第二十届华杯赛解答

20届华杯赛试题及答案华杯赛，全称“华罗庚数学竞赛”，是中国的一项全国性数学竞赛，旨在激发青少年对数学的兴趣，培养他们的数学思维和解决问题的能力。

20届华杯赛的试题和答案如下：# 20届华杯赛试题一、选择题（每题5分，共20分）1. 若a、b、c为正整数，且满足\( a^2 + b^2 = c^2 \)，求证a、b、c中至少有一个是偶数。

2. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。

二、填空题（每题5分，共30分）1. 一个圆的半径为5，求其面积。

2. 若\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)，求x的值。

三、解答题（每题25分，共50分）1. 证明：对于任意正整数n，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2+ ... + n)^2 \)。

2. 一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，求证其对角线的长度为\( \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \)。

# 20届华杯赛答案一、选择题答案1. 正确。

根据奇偶性的性质，偶数的平方是偶数，奇数的平方是奇数。

若a、b、c都是奇数，则\( a^2 + b^2 \)为偶数，与\( c^2 \)为奇数矛盾。

2. 斜边长度为5，根据勾股定理\( 3^2 + 4^2 = 5^2 \)。

二、填空题答案1. 圆的面积为\( 25\pi \)。

2. \( x = 2 \) 或 \( x = 3 \)，根据因式分解\( (x - 2)(x - 3) = 0 \)。

三、解答题答案1. 证明：- 左边：\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)(1^2 + 2^2 + ... + n^2) - (1 + 2 + ... + n) \)。

- 右边：\( (1 + 2 + ... + n)^2 \)。

- 根据等差数列求和公式，\( 1 + 2 + ... + n = \frac{n(n + 1)}{2} \)。

第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛（A ）卷【小中组】1. 森林里举行比赛，要派出狮子、老虎、豹子和大象中的两个动物去参加，如果派狮子去，那么也要派老虎取；如果不派豹子去，那么也不能派老虎去；要是豹子参加的话，大象可不愿意去，那么，最后能去参加比赛的是（ ）A. 狮子、老虎B.老虎、豹子C.狮子、豹子D.老虎、大象2. 小明有多张面额为1元，2元和5元的人民币，他想用其中不多于10张的人民币购买一只价格为18元的风筝，要求至少用两种面额的人民币，那么不同的付款方式有（ ）种. A.3 B.9 C.11 D.83. 如右图，在有1×1的正方形组成的网格中，写有2015四个数字（阴影部分），其边线要么是水平，要么是竖直的直线段，要么是连接1×1正方形相邻两边中点的线段，或者是1×1的正方形的对角线，则图中2015四个数字（阴影部分）的面积是（ ） A.47 B.2147C.48D.21484. 新生入校后，合唱队，田径队，舞蹈队共招收学员100人，如果合唱队招收的人数比田径队多一倍，舞蹈队比合唱队多10人，那么舞蹈队招收（ ）人.（注：每人限加入一个队） A.30 B.42 C.46 D.525.一只旧钟的时针和分针每重合一次，需要经过标准时间66分钟，那么这只旧钟的24小时比标准时间的24小时（）A.快12分B.快6分C.慢6分D.慢12分6.一次考试共有6道选择题，评分规则如下：每人先给6分，答对一题加4分，答错一题减一分，不答得0分，现有51名同学参加考试，那么，至少有（）人得分相同.A.3B.4C.5D.67.计算：_____(=⨯+314-151000+++.⨯)-+-+)110(15(314360)360201201110)1000(8.角可以用它的两边上的两个大写字母和顶点的字母表示，（如右图的AOB∠表示，∠，也可以用0顶点处只有一个角时），下面的三角形ABC中，οBCO∠ACO=∠AOCABOBAO，则_____CAO∠CBO,,==110∠,∠∠∠=∠CBO.=9.张叔叔和李叔叔的年龄和是56岁，当张叔叔的年龄是李叔叔现在年龄的一半时，李叔叔当时的年龄是张叔叔现在的年龄，那么张叔叔现在有______岁.10.妈妈决定假期带小花驾车去10个城市旅游，小花查完地图后惊奇地发现：10个城市的任意三个城市之间或者都开通了高速公路，或者只有两个城市间没有开通高速路，那么这10个城市间至少开通了______条高速公路.（注：两个城市间最多只有一条高速公路）第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛（A ）卷参考答案【小中组】1.解析：【知识点】逻辑推理假设派狮子去，那么老虎也去，那么豹子就不去，这样老虎也不能去，矛盾，A 排除； 假设派狮子去，那么老虎也去，C 排除； 不派豹子去，那么也不能派老虎去，D 排除； 故只能派老虎和豹子去，答案选B 2.解析：【知识点】计数，枚举 付款方式有以下几种：3×5+1×2+1×1=18,3×5+1×3=18,2×5+4×2=18,2×5+3×2+2×1=18,2×5+2×2+4×1=18, 2×5+1×2+6×1=18,2×5+8×1=18,1×5+6×2+1×1=18,1×5+5×2+3×1=18,1×5+4×2+5×1， 8×2+2×1=18；总共11种，答案选C 。

