必修五导学案4(等差数列)

必修五 等差数列的性质【学习目标】1、加深理解等差数列的概念，熟练掌握等差数列的通项公式。

2、掌握等差中项的概念，并能利用其性质解决相关问题。

3、进一步体会函数与数列的关系，并能用函数的方法解决相关等差数列的问题。

【重点和难点】教学重、难点：1、掌握等差数列的性质。

2、灵活运用等差数列的性质解决相关问题。

【使用说明及学法指导】1.先预习课本P 36—P 39内容，然后开始做导学案。

2.将预习中不能解决的问题标出来，以便课上交流讨论。

预习案一．问题导学等差数列的性质有哪些?如何证明?二．知识梳理(1)在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 称为 ，A= .（2）若()+∈ +=+N q p n m q p n m ,,,，则 ；当p =q 时，则 。

（3）下标为等差数列的项() ,,,2m k m k k a a a ++，仍组成 数列；（4）数{}b a n +λ（b ,λ为常数）仍为 数列；（5）{}n a 和{}n b 均为等差数列，则{}n n b a ±也为 数列；，（6）{}n a 的公差为d ，则： ①⇔>0d {}n a 为 数列；②⇔<0d {}n a 为 数列；③⇔=0d {}n a 为 ；（递增，递减，常数列）三.预习自测1.等差数列{}n a 中，350a =，530a =，则7a = .2.等差数列{}n a 中，3524a a +=，23a =，则6a = .3. 在等差数列{}n a 中，,6031581=++a a a 则1092a a -值为 .4.已知∆ABC 中，角A,B,C 成等差数列，则tanB=________.5. 求下列两个数的等差中项（1）5 （2） 2,34a b a b +-四.我的疑问：探究案一． 合作探究探究1.等差数列性质的基本应用例1： 已知在等差数列{}n a 中，56756715..=45,a a a a a a ++=，求数列{}n a 的通项公式。

必修5 §2.2.2等差数列的性质 学案【课时安排】：1课时【学习目标】1．进一步了解等差数列的项与序号之间的规律；2．理解等差数列的性质；3．掌握等差数列的性质及其应用．【学习重难点】1．学习重点：等差数列的性质及证明；2．学习难点：运用等差数列定义及性质解题．【知识链接】1．等差数列的定义：在等差数列{}n a 中，对任意*n N ∈，1n n a a +-= ；2．等差数列的通项公式：n a = = ；3．若a ，A ，b 成等差数列，则称A 为a ,b 的 且 ；在等差数列{}n a 中满足：对任意*n N ∈，都有 ；【自学导引】一、探究发现：根据等差数列{}n a ：-1,2,5,8,11,…… 思考下列问题：1．等差数列{}n a 的通项公式是： ；2．请在函数的角度观察等差数列的通项公式结构，你能发现它有些什么性质？（1）（2）3．在这个等差数列中，请计算下列结果：27a a += ，36a a += ，45a a += ．（1）在上述算式中，你能得出什么结论吗？请写出来，并加以证明．（2）任意等差数列也有类似的性质吗？请写出来，并加以证明．二、活动交流：根据任意等差数列的项及其通项公式，思考、交流下列活动．1．除了上面的性质，你能发现等差数列还有些什么性质？请把你的发现写下来，并加以证明．2．将你发现的性质与同小组的同学交流，互相验证．并把本组求证的正确结论记录下来．三、应用举例：例1．填空：（1）在等差数列{}n a 中，若34567450a a a a a ++++=，则28a a +的值为 ；（2）等差数列{}n a 中，18153120a a a ++=，则9102a a -的值是 ．例2．若数列{}n a 为等差数列，158a =，6020a =，求75a 的值．例3．在数列{}n a 中，2n a kn qn =+(k ,q R ∈，*n N ∈)．（1）数列{}n a 能成为等差数列吗？若能，需要满足什么条件？若不能，请说明理由．（2）求证：对任意k ,q R ∈，数列1{}n n a a +-均为等差数列．【当堂检测与变式】课堂发布于101平台．【自学反思】1．学习本节内容的收获有哪些？2．你还有哪些疑问？【拓展延伸】1．已知等差数列{}n a ：5,8,11,… 和等差数列{}n b ：3,7,11,…．（1）在两个等差数列的前100项中，有多少个相等的项？（2）把两个等差数列中的相等项按从小到大的顺序组成一个新数列{}n c ，试求{}n c 的通项公式．2．等差数列的基本性质可以判定等差数列吗？判定一个数列是等差数列有些什么方法？。

高三数学必修五教案《等差数列》优秀4篇1. 引言本教案是针对高三数学必修五教材中的《等差数列》内容进行设计的。

《等差数列》是高中数学中的重要概念，对学生理解数列的规律和应用具有重要意义。

本教案旨在通过多种不同的教学方法和活动，帮助学生深入理解等差数列的定义、性质和应用。

2. 教案一：等差数列的定义和性质2.1 教学目标•了解等差数列的定义；•掌握等差数列的通项公式；•理解等差数列的性质。

2.2 教学内容1.等差数列的定义；2.等差数列的通项公式；3.等差数列的性质。

2.3 教学活动•分组讨论：学生分成小组，讨论等差数列的定义和通项公式，并总结出等差数列的性质；•演示教学：教师通过示例，引导学生理解等差数列的定义和通项公式，并帮助学生掌握等差数列的性质；•练习巩固：学生进行一些练习题，巩固对等差数列的理解。

