二倍角素材1

《二倍角公式》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 掌握二倍角公式的概念和基本形式。

2. 能够运用二倍角公式进行简单的三角函数计算。

3. 培养数学思维和问题解决能力。

二、教学重难点1. 教学重点：理解二倍角公式的推导过程及实际应用。

2. 教学难点：灵活运用二倍角公式解决复杂的三角函数问题。

三、教学准备1. 准备教学素材：包括PPT、图片、例题等。

2. 制定教学计划：根据学生水平和教材内容，合理安排教学内容和时间。

3. 准备数学工具：准备计算器，以便学生计算和验算。

4. 提醒学生：提前预习，准备好笔记本和笔，积极参与课堂讨论。

四、教学过程：本节课是《二倍角公式》教学设计方案（第一课时）的主要部分，主要分为以下几个环节：1. 导入环节：首先，我会引导学生回顾什么是二倍角，让学生明白二倍角是在一个角的基础上再乘以2得到的。

这个过程可以通过简单的问答形式进行，让学生通过回忆旧知识来为新知识的理解做好准备。

2. 探索新知：接下来，我会引导学生探索二倍角公式。

首先，我会给出一些简单的练习题，让学生通过自己的思考和计算来验证二倍角公式的正确性。

在这个过程中，我会鼓励学生提出自己的疑问和困惑，并给予及时的解答。

3. 讲解和演示：在学生探索新知的过程中，我会适时进行讲解和演示。

我会详细解释二倍角公式的数学原理，并通过图形和图表等形式来帮助学生更好地理解。

同时，我也会展示一些相关的公式应用实例，让学生了解二倍角公式在实际问题中的应用。

4. 实践活动：为了进一步巩固学生对二倍角公式的理解和应用，我会设计一些实践活动。

例如，让学生自己探索三倍角、四倍角等其他倍角公式，或者让学生应用二倍角公式解决一些实际问题。

这些实践活动可以帮助学生将理论知识转化为实际应用能力。

5. 反馈与评价：最后，我会收集学生的反馈，了解学生对本节课的掌握情况。

同时，我也会根据学生的表现和反馈来调整教学策略，以提高教学效果。

教学设计方案（第二课时）一、教学目标1. 理解二倍角公式的推导过程，掌握其基本应用。

万能中考作文素材10篇（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的实用范文，如工作资料、合同协议、条据文书、方案大全、职场资料、个人写作、教学资料、经典美文、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!In addition, this store provides various types of practical sample essays for everyone, such as work materials, contracts and agreements, clauses, documents, plans, workplace materials, personal writing, teaching materials, classic American essays, essays, other essays, etc. Please pay attention to the different formats and writing methods of the model essay!万能中考作文素材10篇万能中考作文素材(10篇)写中考作文，要给自己充足的构思时间，不要急于动笔。

二倍角解方攻略二倍角的三角函数是和、差角的三角函数的特例，其求值，化简，证明的出发点是统一角，统一函数和降低次数。

在变形过程中，要注意角与角之间的和、差、倍关系和特殊角之间的关系等。

同时还要观察式子的特征，适当选用公式进行化简。

这里对几种常用方法举例解析，供同学们参考。

一、逆用公式法： 例1 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值。

分析：注意到sin10°sin50°sin70°=cos80°cos40°cos20°,分子分母可同时乘以2sin20°,逆用正弦的二倍角公式求解，也可用变形式作商相消。

解法1 (连续逆用法)sin10°sin30°sin50°sin70°= 12 cos80°cos40°cos20°=14sin20° ·cos80°cos40°·(2sin20°cos20°) =18sin20°·cos80°·(2sin40°cos40°) = 116sin20° ·(2sin80°cos80°) = sin160°16sin20° = 116解法2 (作商法)sin10°sin30°sin50°sin70°= 12cos80°cos40°cos20°= 12 · sin160°2sin80° · sin80°2sin40° · sin40°2sin20° = sin160°16sin20° = 116 评注：①解法1是根据其特点采用同乘同除一个三角函数式，使其构成使用二倍角公式sin2α=2sin αcos α的形式，从而达到求值的目的。

