⑸ {3,5}___N⑹ {(2,3)}___{(3,2)}⑺ {(1,2)}___2{|320}x x x -+=⑻{1,2}___2{|320}x x x -+=例3、设{|13},{|}A x x B x x a =-<<=>，若A B ，则a 的取值范围是______跟踪练习：1.已知集合A=},52|{≤<-x x }121|{-≤≤+=m x m x B 且B A ⊆,求实数m 的取值范围1、 下列关系（1）}2,1{1∈（2）}2,1{∈φ（3）}1,2{}2,1{=（4）}2,1{)}2,1{(=（5）}0{⊆φ中正确的是____________2、 已知A={2,3},集合B ⊆A 则这样的集合B 一共有______个3、 判断题（1）空集没有子集。

集合之间的关系一、三维目标（一）知识与技能1、理解集合间“包含”与“相等”的含义；2、能识别给定集合的子集；3、了解空集的含义；4、能使用Venn图表达集合的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.（二）过程与方法1、类比实数间的关系，联想集合间的关系；2、分别能用自然语言、符号语言、图形语言描述子集的概念.（三）情感、态度与价值观1、培养数学来源于生活，又为生活服务的思维方式；2、个体与集体之间，小集体构成大社会的依存关系；3、发展学生抽象，归纳事物的能力，培养学生辩证的观点.二、教学重点子集、真子集的概念.三、教学难点1、元素与子集，属于与包含间的区别；2、空集是任何非空集合的真子集的理解.四、教学方法讨论与讲练相结合五、教学过程Ⅰ、【引一引★温故知新】我们知道，实数有相等关系，大小关系如：5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数间的关系，集合与集合之间有没有类似的关系呢？若有，怎样表示呢？这就是我们今天要学习的内容.（板书：§1.1.2 集合间的基本关系）Ⅱ、【说一说★本节新知】师：请同学们在预习的基础上再看课本P6-7页，然后试着谈谈自己对本节内容的认识.生：子集、相等、真子集、空集、性质.师：很好！下面我们找学生依次来回答这些内容.生：1、子集自然语言：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作：A⊆B（或B⊇A）读作：“A含于B”（或“B包含A”）符号语言：任意x∈A，有x∈B，则A⊆B温馨提醒：（1）A中元素的任意性；（2）判定集合与集合之间的包含关系，转化为判定元素与集合的关系.图形语言：Venn 图表示集合的包含关系.华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，说明了直观在数学中的重要作用，为了形象的表示集合，英国数学家维恩（Venn ）用平面上一段封闭的曲线的内部代表集合，后人为了纪念他，便将这种图称之为Venn 图，上述集合A 与集合B 的包含关系，可以用图表示为： AB生：2、集合相等 如果集合A 是集合B 的子集（即A ⊆B ），且集合B 是集合A 的子集（即B ⊆A ），此时集合A 与集合B 中的元素是一样的，我们称集合A 与集合B 相等，记作A=B.师：与实数中的结论“若a ≥b ，且b ≥a ，则a=b ”相类比，你有什么体会？ 生：若A ⊆B ，且B ⊆A ，则A=B.师：很好，这也是集合相等的符号语言.生：3、真子集如果集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B ⊂≠（或B ⊃≠A ）读作：“A 真含于B ”（或B 真包含A ）生：4、空集不含任何元素的集合叫做空集，记作：∅规定：空集是任何集合的子集，即∅⊆A空集是任何非空集合的真子集，即 ∅⊂≠B （B 为非空集合）师：你能举出几个空集的例子吗？生：A={}2|10x R x ∈+= {}x N|x 10∈+< {边长为3，5，9的三角形} 师：很好.生：5、子集的有关性质（1）任何一个集合是它本身的子集，即A ⊆A（2）对于集合A 、B 、C ，如果A ⊆B 且B ⊆C ，那么A ⊆C师：你还能得出哪些结论？生1：对于集合A 、B 、C ，如果A ⊂≠B ，且B ⊂≠C 那么A ⊂≠C生2：对于集合A 、B 、C ，如果A ⊆B ，且B ⊂≠C 那么A ⊂≠C生3：对于集合A 、B 、C ，如果A ⊂≠B ，且B ⊆C 那么A ⊂≠C生4：对于集合A 、B 、C ，如果A=B ， 且B=C ，那么A=C师：这就是我们今天学习的主要内容，Ⅲ、【议一议★深化概念】请大家讨论下面四个问题。

