连续00连续介质的运动学

第六章连续介质力学方法连续介质力学方法的出发点是支护结构与围岩相互作用，组成一个共同承载体系，其中围岩是主要的承载结构，支护结构是镶嵌在无限或半无限介质孔洞上的加劲环。

它的特点能反映出隧道开挖后围岩的应力状态。

解析法：即根据所给定的边界条件，对问题的平衡方程、几何方程和物理方程直接求解。

由于数学上的困难，现在还只能对少数问题求解。

数值法：主要是指有限元法。

它把围岩和支护结构都划分为若干单元，然后根据能量原理建立单元刚度矩阵，并形成整个系统的总体刚度矩阵，从而求出系统上各个节点的位移和单元的应力。

它不但可以模拟各种施工过程和各种支护效果，同时可以分析复杂的地层情况(如断层、节理等地质构造以及地下水等)和材料的非线性等。

6.1 解析法以均匀内压水工隧洞的计算为例，说明解析法计算的基本思路。

(1)衬砌应力的分析水工隧洞衬砌厚度一般在20 cm以上、故力学分析中可将其视为厚壁圆筒。

如图6.1.1 （a）所示。

在均匀内水压力作用下，厚壁圆筒的内力分析是轴对称问题。

衬砌的径向应变为：近似按平面应变问题分析衬砌，则由平面问题极坐标解的物理方程可写为：作用在单元体上的外荷载为零，且在轴对称情况下单元体内力分量中的剪应力也为零，故根据平面问题极坐标解的静力平衡力程式，有：(2)洞室围岩应力分析均匀内力圆形水工隧洞围岩的应力仍可采用厚壁圆筒原理。

由式(6.1.16)可知：内水压力使围岩产生的切向应力σt是拉应力。

若σt 的量值大于围岩中原来存在的压应力，且差值超过岩体的抗拉强度，则当衬砌抗拉强度不足时岩体将与衬砌一起发生开裂。

将式(6.1.16)中的r0理解为毛洞半径，Pa理解为内压力，则该式就成为无衬砌圆形水工隧洞围岩应力的计算式。

(3)衬砌与围岩共同作用的计算分析均匀内力圆形水工隧洞围岩的应力仍可采用厚壁圆筒原理。

求得λ值以后，由式(6.1.11)、( 6.1.16 )即可算出衬砌与围岩的应力。

6.2 数值法由于岩体材料的复杂性〔非均质、各向异性、非连续、时间相关性等)以及结构几何形状和围岩初始应力状态的复杂性，使得在地下工程的应力应变分析中，难以采用解析法。

连续介质力学运动方程
连续介质力学是研究流体和固体等连续介质运动的力学理论。

其运动方程包括质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程。

首先，我们来看质量守恒方程。

在连续介质力学中，质量守恒
方程描述了流体内部质量的变化。

它可以用偏导数形式表示为
∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0，其中ρ是介质的密度，t是时间，v
是介质的速度矢量，∇是梯度算子。

这个方程表明了质量在空间和
时间上的变化关系。

其次，动量守恒方程描述了连续介质中动量的变化。

对于流体
力学来说，动量守恒方程可以写作ρ(∂v/∂t + v·∇v) = -∇p
+ ∇·τ + f，其中p是压力，τ是应力张量，f是外力。

这个方
程表达了流体内部动量随时间和空间的变化规律。

最后，能量守恒方程描述了连续介质内能量的变化。

对于不可
压缩流体来说，能量守恒方程可以写作∂(ρe)/∂t + ∇·(ρev + pv) = ∇·(k∇T + q)，其中e是单位质量的内能，k是导热系数，T是温度，q是热源。

这个方程描述了能量在流体中的传递和转化过程。

综上所述，连续介质力学的运动方程包括质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程，它们描述了连续介质在运动过程中的质量、动量和能量的变化规律。

