对用判别式法求函数值域的再思考

对用判别式法求函数值域的再思考河南油田高级中学 樊文联（河南南阳）邮编：473132《中学数学教学参考》2004年第5期及2004年第7期第36页，分别刊登了河南省驻马店市汝南高中石保军老师的《用判别式法求分式函数值域》（下称文1）及西安电子科技大学附中高东英老师的《利用△法求函数值域应注意的问题》（下称文2），这两篇文章从不同的角度详细的阐述了利用该方法求函数值域的适用范围、解题步骤、应注意的问题，我仔细研读之后，顿觉受益非浅，在欣赏之余，仍有以下问题和两位作者及读者商榷，以期共同提高。

思考之一：数学解题过程不只是数学符号的演绎，还要有必要的文字说明．．．．．．．，这也许是解题中的点睛之笔．．．．，同时也是解题中不可缺少的部骤，通俗一点就是我们常说的解题的规范化问题。

㈠文1中例1求函数y=1223222++--x x x x 的值域 解：∵2x 2+2x+1=2(x+21)2+21>0 ∴函数的定义域为R ，将原函数等价变形为（2y-1）x 2+(2y+2)x+y+3=0,我认为在此后应加上：关于．．x ．的方程（．．．．2．y ．-．1．）．x ．2．+(2y+．．．．．2)x+y+3=0．．．．．．．．．有实数解．．．．㈡文1中例2求函数y=63422-+++x x x x 的值域 解：由x 2+x-6≠0得x ≠2,x ≠-3∴函数的定义域为{x|x ∈R ，x ≠2,x ≠-3}由原函数变形得：（y-1）x 2+(y-4)x-6y-3=0我认为在此之后应加上：关于．．x ．的方程（．．．．y ．-．1．）．x ．2．+(y ．．．-．4)x ．．．-．6y ．．-．3=0．．．有实数根且至少有一根不为．．．．．．．．．．．．2．且不为．．．-．3．同样的对于文2中例1及例2也需要作此修正，本人认为，这些文字说明对于整个题目的解题过程起着统帅作用．．．．，同时也暴露出作者的思维过程，不能略去。

关于很多数学教师有争议的“判别式法求值域”的思考近几天有高一的学生问我这样一个数学问题：（1）求函数y=(x+6)/[(x-5)(x+1)]的值域.把这个问题一般化，我们得到下列的问题：（2）设a，b，c是互不相同的实数常数，求函数y=(x-c)/[(x-a)(x-b)]的值域.函数值域的方法叫做“判别式法”．在运用此法的过程中若稍有疏忽便会导致函数值域的不完备或不纯粹．从上面两个例子中，我们看出：形如上面（*）式的函数，如果分母g(x)是二次函数，且对于任意实数x，g(x)恒不为零，那么，上面的“判别式”解法是没什么问题的。

关键是要对取两个端点的值进行检验即可。

但是，大家再看下面的例3.由于上述问题的出现，在中学数学中，有一部分老师认为，形如（*）式的函数，如果定义域不是实数集R，则不宜采用判别式法来解，否则，就导致错误。

事实真的是这样的吗？对于文章开头提出的问题（2），我们现在采用“判别式法”及“双勾函数法”两种解法得出的结论进行对比看看。

【法1】用“判别式法”：若y=0,则x=c；若y不等于0，则【法2】用“双勾函数法”，即转化为用f(x)=x+(a/x),(a>0)来解：由上面两种方法作比较知，用“判别式法”解出的答案也是正确的。

【思考1 】在运用“判别式法求值域”时，为什么必须讨论二次项系数为零的情形呢?当二次项系数为零时，方程不再是二次方程，更无判别式可言．因此在用判别式法求函数值域时，必须考虑到二次项系数dy—a=0即也就是说，象这类自然定义域(使函数解析式有意义的X的取值集合)的分式函数求值域，当分子、分母无公因式时判别式法仍然适用．当分式函数的定义域不为自然定义域时，尽管分子、分母无公因式，也不能仅用判别式来求值域，可考虑其他方法，如根据方程在自变量的限制条件下有实根的充要条件即一元二次方程的实根分布理论来解决．运用数学软件“几何画板”可验证答案的正确性（见上图）。