《集合之间的关系》学案一．学习目标：１.理解掌握集合间的基本关系--包含，真包含关系，并能用韦恩图表示２.区别元素与集合，集合和集合间的关系３.了解空集的含义．二．知识点拨１.集合Ａ是集合Ｂ的子集的本质是集合Ａ的任何一个元素都是：集合Ｂ的元素．２.若,,C B B A ⊆⊆则C A ⊆.3.正确理解0与{}0，{}φφ与的关系 例：下列关系式中正确的个数是 （ ）(1).0{0，1} (2).{}φφ=. (3).{}φ {}1,0 (4). {}φφ∈ 5. {}φ⊆0. 6.Φ{Φ}.4.含n 个元素的集合A 的子集个数为--------------，真子集个数为--------------，非空真子集个数为--------------。

三．基本题型（一）．集合间的关系例1：下列命题：（1）空集无子集；（2）任何集合至少有两个子集；（3）空集是任何集合的真子集；（4）若ΦA 则φ≠A 。

其中正确的有A ．0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个练习:在以下六个选择中, (1). Φ{0} (2).{}{}1,1,01,0,1-=-. (3).{}∈0 {}1,0 (4).φ∈0 5. {}{}0)0,0(=. 6. {{}{})2,1(),(12===x y y x .错误命题的个数是( )A ．3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个（二）. 集合子集个数例2：若集合A={}3,2,1,则满足A B ⊆的空集集合B 的个数是( ) A ．6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个练习:1.已知集合{}3,2,1⊆A ,且A 中至少有两个元素,满足条件的集合A 共有( ) A ．3个 B. 4个 C. 5个 D. 8个2. .已知集合M 满足{}{}5,4,3,2,12,1⊆⊆M 写出集合M. （三）. 有集合间子集,真子集的关系求参数的范围例3．设集合A={}R x x x x ∈=+,042,B={}R x a x a x x ∈=-+++,01)1(222若A B ⊆ .求实数a 的取值范围练习1. 已知集合A={}12,3,1--m B={}2,3m ，若A B ⊆.则实数m=__________2. 设集合A={}52≤≤-x x ,B={}121-≤≤+a x a x 若A B ⊆.求实数a 的取值范围3.已知M={}b a ,,2 N={}2,2,2b a ，且M=N ，求实数b a ,的值四．课堂检测1.满足{}M a ⊆Φ{a,b,c,d}的集合M 共有 （ ）A ．6个 B. 7个 C. 8个 D. 15个2.设A={}21<<x x ,B={}a x x <若A B,则实数a 的取值范围 （） A ．2≥a B. 1≤a C. 1≥a D. 2≤a3. 已知M={}x y R y =∈ N={}2m X R x =∈，则下列关系中正确的是（ ） A ．M N B. N M = C.N M ≠ D. N M4. 已知集合A={}1,0 B={}A x x ∈,则A 与B 的关系正确的是 （ ）A ．B A ⊆ B. A B C.B A D. B A ∈5.已知非空集合{}332<<-=x a x A ，{}121+<<-=a x x B（1）若A B ⊆.求实数a 的取值范围（2）若A=B ，求a 的值。