这些方程是研究流体力学和固体力学问题的重要基础，对于理解和预测连续介质运动具有重要意义。

数学物理的连续介质力学方法连续介质力学是研究物质的宏观性质和运动规律的一门学科，它是数学物理学的重要分支之一。

在连续介质力学中，我们将物质视为连续的，而不是离散的粒子。

通过建立数学模型和方程，我们可以描述物质的运动、变形和相互作用等现象。

在这篇文章中，我们将探讨数学物理的连续介质力学方法。

1. 连续介质的基本概念在连续介质力学中，我们将物质视为连续的，即认为物质在微观尺度上是无限细小的。

这样一来，我们可以使用连续函数来描述物质的性质和运动规律。

连续介质力学的基本概念包括质点、质点集合、质量和密度等。

通过对这些概念的定义和描述，我们可以建立起数学模型来描述连续介质的力学行为。

2. 连续介质的运动学连续介质的运动学是研究物质运动的一门学科。

在连续介质力学中，我们可以通过定义位移、速度和加速度等概念来描述物质的运动。

通过对这些概念的数学表达，我们可以建立起描述物质运动的方程。

其中，最基本的方程是连续性方程和动量守恒方程。

连续性方程描述了物质的质量守恒，而动量守恒方程描述了物质的动量守恒。

通过求解这些方程，我们可以得到物质的运动规律。

3. 连续介质的变形学连续介质的变形学是研究物质变形的一门学科。

在连续介质力学中，我们可以通过定义应变和应力等概念来描述物质的变形。

应变描述了物质的形状和大小的变化，而应力描述了物质内部的力和应变之间的关系。

通过对这些概念的数学表达，我们可以建立起描述物质变形的方程。

其中，最基本的方程是胡克定律和应力平衡方程。

胡克定律描述了物质的应力和应变之间的关系，而应力平衡方程描述了物质的应力平衡。

通过求解这些方程，我们可以得到物质的变形规律。

4. 连续介质的相互作用在连续介质力学中，物质之间存在着相互作用。

这种相互作用可以通过定义物质的内部能和外部能来描述。

内部能是指物质内部的相互作用能，而外部能是指物质与外界的相互作用能。

通过对这些能量的数学表达，我们可以建立起描述物质相互作用的方程。

第二部分 连续介质力学第一章 连续介质的运动学物质是由原子和分子组成的。

因此，物质是不连续的。

但在日常生活中却有许多有关物质行为的外观现象，它们可以用不考虑物质分子结构的宏观理论来加以描述和预示。

例如，钢杆在已知力的作用下的伸长量，管道中水流的排出速度和物质在空气中运动所受到的阻力等等。

连续介质力学把物质看作是无限可分的,因此我们需要将物质的无限小体积看作是连续介质中的物质点或“粒子”。

1.1 连续介质的运动假设一个物体在某一瞬时(t t =0)占有物理空间V 0(充满物质的某一空间区域)。

在该瞬时物体中任一物质点P 的几何位置可以用由某一固定点O 引出的位置矢量X 来描述，而该物质点P 在任意瞬时t 的位置用位置矢量x 来表示(图1.1)。

因此，任何一个物质点的运动路线可由下列形式的方程描述：()t X x x ,= (1.11) 上式表示在初始0时刻占据位置X 的的物质在时刻t 的位置。

我们可以把方程看成是从空间区域V 0到V 的关于X 和x 的一一对应的连续变换。

它描述物体中任一物质的瞬时位置。

我们把对组成物质的全体物质点位置的完全刻画称为物体的构形(Configuration)。

另一方面，物体的运动也可由下列形式的方程描述：()t x X X ,= (1.12) 它表示在时刻t ，通过空间x 处的物质原来的初始位置。

如果在时刻t ，处于整个空间中每一物质点的原始位置都被给出，那么物体在t 时刻的构形也被完全地描述了。

若方程1.11和1.12描述同一运动过程，并且雅可比行列式 0det ≠⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=j i X x J ∂∂ (1.13)则式1.11和式1.12为互逆变换，且唯一。

在直角坐标系基矢量下()321,,e e e ,1.11式可以表示成x x e x e x e =++112233 (1.14) 于是方程具有下列分量形式: ()t X X X x x ,,,32111= ()t X X X x x ,,,32122=()t X X X x x ,,,32133= (1.15) 写成指标记法形式则为()t X X X x x i i ,,,321= (1.16) 同样地，方程1.12的指标记法形式为()t x x x X X i i ,,,321= (1.17)方程中X 是用来确定物体中的不同物质的，称之为物质坐标；而方程中的x 是用来确定物理空间中物体内各个物质点的空间位置的，因此我们称之为物质的空间坐标。