判别式法求值域的原理
判别式法是一种数学方法，用于求解二次函数的值域。

它的原理可以通过以下步骤来解释：
1. 给定一个二次函数的表达式：y = ax² + bx + c，其中a，b和c是实数常数。

2. 通过计算函数的判别式Δ（delta）来判断二次函数的值域。

判别式的公式为：Δ = b² - 4ac。

3. 根据判别式的值，判断函数的值域：
a) 当Δ > 0时，表示函数有两个不同实根，即二次函数的图像与x轴有两个交点。

此时函数的值域为整个实数轴。

b) 当Δ = 0时，表示函数有两个相等的实根，即二次函数的图像与x轴只有一个交点。

此时函数的值域为该实根对应的y 值。

c) 当Δ < 0时，表示函数没有实根，即二次函数的图像与x 轴没有交点。

此时函数的值域为Δ的符号与a的符号相同，即当a > 0时，值域为负无穷到0；当a < 0时，值域为0到正无穷。

值域是函数在y轴上的取值范围，通过判别式法可以根据二次函数的判别式来确定函数的值域。

根据判别式的值与函数系数
的关系，可以推断出函数的值域是否为整个实数轴，一个实根对应的y值，或是一段闭区间。

关于判别式法求值域增根的研究文章来源：2008年下半年度《试题与研究》我们都知道对于形如f ( x ) = 22221121c x b x a c x b x a ++++的二次分式函数我们通常使用判别式来求其值域。

但这是在分子分母没有公因式的前提下进行的，若分子分母有公因式时，我们须先约去公因式，化成f(x) =2211b x a b x a ++的形式，然后再求出其值域。

但如果我们用判别式法求这类函数的值域时，会出现什么情况呢？让我们比较吧！例：求二次分式函数y = 13222---x x x 的值域．通过比较，我们发现用判别式法求值域的结果，比先化成一次分式函数来求解其值域的结果多了一个值y = 2。

这就是说，用判别式法求值域会产生增根。

这是为什么呢？下面让我们首先来研究一下用判别式法来求值域的原理吧！函数是定义域到值域的映射，在定义域内任何一个x值，在值域内都有唯一一个y值与之对应。

反过来，值域内每一个y 值，都会有一个或多个x值与之对应。

将某一函数化为关于x的方程（将y看作是x的系数），只是将x和y的对应关系用另一种形式表示出来，其对应实质并未改变。

判别式法求值域就是基于这种思想而产生的。

将二次分式函数的分母乘到另一侧，得到一个关于x的方程。

如果二次项系数不为0，此方程为关于x 的一元二次方程。

其中，当△≥0时（△是含字母y 的式子），将这个范围内的y 值代入方程，都能够得到一个或两个与之对应的x 值；而当△＜0时，方程无解，这说明在此范围内的y 值没有x 值与之对应，因此此范围内的值y 不属于值域。

如果二次项系数为0，此方程为关于x 的一次方程，将此时y 的取值代入解析式可得到一个与之对应的x 值，如果所得x 值在定义域内，则该y 值属于值域；如果所得x 值不在定义域内，或所得解析式根本没有意义，则该y 值不属于值域。

但这样做不禁会使人产生疑问：将分式两边都乘以分母，x 的定义域扩大了，不会产生增根吗？上面题中出现的增根是否源于此呢？让我们一起分析一下吧！倘若分子、分母均为二次整式，且没有公因式存在，例如：y = ()()d x c x b x a x ----))((，(其中a 、b 、c 、d 为互不相等的实数)，我们通常须将其整理成为 (x-c)(x-d)y = (x-a)(x-b)的形式 ，当x = c 或x = d 即分母为0时，方程左边等于0，而(x-a)(x-b)≠0，即当x 的取值使分母为0时，方程左右不相等，即没有y 值与之对应，所以此时不必担心增根的问题。

