2018高考仿真模拟全国卷理科数学(一)试卷、答题卡及答案

2018高考全国卷1理科数学试题及答案解析WORD格式整理2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设1i2i|z| z1iA．0B．12C．1D．22．已知集合220A x x x，则e R AA．x1x2B．x1x2C．x|x1x|x2D．x|x1x|x23．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半专业技术参考资料WORD 格式整理4．设S n 为等差数列a n 的前n项和，若3S3 S2 S4 ，a1 2，则a5A．12 B．10 C．10 D．125．设函数 3 2f x x a x ax ，若 f ( x) 为奇函数，则曲线y f (x) 在点(0,0) 处的切线方程为( ) ( 1)A．y2x B．y x C．y2x D．y x6．在△ABC中，AD为B C 边上的中线， E 为A D 的中点，则EBA．3 1AB AC B．4 41 3AB AC C．4 43 1AB AC D．4 41 3AB AC4 47．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为 A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为 B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A．2 17 B．2 5 C．3 D．28．设抛物线C：y2=4x 的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为2=4x 的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为23的直线与 C 交于M，N 两点，则FM FN =A．5 B．6 C．7 D．89．已知函数f (x)x xe ，0，g( x) f (x) x a ．若g（x）存在 2 个零点，则 a 的取值范围是ln x，x 0，A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[ –1，+∞）D．[1，+∞）10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC 的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II ，III 的概率分别记为p1，p2，p3，则A ．p1=p2 B．p1=p3C．p2=p3 D．p1=p2+p3专业技术参考资料11．已知双曲线C：2x32 1y ，O 为坐标原点， F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为M、N.若△OMN 为直角三角形，则|MN |=A ．32B．3 C．2 3 D．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A ．3 34B．2 33C．3 24D．32二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分。

泄露天机2018高考押题卷理科数学(一) 2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（一）注意事项：1.在答题卡上填写姓名和准考证号。

2.选择题用铅笔在答题卡上标记选项，非选择题在答题卡上作答。

3.考试结束后将试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

1.复数z=a+ai(a∈R)的共轭复数为z，满足z=1，则复数z 为（）A。

2+iB。

2-iC。

1+iD。

i解析】根据题意可得，z=a-ai，所以z^2=a^2+1=1，解得a=0，所以复数z=i。

2.集合A={θ|0＜θ＜π/2.2＜sinθ≤1}，B={φ|4/5＜φ＜1}，则集合AB={θ|π/4＜θ＜π/2.4/5＜sinθ≤1}。

解析】A可以化为{θ|π/6＜θ＜π/2}，所以AB为{θ|π/4＜θ＜π/2.4/5＜sinθ≤1}。

3.从有2对不同表征的小鼠（白色斑块和短鼻子野生小鼠各一对）的实验箱中每次拿出一只，不放回地拿出2只，则拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为3/4.解析】分别设一对白色斑块的野生小鼠为A，a，另一对短鼻子野生小鼠为B，b，从2对野生小鼠中不放回地随机拿出2只，所求基本事件总数为4×3=12种，拿出的野生小鼠不是同一表征的事件为(A,a)，(a,A)，(B,b)，(b,B)，所以概率为3/4.1.将函数f(x)=2sin(ωx+ϕ)的图像向左平移π/6个单位长度后得到函数y=sin2x+3cos2x的图像，求ϕ的可能值。

解析：将函数y=sin2x+3cos2x=2sin(2x+π/3)的图像向右平移π/6个单位长度，得到函数y=2sin2x的图像。

因此，ϕ=π/6.2.在XXX墓中发掘出堆积如山的“汉五铢”铜钱，假设把2000余缗铜钱放在一起码成一堆，摆放规则如下：底部并排码放70缗，然后一层一层往上码，每层递减一缗，最上面一层为31缗，则这一堆铜钱的数量为多少？解析：构成一个以首项为70缗，末项为31缗，项数为40层，公差为1的等差数列，则和为S=40×(70+31)=2020缗，这一堆铜钱的数量为2020×1000=2.02×106枚。

2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(一)答案1．B 【解析】通解 z =2i 1i +=2i(1i)(1i)(1i)-+-=1+i ，z =1−i ，z·z =2，故选B ．优解 由题意知|z|=|2i ||1i |+z·z =|z|2，得z·z =2，故选B ．2．D 【解析】由题意知，A ={x ∈Z |y =，2，3}，且B ={a ，1}，由A ∩B =B ，知B ⊆A ，则实数a 的值为2或3，故选D ．3．B 【解析】由c ⊥a 得c ·a =0，又c =a +b ，∴c ·a =(a +b )·a =a 2+a ·b =1+a ·b =0，∴a ·b =−1，故选B ．4．C 【解析】执行程序框图，输入0a =2，1a =−5，2a =6，3a =−4，4a =7，5a =2，03x =，经过第1次循环得v =13，n =2；经过第2次循环得v =35，n =3；经过第3次循环得v =111，n =4；经过第4次循环得v =328，n =5；经过第5次循环得v =986，n =6，退出循环．故输出的v 的值为986．故选C ．5．A 【解析】由题意知直线y =kx 与直线2x +y +b =0互相垂直，所以k =12．又圆上两点关于直线2x +y +b =0对称，故直线2x +y +b =0过圆心(2，0)，所以b =−4，结合选项可知，点(12，−4)在圆(x −12)2+(y +5)2=1上，故选A ．6．B 【解析】依题意，该几何体是底面直径为2，高为4的圆柱截去一个底面直径为2，高为2的半圆柱后所得到的几何体，其表面积为2π×1×2+π×1×2+2×2+2×π×12= 8π+ 4，故选B ．7．D 【解析】由1l ∥2l 得a (a −1)=2，解得a =2或a =−1，故“a =2”是“直线 1l ：ax +2y −6=0与直线2l ：x +(a −1) y +a 2−1=0平行”的充分不必要条件，则p 是假命题，¬p 是真命题；“∀n ∈N*，()f n ∈N*且()f n >2n ”的否定是“∃0n ∈N*，0()f n ∉N*或0()f n ≤20n ”，故q 是假命题，¬q 是真命题．所以p ∧q ，(¬p )∧q ，p ∧(¬q )均为假命题，(¬p )∧(¬q )为真命题，选D ．8．D 【解析】作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，其中A (0，4)，B (3，0)，C (4，8)．令k =21y x -+，k 的几何意义是可行域内的点M (x ，y )与定点P (−1，2)连线的斜率，故当直线y −2=k (x +1)过点A (0，4)时，k max =4201-+=2，故选D ．9．A 【解析】对于①，a ，b ，l 就相当于平面α，β，γ的法线，因为a ∥b ∥l ，所以α∥β∥γ，所以①正确；显然②是正确的；对于③，若a ∥b ，由线面垂直的判定定理可知，直线l 不一定垂直于β，只有当a 与b 相交时，l ⊥β，所以③不正确；对于④，由a ⊥α，l ⊥a ，且l ⊄α，得l ∥α．又b ⊥β，l ⊥b ，l ⊄β，所以l ∥β．由直线a ，b 为异面直线，且a ⊥α，b ⊥β，得α与β相交，否则a ∥b ，与a ，b 异面矛盾，故α与β相交，且交线平行于l ，所以④正确．10．A 【解析】∵()f x =sin()A x ωϕ+，∴()f x '=cos()A x ωωϕ+，由题图知，()f x '的最小正周期为π， ∴ω=2，又A ω=1，∴A =12，又()3f π'=0，∴cos(2×3π+ϕ)=0， ∴2×3π+ϕ=2π+k π，k ∈Z ， 又|ϕ|<2π，∴ϕ=−6π，因此()f x =12sin(2x −6π)．将函数()f x =12sin(2x −6π)的图象向右平移12π个单位长度后所得图象对应的函数为y=12sin(2x −3π)，由−2π+2k π 2x −3π 2π+2k π(k ∈Z)，解得−12π+k π x 512π+k π(k ∈Z)，∴函数y=12sin(2x −3π)的单调递增区间为[−12π+k π，512π+k π](k ∈Z)，故选A ．11．C 【解析】构造函数()f x =5x +2 0173x +2 018x ，∵()f x 为奇函数且单调递增，依题意有2(2)f a -=2 018，2017(2)f a -=−2 018，∴(2a −2)+(2017a − 2)=0， ∴2a +2017a =4．又2m a =1m a -+1m a +(m ∈N*，m ≥2)，∴数列{}n a 为等差数列，且公差d ≠0，∴1a +2018a =2a +2017a =4， 则2018S =120182018()2a a +=4036，②正确；∵公差d ≠0，故2017a ≠2018a ，2017S =120172017()2a a +≠4034，①错误；由题意知2a >2，2017a <2，∴d <0， 2017S =2018S −2018a =4036−(4−1a )=4032+1a ，2S =1a +2a ，若2017S <2S ，则2a >4032，而此时(2a −2)5+2017(2a −2)3+2018(2a −2)=2018不成立，因此③错误；∵2a >2，2017a <2，∴2017a −2a <0，④正确．故选C ．12．A 【解析】函数()f x=1,01,0em x e m x --⎧+>⎪⎨+≤⎪⎩有三个不同的零点等价于方程()f x =0有三个不同的实根，当x ≤0时，()f x =xe-m +1，设()g x =xe-x ≤0，则()g x =x e-()g x min =g (0)=0；当x >0时，()f x =xe-m +1，设()h x =xe-x >0，则()h x '， 当x >12时，()h x '<0，当0<x <12时，()h x '>0，故()h x 在(0，12)上单调递增，在(12，+∞)上单调递减，所以()h x 极大值=h (12． 分别画出()g x =xe-x ≤0)与()h x =x e-x >0)的大致图象如图所示，由题意得0<m −1<mA ．13．1【解析】∵函数()f x 是R 上的奇函数，∴(0)f =0，∴222a -=0，解得a =1． 14．3【解析】通解 由cos(2π+α)=2cos(π−α)得sin α=2cos α，又cos 2α+sin 2α=1，所以sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 则2sin()cos()3sin()cos()22απαππαα--+-+-=2sin cos cos sin αααα-+-=3．优解 由cos(2π+α)=2cos(π−α)得sin α=2cos α，所以2sin()cos()3sin()cos()22απαππαα--+-+-=2sin cos cos sin αααα-+-=3cos cos αα--=3．15．1 320【解析】若第一个节目排相声甲，有66A =720种排法；若第一个节目排相声乙，最后一个节目不能排相声甲，有1555A A =600种排法．根据加法计数原理可得共有720+600=1 320种排法．16．y =【解析】由题意知，2F (c ，0)，cM (c ，M y )，由2222M y c a b -=1得2M y =2b ×(22c a −1)=42b a ，|M y |=2b a．因为1F MN ∆是等边三角形，所以2cM y |，222b c a ac a c -==，即22c a --=0，得c a =2c =32a ，又2a +2b =2c ，所以2b =22a ，双曲线的渐近线方程为by x a=±，故双曲线的渐近线方程为y =．17．【解析】(1)由题意得，121231232269S a a a a a a a =-⎧⎪+=-⎨⎪++=⎩，解得1a =1，2a =3，3a =5，（1分）当n ≥2时，1n S -=(n −1)n a −(n −1)n ， 所以n a =n 1n a +−n (n +1)−(n −1)n a +(n −1)n ， 即1n a +−n a =2．（3分）又2a −1a =2，因而数列{n a }是首项为1，公差为2的等差数列， 从而n a =2n −1． （5分） (2)由(1)知n b =n a ×1n a +=(2n −1)×2n，n T =1×21+3×22+5×23+…+(2n −3)×12n -+(2n −1)×2n ，2n T =1×22+3×23+5×24+…+(2n −3)×2n+(2n − 1)×12n +．两式相减得−n T =1×21+ 2×22+ 2×23+…+2×2n−(2n −1)×12n +=−2+2×(21+22+23+ (2))−(2n − 1)×12n +=−2+2×2(12)12n ⨯--−(2n −1)×12n +=−2+22n +−4−(2n −1)×12n +=−6−(2n −3)×12n +．所以n T =6+(2n −3)×12n +．（12分）【备注】高考对数列的考查难度不大，以基本题型为主，常常围绕等差数列、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式等进行设置，而求和类型以错位相减法、裂项相消法为考查热点，数列的递推关系以及n S 与n a 的关系(即11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩)更是常考常新，对考生分析与转化能力有较高的要求，对于基本运算能力的要求更为突出． 18．【解析】(1)由(0.002+ 0.005+0.008+2x + 2×0.02+0.025)×10=1，得x =0.01．（2分）(2)由(1)得成绩在[130，150]内的频率为(0.01+0.008)×10=0.18，估计本次模拟考试数学成绩在[130，150]内的学生人数为1 000×0.18=180． （6分）(3)由图得成绩在[80，100)内的试卷数为1 000×(0.01+0.005)×10=150，其中成绩在[80，90)内的试卷数为50，成绩在[90，100)内的试卷数为100，从中任取1份试卷，则成绩在[80，90)内的概率为5011503=，成绩在[90，100)内的概率为10021503=．（8分） 由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，故P(ξ=0)=03C ×02()3×31()3=127，P(ξ=1)=13C ×23×21()3=29，P(ξ=2)=23C ×22()3×13=49，P(ξ=3)=33C ×32()3×01()3=827．（10分） 所以ξ的分布列为由于ξ~B (3，23)，所以Eξ=3×3=2．（12分）【备注】高考对概率与统计的考查常以对立事件、互斥事件、相互独立事件等知识为载体，综合考查事件发生的概率及离散型随机变量的分布列与数学期望，有时也与抽样方法(系统抽样、分层抽样)、频率分布直方图等知识结合构成综合性问题来考查．求解时要分清事件的类型以及事件之间的关系，正确选用公式．19．【解析】(1)在正方形ABCD 中，CD ⊥AD ，又平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD =AD ，∴CD ⊥平面P AD ．又AF ⊂平面P AD ，∴CD ⊥AF ．（2分） ∵底面ABCD 是正方形，∴AB ∥CD ，又AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴AB ∥平面PCD ． 又A ，B ，E ，F 四点共面，且平面ABEF ∩平面PCD =EF ， ∴AB ∥EF ，∴CD ∥EF ．又2AE AC AP =+，∴E 为棱PC 的中点，F 是棱PD 的中点．∵△P AD 是正三角形，∴AF ⊥PD ．又PD ，CD ⊂平面PCD ，PD ∩CD =D ，∴AF ⊥平面PCD ， ∵AF ⊂平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面PCD ．（5分）(2)取AD 的中点O ，以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，则A (1，0，0)，B (1，2，0)，C (−1，2，0)，P (0，0，E (−12，12)，AE =(−32，1，2)，BE =(−32，−1，2)，CB =(2，0，0)．（7分）设平面ABE 的法向量为m =(1x ，1y ，1z )，则m ⊥AE ，m ⊥BE，∴m ·AE =−321x +1y +21z =0，m ·BE =−321x −1y 1z =0，解得1y =0，1z 1x ，令1x =1，则m =(1，0为平面ABE 的一个法向量．（9分）设平面BEC 的法向量为n =(2x ，2y ，2z )，则n ⊥BE，n ⊥CB ，∴n ·BE =−322x −2y +22z =0，n ·CB =22x =0，得2x =0，2y =22z ，令2z =2，则n =(02)为平面BEC 的一个法向量．（11分）∴cos<m ，n >=||||⋅=m n m n ， 由图知二面角A −BE −C 为钝角，∴二面角A −BE −C 的余弦值为−7．（12分） 20．【解析】(1)依题意得椭圆C 的右焦点F 的坐标为(1，0)，即c =1，又e =c a =12，∴a =2，2b =3， 故椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（3分） (2)∵|AF |是|AH |−|FH |与|AH |+|FH |的等比中项，∴|AF |2=|AH |2−|FH |2，即|AF |2+|FH |2=|AH |2，∴直线1l ⊥2l ．（5分） 又直线1l ，2l 的斜率均存在，∴两直线的斜率都不为零， 故可设直线1l ：x =ky +1(k ≠0)，直线2l ：x =−1ky +1，A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，G (3x ，3y )，H (4x ，4y )，由221431x y x ky ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x ，得(32k +4)2y +6ky −9=0， ∴122122634934k y y k y y k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，同理得3422342634934k y y k ky y k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，（8分） ∴|AF |·|FB2k )|12y y |，|GF |·|FH21k )|34y y |， ∴|AF |·|FB |+|GF |·|FH |=(1+2k )|12y y |+(1+21k )|34y y | =(1+2k )·2934k ++(1+21k )·22934k k +=9(1+2k )·(2134k ++2134k +)=2222222263(1)6312(1)12(1)k k k kk +=++++=226311212k k+++，又2k >0，∴2k +21k≥2，当且仅当2k =1时取等号，（11分） 故|AF |·|FB |+|GF |·|FH |的最小值为367．（12分）【备注】解决此类问题的一般步骤：(1)利用定义、各基本量之间的关系与圆锥曲线的性质，得到关于基本量的方程(组)，解方程(组)，求出基本量的值，从而得到圆锥曲线的方程；(2)对于直线与圆锥曲线的位置关系问题，联立直线方程与圆锥曲线的方程，利用根与系数的关系求解．21．【解析】(1)由已知得()f x 的定义域为(0，+∞)，()f x '=1x +ax −(a +1)=2(1)1ax a x x-++． 当a =0时，()f x '=1x x-+，当x ∈(0，1)时，()f x '>0，()f x 单调递增， 当x ∈(1，+∞)时，()f x '<0，()f x 单调递减． 当a <0时，由()f x '=(1)(1)ax x x --=0，得x =1或x =1a<0，因而当x ∈(0，1)时， ()f x '>0，()f x 单调递增， 当x ∈(1，+∞)时，()f x '<0，()f x 单调递减．（3分）当0<a <1时，由()f x '=(1)(1)ax x x --=0，得x =1或x =1a >1，因而当x ∈(0，1)与x ∈(1a，+∞)时， ()f x '>0，()f x 单调递增，当x ∈(1，1a)时，()f x '<0，()f x 单调递减．（5分）当a =1时，()f x '=2(1)x x-≥0，因而当x ∈(0，+∞)时，()f x 单调递增．当a >1时，由()f x '=(1)(1)ax x x --=0，得x =1或x =1a<1，因而当x ∈(0，1a)与x ∈(1，+∞)时， ()f x '>0，()f x 单调递增， 当x ∈(1a，1)时，()f x '<0，()f x 单调递减．（7分） 综上所述，当a ≤0时，()f x 在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减； 当0<a <1时，()f x 在(0，1)与(1a ，+∞)上单调递增，在(1，1a)上单调递减； 当a =1时，()f x 在(0，+∞)上单调递增；当a >1时，()f x 在(0，1a )与(1，+∞)上单调递增，在(1a ，1)上单调递减． (2)()g x = ()f x +x =ln x +2a 2x −ax ，则()g x 的定义域为(0，+∞)，()g x '=1x +ax −a =21ax ax x-+． 若()g x 有两个极值点1x ，2x (1x <2x )， 则方程a 2x −ax +1=0的判别式Δ=2a −4a >0， 且1x +2x =1，1x 2x =1a>0，（8分） 因而a >4，又1x <2x ，∴21x <1x 2x =1a ，即0<1xg (1x )−g (2x )=ln 1x +212a x −a 1x −ln 2x −222a x +a 2x =ln 1x +ln(a 1x )+2a−a 1x ．（10分）设()h t =ln t +ln(at )+2a −at ，其中t =1x ∈(0， 由()h t '=2t −a =0得t =2a ，由于2a<0， ∴()h t 在(0，2a )上单调递增，在(2a上单调递减， 即()h t 的最大值为h (2a )=2ln 2−ln a +2a −2<2a−ln a ， 从而g (1x )−g (2x )<2a−ln a 成立． （12分） 22．【解析】(1)将1cos 2sin x t y t αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数，0<α<2π)消去参数t ，得直线l 的普通方程为yx −12)tan α，即x tan α−y −12tan α=0(0<α<2π)．将cos sin x y ρθθ=⎧⎨=⎩代入22cos 30ρρθ--=，得22230x y x +--=，即曲线C 的直角坐标方程为22(1)4x y -+=．（5分）(2)设直线l 的普通方程为y−2=k (x −12)，其中k =tan α，又0<α<2π，∴k >0，则直线l 过定点M (12，∵圆C 的圆心C (1，0)，半径r =2，|CM，故点M 在圆C 的内部．当直线l 与线段CM 垂直时，|AB |取得最小值， ∴|AB |min =2|AM（10分）23．【解析】(1)由题意()|1|2|2|f x x x =++- 4，当x −1时，−3x +3 4，即x −13，所以x −1；当−1<x <2时，−x +5 4，即x 1，所以−1<x 1； 当x 2时，3x −3 4，即x 73，所以x 73．综上，不等式()f x 4的解集为{x |x 1或x 73}．（5分）(2)()f x =33,15,1233,2x x x x x x -+-⎧⎪-+-<<⎨⎪-⎩≤≥，画出函数()f x 的图象如图所示，由图可知，当x =2时，()f x 取得最小值3，所以M =3，a +b =3．又a >0，b >0，所以24a b +=(24a b +)·3a b +=2+23b a +43a b2+3，当且仅当a 3，b =6−所以24a b 的最小值为．（10分）。