一、引论连续介质力学研究物体的宏观力学微观粒子性质.在宏观现象中,物体变化的最小特征尺度远大于原子的尺度,虽然物理上物体是物质点的集合,质量连续性假设对物休的宏观力学过程的研究却是合理的,在连续介质力学中可以对物体进行无限的分割,也就是说,可以用场的观点来描述物体的内部变化和作用过程.质量连续性假设要求物体连续地充满它所占据的空间,即可以用三维欧氏空间的一个开集表示物体的客观存在、指示其位置.开集中的一点表征占据该位置点的一个微小介质团,这样的介质团我们称之为物体单元,开集中所有点表征的物体单元组成了物体.若要用严格的数学理性推演连续介质力学,必须知道物体单元在数学上的确切涵义,即要回答: 表征物体单元的点是开集还是闭集?若是闭集,则物体单元表现为数学上离散的点,物体是连续点的集合,可以用构形（物体在空间所占的区域）表示;若是开集,则物体单元表现为数学上点的无穷小邻域,物体是作为拓扑基的所有点邻域的并集,可以用微分流形（容许拓扑结构改变的物体表示空间）表示.从逻辑上看,目前的连续介质力学是从经典质点力学类推得出的,它一方面把物体看作连续的质点系,物体单元具有离散特征,一方面又以场的观点看待物体的内部变化和受力,物体单元变化特征要求是连续的.在质量连续性假设下,物体单元虽然宏观意义上可以看作无穷小但总还是有尺度内涵的,即具有连续性适用的典型尺度,而经典力学中的质点却没有尺度内涵德冈辰雄指出“, 连续介质无论怎样分割也不会成为质点,质点无论怎样连续也不是连续介质”我们知道,经典力学中的质点在数学上表现为三维欧氏家间中的一点（闭集）,把表征物体单元的数学上的点看作闭集,无异于沿用质点力学的观点,抹杀连续介质与质点系的区别,这样导出的连续介质力学（简称为质点观点的连续介质力学）是质点观点和场观点的大杂烩,这样的一种结合虽然使连续介质力学在其发展过程中可以同时借鉴经典力学和场论的一些成果,却妨碍了连续介质力学的现代发展,比如运用场论的现代发展—规范理论于连续介质时就显得不伦不类.实际上,质点观点在赋予物体变化连续性的同! 讨,对物体的表示空间强加了过分的约束.限制了场的观点的发挥,使连续介质力学在描述物体复杂宏观力学过程时困难重重.为了使连续介质力学摆脱质点观点的限制,.采用与现代场论一致的基本观点,物体单元用数学上的开集表示是必须的,这时连续性可以用邻域而不是距离定义从而与拓扑学的概念一致,称之为拓扑观点.我们知道,拓扑学是现代微分几何的概念基础,现代微分几何是规范场论的数学基础,因此,拓扑观点的连续介质力学是连续介质的纯粹的场理论,它可以容许物体空间拓扑结构的改变,能够刻划物休的复杂变化过程.可见,物体单元的开集表示与场的现代观点是同气共枝的,由此导出的理论保证了数学概念上的连贯、逻辑上的统一,并且能接纳耗散结构作为物体复杂变化的物理基础.二、流动与变形物体的流动由物沐单元的运动组合而成,物体的变形由物件单元的变形组合而成.物体单元不同于质点: 物体单元的开集表达隐含着单元具有尺度内涵,作为开集的点不仅有平移特征还有方向特征和尺度特征,从而可以独立地体现介质的变形和转动.物体单元的这些特征预示着单元的变形和单元的运动是两个不同的变化过程,物体单元的变形表现为点（及其邻域）的特征的改变,包括尺度的改变和方向的改变,物体单元的运动则表现为点（及其邻域）的平移（空问位置的改变）和转动（方向的改变）,可见,单元的变形与其空间位置无关,单元的运动与其尺度特征无关.与此不同,作为闭集的点不具备尺度特征和方向特征,不能独立地体现介质的变形和转动,介质的变形是通过介质点之间距离及相对方位的改变体现的,介质的转动也是通过不同介质点之间的方位关系体现的,这就客观上对物体表示空间提出了要求,难以刻划复杂的变形过程,而单元的运动由于缺乏方向性,对物休单元具有曲线运动的流运过程就无法准确把握.三、局部与整体物体的局部变化是指组成物休的各个单元的变化,物体的整体变化是指物体整体特征或性质的变化.物体单元的变化除了运动和变形外,还有该单元的相邻其它单元的物质交换,这种交换可能是微观的（分子级的）,也可能是细观的（源于结构的变化并具有耗散结构尺度的）,一般物体单元的转动不均匀性会严重影响这种交换过程;物体的整体变化不仅包括组成物体的各单元的变化,还包括物体表示空间的拓扑结构的变化,后者可以用单元问的变化联络关系表达.一般来说,物体的整体变化不能用其局部变化的直和表示.质收观点的连续介质力学限制了物体空间性质的改变,各个变化阶段的物体的表示空问要求是拓扑等价的,物体单元变化的直和等价于物体的整体变化,因此客观上要求:l）单元间的物质交换与方一向无关;2）单元的尺度变化与方向无关,也就是说,物体单元的变化是各向同性的,这相当于平直层流和均匀变形或者转动影响可忽略的微小变形的情况.在大多数宏观现象中,物体实际变化状态不满足上述要求,质点观点的连续介质力学不再适用,必须用拓扑观点考察物体单元间的变化联络关系的影响,全面研究物体的整体变化过程.四、内应力物体的变形使物体的各部分之间存在相互作用,物体这种反抗变形的内部作用称为内应力,包括应力和应力偶.具体而言,在各物件单元的表面作用有应力和应力偶,这种作用不仅与该单元的纯变形有关,还与该单元的相对转动（净转动）有关,这样,质点观点的连续介质力学中的应力原理必须修正,而非极性物体内应力偶的存在成为可能的了.拓扑观点的连续介质力学给出的非均匀有限变形理论更合理和先进,可统一壳体等转动（方向性）占优的变形理论,并且在这一新观点下,加深了对物体塑性的理解。