利用判别式求函数值域常见错误例析〔关键词〕判别式；函数；值域；错误判别式法是求函数值域的重要方法之一，它主要适用于分式型二次函数，或可通过换元法转化为二次函数的一些函数的值域问题.判别式法的理论依据是：任何一个函数的定义域应是非空数集，故将原函数看成关于x的方程应有实数解，故判别式≥0，即得到关于y的不等式，从而求出y的取值范围.此法虽然简单易行，却极易产生错误.本文就对解决此类问题时出现的几类错误进行列举，并对错因加以剖析.一、要对二次项系数加以讨论，确保转化后的方程为二次方程例1：求函数y=的值域.错解：将原函数转化为关于x的一元二次方程（y-2）x2+（y-2）x+y-3=0，由=（y-2）2-4（y-2）（y-3）≥0得2≤y≤，所以原函数的值域为［2，］.正解：原函数的定义域为R，将原函数转化为关于x的一元二次方程（y-2）x2+（y-2）x+y-3=0 *.（1）当y=2时，就有-1=0，所以当x取任何值时，y都不等于2；（2）当y≠2时，*式为x的一元二次方程式，由=（y-2）2-4（y-2）（y-3）≥0，得2≤y≤.所以，原函数的值域为（2，].反思：忽视对二次项系数的讨论，丢掉第一种情况，直接用判别式求解，就得到错解[2，].二、将原函数转化为整式方程时要确保是同解变形例2：求函数y=x-的值域.错解：将原函数式两边分别平方后可转化为x2-（2y-1）x+y2-1=0，由=（2y-1）2-4（y2-1）≥0得y≤，即原函数的值域为（-∞，].正解：原函数的定义域为（-∞，1]，令t=≥0，则x=1-t2，原函数变形为y=1-t-t2（t≥0）.该函数在[0，+∞）是单调递减函数，所以有ymax=f（0）=1，即原函数的值域是（-∞，1].反思：因为将原函数转化为关于x的一元二次方程的变形不是同解变形，故不能运用判别式法求解.三、用换元法转化要确保新旧变量的取值范围等价例3：求函数y=的值域.错解：令t=，则y=，于是有yt2-t+y=0，由=1-4y2≥0及y＞0得原函数的值域为（0，].正解：原函数的定义域是R.令t=（t≥2），则原函数变形为y==，令f（t）=t+，因为f（t）在[2，+∞）单调递减，所以，fmin（x）=f（2）=，所以y≤.又因为y ＞0，故原函数的值域为（0，].反思：忽视了t≥2这一条件，这时转化前后的变量的取值范围就不一致了，从而导致错误.综上所述，利用判别式求函数的值域时，在变形过程中出现不可逆的步骤会改变原函数的定义域和值域.因此，利用判别式求函数值域时，只有在确保转化后的方程中二次项系数不为零和原函数的定义域是R的前提下，方可直接运用判别式法求解，其余情况都必须经等价转化后，用其他方法求解.。

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例析用判别式法求分式函数值域之困惑
作者：成效雨
来源：《新课程·中旬》2014年第07期
判别式法是求形如……的分式型二次函数值域的常用方法。

但是很多学生在学习和运用判别式法的过程中，发现运用判别式法求值域时，有时候是对的，有时候又是错的，其中的原因究竟为何并不清楚，后来干脆不用判别式法而改用其他方法。

其实只要你掌握了判别式法的理论依据及易错点，一般来说，求形如……的分式型二次函数值域还是比较方便的。

下面就本人对判别式法的一些理解，来分析一下为什么用判别式法有时是对的，有时候又是错的。

关于判别式法求函数值域的局限性判别式法在求定义域为R的分式函数的值域时有重大作用，但是在许多情形下使用判别法求值域时会失效，应避免选用此法。

以下分别探讨几种情况，以供参考：一、定义域不是R时例1：求函数的值域。

错解：易求函数定义域为D={x| }由原函数得：（2y-1）x2-（5y+1）x+3y+2=0……①（1）当y=时，由①得：x=1D ∴y≠（2）当y≠时，△=（5y+1）2-4（2y-1）（3y+2）≥0∴（y+3）2≥0故y∈R且y≠∴所求函数值域为{ y |y∈R且y≠}此解法错在函数定义域并不是R。

