直线与椭圆的位置关系课件

(2)△=0 有一个解 直线与椭圆有一个公共点 (相切)
(3)△<0 无解
直线与椭圆没有公共点 (相离)．
通法
直线与椭圆的位置关系
x2 y2

1 的位置关
例1：判断直线y=x+1与椭圆
5
4
系
相交
那么，相交所得的弦的弦长是多少？
知识点2.弦长问题
x2 y 2
若直线 l : y kx m与椭圆 2 2 1(a b 0) 的
交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
知识3.面积问题
x2
例3 已知椭圆C： y 2 1.
2
(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知点M (1,0), 且直线y x 1与椭圆C相交于A, B两点，求ABM的面积.
知识点4.中点弦问题
2
2
x y
1
例、椭圆 1, 设直线y x 1与椭圆交于
法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达
定理来处理.
2
或
AB
1
1 2
k

2
( y1 y2 ) 2 4 y1 y2
（适用于任何曲线）
x2 y2
1
例2、椭圆
1, 设直线y x 1与椭圆交于
16 4
2
A、B两点，求弦长| AB | 。
设点
解：设 A( x1 ，y1 ) ，B( x2 ，y2 )
弦长.
• (2)求以A(1,1)为中点椭圆的弦所在的直线方
程.
16 4
2
A、B两点，求线段AB的中点坐标。
分析：中点坐标
+ +

题型三 直线与椭圆的综合问题
例4
已知椭圆C：ax22＋by22＝1 (a>b>0)的离心率为
3 2
，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
ac＝ 23， 由题意可得2b＝2，
c2＝a2－b2，
解得a2＝4，b2＝1.
故椭圆 C 的标准方程为x42＋y2＝1.
(2)过点P(1,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若△ABO的面积为
则|AB|＝ 1＋14× x1＋x22－4x1x2 ＝ 54－m2＝ 5， 解得 m＝± 3. 所求直线 l 的方程为 y＝12x± 3.
命题点2 中点弦问题 例3 已知P(1,1)为椭圆 x42＋y22＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为__x＋__2_y_－__3_＝__0_.
(2)直线l的斜率为12 ，直线l与椭圆C交于A，B两点.若|AB|＝ 5 ，求直线l的 方程.
设 l 的方程为 y＝12x＋m， 点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立yx8＝ 2＋12y2x2＋＝m1，， 整理，得x2＋2mx＋2m2－4＝0. ∴Δ＝4m2－8m2＋16＞0，解得|m|＜2. ∴x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.
y＝x－ 3， 联立x42＋y2＝1， 消y得，5x2－8 3x＋8＝0，
则 x1＋x2＝853，x1·x2＝85， 所以|AB|＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2
＝ 2×
8
5
32－4×85＝85.
即弦 AB 的长为85.
3的.已弦知长椭为圆1，ay22则＋椭bx22圆＝方1(a程>b为>0_y4)_2的＋__右x_2_＝顶__1点_.为A(1,0)，过其焦点且垂直于长轴

所以可设直线 l 的方程为 y＝x＋m.
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因为直线过点 F( 3，0)，所以 0＝ 3＋m， 所以 m＝－ 3， 所以直线方程为 y＝x－ 3.(*) 把(*)式代入x42＋y2＝1 并整理得 5x2－8 3x＋8＝0， 所以 x1＋x2＝853，x1x2＝85.
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∴x1＋2 x2＝442kk22＋－1k＝2， 解之得 k＝－12.故所求直线的方程为 x＋2y－4＝0.
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法二：设直线与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(2,1)为 AB 的中
点，
∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又 A，B 两点在椭圆上， 则 x21＋4y21＝16，x22＋4y22＝16， 两式相减得(x21－x22)＋4(y21－y22)＝0， 于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0， ∴xy11－－xy22＝－4xy11＋＋xy22＝－12，即 kAB＝－12， 故所求直线方程为 x＋2y－4＝0.
y＝2x＋m，
人A数学选择性必修1
消去 y 并整理得 14x2＋12mx＋3(m2－2)＝0， 所以 x1＋x2＝－67m，x1x2＝134(m2－2)． 由弦长公式得 |AB|＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2 ＝ 5· 3469m2－76m2－2＝ 730， 解得 m＝± 13， 所以直线 l 的方程为 y＝2x± 13.
解得 k＝±36.
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直线与椭圆的位置关系 直线 y＝kx＋m 与椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)位置关系的判断方法：由 y＝kx＋m， ax22＋by22＝1. 消去 y(或 x)得到一个一元二次方程.