2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（一）（解析版）本试题卷共2页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．[2018·晋城一模]已知集合(){},2M x y x y =+=，(){},2Nx y x y =-=，则集合MN =（ ）A ．{}0,2B ．()2,0C ．(){}0,2D ．(){}2,0【答案】D 【解析】解方程组22x y x y +=-=⎧⎨⎩，得20x y =⎧⎨=⎩．故(){}2,0MN =．选D ．2．[2018·台州期末]（i 为虚数单位） ）A ．2B ．1C ．12D ．2【答案】C11i 22z ∴=-=，选C ．3．[2018·德州期末]如图所示的阴影部分是由x 轴及曲线sin y x=围成，在矩形区域O A B C 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ）A ．2πB ．12C ．1πD ．3π【答案】A【解析】由题意，得矩形区域O A B C 的面积为1π1πS =⨯=，阴影部分的面积为O A B C 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为212πS P S ==．故选A ．4．[2018·滁州期末]）A ．4-B ．4C ．13-D ．13【答案】C 【解析】sin 2cos tan 2ααα-=-⇒=，C ．5．[2018·陕西一模]《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（ ）A ．2 B．4+C．4+D．4+【答案】C【解析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几C ．6．[2018·天津期末]已知实数x ，y 满足2210x yx y +-⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≥，若zx m y=+的最大值为10，则m=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】作出可行域，如图A B C △内部（含边界），其中()2,4A ，()2,1B ，()1,1C -，若A 是最优解，则2410m+=，2m=，检验符合题意；若B 是最优解，则210m+=，8m =，检验不符合题意，若8m =，则z 最大值为34；若C 是最优解，则110m-+=，11m =，检验不符合题意；所以2m =，故选B ．7．[2018·蚌埠一模]已知()201720162018201721f x xxx =++++，下列程序框图设计的是求()0f x 的值，在“ ”中应填的执行语句是（ ）A ．2018ni=- B ．2017ni=- C ．2018ni=+D ．2017ni=+【答案】A 【解析】不妨设01x =，要计算()120182017201621f =+++++，开始i =1,n =2018结束i ≤2017？是否输入x 0S =2018输出SS =Sx 0S =S+ni =i +1首先201812018S =⨯=，下一个应该加2017，再接着是加2016，故应填2018n i=-．8．[2018·达州期末]若函数()24xf x a=--存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a 的取值范围为（ ） A ．()0,4 B ．()0,+∞ C ．()3,4 D ．()3,+∞【答案】C【解析】如图，若()24xf x a=--存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则()34a ∈，，故选C ．9．[2018·朝阳期末]阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k （0k>且1k ≠）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 距离之P ，A ，B 不共线时，P A B △面积的最大值是（ ） A．BC3D3【答案】A【解析】如图，以经过A ，B 的直线为x 轴，线段A B 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系；则：()10A -，，()10B ，，设()Px y ，，P A P B＝；∴，两边平方并整理得：()222261038x y x xy +-+=⇒-+=．∴P A B△面积的最大值是122⨯⨯=选A ．10．[2018·郴州一中]双曲线2222:1(0,0)x y Ca b ab-=>>的离心率3e =，右焦点为F ，点A 是双曲线C 的一条渐近线上位于第一象限内的点，A O FO A F∠=∠，A O F△的面积为，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2213612xy-= B ．221186xy-= C ．22193xy-= D ．2213xy-=【答案】C【解析】由点A 所在的渐近线为0,b x a y-=三个该渐近线的倾斜角为α，则，A O F O A F∠=∠，所以直线A F的倾斜角为2α，2222ta n 2ta n 21ta n a b a bααα==--，与0b x a y-=联立解得122A O F a b S c a b c∴=⨯⨯==△，因为双曲线的离心率3e=b a∴=，与a b=联立得3a =，b =．故双曲线的方程为22193xy-=．故选C ．11．[2018·昆明一中]设锐角A B C △的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且1c =，2A C=，则A B C △周长的取值范围为（ ）A ．(0,2+B ．(0,3+C ．(23++ D ．(23++【答案】C【解析】因为A B C △为锐角三角形，所以c o s 22C <<又因为2A C=，所以sin 2sin co s AC C=，又因为1c=，所以2co s a C=；由sin sin b c BC=，即2s in s in 34c o s 1s in s in c B C bC C C===-，所以24c o s 2c o s a b c C C++=+，令co s tC=，则(22t ∈⎭，又因为函数242yt t=+在(22⎭上单调递增，所以函数值域为(23++，故选：C ．12．[2018·济南期末]若关于x 的方程eeexxxx m x ++=+有三个不相等的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m ∈R，e2.71828=为自然对数的底数，则3122312111e e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．1B ．eC ．1m-D ．1m+【答案】A 【解析】101t m t ++=+，()()2110t m t m ∴++++=，由韦达定理可得()1a b t t m +=-+，1a b t t m ⋅=+，()()3131131111x x x x t t e e ⎛⎫⎛⎫∴++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()1313=+1=11+1=1t t t t m m ++-+++，乘可得：31223121111e e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即3122312111e e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为1，故选A ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅰ)理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0 B ．12C ．1D ．22．已知集合2{|20}A x x x =-->，则A =RA ．{|12}x x -<<B ．{|12}x x -≤≤C {|1}{|2}x x x x <->D ．{|1}{|2}x x x x -≤≥3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和. 若3243S S S =+，12a ，则5aA ．12-B ．10-C ．10D ．125．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+. 若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图. 圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．217B ．25C ．3D ．28．设抛物线24C y x ：的焦点为F ，过点(2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数e ,0,()ln ,0,x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤ ()()g x f x x a =++. 若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[1,0)-B ．[0,)+∞C ．[1,)-+∞D ．[1,)+∞10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ. 在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则A ．12p p =B ．13p p =C ．23p p =D ．123p p p =+11．已知双曲线2213x C y ：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N . 若OMN △为直角三角形，则||MN A ．32B ．3C ．23D ．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A ．33B ．23C ．32D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