2.4 教学评价教师通过观察学生在讨论和练习中的表现，评价学生对等差数列的理解程度。

3. 教案二：等差数列的求和公式3.1 教学目标•掌握等差数列的求和公式；•理解求和公式的推导过程；•运用求和公式解决实际问题。

3.2 教学内容1.等差数列的求和公式；2.求和公式的推导过程；3.运用求和公式解决实际问题。

3.3 教学活动•演示推导过程：教师通过详细的步骤，演示等差数列求和公式的推导过程，并帮助学生理解每一步的意义；•练习应用：学生进行一些实例练习，运用求和公式解决实际问题；•小组合作：学生分组讨论，互相解答问题，提高合作能力和解决问题的能力。

3.4 教学评价教师通过观察学生在练习和讨论中的表现，评价学生对求和公式的掌握情况。

4. 教案三：等差数列的应用4.1 教学目标•熟练运用等差数列解决实际问题；•发现等差数列在生活和科学中的应用。

4.2 教学内容1.通过例题引入等差数列的应用；2.探究等差数列在生活和科学中的应用。

4.3 教学活动•案例分析：教师通过具体的案例，引导学生发现等差数列在生活和科学中的应用，并分析其规律；•分组讨论：学生分组讨论，提出更多的应用案例，并探究其规律和特点；•学生报告：每个小组选取一个应用案例进行报告，分享给全班同学。

第二章数列2.2等差数列一、学习目标1.理解等差解数列的定义和通项公式，会判断数列是否是等差数列，并会应用通项公式解决问题。

2.理解等差中项的定义，会应用等差中项的性质解决问题。

【重点、难点】等差数列的概念和通项公式，等差中项的性质二、学习过程【导入新课】1.等差数列的定义：a n= _________.3.等差中项若______成等差数列,则A叫a与b的等差中项,且A=_____.【典型例题】例1.在等差数列{a n}中，a2=5,a6=17，则a14=( )A.45B.41C.39D.37例2.一个各项都是正数的无穷等差数列{a n}，a1和a3是方程x2－8x+7=0的两个根，求它的通项公式.例3.已知等差数列{a n}中，a2与a6的等差中项为5，a3与a7的等差中项为7，则a n=__________.【变式拓展】1．在等差数列{a n}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=( )A．10 B．18 C．20 D．282.在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，此等差数列的公差d为____________．三、总结反思(1)通项公式的作用：根据通项公式,在a1,a n,d,n中知道任何三个可求另一个,也可用于等差数列的判断.等差数列的通项公式可变形为a n=dn+(a1-d),当d≠0时可把a n看作自变量为n的一次函数.(2)等差数列的单调性(1)当公差d<0时,等差数列为递减数列.(2)当公差d=0时,等差数列为常数列.(3)当公差d>0时,等差数列为递增数列.四、随堂检测1.在等差数列{a n}中,已知a1=2,a7=-4,则公差d= .2.已知首项a1=1,公差d=-2的等差数列{a n},当a n=-27时,n= .3.x-1与y+1的等差中项为5,则x+y= .4.等差数列{a n}的前三项依次为x,2x+1,4x+2,则它的第5项为.。

2．2 等差数列【学习目标】1. 通过实例，理解等差数列的概念；2. 探索并掌握等差数列的通项公式；3. 能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。

【研讨互动 问题生成】1.等差数列的概念2.等差数列的通项公式【合作探究 问题解决】⑴在直角坐标系中，画出通项公式为53-=n a n 的数列的图象。

这个图象有什么特点？ ⑵在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说一说等差数列q pn a n +=与一次函数y=px+q 的图象之间有什么关系。

【点睛师例 巩固提高】例1.⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？例2．某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4km （不含4千米）计费10元。

如果某人乘坐该市的出租车去往14km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？例3． 已知数列}{n a 的通项公式为,q pn a n +=其中p 、q 为常数，且p ≠0，那么这个数列一定是等差数列吗?【要点归纳 反思总结】①等差数列定义：即d a a n n =--1(n ≥2)②等差数列通项公式：=n a d n a )1(1-+(n ≥1)推导出公式：d m n a a m n )(-+=【多元评价】自我评价: 小组成员评价: 小组长评价:学科长评价: 学术助理评价:【课后训练】1.在等差数列｛a n ｝中，已知a 1=2,a 2+a 3=13，则a 4+a 5+a 6等于( )A.40B.42C.43D.452.设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=( )A ．120B ．105C ．90D ．753.已知等差数列2,5,8，……，该数列的第3k （k ∈N ＊）项组成的新数列｛b n ｝的前4项是 。

