认识三角形最新版(培优)

浙教版八年级上培优(1) 认识三角形浙教版八年级上培优(1)--认识三角形教育个性化咨询学习计划授课日期：2021年月日学生年级的学科老师给八年级的学科老师发了一条信息。

邵先生在数学教学期间就知道这个三角形，道路崎岖不平，无法阻挡前进的步伐；一路努力，倾注着胜利的信心！教学内容一、知识要点1.三角形的定义2.三角形按边分类：按角度：3.三角形的三边关系4.三角形角度之间的关系5.三角形的三条线和两条线。

例1有四条线段，长度分别为4cm、8cm、10cm和12cm。

选择其中三个形成三角形。

可以形成多少个三角形？例2.认真阅读，并回答下面问题：如图，ad为△abc的中线，s△abd与s△adc相等吗？(友情提示：s△表示三角形面积)解：过a点作bc边上的高h，∵ad为△abc的中线∴bd=dc∵s△abd=11bd?h,s△adc=dc?h22∴s△abd=s△adc(1)用一句简洁的文字表示上面这段内容的结论：_____(2)利用上面所得的结论，用不同的割法分别把下面两个三角形面积4等分，(只要割线不同就算一种)(3)已知：ad为△abc的中线，点e为ad边上的中点，若△abc的面积为20，bd=4，求点e到bc边的距离为多少？例3如图所示，∠ AOB=90°，c点和D点分别位于射线OA和ob上，CE是射线的平分线∠ ACD，CE的反向扩展与∠cdo的平分线交于点f．（1）什么时候∠ OCD=50°（图1），试着找到∠ F（2）当c、d在射线oa、ob上任意移动时（不与点o重合）（图2），∠f的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠f．已知示例4：如图1所示，线段AB和CD在点O处相交，并连接AD和CB。

我们将图1中的数字称为“图8”解答下列问题：（1）在图1中，请写下∠ A.∠ B∠ C和∠ D直接（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：（3）在图2中，如果∠ d=40°，∠ B=36°，∠ 轻拍∠ BCD分别与m和N相交，试图找到∠ P利用（1）的结论；ap和cp相交于点p，并且与cd、（4）（4）如果∠ D和∠ 图2中的B是任意角度，其他条件不变，两者之间的定量关系是什么∠ P和∠ D和∠ （直接写下结论）例5..如图①,△abc中，dc,bd分别是∠acb和∠abc的平分线，且∠a=α(1)、用含α的代数式表示∠cdb;(2)、若图②中dc为∠acb的外角的平分线，怎样用含α的代数式表示∠cdb?(3)、若把图①中“dc,db分别是∠acb和∠abc的平分线”改成“dc,bd分别是∠acb和∠abc的外角的平分线”，(如图③),怎样用含α的代数式别是∠cdb?知识巩固1.在△abc中，∠a:∠b:∠c=1：2：3，则△abc是（）a.钝角三角形b.锐角三角形c.直角三角形d.不能确定形状2.一个等腰三角形的一条高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底度数是3.已知：如图所示，在△abc中，点d，e，f分别为bc，ad，ce的中且s△abc=4cm，则阴影部分的面积为______cm．22角的点，4.如图，在△abc中e是bc上的一点，ec＝2be，点d是ac的中点，设△abc、△adf、△bef的面积分别为s△abc，s△adf，s△bef，且s△abc＝12，则s△adf－s△bef＝。

1、下列条件：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=2：3：4，③∠A=90°-∠B，④∠A=∠B= 12∠C；其中能判断△ABC是直角三角形的有（）个A、1B、2C、3D、42、如图，在△ABC中，CD⊥BC于点C，点D在AB的延长线上，则CD是△ABC的（）A、BC边上的高B、AB边上的高C、AC边上的高D、以上都不对3、已知不等腰三角形的两边长分别是2cm和9cm，如果第三边长是整数，那么第三边长为（）cmA、8B、10C、8或10D、8或9或104、下列说法中正确的是（）①三角形三条中线都在三角形内部，②三角形三条角平分线都在三角形内部，③三角形三条高都在三角形内部；A、①②③B、①②C、②③D、①③5、如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△BEF=4cm2，则△AEC的面积是（）cm2A、 B、 C、4 D、56、以下列长度的线段为边，能构成三角形的是（）A、3，6,9B、3,5,9，C、2,6,4D、4,6,97、在△ABC中，∠A：∠B：∠C=12：7：5，则△ABC是（）A、钝角三角形B、锐角三角形C、直角三角形D、等腰三角形8、如图，将纸片△ABC沿着DE折叠压平，则（）A、∠A =∠1+∠2；B、∠A =12(∠1+∠2)；C、∠A =13(∠1+∠2)；D、∠A =14(∠1+∠2)9、如图，△ABC中，∠A，∠B，∠C的外角分别记为α，β和γ，若α：β：γ=3：4：5，则∠A：∠B：∠C=（）A、3：2：1；B、1：2：3；C、3：4：5；D、5：4：310、如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB领补角的平分线，若∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P=（）A、 70°B、80°C、90°D、100°11、如图，若直线l1∥l2，∠A=125°，∠B=85°，则∠1+∠2=（）A、30°B、35°C、36°D、40°12、如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线相较于点D，连接AD，则下列结论不正确的是（）A、∠ACE=70°B、∠ACE= 90°C、∠ACE=35°D、∠ACE=55°13、如图，已知△ABC中，∠A =∠ACB，CP平分∠ACB，BD、CD分别为△ABC的外角平分线，给出以下结论：①CP⊥CD；②∠D=90°- 12∠A；③PD∥AC，其中正确结论的个数是（）个A、0B、1C、2D、314、如图，∠ABC=31°，又∠BAC的平分线AE与∠FCB的平分线CE 相交于E点，则∠AEC的度数为（）A、°B、°C、°D、20°15、如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC，给出下列结论：①∠BAD=∠C；②∠AEF=∠AFE；③∠EBC=∠C；④AG⊥EF，其中正确结论的序号是（）A、②③④；B、①③④；C、①②④；D、①②③16、三角形三边长分别为8,19，a，则最长边a的取值范围是______________17、如图，∠A=65°，∠B=75°，将纸片一角折叠，使得点C落在△ABC内，若∠2=33°，则∠1=_____________18、用9根相同的火柴棒拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、折叠、折断，则能摆出_____________个不同的三角形19、如图，在6×6正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点上已有两个点A、B，再找一个格点C，使得△ABC的面积为2，这样的C点有_____________个20、在长方形网格中，每个小长方形长为2，宽为1，A、B两点是格点，再找一个格点C，使得△ABC的面积为2，满足条件的C点有_____________个21、如图，a∥b，∠1+∠2=75°，则∠3+∠4=_____________22、如图1是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE=____________23、如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设△ADC面积为S1，△ACE面积为S2，若S△ABC=6，则S1 -S2=____________24、小亮家离校1km，小明家离校3km，如果小亮家和小明家距离xkm，则x的取值范围是_____________25、如图，BM是△ABC中AC边上的中线，AB=5cm，BC=3cm，那么△ABM和△BCM的周长之差是_____________26、已知AD为△ABC的中线，E为AD的中点，若△ABC的面积为20，BD=4，求点E到BC的距离27、如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的度数28、如图，已知∠AOB=90°，点C、D分别在射线OA、OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于F点，（1）当∠OCD=50°时（如图1），试求∠F（2）当点C、D在射线OA，OB上任意移动时（不与点O重合）（如图2），∠F的度数是否发生变化，若变化，说明理由；若不变，求出∠F的度数。

第1章《三角形的初步认识》培优提升卷班级______ 姓名_______一、选择题（每题3分，共30分）1.现有四根木棒，长度分别为4cm ，6cm ，8cm ，10cm ，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2.如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠+∠12 的度数为（ ）A.120°B. 180°C. 240°D. 300°第2题 第4题 第5题 3.根据下列已知条件，能惟一画出△ABC 的是（ ）A ．AB ＝3，BC ＝4，CA ＝8 B ．AB ＝4，BC ＝3，∠A ＝30° C ．∠A ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝4D ．∠C ＝90°，AB ＝64.如图，A ，B ，C ，D ，E ，F 是平面上的6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数是（ ）A. 180°B.360°C.540°D.720°2160°5.如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．10°6.下列命题:(1)无限小数是无理数(2)绝对值等于它本身的数是非负数(3) 垂直于同一直线的两条直线互相平行(4) 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等, (5)面积相等的两个三角形全等，是真命题的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个7.如图，在△ABC和△DEB中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A.BC=EC，∠B=∠EB. BC=ECC. BC=DC，∠A=∠DD.∠B=∠E，∠A=∠D8.如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是高，已知∠BAC=2∠B，∠B=2∠DAE，那么∠ACB为（）A. 80°B. 72°C. 48°D. 36°第7题第8题第10题9.若三角形的周长为18，且三边都是整数，则满足条件的三角形的个数有（）A、4个B、5个C、6个D、7个10.如图所示，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（）A.△ACE ≌△BCDB.△BGC ≌△AFCC.△DCG ≌△ECFD.△ADB ≌△CEA二、填空题（每题4分，共24分）11.已知三角形的三边长分别是3、x 、9，则化简135-+-x x = 12.如图，长方形ABCD 中(AD>AB)，M 为CD 上一点，若沿着AM 折叠，点N 恰落在BC 上，则∠ANB+∠MNC=___________13.如图，在△ABC 中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC=______°BFB第12题 第13题 第16题14.在△ABC 中，AB=8，AC=6，则BC 边上的中线AD 的取值范围是 15.已知三条不同的直线a ，b ，c 在同一平面内，下列四个命题：①如果a ∥b ，a ⊥c ，那么b ⊥c ；②如果b ∥a ，c ∥a ，那么b ∥c ；③如果b ⊥a ，c ⊥a ，那么b ⊥c ；④如果b ⊥a ，c ⊥a ，那么b ∥C ．其中为真命题的是__________．(填写所有真命题的序号)16.在数学活动课上，小明提出这样一个问题：如图,∠B=∠C=900，E 是BC 的中点，DE 平分∠ADC ，∠CED=35°，，则∠EAB 是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是______。

认识三角形（一） 一．边的大小关系，范围讨论例1 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？为什么？（单位：cm ）（1） 1， 3， 3 （ ）（2） 3， 4， 7 （ ）（3） 5， 9， 13 （4） 14， 15， 30 （ ）例2已知一个三角形的两边长分别是3cm 和4cm ，则第三边长X 的取值范围是 ；若X是奇数，则X 的值是 ，这样的三角形有 个；若X 是偶数，则X 的值是 ；这样的三角形又有 个。

例3一个等腰三角形的一边是5cm ，另一边是7cm ,则这个三角形的周长是多少例4如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，△ADC 的周长比△ABD 的周长多5cm ，AB 与AC 的和为11cm ，求AC 的长．过手变式练习：1 有一个三角形的两边分别为5和12，且周长为奇数，则满足条件的三角形的个数为__________2 已知一个三角形有两边相等，周长为56cm ，两边之比为3：2，则这个三角形各边的长为_______4 若a ，b ，c 是△ABC 的三边，试化简=+-+-++--c b a c b a c b a __________________5 已知在△ABC 中，010616222=++--bc ab c b a ，若a ，b ，c 是三角形的三边，求证b c a 2=+ 二．角的关系例1 AD 是△ABC 的一条高，也是△ABC 的角平分线，若∠B =40°,求∠BAC 的度数.例2如图，△ABC 中，∠ B ＝34°，∠ACB＝104°，AD 是BC 边上的高，AE 是∠ BAC 的平分线，求∠ DAE的度数．B CD E例3（1）如图所示，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = （ ）A.180°B.260°C.270°D.360°例4.一副三角板按图中的方式叠放，则∠α等于 （ ）A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°过手变式练习：1、如图，已知 ∠E ＋∠F ＝∠H ，求：∠A ＋∠B ＋∠ACD ＋∠CDG 的度数．2、如图，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD 、AB 分别相交于M 、N ．解答下列问题：(1)若∠D ＝40，∠B ＝36，求∠P 的度数；(2)如果图中的∠D 和∠B 为任意角时，其它条件不变，试问∠P 与∠D 、∠B 之间存在着怎样的数量关系？（直接写出结论即可）3、如图，BD 是△ABC 中∠ABC 的角平分线，CD 是△ABC 的外角∠ACE 的平分线，它与BD 的延长线交于点D ，我们将会得到∠A ＝2∠D 这一结论，试想一想为什么？并加以说明．5（1）在△ＡＢＣ中，∠A-∠B=20°，∠B-∠C=20°，求∠A 和∠C 的度数。

例1、=∠=∠∠∠∆A C B A ABC ，则：：中，在5:3:1 ，=∠B ，=∠C 。

这个三角形按角分类时属于 三角形。

例2、==+=+a c b a b c a c b a ，则，，若为为三边的三角形的周长、、以2215 ，=b ，=c 。

例3、若一个三角形三边长是三个连续整数，且周长为12，则它的三边长分别是 。

例4、一个三角形最多有 个直角，最多有 个钝角，最多有 个锐角。

★★★例5、等腰三角形的一个角的度数是 50，则其余两个角的度数 。

例6、如图，=∠=∠⊥⊥ACO DBO O CD AB BD CD AC AB ，则，若相交于点、，， 20 。

例7、=∠=∠=∠⊥EBC A E D CE AD ，则，于点如图， 41 。

例8、除外）共有相等的角（，则图中与，如图，11//////∠∠DB EG DC EF AB 个。

6542、、、、D C B A ★★★★例9、若三角形两边的长分别为7cm 和2cm ，第三边的长为奇数，则第三边的长是 。

cm9753、、、、D C B A例10、才能组成三角形，则满足下列哪个条件，且、、已知线段a b c c b a << 。

a c b D c b a C b c a B c b a A <-<->+>+、、、、例11、若三角形的三边长都是整数，周长为11，且有一边长为4，则这个三角形的最大边长为 。