1．2 集合之间的关系与运算1.2.1 集合之间的关系1．理解集合之间的包含与相等的含义．(重点)2．能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(难点、易混点) 3．在具体情境中，了解空集的含义并会应用．(难点)[基础·初探]教材整理1 子集与真子集阅读教材P10～P11“例1”以上部分内容，完成下列问题．1．子集与真子集AB A(1)规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合A，都有∅⊆A.(2)任何一个集合A都是它本身的子集，即A⊆A.(3)如果A⊆B，B⊆C，，则A⊆C.(4)如果A B，B C，则A C.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1){0}是∅.( )(2)正整数集是自然数集的子集．( )(3)空集是任何集合的子集．( )【解析】(1)集合{0}是以0为元素的集合，是非空集合，故(1)错；(2)∵对任意x∈N＋，都有x∈N，∴N＋⊆N，故(2)正确；(3)∵空集不是空集的真子集，但是空集的子集，∴(3)对．【答案】(1)×(2)√(3)√教材整理2 集合的相等阅读教材P11“集合的相等”～P13“思考与讨论”以上的内容，完成下列问题．1．集合相等如果A ⊆B ，B ⊆A ，则A ＝B ；反之，如果A ＝B ，则A ⊆B ，且B ⊆A .设集合A ＝{x ，y }，B ＝{0，x 2}，若A ＝B ，则2x ＋y 等于( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．－1【解析】 由元素的互异性知x ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2，y ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，∴2x ＋y ＝2. 【答案】 C教材整理3 集合关系与其特征性质之间的关系阅读教材P 12“思考与讨论”以下～P 13“第一行”内容，完成下列问题．1．一般地，设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，如果A ⊆B ，则x ∈A ⇒x ∈B .于是x 具有性质p (x )⇒x 具有性质q (x )，即p (x )⇒q (x )．反之，如果p (x )⇒q (x )，则A一定是B 的子集，其中符号“⇒”是“推出”的意思． 2．如果命题“p (x )⇒q (x )”和命题“q (x )⇒p (x )”都是正确的命题，这时我们常说，一个命题的条件和结论可以互相推出，互相推出可用符号“⇔”表示．于是，上述两个正确的互逆命题可表示为p (x )⇔q (x )．显然，如果p (x )⇔q (x )，则A ＝B ；反之，如果A ＝B ，则p (x )⇔q (x )．已知集合M ＝{1,2,3,4,5}，N ＝{1,5}，则有( ) A ．N ＜M B ．NMC ．N ∈MD ．N ＝M【解析】 由题意知N 中任意元素都是M 中的元素，且M 中存在不属于N 的元素，所以N M .【答案】 B[小组合作型](1)【导学号：60210008】①{2,4,6}⊆{2,3,4,5,6}；②{菱形}⊆{矩形}；③{x|x2＝0}⊆{0}；④{(0,1)}⊆{0,1}；⑤{1}∈{0,1,2}；⑥{x|x>1}{x|x≥2}．(2)已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间最适合的关系是( )A．A⊆B B．A⊇BC．A B D．A B【精彩点拨】利用子集、真子集的定义进行判断．【自主解答】(1)根据子集的定义，①显然正确；②中只有正方形才既是菱形，也是矩形，其他的菱形不是矩形；③中集合{x|x2＝0}中的元素只有一个“0”，因此是集合{0}的子集；④中{(0,1)}的元素是有序实数对，而{0,1}是数集，元素不同；⑤中两个集合之间使用了“∈”符号，这是用来表示元素与集合的关系时使用的符号，不能用在集合与集合之间；⑥中两集合的关系应该是{x|x>1}{x|x≥2}．因此正确的是①、③，错误的是②、④、⑤、⑥.(2)因为A中元素是3的整数倍，而B的元素是3的偶数倍，所以集合B是集合A的真子集，故选D.【答案】(1)①③(2)D1．判断集合间关系的方法(1)用定义判断．判断一个集合A中的元素是否全部属于另一个集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集．(2)数形结合判断．利用数轴或Venn图判断．2．写有限集合的子集时，要注意两个特殊的子集∅和自身，按照元素个数分类写出，避免重复或遗漏．[再练一题]1．写出满足条件∅M{0,1,2}的所有集合M.【解】 ∵∅M {0,1,2}，∴M 中元素个数为1或2.当M 中只有1个元素时，可以是{0}，{1}，{2}； 当M 中只有2个元素时，可以是{0,1}，{0,2}，{1,2}．∴所求集合M 可以是{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，共有6个.集合⎩⎨⎭⎬1，a ，a ＝{0，a 2，a ＋b }，则a 2 016＋b 2 015的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．±1【精彩点拨】 根据集合相等的定义求出字母a 与b 的值，注意集合中元素互异性的应用．【自主解答】 ∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b }，又a ≠0， ∴ba ＝0，∴b ＝0.