理科数学试题A 第1页（共26页）理科数学试题A 第2页（共26页）绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码张贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设121i z i i-=++，则z =（ ）A ．0B ．12C ．1 D2．已知集合{}2|20A x x x =-->，则A =R ð（ ） A ．{}|12x x -<< B ．{}|12x x -≤≤ C ．{}{}|1|2x x x x <->D ．{}{}|1|2x x x x -≤≥3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（ ） A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若3243S S S =+，12a =，则3a =（ ） A ．12-B ．10-C ．10D ．125．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为（ ） A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ ）A ．3144AB AC - B ．1344AB AC -C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N的路径中，最短路径的长度为（ ）A． B． C ．3D ．28．设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过点()20-，且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=（ ） A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数()0ln 0x e x f x x x ⎧=⎨>⎩，≤，，()()g x f x x a =++，若()g x 存在2个零点，则a的取-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________理科数学试题A 第3页（共26页）理科数学试题A 第4页（共26页）值范围是（ ） A ．[)10-，B ．[)0+∞，C ．[)1-+∞，D ．[)1+∞，10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ，ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则（ ）A ．12p p =B ．13p p =C ．23p p =D ．123p p p =+11．已知双曲线2213x C y -=：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则MN =（ ）A ．32B ．3 C． D ．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）ABCD二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x y ，满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≤，则32z x y =+的最大值为________．14．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．若21n n S a =+，则6S =________．15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．（用数字填写答案）16．已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是________．三、解答题（共70分。

2018年全国普通高等学校高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|﹣x2+4x≥0}，，C={x|x=2n，n∈N}，则（A∪B）∩C=（）A．{2，4}B．{0，2}C．{0，2，4}D．{x|x=2n，n∈N}2．（5分）设i是虚数单位，若，x，y∈R，则复数x+yi的共轭复数是（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i3．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和是S n，且a4+a5+a6+a7=18，则下列命题正确的是（）A．a5是常数B．S5是常数C．a10是常数D．S10是常数4．（5分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知点F为双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点，直线x=a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A，若AF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知函数则（）A．2+πB．C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数（ω＞0）的相邻两个零点差的绝对值为，则函数f（x）的图象（）A．可由函数g（x）=cos4x的图象向左平移个单位而得B．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得C．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得D．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得9．（5分）的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）A．﹣73 B．﹣61 C．﹣55 D．﹣6310．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形，点G为AF的中点，则该几何体的外接球的表面积是（）A．B．C．D．11．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F分别作两条直线l1，l2，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若l1与l2的斜率的平方和为1，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．20 C．24 D．3212．（5分）若函数y=f（x），x∈M，对于给定的非零实数a，总存在非零常数T，使得定义域M内的任意实数x，都有af（x）=f（x+T）恒成立，此时T为f（x）的类周期，函数y=f（x）是M上的a级类周期函数．若函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2，当x∈[0，2）时，函数．若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量，，且，则=．14．（5分）已知x，y满足约束条件则目标函数的最小值为．15．（5分）在等比数列{a n}中，a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为17，设b n=a2n ﹣a2n，n∈N*，则数列{b n}的前2n项和为．﹣116．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，，点E是线段CD上异于点C，D的动点，EF⊥AD于点F，将△DEF沿EF折起到△PEF 的位置，并使PF⊥AF，则五棱锥P﹣ABCEF的体积的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c分别满足c=2b=2，2bcosA+acosC+ccosA=0，又点D满足．（1）求a及角A的大小；（2）求的值．18．（12分）在四棱柱ABCD﹣A 1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且，∠A1AB=∠A1AD=60°．（1）求证：BD⊥CC1；（2）若动点E在棱C1D1上，试确定点E的位置，使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为．19．（12分）“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），利用该正态分布，求Z落在（，）内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于（10，30）内的包数为X，求X的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若，则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=．20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+2与椭圆C相交于A，B两点，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD的斜率之和k AD+k BD为定值？若存在，求出点D坐标及该定值，若不存在，试说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣2（a﹣1）x﹣b，其中e为自然对数的底数．（1）若函数f（x）在区间[0，1]上是单调函数，试求实数a的取值范围；（2）已知函数g（x）=e x﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣1，且g（1）=0，若函数g（x）在区间[0，1]上恰有3个零点，求实数a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为（θ为参数，a是大于0的常数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为．（1）求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程；（2）分别记直线l：，ρ∈R与圆C1、圆C2的异于原点的焦点为A，B，若圆C1与圆C2外切，试求实数a的值及线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+1|．（1）求不等式f（x）≤10﹣|x﹣3|的解集；（2）若正数m，n满足m+2n=mn，求证：f（m）+f（﹣2n）≥16．2018年全国普通高等学校高考数学模拟试卷（理科）（一）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|﹣x2+4x≥0}，，C={x|x=2n，n∈N}，则（A∪B）∩C=（）A．{2，4}B．{0，2}C．{0，2，4}D．{x|x=2n，n∈N}【解答】解：A={x|﹣x2+4x≥0}={x|0≤x≤4}，={x|3﹣4＜3x＜33}={x|﹣4＜x＜3}，则A∪B={x|﹣4＜x≤4}，C={x|x=2n，n∈N}，可得（A∪B）∩C={0，2，4}，故选C．2．（5分）设i是虚数单位，若，x，y∈R，则复数x+yi的共轭复数是（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i【解答】解：由，得x+yi==2+i，∴复数x+yi的共轭复数是2﹣i．故选：A．3．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和是S n，且a4+a5+a6+a7=18，则下列命题正确的是（）A．a5是常数B．S5是常数C．a10是常数D．S10是常数【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和是S n，且a4+a5+a6+a7=18，∴a4+a5+a6+a7=2（a1+a10）=18，∴a1+a10=9，∴=45．故选：D．4．（5分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：设AB=2，则BC=CD=DE=EF=1，∴S=××=，△BCIS平行四边形EFGH=2S△BCI=2×=，∴所求的概率为P===．故选：A．5．（5分）已知点F为双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点，直线x=a 与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A，若AF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线C：的右焦点F（c，0），双曲线的渐近线方程为y=x，由x=a代入渐近线方程可得y=b，则A（a，b），可得AF的中点为（，b），代入双曲线的方程可得﹣=1，可得4a2﹣2ac﹣c2=0，由e=，可得e2+2e﹣4=0，解得e=﹣1（﹣1﹣舍去），故选：D．6．（5分）已知函数则（）A．2+πB．C．D．【解答】解：∵，=∫cos2tdt===，∴=（）+（﹣cosx）=﹣2．故选：D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．B．C．D．【解答】解：第1次循环后，S=，不满足退出循环的条件，k=2；第2次循环后，S=，不满足退出循环的条件，k=3；第3次循环后，S==2，不满足退出循环的条件，k=4；…第n次循环后，S=，不满足退出循环的条件，k=n+1；…第2018次循环后，S=，不满足退出循环的条件，k=2019第2019次循环后，S==2，满足退出循环的条件，故输出的S值为2，故选：C8．（5分）已知函数（ω＞0）的相邻两个零点差的绝对值为，则函数f（x）的图象（）A．可由函数g（x）=cos4x的图象向左平移个单位而得B．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得C．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得D．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得【解答】解：函数=sin（2ωx）﹣•+=sin（2ωx﹣）（ω＞0）的相邻两个零点差的绝对值为，∴•=，∴ω=2，f（x）=sin（4x﹣）=cos[（4x﹣）﹣]=cos（4x﹣）．故把函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位，可得f（x）的图象，故选：B．9．（5分）的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）A．﹣73 B．﹣61 C．﹣55 D．﹣63【解答】解：展开式中所有各项系数和为（2﹣3）（1+1）6=﹣64；=（2x﹣3）（1+++…），其展开式中的常数项为﹣3+12=9，∴所求展开式中剔除常数项后的各项系数和为﹣64﹣9=﹣73．故选：A．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形，点G为AF的中点，则该几何体的外接球的表面积是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，可得该几何体是六棱锥P﹣ABCDEF，底面是正六边形，有一PAF侧面垂直底面，且P在底面的投影为AF中点，过底面中心N作底面垂线，过侧面PAF的外心M作面PAF的垂线，两垂线的交点即为球心O，设△PAF的外接圆半径为r，，解得r=，∴，则该几何体的外接球的半径R=，∴表面积是则该几何体的外接球的表面积是S=4πR2=．故选：C．11．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F分别作两条直线l1，l2，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若l1与l2的斜率的平方和为1，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．20 C．24 D．32【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），设直线l1：y=k1（x﹣1），直线l2：y=k2（x﹣1），由题意可知，则，联立，整理得：k12x2﹣（2k12+4）x+k12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，设D（x3，y3），E（x4，y4），同理可得：x3+x4=2+，由抛物线的性质可得：丨AB丨=x1+x2+p=4+，丨DE丨=x3+x4+p=4+，∴|AB|+|DE|=8+==，当且仅当=时，上式“=”成立．∴|AB|+|DE|的最小值24，故选：C．12．（5分）若函数y=f（x），x∈M，对于给定的非零实数a，总存在非零常数T，使得定义域M内的任意实数x，都有af（x）=f（x+T）恒成立，此时T为f（x）的类周期，函数y=f（x）是M上的a级类周期函数．若函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2，当x∈[0，2）时，函数．若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，对于函数f（x），当x∈[0，2）时，，分析可得：当0≤x≤1时，f（x）=﹣2x2，有最大值f（0）=，最小值f（1）=﹣，当1＜x＜2时，f（x）=f（2﹣x），函数f（x）的图象关于直线x=1对称，则此时有﹣＜f（x）＜，又由函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2；则在∈[6，8）上，f（x）=23•f（x﹣6），则有﹣12≤f（x）≤4，则f（8）=2f（6）=4f（4）=8f（2）=16f（0）=8，则函数f（x）在区间[6，8]上的最大值为8，最小值为﹣12；对于函数，有g′（x）=﹣+x+1==，分析可得：在（0，1）上，g′（x）＜0，函数g（x）为减函数，在（1，+∞）上，g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，则函数g（x）在（0，+∞）上，由最小值f（1）=+m，若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，必有g（x）min≤f（x）max，即+m≤8，解可得m≤，即m的取值范围为（﹣∞，]；故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量，，且，则=．【解答】解：根据题意，向量，，若，则•=2sinα﹣cosα=0，则有tanα=，又由sin2α+cos2α=1，则有或，则=（，）或（﹣，﹣），则||=，则=2+2﹣2•=；故答案为：14．（5分）已知x，y满足约束条件则目标函数的最小值为．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，4），=，令t=5x﹣3y，化为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最大，t有最小值为﹣2．∴目标函数的最小值为．故答案为：．15．（5分）在等比数列{a n}中，a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为17，设b n=a2n ﹣a2n，n∈N*，则数列{b n}的前2n项和为．﹣1【解答】解：等比数列{a n}中，a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为17，设首项为a1，公比为q，则：，整理得：，解得：．则：，所以：b n=a2n﹣1﹣a2n==﹣22n﹣4，则：T 2n ==．故答案为：．16．（5分）如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ∥BC ，，点E 是线段CD 上异于点C ，D 的动点，EF ⊥AD 于点F ，将△DEF 沿EF 折起到△PEF 的位置，并使PF ⊥AF ，则五棱锥P ﹣ABCEF 的体积的取值范围为 （0，） ．【解答】解：∵PF ⊥AF ，PF ⊥EF ，AF ∩EF=F ， ∴PF ⊥平面ABCD ．设PF=x ，则0＜x ＜1，且EF=DF=x ．∴五边形ABCEF 的面积为S=S 梯形ABCD ﹣S △DEF =×（1+2）×1﹣x 2=（3﹣x 2）． ∴五棱锥P ﹣ABCEF 的体积V=（3﹣x 2）x=（3x ﹣x 3），设f （x ）=（3x ﹣x 3），则f′（x ）=（3﹣3x 2）=（1﹣x 2）， ∴当0＜x ＜1时，f′（x ）＞0，∴f （x ）在（0，1）上单调递增，又f （0）=0，f （1）=． ∴五棱锥P ﹣ABCEF 的体积的范围是（0，）． 故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 分别满足c=2b=2，2bcosA+acosC+ccosA=0，又点D满足．（1）求a及角A的大小；（2）求的值．【解答】解：（1）由2bcosA+acosC+ccosA=0及正弦定理得﹣2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，即﹣2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，在△ABC中，sinB＞0，所以．又A∈（0，π），所以．在△ABC中，c=2b=2，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc=7，所以．（2）由，得=，所以．18．（12分）在四棱柱ABCD﹣A 1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且，∠A1AB=∠A1AD=60°．（1）求证：BD⊥CC1；（2）若动点E在棱C1D1上，试确定点E的位置，使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为．【解答】解：（1）连接A1B，A1D，AC，因为AB=AA1=AD，∠A1AB=∠A1AD=60°，所以△A1AB和△A1AD均为正三角形，于是A1B=A1D．设AC与BD的交点为O，连接A1O，则A1O⊥BD，又四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，而A1O∩AC=O，所以BD⊥平面A1AC．又AA1⊂平面A1AC，所以BD⊥AA1，又CC1∥AA1，所以BD⊥CC1．（2）由，及，知A 1B⊥A1D，于是，从而A1O⊥AO，结合A1O⊥BD，AO∩AC=O，得A1O⊥底面ABCD，所以OA、OB、OA1两两垂直．如图，以点O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系O ﹣xyz，则A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），A1（0，0，1），C（﹣1，0，0），，，，由，得D1（﹣1，﹣1，1）．设（λ∈[0，1]），则（x E+1，y E+1，z E﹣1）=λ（﹣1，1，0），即E（﹣λ﹣1，λ﹣1，1），所以．设平面B1BD的一个法向量为，由得令x=1，得，设直线DE与平面BDB1所成角为θ，则，解得或（舍去），所以当E为D1C1的中点时，直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为．19．（12分）“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），利用该正态分布，求Z落在（，）内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于（10，30）内的包数为X，求X的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若，则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=．【解答】解：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为．（2）①∵Z服从正态分布N（μ，σ2），且μ=，σ≈，∴P（＜Z＜）=P（﹣＜Z＜+）=，∴Z落在（，）内的概率是．②根据题意得X～B（4，），；；；；．∴X的分布列为X01234P∴．20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+2与椭圆C相交于A，B两点，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD的斜率之和k AD+k BD为定值？若存在，求出点D坐标及该定值，若不存在，试说明理由．【解答】解：（1）由已知可得解得a2=2，b2=c2=1，所求椭圆方程为．（2）由得（1+2k2）x2+8kx+6=0，则△=64k2﹣24（1+2k2）=16k2﹣24＞0，解得或．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，设存在点D（0，m），则，，所以==．要使k AD+k BD为定值，只需6k﹣4k（2﹣m）=6k﹣8k+4mk=2（2m﹣1），k与参数k无关，故2m﹣1=0，解得，当时，k AD+k BD=0．综上所述，存在点，使得k AD+k BD为定值，且定值为0．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣2（a﹣1）x﹣b，其中e为自然对数的底数．（1）若函数f（x）在区间[0，1]上是单调函数，试求实数a的取值范围；（2）已知函数g（x）=e x﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣1，且g（1）=0，若函数g（x）在区间[0，1]上恰有3个零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）=e2﹣2（a﹣1）x﹣b，其导数为f'（x）=e x﹣2（a﹣1），当函数f（x）在区间[0，1]上单调递增时，f'（x）=e x﹣2（a﹣1）≥0在区间[0，1]上恒成立，∴2（a﹣1）≤（e x）min=1（其中x∈[0，1]），解得；当函数f（x）在区间[0，1]单调递减时，f'（x）=e x﹣2（a﹣1）≤0在区间[0，1]上恒成立，∴2（a﹣1）≥（e x）max=e（其中x∈[0，1]），解得．综上所述，实数a的取值范围是．（2）函数g（x）=e x﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣1，则g'（x）=e x﹣2（a﹣1）x﹣b，分析可得f（x）=g'（x）．由g（0）=g（1）=0，知g（x）在区间（0，1）内恰有一个零点，设该零点为x0，则g（x）在区间（0，x0）内不单调，所以f（x）在区间（0，x0）内存在零点x1，同理，f（x）在区间（x0，1）内存在零点x2，所以f（x）在区间（0，1）内恰有两个零点．由（1）知，当时，f（x）在区间[0，1]上单调递增，故f（x）在区间（0，1）内至多有一个零点，不合题意．当时，f（x）在区间[0，1]上单调递减，故f（x）在（0，1）内至多有一个零点，不合题意；所以．令f'（x）=0，得x=ln（2a﹣2）∈（0，1），所以函数f（x）在区间[0，ln（2a﹣2）]上单调递减，在区间（ln（2a﹣2），1]上单调递增．记f（x）的两个零点为x1，x2（x1＜x2），因此x1∈（0，ln（2a﹣2）]，x2∈（ln（2a﹣2），1），必有f（0）=1﹣b＞0，f （1）=e﹣2a+2﹣b＞0．由g（1）=0，得a+b=e，所以，又f（0）=a﹣e+1＞0，f（1）=2﹣a＞0，所以e﹣1＜a＜2．综上所述，实数a的取值范围为（e﹣1，2）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为（θ为参数，a是大于0的常数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为．（1）求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程；（2）分别记直线l：，ρ∈R与圆C1、圆C2的异于原点的焦点为A，B，若圆C1与圆C2外切，试求实数a的值及线段AB的长．【解答】解：（1）圆C1：（θ是参数）消去参数θ，得其普通方程为（x+1）2+（y+1）2=a2，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式并化简，得圆C1的极坐标方程，由圆C2的极坐标方程，得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．将x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2代入上式，得圆C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（2）由（1）知圆C1的圆心C1（﹣1，﹣1），半径r1=a；圆C 2的圆心C2（1，1），半径，，∵圆C1与圆C2外切，∴，解得，即圆C1的极坐标方程为．将代入C1，得，得；将代入C2，得，得；故．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+1|．（1）求不等式f（x）≤10﹣|x﹣3|的解集；（2）若正数m，n满足m+2n=mn，求证：f（m）+f（﹣2n）≥16．【解答】解：（1）此不等式等价于或或解得或或3＜x≤4．即不等式的解集为．（2）证明：∵m＞0，n＞0，m+2n=mn，，即m+2n ≥8，当且仅当即时取等号．∴f（m）+f（﹣2n）=|2m+1|+|﹣4n+1|≥|（2m+1）﹣（﹣4n+1）|=|2m+4n|=2（m+2n）≥16，当且仅当﹣4n+1≤0，即时，取等号．∴f（m）+f（﹣2n）≥16．。