7654、、、、D C B A例12、一个正多边形，它的一个外角等于与它相邻的内角的41，则这个多边形是正 边形。

六、八、十、二十、D C B A ★★★例13、是，则中，如果在ABC B A ABC ∆=∠-∠∆ 90 。

形锐角三角形或钝角三角、钝角三角形、锐角三角形、直角三角形、D C B A例14、是，则中，若在ABC B C A ABC ∆∠-∠=∠∆ 。

钝角三角形、锐角三角形、直角三角形、C B A 例15、一个零件形状如图，按规定，，， 213290=∠=∠=∠C B A 检测人员测量得到的数据是 148=∠BDC ，则这个零件 （填写“合格”或“不合格”）。

【引言概述】
【正文内容】
一、三角形的中位线和重心
1.1中位线的概念和性质
1.2重心的定义和性质
1.3重心和中位线的关系
1.4应用实例：利用中位线和重心进行三角形证明
二、三角形的高线和垂心
2.1高线的概念和性质
2.2垂心的定义和性质
2.3垂心和高线的关系
2.4应用实例：解决三角形的垂线问题
三、三角形的内切圆和外接圆
3.1内切圆的概念和性质
3.2外接圆的概念和性质
3.3内切圆和外接圆的关系
3.4应用实例：利用内切圆和外接圆解决面积问题
四、三角形的相似与全等
4.1相似三角形的概念和判定条件
4.2相似三角形的性质和应用
4.3全等三角形的概念和判定条件
4.4全等三角形的性质和应用
4.5应用实例：应用相似三角形和全等三角形解决实际问题
五、三角形的角平分线和垂直平分线
5.1角平分线的概念和性质
5.2垂直平分线的概念和性质
5.3角平分线和垂直平分线的关系
5.4应用实例：解决角平分线和垂直平分线问题
【总结】
通过上述的讨论，我们对三角形的一些高级概念和定理有了更加深入的理解。

中位线和重心、高线和垂心、内切圆和外接圆、相似与全等、角平分线和垂直平分线等概念和定理，对于解决三角形的证明、构造和计算问题具有重要的意义。

在实际应用中，这些概念和定理还可以用于解决各种几何问题、工程测量和建模分析等方面。

因此，深入认识三角形培优的学习对于数学爱好者和数学竞赛选手来说都具有重要的价值。

希望本文对读者能够提供一些思路和帮助，使其在学习和应用中能够更好地理解和运用三角形知识。

1．如图①，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P．（1）如果∠A=80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，过P点作直线MN，分别交AB和AC于点M和N，且MN平行于BC，则有∠MPB+∠NPC=90°﹣∠A．若将直线MN绕点P旋转，（ⅰ）如图③，试探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系是否依然成立，并说明理由；（ⅱ）当直线MN与AB的交点仍在线段AB上，而与AC的交点在AC的延长线上时，如图④，试问（ⅰ）中∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系是否仍然成立？若不成立，请给出∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由．2．将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．（1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．（2）如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，则∠A′与∠2之间的关系是．（3）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由．3．已知a，b，c是三角形的三边长，化简|a﹣b ﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|；若a=5，b=4，c=3，求这个式子的值．4．【问题】：如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB．若∠A=80°，则∠BEC=；若∠A=n°，则∠BEC=．【探究】：（1）如图2，在△ABC中，BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB．若∠A=n°，则∠BEC=；（2）如图3，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACM．若∠A=n°，则∠BEC=；（3）如图4，在△ABC中，BE平分外角∠CBM，CE平分外角∠BCN ．若∠A=n°，则∠BEC=．5．如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=40°，求∠ADB的度数．6．如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，BE=2，AF=3，填空：（1）BE==．（2）∠BAD==．（3）∠AFB==．（4）S△AEC=．7．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积是多少？8．如图所示，已知P是△ABC内一点，试说明PA+PB+PC＞（AB+BC+AC）．9．观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由．（1）如图，△ABC中，P为边BC上一点，试观察比较BP+PC与AB+AC的大小，并说明理由．（2）将（1）中点P移至△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．（3）将（2）中点P变为两个点P1、P2得下图，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．（4）将（3）中的点P1、P2移至△ABC外，并使点P1、P2与点A在边BC的异侧，且∠P1BC＜∠ABC，∠P2CB＜∠ACB，得图，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．（5）若将（3）中的四边形BP1P2C的顶点B、C移至△ABC内，得四边形B1P1P2C1，如图⑤，试观察比较四边形B1P1P2C1的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．10如图，已知△ABC中，∠B=65°，∠C=45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．11．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=30°．（1）求∠BAE的度数；（2）求∠DAE的度数；（3）探究：小明认为如果只知道∠B﹣∠C=40°，也能得出∠DAE的度数？你认为可以吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．12．（1）如图（1），在△ABC中，∠C＞∠B，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，你能找出∠EAD与∠B、∠C之间的数量关系吗？并说明理由．（2）如图（2），AE平分∠BAC，F为AE上一点，FM⊥BC于点M，这时∠EFM与∠B、∠C之间又有何数量关系？请你直接说出它们的关系，不需要证明．13．（1）如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的内部点A′的位置，试说明2∠A=∠1+∠2；（2）如图②，若把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A′的位置，此时∠A与∠1、∠2之间的等量关系是（无需说明理由）；（3）如图③，若把四边形ABCD沿EF折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部点A′、D′的位置，请你探索此时∠A、∠D、∠1与∠2之间的数量关系，写出你发现的结论并说明理由．14．Rt△ABC中，∠C=90°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若点P在线段AB上，如图①，且∠α=50°，则∠1+∠2=；（2）若点P在斜边AB上运动，如图②，则∠α、∠1、∠2之间的关系为；（3）如图③，若点P在斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），请直接写出∠α、∠1、∠2之间的关系：；（4）若点P运动到△ABC形外（只需研究图④情形），则∠α、∠1、∠2之间有何关系？并说明理由．15．【提出问题】已知P是∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，你能找到∠P、∠A的关系吗？【分析问题】在解决这个问题时，小明是这样做的：先找一个例子，如∠A=80°度，计算出∠P=130°，随后他又举了几个例子，并对结论进行了证明，从而找到∠P与∠A的关系：∠P=90°+∠A在解决问题的过程中，小明运用了“由特例得到猜想，证明得出一般结论”的方法，你能用这种方法解决下面的两个问题．【解决问题】（1）若点P是∠ABC、∠ACB的三等分线的交点，即∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，则∠P与∠A的关系为，请证明你的结论．（2）若P是∠ABC、∠ACB的四等分线交点，∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，则∠P与∠A的关系为．（直接写出答案，不需证明）（3）若P是∠ABC、∠ACB的n等分线交点，∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，则∠P与∠A的关系为．（直接写出答案，不需证明）16．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．（1）若∠B=30°，∠ACB=80°，求∠E的度数；（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．17．如图，在△ABC中，点D在BC 上，点E 在AC 上，AD交BE于F．已知EG∥AD交BC于G，EH⊥BE交BC于H，∠HEG=50°．（1）求∠BFD的度数．（2）若∠BAD=∠EBC，∠C=42°，求∠BAC的度数．18．如图1，在△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于A1．（1）当∠A为70°时，∠A1=°；（2）如图2，∠A1BC的角平分线与∠A1CD的角平分线交于A2，∠A2BC与A2CD的平分线交于A3，如此继续下去可得A4，请写出∠A与∠A4的数量关系；（3）如图3，若E为BA延长线上一动点，连EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，试求∠Q与∠A1的数量关系．19．如图①，△ABC的面积为a，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA，若△ACD的面积为S1，则S1=a，探索：（1）如图②，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE．若△DEC的面积为S2，则S2=（用含a的代数式表示）（2）在图②的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD、FE，得到△DEF（如图③），若阴影部分的面积为S3，则S3=（用含a的代数式表示）．发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF（如图③），此时，我们称△ABC向外扩展了一次，可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的倍．应用：去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉，今年准备扩大种植规模，把△ABC内外进行扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH（如图④）；求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少平方米？20．我们知道三角形一边上的中线将这个三角形分成两个面积相等的三角形．如图1，AD是△ABC边BC上的中线，则S△ABD=S△ACD（1）如图2，△ABC的中线AD、BE相交于点F，△ABF与四边形CEFD的面积有怎样的数量关系？为什么？（2）如图3，在△ABC中，已知点D、E、F分别是线段BC、AD、CE的中点，且S△ABC=8，求△BEF的面积S△BEF（3）如图4，△ABC的面积为1．分别倍长（延长一倍）AB，BC，CA得到△A1B1C1．再分别倍长A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2…按此规律，倍长n次后得到的△A n B n C n的面积为．。