高三数学必修五教案等差数列优秀4篇(实用版)编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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等差数列(二)教学目标：明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.教学重点：等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用.教学难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.教学过程：Ⅰ.复习回顾等差数列定义：a n －a n －1＝d (n ≥2)，等差数列通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d (n ≥1)，推导公式：a n ＝a m ＋(n －m )dⅡ.讲授新课首先，请同学们来思考这样一个问题.问题1：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a 、A 、b 成等差数列，那么A 应满足什么条件？ 由等差数列定义及a 、A 、b 成等差数列可得：A －a ＝b －A ，即：a ＝a ＋b 2 . 反之，若A ＝a ＋b 2 ，则2A ＝a ＋b ，A －a ＝b －A ，即a 、A 、b 成等差数列. 总之，A ＝a ＋b 2 a ，A ，b 成等差数列.如果a 、A 、b 成等差数列，那么a 叫做a 与b 的等差中项.不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.如数列：1，3，5，7，9，11，13，……中，3是1和5的等差中项，5是3和7的等差中项，7是5和9的等差中项等等.进一步思考，同学们是否还发现什么规律呢？比如5不仅是3和7的等差中项，同时它也是1和9的等差中项，即不仅满足5＝3＋72，同时还满足5＝1＋92. 再如7不仅是5和9的等差中项，同时它也是3和11的等差中项，还是1和13的等差中项，即：7＝5＋92 ＝3＋112 ＝1＋132. 看来，a 2＋a 4＝a 1＋a 5＝2a 3，a 4＋a 6＝a 3＋a 7＝2a 5依此类推，可得在一等差数列中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .下面，我们来看一个实际问题.［例1］梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度.分析：首先要数学建模，即将实际问题转化为数学问题，然后求其解，最后还要结合实际情况将其还原为实际问题的解.解：用{a n }表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件，有a 1＝33，a 12＝110，n ＝12. 由通项公式，得a 12＝a 1＋(12－1)d ，即：110＝33＋11d ，解得：d ＝7.因此，a 2＝33＋7＝40，a 3＝40＋7＝47，a 4＝54，a 5＝61，a 6＝68，a 7＝75，a 8＝82，a 9＝89，a 10＝96，a 11＝103.答案：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm ，47 cm ，54 cm ，61 cm ，68 cm ，75 cm ，82 cm ，89 cm ，96 cm ，103 cm.评述：要注意将模型的解还原为实际问题的解.［例2］已知数列的通项公式为a n ＝pn ＋q ，其中p 、q 是常数，且p ≠0，那么这个数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？分析：由等差数列的定义，要判定{a n }是不是等差数列，只要看a n －a n －1(n ≥2)是不是一个与n 无关的常数就行了.解：取数列{a n }中的任意相邻两项a n －1与a n (n ≥2)，a n －a n －1＝(pn ＋q )－[p (n －1)＋q ]＝pn ＋q －(pn －p ＋q )＝p它是一个与n 无关的常数，所以{a n }是等差数列，且公差是p .在通项公式令n ＝1，得a 1＝p ＋q ，所以这个等差数列的首项是p ＋q ，公差是p .看来，等差数列的通项公式可以表示为：a n ＝pn ＋q （其中p 、q 是常数）当p ＝0时，它是一常数数列，从图象上看，表示这个数列的各点均在y ＝q 的图象上.当p ≠0时，它是关于n 的一次式，从图象上看，表示这个数列的各点均在一次函数y ＝px ＋q 的图象上.例如，首项是1，公差是2的无穷等差数列的通项公式为：a n ＝2n －1，相应的图象是直线y ＝2x －1上的均匀排开的无穷多个孤立点.如图所示：［例3］已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数.解：设此三数分别为x －d 、x 、x ＋d则⎩⎨⎧（x －d ）＋x ＋（x ＋d ）＝15（x －d ）2＋x 2＋（x ＋d ）2＝83解得x ＝5，d ＝±2.∴所求三个数列分别为3、5、7或7、5、3.评述：三个数成等差数列时注意其设法.［例4］已知数列{a n }为等差数列，a 1＝2，a 2＝3，若在每相邻两项之间插入三个数后，和原数列仍构成一个等差数列，试问：（1）原数列的第12项是新数列的第几项？（2）新数列的第29项是原数列的第几项？分析：运用递推归纳的思想方法，从特殊中找规律，得到或猜想出一般结论，然后再回到特殊解决问题，这应该是解决本题的一个基本途径.解：原数列的第一项是新数列的第1项，原数列的第二项是新数列的第2＋3＝5项，原数列的第三项是新数列的第3＋2×3＝9项.……原数列的第n 项是新数列的第n ＋(n －1)×3＝4n －3项.（1）当n ＝12时，4n －3＝4×12－3＝45，故原数列的第12项是新数列的第45项.（2）令4n －3＝29，解得n ＝8，故新数列的第29项是原数列的第8项.评述：一般地，在公差为d 的等差数列每相邻两项之间插入m 个数，构成一个新的等差数列，则新数列的公差为dm ＋1 ，原数列的第n 项是新数列的第n ＋(n －1)m ＝(m ＋1)n －m 项.［例5］在等差数列{a n }中，若a 3＋a 8＋a 13＝12，a 3a 8a 13＝28，求{a n }的通项公式.分析一：利用等差数列的通项公式求解.解法一：设所求的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d则⎩⎨⎧（a 1＋2d ）＋（a 1＋7d ）＋（a 1＋12d ）＝12（a 1＋2d ）（a 1＋7d ）（a 1＋12d ）＝28即⎩⎨⎧ a 1＋7d ＝4 ①（a 1＋2d ）（a 1＋7d ）（a 1＋12d ）＝28 ②①代入②得（a 1＋2d ）(a 1＋12d )＝7③ ∵a 1＝4－7d ，代入③，∴（4－5d ）(4＋5d )＝8即16－25d 2＝7，解得d ＝±35. 当d ＝35 时，a 1＝－15 ，a n ＝－15 ＋(n －1)·35 ＝35 n －45当d ＝－35 时，a 1＝415 ，a n ＝415 ＋(n －1)·（－35 ）＝－35 n ＋445. 分析二：视a 3，a 8，a 13作为一个整体，再利用性质：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q 解题. 解法二：∵a 3＋a 13＝a 8＋a 8＝2a 8，又a 3＋a 8＋a 13＝12，故知a 8＝4代入已知得⎩⎨⎧a 3＋a 13＝8a 3·a 13＝7 解得⎩⎨⎧a 3＝1a 13＝7 或⎩⎨⎧a 3＝7a 13＝1由a 3＝1，a 13＝7得d ＝a 13－a 313－3 ＝7－110 ＝35. ∴a n ＝a 3＋(n －3)·35 ＝35 n －45. 由a 3＝7，a 13＝1，仿上可得：a n ＝－35 n ＋445. 评述：在解答本题时，首先应注意到{a n }是等差数列这个大前提，否则，仅有a 3＋a 8＋a 18＝12及a 3a 8a 13＝28就无法求出a 3，a 8，a 13的具体值；其次，应注意到a 3，a 8，a 13中脚码3，8，13间的关系：3＋13＝8＋8，从而得到a 3＋a 13＝a 8＋a 8＝2a 8.Ⅲ.课堂练习课本P 36练习已知一个无穷等差数列的首项为a 1，公差为d :(1)将数列中的前m 项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？解：设一无穷等差数列为：a 1，a 2，…，a m ，a m +1，…，a n ，…若去掉前m 项，则新数列为：a m +1，…，a n ，…，即首项为a m +1，公差为d 的等差数列.（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？解：若设一无穷等差数列为：a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，…，a n ，…，则取出数列中的所有奇数项，组成的新数列为：a 1，a 3，a 5，…，a 2m －1，…即，首项为a 1，公差为2d 的等差数列.（3）取出数列中的所有项数为7的倍数的各项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差各是多少？设一无穷等差数列为：a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，则新数列为：a 7，a 14，a 21，…，a 7m ，…，即首项为a 7，公差为7d 的等差数列.Ⅳ.课时小结通过本节学习，首先，需掌握等差中项概念，及A ＝a ＋b 2 与a ，A ，b 成等差数列的关系，另外，还应注意等差数列的定义、通项公式、性质的灵活应用.Ⅴ.课后作业课本P 39习题 4，5，6，7。