∴a 2＝1，∴a ＝±1.又a ≠1，∴a ＝－1，∴a 2 016＋b2 015＝(－1)2 016＋02 015＝1.【答案】 B1．若两集合相等，则集合中的元素完全相同．2．本题以“0”为着眼点，ba 中a 不为0为突破口进行解题．3．解含字母的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性(如本例中a ＝1舍去)．[再练一题]2．设A ＝{4，a }，B ＝{2，ab }，若A ＝B ，则a ＋b ＝________.【解析】 因为A ＝{4，a }，B ＝{2，ab }，A ＝B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝ab ，a ＝2，解得a ＝2，b ＝2，所以a ＋b ＝4.【答案】 4[探究共研型]探究1 ，若B ⊆A ，则集合B 共有几个？设集合A ＝{1,2,3，…，n }，若B ⊆A ，则集合B 共有几个？【提示】 ∅，{1}，{2}，{1,2}；8个；2n 个．探究2 “空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集”，正确吗？ 【提示】 正确．探究3 设集合A ＝{x |ax ＋1＝0}，B ＝{x |ax 2＋x ＋1＝0}，C ＝{x |a ＋1<x <2a }，那么集合A ，B ，C 可能是空集吗？若可能是空集，实数a 的值或范围分别是什么？【提示】 集合A ，B ，C 可能是空集．当a ＝0时，集合A 是空集，当a >14时，集合B 是空集，当a ≤1时，集合C 是空集．已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且B ⊆A .求实数m 的取值范围．【精彩点拨】 讨论集合B →列不等式组→求m 的取值范围【自主解答】 ∵B ⊆A ，(1)当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. (2)当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2，综上得m ≥－1.1．解决此类问题通常先化简所给集合，再用数轴表示所给集合，然后列出不等式(组)，解端点之间的大小关系，求出参数的取值范围．2．列不等式(组)时要根据具体的题目条件确定不等号中是否含有“等号”． 3．对集合B 分类讨论是解决此类题目的关键，注意不要忽视对B ＝∅的讨论．[再练一题]3．已知集合P ＝{x |x 2＝1}，集合Q ＝{x |ax ＝1}，若Q ⊆P ，那么a 的取值集合是________.【导学号：60210009】【解析】 由题意得P ＝{－1,1}， 又因为Q ⊆P ，若Q ＝∅，则a ＝0，此时满足Q ⊆P ，若Q ≠∅，则Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝1a ，由题意知，1a ＝1或1a ＝－1，解得a ＝±1.综上可知，a的取值是0，±1.【答案】{－1,0,1}1．集合A＝{－1,0,1}，A的子集中含有元素0的子集共有( )A．2个B．4个C．6个D．8个【解析】根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0,1}、{0，－1}、{－1,0,1}四个，故选B.【答案】 B2．已知集合M＝{x|－5<x<3，x∈Z}，则下列集合是集合M的子集的为( )A．P＝{－3,0,1}B．Q＝{－1,0,1,2}C．R＝{y|－π<y<－1，y∈Z}D．S＝{x||x|≤3，x∈N}【解析】集合M＝{－2，－1,0,1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{0,1}，不难发现集合P中的元素－3∉M，集合Q中的元素2∉M，集合R中的元素－3∉M，而集合S＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S⊆M.故选D.【答案】 D3．①0∈{0}，②∅{0}，③{0,1}⊆{(0,1)}，④{(a，b)}＝{(b，a)}．上面关系中正确的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4【解析】①正确，0是集合{0}的元素；②正确，∅是任何非空集合的真子集；③错误，集合{0,1}含两个元素0,1，而{(0,1)}含一个元素点(0,1)，所以这两个集合没关系；④错误，集合{(a，b)}含一个元素点(a，b)，集合{(b，a)}含一个元素点(b，a)，这两个元素不同，所以集合不相等．故选B.【答案】 B4．设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a的取值范围是( )A．{a|a≤2} B．{a|a≤1}C．{a|a≥1} D．{a|a≥2}【解析】由A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，A⊆B，则{a|a≥2}．【答案】 D5．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集.【导学号：60210010】【解】因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，所以A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．所以A的子集有：∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．。