第16讲认识三角形考点·方法·破译1．了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，会画出任意三角形的高、中线、角平分线.2．知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边.3．了解与三角形有关的角(内角、外角) .4．掌握三角形三内角和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.5．会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题.6．会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法.经典·考题·赏析【例１】若的三边分别为4，x，9，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________；当周长为奇数时，x＝______________.【解法指导】运用三角形三边关系，即第三边小于两边之和而大于两边之差故5＜x＜13，18＜l＜26；周长为19时，x＝6，周长为21时，x ＝8，周长为23时，x＝10，周长为25时，x＝12，【变式题组】01．若△ABC的三边分别为4，x，9，且9为最长边，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________.02．设△ABC三边为a，b，c的长度均为正整数，且a＜b＜c，a+b+c＝13，则以a，b，c 为边的三角形，共有______________个.03．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是().A．1 B．2 C．3 D．4【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm，周长为58cm，试求三角形三边的长.【解法指导】对等腰三角形，题目没有交代底边和腰，要给予讨论.当18cm为腰时，底边为58－18×2＝22，则三边为18，18，22. 当18cm为底边时，腰为58182＝20，则三边为20，20，18.此两种情况都符合两边之和大于第三边.解：18cm，18cm，22cm或18cm，20，20cm.【变式题组】01．已知等腰三角形两边长分别为6cm，12cm，则这个三角形的周长是() A．24cm B．30cm C．24cm或30cm D．18cm02．已知三角形的两边长分别是4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是()A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm03．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的腰长为______________.【例３】如图AD 是△ABC 的中线，DE 是△ADC 的中线，EF 是△DEC 的中线，FG 是△EFC的中线，若S △GFC ＝1cm 2，则S △ABC ＝______________.【解法指导】中线将原三角形面积一分为二，由FG 为△EFC 的中线，知S △EFC ＝2S △GFC ＝2.又由EF 为△DEC 中线，S △DEC ＝2S △EFC ＝4.同理S △ADC ＝8，S △ABC ＝16.【变式题组】01．如图，已知点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 的中点，S △ABC ＝4，则S △EFC ＝______________.02．如图，点D 是等腰△ABC 底边BC 上任意一点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若一腰上的高为4cm ，则DE +DF ＝______________.03．如图，已知四边形ABCD 是矩形(AD ＞AB ) ，点E 在BC 上，且AE ＝AD ，DF ⊥AE 于F ，则DF 与AB 的数量关系是______________.【例４】已知，如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝______________.【解法指导】这是本章的一个基本图形，其基本方法为构造三角形或四边形内角和，结合八字形角的关系即，∠A +∠B ＝∠C +∠D ．故连结BC 有∠A +∠D ＝∠DBC +∠ACB ，∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝180°【变式题组】01．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝______________.02．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F ＝______________.03．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F ＝______________.FDC(第1题图)(例4题图)CD(第2题图)C(第3题图)【例５】如图，已知∠A＝70°，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．则∠BOC ＝______________.【解法指导】这是本章另一个基本图形，其结论为∠BOC＝12∠A+90°.证法如下: ∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－12∠ABC－12∠ACB＝180°－12(180°－∠A)＝90°+12∠A．所以∠BOC＝125°.【变式题组】01．如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝20°，则∠BOC＝______________.°，点P、O分别是∠ABC、∠ACB的三等分线的交点，则∠OPC＝______________.03．如图，∠O＝140°，∠P＝100°，BP、CP分别平分∠ABO、∠ACO，则∠A＝______________.【例６】如图，已知∠B＝35°，∠C＝47°，AD⊥BC，AE平分∠BAC，则∠EAD＝______________.【解法指导】∵∠EAD＝90°－∠AED＝90°－(∠B+∠BAE)＝90°－∠B－12(180°－∠B－∠C)＝90°－∠B－90°+12∠B+12∠C＝12(∠C－∠B) ，故∠EAD＝6°. 【变式题组】(第3题图)BC(第1题图)BC(第2题图)B(第1题图)B(第2题图)C(第3题图)C (例6题图)E D(第1题图)E01.（改）如图，已知∠B ＝39°，∠C ＝61°，BD ⊥AC ，AE 平分∠BAC ，则∠BFE ＝__________.(说明:原题题、图不符.由已知得∠A ＝98°, BD ⊥AC ，则点D 在CA 的延长线上.) 02．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝40°，AD 平分∠BAC ，∠ACB 的外角平分线交AD 的延长线于点P ，点F 是BC 上一动点(F 、D 不重合) ，过点F 作EF ⊥BC 交于点E ，下列结论:①∠P +∠DEF 为定值，②∠P －∠DEF 为定值中，有且只有一个答案正确，请你作出判断，并说明理由.【例７】如图，在平面内将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AB ′C ′，使CC ′∥AB ，若∠BAC ＝70°，则旋转角α＝______________. 【解法指导】利用平移、旋转不改变图形的形状这条性质来解题.∵CC ′∥AB ，∴∠C ′CA ＝∠CAB ＝70°，又AC ＝AC ′，∴∠C ′AC＝180°－2×70°＝40°【变式题组】01如图，用等腰直角三角形板画∠AOB ＝45°，并将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚线后绕点M 逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA 的直角α＝______________.02．如图，在平面内将△AOB 绕点O 顺时针旋转α角度得到△OA ′B ′，若点A ′在AB 上时，则旋转角α＝______________.(∠AOB ＝90°，∠B ＝30°)3．如图，△ABE 和△ACD 是△ABC 沿着AB 边，AC 边翻折180°形成的，若∠BAC ＝130°，则∠α＝______________.演练巩固·反馈提高01．如图，图中三角形的个数为( )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个(第1题图)M(第2题图)B(第2题图)(第3题图)02．如果三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定03．有4条线段，长度分别是4cm ，8cm ，10cm ，12cm ，选其中三条组成三角形，可以组成三角形的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 04．下列语句中，正确的是( )A ．三角形的一个外角大于任何一个内角B ．三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和C ．三角形的外角中，至少有两个钝角D ．三角形的外角中，至少有一个钝角05．若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定 06．若一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角，则这个三角形是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定07．如果等腰三角形的一边长是5cm ，另一边长是9cm ，则这个三角形的周长是______________. 08．三角形三条边长是三个连续的自然数，且三角形的周长不大于18，则这个三角形的三条边长分别是______________.09．如图，在△ABC 中，∠A ＝42°，∠B 与∠C 的三等分线，分别交于点D 、E ，则∠BDC 的度数是______________.10．如图，光线l 照射到平面镜上，然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反射，已知∠α＝55，∠γ＝75°，∠β＝______________.11．如图，点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 的中点，且S △EFC ＝1，则S △ABC ＝______________. 12．如图，已知: ∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝63°，则∠DAC ＝______________. 13．如图，已知点D 、E 是BC 上的点，且BE ＝AB ，CD ＝CA ，∠DAE ＝13∠BAC ，求∠BAC 的度数培优升级·奥赛检测01．在△ABC 中，2∠A ＝3∠B ，且∠C －30°＝∠A +∠B ，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．有一个角是30°的直角三角形D ．等腰直角三角形(第9题图)(第10题图)(第11题图)(第13题图)D E C(第12题图)B．C．02．已知三角形的三边a、b、c的长都是整数，且a≤b≤c，如果b＝7，则这样的三角形共有()A．21个B．28个C．49个D．54个03．在△ABC中，∠A＝50°，高BE、CF交于O点，则∠BOC＝______________.04．在等腰△ABC中，一腰上的高与另一腰的夹角为26°，则底角的度数为______________. 05．如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，06．周长为30，且各边长互不相等且都是整数的三角形有多少个?07．设△ABC三边a、b、c的长度均为自然数，且周长不大于30，并满足(a－b) 2+(a－c) 2+(b －c) 2＝26，问满足条件的三角形有多少个?(注:全等三角形只算一个)08．在一次数学小组活动后，小明清理课桌上的三角形模型，经清点，共有11个钝角，15个直角，100个锐角，于是他把这些数据写在“数学园地”上征答:“共有多少个锐角三角形?”你能回答这个问题吗?09．现有长为150cm的铁丝，要截成n(n＞2)小段，每段的长为不小于1cm的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段?10．如图，在△BCD中，BE平分∠DBC交CD于F，延长BC至G，CE平分∠DCG，且EC、DB的延长线交于A点，若∠A＝30°，∠DFE＝75°.(1)求证: ∠DFE＝∠A+∠D+∠E；(2)求∠E的度数；(3)若在上图中∠CBE与∠GCE的平分线交于E1，∠CBE1与∠GCE1的平分线交于E2，作∠CBE 2与∠GCE 2的平分线E 3，依次类推，∠CBE n 与∠GCE n 的平分线交于E n +1，请用含有n 的式子表示∠E n +1的度数.11．如图，已知OABC 是一个长方形，其中顶点A 、B 的坐标分别为(0，a )和(9，a ).点E 在AB 上，且AE ＝13AB ．点F 在OC 上，且OF ＝13OC ，点G 在OA 上，且使△GEC 的面积为16，试求α的值.12．如图，已知四边形ABCD 中，∠A +∠DCB ＝180°，两组对边延长后分别交于P 、Q 两点，∠P 、∠Q 的平分线交于M ，求证PM ⊥QM .第17讲 认识多边形考点·方法·破译1．了解多边形的有关概念，探索并了解多边形内角和和外角和公式.2．通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形、或正六边形可以镶嵌平面，并能进行镶嵌设计.经典·考题·赏析【例１】如图所示是一个六边形.(1)从顶点A出发画这个多边形的所有对角线，这样的对角线有几条？它们将六边形分成几个三角形？(2)画出此六边形的所有对角线，数一数共有几条？【解法指导】本题主要考查多边形对角线的定义，对于n边形，从n边形的一个顶点出发，可引(n－3)条对角线，它们将这n边形分成(n－2)个三角形，n边形一共有(3)2n n条对角线，解:(1)从顶点A出发，共可画三条对角线，如图所示，它们分别是AC、AD、AE.将六边形分成四个三角形:△ABC、△ACD、△ADE、△AEF；(2)六边形共有9条对角线.【变式题组】01．下列图形中，凸多边形有( )A．1个B．2个C．3个D．4个02．过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形对角线条数等于边数，则m＝______，n＝______，k＝________.03．已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍，则此多边形的边数是.【例２】(1)八边形的内角和是多少度？(2)几边形的内角和是八边形内角和的2倍？【解法指导】(1)多边形的内角和公式的推导：从n边形一个顶点作对角线，可以作(n －3)条对角线，并且将n边形分成(n－2)个三角形，这(n－2)个三角形内角和恰好是多边形内角和，等于(n－2)·1800；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.解：(1)八边形的内角和为(8－2)×1800＝10800；(2)设n边形的内角和是八边形内角和的2倍，则有(n－2)×1800＝10800×2，解得n＝14. 故十四边形的内角和是八边形内角和的2倍.【变式题组】01．已知n边形的内角和为21600，求n边形的边数.02．如果一个正多边的一个内角是1080，则这个多边形是（）A．正方形B．正五边形C．正六边形D．正七边形03．已知一个多边形的内角和为10800，则这个多边形的边数是（）A．8 B．7 C．6 D．504．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝700，则∠AED的度数为（）A．1100B．1080C．1050D．10005.当多边形的边数增加1时，它的内角和与外角和（）A．都不变B．内角和增加1800，外角和不变C．内角和增加1800，外角和减少1800D．都增加1800【例３】一只蚂蚁从点A出发，每爬行5cm便左转600，则这只蚂蚁需要爬行多少路程才能回到点A？解：蚂蚁爬行的路程构成一个正多边形，其路程就是这个正多边形的周长，根据已知可得这个正多边形的每个外角均为600，则这个多边形的边数为36060＝6.所以这只蚂蚁需要爬行5×6＝30(cm)才能回到点A．【解法指导】多边形的外角和为3600.(1)多边形的外角和恒等于3600，它与边数的多少无关.(2)多边形的外角和的推导方法：由于多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n边形内角和加外角和等于1800·n，外角和等于n·1800－(n－2)·1800＝3600.(3)多边的外角和为什么等于3600，还可以这样理解：从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发点时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于3600.(4) 多边形的外角和为3600的作用：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数，求各相等外角的度数.【变式题组】01．（无锡）八边形的内角和为_____.度.02．（永州）如图所示，已知△ABC中，∠A＝400，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝_____03．（资阳）n(n为整数，且n≥3)边形的内角和比（n+1）边形的内角和少____度.04．（株洲）如图所示，小明在操场上从点A出发，沿直线前进10米后向左转400，再沿直线前进10米后，又向左转400，……，照这样下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了_____米.【例４】已知两个多边形的内角和为18000，且两多边形的边数之比为2:5，求这两个多边形的边数.【解法指导】因为两个多边形的边数之比为2:5，可设两个多边形的边数为2x和5x，利用多边形的内角可列出方程.解：设这两个多边形的边数分别是2x和5x，则由多边形内角和定理可得：(2x－2)·1800+(5x－2)·1800＝18000，解得x＝2，∴2x＝4，5x＝10，故这两个多边形的边数分别为4和10.【变式题组】01．一个多边形除去一个角后，其余各内角的和为22100，这个多边形是___________02．若一个多边形的外角和是其内角和的25，则此多边形的边数为_____03．每一个内角都相等的多边形，它的一个外角等于一个内角的23，则这个多边形是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形04．内角和与其外角和相等的多边形是___________【例５】某人到瓷砖商店去购买一种多边形瓷砖，用来铺设无缝地面，他购买的瓷砖不可以是（）A ．正三角形B ．长方形C ．正八边形D ．正六边形【解法指导】根据平面镶嵌的定义可知：在一个顶点处各多边形的内角和为3600，由于正三角形、长方形、正六边形的内角都是3600的约数，因此它们可以用来完成平面镶嵌，而正八边形的每个内角为1350，不是3600的约数，所以正八边形不能把平面镶嵌.解：选C ． 【变式题组】01．用一种如下形状的地砖，不能把地面铺成既无缝隙，又不重叠的是（）A ．正三角形B ．正方形C ．长方形D ．正五边形02．小明家装修房屋，用同样的正多边形瓷砖铺地，顶点连着顶点，要铺满地面而不重叠，瓷砖的形状可能有（）A ．正三角形、正方形、正六边形B ．正三角形、正方形、正五边形C ．正方形、正五边形D ．正三角形、正方形、正五边形、正六边形 03．只用下列正多边形•能作平面镶嵌的是（）A ．正五边形B ．正六边形C ．正八边形D ．正十边形 04．（晋江市）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；……，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是（） A ．669 B ．670 C ．671 D ．672 【例６】有一个十一边形，它由若干个边长为1的等边三角形和边长为1的正方形无重叠、无间隙地拼成，求此十一边形各内角的大小，并画出图形.【解法指导】正三角形的每个内角为600，正方形的每个内角为900，它们无重叠、无间隙可拼成600、900、1200、1500四种角度，根据十一边形内角和即可判断每种角的个数.解：因为正三角形和正方形的内角分别为600、900，由此可拼成600、900、1200、1500四种角度，十一边形内角和为(n －2)×1800＝(11－2)×1800＝16200.因为1200×11＜16200＜1500×11，所以这个十一边形的内角只有1200和1500两种.设1200的角有m 个，1500的角有n 个，则有1200m +1500n ＝16200，即4m +5n ＝54此方程有唯一正整数解110m n =⎧⎨=⎩，所以这个十一边形内角中有1个角为1200，10个角为1500，此十一边形如图所示.【变式题组】01．如图是某广场地面的一部分，地面的中央是一块正六边形的地砖，周围用正三角形和正方形的大理石砖镶嵌，从里向外共铺了12层（不包括中央的正六边形地砖），每一层的外边界都围成一个正多边形，若中央正六边形的地砖边长为0.5m ，则第12层的外边界所围成的多边形的周长是___________. 02．（黄冈）小明的书房地面为210cm ×300cm 的长方形，若仅从方便平面镶嵌的角度出发，最适宜选用的地砖规格为（） A ．30cm ×30cm 的正方形， B ．50cm ×50cm 的正方形， C ．60cm ×60cm 的正方形， D ．120cm ×120cm 的正方形，03．正m边形、正n边形及正p边形各取一个内角，其和为3600，求111m n p++的值.演练巩固·反馈提高01．在一个顶点处，若正n边形的几个内角的和为______，则此正n边形可铺满地面，没有空隙.02．（宜昌市）如图，用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜想填空：当黑色瓷砖为20块时，白色瓷砖为______块，当白色瓷砖为n2（n为正整数）块时，黑色瓷砖为______块.03．（嘉峪关）用黑白两种颜色的正六边形地板砖按图所示的规律拼成如下若干地板图案：则第n个图案中白色的地板砖有______块.04．如图所示的图案是由正六边形密铺而成，黑色正六边形周围的第一层有六个白色正六边形，则第n层有______个白色正六边形.05．如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一个正多边形的每一个顶点周围都有6个正多边形，则该正多边形的边数为（）A．3 B．4 C．5 D．606．下列不能镶嵌的正多边组合是（）A．正三角形与正六边形B．正方形与正六边形C．正三角形与正方形D．正五边形与正十边形07．用两种以上的正多边形镶嵌必须具备的条件是（）A．边长相同B．在每一点的交接处各多边形的内角和为1800C．边长之间互为整数倍D．在每一点的交接处各多边形的内角和为3600，且边长相等08．（荆门市）用三块正多边形的木板铺地，拼在一起且相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是8，则第三块木板的边数是（）A．4 B．5 C．6 D．809．[自贡(课改)]张珊的父母打算购买形状和大小都相同的正多边形瓷砖来铺卫生间的地面，张珊特意提醒父母，为了保证铺地面时既没缝隙、又不重叠，所购瓷砖形状不能是（）A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正八边形10．我们常常见到如图所示那样图案的地板，它们分别是由正方形、等边三角形的材料铺成的，(1)为什么用这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地板？(2)你想一想能否用一些全等的任意四边形或不等边三角形镶嵌成地板，请画出图形. 11．某单位的地板由三种各角相等、各边也相等的多边形铺成，假设它们的边数为x、y、z，你能找出x、y、z之间有何种数量关系吗？请说明理由.12．黑色正三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图案，方法如下：白色正六边形分上下两行，上面一行的正六边形个数比下面一行少一个，正六边形之间的空隙用黑色的正三角形嵌满，按第1,2,3个图案[如图(1)、(2)、(3)]规律依次下去，则第n个图案中黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是（）A．n2+n+2，2n+1 B．2n+2，2n+1 C．4n，n2－n+3 D．4n，2n+1 培优升级·奥赛检测01．在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为20020，则这个多边形的边数为（）A．12 B．12或13 C．14 D．14或1502．有一个边长为4m的正六边形客厅，用边长为50cm的正三角形瓷砖铺满，则需要这种瓷砖（）A．216块B．288块C．384块D．512块03．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数等于（）A．3600B．4500C．5400D．720004．从凸n边形的一个顶点引出的所有对角线把这个凸n边形分成了m个小三角形，若m等于这个凸n边形对角线条数的49，那么此n边形的内角和为___________.05．如图，已知DC∥AB，∠BAE＝∠BCD，AE⊥DE，∠D＝1300，求∠B的度数.06．如图，小亮从点A出发，沿直线前进10米后向左转300，再沿直线前进10米，又向左转300，……，照这样下去，他第一次回到出发点A时，一共走了______米.07．如图，两直线AB、CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝（）A．6300B．7200C．8000D．900008．将一个宽度相等且足够长的纸条打开个结，如(1)，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图(2)所示的正五边形，ABCDE，其中∠BAC＝_________.09．矩形ABCD的边长为16，宽为12，沿着对角线BD剪开，得到两个三角形，将这两个三角形拼出各种凸四边形，设这些四边形中周长最大为m，周长最小为n，则m+n的值为（）A．120 B．128 C．136 D．14410．对正方形ABCD分划如图①，其中E、F分别是BC、CD的中点，M、N、G分别是OB、OD、EF的中点，沿分划线可以剪出一副由七块部件组成的“七巧板”(1)如果设正方形OGFN的边长为1，这七块部件的各块长中，从小到大的四个不同值分别为1、x1、x2、x3，那么x1＝______；各内角中最小内角是_____度，最大内角是_____度；用它们拼成一个五边形如图②，其面积是_____.(2)请用这块七巧板，既不留下一丝空白，又不相互重叠，拼出两种边数不同的凸多边形，画在下面格点图中，并使凸多边形的顶点落在格点图的小黑点上(格点图中上下左右相邻两点距离都为1).(3)某合作学习小组在玩七巧板时发现：“七巧板拼成的多边形，其边数不能超过8”.你认为这个结论正确吗？请说明理由.11．(方案设计题)我们常见到如图的图案地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料铺成的，这样的材料能铺成平整、无空隙的地面.(1)你能不能另外想一个用一种多边形(不一定是正多边形)的材料铺地的方案，把你想到的方案画成草图；(2)请你再画一个用两种不同正多边形材料铺地的草图.12．(俄罗斯萨温布竞赛题)如图，在凸六边形ABCDEF中，已知∠A+∠B+∠C＝∠D+∠E+∠F成立，试证明：该六边形必有两条对边是平行的.。