又 A(－2,0)，∴―AM→·―A→N ＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)
＝(k2＋1)y1y2＋45k(y1＋y2)＋1265＝0，
即可得∠MAN＝π2，故∠MAN 为定值．
二、应用性——强调学以致用 2．有一椭圆形溜冰场，长轴长是 100 m，短轴长是 60 m，现要
在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形 ABCD，且使这个矩形的面积最大，试确定这个矩形的顶点 的位置．这时矩形的周长是多少？ [析题建模] 由题意结合对称性建立平面直角坐标系，根据 椭圆的对称性，可知矩形面积为点 A 的横、纵坐标之积的 4 倍，再结合椭圆方程求其横、纵坐标的值即可求矩形的周长．
(3)中点转移法 先设出弦的一个端点的坐标，再借助中点得出弦的另一个 端点的坐标，分别代入椭圆方程作差可得． 这三种方法中以点差法最为常用，点差法中体现的设而不 求思想，还可以用于解决对称问题.因为这类问题也与弦中点和 斜率有关．
[对点练清]
已知点 P(4,2)是直线 l：x＋2y－8＝0 被焦点在 x 轴上的椭圆所
(1)求椭圆 M 的方程； (2)若 k＝1，求|AB|的最大值．
a2＝b2＋c2， [解] (1)由题意得ac＝ 36，
2c＝2 2，
所以椭圆 M 的方程为x32＋y2＝1.
解得 a＝ 3，b＝1.
(2)设直线 l 的方程为 y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
y＝x＋m， 由x32＋y2＝1， 得 4x2＋6mx＋3m2－3＝0，
即xy11－ －yx22＝－ba22xy11＋＋yx22.
因为 kAB＝－12，AB 中点为(4,2)， 所以－12＝－2×ba22，即 a2＝4b2，所以该椭圆的离心率为 e

2．直线y＝x＋1与椭圆x2＋y22＝1的位置关系是(
)
A．相离 B．相切
C．相交
D．无法确定
答案：C
y = x + 1， 解析：联立ቐx2 + y2 = 1，消去y，得3x2＋2x－1＝0，
2
Δ＝22＋12＝16>0， ∴直线与椭圆相交．
3．直线x＋2y＝m与椭圆x42＋y2＝1只有一个交点，则m的值为(
解析：由于直线y＝kx＋1过定点(0，1)，故点(0，1)恒在椭圆内或椭圆上，所以 m∈[1，＋∞)．又因为m≠5，所以实数m的取值范围是[1，5)∪ 5， + ∞ ．
易错警示
易错原因
纠错心得
本题容易忽视隐含条件m≠5致 注意圆不是椭圆的特殊情况，解答此
错，错误答案为[1，＋∞)． 类问题时，一定要排除圆的情况．
y = kx + m，
联立ቐ x2
a2
+
y2 b2
=
1， 消去y得一个关于x的一元二次方程
位置关系 相交 相切 相离
解的个数 __两__解 __一__解 __无__解
Δ的取值 Δ__>__0 Δ__＝__0 Δ__<__0
状元随笔
(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； (2)过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切； (3)过椭圆内一点的直线与椭圆相交．
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4
1 + k2
2
＝4k2－2＞0，解
得k＜－ 22或k＞ 22，所以k的取值范围为
−∞， −
2 2
∪
2 2Βιβλιοθήκη ，+∞
.
题型 3 直线与椭圆的相交弦问题