1．2．1 集合之间的关系1．了解空集的含义与Venn图的定义．2．理解集合之间包含与相等的含义．3．掌握集合间的包含关系和相等关系，并能正确判断．1．维恩图维恩(Venn)图：通常用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合，这种图形通常叫做维恩图．2．子集、真子集与集合相等的概念定义符号语言图形语言(Venn图)子集如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集A⊆B(或B⊇A)真子集如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集A B(或B A)集合相等如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么就说集合A等于集合BA＝B3(1)规定：空集是任意一个集合的子集，也就是说，对任意集合A，都有∅⊆A．(2)任何一个集合A都是它本身的子集，即A⊆A．(3)如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C．(4)如果A B，B C，则A C．(5)若A⊆B，B⊆A，则A＝B；反之，若A＝B，则A⊆B且B⊆A．4．集合关系与其特征性质之间的关系我们可以通过判断两个集合之间的关系来判断它们的特征性质之间的关系；或用集合特征性质之间的关系，判断集合之间的关系．1．已知集合M＝{1}，N＝{1，2，3}，能够准确表示集合M与N之间关系的是( ) A．M<NB．M∈NC．N⊆MD．M N答案：D2．0，{0}，∅，{∅}之间有什么关系？解：0∈{0}，0∉∅，0∉{∅}，∅∈{∅}，∅{∅}．3．符号“∈”与“⊆”有何区别？解：(1)“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如有1∈N，－1∉N．(2)“⊆”是表示集合与集合之间的关系，比如有N⊆R，{1，2，3}⊆{3，2，1}．(3)“∈”的左边是元素，右边是集合，而“⊆”的两边均为集合．子集、真子集的概念及应用设集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x⊆A}，求集合B．【解】因为A＝{1，2，3}，所以A的子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}．又因为B＝{x|x⊆A}，所以B＝{∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}}．集合B中的代表元素为x，x满足的条件是x⊆A，即x是A的子集，即集合B是集合A 的子集构成的集合．1．已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则正整数m＝( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选B．根据题意，集合M有4个子集，则M 中有2个元素，又由M ＝{x ∈Z |1≤x ≤m }， 其元素为大于等于1而小于等于m 的全部整数， 则m ＝2． 2．若集合A{1，2，3}，且A 中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个．解析：若A 中含有一个奇数，则A 可能为{1}，{3}，{1，2}，{3，2}； 若A 中含有两个奇数，则A ＝{1，3}． 答案：5集合的相等设集合A ＝{x ，y }，B ＝{0，x 2}，若A ＝B ，求实数x ，y 的值． 【解】 因为A ＝B ，所以x ＝0或y ＝0．(1)当x ＝0时，x 2＝0，则B 中的元素0重复出现，此时集合B 不满足互异性，舍去． (2)当y ＝0时，x ＝x 2， 解得x ＝1或x ＝0(舍去)， 此时A ＝{1，0}＝B ，满足条件． 综上可知，x ＝1，y ＝0．两集合相等可以从两个角度进行描述：一是从元素角度，两集合所含元素完全相同，但与集合顺序无关；二是从包含角度看，A ＝B ⇔A ⊆B 且B ⊆A ．已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a ，2，b 2}，且M ＝N ，求a ，b 的值．解：根据集合中元素的互异性知M ＝N ，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2a ，b ＝b 2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a . 解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.再根据集合中元素的互异性，知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0不符合要求，舍去，所以a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.由集合间的包含关系求参数已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |1<x <m }(m >1)，且B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．【解析】 由于B ⊆A ，结合数轴分析可知，m ≤4， 又m >1，所以1<m ≤4．【答案】 1<m ≤41．本例若将集合“B ＝{x |1<x <m }(m >1)”改为“B ＝{x |1<x <m }”，其他条件不变，则实数m 的取值范围又是什么？解：若m ≤1，则B ＝∅，满足B ⊆A ． 若m >1，则由例题解析可知1<m ≤4． 综上可知m ≤4．2．