引言：三角形是几何中的重要概念，其性质及应用广泛运用在几何学及其他学科中。

本文将深入探讨三角形的培优性质，包括角平分线、中线、高线、垂心和外心等重要概念。

通过对这些概念的详细阐述，旨在帮助读者更好地理解三角形的性质和应用。

概述：三角形是由三条边和三个顶点组成的多边形，是几何学中的基础概念。

在三角形中，有一些特殊的线段和点对其性质产生了深远的影响，我们将在接下来的内容中详细探讨这些概念。

正文：1.角平分线：1.1定义和性质：角平分线将一个角平分为两个相等的角，具有一些重要的性质，比如角平分线与角的两边垂直，以及角平分线交于角的内部点等。

1.2角平分线的应用：角平分线在解决几何问题中起到了重要的作用，比如利用角平分线求解三角函数、证明角的相等等。

2.中线：2.1定义和性质：三角形的中线是连接三角形两边中点的线段，具有一些重要的性质，比如三角形三条中线交于一点，且该点与三个顶点距离相等。

2.2中线的应用：中线在三角形的面积计算、判定三角形是否为等腰三角形等问题中具有重要的应用价值。

3.高线：3.1定义和性质：三角形的高线是从三角形的一个顶点到对边垂直的线段，具有一些重要的性质，比如三角形的三条高线交于一点，且该点到三角形三边距离的乘积等于三角形的面积。

3.2高线的应用：高线在求解三角形的面积、计算三角形的外接圆半径等问题中发挥着重要的作用。

4.垂心：4.1定义和性质：三角形的垂心是三角形的三条高线的交点，具有一些重要的性质，比如垂心到三角形三边距离的乘积等于垂心到三角形的面积。

4.2垂心的应用：垂心在确定三角形的重心、利用垂心判定三角形的形状等问题中有重要的应用。

5.外心：5.1定义和性质：三角形的外心是三角形三条边上外接圆的圆心，具有一些重要的性质，比如外心到三个顶点的距离相等，外心是三条边上所有外接圆的圆心。

5.2外心的应用：外心在确定三角形的外接圆半径、利用外心寻找三角形的一些特殊性质等问题中有重要的应用。

认识三角形培优（二）引言概述：认识三角形培优（二）三角形是几何学中最基础的一个概念，通过深入了解与研究三角形的性质与特点，我们可以培养学生的空间想象力和抽象思维能力。

在上篇文档中，我们介绍了三角形的基本概念和性质。

在本文档中，我们将进一步探索三角形的优化与培优方法，帮助学生在三角形相关问题的解决中获得突破。

正文：一、三角形的相似性质1. 三角形相似的判定方法2. 相似三角形的性质与应用3. 三角形相似定理的推导与证明4. 使用相似三角形解决几何问题的技巧5. 三角形相似的应用举例二、三角形的重心与垂心1. 重心的概念与性质2. 重心的判定与求解方法3. 垂心的概念与性质4. 垂心的判定与求解方法5. 重心和垂心的应用举例三、三角形的欧拉线1. 欧拉线的定义与性质2. 欧拉线与的三角形关系3. 欧拉线的判定与应用4. 欧拉线的特殊情况和推广5. 欧拉线的应用举例四、三角形的内接圆与外接圆1. 内接圆的定义与性质2. 内接圆的判定与求解方法3. 外接圆的定义与性质4. 外接圆的判定与求解方法5. 内接圆与外接圆的应用举例五、三角形的特殊点1. 外心、垂心、重心和内心的关系2. 三角形的费马点3. 三角形的海涅与斯普马4. 三角形的费尔马点与似费尔马点5. 三角形特殊点的应用举例总结：通过本文档对三角形的进一步认识，我们了解了三角形相似性质的应用、重心与垂心的性质与求解方法、欧拉线的定义与应用、内接圆与外接圆的性质和特殊点的关系。

这些知识的掌握将有助于我们更灵活地运用三角形的性质解决问题，同时培养学生在几何学中的抽象思维能力和空间想象力。

通过不断学习和练习，我们相信学生们能够在三角形培优的道路上取得更大的突破。

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【浙教版】专题1.12第1章三角形的初步认识单元测试（培优提升卷）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共24题，选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021•嘉兴）能说明命题“若x 为无理数，则x 2也是无理数”是假命题的反例是（ ）A ．x =1B ．x =1C ．x ＝D ．x ―2．（2021春•玉田县期末）已知一个三角形的两条边长分别是3和5，则第三条边的长度不能是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．（2020秋•椒江区期末）在平面内，若AB ＝6，BC ＝4，∠A ＝30°，则可以构成的△ABC 的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．不少于2个4．（2020春•松北区期末）下列四个图形中，线段BE 是△ABC 的高的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2020春•常熟市期末）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AD 的中点，点F 在BE 上，且EF ＝2BF ，若S △BCF ＝2cm 2，则S △ABC 为（ ）A ．4cm 2B ．8cm 2C ．12cm 2D ．16cm 26．（2020秋•红桥区期末）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）A．∠BAD＝∠CAE B．AC＝DE C．∠ABC＝∠AED D．AB＝AE7．（2021•阳新县校级模拟）如图，在△ABC中，∠B＝32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（ ）A．32°B．45°C．60°D．64°8．（2020秋•北海期末）将一副直角三角板如图放置，使两直角重合，则∠DFB的度数为（ ）A．145°B．155°C．165°D．175°9．（2020秋•温岭市期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G，则下列结论：①DF+AE＞AD；②BE＝DE；③AD⊥EF；④AB：AC＝BD：CD．正确的有（ ）个．A．1B．2C．3D．410．（2020春•松北区期末）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC 于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G，则①DH＝HC；②DF＝FC；③BF＝AC；④CE=12BF中正确有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020春•灌云县期中）如图，以AD为高的三角形共有 个．12．（2021•宁波模拟）写出一个能说明命题“若|a|＞|b|，则a＞b”是假命题的反例 ．13．（2020秋•南浔区期末）如图，已知在△ABC和△ADC中，∠ACB＝∠ACD，请你添加一个条件： ，使△ABC≌△ADC（只添一个即可）．14．（2019秋•肥西县期末）如图，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出 个．15．（2020春•叙州区期末）如图，△ABC中，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，AD∥BC．以下结论：①∠ABC＝∠ACB；②∠ADC+∠ABD＝90°；③BD平分∠ADC；④2∠BDC＝∠BAC．其中正确的结论有 ．（填序号）16．（2020春•天心区期末）如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB 于F，则下列结论中正确的是 ．（填序号）①AC＝AF②CH＝CE③∠ACD＝∠B④CE＝EB三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2020春•安源区期中）如图，在△ABC中，AD，AE，AF分别为△ABC的高线、角平分线和中线．（1）写出图中所有相等的角和相等的线段；（2）当BF＝8cm，AD＝7cm时，求△ABC的面积．18．（2021春•綦江区期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB，EF⊥AB，垂足分别为D、F．（1）若∠1＝∠2，试说明DG∥BC；（2）若CD平分∠ACB，∠A＝60°，求∠B的度数．19．（2021春•惠来县期末）如图，在△ABC和△DEF中，边AC，DE交于点H，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF．（1）若∠B＝55°，∠ACB＝100°，求∠CHE的度数．（2）求证：△ABC≌△DEF．20．（2021春•郏县期末）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）求两堵木墙之间的距离．21．（2020秋•东海县期末）小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小明坐在秋千的起始位置A处，OA 与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.6m和2m，∠BOC＝90°．（1）△OBD与△COE全等吗？请说明理由；（2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？22．（2020春•南岗区校级期中）已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．（1）如图1，求证：△ABE≌△CDF．（2）如图2，连接AD、BC、BF、DE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有全等的三角形（除△ABE全等于△CDF外）．23．（2020春•雨花区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是△ABC的角平分线，CD⊥AB，垂足为D，延长CE与外角∠ABG的平分线交于点F．（1）若∠A＝60°，求∠DCE和∠F的度数；（2）若∠A＝n°（0＜n＜90），请直接写出∠DCE和∠F的度数（用含n的代数式表示）；（3）若△FCB高FH和∠DCB的角平分线交于点Q，在（2）的条件下求∠CQH的度数（用含n的代数式表示）．24．（2020春•广饶县期末）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．（1）如图（1），当t＝ 时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．。