三角学的历史早期三角学不是一门独立的学科，而是依附于天文学，是天文观测结果推算的一种方法，因而最先发展起来的是球面三角学．希腊、印度、阿拉伯数学中都有三角学的内容，可大都是天文观测的副产品．例如，古希腊门纳劳斯（ＭｅｎｅｌａｕｓｏｆＡｌｅｘａｎｄｒｉａ，公元１００年左右）著《球面学》，提出了三角学的基础问题和基本概念，特别是提出了球面三角学的门纳劳斯定理；５０年后，另一个古希腊学者托勒密（Ｐｔｏｌｅｍｙ）著《天文学大成》，初步发展了三角学．而在公元４９９年，印度数学家阿耶波多（ｒｙａｂｈａｔａＩ）也表述出古代印度的三角学思想；其后的瓦拉哈米希拉（Ｖａｒａｈａｍｉｈｉｒａ，约５０５～５８７年）最早引入正弦概念，并给出最早的正弦表；公元１０世纪的一些阿拉伯学者进一步探讨了三角学．当然，所有这些工作都是天文学研究的组成部分．直到纳西尔丁（Ｎａｓｉｒｅｄ－ＤｉｎａｌＴｕｓｉ，１２０１～１２７４年）的《横截线原理书》才开始使三角学脱离天文学，成为纯粹数学的一个独立分支．而在欧洲，最早将三角学从天文学独立出来的数学家是德国人雷格蒙塔努斯（ＪＲｅｇｉｏｍｏｎｔａｎｕｓ，１４３６～１４７６年）.雷格蒙塔努斯的主要著作是１４６４年完成的《论各种三角形》.这是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作.全书共５卷，前２卷论述平面三角学，后３卷讨论球面三角学，是欧洲传播三角学的源泉.雷格蒙塔努斯还较早地制成了一些三角函数表.雷格蒙塔努斯的工作为三角学在平面和球面几何中的应用建立了牢固的基础．他去世以后，其著作手稿在学者中广为传阅，并最终出版，对 16 世纪的数学家产生了相当大的影响，也对哥白尼等一批天文学家产生了直接或间接的影响．三角学一词的英文是ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｙ，来自拉丁文ｔｕｉｇｏｎｏｍｅｔｕｉａ．最先使用该词的是文艺复兴时期的德国数学家皮蒂斯楚斯（Ｂ．Ｐｉｔｉｓｃｕｓ，１５６１～１６１３年），他在１５９５年出版的《三角学：解三角形的简明处理》中创造这个词．其构成法是由三角形（ｔｕｉａｎｇｕｌｕｍ）和测量（ｍｅｔｕｉｃｕｓ）两字凑合而成．要测量计算离不开三角函数表和三角学公式，它们是作为三角学的主要内容而发展的．１６世纪三角函数表的制作首推奥地利数学家雷蒂库斯（Ｇ．Ｊ．Ｒｈｅｔｕｃｕｓ，１５１４～１５７４年）.他１５３６年毕业于滕贝格大学，留校讲授算术和几何.１５３９年赴波兰跟随著名天文学家哥白尼学习天文学，１５４２年受聘为莱比锡大学数学教授．雷蒂库斯首次编制出全部６种三角函数的数表，包括第一张详尽的正切表和第一张印刷的正割表.１７世纪初对数发明后大大简化了三角函数的计算，制作三角函数表已不再是很难的事，人们的注意力转向了三角学的理论研究．不过三角函数表的应用却一直占据重要地位，在科学研究与生产生活中发挥着不可替代的作用．三角公式是三角形的边与角、边与边或角与角之间的关系式．三角函数的定义已体现了一定的关系，一些简单的关系式在古希腊人以及后来的阿拉伯人中已有研究．文艺复兴后期，法国数学家韦达（ＦＶｉｅｔａ）成为三角公式的集大成者．他的《应用于三角形的数学定律》（１５７９年）是较早系统论述平面和球面三角学的专著之一．其中第一部分列出６种三角函数表，有些以分和度为间隔.给出精确到５位和１０位小数的三角函数值，还附有与三角值有关的乘法表、商表等.第二部分给出造表的方法，解释了三角形中诸三角线量值关系的运算公式．除汇总前人的成果外，还补充了自己发现的新公式．如正切定律、和差化积公式等等．他将这些公式列在一个总表中，使得任意给出某些已知量后，可以从表中得出未知量的值．该书以直角三角形为基础.对斜三角形，韦达仿效古人的方法化为直角三角形来解决．对球面直角三角形，给出计算的完整公式及其记忆法则，如余弦定理，１５９１年韦达又得到多倍角关系式，１５９３年又用三角方法推导出余弦定理.１７２２年英国数学家棣莫弗（ＡＤｅＭｅｉｖｅｒ）得到以他的名字命名的三角学定理（ｃｏｓθ±ｉｓｉｎθ）ｎ＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθ，并证明了ｎ是正有理数时公式成立；１７４８年欧拉（ＬＥｕｌｅｒ）证明了ｎ是任意实数时公式也成立，他还给出另一个著名公式ｅｉθ＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ，对三角学的发展起到了重要的推动作用．近代三角学是从欧拉的《无穷分析引论》开始的．他定义了单位圆，并以函数线与半径的比值定义三角函数，他还创用小写拉丁字母ａ、ｂ、ｃ表示三角形三条边，大写拉丁字母Ａ、Ｂ、Ｃ表示三角形三个角，从而简化了三角公式．使三角学从研究三角形解法进一步转化为研究三角函数及其应用，成为一个比较完整的数学分支学科．而由于上述诸人及 19 世纪许多数学家的努力，形成了现代的三角函数符号和三角学的完整的理论.。