本例若将集合“B ＝{x |1<x <m }(m >1)”改为“B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}”，其他条件不变，则实数m 的取值范围又是什么？解：因为B ⊆A ，(1)当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2． (2)当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1＜m ＋1，解得－1≤m <2，综上得m ≥－1．3．本例若将集合A ，B 分别改为A ＝{－1，3，2m －1}，B ＝{3，m 2}，其他条件不变，则实数m 的值又是什么？解：因为B ⊆A ，所以m 2＝2m －1， 即(m －1)2＝0，所以m ＝1， 当m ＝1时，A ＝{－1，3，1}，B ＝{3，1}满足B ⊆A ．由集合间的包含关系求参数的方法(1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论；(2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点．[注意] ①不能忽视集合为∅的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．已知集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，BA ，求m 的值．解：A ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3，2}． 因为B A ，所以B ＝{－3}或B ＝{2}或B ＝∅． 当B ＝{－3}时，由m ·(－3)＋1＝0，得m ＝13．当B ＝{2}时，由m ·2＋1＝0，得m ＝－12．当B ＝∅时，m ＝0．综上所述，m ＝13或m ＝－12或m ＝0．1．元素与集合间的关系用符号“∈”或“∉”表示，集合与集合间的关系用“⊆”““⃘”“＝”或“”等表示．2．在特定的情况下集合也可以作为元素，如集合B ＝{∅，{0}，{1}，{0，1}}，则此时{1}∈B 而不能是{1}B ．3．解集合关系的问题时还需注意以下几个方面： (1)当A ⊆B 时，则A ＝B 或A B ．(2)判断两个集合间的关系：①用列举法表示两个集合再判断；②分类讨论． (3)解数集问题学会运用数轴表示集合． (4)集合与集合间的关系可用Venn 图直观表示．空集是任何集合的子集，即∅⊆A ，因此只要是与子集有关的问题，就要注意空集的情形，这是解题过程中最容易出错的地方．1．下列关系中正确的个数为( )①0∈{0}；②∅{0}；③{0，1}⊆{(0，1)}；④{(a ，b )}＝{(b ，a )}． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ．根据元素与集合的关系可知0∈{0}正确；由空集是任意非空集合的真子集可知∅{0}正确；③中集合{0，1}的元素是数，而集合{(0，1)}的元素是点的坐标，因此没有包含关系，故③错误；④中集合中的元素是点，而点的坐标有顺序性，因此{(a ，b )}≠{(b ，a )}，故④错误；综上，应选B ．2．已知集合A ＝{x |x －3＞0}，B ＝{x |2x －5≥0}，则这两个集合的关系是________．解析：A ＝{x |x －3＞0}＝{x |x ＞3}，B ＝{x |2x －5≥0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥52．结合数轴知A B ．答案：A B3．设集合A ＝{1，3，a }，B ＝{1，1－2a }，且B ⊆A ，求a 的值． 解：由题意得1－2a ＝3或1－2a ＝a ， 解得a ＝－1或a ＝13．当a ＝－1时，A ＝{1，3，－1}，B ＝{1，3}，符合条件．当a ＝13时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，3，13，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，13，符合条件．所以a 的值为－1或13．[A 基础达标]1．已知集合A ＝{x |x 2－1＝0}，则下列式子表示正确的有( ) ①1∈A ；②{－1}∈A ；③∅⊆A ；④{1，－1}⊆A ． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选C ．A ＝{x |x 2－1＝0}＝{－1，1}，故①③④正确，②不正确． 2．满足{a }⊆M {a ，b ，c ，d }的集合M 共有( ) A ．6个 B ．7个 C ．8个D ．15个解析：选B ．依题意a ∈M ，且M{a ，b ，c ，d }，因此M 中必含有元素a ，且可含有元素b ，c ，d 中的0个、1个或2个，即M 的个数等于集合{b ，c ，d }的真子集的个数，有23－1＝7(个)．3．设集合M ＝{1，2}，N ＝{a 2}，那么( ) A ．若a ＝1，则N ⊆M B ．若N ⊆M ，则a ＝1C ．若a ＝1，则N ⊆M ，反之也成立D ．a ＝1和N ⊆M 成立没有关系解析：选A ．显然a ＝1时，集合N ＝{1}，此时N ⊆M ；若N ⊆M ，则a 2可以是集合M 中的元素1或2，此时a 可以取值1，－1，2，－2．即若N ⊆M ，则a ＝1不成立．4．已知M ＝{－1，0，1}，N ＝{x |x 2＋x ＝0}，则能表示M ，N 之间关系的Venn 图是( )解析：选C ．因为N ＝{x |x 2＋x ＝0}＝{0，－1}，M ＝{－1，0，1}，所以N M ．5．设A ＝{x |－1<x ≤3}，B ＝{x |x >a }，若A B ，则a 的取值范围是( ) A ．{a |a ≥3} B ．{a |a ≤－1} C ．{a |a >3}D ．{a |a <－1}解析：选B ．