2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）
数 学 Ⅰ 试 题 2018.5
方差公式：2
222121()()()n s x x x x x x n ⎡⎤=
-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦，其中121
()n x x x x n
=++⋅⋅⋅+． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案
直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．
． 1． 若复数z 满足(1+i)z=2(i 是虚数单位)，则z 的虚部为 ▲ ．
2． 设集合{24}A =，，2{2}(B a =，其中0)a <，若A B =，则实数a = ▲ ． 3． 在平面直角坐标系xOy 中，点(24)P -，
到抛物线28y x =-的准线的 距离为 ▲ ．
4． 一次考试后，从高三（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶
图如右图所示，则这五人成绩的方差为 ▲ ．
5． 右图是一个算法流程图，若输入值[02]x ∈，
，则输出值S 的 取值范围是 ▲ ．
6． 欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以
钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入， 而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若 铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的 正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油 滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的 概率是 ▲ ．
（第6题图）
7． 已知函数()sin(π)(02π)f x x x ϕ=+<<在2x =时取得最大值，则ϕ= ▲ ． 8． 已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若
10
5
4S S =，则14a d = ▲ ．
9． 在棱长为2的正四面体P ABC -中，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，点D 是线段PN
上一点，且2PD DN =，则三棱锥D MBC -的体积为 ▲ ．
10． 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a b c ，，，
且满足3
cos cos 5
a B
b A
c -=，则
tan tan A
B
= ▲ ． 11． 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(1)2C x y ++=，点(20)A ，
，若圆C 上存在点M ，满足2210MA MO +≤，则点M 的纵坐标的取值范围是 ▲ ．
12． 如图，扇形AOB 的圆心角为90°，半径为1，点P 是圆弧AB 上的动点，作点P 关于
弦AB 的对称点Q ，则OP OQ ⋅的取值范围为 ▲ ．
13． 已知函数1
(|3|1)0()2ln 0x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩，，
， ，
若存在实数a b c <<，
满足()()()f a f b f c ==，则()()()af a bf b cf c ++的最大值 是 ▲ ．
14． 已知a b ，为正实数，且()2
3
4()a b ab -=，则
11
a b
+的最小值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，90ADB ∠=，
CB CD =，点E 为棱PB 的中点．
（1）若PB PD =，求证：PC BD ⊥； （2）求证：CE //平面PAD ．
▲ ▲ ▲
A
B
C
D
P E
（第15题图）
在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a b c ，，，设△ABC 的面积为S ，
且2224)S a c b =+-. （1）求B ∠的大小；
（2）设向量(sin 23cos )A A =，m ，(32cos )A =-，n ，求⋅m n 的取值范围．
▲ ▲ ▲
17．（本小题满分14分）
下图（I ）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（II ）所示的数学模型．索塔AB ，CD 与桥面AC 均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m ，桥面AC 上一点P 到索塔AB ，CD 距离之比为21:4，且P 对两塔顶的视角为
135．
（1）求两索塔之间桥面AC 的长度；
（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数a ），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数b ）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．
▲ ▲ ▲
18．（本小题满分16分）
如图，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>
焦点到相应准线的距离为1，点A ，
B ，
C 分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C 的直线l 交椭圆于点
D ，交x 轴
于点1(0)M x ，，直线AC 与直线BD 交于点22()N x y ，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若2CM MD =，求直线l 的方程；
（3）求证：12x x ⋅为定值． ▲ ▲ ▲
（第17题图（Ⅰ））
（第17题图（Ⅱ））
已知函数32()1f x x ax bx a b =+++∈，，R ． （1）若2
0a b +=，
① 当0a >时，求函数()f x 的极值（用a 表示）；
② 若()f x 有三个相异零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存
在，试求出a 的值；若不存在，请说明理由；
（2）函数()f x 图象上点A 处的切线1l 与()f x 的图象相交于另一点B ，在点B 处的切线为2l ，直线12l l ，的斜率分别为12k k ，，且21=4k k ，求a b ，满足的关系式．
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20．（本小题满分16分）
已知等差数列
{}n a 的首项为
1，公差为d ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意的
*n ∈N ，692n n n S b a =--恒成立．
（1）如果数列{}n S 是等差数列，证明数列{}n b 也是等差数列； （2）如果数列12n b ⎧
⎫
+
⎨⎬⎩⎭
为等比数列，求d 的值； （3）如果3d =，数列{}n c 的首项为1，1(2)n n n c b b n -=-≥，证明数列{}n a 中存在
无穷多项可表示为数列{}n c 中的两项之和．
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