2018年高考数学(理科)模拟试卷(一) (本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题满分60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2016年四川)设集合A＝{x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是() A．6 B.5C．4D．31.B解析：由题意，A∩Z＝{1,2,3,4,5}，故其中的元素的个数为5.故选B.2．(2016年山东)若复数z满足2z＋z＝3－2i,其中i为虚数单位，则z＝()A．1＋2i B．1－2iC．－1＋2i D．－1－2i2．B解析：设z＝a＋b i(a，b∈R)，则2z＋z＝3a＋b i＝3－2i，故a＝1，b＝－2，则z＝1－2i.故选B.3．(2015年北京)某四棱锥的三视图如图M1-1，该四棱锥最长棱的棱长为()图M1-1A．1 B.2 C.3D．23．C解析：四棱锥的直观图如图D188：由三视图可知，SC⊥平面ABCD，SA是四棱锥最长的棱，SA＝SC2＋AC2＝SC2＋AB2＋BC2＝3.故选C.图D1884．曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为()A. B. C. D.4．C解析：f′(x)＝3x2－2，f′(1)＝1，所以切线的斜率是1，倾斜角为.进入循环体，a＝－，否，k＝1，a＝－2，否，k＝2，a＝1，ππππ6342π4 5．设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数.若存在实数t，使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[t n]＝n同时成立，则正整数n的最大值是() A．3B．4C．5D．65．B解析：因为[x]表示不超过x的最大整数．由[t]＝1，得1≤t<2，由[t2]＝2，得2≤t2<3.由[t3]＝3，得3≤t3<4.由[t4]＝4，得4≤t4<5.所以2≤t2<5.所以6≤t5<45.由[t5]＝5，得5≤t5<6，与6≤t5<45矛盾，故正整数n的最大值是4.6．(2016年北京)执行如图M1-2所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为()图M1-2A．1B．2C．3D．46．B解析：输入a＝1，则k＝0，b＝1；12此时a＝b＝1，输出k，则k＝2.故选B.7．某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图M1-3，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m＋n的值是()7．C解析：由题意，得＝88，n＝9.所以m＋n＝12.⎪⎩x≥0，图M1-3A．10B．11C．12D．1378＋88＋84＋86＋92＋90＋m＋957故选C.8．(2015年陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知分别生产1吨甲、乙产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()项目A/吨B/吨甲31乙22原料限额128A.12万元B．16万元C．17万元D．18万元8．D解析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，则利润z＝3x＋4y.⎧⎪3x＋2y≤12，由题意可得⎨x＋2y≤8，y≥0.其表示如图D189阴影部分区域：图D189当直线3x＋4y－z＝0过点A(2,3)时，z取得最大值，所以zmax＝3×2＋4×3＝18.故选D.9．(2016年新课标Ⅲ)定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有() A．18个B．16个C．14个D．12个9．C解析：由题意，必有a1＝0，a8＝1，则具体的排法列表如下：10．(2016 年 天 津 )已知函数f(x)＝sin 2ω x ＋ sin ωx － (ω>0)，x ∈ ⎛ 1⎤ ⎛ 1⎤ ⎡5 ⎫ A. 0， ⎥ B. 0， ⎥∪⎢ ，1⎪ ⎛5⎤ ⎛ 1⎤ ⎡1 5⎤ C. 0， ⎥ D. 0， ⎥∪⎢ ， ⎥ 1－cos ω x sin ω x 1 2 ⎛ ⎛π ⎫ 10.D 解析：f(x)＝ ＋ － ＝ sin ω x － ⎪，f(x)＝0⇒sin ω x － ⎪ k π ＋⎛1 1⎫ ⎛5 5⎫ ⎛9 9⎫ ⎛1 1⎫ ⎛5 ⎫ ⎛ 1⎤ ⎡1 5⎤因此 ω ， ⎪∪ ， ⎪∪ ， ⎪∪…＝ ， ⎪∪ ，＋∞⎪⇒ω∈ 0， ⎥∪⎢ ， ⎥.故选4 ⎭ A ．3 B. C ．23 D. ∥PA ，所以 OE ⊥底面 ABCD ，则 O 到四棱锥的所有顶点的距离相等，即 O 为球心， PC ＝1 1 4 ⎛1 ⎫ 243π 7 PA2＋AC2＝ PA2＋8，所以由球的体积可得 π PA2＋8⎪3＝ ，解得 PA ＝ .故选1 12 2 2R.若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是()⎝ 8⎦ ⎝ 4⎦ ⎣8 ⎭⎝ 8⎦ ⎝ 8⎦ ⎣4 8⎦2 2 2 2 ⎝ ⎝ 4 ⎭ ＝0，π4所以 x ＝ (π，2π)，(k ∈Z)．ω⎝8 4⎭ ⎝8 4⎭ ⎝8 4⎭ ⎝8 4⎭ ⎝8 ⎭ ⎝ 8⎦ ⎣4 8⎦D.11．四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为正方形，PA底面ABCD ，AB ＝2，若该四棱锥的所有顶点都在体积为⊥243π 16的同一球面上，则P A ＝()729211．B 解析：如图 D190，连接 AC ，BD 交于点 E ，取 PC 的中点 O ，连接 OE ，则 OE122 23 ⎝2 ⎭ 16 2B.12．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A 、B 在该抛物线上且位于x 轴两侧，若 OA ·OBA ．4 B. C. D. 10OA · OB ＝6，所以 x 1· x 2＋y 1· y 2＝6，从而(y 1· y 2)2＋y 1· y 2－6＝0，因为点 A ，B 位于 x 轴的两侧， 所以 y 1· y 2＝－3，故 m ＝3，不妨令点 A 在 x 轴上方，则 y 1>0，又 F ，0⎪，所以 △S ABO ＋△S ⎝4⎭8 2 y1 2 8×3×(y 1－y 2)＋ × y 1＝ y 1＋，即 y 1＝ 时取等号，故其最小值为 .故选 B.|c|·|a| |c|·|b| 5a2 －y214．设F 是双曲线C ：x2b图D190→→＝6(O 为坐标原点△)，则 ABO 与△AOF 面积之和的最小值为()3 1317 2 2412．B 解析：设直线 AB 的方程为 x ＝ty ＋m ，点 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线 AB 与 x轴的交点为 M (m,0)，将直线方程与抛物线方程联立，可得 y 2－ty －m ＝0，根据韦达定理有 y 1· y 2＝－m ，因为 →→⎛1 ⎫AFO 1 1 1 13 9 ＝2 2 4 8 2y1 ≥213 9 1 313 13y1 ·y1· · ＝ ，当且仅当 ＝9 6 13 3 132y1 13 2第Ⅱ卷(非选择题 满分90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第 13～21 题为必考题，每个试题考生必须作答．第22～23 题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．13．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.13．2 解析：a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，则 c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，|a |＝ 5，|b |＝2 5，c·a c·b 5m ＋8a · c ＝5m ＋8，· c ＝8m ＋20.∵c 与 a 的夹角等于 c 与b 的夹角，∴ ＝ .∴8m ＋20 ＝ .解得 m ＝2.2 5b2＝1的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为__________．16．在区间[0，π]上随机地取一个数x ，则事件“sin x ≤ ”发生的概率为________．⎛π ⎫ ⎛5π ⎫ 6⎝ 6 ⎭ 1－0 ＋ π － ⎪ ⎪17．解：(1)设{a n }的公比为 q ，{b n }的公差为 d ，由题意知 q >0.由已知，有⎨c,2b )在双曲线上，有 － ＝1，则 e 2＝5，e ＝ 5. 11⎡ ⎤0，16.解析：由正弦函数的图象与性质知，当 x ∈⎢∪⎢ ，π ⎥时，sin x ≤ .⎥π 36 ⎦ ⎣ 6 ⎩14. 5 解析：根据双曲线的对称性，不妨设 F(c,0)，虚轴端点为(0，b )，从而可知点(－c2 4b2a2 b215．(2016 年北京)在(1－2x)6的展开式中，x 2的系数为________．(用数字作答)15．60 解析：根据二项展开的通项公式 T r ＋1＝C r6·(－2)r x r 可知，x 2 的系数为 C 26(－2)2＝60，故填 60.123⎣ ⎦ 2⎭ ⎝ 所以所求概率为 ＝ .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分 )已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1＝b 1＝1，b 2＋b 3＝2a 3，a 5 －3b 2＝7.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．⎧⎪2q2－3d ＝2， ⎪q4－3d ＝10. 消去 d ，得 q 4－2q 2－8＝0.解得 q ＝2，d ＝2.所以{a n }的通项公式为 a n ＝2n －1，n ∈N *， {b n }的通项公式为 b n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由(1)有 c n ＝(2n －1)2n －1，设{c n }的前 n 项和为 S n ， 则 S n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1， 2S n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －1)×2n .两式相减，得－S n ＝1＋22＋23＋…＋2n －(2n －1)×2n ＝－(2n －3)×2n －3. 所以 S n ＝(2n －3)·2n ＋3，n ∈N *.18．( 本 小 题 满 分 12 分 )(2014 年 大纲 )设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5,0.4，各人 是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．18．解：记 A 1 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有 i 人需使用设备，i ＝0,1,2. B 表示事件：甲需使用设备． C 表示事件：丁需使用设备．D 表示事件：同一工作日至少 3 人需使用设备．(1)因为 P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A i )＝C i2×0.52，i ＝0,1,2，∠P AB＝90°，BC＝CD＝AD，E为边AD的中点，异面直线P A与CD所成的角为90°.所以P(D)＝P(A1·B·C＋A2·B＋A2·B·C)＝P(A1·B·C)＋P(A2·B)＋P(A2·B·C)＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(B)P(C)＝0.31.(2)X的可能取值为0,1,2,3,4，其分布列为P(X＝0)＝P(B·A·C)＝P(B)P(A0)P(C)＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06，P(X＝1)＝P(B·A·C＋B·A·C＋B·A1·C)＝P(B)P(A)P(C)＋P(B)P(A)P(C)＋P(B)P(A1)P(C)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P(X＝4)＝P(A2·B·C)＝P(A2)P(B)P(C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06，P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，所以E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.19．(本小题满分12分)(2016年四川)如图M1-4，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝12(1)在平面P AB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(2)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线P A与平面PCE所成角的正弦值．图M1-419．解：(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行．延长AB，DC，相交于点M(M∈平面P AB)，点M即为所求的一个点．理由如下：由已知，BC∥ED，且BC＝ED，所以四边形BCDE是平行四边形．所以CD∥EB.从而CM∥EB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM∥平面PBE.(说明：延长AP至点N，使得AP＝PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)方法一，由已知，CD⊥P A，CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面P AD.从而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角．所以∠PDA＝45°.所以AH＝.在△Rt P AH中，PH＝PA2＋AH2＝，所以sin∠APH＝＝.作Ay⊥AD，以A为原点，以AD，AP的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图D192所以PE＝(1,0，－2)，EC＝(1,1,0)，AP＝(0,0,2)PEEC→则sinα＝＝|n|·|AP|2×22＋－＋123所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.设BC＝1，则在Rt△P AD中，P A＝AD＝2.如图D191，过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知P A⊥平面ABCD，从而P A⊥CE.于是CE⊥平面P AH.所以平面PCE⊥平面P AH.过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE.所以∠APH是PA与平面PCE所成的角．在△Rt AEH中，∠AEH＝45°，AE＝1，22322AH1PH3图D191图D192方法二，由已知，CD⊥P A，CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面P AD.于是CD⊥PD.从而∠PDA是二面角P-CD-A的平面角．所以∠PDA＝45°.由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.设BC＝1，则在△Rt P AD中，P A＝AD＝2.→→所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,1,0)，E(1,0,0)，→→→设平面PCE的法向量为n＝(x，y，z)，⎧⎪n·→＝0，由⎨⎪⎩n·→＝0，⎧⎪x－2z＝0，得⎨⎪⎩x＋y＝0.设x＝2，解得n＝(2，－2,1)．设直线PA与平面PCE所成角为α，|n·AP|2→1＝.1320．(本小题满分12分)(2016年新课标Ⅲ)设函数f(x)＝ln x－x＋1.(2)证明当x ∈(1，＋∞)时，1< <x ；20．解：(1)由题设，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝ －1，令 f ′(x)＝0，解得 x ＝1.故当 x ∈(1，＋∞)时，ln x <x －1，ln < －1，即 1< <x.ln c 令 g ′(x)＝0，解得 x 0＝ .21．解：(1)设椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1(a >b >0)，因为点 B(2， 2)在椭圆 C 上，所以 ＋ ＝1.②所以椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1.因为直线 y ＝kx(k ≠0)与椭圆 ＋ ＝1 交于两点 E ，F ，(1)讨论f(x)的单调性；x －1ln x(3)设c >1，证明当x ∈(0,1)时，1＋(c －1)x >c x .1x当 0<x <1 时，f ′(x)>0，f(x)单调递增； 当 x >1 时，f ′(x)<0，f(x)单调递减．(2)由(1)知，f(x)在 x ＝1 处取得最大值，最大值为 f(1)＝0. 所以当 x ≠1 时，ln x <x －1.1 1 x －1x x ln x(3)由题设 c >1，设 g (x)＝1＋(c －1)x －c x ， 则 g ′(x)＝c －1－c x ln c.c －1 lnln c当 x <x 0 时，g ′(x)>0，g (x)单调递增； 当 x >x 0 时，g ′(x)<0，g (x)单调递减．c －1由(2)知，1<ln c <c ，故 0<x 0<1.又 g (0)＝g (1)＝0，故当 0<x <1 时，g (x)>0. 所以 x ∈(0,1)时，1＋(c －1)x >c x .21．( 本 小 题 满 分 12 分 )(2016 年 广 东 广 州 综 合 测 试一)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为F 1(－2,0)，点B(2， 2 )在椭圆C 上，直线y ＝kx(k ≠0)与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理 由．x2 y2a2 b2因为椭圆的左焦点为 F 1(－2,0)，所以 a 2－b 2＝4.①4 2a2 b2由①②，解得 a ＝22，b ＝2. x2 y28 4(2)因为椭圆 C 的左顶点为 A ，则点 A 的坐标为(－2 2，0)．x2 y28 4设点 E(x 0，y 0)(不妨设 x 0>0)，则点 F(－x 0，－y 0)．⎪⎩ 84 .所以 x 0＝ 2，则 y 0＝ .－ ⎝ 2⎫2⎫2⎪ ，即 x 2＋y 2＋ y ＝4.⎛ 4π ⎫(2，π)、B 2， ⎪.⎛4π 4π ⎫ 22．解：(1)将 A 、B 化为直角坐标为 A(2cos π，2sin π)，B 2cos ，2sin ⎪，即 A ，⎪⎨ d ＝ ＝⎧⎪y ＝kx ，联立方程组⎨x2 y2＋ ＝1消去 y ，得 x 2＝81＋2k22 1＋2k2 2 2k 1＋2k2k所以直线 AE 的方程为 y ＝ (x ＋2 2)．1＋ 1＋2k2因为直线 AE ，AF 分别与 y 轴交于点 M ，N ，2 2k ⎛ 2 2k ⎫令 x ＝0 得 y ＝ ，即点 M 0， ⎪.1＋ 1＋2k2 ⎝ 1＋ 1＋2k2⎭ ⎛ 2 2k ⎫同理可得点 N 0， ⎪.⎝ 1－ 1＋2k2⎭⎪ 2 2k 2 2k ⎪ 2 所以|MN |＝⎪ ⎪＝⎪1＋ 1＋2k2 1－ 1＋2k2⎪⎛ 设 MN 的中点为 P ，则点 P 的坐标为 P 0，－ ⎝＋|k|2⎫⎪.k ⎭.⎛ ⎛ 则以 MN 为直径的圆的方程为 x 2＋ y ＋ ⎪ ＝k ⎭ ⎝＋ |k| 2 2⎭ k令 y ＝0，得 x 2＝4，即 x ＝2 或 x ＝－2.故以 MN 为直径的圆经过两定点 P 1(2,0)，P 2(－2,0)，请考生在第(22)(23)两题中任选一题作答．注意：只能作答在所选定的题目上．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．(本小题满分 10 分)选修4-4：极坐标与参数方程已知曲线C 的参数方程是⎧x ＝2cos θ ， ⎪⎩y ＝sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A 、B 的极坐标分别为A⎝ 3 ⎭(1)求直线AB 的直角坐标方程；(2)设M 为曲线C 上的动点，求点M 到直线AB 距离的最大值．⎝ 3 3 ⎭ B 的直角坐标分别为 A(－2,0)，B(－1，－ 3)，k AB ＝ － 3－0 －1＋2＝－ 3，∴直线 AB 的方程为 y －0＝－ 3(x ＋2)， 即直线 AB 的方程为 3x ＋y ＋2 3＝0.(2)设 M (2cos θ，sin θ)，它到直线 AB 的距离|2 3cos θ ＋sin θ ＋2 3| | 13 2θ ＋φ2＋2 3|，2 ⎧⎪x≤ ， ⎩ 解得 1<x ≤ ，或 <x < . ⎧⎪ ⎪ 5 所以原不等式的解集为⎨x ⎪1<x< ⎪⎩ ⎪∴d max ＝13＋2 3 .23．(本小题满分 10 分)选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x －2|－|2x －a|，a ∈R .(1)当a ＝3时，解不等式f(x)>0；(2)当x ∈(－∞，2)时，f(x)<0恒成立，求a 的取值范围． 23．解：(1)当 a ＝3 时，f(x)>0，即|x －2|－|2x －3|>0， 3 等价于⎨ 2 ⎪⎩x －1>0， ⎧⎪3<x<2， 或⎨2 ⎪⎩－3x ＋5>0，⎧⎪x≥2， 或⎨ ⎪－x ＋1>0. 3 3 5 2 2 33 ⎫⎪ ⎬. ⎪⎭ (2)f(x)＝2－x －|2x －a|，所以 f(x)<0 可化为|2x －a|>2－x ， ①即 2x －a >2－x ，或 2x －a <x －2.①式恒成立等价于(3x －2)min >a 或(x ＋2)max <a ， ∵x ∈(－∞，2)，∴a ≥4.。