华杯赛决赛试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项是正确的？A. 2 + 3 = 5B. 3 + 4 = 7C. 5 - 2 = 2D. 4 - 3 = 2答案：A2. 如果一个数的平方根是正数，那么这个数是：A. 负数B. 零C. 正数D. 任意实数答案：C二、填空题1. 圆的周长公式是 ________ 。

答案：2πr2. 一个直角三角形的两个直角边长分别为3和4，斜边长为________ 。

答案：5三、简答题1. 请解释什么是质数，并给出一个质数的例子。

答案：质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外，不能被其他自然数整除的数。

例如，2是一个质数，因为它只能被1和2整除。

2. 什么是勾股定理，并给出一个应用的例子。

答案：勾股定理是指在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

例如，如果一个直角三角形的两个直角边长分别为3和4，根据勾股定理，斜边的长度应该是√(3² + 4²) = 5。

四、计算题1. 计算下列表达式的值：(3 + 4) × (8 - 2) ÷ 2答案：352. 一个数的平方是36，求这个数的值。

答案：±6五、证明题1. 证明：对于任意正整数n，n² - 1总是能被8整除。

答案：对于任意正整数n，可以表示为n = 8k + r，其中k是整数，r是0到7之间的整数。

那么n² - 1 = (8k + r)² - 1 = 64k² +16kr + r² - 1 = 8(8k² + 2kr) + (r² - 1)。

由于r² - 1是8的倍数或者-1，所以n² - 1能被8整除。

2. 证明：在一个直角三角形中，如果斜边是直角边的两倍，那么这个三角形是等腰直角三角形。

答案：设直角三角形的直角边长分别为a和b，斜边为c。

根据题意，c = 2a。

第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级C卷）（时间:2014年3月14日10:00～11:00）一、选择题(每小题10分，满分60分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内)1．91113151711120203042567234⎛⎫-+-+⨯-÷=⎪⎝⎭( )．A．42B．43C．1153D．21632．如图，有一排间距相同但高度不等的小树，树根成一条直线，树顶也成一条直线．这两条直线成45度角．最高的小树高2.8米，最低的小树高1.4米，那么从左向右数第4棵树的高度是( )米．A．2.6 B．2.4 C．2.2D．2.03．春季开学后，有不少同学都将部分压岁钱捐给山区的贫困学生；事后，甲、乙、丙、丁4位同学有如下的对话：甲：“丙、丁之中至少有1人捐了款” 乙：“丁、甲之中至多有1人捐了款” 丙：“你们3人中至少有2人捐了款” 丁：“你们3人中至多有2人捐了款”己知这4位同学说的都是真话且其中恰有2位同学捐了款，那么这4位同学是( )． A ．甲、乙B ．丙、丁C ．甲、丙D ．乙、丁4．六位同学数学考试的平均成缋是92.5分，他们的成绩是互不相同的整数，最高的99分，最低的76分，那么按分数从高到低居第三位的同学的分数至少是( )． A ．94B ． 95C ． 96D ． 975．如图，BH 是直角梯形ABCD 的高，E 为梯形对角线AC 上一点；如果DEH ∆、BEH ∆、BCH ∆的面积依次为56、50、40，那么CEH ∆的面积是( )．A ．32B ． 34C ． 35D ． 366．—个由边长为1的小正方形n n ⨯的方格网，用白色或黑色对每个小正方形涂色，要求满足在任意矩形的4个用上的小正方形不全同色，那么正整数的最大值是( )． A ．3B ． 4C ． 5D ． 6二、填空题(每小题10分，满分40分．)7．在每个格子中填入1～6中的一个，使得每行、每列及每个23⨯长方形内（粗线框围成)数字不重复；如果小圆圈两边格子中所填数的和是合数，其它相邻两格所填数的和是质数，那么四位数相约华杯是 ．8．整数n 一共有10个约数，这些约数从小到大排列．笫8个是3n ．那么整数的最大值是 ．9．