连续介质力学方程连续介质力学方程是描述连续介质内部力学性质的基本方程。

它是研究固体、液体和气体等连续介质行为的重要工具。

在物理学和工程领域中，连续介质力学方程被广泛应用于材料科学、流体力学、地球物理学等领域。

1. 引言连续介质力学方程是基于连续介质假设建立的。

根据这个假设，连续介质可以看作是由无数微观粒子组成的，其性质在宏观尺度上表现为连续分布的。

通过对微观粒子的统计平均，可以得到宏观尺度上的物理量。

2. 连续介质假设在连续介质力学中，我们假设物体可以用一个连续分布的函数来描述。

这个函数被称为密度函数或者分布函数，通常用符号ρ表示。

通过对密度函数进行积分操作，我们可以得到宏观尺度上的物理量。

3. 连续性方程连续性方程描述了物体内部粒子数守恒的原理。

它是基于质量守恒定律推导出来的。

连续性方程可以用微分形式和积分形式表示。

微分形式的连续性方程如下：∂ρ∂t+∇⋅(ρv)=0其中，ρ是密度，t是时间，v是速度矢量。

积分形式的连续性方程如下：∫∂ρ∂tV dV+∫(ρv)S⋅dS=0其中，V是空间体积，S是边界面积。

连续性方程说明了物质在空间中的变化情况。

当密度变化时，物质会在空间中流动。

4. 动量守恒方程动量守恒方程描述了物体内部动量守恒的原理。

根据牛顿第二定律和连续介质假设，可以得到动量守恒方程。

动量守恒方程可以用微分形式和积分形式表示。

微分形式的动量守恒方程如下：ρ(dv dt+(v ⋅∇)v)=∇⋅T +f 其中，ρ是密度，t 是时间，v 是速度矢量，T 是应力张量，f 是外力矢量。

积分形式的动量守恒方程如下：∫ρV (dv dt +(v ⋅∇)v)dV =∫T S ⋅dS +∫f VdV 动量守恒方程描述了物质在空间中受到的力和速度变化之间的关系。