集合A ，B 在数轴上表示如图，由A B 可求得a ≤－1，注意端点能否取到是正确求解的关键．6．设集合M ＝{(x ，y )|x ＋y <0，xy >0}和P ＝{(x ，y )|x <0，y <0}，那么M 与P 的关系为________．解析：因为xy >0，所以x ，y 同号，又x ＋y <0， 所以x <0，y <0，即集合M 表示第三象限内的点，而集合P 也表示第三象限内的点，故M ＝P ． 答案：M ＝P7．已知A ＝{1，3，m ＋2}，B ＝{3，m 2}，若B ⊆A ，则m ＝________．解析：由B ⊆A 知，m 2＝1或m 2＝m ＋2，当m 2＝1时，m ＝±1，此时不满足集合元素的互异性；当m 2＝m ＋2时，m ＝－1或m ＝2，当m ＝－1时，不满足集合元素的互异性，验证知m ＝2时成立．答案：28．已知∅{x |x 2＋x ＋a ＝0}，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为∅{x |x 2＋x ＋a ＝0}，所以方程x 2＋x ＋a ＝0有实数根，即Δ＝1－4a ≥0，a ≤14．答案：a ≤149．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2，x ，y ∈N }，试写出A 的所有子集． 解：因为A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2，x ，y ∈N }， 所以A ＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}．所以A 的子集有：∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}．10．已知a ∈R ，x ∈R ，A ＝{2，4，x 2－5x ＋9}，B ＝{3，x 2＋ax ＋a }，C ＝{x 2＋(a ＋1)x －3，1}，求：(1)使A ＝{2，3，4}的x 的值； (2)使2∈B ，B ⊆A 的a ，x 的值； (3)使B ＝C 的a ，x 的值．解：(1)由题意，知x 2－5x ＋9＝3，解得x ＝2或x ＝3．(2)因为2∈B ，B ⊆A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝x 2＋ax ＋a ，3＝x 2－5x ＋9. 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，a ＝－23或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，a ＝－74.(3)因为B ＝C ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（a ＋1）x －3＝3，x 2＋ax ＋a ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，a ＝－6或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，a ＝－2.[B 能力提升]11．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{x |x ⊆A }，则下列关于集合A 与B 的关系正确的是( ) A ．A ⊆B B ．A B C ．B AD ．A ∈B解析：选D ．因为x ⊆A ，所以B ＝{∅，{0}，{1}，{0，1}}，则集合A ＝{0，1}是集合B 中的元素，所以A ∈B ，故选D ．12．设集合A ＝{x |a －1<x <a ＋1}，B ＝{x |x <b －2，或x >b ＋2}．若A ⊆B ，则实数a ，b 必满足( )A ．|a ＋b |≤3““B ．|a ＋b |≥3C ．|a －b |≤3““D ．|a －b |≥3解析：选D ．根据题意知A ⊆B ，作出如图所示的数轴，所以有b ＋2≤a －1或b －2≥a ＋1，解得a －b ≥3或a －b ≤－3，即|a －b |≥3．13．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0}有且仅有2个子集，求实数a 的值．解：因为集合A 有且仅有2个子集，所以A 仅有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋a ＝0(a ∈R )仅有一个根．①当a ＝0时，方程化为2x ＝0，此时A ＝{0}，符合题意． ②当a ≠0时，由Δ＝22－4·a ·a ＝0，即a 2＝1， 所以a ＝±1．此时A ＝{－1}或A ＝{1}，符合题意． 综上，a ＝0或a ＝±1．14．(选做题)已知M ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，N ＝{x |x 2－2x ＋a ＝0}，若N ⊆M ，求实数a 的取值范围．解：因为M ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1，2}，又N ⊆M ，所以N ＝∅，或N ＝{1}，或N ＝{2}，或N ＝{1，2}． (1)当N ＝∅时，方程x 2－2x ＋a ＝0的判别式Δ＝4－4a ＜0，即a ＞1．(2)当N ＝{1}时，有⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＝2，1×1＝a ，所以a ＝1．(3)当N ＝{2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧2＋2＝2，2×2＝a 不成立．(4)当N ＝{1，2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝2，1×2＝a 不成立．综上可知实数a 的取值范围是a ≥1．。