正解：y=显然y≠，同时x≠1时y≠-3∴所求函数值域为{y|y∈R ，y≠且y≠-3}二、定义域有限制时例2：已知x∈[-5，-2]，求函数y=的值域。

错解：由原函数得x2-（y+2）x-（y+2）=0∵△≥0 ∴（y+2）2+4（y+2）≥0y≥-2或y≤-6∴函数值域为{ y |y≥-2或y≤-6}此解错在函数的定义域已经有限制了，不能用此方法。

正解：∵y=（x+1）+-4∴可令t=-（x+1）∵x∈[-5，-2] ∴t∈[1，4]令u =t+，t∈[1，4]时u为增函数∴u∈[2，]∴-u∈[]，而y=-u-4 ∴y∈[-，6]故所求函数值域为[-，6]。

三、定义域为R时例3：求函数的值域y=错解：令2x=t∴y=变形，有t2+（7-y）t+（8-2y）=0由定义域x∈R有△=（7-y）2-4（8-2y）=y2-6y+17≥0∴y∈R此解法错在x∈R并不等于换元后的t∈R。

正解：由上可知，令t=2x＞0y==（t+2）-+3令u= t+2＞2∴y=u-+3当u∈（2，+）时，y为增函数∴y＞2-1+3=4故所求函数值域为（4，+）。

四、在函数有根式时例4：求函数y=x+2+的值域。

错解：由原函数得2x2+（4-2y）x+y2-4y=0由△=(4-2y)2-4×2(y2-4y)=4(-y2+4y+4)≥0∴2-2≤y≤2+2此解法错在变形后没有注意到x的取值范围是[-2，2]。

判别式法求值域原理
嘿，朋友们！今天咱就来讲讲判别式法求值域原理。

这可真是个神奇的东西啊，就好像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开值域这个神秘大门！
比如说有个函数，像 y=(x^2+2x+3)/(x^2+x+1)，哇，这么复杂，怎么知道它的值域呢？这时候判别式法就闪亮登场啦！其实啊，判别式法就像是个侦探，能从那些复杂的式子中找出线索。

我们把函数变形一下，然后看成是一个关于 x 的二次方程。

这就像是给这个函数穿上了一件特定的衣服，让我们更容易看清它。

然后呢，我们利用判别式大于等于 0 这个条件，为啥呢？因为不能有不存在的解呀！
好比说，我们要找一个人的踪迹，判别式法就是那个能嗅出蛛丝马迹的高手。

有时候我们觉得迷茫，哎呀，这个函数值域到底是啥呀，但判别式法就像一盏明灯，给我们指明方向。

咱再看看这个例子，当我们把它变成方程后，判别式就出现啦。

它就像一个严格的守卫，告诉我们哪些值是可以的，哪些是不行的。

是不是很有意思？
你想想，如果没有判别式法，我们面对这些复杂的函数该多头疼啊！但有了它，就好像有了依靠，心里踏实多了。

所以啊，判别式法求值域原理真的是超级重要的武器啊！它能帮我们解决那么多难题，让我们在数学的海洋里畅游得更畅快！千万别小瞧了它，一定要好好掌握哦！相信我，一旦你学会了，你会惊叹不已，哇，原来这么好用啊！。

判别式法求函数值域的错误剖析山东 孙道斌关于函数值域问题，解法较多，主要有：①配方法、②判别法、③不等式法、④换元法、⑤单调性法、⑥数形结合法、⑦导数法，其中判别式法是最常用的方法之一。