绝密★启用前2018年一般高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅰ)理科数学留意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．答复选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答复非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0 B ．12C ．1D ．22．已知集合2{|20}A x x x =-->，则A =RA ．{|12}x x -<<B ．{|12}x x -≤≤C {|1}{|2}x x x x <->D ．{|1}{|2}x x x x -≤≥3．某地区经过一年的新农村建立，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番. 为更好地理解该地区农村的经济收入改变状况，统计了该地区新农村建立前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是 A ．新农村建立后，种植收入削减B ．新农村建立后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建立后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建立后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和. 若3243S S S =+，12a ，则5aA ．12-B ．10-C ．10D ．125．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+. 若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图. 圆柱外表上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱外表上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的途径中，最短途径的长度为A ．217B ．25C ．3D ．28．设抛物线24C y x ：的焦点为F ，过点(2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数e ,0,()ln ,0,x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤ ()()g x f x x a =++. 若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[1,0)-B ．[0,)+∞C ．[1,)-+∞D ．[1,)+∞10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所探讨的几何图形. 此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色局部记为Ⅱ，其余局部记为Ⅲ. 在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则A ．12p p =B ．13p p =C ．23p p =D ．123p p p =+11．已知双曲线2213x C y ：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N . 若OMN △为直角三角形，则||MN A ．32B ．3C ．23D ．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A ．334B ．233C ．324D ．32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学（一）注意事项：1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数()i z a a =+∈R 的共轭复数为z ，满足1z =，则复数（ ） A ．2i + B ．2i -C ．1i +D ．i【答案】D【解析】根据题意可得，i z a =-，所以211z a =+=，解得0a =，所以复数i z =．2．集合()1=0,sin 12A θθ⎧⎫∈π⎨⎬⎩⎭＜≤，14B ϕϕ⎧⎫π=<<⎨⎬⎩⎭，则集合A B =I （ ）A ．42θθ⎧⎫ππ<<⎨⎬⎩⎭B ．16θθ⎧⎫π<<⎨⎬⎩⎭C ．62θθ⎧⎫ππ<<⎨⎬⎩⎭D ．14θθ⎧⎫π<<⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】()15=0,sin 1266A θθθθ⎧⎫⎧⎫ππ∈π=<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭＜≤，14A B θθ⎧⎫π=<<⎨⎬⎩⎭I ．3．2018年3月7日《科学网》刊登“动物可以自我驯化”的文章表明：关于野生小鼠的最新研究，它们在几乎没有任何人类影响的情况下也能表现出进化的迹象——皮毛上白色的斑块以及短鼻子．为了观察野生小鼠的这种表征，从有2对不同表征的小鼠（白色斑块和短鼻子野生小鼠各一对）的实验箱中每次拿出一只，不放回地拿出2只，则拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为（ ） A ．14B ．13C ．23D ．34【答案】C【解析】分别设一对白色斑块的野生小鼠为A ，a ，另一对短鼻子野生小鼠为B ，b ，从2对野生小鼠中不放回地随机拿出2只，所求基本事件总数为4312⨯=种，拿出的野生小鼠是同一表征的事件为(),A a ，(),a A ，(),B b ，(),b B ，共计4种，所以拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为421123-=． 4．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+的图象向左平移6π个单位长度后得到函数sin 23cos 2y x x =+的图象，则ϕ的可能值为（ ）A ．0B ．6π C ．3π D ．12π 【答案】A【解析】将函数sin 23cos 22sin 23y x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，可得2sin 22sin 263y x x ⎡ππ⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，所以0ϕ=．5．在海昏侯墓中发掘出堆积如山的“汉五铢”铜钱．汉代串铜钱的丝绳或麻绳叫“缗”，后来演变为计量铜钱的单位，1000枚铜钱用缗串起来，就叫一缗．假设把2000余缗铜钱放在一起码成一堆，摆放规则如下：底部并排码放70缗，然后一层一层往上码，每层递减一缗，最上面一层为31缗，则这一堆铜钱的数量为（ ） A ．6210⨯枚B ．62.0210⨯枚C ．62.02510⨯枚D ．62.0510⨯枚【答案】B【解析】由题意可知，构成一个以首项为70缗，末项为31缗，项数为40层，公差为1的等差数列，则和为()4070+31==20202S ⨯缗，这一堆铜钱的数量为620201000 2.0210⨯=⨯枚．6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）正视图侧视图此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．2π+B ．1+πC ．2+2πD ．12π+【答案】A【解析】根据三视图可得该几何体为一个长方体和半个圆柱组合所成，21112π122π2V =⨯⨯+⨯⨯⨯=+．7．如图的程序框图，当输出15y =后，程序结束，则判断框内应该填（ ） A ．1x ≤B ．2x ≤C ．3x ≤D ．4x ≤【答案】C【解析】当3x =-时，3y =；当2x =-时，0y =；当1x =-时，1y =-；当0x =时，0y =；当1x =时，3y =；当2x =时，8y =；当3x =时，15y =；所以y 的最大值为15，可知3x ≤符合题意．8．已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（ ）A ．2x xy =B ．22xy =-C ．e xy x =-D ．|2|2x y x =﹣【答案】D【解析】对于A ，函数()2x x xf =，当0x >时，0y >，0x <时，0y <，不满足题意；对于B ，当0x ≥时，()f x 递增，不满足题意；对于C ，当0x ≥时，()0f x >，不满足题意；故选D ．9．若双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线被抛物线24y x =，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．14B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程不妨设为：0bx ay +=，与抛物线方程联立，24bx ay y x+=⎧⎨=⎩，消去y ，得240ax bx +=，所以121240b x x a x x ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩，所以所截得的弦长为=，化简可得24bc a =，2bc =，()222412c a c a -=，42120e e --=，得24e =或3-（舍），所以双曲线C 的离心率2e =．10．若x 是函数()()22e x f x x ax =-的极值点，则函数()y f x =的最小值为（ ） A．(2e +B ．0C．(2-D ．e -【答案】C【解析】()()22e x f x x ax =-，∴()()()()2222e 2e 212e x x xf x x a x ax x a x a '⎡⎤=-+=+--⎣⎦-，由已知得，0f '=，∴220a +-=，解得1a =．∴()()22e x f x x x =-，∴()()22e x f x x '-=，所以函数的极值点为，当(x ∈时，()0f x '<，所以函数()y f x =是减函数，当(,x ∈-∞或)x ∈+∞时，()0f x '＞，函数()y f x =是增函数．又当()(),02,+x ∈-∞∞U 时，220x x ->，()0f x ＞，当()0,2x ∈时，220x x -<，()0f x <，∴()min f x 在()0,2x ∈上，又当(x ∈时，函数()y f x =递减，当)x ∈时，函数()y f x =递增，∴()(min 2f x f==-．11．点(),M x y 在曲线22:4210C x x y -+-=上运动，22+1212150t x y x y a =+---，且t 的最大值为b ，若a ，b +∈R ，则111a b++的最小值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】曲线22:4210C x x y -+-=可化为()22225x y -+=，表示圆心在()2,0A ，半径为5的圆，2222+1212150(6)(6)222t x y x y a x y a =+---=++---，22(6)(6)x y ++-可以看作点M 到点()6,6N -的距离的平方，圆C 上一点M 到N 的距离的最大值为5AN +，即点M 是直线AN 与圆C 的离点N 最远的交点，所以直线AN 的方程为()324y x =--，联立()()22324225y x x y ⎧=--⎪⎨⎪-+=⎩，解得1163x y =⎧⎨=-⎩或2123x y =-⎧⎨=⎩（舍去），当63x y =⎧⎨=-⎩时，t 取得最大值，则22max (66)(36)222t a b =++----=，所以3a b +=，所以()14a b ++=，()111111112114141b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+=+⎡++⎤=++ ⎪ ⎪⎣⎦+++⎝⎭⎝⎭≥， 当且仅当11b a a b +=+，12a b =⎧⎨=⎩时取等号． 12．已知函数()y f x =为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调递增函数，函数()()5g x f x x =-+，数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，若()()()12945g a g a g a +++=L ，则129a a a +++=L （ ） A ．45 B ．15 C ．10 D ．0【答案】A【解析】由函数()()5g x f x x =-+，所以()()555g x f x x -=-+-， 当5x =时，()()()5555550g f f -=-+-=，而函数()y f x =为定义域R 上的奇函数，所以()00f =，所以()550g -=； 由()()()12945g a g a g a +++=L ，得()()()1295550g a g a g a ⎡-⎤+⎡-⎤++⎡-⎤=⎣⎦⎣⎦⎣⎦L ， 由函数()y f x =为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调递增函数， 可知()5y g x =-关于()5,0对称，且在R 上是单调递增函数，由对称性猜想()550g a -=，下面用反证法说明()550g a -=， 假设()550g a -<，知55a <，则1910a a +<，2810a a +<，由对称性可知()()19550g a g a ⎡-⎤+⎡-⎤<⎣⎦⎣⎦，()()28550g a g a ⎡-⎤+⎡-⎤<⎣⎦⎣⎦，， 则()()()1295550g a g a g a ⎡-⎤+⎡-⎤++⎡-⎤<⎣⎦⎣⎦⎣⎦L 与题意不符，故()550g a -<不成立； 同理()550g a ->也不成立， 所以()550g a -=，所以55a =，根据等差数列性质，1295945a a a a +++==L ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2018高考仿真卷·理科数学(一)(考试时间:120分钟试卷满分:150分)第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设全集U=R,集合A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤3},则(∁U A)∪B=()A.(2,3]B.(-∞,1]∪(2,+∞)C.[1,2)D.(-∞,0)∪[1,+∞)2.已知i是虚数单位,若a+b i=(a,b∈R),则a+b的值是()A.0B.-iC.-D.3.已知p:a<0,q:a2>a,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为BD1的中点,则△P AC在该正方体各个面上的射影可能是()A.①④B.②③C.②④D.①②5.已知双曲线=1(a>0,b>0)与椭圆=1的焦点相同,若过右焦点F,且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个不同的交点,则此双曲线的实半轴长的取值范围是()A.(2,4)B.(2,4]C.[2,4)D.(2,+∞)6.若数列{a n}满足=d(n∈N*,d为常数),则称数列{a n}为调和数列.已知数列为调和数列,且x1+x2+…+x20=200,则x5+x16=()A.10B.20C.30D.407.