高中数学 3.2 二倍角的三角函数教材梳理素材 苏教版必修4知识·巧学 1.二倍角公式在两角和三角公式中，令α=β就可以得到下面的结论： sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos 2α-sin 2α, tan2α=αα2tan 1tan 2-,由于sin 2α+cos 2α=1，所以公式cos2α=cos 2α-sin 2α还可以变形为cos2α=2cos 2α-1,cos2α=1-2sin 2α.上面的几个等式称为倍角公式.倍角公式是和角公式的特例.记忆要诀 在两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角公式的推导的基础上进行记忆. 深化升华 倍角公式的推导，是化一般为特殊的化归思想的具体运用. 对于倍角公式应注意以下几点： (1)在二倍角的正、余弦公式中，角α的取值范围可以是全体实数，在二倍角的正切公式中，α≠2πk +4π,α≠kπ+2π(k ∈Z ).特别地，当α=2π+kπ(k∈Z )时，显然tanα的值不存在，但tan 2α的值是存在的，这时求tan2α的值，可用诱导公式进行，即tan2(2π+kπ)=tan(π+2kπ)=tanπ=0.公式中的角可以是具体的数，也可以是字母和代数式.(2)二倍角只是一个相对的概念，如：4α是8α的倍角，α±β是2βα±的倍角，在公式中角α可以是数、字母或代数式,是一个不可分割的整体.在运用倍角公式对半角的三角函数进行变换时，无论正用还是逆用，都可直接使用这一公式.例sin 3α=2sin 6αcos 6α，cos3α=cos26α-sin26α=2cos26α-1=1-2sin 26α；sin3α·cos3α=21(2sin3αcos3α)=21sin6α；cos 22α-sin 22α=cos4α；21sin 63αcos 63α=41sin3α；tan3x=23tan123tan22x x -；︒-︒35tan 135tan 22=tan70°等.应熟悉倍角公式的结构特点，加强训练.(3)二倍角公式的几种变形形式：(sinα±cosα)2=1±sin2α；1+cos2α=2cos 2α；1-cos2α=2sin 2α；cos 2α=22cos 1α+；sin 2α=22cos 1α-. 其中升幂换半角公式是1+cosα=2cos 22α，1-cosα=2sin 22α，利用该公式能消去常数项，便于提取公因式化简三角函数式；降幂换倍角公式是cos 2α=22cos 1α+，sin 2α=22cos 1α-，利用该公式能使之降次，便于合并同类项化简三角函数式. 深化升华 由二倍角公式及同角三角函数的基本关系式，可得sin2α=αα2tan 1tan 2+、cos2α=αα22tan 1tan 1+-，利用这两个公式我们可以用单角的正切表示二倍角的三角函数. 2.二倍角公式的应用利用倍角公式可以求值、证明三角恒等式和化简三角函数式.在运用公式时，要注意审查公式成立的条件，要做到三会：会正用；会逆用；会变形应用.公式的正用是常见的，但逆用和变形使用往往容易被忽视，而公式的逆用和变形使用更能开拓思路.只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才真正掌握了公式的应用.学法一得 运用二倍角公式的先决条件是认识它的本质，要善于避开表面的东西，正确捕捉公式的原形，更好地运用公式. 典题·热题知识点1 二倍角公式 例1 已知sinα=135,α∈(2π,π)，求sin2α，cos2α，tan2α的值. 思路分析：本题是倍角公式、同角三角函数基本关系的应用及已知一个三角函数值求其他三角函数值的方法.思路一：可根据已知条件求出cosα，再利用倍角公式求出sin2α，cos2α，进而利用同角三角函数基本关系求出tan2α.此外，也可以求出tanα的值利用倍角公式求tan2α.思路二：也可以只求出sin2α，cos2α，tan2α中的一个,其余的利用同角三角函数基本关系求解.解：方法一∵sinα=135,α∈(2π,π), ∴cosα=-α2sin 1-=-1312.∴sin2α=2sinαcosα=-169120,cos2α=1-2sin 2α=169119,tan2α=-119120. 方法二∵sinα=135,∴cos2α=1-2sin 2α=169119.又∵α∈(2π,π)，∴2α∈(π,2π).∴sin2α=-α2cos 12-=-169120，tan2α=-119120.方法归纳 在三角部分经常用到“凑公式”的方法解题，但要注意已知条件和所求式子中角之间的关系.当已知一个三角函数值而求其他的三角函数值时，一定要注意角的范围，若角的范围没给，这就需要分类讨论. 例2 求证：θθθtan 24cos 4sin 1-+=θθθ2tan 14cos 4sin 1-++.思路分析：可将等式进行等价变形，再利用倍角公式进行证明.证明：原式等价于θθθθθθ2tan 1tan 44cos 4sin 14cos 4sin 1-=++-+=tan2θ, 左边=)2cos 2(sin 2cos 2)2sin 2(cos 2sin 22cos 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin 2)4cos 1(4sin )4cos 1(4sin 22θθθθθθθθθθθθθθθθ++=++=++-+ =tan2θ=右边.方法归纳 在三角恒等式的证明中，如果原等式不易证明时，可将等式进行适当的等价变形，转化为较易证明的等式. 例3 若23π＜x ＜2π，化简x 2cos 21212121++. 思路分析：本题的关键是将根号下的式子化为完全平方式以便于去掉根号.