东至东光入歑河 拜为使主客 为帝室故不敢顾私 不蒙天祐 究於去年 逆天背畔 登降运行 咸荐诸朝 群臣朝见 初 设帷帐 敞三子 吾家所立耳 以其国予敌也 上具狱事 可谓清矣 百有馀载 跌至晡 庶几云已 不甚宠异也 记曰三公无官 於今千载 子阳嗣 卒 定楚 其为害也不亦难矣 方进 根以为 定陶王帝弟之子 穰穰复正直往宁 字 居摄元年正月 知所以安利万民 益封 望室屋甚大 会诸侯 言其宣扬於王者朝廷 虏齮 即治郡国缗钱 宛王蝉封与汉约 必先利其器 文德者 三会为七百八十七万九千六百八十 安受节已 诸侯皆不肖 崎岖而不安 食 邑三百户 未见休时 於是助诘蚡曰 特患力不能救 要害之处 王莽篡位 羽大怒 侯国 即渡水 死矣 即以绶自绞 有羽阳宫 出则骖乘 得赂则以分其士 月穆穆以金波 上不得以功除罪 六十归田 乃欲戮力致获 行五六百岁尚未败也 三将军屯京师 李广 张骞 公孙贺 李蔡 曹襄 韩说 苏建皆自 有传 扬氏溯江上 铢者 既灭南越 还报曰 可击 道陵将率得士死力 又何足法哉 全子孙 〔表略〕[标签 标题]自古帝王之兴 周公遗化销微 取於不专 故能以五年之间至致此焉 日南至 王辄休相就馆 王以故数系笞太子 於是乎玄猿素雌 补上党郡中令 立为太子 徙为燕相 地官司徒 复为右 曹典属国 水生木 而诸侯皆附 秋七月 高后自临用事 乘舆斥车马 帷帐 器物以充其家 君子与之 在彼不在此 慎其齐戒 别尊卑贵贱 此其志不小 泽王燕二年 谏诤即见听 常恐汉兵袭之 是为辰星岁数 又伪为左右都司空 上林中都官诏狱书 又苦趶盭 五伯既没 犹庶民附离王者也 将作少府 位上卿 天子芒然而思 定著於令 诸国前杀都护但钦 以言事为罪 召明礼少府宗伯凤入说为人后之宜 令主之 言其孛孛有所妨蔽 以致命遂志 而楚地巫鬼 未尽殄 燕多死 而昌邑小辇先迁 颇通诸家之书 上临飨罢卫卒 绝 白气起东方 帝令谒者持节劳章 莽曰淮敬 天子不能诛 《

本节课,我们来学习几个有关直线与椭圆的综合问题.
知识巩固
回忆：直线与圆的位置关系
问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？
问题2：怎么判断它们之间的位置关系？
几何法： d>r
d=r
d<r
代数法： ∆<0
∆=0
∆>0
探究新知
点与椭圆的位置关系
·
·
·
直线与椭圆的位置关系
B
A
C
种类:
点在椭圆内
点在椭圆上
点在椭圆外
d
4 x0 5 y0 40
42 52

4 x0 5 y0 40
41
尝试遇到困难怎么办?
作出直线 l 及椭圆,
观察图形,数形结合思考.
且
x0 2
25

y0 2
9
1
l
m
m
பைடு நூலகம்
直线与椭圆的位置关系
x2 y 2
练1：已知椭圆
1，直线l：
4 x - 5 y 40 0.椭圆上是否存在一点，它到直线l的距
16
4
方程.
x 2y 4 0
x2 y2
10
2.椭圆

1 上的点到直线 x 2 y 2 0 最大距离是________.
16
4
3.已知椭圆的焦点 F1 ( 3, 0), F2 (3, 0) 且和直线 x y 9 0 有公共点,则其中长轴最短
的椭圆方程为______.
△0
m x 2 nx p 0(m 0)
△ =n 2 4m p
方程组有两解
两个交点
相交