等差数列前n项中位数绝对偏差导学案简介本导学案旨在帮助学生理解等差数列前n项中位数绝对偏差的概念和计算方法。

通过本案例研究，学生将能够掌握如下内容：- 理解等差数列的概念和性质；- 理解中位数和绝对偏差的概念；- 掌握等差数列前n项中位数绝对偏差的计算方法。

研究目标通过本导学案的研究，学生将能够：1. 理解等差数列的定义和性质；2. 理解中位数和绝对偏差的概念；3. 掌握等差数列前n项中位数绝对偏差的计算方法；4. 运用所学知识解决实际问题。

研究内容等差数列等差数列是指一个数列中从第二项起，每一项与它前面的一项的差等于一个常数，这个常数称为公差。

等差数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n - 1)d$，其中$a_n$表示第n项，$a_1$表示第一项，$d$表示公差。

中位数中位数是统计学中的概念，它表示将一组数据按照大小排列后的中间值。

如果数据个数为奇数，则中位数为排序后的正中间的那个数；如果数据个数为偶数，则中位数为排序后的中间两个数的平均值。

绝对偏差绝对偏差是用来表示一组数据与其平均值之间的差异的度量。

计算绝对偏差的方法是将每个数与其平均值的差取绝对值，然后求其平均值。

等差数列前n项中位数绝对偏差的计算方法1. 计算等差数列前n项的和：$S_n = (n/2)(a_1 + a_n)$；2. 计算等差数列前n项的平均值：$A_n = (a_1 + a_n)/2$；3. 计算每一项与平均值的绝对偏差：$|D_i| = |a_i - A_n|$；4. 计算绝对偏差的平均值：$|D| = (1/n)\sum |D_i|$。