在边长为300厘米的正方形中，如图放置了两个直角扇形和一个半圆，那么两块阴影部分的面积差是 平方厘米，两块阴影部分的周长差是 厘米．（ 取3.14)A10．A地、B地、C地依次分布在同一条公路上，甲、乙、丙三人分别从A地、B地、C地同时出发，匀速向D地行进．当甲在C地追上乙时，甲的速度减少40%；当甲追上丙时，甲的速度再次减少40%；甲追上丙后9分钟，乙也追上了丙，这时乙的速度减少25%；如乙追上丙后再行50米，三人同时到D地．已知乙出发时的速度是每分钟60米，那么甲出发时的速度是每分钟米，A、D两地间的路程是米．第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级C卷）参考答案参考解析一、选择题(每小题10分，满分60分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内)1．91113151711120203042567234⎛⎫-+-+⨯-÷=⎪⎝⎭( )．A．42B．43C．1153D．2163【考点】速算巧算【难度】☆☆【答案】A【解析】原式1111111111412612042 455667788933⎛⎫=+--++--++⨯-==⎪⎝⎭．2．如图，有一排间距相同但高度不等的小树，树根成一条直线，树顶也成一条直线．这两条直线成45度角．最高的小树高2.8米，最低的小树高1.4米，那么从左向右数第4棵树的高度是( )米．A．2.6 B．2.4 C．2.2D．2.0【考点】等差数列【难度】☆☆【答案】C【解析】如右图， 2.8 1.4 1.4AB=-= (米)， 1.4730.6AC=÷⨯= (米)因此，第四高的小树为2.80.6 2.2-=(米)．3．春季开学后，有不少同学都将部分压岁钱捐给山区的贫困学生；事后，甲、乙、丙、丁4位同学有如下的对话：甲：“丙、丁之中至少有1人捐了款”乙：“丁、甲之中至多有1人捐了款”丙：“你们3人中至少有2人捐了款”丁：“你们3人中至多有2人捐了款”己知这4位同学说的都是真话且其中恰有2位同学捐了款，那么这4位同学是( )．A．甲、乙B．丙、丁C．甲、丙D．乙、丁【考点】逻辑推理【难度】☆☆☆【答案】D【解析】因为恰有2位同学捐了款，据丙所说知甲、乙、丁就至少2人捐款，所以丙没捐款；再据甲所说知丙、丁之中至少有1人捐了款，现在丙没捐款，所以丁一定捐款了；再据乙所说知丁、甲之中至多有1人捐了款，现在丁捐款了，所以甲一定没捐款；恰有2位同学捐了款，即恰有2位同学没捐款，现在甲、丙都没捐款，所以乙、丁都捐款了．4．六位同学数学考试的平均成缋是92.5分，他们的成绩是互不相同的整数，最高的99分，最低的76分，那么按分数从高到低居第三位的同学的分数至少是( )． A ．94B ． 95C ． 96D ． 97【考点】最值问题 【难度】☆☆☆ 【答案】B【解析】“至少”的含义是:第三位同学的得分若低于这个分数，不论其它同学得多少分，平均分都不会达到92.5分．要想使第三位同学的得分尽可能的少，应使第二位同学的得分尽可能的多；同时，第四位、第五位的同学得分与第4位同学的得分尽可能的接近．由此，可先求出第三位、第四位、第五位同学的平均分，再对三位同学的分数进行调整即可解决问题．由己知，第三、四、五三位同学的平均分是(92.56997698)3282394⨯---÷=÷= (分)，故第三位同学的得分至少是941=95+．5．如图，BH 是直角梯形ABCD 的高，E 为梯形对角线AC 上一点；如果DEH ∆、BEH ∆、BCH ∆的面积依次为56、50、40，那么CEH ∆的面积是( )．A ．32B ． 34C ． 35D ． 36【考点】几何【难度】☆☆☆ 【答案】B 【解析】因为2DEHAEH ABCD ABC BCE AEB S S S S S S ∆∆∆∆∆+=÷==+W 所以56BCE DEH S S ∆∆==；所以，50405634CEH BEH BCH BCE S S S S ∆∆∆∆=+-=+-=．6．—个由边长为1的小正方形n n ⨯的方格网，用白色或黑色对每个小正方形涂色，要求满 足在任意矩形的4个用上的小正方形不全同色，那么正整数的最大值是( )． A ．3B ．4C ．5D ．6【考点】最值问题 【难度】☆☆☆☆ 【答案】B【解析】假设5n=，笫1行中至少有3个格子颜色相同，不妨设前3格为黑色(如图1)．