根据本题的式子特点，可重复利用二倍角余弦公式的变形. 解：由于23π＜x ＜2π，则43π＜2x ＜π. 所以原式=2cos 2cos cos 212122cos 121212xx x x -==+=++. 方法归纳 解答这类题，在实施脱根号的过程中要注意对符号的选取.深化升华 对于三角函数式的化简，要明确化简的目标和标准.化简的最后结果，三角函数的个数应最少，次数应尽可能地低，能化为常数的一定要化为常数，能不用分式就尽可能地不用分式.例4 求sin6°cos24°sin78°cos48°的值.思路分析：将78°的正弦值化为12°的余弦值，重复利用二倍角公式化简求值. 解：由于sin78°=cos12°，所以原式=sin6°cos12°cos24°cos48°=︒︒︒︒︒︒6cos 48cos 24cos 12cos 6cos 6sin=21·︒︒︒︒︒6cos 48cos 24cos 12cos 12sin =41·︒︒︒︒6cos 48cos 24cos 24sin =161·︒︒6cos 96sin =161. 方法归纳 形如cos αcos2αcos4α…cos2n-1α(n ∈N 且n ＞1)或能够化为cos αcos2αcos4α…cos2n-1α(n ∈N 且n ＞1)的三角函数式，由于它们的角是2倍关系，可将分子、分母同乘以最小角的正弦，运用二倍角公式进行化简. 例5 求(tan10°-3)sin40°的值.思路分析：利用切割化弦，再逆用差角公式和倍角公式. 解法一：(tan10°-3)sin40°=(︒︒-︒10cos 10cos 310sin )sin40°=︒︒-=︒︒︒-=︒︒︒︒-︒︒10cos 80sin 10cos 40sin 50sin 210cos 40sin )60sin 10cos 60cos 10(sin 2=-1.解法二：(tan10°-3)sin40°=(tan10°-tan60°)sin40°=(︒︒-︒︒60cos 60sin 10cos 10sin )sin40°=︒︒︒︒-︒︒60cos 10cos 60sin 10cos 60cos 10sin ·sin40° =︒︒-=︒︒︒-10cos 80sin 10cos 2140sin 50sin =-1. 方法归纳 (1)根据本题的特点，采用切割化弦是解答本题的关键一步，它为逆用差角公式和倍角公式铺平了道路.(2)在三角函数式的化简或求值的过程中，还要注意利用和、差的三角函数公式，它可将三角函数式化为一个角的三角函数式，为化简或求值提供方便. 例6 已知tanα=71，tanβ=31，α、β均为锐角，求α+2β的值. 思路分析：根据已知条件选择正切函数，先求出α+2β的正切值，再根据题设条件求出α+2β的范围，并使正切函数在此范围内只有一个值，然后即可求α+2β的值.解：∵tanα=71，tanβ=31，α、β均为锐角， ∴0＜α,β＜4π.∴0＜α+2β＜43π.又∵tan2β=ββ2tan 1tan 2-=43，∴tan(α+2β)=βαβα2tan tan 12tan tan -+=437114371⨯-+=1.∴α+2β=4π. 方法归纳 在给值求角时，一般是选择一个适当的三角函数，根据题设确定角的范围，利用三角函数的值求出角的大小，其中确定角的范围是一个关键，一定要使角在此范围内和三角函数值是一一对应的.此外也可根据角的范围来选择三角函数的名称. 问题·探究 交流讨论探究问题 是否存在三个内角都适合方程cos2x+2sinxsin2x=2cosx 的三角形？ 探究过程：师：这是一个探索性问题，解决这类题时可先假设结论存在，然后再利用所学知识进行推理，探求结论.如果能求出，则结论存在，否则不存在.对于这个问题考查的知识是什么？ 学生甲：由于所给的等式中既有单角又有倍角，则用到了二倍角公式.处理这个问题可先从已知条件cos2x+2sinxsin2x=2cosx 入手，将二倍角的正弦展开建立关于x 的三角方程，再结合三角形三个内角和是π这一性质即可. 师：处理这个问题的具体操作步骤是怎样的？学生乙：我知道，显然方程可化为cos2x+4sin 2xcosx=2cosx, 即cos2x(2cosx-1)=0，解得cos2x=0或cosx=21. 但接下来怎样求x 的值我还不清楚.学生丙：可以三角形这一前提条件，在这一前提下可得x 的取值只能是4π，43π，3π.而在这些值中只有3π+3π+3π=π，所以存在三个内角都适合cos2x+2sinxsin2x=2cosx 的三角形，它是一个正三角形.探究结论:存在，它是一个正三角形. 思维陷阱探究问题 在处理问题“已知cos(x+4π)=53,2π≤x＜23π,求cos(2x+4π)的值”时，一个同学给出了下面的解题过程： 因为cos(x+4π)=53，所以cos(2x+4π)=2cos 2(2x+4π)-1=2×259-1=-257.上述解法是否正确？探究过程:二倍角只是一个相对的概念，在公式中角α可以是数、字母或代数式，是一个不可分割的整体.在上面的解题过程中以为2x 是x 的二倍，则2x+4π也是x+4π的两倍了，说明片面地理解了二倍角的概念.而事实上x+4π的二倍应是2x+2π. 探究结论:上面的解法不正确，正确的解法如下： cos(2x+4π)=cos2xcos 4π-sin2xsin 4π=22(cos2x-sin2x). 因为2π≤x＜2π,则43π≤x+4π＜47π,又cos(x+4π)=53＞0，则sin(x+4π)=-54,则cos2x=sin(2x+2π)=2sin(x+4π)cos(x+4π)=-2524， sin2x=-cos(2x+2π)=2cos 2(x+4π)-1=257,所以cos(2x+4π)=22(cos2x-sin2x)=-50231.。