研究任务请通过以下任务来巩固所学知识：1. 选择一个等差数列，计算其前n项的和和平均值；2. 计算该等差数列的每一项与平均值的绝对偏差；3. 计算绝对偏差的平均值。

总结本导学案介绍了等差数列前n项中位数绝对偏差的概念和计算方法。

掌握这些知识可以帮助学生在实际问题中应用等差数列的概念和技巧，解决相关的数学问题。

第 6 课时：§2.2 等差数列（4）【三维目标】：一、知识与技能1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前n 项和的公式研究n S 的最值；3.掌握等差数列前n 项和中奇数项和与偶数项和的性质。

4.使学生会运用等差数列前n 项和的公式解决有关问题，从而提高学生分析问题、解决问题的能力 二、过程与方法 经历公式应用的过程； 三、情感、态度与价值观通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。

【教学重点与难点】：重点：等差数列n 项和公式的应用 难点：灵活应用求和公式解决问题 【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】：一、创设情景，揭示课题，研探新知1.等差数列的定义：（1）等差数列的通项公式；（2）等差数列的求和公式。

2.等差数列的性质：已知数列{n a }是等差数列，则（1）对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n ma a d n m-=-()m n ≠；（2）若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+（3）等差数列前n 项和公式：1()2n n n a a S +=或1(1)2n n n S na d -=+⨯ 注意：①等差数列前n 项和公式又可化成式子：n d a n d S n )2(212-+=，当0≠d ，此式可看作二次项系数为2d，一次项系数为21da -，常数项为零的二次式；②当0>d 时，n S 有最小值；当0<d 时，n S 有最大值；③图象：抛物线x da x d y )2(212-+=上的一群独立点。

等差数列（四）【学习目标】掌握等差数列前n 项和的性质，能用等差数列前n 项和的性质解决问题。

【课堂导学】 一、预习点拨等差数列的前n 项和的三个结论：（1）数列｛n a ｝的前n 项和为可以表示为：n s =2An Bn ++C （A 、B,C 为常数）,若C=0，则该数列必为____________数列，若数列｛n a ｝为等差数列，则必有C=_______（2）若等差数列｛n a ｝的前n 项和为n s ，则数列232,,k k k k k s s s s s --（k N ∈＊）成_____数列；（3）若等差数列｛n a ｝的公差为d ：① 当10,0a d <>时，数列｛n a ｝的前n 项和有 值（填“最大”或“最小”）；② 当10,0a d ><时，数列｛n a ｝的前n 项和有 值（填“最大”或“最小”）。

二、典型例题例1、已知｛n a ｝为等差数列，前10项的和为10010=S ,前100项的和10100=S ， 求前110项的和110S .例2、已知等差数列｛n a ｝前m 项和为30，前2m 项和为100，则数列前3m 项和为多少？ 例3、数列｛n a ｝是等差数列，6.0,501-==d a （1）从第几项开始有0<n a ；（2）求此数列前n 项和的最大值。

三、迁移训练1、一个等差数列的前12项之和为354，前12项中，偶数项和与奇数项和之比为32：27，则公差 =2、已知等差数列｛n a ｝的前4项和为2，前9项和为6-，求此数列的前n 项和n s 。

3、设等差数列数列的前n 项和为n s ，已知112a =，10110,0s s ><。

（1）求公差d 的取值范围；（2）指出123,,,s s s …10,s 中哪一个值最大？并说明理由。

四、课堂笔记【巩固反馈】 一、填空题1、若等差数列｛n a ｝中，510131621200a a a a a ++++= ，则25s =2、已知等差数列｛n a ｝中，2421232a a a a +++= ，则24s =3、等差数列｛n a ｝的前5项和为10，第6项至第10项和为20，求此数列的16项至第20项和为4、等差数列｛n a ｝的前110=m S ，前4202=m S ，则前=m S 35、已知数列｛n a ｝和｛n b ｝都是等差数列，且11332,3,8a b a b ==+=，设n n n c a b =+，则21c =6、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，51010,5S S ==-，则其公差为二、解答题7、已知等差数列｛n a ｝的通项公式为311n a n =-，求此数列前n 项和的最小值。

等差数列（导学案）●教学目标（１）理解并掌握等差数列的概念（２）掌握等差数列的通项公式及应用●教学重点等差数列的概念，等差数列的通项公式。

●教学难点等差数列的性质●教学过程Ⅰ.课题导入【问题情境】1．观察下列几组数列；(1) 从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，，, ,…(2 ) 4，5，6，7，8，9……..(3) 3，0，－3，－6，－9…….(4) －2，－4，－6，－8……..你能发现这几组数列各项之间有什么关系？2.试猜想下列几组数列的规律并完成填空:观察下面数列的特点，用适当的数字填空：（1）5，10，15，（），25，30（2）-4，-2，（），2，（），6（3）20，16，（），8，4，0（4）18，（），12，9，6，3,（5）0.5，0.5，（），0.5，0.5, 0.5【学生探究】上述几组数列有什么共同点？Ⅱ.讲授新课1．等差数列：一般地，如果一个数列从起，每一项与它的前一项的差都等于，那么这个数列就叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