然而，由于解题过程中的非等价变换，往往会出现错误，从而对这种方法产生一种畏惧心理，本文就用判别式法求函数值域时常见错误进行剖析。

1、用判别式法求分式函数值域时，要注意变形时的等价性问题。

例 1 求函数122+--=x x x x y 的值域错解：由122+--=x x x x y 得 0)1()1(2=+-+-y x y y （*）方程（*）有实根，则)1(4)1(2≥---=∆y y y∴131≤≤-y ，故值域为[31-，1]错因分析：由于方程（*）中x 2系数是变量，因此要进行讨论，即（1）当y-1≠0即y ≠1时，.1310≤≤⇒≥∆y， ∴ 131<≤-y ;（2）当y=1时，则1=0显然不成立。

故函数值域应为[31-，1）。

2、用判别式法求无理函数值域时，要注意增解问题 例 2 求函数1-+=x x y 的值域错解：由1-+=x x y 得1)(12-=-⇒-=-x x y x x y即01)12(22=+++-y x y x因为有实根，则0)1(4)]12([22≥+-+-=∆y y 解得43≥y 故函数值域为[43，+∞）错因分析：由1-=-x x y 平方得01)12(22=+++-yx y x 的过程中，扩大了y 的范围。

若从原函数的定义域1≥x 考虑，那么01≥-x ，则11≥-+=x x y 。

故函数值应为[1,，+∞）。

3、用判别式法求分式三角函数的值域，要注意参数的范围问题。

例 3 求函数x x x y sin 23sin 3sin2-+-=的值域错解：令x t sin =则023)3()(23322=-+-+=⇒-+-=y t y t t f tt t y （*），方程（*）有实根，则130)23(4)3(2≥-≤⇒≥---=∆y y y y 或，∴值域为),1[]3,(+∞⋃--∞错因分析：没有注意t 的范围而出错。

如何用判别式法求函数值域如何用判别式法求函数值域用判别式法求值域是求函数值域的常用方法，但在教学过程中，很多学生对用判别式求值域掌握不好。

一是不理解为什么可以这样做，二是学生对哪些函数求值域可以用判别式法，哪些函数不能也比较模糊。

下面我谈谈对本内容的一点体会。

一、判别式法求值域的理论依据x2x例1、求函数y2的值域 x x1象这种分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。

x2x解：由y2得： x x1（y－1）x2+(1－y)x+y=0 ①上式中显然y≠1,故①式是关于x的一元二次方程(1y)24y(y1)1y1,又y 1 31x2x y2的值域为,1x x13令0, 解得为什么可以这样做？即为什么△≥0，解得y的范围就是原函数的值域？我们可以设计以下问题让学生回答：1、当x=1时，y=? (0) 反过来当y=0时，x=?（1）22当x=2时，y=? () 当y=时，x=?（2） 33以上y的取值，对应x的值都可以取到，为什么？2（因为将y=0和y=代入方程①，方程的△≥0） 32、当y=－1时，x=?当y=2时，x=?以上两个y的值x都求不到，为什么求不到？（因为将y的值代入方程①式中△3、当y在什么范围内，可以求出对应的x值？x2x4、函数y2的值域怎样求？ x x1若将以上问题弄清楚了，也就理解了判别式求值域的理论依据。

二、判别式法求值域的适用范围前面已经谈到分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。

是不是所有这种类函数都可以用判别式法求值域？3x22x1例2、求y的值域 2x1从表面上看，此题可以用判别式法求值域。

由原函数得：（y－3）x2+2x+(1－y)=0△ =4－4（y－3）(1－y)≥0即（y－2）2≥0 ∴y∈R但事实上，当y=3时，可解得x=1, 而x=1时，原函数没意义。

问题出在哪里呢？我们仔细观察一下就会发现，此函数的分子分母均含有因式（x－1）,因此3x1(x1)，原函数可以化简为y用反函数法可求得y3，又x≠1代入可得x1y≠2，故可求得原函数的值域为yy R,y2,且y3。