高中数学教学计划指导思想与总目标：根据学校相关处室、教研组、年级组要求，高一数学备课组以提升学生学习质量、养成良好的数学学习习惯为核心，以提高课堂教学效益为重点。

本组____位教师加强群众研讨，团结和谐、相互交流、相互学习，配合教研组用心推进“五步导学”课题研究，落实教学的各个环节为基本要求，努力提高教师研修水平和业务潜力。

确保期末团体平均分位居万州区同级学校前____名。

一、教学资料本学期将完成“《数学①》必修”和“《数学④》必修”（人民教育出版社教A版）的学习，教学辅助材料有《三维设计》和自愿订阅学习方法报部分单元练习及学法指导阅读材料。

二、教学目标与要求（一）前半期完成《数学①》主要涉及三章资料：第一章集合与函数的概念（约____学时）透过本章学习，使学生感受到用集合表示数学资料时的简洁性、准确性，帮忙学生学会用集合语言表示数学对象，为以后的学习奠定基础。

1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系，并初步掌握集合的表示方法;2.理解集合间的包含与相等关系，能识别给定集合的子集，了解全集与空集的含义;3.理解补集的含义，会求在给定集合中某个集合的补集;4.理解两个集合的并集和交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集;5.渗透数形结合、分类讨论等数学思想方法;6.在引导学生观察、分析、抽象、类比得到集合与集合间的关系等数学知识的过程中，培养学生的思维潜力。

第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ（约____学时）教学本章时应立足于现实生活从具体问题入手，以问题为背景，按照“问题情境-数学活动-好处建构-数学理论-数学应用-回顾反思”的顺序结构，引导学生透过实验、观察、归纳、抽象、概括，数学地提出、分析和解决问题。

透过本章学习，使学生进一步感受函数是探索自然现象、社会现象基本规律的工具和语言，学会用函数的思想、变化的观点分析和解决问题，到达培养学生的创新思维的目的。

1.了解函数概念产生的背景，学习和掌握函数的概念和性质，能借助函数的知识表述、刻画事物的变化规律;2.理解有理指数幂的好处，掌握有理指数幂的运算性质;掌握指数函数的概念、图象和性质;理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质;了解幂函数的概念和性质，明白指数函数、对数函数、幂函数时描述客观世界变化规律的重要数学模型;3.了解函数与方程之间的关系;会用二分法求简单方程的近似解;了解函数模型及其好处;4.培养学生的理性思维潜力、辩证思维潜力、分析问题和解决问题的潜力、创新意识与探究潜力、数学建模潜力以及数学交流的潜力。