三角形第1讲 三角形(一)【教学目标】1．理解三角形的有关概念及三角形的分类，初步体会分类思想.2．会画任意三角形的高线、中线和角平分线.3．掌握“三角形的任意两边之和大于第三边”的性质，会据此判断能否构成三角形.4．掌握三角形内角和定理和外角性质，能够准确计算角度.（一）三角形的相关概念【知识梳理】1．三角形的相关概念(1)三角形的定义：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形.(2)三角形的内角与外角：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角.三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角.(3)三角形的表示：如图，线段AB 、BC 、CA 是三角形边.点A 、B 、C 是三角形的顶点.∠A 、∠B 、∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角.顶点是A 、B 、C 的三角形，记作△ABC ，读作“三角形ABC ”.△ABC 的三边有时也用a 、b 、c 来表示.顶点A 所对的边BC 用a 表示，顶点B 所对的边AC 用b 表示，顶点C 所对的边AB 用c 表示.2．三角形的分类按角分：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形B C按边分：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形3．三角形中的三种重要线段(1)三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.如图：AD 是△ABC 的角平分线，则：∠BAD =∠CAD ，且D 在BC 上.(2)三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线.如图：CE 是△ABC 的中线，则E 为AB 边的中点.(3)三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线.如图，AF 是△ABC 的高，则AF ⊥BC 于F .4．三角形具有稳定性【精讲精练】【例1】．如图，试回答下列问题：(1)图中有_____个三角形，它们分别是________________________；DCBB CF B C(3)线段CE 所在的三角形是________，CE 边所对的角是________；(4)若BC =CD =DE ，△ABC ，△ACD ，△ADE 这三个三角形的面积之比等于_____：_____：_____.【答案】(1)6，△ABC ，ACD △，ADE △，ABD △，ACE △，ABE △；(2)ACD △，ADE △，ABD △；(3)ACE △，∠CAE ；(4)1:1:1(三个三角形底边相等，高一样，则三个三角形面积相等).【例2】．下列说法中正确的有( ).(1)等边三角形是等腰三角形(2)三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形(3)三角形按边分类可分为等边三角形和不等边三角形(4)三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】B .【变式1】．试通过画图来判定，下列说法正确的是( )A .一个直角三角形一定不是等腰三角形B .一个等腰三角形一定不是锐角三角形C .一个钝角三角形一定不是等腰三角形D .一个等边三角形一定不是钝角三角形【答案】D .【例3】．分别画出下列三角形的角平分线、中线和高，可以总结出什么规律？总结：三角形的三条中线交于一点，这一点在___________，这一点叫作_______；三角形的三条角平分线交于一点，这一点在__________，这一点叫作_________；三角形的三条高线所在直线交于一点，这一点在_____________________，这一点叫作_________.【答案】三角形内部，重心；三角形内部；内心；内部、边上或者外部，垂心.D C BE【变式2】．(1)如图，在△ABC 中，∠1=∠2，G 为AD 的中点，延长BG 交AC 于E ，F 为AB 上一点，CF ⊥AD 于H .下列判断正确的有_____________.①AD 是△ABE 的角平分线； ②BE 是△ABD 边AD 上的中线；③CH 是△ACD 边AD 上的高； ④AH 是△ACF 的角平分线和高线.【答案】③④.(2)下列说法正确的是( )A .三角形的角平分线、中线和高都是线段B .直角三角形只有一条高线C .三角形的中线可能在三角形的外部D .三角形的高的交点在三角形内部【答案】(1)C ；(2)A .【例4】．木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条(即图中的AB 和CD )，这样做的根据是( )A .矩形的对称性B .矩形的四个角都是直角C .三角形的稳定性D .两点之间线段最短【答案】C .【变式3】．在建筑工地我们经常可看见如图所示的木条EF 固定长方形门框ABCD 的情形，这种做法的根据是( )A .两点之间线段最短B .两点确定一条直线C .长方形的四个角都是直角D .三角形的稳定性【答案】DB【例5】．如图，在△ABC 中，AE ⊥BC 于E ，AD 为BC 边上的中线，DF 为△ABD 中AB 边上的中线.已知AB =8cm ，AC =5cm ，△ABC 的面积为28cm ，则(1)△ABD 与△ACD 的周长之差是_________；(2)△ABD 的面积是_________；(3)△ADF 的面积是_________.【答案】(1)3cm ；(2)24cm ；(3)22cm .【变式4】．如图，在△ABC 中，CF 、BE 分别是AB 、AC 边上的中线，若AE =2，AF =3，且△ABC 的周长为15，则BC 的长为________.【答案】5【变式5】．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，且24ABC S cm △，则阴影部分的面积等于( ).A .22cmB .12cmC .122cmD .142cm BAFD E B CB【答案】B .【变式6】．【拓展思考】 有一块三角形优良品种试验田，现引进四个良种进行对比实验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你设计出两种以上的划分方案供选择(可画图说明).【答案】三角形中线的用途，等底同高则面积相等.做房屋的屋架是运用了三角形的( ).A .有三条边的特性B .易变形特性C .稳定不变形的特性D .矩形门框斜拉条【答案】C .（二）三角形的三边关系【知识梳理】引入：小明和弟弟每天从家里出发去同一所学校上学，弟弟直接沿直线走到学校，小明先买早餐再拐个弯走到学校，他们所走路线正好构成一个三角形.小明每次都比弟弟走的路线长，你知道这是为什么吗？三角形三边的关系：在同一个三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.已知△ABC 的三边为a ，b ，c (a b c ≤≤)，由两点之间线段最短和不等式的性质，那么会有：a b c a c b b c a +>⎧⎪+>⎨⎪+>⎩或b a c c b a c a b -<⎧⎪-<⎨⎪-<⎩. 注：实际上，我们只要保证两条较小边之和大于最大边或者最大边与最小边之差小于第三边即可.C BA【精讲精练】【例6】．下列长度的线段是否一定能组成三角形？①3，6，10； ②3，5，8； ③4，9，11； ④a ，2a ，3a ；(0a >) ⑤3a ，5a ，8a (a >0) ⑥3a ，a ，2a +1(15a >)； ⑦x +1，x +2，x +3； ⑧三边之比为3:5:6； ⑨23a +，24a +，27a +(a ≠0)； 能组成三角形的有________________(填序号).【答案】③⑥⑧⑨.【例7】．(1)若三角形的三边长为3，4，x ，则偶数x 的值有_________.(2)已知三角形的两边为8、10，则周长l 的范围为_________.(3)一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别是3和2011，则三角形的第三边是_________.(4)已知a 、b 、c 为三角形的三边长，化简||||||a b c a b c a b c ++-----+=_________.【答案】(1)2，4，6；(2)2036l <<；(3)设第三边边长为a ，且20082014a <<，又周长为偶数，故a =2010或2012.(4)∵三角形任意两边之和大于第三边∴0a b c ++>，0a b c --<，0a b c -+>∴原式()()()a b c a b c a b c a b c =+++----+=+-.【变式7】．(1)一个三角形的三边长分别为2，22，1a -，那么a 的取值范围是__________.(2)已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，化简a b c c a b +----的结果为__________.【答案】(1)2521a -<<-或2125a <<；(2)0.【例8】．周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？【答案】设三角形的三边长为a 、b 、c ，且a b c <<，则有30a b c a b c b a ++=⎧⎨+>>-⎩故230c a b c <++=，15c <；又330c a b c >++=，10c >，即1015c <<当14c =时，有5组解：13b =，3a =；12b =，4a =；11b =，5a =；10b =，6a =；9b =，7a =；当13c =时，有4组解：12b =，5a =；11b =，6a =；10b =，7a =；9b =，8a =；当12c =时，有2组解：11b =，7a =；10b =，8a =；当11c =时，有1组解：10b =，9a =；故周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有12个.【变式8】．不等边三角形ABC 的两条高长度为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长.【答案】设第三边c 边上高为h ，三角形面积为S ，高为4，12的两边为a ，b ， 则有111412222a b c h S ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=， 24S a =，212S b =，2S c h=. 据三角形三边关系定理及推论， 得22222412412S S S S S h -<<+，11163h <<. h 为整数，所以4h =或5.又三角形为不等边三角形，5h =.【例9】．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12和21两部分，则这个等腰三角形的底边的长为多少？【答案】5.设腰长为a ，底边长为b ，此题可分为两类讨论， 112212122a a b a a b ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎪⎩或121211222a a b a a b ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎪⎩， 第一类817a b =⎧⎨=⎩不符合2a b >，所以舍去；第二类解为145a b =⎧⎨=⎩，故为5.【例10】．四边形ABCD 中，AB =3，BC =4，CD =9，AD =a ，求a 的取值范围.【答案】216a <<.【例11】．整数a ，b ，c 为三角形的三边且a b c ≥>，满足22213a b c ab bc ca ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形个数？∴∴∴（三）三角形的角的关系【知识梳理】引入：小红把一个三角形的三个角完整的剪了下来，恰好能将它们整齐地拼在一条直线上，她又在纸上任意画了一个三角形，剪下来的三个角依然能拼齐一个平角，这是为什么呢？1．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.2．内角和的证明：在△ABC 中，如图，求证：180A B C ∠+∠+∠=︒.证明：过点A 作AD BC ∥，如图∴C DAC ∠=∠，180DAB B ∠+∠=︒∵DAB CAB DAC ∠=∠+∠∴180A B C ∠+∠+∠=︒3．三角形的外角性质：(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.如图，23DAB ∠=∠+∠，以此类推.(2)三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.如图，23DAB DAB ∠>∠∠>∠，，以此类推.4．三角形的角的推论①推论1: 直角三角形的两个锐角互余.②推论2: 三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角B CADB CA 2 1AD3 E BC F推论三角形的外角和等于360︒【精讲精练】三角形的内角【例12】．(1)在△ABC 中，若∠A :∠B :∠C =2:3:5，则∠A =______，∠B =______，∠C =______.(2)在△ABC 中，若∠A +∠C =2∠B ，则∠B =______.【答案】(1)365490︒︒︒，，；(2)60︒.【变式9】．在下列条件中：①∠A +∠B =∠C ，②∠A :∠B :∠C =1:2:3:5，③∠A =90 -∠B ，④∠A =∠B -∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有________________.【答案】①②③④【例13】．在△ABC 中，若∠A :∠B =5:7，且∠C 比∠A 大10 ，那么∠C 的度数为________.【答案】60︒可设5,7A n B n ∠=︒∠=︒，则510C n ∠=︒+︒.在△ABC 中，180A B C ∠+∠+∠=︒，即57510180n n n ︒+︒+︒+︒=︒解得10n =，∴60C ∠=︒.【变式10】．在△ABC 中，∠A -∠B =35 ，∠C =55 ，则∠B =________.【答案】45︒【例14】．如图，直线a //b ，则∠A =______.【答案】39°.【变式11】．如图，∠A =32°，∠B =45°，∠C =38°，则∠DFE =________.【答案】115︒.a b AB C D31°70°B C E【例15】．如图，在△ABC 中，D 是AB 上的一点，E 是AC 上的一点，BE ，CD 相交于点F ，∠A =70°，∠ACD =20°，∠ABE =28°则∠CFE 的度数为_________.【答案】62︒.【变式12】．如图，点D 是△ABC 内一点，∠D =110 ，∠1=∠2，则∠ACB =________.【答案】70︒.【例16】．如图，在△ABC 中，∠ACB 和∠ABC 的角平分线交于点O ，若∠BOC =130 ，连接AO ，则∠BAO 的度数是________.【答案】40︒.【精讲精练】三角形的外角【例17】．(1)如图，在△ABC 中，∠A =80 ，点D 是BC 边的延长线上一点，∠ACD =150 ，则∠B =________.A BA CBC(2)已知三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，则它的最大内角的度数( ).A .90︒B .110︒C .100︒D .120︒【答案】(1)70︒；(2)C .【变式13】．(1)如图，一个60 角的三角形纸片，剪去这个60 角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为( )A .240︒B .180︒C .160︒D .120︒(2)如图，△ABC 中，D 为BC 上点，∠=∠2，∠3=∠4，∠BAC =120 ，则∠DAC 的度数_________. B ACD 1243 (3)若一个三角形的三个外角的度数之比为3:4:2，那么这个三角形是( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .不能确定【答案】(1)A ；(2)100°；(3)C .【例18】．如图，在△ABC 中，∠A =70 ，∠ABC =48 ，BD ⊥AC 于D ，CE 是∠ACB 的平分线，BD 与CE 交于点F ，求∠CBD 、∠EFD 的度数.【答案】∵180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒(三角形内角和定理)，∴18062ACB A ABC ∠=︒-∠-∠=︒.∵BD AC ⊥，∴90BDC ∠=︒.DC B∴90CBD ACB ∠+∠=︒直角三角形的两个锐角互余∴9028CBD ACB ∠=︒-∠=︒.∵CE 是ACB ∠的平分线， ∴1312ACE ACB ∠=∠=︒， ∴121EFD ACE BDC ∠=∠+∠=︒(三角形外角性质).【变式14】．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE 是△ABC 的角平分线，AD 、CE 交于F 点，当∠BAC =80 ∠B =40 时，求∠ACB ，∠AEC ，∠AFE 的度数.【答案】60︒、70︒、120︒.【例19】．如图，∠A =60 ，∠B =70 ，将纸片的一角折叠，使点C 落在△ABC 内，若∠2=80，则∠1的度数为( )A .20︒B .30︒C .40︒D .无法确定【答案】A【例20】．如图，在△ABC 中，AD ，AE 分别是△ABC 的高和角平分线.(1)若∠B =30 ，∠C =50 ，求∠DAE 的度数.(2)试问∠DAE 与∠C -∠B 有怎样的数量关系？说明理由.【答案】(1)10°；B CADA AD E(2)1()2DAE C B ∠=∠-∠.【例21】．【拓展思考】如图，已知AF 平分∠BAC ，过F 作FD ⊥BC ，若∠B 比∠C 大20 ，则求∠F 的度数.【答案】10F ∠=︒ 设C x ∠=，则20B x ∠=+︒，()180201602BAC x x x ∠=︒--+︒=︒-∵AF 平分BAC ∠，∴1802BAF BAC x ∠=∠=︒- ∵AEC B BAF ∠=∠+∠，∴100AEC ∠=︒，∵FD BC ⊥，∴90EDF ∠=︒.∵AEC EDF F ∠=∠+∠，∴90F ∠=︒.【课后作业】1．已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，它的周长是( ).A .17B .22C .17或22D .13【答案】B .2．下列说法错误的是( )A .三角形的角平分线能把三角形分成面积相等的两部分B .三角形的三条中线，角平分线都交于一点C .直角三角形的三条高交于三角形的一个顶点D .钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部【答案】A3．已知三角形中两边长为2和7，(1)若第三边长为奇数，则这个三角形的周长为_________；(2)若这个三角形的周长为奇数，则第三边长为_________.【答案】(1)16；(2)6或8.4．已知等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角为_______.【答案】30︒或75︒.B CF5．如果三角形的两边长分别为3和6，第三边长是奇数，则第三边长可以是( )A .3B .4C .5D .9【答案】C6．如图，AD ⊥BC 于点D ，GC ⊥BC 于点C ，CF ⊥AB 于点F ，下列关于高的说法中错误的是( )A .△ABC 中，AD 是BC 边上的高B .△GBC 中，CF 是BG 边上的高C .△ABC 中，GC 是BC 边上的高D .△GBC 中，GC 是BC 边上的高【答案】C7．三角形的三边长分别为3，1-2a ，8，则a 的取值范围是( )A .63a -<<-B .52a -<<-C .5a <-或2a >D .25a <<【答案】B8．如图，∠1=27 ，∠2=95 ，∠3=38 ，求∠4的大小.【答案】20︒.9．如图，△ABC 中，∠A =40 ，∠B =72 ，CE 平分∠ACB ，CD ⊥AB 于D ，DF ⊥CE ，则∠CDF =_____度.【答案】由已知可得：180407268ACB ∠=︒-︒-︒=︒.B C 4321A B CD E1342ACE ACB ∠=∠=︒，904050ACD ∠=︒-︒=︒. ∴503416ECD ∠=︒-︒=︒，901674CDF ∠=︒-︒=︒.10．(1)在△ABC 中，内角度数比值为5:3:2，求这个三角形的形状为_________(2)在△ABC 中，外角度数比值为4:4:1，求这个三角形的形状为_________(3)一个凸多边形的内角和为1980°，则这个多边形的边数_________.第2讲 三角形(二)【教学目标】1．理解多边形的定义，会用相关公式求内角、外角度数，对角线条数及边数.2．熟练掌握三角形的相关概念，能够利用三角形的外角性质和内角和解决角度计算问题.3．理解模型的相关推导，牢记模型的推导结论，能够活学活用相关模型.（四）多边形【知识梳理】1．多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接所组成的图形叫做多边形，其中，各个角相等，各条边相等的多边形叫做正多边形.对角线：多边形中，不相邻的两点的连线，叫对角线.一般的，从n 边形的一个顶点出发可以引(n -3)条对角线，一共有()32n n -条.2．多边形的内角和一般的，从n 边形的一个顶点出发可以引(n -3)条对角线，它们将n 边形分为(n -2)个三角形，n 边形的内角和等于()2180n -⋅︒.3．多边形的外角和：360度4．正多边形正多边形的每一条边都相等，每一个内角的度数都相等，每一个外角的度数也都相等，每个内角的度数为()1802n n ︒-，每个外角的度数为360n︒.【精讲精练】【例1】．(1)若一个多边形共有十四条对角线，则它是________边形.(2)一个多边形的对角线的条数等于边数的5倍，则这个多边形是________边形.【答案】(1)七；(2)十三.【变式1】．(1)一个多边形共有9条对角线，那么这个多边形的边数是_________.(2)已知一个多边形的边数是过它的一个顶点的对角线数的2倍，则这个多边形是______边形.【答案】(1)6；(2)六.【例2】．(1)九边形的内角和等于___________.(2)若一个多边形的内角和等于1080 ，则这个多边形的边数是________.【答案】(1)()921801260-⨯︒=︒；(2)()21801080n -⋅︒=︒，解得8n =.【变式2】．(1)一个多边形如果增加一条边，那么它的内角和增加_____度；如果减少一条边，那么它的内角和减少______度.(2)一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°，则原来多边形的边数是_________.【答案】(1)180；180；(2)9或10或11.(1)n 边形内角和为()2180n -⋅︒，增加一条边为()1180n -⋅︒比原来增加180°，同理可知减少一条边后内角和为()3180n -⋅︒，减少了180°.(2)()21801440n -⋅︒=︒，解得n =10，即多边形截去一个角后，变成了十边形.【例3】．(1)一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180 ，这个多边形的边数是_________.(2)一凸n 边形最小的内角为95 ，其它内角依次增加10 ，则n =_________.(3)在凸多边形中，小于108 的角最多可以有( )A .3个B .4个C .5个D .6个【答案】(1)七.(2)这个凸n 边形的内角由小到大依次为95105115125︒︒︒︒⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，， 它的外角依次为857565554535︒︒︒︒︒︒⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，， 而这六个外角之和为857565554535360︒+︒+︒+︒+︒+︒=︒∴(3)设凸n 边形中，小于108 的角有x 个.当多边形的一个内角小于108 ，则它的外角大于72 ，而任意多边形的外角和等于72 ，故有72x <360 解得x <5，故小于108 的角可以有4个，故选B【变式3】．(1)一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，则这个内角的度数为_______.(2)一个多边形的内角和大于1100°，小于1400度，则这个多边形的边数是_______.【答案】(1)130︒；(2)9.【例4】．如图所示，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H 的值.【答案】360°.八个角的和等于MNPQ 的外角和360度.【例5】．如图所示，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H 的值.【答案】连接DE 、EF①三角形内角和等于180︒，①180B G BOG ∠+∠+∠=︒，180BED EDG DOE ∠+∠+∠=︒①BOG DOE ∠=∠，①B G BED EDG ∠+∠=∠+∠，同理C H HEF EFC ∠+∠=∠+∠①A B C D E F G H ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠A BED EDG HEF EFC D E F =∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠()()()A D EDG BED E HEF EFC F =∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠360A ADE DEF EFA =∠+∠+∠+∠=︒.ABF（五）三角形的相关模型【知识梳理】A B C D ∠+∠=∠+∠【精讲精练】--折叠型【例6】．如图，将△ABC 纸片的一角折叠，使点C 落在△ABC 内一点'C 上，若∠1=30°，∠2=36°，则C ∠=_________.【答案】33︒.【变式4】．如图，把△ABC 的一角折叠，若∠1+∠2=120°，则∠A 的度数是________.【答案】60︒.∵折叠，∴3456∠=∠∠=∠，. ∵134180∠+∠+∠=︒，256180∠+∠+∠=︒.∴134256360∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒.∴46120∠+∠=︒.∵46180A ∠+∠+∠=︒，∴60A ∠=︒.AB C DOACB【例7】．如图，将△ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在点'A 处，且'A B 平分∠ABC ，'A C 平分∠ACB ，若'110BA C ∠=︒，则∠1+∠2的度数为( ).A .80︒B .90︒C .100︒D .110︒【答案】A .∵'110BA C ∠=︒，∴''70CBA BCA ∠+∠=︒.∵'A B 平分ABC ∠，'A C 平分ACB ∠，∴140ABC ACB ∠+∠=︒，∴40A ∠=︒，∴1280∠+∠=︒.【变式5】．如图所示，把一个三角形纸片ABC 的三个顶点向内折叠之后(3个顶点不重合)，那么图中∠1+∠∠2+∠3+∠4+∠+5+∠6的度数和是___________.【答案】360︒.123456222360A B C ∠+∠+∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒.BEA CB C G H【例】．如图，钝角三角形纸片中，∠BAC =110°，为边的中点现将纸片沿过点的直线折叠，折痕与BC 交于点E ，点C 的落点记为F .若点F 恰好在BA 的延长线上，则∠ADF=__________°.【答案】40︒.【精讲精练】--8字模型【例9】．如图，∠B =∠C ，则( ).A .12∠=∠B .12∠>∠C .12∠<∠D .不确定【答案】A .【变式6】．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数为________．【答案】180︒.【例10】．如图，BE 与CD 相交于点A ，CF 为∠BCD 的平分线，EF 为∠BED 的平分线．(1)试探求：∠F 与∠B 、∠D 之间的关系？(2)若∠B ：∠D ：∠F=2：4：x ．求x 的值． AB D E FAEFD A BC【变式7】．如图所示，点E 和D 分别在△ABC 的边BA 和CA 的延长线上，CF 、EF 分别平分∠ACB 和∠AED ，试探索∠F 与∠B ，∠D 的关系： ．【答案】在EGD ∆与CGF ∆中，EGD CGF ∠=∠∴F D DEG FCG ∠=∠+∠-∠同理BHC ∆与FHE ∆中，BHC FHE ∠=∠∴F B HCB HEF ∠=∠+∠-∠∵DEG HEF ∠=∠，FCG HCB ∠=∠∴2F D B ∠=∠+∠ 即1()2F D B ∠=∠+∠，也可连接EC ，而后利用等量代换求证．【精讲精练】--燕尾型【例11】．如图，∠A=30 ，∠B=73 ，∠C=37 求∠ADC 的度数．【答案】140︒．【变式8】．如图所示∠D=150 ，∠B=50 ，∠C=40 ，则∠A=________．【答案】150504060A D B C ∠=∠-∠-∠=︒-︒-︒=︒．【变式9】．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D=_________．【答案】220°．【变式10】．如图，∠ABD ，∠ACD 的角平分线交于点P ，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P 的度数为() A ．15° B ．20° C ．25° D ．30°AB120°100°D CBA【例12】．如图，∠A+∠BCD=140 ，BO 平分∠ABC ，DO 平分∠ADC ，∠BOD=______.【答案】70︒.【变式11】．如图，延长四边形ABCD 对边AD ，BC 交于F ，DC ，AB 交于E ．若∠AED 、∠AFB 的平分线交于O ，求证：()12EOF EAF BCD ∠=∠+∠【答案】∵∠AED ，∠AFB 的平分线交于点O ，∴2AFB OFB ∠=∠，2AED OED ∠=∠，∴EAF BCD EAF ECF ∠+∠=∠+∠180180AFB BFE FED AED BFE FED =︒-∠-∠-∠-∠+︒-∠-∠3602222OFB OED BFE FED =︒-∠-∠-∠-∠()21802OFB OED BFE FED EOF =︒-∠-∠-∠-∠=∠， ∴()12EOF EAF BCD ∠=∠+∠．【例13】．如图所示，DC 平分∠ADB ，EC 平分∠AEB ，试探索∠DBE 与∠DAE 和∠DCE 的关系： ． O F EDC BA【答案】连接DE ，∵在BDE ∆中，180DBE BDE BED ∠+∠+∠=︒∴180BDE BED DBE ∠+∠=︒-∠∵在ADE ∆中，180DAE ADE AED ∠+∠+∠=︒又∵ADE ADB BDE ∠=∠+∠，AED AEB BED ∠=∠+∠∴180()DAE ADB AEB BDE BED ∠+∠+∠=︒-∠+∠180(180)DBE DBE =︒-︒-∠=∠∴ADB AEB DBE DAE ∠+∠=∠-∠在DCE ∆中，180DCE CDE CED ∠+∠+∠=︒ ∵1()()2CDE CED ADB AEB BDE BED ∠+∠=∠+∠+∠+∠ ∴1180()()2DCE DBE DAE BDE BED ∠=︒-∠-∠-∠+∠ 11()()22DBE DBE DAE DBE DAE =∠-∠-∠=∠+∠， 即：1()2DCE DBE DAE ∠=∠+∠【例14】．如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =____________.【答案】360.C【变式12】．如图，AB //CD ，∠A =30 ，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E =________.【答案】240︒.【例15】．如图，点D ，E ，F 为△ABC 三边上的一点，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=________.【答案】360︒.【精讲精练】--双角平分线型【例16】．如图，在△ABC 中，∠ACB 和∠ABC 的角平分线交于点O ，若∠BOC=130 ，连接AO ，则∠BAO 的度数是________.【答案】40︒.DCBBC【变式13】．如图，在直角①ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D. 若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数．【例17】．如右图所示，BD是∠ABC的角平分线，CD是△ABC的外角平分线，BD、CD交于点D，试探索∠A与∠D之间的关系：．【答案】∵ACE A ABC∠=∠+∠∵12DCE ACE∠=∠，12DBC ABC∠=∠∴12DCE A DBC ∠=∠+∠∵DCE D DBC ∠=∠+∠∴12D DBC A DBC∠+∠=∠+∠，即12D A∠=∠【变式14】．如图，在△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线相交于D，∠D=40．则∠A等于( ) A．50︒B．60︒C．70︒D．80︒【答案】依题意有21ABC ∠=∠，22ACE ∠=∠2(21)ACE ABC ∠-∠=∠-∠，根据三角形内角和定理的推论，有ACE ABC A ∠-∠=∠，21D ∠-∠=∠，所以：2A D ∠=∠，40D ∠=︒，80A ∠=︒．【例18】．如右图所示，BD 是△ABC 的外角平分线，CD 也是△ABC 的外角平分线，BD 、CD 交于点D ，试探索∠A 与∠D 之间的关系：_________.【答案】∵EBC A ACB ∠=∠+∠，FCB A ABC ∠=∠+∠∴180EBC FCB A ABC ACB A A ∠+∠=∠+∠+∠+∠=+∠ ∴11()9022EBC FCB A ∠+∠=+∠ ∵12DBC EBC ∠=∠，12DCB FCB ∠=∠ ∴11()9022DBC DCB EBC FCB A ∠+∠=∠+∠=+∠ ∵在DBC ∆中，180D DBC DCB ∠+∠+∠=∴1901802D A ∠++∠=，即1902D A ∠=-∠12A B C DE【变式15】．如图，∠ABC=∠ACB ，AD 、BD 、CD 分别平分△ABC 的外角∠EAC 、内角∠ABC 、外角∠ACF ．以下结论：①AD//BC ；②∠ACB=2∠ADB ；③∠ADC=90 -∠ABD ；④BD 平分ADC ∠；⑤12BDC BAC ∠=∠．其中正确的结论有_______________．【答案】①②③⑤．【课后作业】1．在Rt △ABC 中，∠C =90 90C ∠=︒，将∠C 沿DE 向三角形内折叠，使得点C 落在△ABC 内部，如图，则∠1+∠2( ).A .90︒B .135︒C .180︒D .270︒【答案】C .2．如图，∠1=28 ，∠2=96 ，∠3=39 则∠4=________.【答案】17︒.BCBDE A BE．如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的度数【答案】180︒.4．如图所示，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G 的度数.【答案】540°.连结FB ，A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=五边形内角和=540°.5．如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，若∠B =35 ，∠ACE =60 ，则∠A =______.【答案】85︒.6．如图，在△ABC 中，AD 、AE 分别是△ABC 的高和角平分线，若∠B=40 ∠EAD=16 ，则∠C 的度数是_______.【答案】72︒.EFD A BCC DBC7．已知一个多边形的内角和是900 ，则这个多边形是_________边形. 【答案】七.8．如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCED 的外部时，则∠A 与∠1、∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找一找这个规律，你发现的规律是( ).A .2212A ∠=∠-∠B .()2212A ∠=∠-∠C .212A ∠=∠-∠D .12A ∠=∠-∠【答案】C .证明：∵折叠，∴','ADE A DE AED A ED ∠=∠∠=∠. ∵1'180ADE A ED ∠+∠+∠=︒，∴12180ADE ∠+∠=︒. ∵'1802AED A ED ∠+∠=︒+∠，∴21802AED ∠=︒+∠. ∴12+2180+1802ADE AED ∠+∠∠=︒︒+∠， 即()122360ADE AED ∠-∠+∠+∠=︒ ∵180AED ADE A ∠+∠=︒-∠， ∴()122180360A ∠-∠+︒-∠=︒. ∴212A ∠=∠-∠.9．如右图所示，在△ABC 中，CD 、BE 是外角平分线，BD 、CE 是内角平分线，BE 、CE 交于E ，BD 、CD 交于D ，试探索∠D 与∠E 的关系： ．D EBCCA【答案】在BEO ∆和DCO ∆中，∵11118090222EBO ABF ABC ∠=∠+∠=⨯︒=︒同理90DCO ∠=︒ ∴EBO DCO ∠=∠∵EOB DOC ∠=∠，∴D E ∠=∠10．已知△ABC ，判断以下三个结论是否正确，并加以证明．(1)如图a ，若点P 是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，则1902P A ∠=︒+∠；(2)如图b ，若P 点是∠ABC 和外角∠ACE 的角平分线的交点，则12P A ∠=∠；(3)如图c ，若P 点是∠CBF 和∠BCE 的角平分线的交点，则1902P A ∠=︒-∠．【答案】(1)∵点P 是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点， ∴12PBC ABC ∠=∠，12PCB ACB ∠=∠，∴()()11801802P PBC PCB ABC ACB ∠=︒-∠+∠=︒-∠+∠ 11∴12PBC ABC ∠=∠，12PCE ACE ∠=∠，∴()()1118022P PBC PCB PCE PBC ACE ABC A ∠=︒-∠+∠=∠-∠=∠-∠=∠； (3)∵点P 是∠CBF 和∠BCE 的角平分线的交点， ∴12PBC CBF ∠=∠，12PCB BCE ∠=∠，∴()()11801802P PBC PCB CBF BCE ∠=︒-∠+∠=︒-∠+∠ ()()11118018018090222ACB A ABC A A A =︒-∠+∠+∠+∠=︒-︒+∠=︒-∠．第3讲 三角形的边综合【教学目标】1．熟练掌握三角形三边关系，会利用三边关系解决问题.2．理解并掌握线段不等关系的证明. 3．掌握与中点相关的线段和角度的计算.【知识梳理】三角形两边之和大于第三边；两边只差小于第三边.【精讲精练】--三角形的整数边及其相关计算【例1】．长为10，7，6，4的四根木条，选其中三根首尾相接组成三角形，选法有( ) A .4种 B .3种 C .2种 D .1种 【答案】B【例2】．a 、b 、c 为三角形的三边长，化简a b c b c a c a b --+--+--，若此三角形周长为11，求上面式子的值. 【答案】11.∵三角形任意两边之和大于第三边∴原式【例3】．已知△ABC 有两边长为a ，b ，其中a <b ，则其周长l 一定满足( ). A .22()b l a b <<+ B .22a l b << C .a l a b <<+ D .2a l a b <<+ 【答案】A .【例4】．已知三角形三边的长均为整数，其中某两条边长之差为5，若此三角形周长为奇数，则第三边长的最小值为( ).A .8B .7C .6D .4 【答案】6.设a -b =5，由已知可得a +b +c 为奇数，所以c 为偶数，且c >a -b ，所以c 的最小值为6.【精讲精练】--线段不等关系证明【例5】．在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，问1()2AD BD AB AC +>+成立吗？为什么？【答案】成立.由题意，BD CD =，在ABD △中，AD BD AB +>①，在ACD △中，AD CD AC+>②，由+①②，得2AD BD CD AB AC ++>+，即：1()2AD BD AB AC +>+.【例6】．如图，P 是△ABC 内一点，请想一个办法说明AB +AC >PB +PC .B DCAPABCDPCBA∵在ABD △中，，①在DPC △中，DP DC PC >＋，②由①、②，∴()AB AD DC DP BP PC DP >＋＋＋＋＋.即AB AC PB PC >＋＋.【例7】．如图，AC 、BD 是四边形ABCD 的对角线，且AC 、BD 相交于点O .求证：(1)AB CD AC BD +<+； (2)1()2AC BD AB BC CD AD +>+++.ADB CO【答案】(1)在ABO △中，AO BO AB +>， 在CDO △中，CO DO CD +>，两不等式相加得，∴AB CD AO BO CO DO +<+++ 即AB +CD <AC +DB .(2)应用上题的结论：AB CD AC BD +<+，AD BC AC BD +<+，∴1()2AC BD AB BC CD AD +>+++.【精讲精练】--与中线(中点)相关的计算【例8】．在△ABC 中，D 是BC 上的点，且BD :DC =2:1，12ACD S =△，那么ABC S =△__________. 【答案】36.【例9】．如图所示，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，且24ABC S cm =△，则=S 阴影________.【答案】21cm .【例10】．已知△ABC ，请你用两种不同的方法把它分成面积之比为1:2:3的三个三角形.【答案】可以把三角形先两等份，再把其中一个再两等份，所以联想到作三角形的中线.方法1：取BC 的中点E ，然后在BE 上取点D ，使13BD BE =，则AD ，AE 把△ABC 分成面积之比为1：2：3的三个三角形(如左图).方法2：在BC 边上截取1=3DC BC ，连结AD ，然后取AB 的中点P ，连结BP ，CP ，则△PAC ，△PAB ，△PBC 的面积之比为1:2:3(如右图).【课后作业】一个三角形的两边分别是5和11，若第三边是整数，则这个三角形的最小周长是________. 【答案】23.a 、b 、c 为三角形的三边长，化简a b c b c a c a b --+--++-. 【答案】3c a b +-.如图矩形ABCD 中，AB =8，CB =4，E 是CD 的中点，14BF BC =，则四边形DBFE 的面积为__________.【答案】10. AB C AB CPD DE AB CC BAFB如图，△中，是上一点求证：(1)2AB BC CA CD >＋＋； (2)2AB CD AC BC >＋＋.【答案】(1)在△ACD 中，CA AD CD +>①，在△BCD 中，BC BD CD+>②，由+①②，得2CA AD BC BD CD +++>，即：2AB BC CA CD >＋＋； (2)在△ACD 中，CD AD AC +>①， 在△BCD 中，CD BD BC +>②，由+①②，得2CD AD BD AC BC ++>+，即：2AB CD AC BC >＋＋.在如图1至图3中，△ABC 的面积为a .(1)如图1，延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD =BC ，连结DA .若△ACD 的面积为1S ，则1S =_______(用含a 的代数式表示)；(2)如图2，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD =BC ，AE =CA ，连结DE .若△DEC 的面积为2S ，则2S =__________(用含a 的代数式表示)，并写出理由；(3)在图2的基础上延长AB 到点F ，使BF =AB ，连结FD =FE ，得到△DEF (如图3).若阴影部分的面积为3S ，则3S =DCBA图3图2图1发现：像上面那样，将△各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△如图，此时，我们称△向外扩展了一次.可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的______倍.应用：去年在面积为210m 的△ABC 空地上栽种了某种花卉.今年准备扩大种植规模，把△ABC 向外进行两次扩展，第一次由△ABC 扩展成△DEF ，第二次由△DEF 扩展成△MGH (如图4).求这两次扩展的区域(即阴影部分)面积共为多少___________2m ？【答案】(1)由CD =BC ，可知AC 就是△ABD 的中线，中线AC 将△ABD 的分成两个三角形△ABC 、△ACD ，这两个三角形等底等高，所以它们的面积相等；所以1S a =；(2)若连接DA ，则DA 就是△ECD 的中线，中线DA 将△ECD 分成△CDA ，△EDA ，它们的面积相等；所以22S a =； (3)根据以上分析，可知△BFE ，△CED ，△EAF 面积都为2a ；所以26S a =；发现：由题意可知扩展一次后的△DEF 的面积是367DEF ABC S S S a a a =+=+=△△；即扩展一次后的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的7倍. 应用：由以上分析可知 扩展一次后17S a =总， 扩展二次后2217S S a ==总总， 扩展三次后3327S S a ==总总，拓展区域的面积：()227110480m -⨯=.图4H第4讲 三角形的角度综合【教学目标】掌握三角形内角和、外角相关角度关系，会利用角度模型求角度.熟练掌握与角平分线相关角度关系计算，灵活运用辅参法简化几何过程. 了解折叠在题目中的作用，会做相关折叠类导角题目.【知识梳理】注意：燕尾模型结论的常用证明方法：BC DBCAD EBCAD【精讲精练】--三角形导角模型【例11】．(1)如图1，∠A =70°，∠B =40°，∠C =20°，则∠BOC =__________. (2)如图2，∠3=20 ，∠4=30 则∠1-∠2___________.图1 图2【答案】(1)130°；(2)10°.【例12】．(1)如图1，△ABC 中，点D 在BC 的延长线上，过D 作DE ⊥AB 于E ，交AC 于F .已知∠A =30 ，∠FCD =80 ，则∠D 的度数为___________.(2)如图2，∠1=105 ，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =______. (3)如图3，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E =______.E CABDF105︒图1 图2 图3 【答案】(1)40︒；(2)210︒；(3)180︒.【例13】．(1)如图1，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E =______. (2)如图2，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =______.CBOA4321EDCBAAB CDE图1 图2【答案】(1)本题既可按“8字模型”来考虑，也可按照燕尾模型来做，也可以应用外角定理来解决，此题可以锻炼学生一题多解，熟练灵活的应用.①如图1，连接CD ，应用“8字模型”B E ECD BDC ∠+∠=∠+∠，180A B CDE ∠+∠+∠+∠+∠=︒. ②如图2，应用燕尾模型，∵A C D CFD BFE ∠+∠+∠=∠=∠ ∵180B E BFE ∠+∠+∠=︒，∴180A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠=︒ ③如图3，应用外角定理，∵1,2C E B D ∠+∠=∠∠+∠=∠ 又∵12180A ∠+∠+∠=︒，∴=180A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠︒图1 图2 图3(2)法一：∵∠A +∠B =∠5+∠6 ① ∠C +∠D =∠4+∠6 ② ∠E +∠F =∠4+∠5 ③①+②+③=2(∠4+∠5+∠6)，∵456180∠+∠+∠=°. ∴360A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=°.法二：∵1180A B ∠+∠+∠=︒， ① 3180C D ∠+∠+∠=︒， ② 2180E F ∠+∠+∠=°. ③ 而14∠=∠，26∠=∠，35∠=∠，且456180∠+∠+∠=°. ④ ∴①+②+③-④得，360A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=° 法三：连接ED ，A B BED ADE ∠+∠=∠+∠∴360A B C D E F F C FED CDE ∠+∠+∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=°【例14】．(1)如图1，α=133 β=83 ，则∠A +∠B +∠C +∠D =______. (2)如图2，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E =______.EF DC BA 图3图2图1EDCBA21ABCDEFEDCBA 654321F EDC BA。