已知实数x,y满足约束条件则x2+y2+2x的最小值是()A. B.-1 C. D.18.执行如图所示的程序框图,输出的S的值是()A.2B.-C.-3D.9.已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中0<φ<2π,若f(x)≤对任意的x∈R恒成立,且f>f(π),则φ等于()A. B. C. D.10.一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个,每次从中取出一个,记下颜色后放回,当三种颜色的球全部取出时停止取球,则恰好取5次球时停止取球的概率为()A.B.C.D.11.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为()A. B. C. D.212.定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,且对任意的x∈R,都有f'(x)<,则不等式f(log2x)>的解集为()A.(1,+∞)B.(0,1)C.(0,2)D.(2,+∞)第Ⅱ卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(1-)6的展开式中含x的项的系数是.14.已知等比数列{a n}为递增数列,a1=-2,且3(a n+a n+2)=10a n+1,则公比q=.15.如图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,P是以A为圆心,AB为半径的圆弧上的任意一点.设向量=λ+μ,则λ+μ的最小值为.16.定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=则关于x的函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为.(用含有a的式子表示)三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin.(1)求cos C的值;(2)若△ABC的面积为,且sin2A+sin2B=sin2C,求a,b及c的值.18.(本小题满分12分)某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行了民意调查,下表是在某单位得到的数据(人数):赞反合(1)能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为对这一问题的看法与性别有关?(2)进一步调查:①从赞同“男女延迟退休”的16人中选出3人进行陈述发言,求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率;②从反对“男女延迟退休”的9人中选出3人进行座谈,设参加调查的女士人数为X,求X的分布列和均值.附:K2=,其中n=a+b+c+d.19.(本小题满分12分)如图,在几何体ABCDEF中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,四边形ACFE为矩形,FB=,M,N分别为EF,AB的中点.(1)求证:MN∥平面FCB;(2)若直线AF与平面FCB所成的角为30°,求平面MAB与平面FCB所成角的余弦值.20.(本小题满分12分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点B(0,)为短轴的一个端点,∠OF2B=60°.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,过右焦点F2,且斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于D,E两点,A为椭圆的右顶点,直线AE,AD分别交直线x=3于点M,N,线段MN的中点为P,记直线PF2的斜率为k'.试问k·k'是否为定值?若为定值,求出该定值;若不为定值,请说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x--a ln x(a∈R).(1)讨论f(x)的单调区间;(2)设g(x)=f(x)+2a ln x,且g(x)有两个极值点为x1,x2,其中x1∈(0,e],求g(x1)-g(x2)的最小值.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程极坐标系与平面直角坐标系xOy有相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴.已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin,曲线C2的极坐标方程为ρsin θ=a(a>0),射线θ=φ,θ=φ+,θ=φ-,θ=+φ与曲线C1分别交于四点A,B,C,D.(1)若曲线C1关于曲线C2对称,求a的值,并把曲线C1和C2化成直角坐标方程;(2)求|OA|·|OC|+|OB|·|OD|的值.23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-a|.(1)若f(x)≤m的解集为[-1,5],求实数a,m的值;(2)当a=2,且0≤t<2时,解关于x的不等式f(x)+t≥f(x+2).参考答案2018高考仿真卷·理科数学(一)1.D解析因为∁U A={x|x>2或x<0},B={y|1≤y≤3},所以(∁U A)∪B=(-∞,0)∪[1,+∞).2.D解析因为a+b i=,所以a=,b=0.所以a+b=3.B解析因为p:a≥0,q:0≤a≤1,所以p是q的必要不充分条件.4.A解析由题图中的正方体可知,△P AC在该正方体上、下面上的射影是①,△P AC在该正方体左、右面上的射影是④,△P AC在该正方体前、后面上的射影是④,故①④符合题意.5.A解析因为双曲线=1(a>0,b>0)与椭圆=1的焦点相同,所以双曲线的半焦距c=4.因为过右焦点F,且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个不同的交点,所以双曲线的其中一条渐近线方程的斜率小于直线的斜率,即<tan 60°,即b<a.又因为c2=a2+b2,所以c2-a2<3a2,整理得c<2a.所以a>2.又因为a<c=4,所以双曲线的实半轴长的取值范围是(2,4).6.B解析∵数列为调和数列,=x n+1-x n=d.∴{x n}是等差数列.又x1+x2+…+x20=200=,∴x1+x20=20.又x1+x20=x5+x16,∴x5+x16=20.7.D解析约束条件所表示的平面区域如图中阴影部分所示.因为x2+y2+2x=(x+1)2+y2-1,所以x2+y2+2x表示点(-1,0)到可行域内一点距离的平方减1.由图可知,当x=0,y=1时,x2+y2+2x取得最小值1.8.A解析由题中的程序框图可知,S=2,i=1;S==-3,i=2;S==-,i=3;S=,i=4;S==2,i=5;S==-3,i=6;……可知S的值以4为周期循环出现.当i=2 017=4×504+1时,结束循环,输出S,即输出的S=2.9.C解析若f(x)对任意的x∈R恒成立,则f为函数f(x)的最大值或最小值,即2+φ=kπ+,k∈Z.则φ=kπ+,k∈Z.又因为f>f(π),所以sin φ<0.又因为0<φ<2π,所以只有当k=1时,φ=才满足条件.10.B解析由题意可知有两种情况,3,1,1(表示一种颜色的球有3个,另外两种颜色的球各1个)及2,2,1(表示两种颜色的球各2个,另外一种颜色的球1个),且这两种情况是互斥的,下面计算每一种情况的概率.当取球情况是3,1,1时,试验发生包含的总的基本事件数是35,满足条件的基本事件数是,故这种结果发生的概率是;当取球情况是2,2,1时,同理求得这种结果的概率是根据互斥事件的概率公式可知所求的概率为11.C解析设直线AB的倾斜角为θ(0<θ<π),|BF|=m.∵|AF|=3,∴点A到准线l:x=-1的距离为3.∴2+3cos θ=3,即cos θ=∴sin θ=∵|BF|=m,∴m=2+m cos(π-θ),即m=∴△AOB的面积为S=|OF|·|AB|·sin θ=112.C解析设g(x)=f(x)-x.∵f'(x)<,∴g'(x)=f'(x)-<0.∴g(x)在R上为减函数.又f(1)=1,f(log2x)>=log2x+,∴g(log2x)=f(log2x)-log2x>log2x+log2x=又g(1)=f(1)-=1-,∴g(log2x)>g(1),即log2x<1.∴0<x<2.13.31解析因为(1-)6的展开式中的第r+1项为T r+1=16-r=(-1)r,所以当r=4时,T5=(-1)4x2=15x2;当r=0时,T1=(-1)0x0=1.所以(1-)6的展开式中含x的项的系数为2×15+1=31.14解析因为等比数列{a n}为递增数列,且a1=-2<0,所以公比0<q<1.又因为3(a n+a n+2)=10a n+1,所以3(1+q2)=10q,即3q2-10q+3=0,解得q=3或q=又因为0<q<1,所以q= 15解析以A为原点,以AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.设正方形ABCD的边长为1,P(cos θ,sin θ),其中可知E,C(1,1),D(0,1),A(0,0),故=(1,1),=(cos θ,sin θ).因为=+,所以+μ(cos θ,sin θ)==(1,1).所以所以令f(θ)=λ+μ==-1+,可知f'(θ)=>0.故y=f(θ)在上是增函数.因此,当θ=0时,λ+μ取得最小值为16.1-3a解析因为f(x)是R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=所以可画出f(x)的图象如图所示.因为函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的零点即为函数y=f(x)与y=a(0<a<1)的图象的交点的横坐标,所以函数F(x)=f(x)-a有5个零点,从左到右依次设为x1,x2,x3,x4,x5.因为函数f(x)为奇函数,所以结合图象可得x1+x2=-8,x4+x5=8.当-2≤x<0时,则0<-x≤2.所以f(-x)=lo(-x+1)=-log3(1-x).所以f(x)=log3(1-x),其中-2≤x<0.由f(x)=log3(1-x)=a,解得x=1-3a,即x3=1-3a.所以函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为x1+x2+x3+x4+x5=1-3a.17.解(1)因为sin,所以cos C=1-2sin2=-(2)因为sin2A+sin2B=sin2C,所以a2+b2=c2.①由余弦定理得a2+b2=c2+2ab cos C,将cos C=-及①代入上式得ab=c2.②由S△ABC=及sin C=,得ab=6.③由①②③得经检验都满足题意.所以18.解(1)由题意可知,K2=2.932>2.706,故在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为对这一问题的看法与性别有关.(2)①设“男士和女士各至少有1人发言”为事件A,则所求概率为P(A)=;②根据题意可知X服从超几何分布,故P(X=k)=,k=0,1,2,3,因此,X的分布列为X的均值为E(X)=0+1+2+3=1.19.(1)证明取BC的中点Q,连接NQ,FQ,则NQ=AC,NQ∥AC.又MF=AC,MF∥AC,∴MF=NQ,MF∥NQ,∴四边形MNQF为平行四边形.∴MN∥FQ.∵FQ⊂平面FCB,MN⊄平面FCB,∴MN∥平面FCB.(2)解由AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,可得∠ACB=90°,AC=,AB=2.∵四边形ACFE为矩形,∴AC⊥CF.又AC⊥BC,∴AC⊥平面FCB.∵直线AF与平面FCB所成的角为30°,∴∠AFC=30°,∴FC=3.∵FB=,∴FC⊥BC.∴可建立如图所示的空间直角坐标系.∴A(,0,0),B(0,1,0),M设平面MAB的法向量m,则可得出平面MAB的一个法向量m=(2,6,1).又n=(,0,0)为平面FCB的一个法向量,∴cos<m,n>=平面MAB与平面FCB所成角的余弦值为20.(1)解由题意可知a=2,b=,故所求椭圆方程为=1.(2)证明设过点F2(1,0)的直线l的方程为y=k(x-1).由可得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.因为点F2(1,0)在椭圆内,所以直线l和椭圆相交,即Δ>0恒成立.设点E(x1,y1),D(x2,y2),可得x1+x2=,x1x2=因为直线AE的方程为y=(x-2),直线AD的方程为y=(x-2),令x=3,可得M,N,所以点P的坐标为所以直线PF2的斜率为k'=====-,所以k·k'为定值-21.解(1)由题意可知f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1+令f'(x)=0,得x2-ax+1=0.①当-2≤a≤2时,Δ=a2-4≤0,此时,f'(x)≥0恒成立,所以f(x)在定义域(0,+∞)内单调递增;②当a<-2时,Δ=a2-4>0,但x2-ax+1=0的两根x1,x2均为负数,此时,f'(x)>0在(0,+∞)内恒成立,所以f(x)在定义域(0,+∞)内单调递增;③当a>2时,Δ=a2-4>0,解得x2-ax+1=0的两根为x1=,x2=,当x时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x时,f'(x)>0,f(x)单调递增.综上可得,当a≤2时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间;当a>2时,f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为(2)由题意可知,g(x)=x-+a ln x,定义域为(0,+∞),则g'(x)=1+令g'(x)=0,得x2+ax+1=0,其两根为x1,x2,且所以x2=,a=-所以a<0.所以g(x1)-g(x2)=g(x1)-g=x1-+a ln x1-=2+2a ln x1=2-2ln x1.设h(x)=2-2ln x,x∈(0,e],可知[g(x1)-g(x2)]min=h(x)min.因为h'(x)=2-2,所以当x∈(0,e]时,恒有h'(x)≤0.所以h(x)在(0,e]上单调递减.所以h(x)min=h(e)=-,所以[g(x1)-g(x2)]min=-22.解(1)因为C1的极坐标方程为ρ=2sin=2sin θ+2cos θ,所以C1的直角坐标方程为x2+y2=2y+2x,化为标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.由题意可知曲线C2的直角坐标方程为y=a.因为曲线C1关于曲线C2对称,所以a=1,所以曲线C2的直角坐标方程为y=1.(2)因为|OA|=2sin,|OB|=2sin=2cos φ,|OC|=2sin φ,|OD|=2sin=2cos,所以|OA|·|OC|+|OB|·|OD|=2sin2sin φ+2cos φ·2cos=8cos=8=423.解(1)因为|x-a|≤m,所以a-m≤x≤a+m.又因为f(x)≤m的解集为[-1,5],所以解得(2)当a=2时,f(x)+t≥f (x+2)等价于|x-2|+t≥|x|.当x≥2时,不等式转化为x-2+t≥x,解得t≥2,与0≤t<2矛盾,故舍去;当0≤x<2时,不等式转化为2-x+t≥x,解得0≤x;当x<0时,不等式转化为2-x+t≥-x,解得t≥-2,符合题意.所以原不等式解集是。