在这3个黑格下方可以分割为4个横着的31⨯的长方形,若其中有一个中有2个黑格(如图2)，则存在巷图中的粗线长方形4个角上的小正方形都是黑格；所以这4个横着的31⨯的长方形中，每个至多1个黑格．假设这4个横着的31⨯的长方形中，有两个对应格子颜色都一样（如图3)，则一样存在图中的粗线长方形4个角上的小正方形都是白格．而31⨯的长方形中至多1个黑格的只有如图4的这4种．如果这4种都存在的话(如图5)，则同样存在图中的粗线长方形4个角上的小正方形都是白格．矛盾！所以5n<．而图6给出了4n=的一种构造．所以，正整数n的最大值是4．二、填空题(每小题10分，满分40分．)7．在每个格子中填入1～6中的一个，使得每行、每列及每个23⨯长方形内（粗线框围成)数字不重复；如果小圆圈两边格子中所填数的和是合数，其它相邻两格所填数的和是质数，那么四位数相约华杯是．【考点】数阵图 【难度】☆☆☆☆ 【答案】4123【解析】如下左图，因为3A +为质数且4A ≠，所以2A =；因为“月”1+为质数且“月” 2≠、4，所以“月”6=；从而5C =； 因为“杯”4+为质数且“杯” 1≠，所以“杯”3=；从而5C =； 因为3D +为合数且2D =或6，所以6D =；从而“华”2=； 因为“相”3+为质数且“相” 2≠，所以“相”4=； 因为4B +为合数且1D =或5，所以5B =；从而“约”1=；所以，相约华杯4123=(如下中图)．实际上其它格子中的数也能唯一确定（如下右图）．8．整数n 一共有10个约数，这些约数从小到大排列．笫8个是3n ．那么整数的最大值是 ． 【考点】数论 【难度】☆☆☆ 【答案】162【解析】n 有10个约数，由于第8个是3n ，而第10个必然是n ，所以第9个只能是2n ．所以n 有质因子2和3．所以n 可能是423⨯或者432⨯．而最大是432162⨯=．9．在边长为300厘米的正方形中，如图放置了两个直角扇形和一个半圆，那么两块阴影部分的面积差是 平方厘米，两块阴影部分的周长差是 厘米．（π取3.14)【考点】几何基本概念 【难度】☆☆☆【答案】①15975；②485． 【解析】①ABECDE ABCD ABD ABC AB SS S S S S -=--阴影阴影正方形扇形扇形半圆22230042300150233750-9000015975πππ=⨯÷⨯--⨯÷=≈②因为ABE ∆为等边三角形，所以60EAB EBA ∠=∠=︒，从而30DAE CBE ∠=∠=︒； 阴影=2300122300100300CDE CE DE CD ππ++=⨯÷⨯+=+的周长弧弧； 阴影2300623002350ABE AE BE AB ππ=++=⨯÷⨯+÷=的周长弧弧弧； 所以，350(100300)250300485πππ=-+=-≈的周长差．A10．A地、B地、C地依次分布在同一条公路上，甲、乙、丙三人分别从A地、B地、C地同时出发，匀速向D地行进．当甲在C地追上乙时，甲的速度减少40%；当甲追上丙时，甲的速度再次减少40%；甲追上丙后9分钟，乙也追上了丙，这时乙的速度减少25%；如乙追上丙后再行50米，三人同时到D地．已知乙出发时的速度是每分钟60米，那么甲出发时的速度是每分钟米，A、D两地间的路程是米．【考点】行程问题【难度】☆☆☆☆【答案】①125；②1880．【解析】①因为三人同时到D地，所以甲、乙最后的速度和丙相同；⨯-=(米/分)；所以丙速为60(125%)45÷-=(米/分)，甲减速一次后的速度为45(140%)75÷-=(米/分)．甲出发时的速度为75(140%)125②如下图，设甲在E地追上丙，乙在F地追上丙，因为甲、乙出发时的速度比为125:6025:12AB BC=；=，所以:25:12设AC为25份，则BC为12份；因为乙、丙出发时的速度比为60:454:3BF CF=，=，所以:4:3从而CF 为12(43)336÷-⨯=份，AF 为25 3661+=份． 因为甲减速一次后与丙的速度比为75:45 5:3=，而甲原速行AC 这25份时，相当于以75米/分行2560%15⨯=份； 所以15(53)322.5CE =÷-⨯=份，从而36-22.513.5EF ==份； 而EF 是丙9分钟所行的路程，为459405⨯=(米）， 所以每份40513.530÷=(米)，从而3061 1830 AF =⨯=(米)，所以1830501880 AD =+-(米）．D。