当物体受到外力作用时，会产生加速度，从而改变其速度。

5. 能量守恒方程能量守恒方程描述了物体内部能量守恒的原理。

根据热力学第一定律和连续介质假设，可以得到能量守恒方程。

连续介质力学基础教学设计引言连续介质力学是力学中的一大分支，是物理学中经典的话题之一，也是工程学和材料科学中的重要学科。

连续介质力学广泛应用于工程力学、流体力学、热力学、材料科学、动力学、地震学等领域。

因此，对于力学以及相关领域的学生，了解和掌握连续介质力学原理和知识至关重要。

本文将针对连续介质力学基础教学设计，通过分析教学内容和教学方法来探讨如何提高学生成绩和兴趣，提高学生的学习效果，并实现教师教学目标。

教学内容课程概述连续介质力学要求学生了解和掌握力学连续体的本质和特征，学生需要掌握相关的数学知识，包括微积分、偏微分方程、矩阵、向量算法等。

教学目标通过学习连续介质力学，学生将能够：1.理解和应用连续体力学的基本概念和原理2.解决与连续体运动和形变相关的问题3.应用数学工具有效地解决连续体力学问题4.了解连续介质力学在工程和科学领域中的应用教学大纲本教学大纲共分为四个部分：1.连续体力学基础概念2.连续体运动学3.连续体动力学4.连续体力学应用在教学过程中，应通过理论和实践方法相结合的方式探讨和实现上述四个方面的内容。

教学方法理论教学在传授理论知识方面，可以采用传统的黑板讲解和课堂授课的方式，将概念和原理结合实际案例，进行深入浅出的教学。

同时，鼓励学生提出问题，引导学生深入了解知识点和概念。

实验教学连续介质力学实验教学是学生学习和掌握力学知识的重要途径。

通过观察和实验，学生将更直观地了解连续介质运动和形变，加深对理论知识的理解。

因此，实验教学应是教学过程中必不可少的一部分。

课外学习推荐学生自主学习相关案例和文献资料，加深对知识点的理解和应用。

同时，更加前沿的学习，比如参加相关的科学讲座也是一种非常好的学习方式，鼓励学生参加各种讲座，科技沙龙等活动。

课程评估通过考试、作业、报告和课堂参与等形式进行学生的课程考核，以便评估教学效果，并为学生提供丰富的学习体验。

结论本文主要介绍了连续介质力学基础教学设计，包括教学内容、教学目标和课程评估。

哈密顿原理连续介质力学
哈密顿原理是分析力学的一个基本原理，在连续介质力学、结构力学等领域，以及物理学的其他领域都有着广泛应用。

在连续介质力学中，哈密顿原理的实质是要在所有可能运动中指出真实的运动。

为了实现这一目标，需要引入增广位形空间、真实路径与可能路径等概念。

哈密顿原理在连续介质力学中的应用，为固体力学领域的空间不连续性的建模提供了一种新的途径。

通过扩展哈密顿原理，可以推导出包含近场动力学积分公式的非局部动量平衡方程，以及一类新型近场动力学本构模型。

哈密顿原理在连续介质力学中的应用，为该领域的研究提供了重要的理论支持，推动了相关技术的发展。

连续介质力学基础课程设计前言连续介质力学是物理学和工程学领域中的一个重要分支。

它主要研究物质的宏观性质，如密度、质量、速度、应力和应变等，并通过宏观模型对这些性质进行建模和分析。

为了使学生更好地理解连续介质力学这一学科的基础知识和原理，我们设计了一门连续介质力学基础课程。

该课程旨在介绍连续介质力学的基本概念、原理和数学模型，包括连续体的运动学、应力分析、动力学、守恒方程和能量方程等。

通过课程的学习，学生将能够了解连续介质力学在实际工程和科学中的应用，以及进一步理解物理和工程学科的概念和原理。

课程目标1.了解连续介质力学的基本概念和原理。

2.掌握连续体的运动学和应力分析方法。

3.理解连续体的动力学模型和守恒方程。

4.掌握能量方程的基本原理和应用。

课程大纲第一章：引言1.1 课程介绍 1.2 连续介质力学的历史与发展第二章：连续体的运动学2.1 运动学的基本概念和分类 2.2 座标系的选择和描述 2.3 运动量的概念和守恒性质第三章：连续介质的应力分析3.1 应力的概念和表示 3.2 应变的概念和表示 3.3 应力分析的基本方程和解法第四章：连续体的动力学4.1 牛顿定律与能量原理 4.2 运动方程的建立 4.3 连续介质的动力学模型第五章：守恒方程和能量方程5.1 连续介质守恒定律的基本概念和方程 5.2 连续介质的能量方程 5.3 连续介质的热力学过程课程教学本课程采用讲授、案例分析、小组讨论和实验教学相结合的教学方法。