七年级数学培优练习10（认识三角形）一．选择题1．在下列长度的四根木棒中，能与长为3cm、8cm的两根木棒围成一个三角形的是（）. A．3cm B．5cm C．8cm D．11cm2．适合条件∠A=∠B=∠C的三角形一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．任意三角形）3．将一副直角三角尺按如图所示摆放，则图中锐角∠α的度数是（）A．45°B．60°C．70°D．75°4．为估计池塘两岸A，B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA=16m，PB=12m，那么AB间的距离不可能是（）A．15m B．17m C．20m D．28m)5．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．10#6．如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A=60°，则∠BOC等于（）A．110°B．115°C．120°D．130°7．如图，已知：D，E分别是△ABC的边BC和边AC的中点，连接DE，AD，若S△ABC=24cm2，则△DEC的面积的面积为（）A．4cm2B．6cm2C．8cm2D．12cm28．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移到Rt△DEF，则下列结论中，错误的是（）A．BC=EF B．BE=ECC．AC=DFD．△ABC≌△DEF9．如图，若△ABC≌△DEF，∠A=45°，∠F=35°，则∠E等于（）A．35°B．45°C．60°D．100°]第6题图:第7题图第5题图第3题图第4题图、10．如图，△ABC 面积为1，第一次操作：分别延长 AB ，BC ，CA 至点A 1，B 1，C 1，使A1B=AB ，B 1C=BC ， C 1A=CA ，顺次连接A 1，B 1，C 1，得到△A 1B 1C 1．第二 次操作：分别延长A 1B 1，B 1C 1，C 1A 1至点A 2，B 2，C 2， 使A 2B 1=A 1B 1，B 2C 1=B 1C 1，C 2A 1=C 1A 1，顺次连接A 2， B 2，C 2，得到△A 2B 2C 2，…按此规律，要使得到的三角形 &的面积超过2016，最少经过（ ）次操作．A ．6B ．5C ．4D ．3 二．填空题11．已知等腰三角形的两边长分别为3和6，那么三角形周长是 ．12．△ABC 的三个外角的度数之比为2：3：4，此三角形最小的内角等于 °．13．如图，△ABC 中，∠ACB ＞90°，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，垂足分别为D 、E 、F ，则线段 是△ABC 中AC 边上的高．，14．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，若∠1=30°，∠2=20°，则∠B= ．15．如图，在△ABC 中，AD 为△ABC 的中线，BE 为△ABD 的中线，若S △ABC =80，BD=8，则点E 到BC 边的距离为 ．{16．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3= ．17．三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”，如果一个“特征三角形”的“特征角”为110°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 ．三．解答题18.如图，某校有一块正方形花坛，现要把它分成4块全等的部分，分别种植四种不同品种的花卉，图中给出了一种设计方案，请你再给出四种不同的设计方案．第10题 图 第13题图 ；第14题图 第15题图 第16题图^19．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的：（1）图1中的∠ABC的度数为．（2）图2中已知AE∥BC，则∠AFD的度数为．]20．如图，AD是△ABC的高，BE是△ABC的内角平分线，BE、AD相交于点F，已知∠BAD=40°，求∠BFD的度数．…21．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，ED⊥AB于D，∠1=∠2．（1）求证：FG∥BC；（2）若∠A=60°，∠AFG=40°，求∠ACB的度数．、`】22．Rt△ABC中，∠C=90°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点．（1）若点P在线段AB上，如图①，且∠α=65°，则∠1+∠2=；（2）若点P在斜边AB上运动，如图②，探索∠α、∠1、∠2之间的关系，并说明理由．`23．将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C．（1）如图①，若∠A=40°时，点D在△ABC内，则∠ABC+∠ACB=度，∠DBC+∠DCB=度，∠ABD+∠ACD=度；（2）如图②，改变直角三角板DEF的位置，使点D在△ABC内，请探究∠ABD+∠ACD与∠A 之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论．（3）如图③，改变直角三角板DEF的位置，使点D在△ABC外，且在AB边的左侧，直接写出∠ABD、∠ACD、∠A三者之间存在的数量关系．。