利用判别式求值域时应注意的问题浙江省永康市古山中学（321307） 吴汝龙用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要的方法，但在用判别式法求值域时经常出错，因此在用判别式求值域时应注意以下几个问题：一、要注意判别式存在的前提条件，同时对区间端点是否符合要求要进行检验 例：求函数322122+-+-=x x x x y 的值域。

错解：原式变形为0)13()12()12(2=-+-+-y x y x y （＊）∵R x ∈，∴0)13)(12(4)12(2≥----=∆y y y ，解得21103≤≤y 。

故所求函数的值域是]21,103[错因：把21=y 代入方程（＊）显然无解，因此21=y 不在函数的值域内。

事实上，21=y 时，方程（＊）的二次项系数为0，显然不能用“∆”来判定其根的存在情况。

正解：原式变形为0)13()12()12(2=-+-+-y x y x y （＊）（1）当21=y 时，方程（＊）无解； （2）当21≠y 时，∵R x ∈，∴0)13)(12(4)12(2≥----=∆y y y ，解得21103<≤y 。

综合（1）、（2）知此函数的值域为)21,103[ 二、注意函数式变形中自变量的取值范围的变化例2：求函数63422-+++=x x x x y 的值域。

错解：将函数式化为0)36()4()1(2=+--+-y x y x y（1）当1=y 时，代入上式得093=--x ，∴3-=x ，故1=y 属于值域；（2）当1≠y 时， 0)25(2≥-=∆y ， 综合（1）、（2）可得函数的值域为R y ∈。

错因：解中函数式化为方程时产生了增根（3-=x 与2=x 虽不在定义域内，但是方程的根），因此最后应该去掉3-=x 与2=x 时方程中相应的y 值。

所以正确答案为1|{≠y y ，且}52≠y 。

三、注意变形后函数值域的变化例3：求函数21x x y -+=的值域。

正确用判别式法求值域“着重点”辨析用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要方法之一，它主要适用于分式型二次函数，或可通过换元法转化为二次函数的一些函数求值域问题。

但在用判别式法求值域时因忽视一些“着重点”而经常出错，下面针对“着重点”一一加以辨析着重点1 对二次方程的二次项系数是否为零加以讨论例1 求函数322122+-+-=x x x x y 的值域。

错解 原式变形为0)13()12()12(2=-+-+-y x y x y （*）∵R x ∈，∴0)13)(12(4)12(2≥----=∆y y y ，解得21103≤≤y 。

故所求函数的值域是]21,103[分析 把21=y 代入方程（*）显然无解，因此21=y 不在函数的值域内。

事实上，21=y 时，方程（*）的二次项系数为0，显然用“∆”来判定其根的存在情况是不正确的，因此要注意判别式存在的前提条件，即需对二次方程的二次项系数加以讨论。

正解 原式变形为0)13()12()12(2=-+-+-y x y x y （*）（1）当21=y 时，方程（*）无解； （2）当21≠y 时，∵R x ∈，∴0)13)(12(4)12(2≥----=∆y y y ，解得21103<≤y 。

由（1）、（2）得，此函数的值域为)21,103[ 着重点2 将原函数转化为方程时应等价变形例2 求函数1++=x x y 的值域。

错解 移项平方得：()011222=+++-y x y x ，由()014)]12([22≥+---=∆y y 解得43≥y ，则原函数的值域是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,43. 分析 由于1-=-x x y 平方得()011222=+++-y x y x ，这种变形不是等价变形，实际上扩大了x 的取值范围，如果从原函数定义域1≥x ，那么11≥++=x x y ，显然⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,43y 是错误的。

正解 令1-=x t ，则t ≥0，得12+=t x ，∴4321122+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=t t t y ， 又 t ≥0，∴143210122=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥++=t t y ， 故原函数的值域为[)+∞∈,1y着重点3 整体换元后新旧变量的限制条件要一致例3 求函数5422++=x x y 的值域 错解 令42+=x t ，则12+=t t y ，∴02=+-y t yt ，由0412≥-=∆y 及0>y 得值域为]21,0(∈y 。