华为杯20届数学建模e题数学建模是一项旨在解决实际问题的数学方法，它通过对问题进行抽象、建立模型，运用数学工具和方法进行分析和求解，为实际问题提供科学合理的解决方案。

华为杯数学建模竞赛作为中国最具影响力的数学建模比赛，每年都吸引着众多参赛选手的热情参与。

本文将对华为杯20届数学建模e题进行讨论和分析。

华为杯20届数学建模e题是一个与智能交通相关的问题，题目是要求设计一个智能交通控制系统，使得交通流量更加合理，减少交通拥堵和等待时间，提高道路利用率。

该问题需要从多个方面进行考虑，包括交通流量的控制、路口信号灯的优化、道路规划和车辆调度等。

首先，我们可以从交通流量的控制角度入手。

在城市交通中，车辆的集中与分散是影响交通拥堵的重要原因。

为了减少交通拥堵，我们可以通过合理的交通限制措施来控制车辆的集中。

例如，根据交通流量情况，可以设定不同的交通限制区域和时间段，对车辆进行流量控制，避免车辆集中在某些狭窄路段，导致交通堵塞。

其次，路口信号灯的优化也是解决交通拥堵问题的关键。

通过智能交通控制系统，我们可以根据实时的交通状况来动态调整信号灯的配时方案。

当出现交通堵塞时，可以适当延长绿灯时间或增加绿灯的次数，以提高交通的通过效率；而当交通流量较小时，可以适当减少信号灯对道路的控制，提高交通通行的灵活性。

在道路规划方面，我们可以通过对道路网络进行优化设计，减少交通拥堵的出现。

通过从城市层面考虑，合理规划道路的布局和连接，避免狭窄路段和拥堵瓶颈的产生。

此外，还可以通过合理设置交通设施，如人行天桥和地下通道，分流行人和车辆的流动，降低交通冲突。

最后，车辆调度也是解决交通拥堵问题的一个关键环节。

通过智能交通控制系统，可以实现车辆的智能调度，避免车辆在同一路段的相互干扰和堵塞。

例如，通过智能导航系统，可以根据实时交通情况为车辆选择最优路径，避免车辆在拥堵路段长时间等待。

综上所述，华为杯20届数学建模e题要求设计一个智能交通控制系统，以减少交通拥堵和等待时间，提高道路利用率。

20届华为杯建模d题建模竞赛一直以来都是大学生学习的重要方式之一，它不仅能够锻炼学生的数学建模能力，还可以提高他们的团队协作能力和解决问题的能力。

而20届华为杯建模d题，作为一个具有挑战性的建模比赛，更是吸引了众多学生的参与和关注。

首先，这个比赛的主题涉及到了许多现实生活中的问题，需要参赛者结合数学建模的知识和技巧来分析和解决。

这种将理论知识与实际问题相结合的方式，不仅可以让学生们在比赛中得到实践经验，还可以培养他们对于问题的分析和解决能力。

比如，题目可能涉及到了交通流量的优化、资源分配的最优化等问题，这些都是现实生活中普遍存在的难题，通过建模比赛的形式去解决这些问题，有助于学生们更好地理解并应用所学的知识。