（1）判断下列数列是否是等差数列①1，2，22，23，…，263②1，2，3，4，…，50③15，5，16，16，28④0，10，20，30，…，1000（２）判断下列两个小题的对错：① 数列5，3，1，-1，-3是公差为-2的等差数列。

② x,x-1,x-2,x-3是公差为x-1的等差数列。

根据等差数列的概念，你能猜出等差数列的通项公式吗？例如：上面【问题情境】中2题（1）_________公差d=___（2）_________公差d=___（3）_________公差d=___（4）_________公差d=___（5）_________公差d=___2．通项公式【猜想】等差数列的通项公式与___有关？对等差数列怎样推导通项公式？如:（一）证 （二） （三）注意：①等差数列的通项公式从形式上看是关于n 的_____函数，当d ≠0时，是n 的____函数，当d=0时，是常数列。

必修五等差数列前 n 项和的性质【学习目标】１、能从函数的角度理解等差数列的前n 项和公式；２、掌握等差数列前n 项和公式的部分性质；３、能解决与等差数列前n 项和相关的应用问题【要点和难点】要点：从函数的角度理解等差数列的前 n 项和公式．难点：等差数列的前 n 项和公式的娴熟应用．【使用说明及学法指导】1.先预习课本 P42—P45内容，而后开始做导教案。

2. 将预习中不可以解决的问题标出来，以便课上沟通议论。

预习案一．问题导学S n an2 +bn+c,必定表示等差数列的前 n项和吗？假如是，系数需知足什么条件？二．知识梳理1．数列a n的前n项和S n与其通项公式a n的关系是：．2．公差不为零的等差数列a n的前 n 项和 S n是定义在上的函数．a10a10时， S 有最小值．（ 1）当时， S 有最大值；（2）当d0n d0n3．若等差数列a n的前 n 项和是 S n，则 S n , S2n S n , S3 n S2n成数列．三 . 预习自测1．设数列a n的前 n 项和为 S n．若 S n n2，则 a n；若 S n n2 1 ，则 a n．2．在等差数列a n中．（ 1）若首项为8 ，公差为 3，则当n时，获得Sn 最小；若首项为 8，公差为3，则当n时，获得S n最大．（ 2）若S n n224n，则当 n时，获得 S n最小；若 S n n225n ，则当 n时，获得 S．n 最小3．已知等差数列a n的前 n 项和为 S n，且 S1010 ， S2020 ，则 S30．4．已知数列a n的通项公式 a n1，且前n 项和为 S n，则 S2012．n n1四 . 我的疑 ：研究案一． 合作研究研究 1. （ S n 的最 ）：例 1、已知等差数列5, 4 2 ,3 4，⋯的前 n 和 S n ，求使 S n 获得最大 的 数n ．7 7式：在等差数列a n 中， a 1 0 ， S 9 S 12 ，求使 S n 获得最小 的 数 n ．研究 2. （ S n 的部分性 ）： 例 2、一个等差数列的前10 之和 100，前 100 之和 10，求前 110 之和．二、 堂小 ：训练案一、 堂 与1．在等差数列a n 中， a 4 18 ， a 10 6 ，求使 S n 获得最大 的 数 n ．2．（拓展） 已知两个等差数列a n 和b n的前 n 和分 是 A n , B n ，且A n2n 45 ， a3．B nn 3b 3。

等差数列（）【学习目标】、理解等差数列的观点；、会用定义判断等差数列，证明等差数列。

【要点难点】判断、证明等差数列。

【自主学习】一、问题情境）;),););阅读以上的数列，思虑：它们有什么共同特色？二、数学建立、等差数列定义：；叫公差，用表示。

、定义可用式子表示为：。

、（）当 d0 时，数列的各项怎样变化？（）当 d0 时，数列的各项怎样变化？（）当 d0 时，数列的各项怎样变化？【典型例题】例、判断以下数列能否为等差数列：(1)1,1,1,1,1;(2)4,7,10,13,16;(3)3, 2, 1,1,2,3;例、求出以下等差数列中的未知项：(1)3, a,5;(2)3, b, c, 9例、（）在等差数列a n中，能否有a n an 1an 1 (n2) ？2（）在数列a n中，假如对于随意的正整数n( n2) ，都有 a n a n 1 a n 1，那么数列2a n必定是等差数列吗？【知识拓展】已知数列a n的通项公式a n pn q ，此中p, q是常数，那么，这个数列能否必定为等差数列？假如，首项与公差分别是多少？【稳固练习】、已知以下数列是等差数列，在括号内填上适合的数：()( );() ,2,( );() ,( ),( ).、已知a1 , a2 , a3 ,, a n , a n 1 ,, a2 n是公差 d 的等差数列.() a n, a n 1,, a2 , a1也成等差数列？假如是，公差是多少？() a2, a4, a6,, a2n也成等差数列？假如是，公差是多少？() a2n, a2n 1, a2n 2,⋯ , a3, a2, a1也成等差数列？假如是，公差是多少？（） a5 , a6 , a7 , ⋯，a100也成等差数列？假如是，公差是多少？、已知等差数列a n的首 a1，公差d.() 将数列a n中的每一都乘以常数 a ，所得的新数列还是等差数列？假如是，公差是多少？() 由数列a n中的全部奇数按本来的序成的新数列c n是等差数列？假如是，它的首和公差分是多少？等差数列（）【学习目标】、研究并掌握等差数列的通公式；、理解通公式与一次函数的关系；、培育察、剖析、、推理能力。