2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(一)本试卷分必考和选考两部分．必考部分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1．已知复数z =2i1i+ (i 为虚数单位)，则z·z =A B ．2 C ．1 D ．122．已知集合A ={x ∈Z |y ，B ={a ，1}，若A ∩B =B ，则实数a 的值为A ．2B ．3C ．1或2或3D ．2或3 3．已知向量a ，b ，c 满足|a |=1，c =a +b ，c ⊥a ，则a ·b =A ．−2B ．−1C ．1D ．24．秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，如图所示的程序框图表示用秦九韶算法求5次多项式()f x =5432543210a x a x a x a x a x a +++++当0x x =(0x 是任意实数)时的值的过程，若输入0a =2，1a =−5，2a =6，3a =−4，4a =7，5a =2，03x =，则输出的v 的值为A ．984B ．985C ．986D ．9875．若直线y kx =与圆22(2)1x y -+=的两个交点关于直线2x +y +b =0对称，则点(k ，b )所在的圆为A ．(x −12)2+(y +5)2=1 B ．(x −12)2+(y −5)2=1C ．(x +12)2+(y −5)2=1 D ．(x +12)2+(y +5)2=1 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．8π+2B ．8π+4C ．7π+4D ．8π7．已知命题p ：“a =2”是“直线1l ：ax +2y −6=0与直线2l ：x +(a −1)y +a 2−1=0平行”的充要条件，命题q ：“∀n ∈N*，()f n ∈N*且()f n >2n ”的否定是“∃0n ∈N*，0()f n ∉N*且0()f n ≤20n ”，则下列命题为真命题的是A ．p ∧qB ．(¬p )∧qC ．p ∧(¬q )D ．(¬p )∧(¬q )8．已知实数x ，y 满足约束条件40431208240x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩≥≥≤，则21y x -+的最大值是A ．56 B ．65C ．1D ．2 9．已知a ，b ，l 表示空间中三条不同的直线，α，β，γ表示空间中三个不同的平面，则下列四个命题中正确的命题序号为①若a ⊥α，b ⊥β，l ⊥γ，a ∥b ∥l ，则α∥β∥γ； ②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β=l ，则l ⊥γ；③若a ⊂α，b ⊂β，α∩β=a ，l ⊥a ，l ⊥b ，则l ⊥β；④若a ，b 为异面直线，a ⊥α，b ⊥β，l ⊥a ，l ⊥b ，l ⊄α，l ⊄β，则α与β相交，且交线平行于l ． A ．①②④ B ．①②③ C ．②③④ D ．①③④ 10．已知函数()f x =sin()A x ωϕ+(A >0，ω>0， |ϕ|<2π)的导函数()f x '的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向右平移12π个单位长度后所得图象对应的函数的单调递增区间是A ．[−12π+k π，512π+k π](k ∈Z) B ．[512π+k π，1112π+k π](k ∈Z)C ．[−12π+2k π，512π+2k π](k ∈Z) D ．[512π+2k π，1112π+2k π](k ∈Z)11．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且2m a =1m a -+1m a +(m ∈N*，m ≥2)，若(2a −2)5+2017(2a −2)3+2018(2a −2)=2018， (2017a −2)5+2017(2017a −2)3+2018(2017a −2)=−2018， 则下列四个命题中真命题的序号为①2017S =4034；②2018S =4036；③2017S <2S ；④2017a −2a <0． A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．①④12．已知函数()f x =1,01,0ex m x ex m x --⎧-+>⎪⎨-+≤⎪⎩有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为A ．(1+1) B ．(1，1e+1) C ．，1) D ．(0二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若()f x =(21)221x x a +-+是R 上的奇函数，则实数a 的值为 ．14．已知cos(2π+α)=2cos(π−α)，则2sin()cos()3sin()cos()22απαππαα--+-+-= ．15．某校2017年元旦晚会对2个相声和5个小品安排演出顺序，若第一个节目只能排相声甲或相声乙，最后一个节目不能排相声甲，则不同的排法有 种．16．已知双曲线22221x y a b -= (a >0，b >0)的左、右焦点分别为1F ，2F ，倾斜角为2π的直线l 过2F 且与双曲线交于M ，N 两点，且1F MN ∆是等边三角形，则双曲线的渐近线方程为 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)设数列{n a }的前n 项和为n S ，满足3S =9，n S =n 1n a +−n (n +1)，n ∈N *． (1)求数列{n a }的通项公式；(2)记n b =n a ×1na +，求数列{nb }的前n 项和n T ．18．(本小题满分12分)某中学高三年级共有学生1 000人，将某次模拟考试的数学成绩(满分150分，所有成绩均不低于70分)按[70，80)，[80，90)，…，[140，150]分成8组，并制成如图所示的频率分布直方图．(1)求x 的值；(2)试估计本次模拟考试数学成绩在[130，150]内的学生人数；(3)为了研究低分学生的失分情况，3位教师分别在自己电脑上从成绩在[80，100)内的试卷中随机抽取1份进行分析，每人抽到的试卷是相互独立的，ξ为抽到的成绩在[90，100)内的试卷数，写出ξ的分布列，并求数学期望． 19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P −ABCD 中，E 是棱PC 上一点，且2AE AC AP =+，底面ABCD 是边长为2的正方形，∆P AD 为正三角形，且平面P AD ⊥平面ABCD ，平面ABE 与棱PD 交于点F ．(1)求证：平面ABE ⊥平面PCD ； (2)求二面角A −BE −C 的余弦值． 20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：22221x y a b +=(a >b >0)的离心率e =12，抛物线E ：24y x =的焦点恰好是椭圆C 的右焦点F ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点F 作两条斜率都存在的直线1l ，2l ，1l 交椭圆C 于点A ，B ，2l 交椭圆C 于点G ，H ，若|AF |是|AH |−|FH |与|AH |+|FH |的等比中项，求|AF |·|FB |+|GF |·|FH |的最小值． 21．(本小题满分12分)已知函数()f x =ln x +2a 2x −(a +1)x ． (1)判断()f x 的单调性；(2)若函数()g x =()f x +x 有两个极值点1x ，2x (1x <2x )， 求证：g (1x )−g (2x )<2a−ln a ． 选考部分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4─4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1cos 2sin 2x t y t αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (t 为参数，0<α<2π)，以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ--=． (1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求|AB |的最小值． 23．(本小题满分10分)选修4─5：不等式选讲已知函数()|1|2|2|f x x x =++-． (1)解不等式()4f x ≥；(2)设()f x 的最小值为M ，如果正实数a ，b 满足a +b =M ，试求24a b+的最小值．2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(一)答案1．B 【解析】通解 z =2i 1i +=2i(1i)(1i)(1i)-+-=1+i ，z =1−i ，z·z =2，故选B ．优解 由题意知|z|=|2i ||1i |+，利用性质z·z =|z|2，得z·z =2，故选B ．2．D 【解析】由题意知，A ={x ∈Z |y }={1，2，3}，且B ={a ，1}，由A ∩B =B ，知B ⊆A ，则实数a 的值为2或3，故选D ．3．B 【解析】由c ⊥a 得c ·a =0，又c =a +b ，∴c ·a =(a +b )·a =a 2+a ·b =1+a ·b =0，∴a ·b =−1，故选B ．4．C 【解析】执行程序框图，输入0a =2，1a =−5，2a =6，3a =−4，4a =7，5a =2，03x =，经过第1次循环得v =13，n =2；经过第2次循环得v =35，n =3；经过第3次循环得v =111，n =4；经过第4次循环得v =328，n =5；经过第5次循环得v =986，n =6，退出循环．故输出的v 的值为986．故选C ． 5．A 【解析】由题意知直线y =kx 与直线2x +y +b =0互相垂直，所以k =12．又圆上两点关于直线2x +y +b =0对称，故直线2x +y +b =0过圆心(2，0)，所以b =−4，结合选项可知，点(12，−4)在圆(x −12)2+(y +5)2=1上，故选A ．6．B 【解析】依题意，该几何体是底面直径为2，高为4的圆柱截去一个底面直径为2，高为2的半圆柱后所得到的几何体，其表面积为2π×1×2+π×1×2+2×2+2×π×12= 8π+ 4，故选B ．7．D 【解析】由1l ∥2l 得a (a −1)=2，解得a =2或a =−1，故“a =2”是“直线 1l ：ax +2y −6=0与直线2l ：x +(a −1) y +a 2−1=0平行”的充分不必要条件，则p 是假命题，¬p 是真命题；“∀n ∈N*，()f n ∈N*且()f n >2n ”的否定是“∃0n ∈N*，0()f n ∉N*或0()f n ≤20n ”，故q 是假命题，¬q 是真命题．所以p ∧q ，(¬p )∧q ，p ∧(¬q )均为假命题，(¬p )∧(¬q )为真命题，选D ．8．D 【解析】作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，其中A (0，4)，B (3，0)， C (4，8)．令k =21y x -+，k 的几何意义是可行域内的点M (x ，y )与定点P (−1，2)连线的斜率，故当直线y −2=k (x +1)过点A (0，4)时，k max =4201-+=2，故选D ．9．A 【解析】对于①，a ，b ，l 就相当于平面α，β，γ的法线，因为a ∥b ∥l ，所以α∥β∥γ，所以①正确；显然②是正确的；对于③，若a ∥b ，由线面垂直的判定定理可知，直线l 不一定垂直于β，只有当a 与b 相交时，l ⊥β，所以③不正确；对于④，由a ⊥α，l ⊥a ，且l ⊄α，得l ∥α．又b ⊥β，l ⊥b ，l ⊄β，所以l ∥β．由直线a ，b 为异面直线，且a ⊥α，b ⊥β，得α与β相交，否则a ∥b ，与a ，b 异面矛盾，故α与β相交，且交线平行于l ，所以④正确．10．A 【解析】∵()f x =sin()A x ωϕ+，∴()f x '=cos()A x ωωϕ+，由题图知，()f x '的最小正周期为π， ∴ω=2，又A ω=1，∴A =12，又()3f π'=0，∴cos(2×3π+ϕ)=0，∴2×3π+ϕ=2π+k π，k ∈Z ， 又|ϕ|<2π，∴ϕ=−6π，因此()f x =12sin(2x −6π)．将函数()f x =12sin(2x −6π)的图象向右平移12π个单位长度后所得图象对应的函数为y=12sin(2x −3π)，由−2π+2k π2x −3π2π+2k π(k ∈Z)，解得−12π+k πx 512π+k π(k ∈Z)，∴函数y=12sin(2x −3π)的单调递增区间为[−12π+k π，512π+k π](k ∈Z)，故选A ．11．C 【解析】构造函数()f x =5x +2 0173x +2 018x ，∵()f x 为奇函数且单调递增，依题意有2(2)f a -=2 018，2017(2)f a -=−2 018，∴(2a −2)+(2017a − 2)=0， ∴2a +2017a =4．又2m a =1m a -+1m a +(m ∈N*，m ≥2)，∴数列{}n a 为等差数列，且公差d ≠0，∴1a +2018a =2a +2017a =4， 则2018S =120182018()2a a +=4036，②正确；∵公差d ≠0，故2017a ≠2018a ，2017S =120172017()2a a +≠4034，①错误；由题意知2a >2，2017a <2，∴d <0，2017S =2018S −2018a =4036−(4−1a )=4032+1a ，2S =1a +2a ，若2017S <2S ，则2a >4032，而此时(2a −2)5+2017(2a −2)3+2018(2a −2)=2018不成立，因此③错误；∵2a >2，2017a <2，∴2017a −2a <0，④正确．故选C ．12．A 【解析】函数()f x=1,01,0em x em x --⎧+>⎪⎨+≤⎪⎩有三个不同的零点等价于方程()f x =0有三个不同的实根，当x ≤0时，()f x =xe-−m +1，设()g x =xe-x ≤0，则()g x =x e-为减函数，()g x min =g (0)=0；当x >0时，()f x =xe-m +1，设()h x =xe-，x >0，则()h x '， 当x >12时，()h x '<0，当0<x <12时，()h x '>0，故()h x 在(0，12)上单调递增，在(12，+∞)上单调递减，所以()h x 极大值=h (122e ．