其次，参与这样的建模比赛可以增强学生的团队协作能力。

在比赛中，每个队员都扮演着不同的角色，需要相互配合、密切合作才能完成任务。

这种团队协作的方式可以让学生们学会倾听他人的意见，尊重他人的想法，有效地分工合作，最终实现共同的目标。

在这个过程中，他们不仅能够提高自己的沟通能力和协调能力，还可以学会如何在团队中发挥自己的长处，用最佳的方式为团队贡献自己的力量。

此外，通过参与建模比赛，学生们还能够提高自己的问题解决能力。

建模比赛往往会涉及到一些复杂的问题，需要参赛者具备分析问题、提出解决方案的能力。

在解决问题的过程中，学生们需要灵活运用所学的数学知识和建模技巧，提出合理的假设和模型，最终得出正确的结论。

这种实践性的学习方式可以让学生们更深入地理解所学的知识，并培养他们独立解决问题的能力。

综上所述，20届华为杯建模d题作为一个具有挑战性的建模比赛，不仅可以锻炼学生的数学建模能力，还可以提高他们的团队协作能力和问题解决能力。

通过参与这样的比赛，学生们能够在实践中不断提升自己，为未来的学习和工作打下坚实的基础。

希望更多的学生能够积极参与建模竞赛，挑战自我，不断成长。

第20届华杯赛⼩中组答案详解a卷第⼆⼗届华罗庚⾦杯少年数学邀请赛初赛 A 卷（⼩学中年级组）总分：100 分时间：60分钟⼀、选择题．（每⼩题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有⼀个是正确的，请将表⽰正确答案的英⽂字母写在每题的圆括号内．）1.森林⾥举⾏⽐赛，要派出狮⼦、⽼虎、豹⼦和⼤象中的两个动物去参加．如果派狮⼦去，那么也要派⽼虎去；如果不派豹⼦去，那么也不能派⽼虎去；要是豹⼦参加的话，⼤象可不愿意去．那么，最后能去参加⽐赛的是（）．（A）狮⼦、⽼虎（B）⽼虎、豹⼦（C）狮⼦、豹⼦（D）⽼虎、⼤象【答案】B【题型】逻辑推理、逆否命题【解析】在逻辑推理中，原命题成⽴，则逆否命题也成⽴．从题意出发：（1）狮⼦去则⽼虎去，逆否命题：⽼虎不去则狮⼦也不去（2）不派豹⼦则不派⽼虎，逆否命题：派⽼虎则要派豹⼦（3）派豹⼦则⼤象不愿意去，逆否命题：⼤象去则不能派豹⼦从（2）出发可以看出答案为 B.题⽬要求有两个动物去，可以使⽤假设法，若狮⼦去，则⽼虎去，⽼虎去则豹⼦也去．三个动物去，⽭盾，所以狮⼦不去．若豹⼦不去则⽼虎不去，那么只有⼤象去，⽭盾，所以豹⼦去．豹⼦去则⼤象不去，由两种动物去得到结论，⽼虎要去．所以答案是 B，豹⼦和⽼虎去．2.⼩明有多张⾯额为 1 元、2 元和 5 元的⼈民币, 他想⽤其中不多于 10 张的⼈民币购买⼀只价格为 18 元的风筝, 要求⾄少⽤两种⾯额的⼈民币，那么不同的付款⽅式有（）种.（A）3（B）9（C）11（D）8【答案】C【题型】奇数：列表枚举【解析】5 元 2 元 1 元总张数3 0 3 63 1 1 52 4 0 62 3 2 72 2 4 812 1 6 9 2 0 8 10 1 6 1 8 1 53 9 14 5 108210共 11 种．