第3课时等差数列的定义和通项1.理解等差数列、公差、等差中项的概念.2.掌握等差数列的通项公式.3.会运用等差数列的通项公式解决相关数列问题.水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境,会采用定期放水的方式清理水库的杂鱼.如果一个水库的水位为18 m,自然放水每天水位降低2.5 m,最低降至5 m.那么从开始放水算起,到可以进行清理工作的那天,水库每天的水位组成的数列(单位:m)是我们今天要学习的一种数列.问题1:(1)等差数列的定义:如果一个数列从,每一项与它前一项的差等于,那么这个数列就叫作等差数列,这个常数就叫作这个数列的,常用字母“d”表示.即数列{a n}为等差数列⇔a n-a n-1=d(n≥2,n ∈N+).(2)等差中项的定义:若三个数a,A,b构成等差数列,则A叫作a与b 的,且A= .问题2:等差数列通项公式的推导通项公式:a n= .(1)累加法:设数列{a n}是等差数列,则a n-a n-1=d(n≥2,d为常数),于是a 2-a 1=d , a 3-a 2=d , ……a n -a n-1=d ,将这n-1个等式相加,得a n -a 1= ,即a n = .这个推导方法称作累加法,是求等差数列的通项公式的常用方法.通项公式的变形:由等差数列{a n }的通项公式a n =a 1+(n-1)d 得a m = ,所以a n -a m = ,即通项公式a n 也可表示为a n = .(2)归纳法:若一等差数列{a n }的首项是a 1,公差是d ,则据其定义可得:a 2-a 1= ,即:a 2=a 1+ ; a 3-a 2= ,即:a 3=a 2+d=a 1+ ; a 4-a 3= ,即:a 4=a 3+d=a 1+ ; ……由此归纳等差数列的通项公式可得:a n = . 问题3:等差数列的性质 在等差数列{a n }中: (1)a n -a m = ,d=(m ≠n );(2)a n ===…;(3)若p+q=r+s (p ,q ,r ,s ∈N +),则 ;(4)若{k n }为等差数列,则{a ·k n }为 数列,此外,所有奇数项(或偶数项)按原来的顺序构成的数列也为 数列.问题4:等差数列的单调性等差数列{a n }中,若公差d>0,则数列{a n }为 数列;若公差d<0,则数列{a n }为 数列;若公差d=0,则数列{a n }为 数列.1.已知等差数列{a n}的通项公式为a n=3-2n,则它的公差为().A.2B.3C.-2D.-32.设数列{a n}、{b n}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么数列{a n+b n}的第37项为().A.0B.37C.100D.-373.在等差数列{a n}中,若a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6= .4.已知等差数列{a n}满足:a3=7,a5+a7=26,求a n.考查等差数列的定义已知数列{a n}的通项公式为a n=pn+q,其中p、q是常数,那么这个数列是否一定是等差数列?若是,求出首项与公差;若不是,请说明理由.三个数成等差时的“巧设”已知三个数成等差数列,它们的和为15,且第三个数与第二个数的平方差为56,求这三个数.等差数列中的相同项问题已知等差数列5,8,11,…与3,7,11,…均有100项,问有多少个数同时在这两个数列中出现?已知数列{a n}的通项公式为a n=pn2+qn(p,q∈R,且p,q为常数).(1)当p,q满足什么条件时,数列{a n}是等差数列?(2)求证:对于任意的实数p,q,数列{a n+1-a n}是等差数列.设{a n}是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,求这三个数.已知数列{a n}是一个等差数列,且a2=1,a5=-5.(1)求{a n}的通项公式;(2)设c n=,b n=,求T=log2b1+log2b2+log2b3+…+log2b n的值.1.△ABC中,三内角A、B、C成等差数列,则角B等于().A.30°B.60°C.90°D.120°2.一个等差数列的前4项是a,x,b,2x,则等于().A.B. C. D.3.若一个不等边三角形的三条边长从小到大依次构成等差数列,其中最小的边长为5,则公差d的取值范围为.4.判断数52,2k+7(k∈N+)是否是等差数列{a n}:-5,-3,-1,1,…中的项,若是,是第几项?