分别画出()g x =xe -x -x ≤0)与()h x =x e -x (x >0)的大致图象如图所示，由题意得0<m −，即1<m，故选A ．13．1【解析】∵函数()f x 是R 上的奇函数，∴(0)f =0，∴222a -=0，解得a =1． 14．3【解析】通解 由cos(2π+α)=2cos(π−α)得sin α=2cos α，又cos 2α+sin 2α=1，所以sin cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则2sin()cos()3sin()cos()22απαππαα--+-+-=2sin cos cos sin αααα-+-=3．优解 由cos(2π+α)=2cos(π−α)得sin α=2cos α，所以2sin()cos()3sin()cos()22απαππαα--+-+-=2sin cos cos sin αααα-+-=3cos cos αα--=3．15．1 320【解析】若第一个节目排相声甲，有66A =720种排法；若第一个节目排相声乙，最后一个节目不能排相声甲，有1555A A =600种排法．根据加法计数原理可得共有720+600=1 320种排法． 16．y =【解析】由题意知，2F (c ，0)，cM (c ，M y )，由2222M y c a b -=1得2M y =2b ×(22c a −1)=42b a ，|M y |=2b a．因为1F MN ∆是等边三角形，所以2c =3|M y |，即222b c a ac ac -==，即223c a --=0，得3c a =2c =32a ，又2a +2b =2c ，所以2b =22a ，双曲线的渐近线方程为by x a=±，故双曲线的渐近线方程为y =． 17．【解析】(1)由题意得，121231232269S a a a a a a a =-⎧⎪+=-⎨⎪++=⎩，解得1a =1，2a =3，3a =5，（1分）当n ≥2时，1n S -=(n −1)n a −(n −1)n ， 所以n a =n 1n a +−n (n +1)−(n −1)n a +(n −1)n ， 即1n a +−n a =2．（3分）又2a −1a =2，因而数列{n a }是首项为1，公差为2的等差数列， 从而n a =2n −1． （5分） (2)由(1)知n b =n a ×)1n a +=(2n −1)×2n，n T =1×21+3×22+5×23+…+(2n −3)×12n -+(2n −1)×2n ，2n T =1×22+3×23+5×24+…+(2n −3)×2n +(2n − 1)×12n +． 两式相减得−n T =1×21+ 2×22+ 2×23+…+2×2n −(2n −1)×12n +=−2+2×(21+22+23+…+2n )−(2n − 1)×12n +=−2+2×2(12)12n ⨯--−(2n −1)×12n +=−2+22n +−4−(2n −1)×12n +=−6−(2n −3)×12n +． 所以n T =6+(2n −3)×12n +．（12分）【备注】高考对数列的考查难度不大，以基本题型为主，常常围绕等差数列、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式等进行设置，而求和类型以错位相减法、裂项相消法为考查热点，数列的递推关系以及n S 与n a 的关系(即11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩)更是常考常新，对考生分析与转化能力有较高的要求，对于基本运算能力的要求更为突出．18．【解析】(1)由(0.002+ 0.005+0.008+2x + 2×0.02+0.025)×10=1，得x =0.01．（2分）(2)由(1)得成绩在[130，150]内的频率为(0.01+0.008)×10=0.18，估计本次模拟考试数学成绩在[130，150]内的学生人数为1 000×0.18=180． （6分）(3)由图得成绩在[80，100)内的试卷数为1 000×(0.01+0.005)×10=150，其中成绩在[80，90)内的试卷数为50，成绩在[90，100)内的试卷数为100，从中任取1份试卷，则成绩在[80，90)内的概率为5011503=，成绩在[90，100)内的概率为10021503=．（8分） 由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，故P(ξ=0)=03C ×02()3×31()3=127，P(ξ=1)=13C ×23×21()3=29，P(ξ=2)=23C ×22()3×13=49，P(ξ=3)=33C ×32()3×01()3=827．（10分）所以ξ的分布列为由于ξ~B (3，23)，所以Eξ=3×3=2．（12分） 【备注】高考对概率与统计的考查常以对立事件、互斥事件、相互独立事件等知识为载体，综合考查事件发生的概率及离散型随机变量的分布列与数学期望，有时也与抽样方法(系统抽样、分层抽样)、频率分布直方图等知识结合构成综合性问题来考查．求解时要分清事件的类型以及事件之间的关系，正确选用公式． 19．【解析】(1)在正方形ABCD 中，CD ⊥AD ，又平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD =AD ，∴CD ⊥平面P AD ．又AF ⊂平面P AD ，∴CD ⊥AF ．（2分） ∵底面ABCD 是正方形，∴AB ∥CD ，又AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴AB ∥平面PCD ． 又A ，B ，E ，F 四点共面，且平面ABEF ∩平面PCD =EF ， ∴AB ∥EF ，∴CD ∥EF ．又2AE AC AP =+，∴E 为棱PC 的中点，F 是棱PD 的中点． ∵△P AD 是正三角形，∴AF ⊥PD ．又PD ，CD ⊂平面PCD ，PD ∩CD =D ，∴AF ⊥平面PCD ， ∵AF ⊂平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面PCD ．（5分）(2)取AD 的中点O ，以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，则A (1，0，0)，B (1，2，0)，C (−1，2，0)，P (0，0，E (−12，1，AE =(−32，1，BE =(−32，−1，CB =(2，0，0)．（7分） 设平面ABE 的法向量为m =(1x ，1y ，1z )，则m ⊥AE ，m ⊥BE ，∴m ·AE =−321x +1y 1z =0，m ·BE =−321x −1y1z =0，解得1y =0，1z1x ，令1x =1，则m =(1，0为平面ABE 的一个法向量．（9分） 设平面BEC 的法向量为n =(2x ，2y ，2z )，则n ⊥BE ，n ⊥CB ， ∴n ·BE =−322x −2y+22z =0，n ·CB =22x =0，得2x =0，2y=22z ， 令2z =2，则n =(02)为平面BEC 的一个法向量．（11分） ∴cos<m ，n>=||||7⋅=m n m n ， 由图知二面角A −BE −C 为钝角， ∴二面角A −BE −C 的余弦值为−7．（12分） 20．【解析】(1)依题意得椭圆C 的右焦点F 的坐标为(1，0)，即c =1，又e =c a =12，∴a =2，2b =3， 故椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（3分） (2)∵|AF |是|AH |−|FH |与|AH |+|FH |的等比中项，∴|AF |2=|AH |2−|FH |2，即|AF |2+|FH |2=|AH |2，∴直线1l ⊥2l ．（5分） 又直线1l ，2l 的斜率均存在，∴两直线的斜率都不为零， 故可设直线1l ：x =ky +1(k ≠0)，直线2l ：x =−1ky +1，A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，G (3x ，3y )，H (4x ，4y )， 由221431x y x ky ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x ，得(32k +4)2y +6ky −9=0， ∴122122634934k y y k y y k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，同理得3422342634934k y y k k y y k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，（8分） ∴|AF |·|FB2k )|12y y |，|GF |·|FH|=21k)|34y y |， ∴|AF |·|FB |+|GF |·|FH |=(1+2k )|12y y |+(1+21k )|34y y | =(1+2k )·2934k ++(1+21k)·22934k k +=9(1+2k )·(2134k ++2134k+) =2222222263(1)6312(1)12(1)k k k kk +=++++=226311212k k+++， 又2k >0，∴2k +21k≥2，当且仅当2k =1时取等号，（11分） 故|AF |·|FB |+|GF |·|FH |的最小值为367．（12分）【备注】解决此类问题的一般步骤：(1)利用定义、各基本量之间的关系与圆锥曲线的性质，得到关于基本量的方程(组)，解方程(组)，求出基本量的值，从而得到圆锥曲线的方程；(2)对于直线与圆锥曲线的位置关系问题，联立直线方程与圆锥曲线的方程，利用根与系数的关系求解． 21．【解析】(1)由已知得()f x 的定义域为(0，+∞)，()f x '=1x+ax −(a +1)=2(1)1ax a x x -++． 当a =0时，()f x '=1x x-+，当x ∈(0，1)时，()f x '>0，()f x 单调递增， 当x ∈(1，+∞)时，()f x '<0，()f x 单调递减． 当a <0时，由()f x '=(1)(1)ax x x --=0，得x =1或x =1a<0，因而当x ∈(0，1)时， ()f x '>0，()f x 单调递增， 当x ∈(1，+∞)时，()f x '<0，()f x 单调递减．（3分）当0<a <1时，由()f x '=(1)(1)ax x x --=0，得x =1或x =1a >1，因而当x ∈(0，1)与x ∈(1a，+∞)时， ()f x '>0，()f x 单调递增，当x ∈(1，1a)时，()f x '<0，()f x 单调递减．（5分）当a =1时，()f x '=2(1)x x-≥0，因而当x ∈(0，+∞)时，()f x 单调递增．当a >1时，由()f x '=(1)(1)ax x x --=0，得x =1或x =1a<1，因而当x ∈(0，1a)与x ∈(1，+∞)时， ()f x '>0，()f x 单调递增， 当x ∈(1a，1)时，()f x '<0，()f x 单调递减．（7分） 综上所述，当a ≤0时，()f x 在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减； 当0<a <1时，()f x 在(0，1)与(1a ，+∞)上单调递增，在(1，1a)上单调递减； 当a =1时，()f x 在(0，+∞)上单调递增；当a >1时，()f x 在(0，1a )与(1，+∞)上单调递增，在(1a ，1)上单调递减． (2)()g x = ()f x +x =ln x +2a 2x −ax ，则()g x 的定义域为(0，+∞)，()g x '=1x+ax −a =21ax ax x -+． 若()g x 有两个极值点1x ，2x (1x <2x )， 则方程a 2x −ax +1=0的判别式Δ=2a −4a >0， 且1x +2x =1，1x 2x =1a>0，（8分） 因而a >4，又1x <2x ，∴21x <1x 2x =1a ，即0<1x g (1x )−g (2x )=ln 1x +212a x −a 1x −ln 2x −222a x +a 2x =ln 1x +ln(a 1x )+2a−a 1x ．（10分） 设()h t =ln t +ln(at )+2a−at ，其中t =1x ∈(0，由()h t '=2t −a =0得t =2a ，由于2a 2a <0，∴()h t 在(0，2a )上单调递增，在(2a 上单调递减， 即()h t 的最大值为h (2a )=2ln 2−ln a +2a −2<2a−ln a ， 从而g (1x )−g (2x )<2a−ln a 成立． （12分）22．【解析】(1)将1cos 2sin x t y t αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数，0<α<2π)消去参数t ，得直线l 的普通方程为y−2=(x −12)tanα，即x tan α−y −12tan αα<2π)．将cos sin x y ρθθ=⎧⎨=⎩代入22cos 30ρρθ--=，得22230x y x +--=， 即曲线C 的直角坐标方程为22(1)4x y -+=．（5分）(2)设直线l 的普通方程为yk (x −12)，其中k =tan α， 又0<α<2π，∴k >0， 则直线l 过定点M (12，∵圆C 的圆心C (1，0)，半径r =2，|CM 2213(1)(0)22-+-， 故点M 在圆C 的内部．当直线l 与线段CM 垂直时，|AB |取得最小值，∴|AB |min =2|AM（10分）23．【解析】(1)由题意()|1|2|2|f x x x =++-4，当x −1时，−3x +34，即x −13，所以x −1； 当−1<x <2时，−x +54，即x 1，所以−1<x 1； 当x 2时，3x −34，即x 73，所以x 73． 综上，不等式()f x 4的解集为{x |x 1或x 73}．（5分）(2)()f x =33,15,1233,2x x x x x x -+-⎧⎪-+-<<⎨⎪-⎩≤≥，画出函数()f x 的图象如图所示，由图可知，当x =2时，()f x 取得最小值3，所以M =3，a +b =3．又a >0，b >0，所以24a b +=(24a b +)·3a b +=2+23b a +43ab ，当且仅当a −3，b 时，等号成立，所以24a b+的最小值为．（10分）。