1.2.1集合之间的关系教学目的：1、使学生掌握子集、真子集、空集、两个集合相等等概念，会写出一个集合的所有子集。

2、能过与不等式类比学习集合间的基本关系，掌握类比思想的应用。

教学重难点：重点是掌握集合间的关系，难点是子集与真子集的区别。

教学过程：一、复习提问1、元素与集合之间有什么关系？a与{a}有什么区别？2、集合的表示方法有几种？分别是什么？二、新课5<7 例1、A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5}或7>5 特点：A有的元素，B都有，即集合A的任何一个元素都是集合B的元素。

称为：集合A是集合B的子集。

记作：A⊆B，或B⊇A。

例2、A为高一(2)班女生的全体组成的集合，B为这个班学生的全体组成的集合。

特点：A有的元素，B都有，即集合A的任何一个元素都是集合B的元素。

定义：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset)。

记作：A⊆B，或B⊇A。

用Venn图表示(右上图)。

5=5 例3、设C={x|x是两条边相等的三角形}，D={x|x是等腰三角形}a ≤b 特点：集合C 中的任何一个元素都是集合D 中的元素，集合D 中的任何一 且b ≥a 个元素都是集合C 中的元素，即C ⊆D ，或D ⊇C 。

则a=b 所以，C=D 。

定义：如果集合A 是集合B 的子集(A ⊆B)，且集合B 是集合A 的子集(B ⊆A)，此时 集合A 与集合B 的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作：A=B 定义：若集合A ⊆B ，但在在元素x ∈B ，且x ∉A ，我们称集合A 是集合B 的真子集B ，或B A记作：A 例1中，集合A 是集合B 的真子集。

例2呢？方程x 2+1=0没有实数根，所以方程x 2+1=0的实数根组成的集合中没有元素。

定义：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为Ø，并规定：空集是任何集合的子 集。

1.2. 集合之间的关系-人教B版必修一教案一、教学目标1.理解集合之间的含义和关系；2.掌握集合的表示方法；3.掌握集合的运算法则；4.能够解决集合的交、并、差、补等问题；5.能够用集合的运算法则进行实际问题的模型建立和解决。

二、教学重点1.集合的表示方法；2.集合的运算法则。

三、教学难点1.集合的交、并、差、补等问题的解决。

四、教学内容与步骤第一步：引入1.提问：“什么是集合？”2.对学生回答进行适当引导，深化对集合概念的理解。

第二步：集合的表示方法1.定义集合的表示方法；2.给出集合表示方法的例子；3.教师板书集合的表示方法。

第三步：集合的运算1.介绍集合的运算法则；2.给出运算法则的例子；3.教师板书集合的运算法则。

第四步：集合的关系1.介绍集合之间的关系；2.给出集合关系的例子；3.教师板书集合之间的关系。

第五步：集合的交、并、差、补等问题1.介绍集合的交、并、差、补等问题；2.给出集合交、并、差、补等问题的例子；3.讲解如何解决集合交、并、差、补等问题。

第六步：模型建立和解决1.给出实际问题；2.指导学生建立数学模型；3.讲解如何用集合的运算法则解决实际问题。

第七步：练习1.给出练习题目；2.让学生自主完成练习；3.讲解练习题目的解答方法。

五、教学反思本节课主要教授集合之间的关系和集合的运算法则等内容。

在教学过程中，我注重充分发挥学生的主动性和实践能力，通过不同的教学方式，激发学生的兴趣，使他们对这一知识点有更加深入的理解和掌握。

同时，我还注重与学生的互动交流，让他们更好地理解相关的知识点。

在实际教学中，我发现有些学生对集合的概念和运算法则掌握不够牢固，需要反复强化。

因此，我会在下一次课上继续巩固相关知识点，提高学生的学习效果。

最终目的是让每个学生都能够顺利掌握这一知识点，为以后的学习打下基础。