例如，针对运动学，我们将会通过案例分析和实验教学让学生了解座标系的选择和描述、连续体的运动量和守恒性质，从而更好地掌握连续体的运动学方法。

对于应力分析，我们将通过讲授和小组讨论使学生了解应力和应变的概念和表示方法，并通过应力分析的基本方程和解法加深学生的理解。

对于连续体的动力学和守恒方程，我们将通过教师讲解和学生实验来帮助学生理解连续介质的动力学模型和守恒定律。

对于能量方程，我们将通过理论讲解和实验教学来让学生更好地掌握连续介质的能量方程和热力学过程。

连续介质名词解释
“连续介质又称流体力学连续介质,是指流体(包括气体和液体)作为一个整体,在管道内按照边界条件运动时,如果能够满足相平衡条件,那么它就会保持这种状态而成为连续介质。

当流体与管壁之间发生相对运动时,流体将发生变形或转动。

因此,当两者之间没有相对运动时,则必然满足相平衡条件,所以在两者之间存在着流体的定常流动。

这就说明连续介质理论适合于研究可压缩流体的变形或转动问题,而不适合研究连续的、无变形的物体。

”。

连续介质的概念从微观的角度而言，不论液体还是气体其分子与分子之间都是存在间隙的，例如海平面条件下，空气分子的平均自由程为10-8mm，但是这个距离与我们宏观上关心的物体（如飞行器）的任何一个尺寸相比较都是微乎其微的。

当受到物体扰动时，流体或空气所表现出的是大量分子运动体现出的宏观特征变化，如压强、密度等，而不是个别分子的行为。

流体质点是宏观上组成流体的最小单元。

一个包含一定质量的空间点。

一个微观上充分大，宏观上充分小的分子团。

流体质点是流体力学中的最小单元，是研究流体宏观行为的出发点。

主要标志：从微观分子的不均匀性、离散性、随机性转变为宏观行为的均匀性、连续性、确定性。

流体是由连续无间隙地充满所占据空间的流体质点组成。

流体质点所具有的宏观物理量满足一切物理定律。

一般用努生数，即分子平均自由程与物体尺寸之比来判断流体是否满足连续介质假设。

对于常规尺寸的物体只有到了外层大气中，努生数才可能等于甚至大于1，这时气体分子就会像雨点般稀疏的流向物体。

一旦定义连续介质，就可以把流体的一切物理性质如密度、压强、温度及宏观运动速度等表示为空间和时间的连续可微函数，便于用数学分析工具来解决问题。

当微团体积趋于宏观上充分小的某体积时，密度达到稳定值，但当体积继续缩小达到分子平均自由程量级时，其密度就不可能保持为常数。

因此流体力学和空气动力学中所说的微团，在数学上可以看成一个点，但在物理上具有宏观上充分小，微观上足够大的特征。

流体的易流性流体与固体在力学上最本质的区别在于二者承受剪应力和产生剪切变形能力上的不同。

然而如果对流体（例如）也作类似实验将发现，流体的角变形量不仅与剪切应力大小有关，而且与剪切应力的持续时间长短有关。

因此，不论所加剪切应力多么小，只要不等于零，流体都将在剪应力作用下持续不断的产生变形运动（流动），这种特性称为流体的易流性。

流体的压缩性与弹性流体在受压时其体积发生改变的性质称为流体的压缩性，而流体抵抗压缩变形的能力和特性称为弹性。

连续介质力学基础物质坐标和空间坐标对于有限个质点组成的质点系统，我们可以采用给质点编号的方式区分各个质点;对于有无限个质点组成的系统，我们就采用坐标识别系统中各个质点。