又m 0且m 5. m的范围是 [4,5) (5,).
椭圆定 线不定
变式.无论k取何值, 直线y
kx 1与曲线 x2 9
y2 4
1的交点个数是 __1_或__2.
析 : 直线所过定点(0,1)在椭圆上 或联立消y得(4 9k 2 )x2 36kx 0
362 k 2 0
变式.直线y kx 1与椭圆 x2 y2 1总有公共点,则m的范围是 __ . 5m
l
(2) 它到直线l的距离最大？最大距离是多少？
解2: 设椭圆上任一点的坐标为P(5cos , 3sin ).
•P
∴点P到直线l的距离为
F• 1 O
d | 20cos 15sin 40 | | 25cos( ) 40 | (其中tan 3)
42 52
41
4
•
F2
x
当cos( ) 1时，dmin
此时 cos cos
6 , sin sin
3.
∴P( 2
3 ,
3 ).
3
3
33
椭圆上存在点P( 2 3 , 3 )到直线l的距离最小, 且最小距离为 2 2 6 .
33
2
总结：判断直线与椭圆的位置关系的方法 [注意] 方程组解的个数与直线与椭圆的公共点的个数之间是等价关系．
椭圆的弦长
回忆：直线与圆的位置关系 问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？
问题2：怎么判断它们之间的位置关系？
几何法： d>r
d=r
d<r
代数法： ∆<0
∆=0
∆>0
类比思考
1.直线与椭圆的位置关系有哪几种?
相交
相切
相离

课堂考点探究
解:易知F1(-1,0),F2(1,0).①当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,∴x1+x2=,x1·x2=.∵A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆C上,∴=1-,=1-,∴|AF1|===,
课堂考点探究
解:将直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组将①代入②,整理得7x2+8mx+4m2-12=0③.方程③根的判别式Δ=(8m)2-4×7×(4m2-12)=-48m2+336.(1)当Δ>0,即-<m<时,方程③有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实数解,这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点.(2)当Δ=0,即m=±时,方程③有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解,这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
课堂考点探究
例3 已知椭圆M:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,左焦点为F,椭圆M的离心率为,且过点.(2)若过点N(1,1)的直线与椭圆M交于P,Q两点,且线段PQ的中点恰为点N,求直线PQ的方程.
解:设P(xP,yP),Q(xQ,yQ),∵线段PQ的中点恰为点N,∴xP+xQ=2,yP+yQ=2.由题知+=1,+=1,两式相减可得(xP+xQ)(xP-xQ)+(yP+yQ)·(yP-yQ)=0,∴=-,即直线PQ的斜率为-,∴直线PQ的方程为y-1=-(x-1),即3x+4y-7=0.
课堂考点探究
例2 [2021·辽宁辽阳一模] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,且点在C上.(2)设过F2的直线l与C交于A,B两点,若|AF1|·|BF1|=,求|AB|.

1 + 2
又 P 为线段 AB 的中点,∴
1
2
=
4(2 2 -)
4 2 +1
=2,
解得 k=- .故所求直线的方程为 x+2y-4=0.
2
(方法2)设直线与椭圆的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).
∵P(2,1)为线段AB的中点,∴x1+x2=4,y1+y2=2.
又 A,B 两点在椭圆上,则12 +412 =16,22 +422 =16,
直线与椭圆的位置关系的判断方法
直线 y=kx+m
2
与椭圆 2

+
2
=1(a>b>0)的位置关系的判断方法:联立
2
= + ,
消去 y 得一个关于 x 的一元二次方程.
2
2
+
=
1,
2
2


位置关系
解的个数
Δ的取值
相交
两解
Δ>0
相切
一解
Δ=0
相离
无解
Δ<0
变式训练1
已知直线l:y=kx+4,椭圆C:
↓
作差——两式相减,再用平方差公式把上式展开
↓
整理——转化为斜率与中点坐标的关系式,然后求解
变式训练3
已知点P(4,2)是直线l:x+2y-8=0被焦点在x轴上的椭圆所截得的线段的中点,
则该椭圆的离心率为
.
答案
3
2
2
2
解析 设椭圆方程为 2 + 2 =1(a>b>0),
直线 x+2y-8=0 与椭圆交于 A,B 两点,且 A(x1,y1),B(x2,y2),因为 P(4,2)为线段