(2013年·辽宁卷)下面是关于公差d>0的等差数列{a n}的四个命题: p:数列{a n}是递增数列;1p:数列{na n}是递增数列;2p:数列{}是递增数列;3p:数列{a n+3nd}是递增数列.4其中的真命题为().A.p1,p2B.p3,p4C.p2,p3D.p1,p4考题变式(我来改编):第3课时等差数列的定义和通项知识体系梳理问题1:(1)第二项起 同一个常数 公差 (2)等差中项问题2:a 1+(n-1)d (1)(n-1)d a 1+(n-1)d a 1+(m-1)d (n-m )da m +(n-m )d (2)d d d 2d d 3d a 1+(n-1)d问题3:(1)(n-m )d (3)a p +a q =a r +a s (4)等差 等差问题4:递增 递减 常 基础学习交流1.C 由a n =a 1+(n-1)d 得a n =(a 1-d )+nd ,可知d=-2,故选C.2.C ∵{a n }、{b n }为等差数列,∴{a n +b n }也为等差数列.又公差d=(a 2+b 2)-(a 1+b 1)=100-100=0,故数列{a n +b n }为常数列,∴a n +b n =100.3.42 设等差数列{a n }的公差为d ,由a 2+a 3=13,得2a 1+3d=13,解得d=3,∴a 4+a 5+a 6=3a 1+12d=3×2+12×3=42.4.解:设等差数列{a n }的公差为d ,因为a 3=7,a 5+a 7=26, 所以有解得a 1=3,d=2,所以a n =3+2(n-1)=2n+1. 重点难点探究探究一:【解析】当n ≥2时,取数列{a n }中的任意相邻两项a n-1与a n (n ≥2),则a n -a n-1=(pn+q )-[p (n-1)+q ]=pn+q-(pn-p+q )=p (p 为常数),∴{a n }是等差数列,首项a 1=p+q ,公差为p.【小结】本题主要考查了如何判断一个数列是否为等差数列.到目前为止,我们掌握判断等差数列的方法有两种:一是利用定义,即证明a n -a n-1(n ≥2)是一个与n 无关的常数;二是可以使用本题的结论,即数列{a n }的通项公式为a n =pn+q ,则数列{a n }是首项为a 1=p+q ,公差为p 的等差数列.探究二:【解析】根据条件可设三个数依次为a-d ,a ,a+d ,则解得a=5,d=4或-14.故这三个数依次为1,5,9或19,5,-9.【小结】三个数成等差数列,使用“巧”设对称项的方法,这样解起来比较方便,要合理运用方程(组)的数学思想.探究三:【解析】第一个数列{a n}的通项公式为:a n=3n+2;第二个数列{b n}的通项公式为:b n=4n-1.令:a n=b n,则3n+2=4n-1,∴n=3,即只有一项a3=b3=11同时在两个数列中出现.[问题]结论正确吗?[结论]不正确.原因是设a n=b n不妥当,因为一个数同时在两个数列中出现时,该数在两个数列中的位置未必相同.正确解法如下:对于a n=3n+2(1≤n≤100),b k=4k-1(1≤k≤100),令a n=b k,∴3n+2=4k-1,∴k=,设n+1=4t(t∈N+),∴n=4t-1,k=3t.又由1≤n,k≤100,∴1≤t≤25,即有25个数同时在两个数列中出现.【小结】要注意a m=b n中的m,n可以不同.思维拓展应用应用一:(1)欲使数列{a n}是等差数列,则a n+1-a n=[p(n+1)2+q(n+1)]-(pn2+qn)=2pn+p+q应是一个与n无关的常数, 所以只有2p=0,即p=0时,数列{a n}是等差数列.(2)因为a n+1-a n=2pn+p+q,所以a n+2-a n+1=2p(n+1)+p+q,所以(a n+2-a n+1)-(a n+1-a n)=2p,为一个常数,所以数列{a n+1-a n}是等差数列.应用二:设前三项分别为a-d ,a ,a+d ,则a-d+a+a+d=12且a (a-d )(a+d )=48,解得a=4且d=±2.又{a n }是递增数列,∴d>0,即d=2,∴a 1=2.∴这三个数依次为2,4,6.应用三:(1)设{a n }的公差为d ,由已知条件,解得所以a n =a 1+(n-1)d=-2n+5.(2)因为an =-2n+5,所以c n ===n ,所以b n ==2n ,所以T=log 2b 1+log 2b 2+log 2b 3+…+log 2b n =log 22+log 222+log 223+…+log 22n =1+2+3+…+n=.基础智能检测1.B 依题意得 A+C=2B ,又A+B+C=180°,∴ B=60°.2.C∴a=,b=x ,∴=.3.(0,5) 由已知设三条边从小到大依次为5,5+d ,5+2d ,∴d>0,由两边之和大于第三边,得5+5+d>5+2d ,解之得d<5,∴0<d<5.4.解:由题意知a n =2n-7,由2n-7=52,得n=29.5∉N +,∴52不是该数列中的项. 又由2n-7=2k+7解得n=k+7∈N +,∴2k+7是数列{a n }中的第k+7项. 全新视角拓展D 由等差数列的性质易判断命题p 1,p 4正确.令数列a n =2n-16,则易判断命题p 2,p 3为假命题. 思维导图构建通项公式法 等差中项法。