认识三⾓形（基础加培优都有）第五讲：认识三⾓形⼀、知识点1、三⾓形三边之间的关系：；。

2、三⾓形的分类（按⾓） 34、三⾓形边⾓之间的关系：。

5、三⾓形的内⾓和等于：； 67、三⾓形的三线⼆、经典题型精讲题型⼀、考查三边关系例1、两根⽊棒的长分别为7cm 和10cm ，要选择第三根⽊棒将他们订成⼀个三⾓形框架，则第三根⽊棒长为x （cm ）的取值范围时（） A 、x<17 B x>3 C 0例4、若三⾓形的三边为3、2a-1、3a-4，求a 的取值范围。

例5、如图，O 为ABC ?内⼀点. 求证：)(21CA BC AB OC OB OA ++>++练习：1、三⾓形的两边的长是2和7，第三边事奇数，则三⾓形的周长是。

2、已知⼀个等腰三⾓形的两边分别为2和8，求这个三⾓形的周长。

3、已知⼀个三⾓形的两边分别为3和9，第三边长为奇数，求这个三⾓形的周长。

4、已知三⾓形的三边长分别为4，x ，6-x ，求x 的取值范围。

5、已知四边形ABCD 的四边分别为a,b,c,d ，若a=3，b=4，d=10，则c 的取值范围是。

6、如图，D 、E 是三⾓形内部两点，求证：AB+AC>BD+DE+EC题型⼆、三⾓形的分类例1、三⾓形中若三⾓的⽐为211：：，则这个三⾓形是三⾓形，练习：1、在ΔABC 中，C B A ∠=∠=∠3121，这个三⾓形是三⾓形。

2、在ΔABC 中，若?=∠-∠90B A ，则三⾓形是（）三⾓形A 、直⾓三⾓形B 、锐⾓三⾓形C 、钝⾓三⾓形D 、锐⾓或钝⾓三⾓形ED C B A题型三、三⾓形的内⾓和定理例1、CBA∠=∠=∠,80，则=∠B_____________；例2、如图，40,15,35,B CA B C D∠=?∠=?∠=?∠=则_________;例3、如右图，ΔABC为直⾓三⾓形，l为任意的⼀条直线，把三⾓形分成两部分，则图中=∠+∠21（）A、?315 B、?270 C、?180 D、?135例4、如下图，求图中7654321∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数。