3. 如右图，在由1 ?1 的正⽅形组成的⽹格中,写有 2015 四个数字（阴影部分）．其边线要么是⽔平或竖直的直线段、要么是连接1?1 的正⽅形相邻两边中点的线段，或者是1 ?1 的正⽅形的对⾓线. 则图中 2015 四个数字（阴影部分）的⾯积是（）．（A ）47（B ） 47 1（C ）48（D ） 48 122【答案】B【题型】⼏何：割补【解析】将⼩三⾓形移到空⽩处补成完整正⽅形再数正⽅形个数即可，共47.5 个．4. 新⽣⼊校后，合唱队、⽥径队和舞蹈队共招收学员 100 ⼈．如果合唱队招收的⼈数⽐⽥径队多⼀倍，舞蹈队⽐合唱队多 10⼈，那么舞蹈队招收（）⼈．（注：每⼈限加⼊⼀个队）（A ）30（B ）42（C ）46（D ）52【答案】C【题型】⼏何：割补【解析】设⽥径队员为a ⼈，则合唱队员2a ⼈，舞蹈队员(2 a +10) ⼈，2a + a + 2 a + 10 = 100 ，则a = 18 ，所以舞蹈队员18 ? 2 + 10 = 46 ⼈． 5. ⼀只旧钟的分针和时针每重合⼀次，需要经过标准时间 66 分．那么，这只旧钟的 24 ⼩时⽐标准时间的 24 ⼩时（）．（A ）快 12 分（B ）快 6 分（C ）慢 6 分（D ）慢 12 分【答案】D【题型】时钟问题【解析】时针速度为每分钟 0.5 度，分针速度为每分钟 6 度.分钟每⽐时针多跑⼀圈，即多跑 360 度，360 = 720 时针分针重合⼀次.经过 6 ? 0.5 11 分钟，旧钟时针分针重合⼀次，需要经过标准时间 66 分钟；则2旧钟的 24 ⼩时，相当于标准时间的(24 ? 60) ?66=1452分钟，所以⽐标准时间 24 ⼩时对应的7201124 ? 60 = 1440 分钟多了1452-1440=12分钟，即慢了12分钟6.⼀次考试共有 6 道选择题，评分规则如下：每⼈先给 6 分，答对⼀题加 4 分，答错⼀题减 1 分，不答得 0 分．现有 51 名同学参加考试，那么, ⾄少有（）⼈得分相同．（A）3（B）4（C）5（D）6【答案】A【题型】组合：抽屉原理【解析】设答对 x 题，答错y题，x+y≤6；当x =6时，得分30分；当x =5时，y=0,1，对应得分26, 25；当x =4时，y=0,1, 2，对应得分22, 21, 20；当x =3时，y=0,1,2,3，对应得分18,17,16,15；当x =2时，y=0,1, 2,3,4，对应得分14,13,12,11,10；当x =1时，y=0,1,2,3,4,5，对应得分10,9,8, 7, 6,5；当x =0时，y=0,1,2,3,4,5,6，对应得分6,5, 4,3, 2,1, 0；共计 25 种得分，51?25=21，则⾄少2+1=3⼈得分相同．⼆、填空题 (每⼩题 10 分, 共 40 分)7.计算:(1000 + 15 + 314) ? (201 + 360 + 110) + (1000 ? 201 ? 360 ? 