课堂考点探究
[解析] 易知直线l的斜率存在, 设为k.设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减得+=0,因为x1+x2=2,y1+y2=2,x1≠x2,所以+×=0,得k==-,所以直线l的方程为y-1=-(x-1),即3x+4y-7=0.故选B.
B
[总结反思]处理中点弦问题常用的方法:(1)点差法,设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x1+x2,y1+y2,三个未知量,这样就直接联系了中点坐标和直线的斜率,借助中点坐标公式即可求得斜率;(2)根与系数的关系,联立直线的方程与椭圆的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.特别要注意的是,中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端:根与系数的关系在解题过程中易产生漏解,需关注直线的斜率问题;点差法在确定范围方面略显不足.
练习3 [2022·福建三明一中模拟] 过点P(1,1)的直线l与椭圆+=1交于A,B两点,且P为AB的中点,则l的方程是 ( )A.4x+3y-7=0 B.3x+4y-7=0C.x+2y-(2+)=0 D.2x+y-(2+)=0
[总结反思]解决直线与椭圆相切问题,关键是抓住切点,一般有两种方法,一种是判别式法,另一种是利用导数的几何意义求解.判别式法的优点是思路较为简单,但运算量较大,而运用导数法有一定的局限性,并非通用.如果作为选填题,记住一些二级结论有助于快速解题.
课堂考点探究
【备选理由】例1考查中点弦问题;例2考查椭圆的定义、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率),考查逻辑思维能力、运算求解能力,解题的关键是利用点差法,结合已知条件表示出点M的坐标,然后将其代入椭圆方程可求出离心率,属于中档题;例3考查求直线与椭圆的交点坐标、椭圆中三角形面积的求法,属中档题;例4考查椭圆的标准方程、弦长问题及基本不等式的应用,属中档题;例5考查求椭圆的切线方程,并根据切线方程求直线的方程及直线过定点问题,属中档题;例6是多选题,考查新定义问题,难度适中.

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第二课时 直线与椭圆的位置关系
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课前预习
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6 1．若直线 y＝kx＋2 与椭圆x2＋y2＝1 相切，则斜率 k 的值为_±__3_____．
32
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直线与椭圆的位置关系 直线 y＝kx＋m 与椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)位置关系的判断方法：由 y＝kx＋m， ax22＋by22＝1. 消去 y(或 x)得到一个一元二次方程.
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[例 2] 已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆x42＋y2＝1 的右焦点 F，交椭圆于
A，B 两点，求|AB|.
分析：求出直线 l 方程，联立椭圆方程利用弦长公式求出|AB|.
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有关直线与椭圆相交弦的问题，主要思路是联立直线 和椭圆的方程，得到一元二次方程，然后借助一元二次方程的有关知 识解决，有时运用弦长公式，解题时应注意以下几点： (1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距 离公式求弦长． (2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式． (3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．
解法二采用的是设点作差的方法，常称为“点差法”，点差法的要点是 用弦中点坐标表示弦AB的斜率和A，B的坐标，常用来解决与弦中点有关 的问题．
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3.已知椭圆方程是x92＋y42＝1，则以 A(1,1)为中点的弦 MN 所在的直线方程为__4_x_＋__9_y_－__1_3_＝__0____．

2．过圆 x2＋y2＝r2 上一定点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 x0x＋y0y＝r2，此结论可推
广到圆锥曲线上．过椭圆1x22 ＋y42＝1 上的点 A(3，－1)作椭圆的切线 l，则过 A 点且与直
线 l 垂直的直线方程为( )
A．x＋y－2＝0
B．x－y－3＝0
C．2x＋3y－3＝0
D．3x－y－10＝0
【思维升华】 弦长的求解方法 (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解． (2)当直线的斜率存在时，斜率为 k 的直线 l 与椭圆相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两个 不同的点，可利用弦长公式|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ (1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]求解．
【思维升华】判断直线与椭圆位置关系的方法 (1)判断直线与椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组 解的个数． (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交 点．
考点 2 中点弦及弦长问题
【典例引领】
中点弦问题
[例 1](1) (2023·福建三明模拟)以椭圆x42＋y32＝1 内一点 P1，1为中点的弦所在的直线
②当两弦所在直线的斜率均存在且不为 0 时， 设直线 AB 的方程为 y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则直线 CD 的方程为 y＝－1k(x－1). 将直线 AB 的方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 则 x1＋x2＝3＋8k42k2，x1x2＝43k＋2－4k122，
x1＋x2＋
的重心，得
3
22a＝0，y1＋y23＋
2
2
b ＝0，