四年级下 四则运算【本讲内容】 四则运算 一．四则运算1、加法、减法、乘法和除法统称四则运算。

2、在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。

3、在没有括号的算式里，有乘、除法和加、减法、要先算乘除法，再算加减法。

4、算式有括号，要先算括号里面的，再算括号外面的；括号里面的算式计算顺序遵循以上的计算顺序。

二．0的运算 1、“0”不能做除数； 字母表示：a ÷0错误 2、一个数加上0还得原数； 字母表示：a ＋0=a 3、一个数减去0还得原数； 字母表示：a －0=a 4、被减数等于减数，差是0； 字母表示：a －a=0 5、一个数和0相乘，仍得0； 字母表示：a ×0=06、0除以任何非0的数，还得0； 字母表示：0÷a （a ≠0）= 0 三．运算定律加法交换律：a ＋b ＝b ＋a加法结合律：(a ＋b)＋c ＝a ＋(b ＋c) 乘法交换律：a ×b ＝b ×a乘法结合律：(a ×b)×c ＝a ×(b ×c)乘法分配律：(a ＋b)×c ＝a ×c ＋b ×c 或a ×(b ＋c)＝a ×b ＋a ×c 拓展：(a －b)×c ＝a ×c －b ×c 或a ×(b －c)＝a ×b －a ×c 【课前加油站】97—12×4＋45 (97—12)×4＋45 94＋4×52—15 94＋4×（52—15）82+75＋18 75+18＋8294—4×22＋6 94＋4×22＋12 0×25= 0÷25=0＋25= 100+100×0=8×103×125 25×55×4 103×8×125 55×25×4加减法运用【典例例题1】一根铁丝长350米，第一次用去126米，第二次用去207米，这根铁丝还剩下多少米，正确列式为（ ） A．350-126+207B ．126+207C ．350-（126+207）【巩固1】丁丁家与铛铛家都在北京路上，丁丁家距学校2000米，铛铛家距学校3000米，他们两家相距（ ） A ．1000米 B ．5000米 C ．都不对D ．可能是1000米，也可能是5000米【巩固2】被减数不变，减数增加3，得到的差（ ） A ．增加3 B ．减少3 C ．不变【巩固3】被减数减少2.5，要使差减少1，减数应（ ） A ．增加1.5 B ．增加2 C ．减少1.5 D ．减少2如果46+3□的结果是七十多，□里可以填的数有（ ）个． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【作业1】万以内数的加减法和百以内数的加减法一样，（ ） A ．左对齐 B ．右对齐C ．相同数位对齐【作业2】最大的三位数与最小的三位数的差是（ ） A ．111B ．999C ．899D ．888在0～9这10个数字里，和是10的数字有（ ）对．A．5 B．4 C．6 D．无数【作业3】536+85（）935-189．A．等于B．大于C．无法比较D．小于两个三位数相加，和是（）A．三位数或四位数B．三位数C．四位数【典例解析2】131-63+37=131-（63+37）． _________．（判断对错）【巩固1】三位数加三位数，它们的和一定也是三位数． ________．（判断对错）【巩固2】在进位加法中，不管哪一位上的数相加满 _______，都要向 ________进 ________．【巩固3】最大的八位数与最小六位数差 ________．用三个1和二个0组成的最大的五位数比最小的五位数多 _________．【作业1】比最小的六位数少10的数是 ________，最小的两位数与最大三位数的积是 ________．【作业2】几百几十加、减几百几十的计算要注意相同数位上的数才能相加、减． ________（判断对错）三位数减三位数，差一定是三位数． _________．（判断对错）【作业3】笔算加、减法时，_______ 要对齐．哪一位上相加满十，要向________位进．哪一位上不够减，要从上一______位退 ______再减．用0、1、2组成最大的三位数与最小的三位数，他们的差是 ________．【典例解析3】跳高的可能有多少人？（在合适的答案下面画“√”）跳绳的可能有多少人？（在合适的答案下面画“○”）23人63人72人98人【巩固1】水果店运进318千克荔枝，上午卖出276千克，下午又进货288千克，问现在有多少千克荔枝？【巩固2】三年级有203人，四年级比三年级少36人，三、四年级一共有多少人？【作业1】案例分析：“9加几”的数学片段师：怎么计算这三个数一共是多少？（见图）生1：9+4+1=13+1=14生2：9+1+4=10+4=14生3：4+1+9=4+10=14生4：1+4+9=5+9=14师：同学们想出了很多计算方法，真了不起！不过在这些算法中，你认为哪一种计算方法能使我们算得更快一些呢？生：我认为先算9加1等于10，再算10+4等于14简单些．师：你真聪明，会用9+1等于10，再用10加4等于14来计算．如果题目改成9+5你会算吗？（教师的目的是让学生实例计算方法的迁移）稍停片刻生1：我会算，把5分成1和4，9加1等于10，10加4等于14．生2：我的算法和他不一样，我把9分成4和5，5加5等于10，10加4等于14．根据以上片断，从学生学习方式角度进行分析．乘除法运用【典例解析4】把除数45错写成54，结果得到的商是30，正确的结果应该是（）A．36 B．