用于标示质点的坐标称为物质坐标132(,,)ξξξ；表示空间中几何点的坐标312(,,)x x x 则称为欧拉坐标。

两种坐标是通过连续介质的运动联系起来的：如果在时刻t 质点132(,,)ξξξ占据空间位置312(,,)x x x ，则二者之间具有函数关系：123(,,,)k k x x t ξξξ=由于这个函数必须是一一影射的，其反函数存在并且唯一： 123(,,,)k k x x x t ξξ= 因此，质点的位置矢量、速度等都可以等价地用物质坐标或空间坐标描述：(,)((),)t t =r ξr ξx当我们采用物质坐标时，相应的基矢量：i i ˆξ∂=∂rg当我们采用空间（Euler ）坐标时，相应的基矢量：i i x∂=∂r g 两者之间具有转换关系：k k i k i k ii x x ˆx ξξξ∂∂∂∂===∂∂∂∂r r g g j jm m ˆx ξ∂=∂g g k k i k i i ki ˆx x x ξξξ∂∂∂∂===∂∂∂∂r r g g j jm m x ˆξ∂=∂g g 物质导数质点的速度：D D k kk k(,t )()x (,t )v t t x t ∂∂∂==∂∂∂r r ξr x ξv g 算子D D t称为物质导数（全导数）。

它的含义是保持物质坐标不变时，张量随时间的变化率。

Euler 坐标基底矢量的物质导数：k k mi i ik m k D v v Dt x∂==Γ∂g g g i i kk i m mk k D v v Dt x∂==-Γ∂g g g 物质坐标（Langrange ）基底矢量的物质导数：ˆ(,)()i i D t Dt t ξ∂∂=∂∂gr ξ 欧氏空间中矢量求偏导数的顺序是可以交换的，因此ˆ(,)()i i i D t Dt t ξξ∂∂∂==∂∂∂g r ξv利用协变基与逆变基之间的关系，我们得到：()m i i i m ˆD ˆˆˆˆDt ξ∂=⊗⋅=∇⋅∂g v g g v g ()m i i i m ˆD ˆˆˆˆDt ξ∂=⋅⊗=⋅∇∂g v g g g v Langrange 逆变基底矢量的物质导数可以由逆变基的定义式j j i i ˆˆδ⋅=gg 求得。

46 连续介质力学概要华东理工大学化学系 胡 英46.1 引 言连续介质力学(continuum mechanics)覆盖的领域主要是热的流动、流体的流动或流体力学，以及可变形物体的力学等。

它的主要思想，是为介质的微元体积定义局部的密度、速度和能量，这些局部的性质是空间和时间的连续函数。

作为微元体积，它在概念上必须足够地大，其中包含了许多分子，因而可忽略分子间的不连续性而使用平均值；当然它又必须足够地小，使这些平均值可以随空间坐标连续变化。

连续介质力学的核心是将质量守恒、动量守恒和能量守恒原理应用于微元体积后所得到的一系列基本方程。

这些方程都是偏微分方程，通过对边值问题求解，原则上应该得出流场，即密度、流速和能量随空间的分布，以及流场随时间的演变。

然而这些连续介质力学的基本方程都是非封闭的，需要引入传递现象的基本定律，如费克定律、牛顿定律和傅里叶定律，参见《物理化学》6.2，或更广泛的本构方程，才能使方程封闭然后求解。

这些基本定律或本构方程涉及传递性质或物质函数，它们都是物质的特性，属于物理化学研究的范畴。

知道一些连续力学的知识，将有助于应用物理化学来解决实际问题。

本章将概要介绍连续介质力学的基本方程及其应用，除牛顿流体外，也将涉及非牛顿流体，后者是流变学的研究对象。

在进入主要内容前，先介绍一些基本概念。

1．流体运动的两种表示方法拉格朗日方法 它跟踪流体中质点或微团的运动。

开始时，某质点或微团的空间坐标为0r ，或笛卡儿直角坐标0x 、0y 、0z ，时间为t 时，其坐标r 应为0r 与t 的函数，),(0t r r r =，或 ),,,(000t z y x x x =，… (46-1) 相应的速度υ和加速度a 及其分量υx 、υy 、υz 和a x 、a y 、a z ，t d /d r υ=，t x x d /d =υ，… (46-2)46-2 46 连续介质力学概要 22d /d d d t t r υa ==，22d /d d /d t x t a x x ==υ，… (46-3)包括其它物性如压力p 、能量E 等，它们也应是0r 与t 的函数。