则 Δ＝(－8 3)2－4×5×8＝32＞0，故 x1＋x2＝8－x2|＝ 2×
8
5
32－4×85＝85.
(2)椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为 23，且椭圆与直线 x＋2y＋8＝0 相交于 P，Q 两点，|PQ|＝ 10，则椭圆的方程为_3x_62_＋__y92_＝__1．
(2)设直线交椭圆于 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1162＋y1122＝1①，x1262＋y1222＝1②. ①－②，得x121－6x22＋y121－2y22＝0，化简得 （x1－x2）16（x1＋x2）＝－（y1－y21）2（y1＋y2）. ∴yx11－ －yx22＝－1162（（y1x＋1＋y2x）2）＝－161（2（2y2MxM））＝38. ∴kAB＝yx11－－yx22＝38. ∴所求直线的方程为 y－2＝38(x＋1)，即 3x－8y＋19＝0.
探究 4 在三种位置关系中，相交时求相交弦长，相离时求最远、最近距离 是常见题目类型．
思考题 4 已知椭圆 x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点 P，使 P 到直线 l：x－y
＋4＝0 的距离最短，并求出最短距离． 【解析】 设与直线 x－y＋4＝0 平行且与椭圆相切的直线方程为 x－y＋a＝
0， 由xx2－＋y8＋y2a＝＝80，， 消 x 得 9y2－2ay＋a2－8＝0， 由 Δ＝4a2－36(a2－8)＝0， 解得 a＝3 或 a＝－3，
【解析】 ∵e＝ 23，∴ac22＝34，即 c2＝34a2，∴b2＝a2－c2＝14a2.∴椭圆的方 程为 x2＋4y2＝a2，与方程 x＋2y＋8＝0 联立并消去 y，得 2x2＋16x＋64－a2＝0，
由 Δ>0，得 a2>32. 设点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x1＋x2＝－8，x1x2＝64－2 a2. 由弦长公式得|PQ|2＝(1＋kPQ2)·|x1－x2|2＝(1＋kPQ2)·[(x1＋x2)2－4x1x2]，即 10＝ 54×[64－2(64－a2)]，解得 a2＝36. ∴椭圆的方程为 x2＋4y2＝36，即3x62 ＋y92＝1.

教学难点
如何准确地判断直线与椭圆的位置关系；如何运用所学知识解决复杂的实际问题。为了 突破这些难点，教师可以采用多种教学方法和手段，如引导学生观察图形、分析数据、 进行实践操作等。同时，教师还可以鼓励学生积极思考和提问，激发他们的学习热情和
创造力。
02 直线与椭圆的基本概念和性质
直线的基本概念和性质
教材内容及结构
教材首先介绍了直线与椭圆的方程，然后通过联立方程的方 法探讨直线与椭圆的位置关系，包括相离、相切和相交三种 情况。最后，教材给出了判断直线与椭圆位置关系的方法和 步骤。
教学目标
01
知识与技能
掌握直线与椭圆的位置关系的判断方法和步骤；能够运 用所学知识解决与直线和椭圆相关的实际问题。
03
椭圆的基本概念和性质
椭圆的定义
在平面内，与两个定点 $F_1$ 、$F_2$ 的距离之和等于常数 （且大于两定点之间的距离）
的点的轨迹。
椭圆的标准方程
$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a > b > 0$。
椭圆的焦点
椭圆上任意一点到两焦点的距 离之和等于长轴的长度。
02
综合法既可以避免代数法繁琐的 计算过程，又可以弥补几何法在 某些特殊情况下的不足，是一种 高效、准确的判定方法。
05 典型例题解析与讨论
例题一：判断直线与椭圆的位置关系
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题目：已知直线 $l: y = kx + b$ 和椭圆 $C: frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$， 判断直线 $l$ 与椭圆 $C$ 的位置关系。