概率论与数理统计课件

第一章 概率论的基本概念
§1.1 随机事件及其运算 §1.2 概率的定义及其性质 §1.3 古典概型与几何概型 §1.4 条件概率 §1.5 独立性
§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象
自然界的现象按照发生的可能性（或者必然 性）分为两类：
一类是确定性现象，特点是条件完全决定结果 一类是随机现象，特点是条件不能完全决定结 果 在一定条件下，可能出现这样的结果，也可 能出现那样的结果，我们预先无法断言，这类现 象成为随机现象。
”:
ABC
: ABCABCABC
: AC BABC ABC
n
n
记作 A i 或 A i
i1
i1
3. 积（交）事件 : 事件A与事件B同时发生，
记作 AB 或AB。
显然：ABA，ABB；若AB，则AB=A。
推广：n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作
n
n
A1A2…An或 A i 或 A i
i1
i1
4. 差事件： A－B称为A与B的差事件, 表示事件 A发生而事件B不发生
1.1.3 随机事件与样本空间
v样本空间: 试验的所有可能结果所组成的集合称为 试验E的样本空间, 记为Ω. v样本点: 试验的每一个可能出现的结果（样本空 间中的元素）称为试验E的一个样本点, 记为ω.
例1-2：
分别写出例1-1各试验 E k 所对应的样本空间
1 {H,T}； 2{1， 2， 3， 4， 5， 6}；
i=1,2,3.Bj表示“三次射击恰命中目标j次”,j=0,1,2,3.试用 A1,A2,A3的运算表示Bj,j=0,1,2,3.
解 B0 A1A2A3；
B 1 A 1 A 2 A 3 A 1 A 2 A 3 A 1 A 2 A 3 ； B 2 A 1 A 2 A 3 A 1 A 2 A 3 A 1 A 2 A 3 ； B3 A1A2A3.
上述试验具有如下特点：
1.试验的可重复性——在相同条件下可重复进行；
2.一次试验结果的随机性——一次试验的可能结果不
止一个，且试验之前无法确定具体是哪种结果出现；
3.全部试验结果的可知性——所有可能的结果是预先
可知 的，且每次试验有且仅有一个结果出现。
在概率论中，将具有上述三个特点的试验成为随机试 验，简称试验。随机试验常用E表示。
基本事件：随机事件仅包含一个样本点ω，单点子集{ω}。 复合事件：包含两个或两个以上样本点的事件。
事件发生：例如，在试验E2中，无论掷得1点、3点还是5点， 都称这一次试验中事件A发生了。
如，在试验E1中{H}表示“正面朝上”，就是个基本事 件。
两个特殊的事件
必然事件：Ω； 不可能事件：φ.
既然事件是一个集合，因此有关事件间的关系、 运算及运算规则也就按集合间的关系、运算及运算规 则来处理。
显然：A-BA； 若AB，则A-B=φ。
5. 互不相容事件（也称互斥的事件）： 即事件 A与事件B不能同时发生。AB＝ 。
AB= B
A
Ω 推广：n个事件A1, A2,…, An任意两个都互不相 容，则称n个事件两两互不相容。
n
若n个事件A1, A2,…, An 两两互不相容，且 Ai i 1
则称n个事件A1, A2,…, An 构成一个完备事件组。
6. 对立（逆）事件 AB＝ , 且AB＝ 记作B A ，称为A的对立事件
显然有：
1 . A A . 2.,.
3.ABABAAB .
思考：事件A和事件B互不相容与事件A和事件B互
为对立事件的区别.
互不相容事件与对立事件是两个不同的概 念，对立事件一定是互不相容事件，互不相 容事件不一定是对立事件，对立在样本空间 只有两个事件时存在，互不相容还可在样本 空间有多个事件时存在．
例1-4：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C
分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示 下列事件：
A 1 “: 至少有一人命中目标 A 2 “: 恰有一人命中目标” A 3 “: 恰有两人命中目标” A 4 “: 最多有一人命中目标 A 5 “: 三人均命中目标” A 6 “: 三人均未命中目标”
1.1.4 事件间的关系与运算
1. 包含关系与相等： “事件 A发生必有事件B发生 ” 记为AB。 A＝B AB且BA.
A B
A
B Ω
2. 和（并）事件： “事件A与事件B至少有一个 发生”，记作AB或A+B。
显然：AAB，BAB；若AB，则AB=B。
推广：n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生，
如何研究随机现象呢？
1.1.2 随机试验
例1-1： E1: 抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况； E2: 掷一颗骰子，观察出现的点数； E3: 记录110报警台一天接到的报警次数； E4: 在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命； E5: 记录某物理量的测量误差；
E6: 在区间 0 ，1 上任取一点，记录它的坐标。
3{0， 1， 2， 3，}；4 {t|t 0}；
5t|t ， ；
6t|t0， 1.
v随机事件：样本空间的任意一个子集称为随机事件 , 简称“事件”， 记作A、B、C等。
例如在试验E2中，令A表示“出现奇数点”，A就是一个 随机事件。A还可以用样本点的集合形式表示，即A={1， 3，5}.它是样本空间Ω的一个子集。
概率论与数理统计是研究什么的？
随机现象：不确定性与统计规律性
概率论——从数量上研究随机现象的统计规律性的
科学。
数理统计——从应用角度研究处理随机性数据，建 立有效的统计方法，进行统计推理。
主要内容
第一章 概率论的基本概念 第二章 随机变量及其分布 第三章 多维随机变量及其概率分布 第四章 随机变量的数字特征 第五章 大数定律和中心极限定理 第六章 数理统计的基本概念 第七章 参数估计 第八章 假设检验
7.事件的运算性质
Ø交换律：AB＝BA，AB＝BA。
Ø结合律：(AB)C=A(BC)， (AB)C＝A(BC)。
Ø分配律：(AB)C＝(AC)(BC)， (AB)C＝(AC)(BC)。
Ø对偶(De Morgan)律：
ABAB, AB AB
可推 广 Ak Ak, Ak Ak.
k
k
k
k
例1-3： 某射手向一目标射击3次,Ai表示“第i次射击命中目标”,