110) ? (15 + 314) =________．【答案】1000000【题型】计算：换元法【解析】令a =15+314, b =201+360+110；则(1000 + 15 + 314 )?(201 + 360 + 110 )+(1000 ? 201 ? 360 ? 110 )?(15 + 314)=(1000 +a)?b+(1000 ?b)?a=1000 a+ab+ 1000b?ab=1000 (a+b)=1000 ?(15 + 314 + 201 + 360 + 110)=10000008. ⾓可以⽤它的两边上的两个⼤写字母和顶点的字母表⽰,如右图的∠AOB 符号（“∠”表⽰⾓），也可以⽤∠O 表⽰（顶点处3只有⼀个⾓时）．下图的三⾓形 ABC 中，∠BAO=∠CAO，∠CBO=∠ABO，∠ACO =∠BCO ，∠AOC =110?，则∠CBO =________．【答案】20?【题型】⼏何：⾓度2 (∠CAO+∠ACO+∠CBO)= 180?，解得∠CBO =20?．【解析】由题意得，∠ CAO +∠ ACO +∠ AOC =180?∠ AOC =110?9.张叔叔和李叔叔两⼈年龄和是 56 岁，当张叔叔是李叔叔现在年龄的⼀半时，李叔叔当时的年龄是张叔叔现在的年龄．那么张叔叔现在有________岁．【答案】24【题型】应⽤题：年龄问题【解析】设张叔叔现在 x 岁，张叔叔减少y岁后是李叔叔年龄的⼀半，则李叔叔现在年龄为2( x ? y )岁，张叔叔是李叔叔现在年龄的⼀半时李叔叔为2 (x?y)?y岁，则( )= 56 y =8x +2 x ? y，解得，即张叔叔现在 24 岁．( x ? y) ? yx =2 x =24此题亦可运⽤线段图的解法，同学们可以⾃⼰思考！10.妈妈决定假期带⼩花驾车去 10 个城市旅游，⼩花查完地图后惊奇地发现：这 10 个城市的任意三个城市之间或者都开通了⾼速公路，或者只有两个城市间没有开通⾼速路．那么这 10 个城市间⾄少开通了________条⾼速公路．（注：两个城市间最多只有⼀条⾼速公路）【答案】40【题型】组合：最值构造【解析】 (1) 将 10 个城市设为A1,A2,,A10这 10 个点，两个城市间的⾼速路视为连接两个点的线段，则任意三点间⾄少连接两条线段．(2)先将 10 个点两量相连，共C102=45条线段（中年级不会组合公式的同学可以想想怎么得出 45 条线段）．(3)现在考虑最多能去掉多少条线段?4先任意去掉⼀条，不妨记为 A1 A2这⼀条，则线段 A1 A i或 A2 A（j i =3, 4,,10; j =3, 4,,10）均不能去掉，否则 A1, A2, A i或 A1, A2, A j三个点中只有⼀条线段．即只能在 A3, A4,, A10这8个点的连线中去掉⼀条，记为 A3 A4；同理可再去掉 A5 A6, A7 A8, A9 A10，故最多可去掉5条线段.(4)因此⾄少连接45 ? 5=40 条线段，即⾄少开通了 40 条⾼速公路．5。