1、下列条件：①∠A+∠B=∠C ，②∠A ：∠B ：∠C=2：3：4，③∠A=90°-∠B ，④∠A=∠B= 12∠C ；其中能判断△ABC 是直角三角形的有（ ）个 A 、1 B 、2 C 、3 D 、42、如图，在△ABC 中，CD ⊥BC 于点C ，点D 在AB 的延长线上，则CD 是△ABC 的（ ）A 、BC 边上的高B 、AB 边上的高C 、AC 边上的高D 、以上都不对3、已知不等腰三角形的两边长分别是2cm 和9cm ，如果第三边长是整数，那么第三边长为（ ）cmA 、8B 、10C 、8或10D 、8或9或104、下列说法中正确的是（ ）①三角形三条中线都在三角形内部，②三角形三条角平分线都在三角形内部，③三角形三条高都在三角形内部；A 、①②③B 、①②C 、②③D 、①③5、如图所示，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为BC ，AD ，CE 的中点，且S △BEF =4cm 2，则△AEC 的面积是（ ）cm 2A 、4.5B 、2.25C 、4D 、56、以下列长度的线段为边，能构成三角形的是（ ）A 、3，6,9B 、3,5,9，C 、2,6,4D 、4,6,97、在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=12：7：5，则△ABC 是（ ）A 、钝角三角形B 、锐角三角形C 、直角三角形D 、等腰三角形8、如图，将纸片△ABC 沿着DE 折叠压平，则（ ）A 、∠A =∠1+∠2；B 、∠A =12 (∠1+∠2)；C 、∠A =13 (∠1+∠2)；D 、∠A =14(∠1+∠2)9、如图，△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的外角分别记为α，β和γ，若α：β：γ=3：4：5，则∠A ：∠B ：∠C=（ ）A 、3：2：1；B 、1：2：3；C 、3：4：5；D 、5：4：310、如图，BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 领补角的平分线，若∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P=（ ）A 、 70°B 、80°C 、90°D 、100°11、如图，若直线l 1∥l 2，∠A=125°，∠B=85°，则∠1+∠2=（ ）A 、30°B 、35°C 、36°D 、40°12、如图，△ABC 中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E 在BC 延长线上，∠ABC 的平分线BD 与∠ACE 的平分线相较于点D ，连接AD ，则下列结论不正确的是（ ）A 、∠ACE=70°B 、∠ACE= 90°C 、∠ACE=35°D 、∠ACE=55°13、如图，已知△ABC 中，∠A =∠ACB ，CP 平分∠ACB ，BD 、CD 分别为△ABC 的外角平分线，给出以下结论：①CP ⊥CD ；②∠D=90°- 12∠A ；③PD ∥AC ，其中正确结论的个数是（ ）个A 、0B 、1C 、2D 、314、如图，∠ABC=31°，又∠BAC 的平分线AE 与∠FCB 的平分线CE相交于E 点，则∠AEC 的度数为（ ）A、14.5°B、15.5°C、16.5°D、20°15、如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC，给出下列结论：①∠BAD=∠C；②∠AEF=∠AFE；③∠EBC=∠C；④AG⊥EF，其中正确结论的序号是（）A、②③④；B、①③④；C、①②④；D、①②③16、三角形三边长分别为8,19，a，则最长边a的取值范围是______________17、如图，∠A=65°，∠B=75°，将纸片一角折叠，使得点C落在△ABC内，若∠2=33°，则∠1=_____________18、用9根相同的火柴棒拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、折叠、折断，则能摆出_____________个不同的三角形19、如图，在6×6正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点上已有两个点A、B，再找一个格点C，使得△ABC的面积为2，这样的C点有_____________个20、在长方形网格中，每个小长方形长为2，宽为1，A、B两点是格点，再找一个格点C，使得△ABC的面积为2，满足条件的C点有_____________个21、如图，a∥b，∠1+∠2=75°，则∠3+∠4=_____________22、如图1是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE=____________23、如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设△ADC面积为S1，△ACE面积为S2，若S△ABC=6，则S1 -S2=____________24、小亮家离校1km，小明家离校3km，如果小亮家和小明家距离xkm，则x的取值范围是_____________25、如图，BM是△ABC中AC边上的中线，AB=5cm，BC=3cm，那么△ABM和△BCM的周长之差是_____________26、已知AD为△ABC的中线，E为AD的中点，若△ABC的面积为20，BD=4，求点E到BC的距离27、如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的度数28、如图，已知∠AOB=90°，点C、D分别在射线OA、OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于F点，（1）当∠OCD=50°时（如图1），试求∠F（2）当点C、D在射线OA，OB上任意移动时（不与点O重合）（如图2），∠F的度数是否发生变化，若变化，说明理由；若不变，求出∠F的度数。

知识导图第一节三角形中考考点分析在教材中的地位重点、难点三角形在阶段性考试中的要求为灵活应用．其中三角形中内、外角定理常应用在角度代换中，三角形三边关系则常与不等式、最值问题结合出现在考查学生思维能力的题中，对学生能力要求比较高．三角形是最基本、最简单的多边形，三角形既是前面学过的线段、角等知识的延续，又是学习四边形、相似性、同等知识的基础．认识三角形是这一章的起始课，是学习三角形其他知识的铺垫．掌握三角形中的基本概念，能够运用三角形三边关系解决一些问题．理解三角形的高、中线、角平分线的含义，并能作出这三种重要线段．能够对内角和进行合理的解释，并且掌握外角的概念及与外角有关的两个推论．考点与实例分析讲点1 认识三角形：定义、分类、稳定性 例1 如图，回答下列问题：(1)三角形ABC 可记为 ，它的三条边分别是 ，三个顶点分别是 ，三个内角分别是 ．(2)三角形按边分类可分为 三角形和 三角形；等腰三角形可分为底与腰 的三角形和底与腰 的三角形； (3)以AB 为一边的三角形有 个．B ED CA题意分析 可通过寻找线段的方式确定三角形的个数．解答过程：解题后的思考：练1．1 一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这种做法的依据是( )． A ．三角形的稳定性 B ．两点之间线段最短 C ．两点确定一条直线 D ．垂线段最短 讲点2 三角形的边：三边关系例2 以下列每组长度的三条线段为边，能组成三角形的是( )． A ．2，3，6 B ．2，4，6 C ．2，2，4 D ．6，6，6 题意分析 两点之间线段最短．解答过程： 解题后的思考：练2．1 在△ABC 中，AB ＝2cm ，AC ＝5cm ，△ABC 的周长为奇数，则BC 的长可能是( )．A ．2 cmB ．5 cmC ．6 cmD ．7 cm（2014，武昌区七校联考）练2．2 某等腰三角形的两条边长分别为3 cm 和6 cm ，则它的周长为( )．A ．9 cmB ．12 cmC ．15 cmD ．12 cm 或15 cm（2013，江岸区期中）讲点3 三角形的高、中线、角平分线例3 下列图形中，作△ABC 中AC 边上的高，正确的是( )．ACBEBCAEBCA EBCAEA B C D 题意分析 三角形的高的作法：过顶点作底边的垂线．解答过程：解颖詹的思考：练3．1 如图，已知AD ，AE 分别为Rt △ABC 的高和中线，AB ＝6 cm ，AC ＝8cm ，BC ＝10 cm ，试求： (1) AD 的长； (2)△ABE 的面积；(3)△ACE 和△ABE 的周长之差．B ED CA练3．2 一个锐角三角形残片如图所示，若不恢复这个残角，你能否作出AB 边上的高所在的直线？试说明具体作法及理由．AB讲点4 三角形的内角和：角度求解、方程思想求角度例4 △ABC 中，∠C ＝50°，∠A ＝∠B ＋10°，求∠B 的度数．（2014，硚口区期中）题意分析 通过方程思想确定三角形的各个角度．解答过程： 解题后的思考：练4．1 等腰三角形中有一个角是40°，则另外两个角的度数是( )． A ． 70°，70° B ．40°，100°C ． 70°， 40°D ． 70°， 70°或40°， 100°（2013，江岸区期中）练4．2 如图，B 处在A 处的南偏西65°方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，C 处在B 处的北偏东85°方向，则∠ACB 的度数是( )．A ． 80°B ．75°C ．85°D ．70°（2014，硚口区期中）CBA讲点5 三角形的外角：定义、性质、外角和例 5 一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如图所示的图形，其中∠C ＝90°，∠B ＝45°，∠E ＝30°，则∠BFD ＝题意分析 三角形的外角等于不相邻的两个内角和． 解答过程：解题后的思考：练5．1 如图，△ABC 中，∠C ＝75°，若沿图中直线l 截去∠C ，则∠1＋∠2＝（2014，江汉区期中）21lABC练5．2 如图，已知∠ABC ＝35°，∠C ＝47°，BD ⊥AC ，AE 平分∠BAC ，求∠BFE 的度数．（2014，汉阳区期中）AC D BF E讲点6 基本图形：角平分线例6 如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A ＝100°，则x ＝100x4321CAB题意分析 设未知数整体代换确定的角度． 解答过程 解题后的思考：练6．1 如图，已知∠B ，∠C 的外角平分线交于点D ，∠A ＝40°，那么∠D ＝21EBDCAF练6．2 已知△ABC ．(1)如图1，若P 点为∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，试证明： ∠P ＝90°＋12∠A ； PBAC图1(2)如图2，若P 点为∠ABC 和∠ACD 的角平分线的交点，试证明： ∠P ＝12∠A ； PDACB图2(3)如图3，若P 点为外角∠CBD 和∠BCE 的角平分线的交点，试证明：∠P ＝90°－12∠A ．PEBCDA图3考点与课堂练习1．现有长分别为3 cm ，4 cm ，7 cm ，9 cm 的4根木棒，任取其中3根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（2012，长沙）2．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 的纸片，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，将△ADE 沿着DE 折叠压平，使A 与A '重合，若∠A ＝75°，则∠1＋∠2＝( )． A ．150° B ．210°C ．105°D ．75°（2012，河南）21E DAABC3．如图，在△ABC 中，点P 是△ABC 的内心，则∠PBC ＋∠PCA ＋∠P AB ＝（2011，江西）PACB4．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，FD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∠AFD ＝158°，则∠EDF 的度数等于 ．AE CBDF5．如图，AD ，AE 分别是△ABC 的中线和高，且AB ＝6 cm ，AC ＝3 cm ． (1)求△ABD 与△ACD 的周长之差；(2)若△ABC 的面积为12 cm 2，求△ABD 的面积．ACBDE6．如图，△ABC 中，D 是BC 上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝ 63°，求∠DAC 的度数．43CAD 12B7．△ABC 中，∠A 是∠B 的3倍，∠A 是∠C 的6倍，求∠A ，∠B ，∠C 的度数．8．如图，在△ABC 中，∠ACB －∠B ＝90°，∠BAC 的角平分线交BC 于点E ，∠BAC 的外角∠CAD 的角平分线交BC 的延长线于F 点，试判断△AEF 的形状．ADBC E F9．如图，∠B ＝45°，∠A ＝30°，∠C ＝25°，求∠ADC 的大小．ACBD10．如图，△ABC 中，∠B <∠C ，AE 平分∠BAC ，AD ⊥BC 于点D ，试写出∠EAD ，∠B ，∠C 之间的等量关系，并说明理由．CBDAE11．如图，△ABC 中，∠ACB >90°，AE 平分∠BAC ，AD ⊥BC 交BC 的延长线于点D ，则∠DAE ，∠ACB ，∠B 之间存在某种等量关系，试写出这种等量关系，并说明理由．B DACE12．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，EF ⊥AD 于点E ，试写出∠B ，∠ACB 与∠F 之间的一个等量关系，并说明理由．H GCADBEF13．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠CAB ，∠CBA 的平分线相交于点D ，BD 的延长线交AC 于E ，求∠ADE 的度数．ABCD E14．如图，△ABC 中，∠A ＝80°，延长BC 到D 点，∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2．依次类推，∠A 2BC 与∠A 2CD 的平分线相交于点A 3，则∠A 3的度数为多少？若再画下去，∠A n 的度数为多少？AABCD15．阅读下面的问题并解答：如图1，在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的角平分线交于点O ，则 ∠BOC ＝90°＋12∠A ＝12×180°＋12∠A ． 如图2，在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的三等分线分别相交于点O l ，O 2，则 ∠BO 1C ＝23×180°＋13∠A ， ∠BO 2C ＝13×180°＋23∠A ．OACBO 2O 1AB图1 图2(1)你能猜想出它的规律吗？n 等分时（内部有n －l 个点），∠BO 1C ＝ ，∠BO n －1C ＝_ ___．（用含n 的代数式表示）．(2)当n ＝4时，证明(1)中猜想的∠BO 1C 的度数成立．16．如图，已知点O 为△ABC 内任意一点，证明：(1) OA ＋OB ＋OC >12(AB ＋BC ＋AC ); OAC B(2) AB ＋AC >OB ＋OC ;(3) AB ＋AC ＋BC >OA ＋OB ＋OC ;(4)若A ，B ，C 为三个村庄，AB ＋AC ＋BC ＝10 km ，若要在△ABC 内建一个供水站O 向三个村庄按如图路线供水，问需要的水管长度是多少？课后反馈1．如图，在△ABC 中，画出∠B 的平分线，边AB 上的中线，边AC 上的高． CB A2．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且a ＝4，b ＝6．若三角形的周长是小于18的偶数，(1)求c 边的长； (2)判断△ABC 的形状．3．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，∠1＝∠2，∠BAD ＝40°，求∠EDC 的度数．1402DB ACE4．如图，AD ，AF 分别是△ABC 的高和角平分线，已知∠B ＝36°，∠C ＝76°，求∠DAF 的度数．AD B F C5．如图，在△ABC 中，BD ，CD 分别是△ABC 的外角∠CBE ，∠BCF 的平分线，试证明：∠D ＝90°－ 12∠A ． CDFE B A。