25 C．63 D．39【巩固1】根据□÷（）=△，下列算式不正确的是（）A．□÷△=（）B．△×（）=□C．△÷（）=□【巩固2】在算式：（）÷（）=（）…6中，除数和商相等，被除数最小是（）A．49 B．7 C．55【巩固3】因为被除数÷除数=商，所以被除数-除数×商=（）A．0 B．1 C．2【作业1】两个数相加的和一定小于这两个数相乘的积． _______．（判断对错）【作业2】0+6、0÷6、0×6的结果都是0． _______．(判断对错)混合计算【典例解析5】口算36+54= 300÷6= 26×3= 500×3= 1500÷5=444÷4= 274-74= 125×8= 360+80= 0÷91=120+6÷6= 6×5-9= 10-0÷5= 100×8+0= 1米-2分米=420÷7×0= 80+40×2= 8×5-25÷5= 60×（18-9）= 6元2角×3=【巩固1】用竖式计算，第①②题验算．①549+867= ②517-348= ③52÷6= ④356×6=【巩固2】（1）4650比517多多少？（2）8的4倍是多少？（3）被减数是1580，减数是753，差是多少？【巩固3】用竖式计算下面各题，带*号要验算．726+389=708-389=*736×8=350×6=*632÷6=【作业1】直接写出下面各题的得数．25+35 16÷12= 80-34= 6×13=811÷89= 58-12= 23×34= 35+12=67÷3= 16+56×15= 78×4×87= 98×0=【作业2】72-18= 540÷9= 23-18= 69÷3=2000÷5= 63÷7= 12×4= 480÷4=48+35= 180÷3= 18×4= 82÷2=32-15= 630÷9= 18+36= 100÷5=【作业3】26+26 ______26×2720÷9 ______20×577÷7 ______70÷735×2 ______100-28560÷7 ______560÷848÷4 ______84÷4．【典例解析6】完成下表．因数89 2 47因数23 31 8积402 368被除数404 728 680除数 4 7 4 5 4 商206 170【巩固1】【巩固2】横线里最大能填几．_____×5＜44 ______×7＜50 4× _____＜35______×7＜50 ______×9＜78 6× _____＜29．【作业1】在横线里最大能填几．28+ ______＜434× ______＜3742- _____＞33______+43＜88．求□中的数□+267=3841800÷□=72□×23=1058．【作业2】312×108=33696，把改写成两道除法算式是：_______，________ ．【作业3】在下面横线里填上适当的数．_____×48=288782÷ _____=23_____÷5=7 (4)25×46×40=25× _____×46．【作业4】按要求，估一估，算一算．150-※=15 15+◎=150150÷△=15 15×○=150□-15=150☆÷15=150（1）选出求除数的题抄在方框中，写出计算过程并验算．（2）估一估，选出计算结果最大的题，在题下画“”．加减乘除【典例解析7】（1）4650比517多多少？（2）8的4倍是多少？（3）被减数是1580，减数是753，差是多少？【巩固1】50减去25的差乘20加上13，和是多少？正确列式是（）A．50-25×20+13 B．（50-25）×20+13C．（50-25）×（20+13）44个25相加的和除以25的11倍，商是多少？列式应是（）A．25×44÷25×11 B．（44+25）÷（25×11）C．（44×25）÷（25×11）【巩固2】把75-60=15 15×2=30 150÷30=5合并成一道综合算式是（）A．（75-60）×2÷30 B．150÷（75-60）×2C．150÷[（75-60）×2]【作业1】下面算式，结果不相等的是（）A．1800÷2÷8=1800÷（2×8）B．36×（15+5）=36×15+36×5C．18×6÷18×6=（18×6）÷（18×6）D．78×3+56÷4=（78×3）+（56÷4）【作业2】计算（3500-125×25）÷25时，应先算（）A．除法B．括号里的减法C．括号里的乘法在“350÷50+20○350÷（50+20）”中，○里应填什么符号？（）A．＞B．= C．＜【典例解析8】计算加减法时，要注意相同数位 _____，从 ______位起加、减．调换加数的位置， ______不变，可以验算加法．减数与差相加，结果等于 ______，可验算 _____法．【巩固1】被减数、减数与差的平均数是60，减数是差的3倍，减数是 _______．【巩固2】一个数是9，先加上42，再减去26，又加上42，再减去26，…如此计算下去，则经过 ______次运算得到323．【巩固3】商不为零的算式中，被除数不变，除数缩小10倍，商反而扩大10倍． ______．(判断对错)2张20元，3张5元和7张1角面额的钱币．一共是 _______．【作业1】李明同学做一道算术题，本来应是某数除以7，然后加72，由于他粗心，除法做成乘法，加法做成减法，可是答案还是对的，你知道某数是什么数吗？【作业2】小马虎做加法，把个位上的6看成9，把十位上的8看成3，算出的结果是214，正确的结果是多少？。

人物事例：一、秦世俊0.01毫米较量背后是20年锻造技术的支撑从事数控加工20年间，秦世俊潜心钻研，实现了镗削加工精度面粗糙度达到Ra0.13（表面粗糙度）至Ra0.18（表面粗糙度）的镜面级，誓让中国制造更具话语权。

先后参与生产加工多个型号飞机零部件的科研等几百余项任务，多次参加同行业技术交流、国内外技术深造，学习推广数字化制造、3D打印技术等前沿数控加工技术，为提升企业技术进步和国家航空装备制造水平做出了卓越贡献。

二、郑志明普通钳工到研发专家，伴随中国制造阔步前行从事钳工工作23年，始终奋战在生产一线，将钳工技能练得炉火纯青，将手工锉削的精度控制在“航天级”的0.002毫米，还带领团队改进和研发生产设备，其中集成机器人自动焊接、液压自动整型、检测和矫正等多工艺复合型自动机器人后桥壳焊接生产线，更是填补了中国的技术空白。

完成创新项目1100项，交付自动化工艺装备2190台(套)，并解决多个中国汽车工业的生产难题。

三、成卫东给运输机器人当师父，推动打造世界级先进港口在25年的港口工作中，成卫东始终将提高生产作业效率当成自己的使命。

结合生产作业实际情况，他发明了拖车“快”“准”“稳”工作法，工作效率提高了16.7%。

为了提高拖车倒车作业效率，他练就了左右脚都能熟练驾驶拖车的技术，成为天津港当之无愧的“拖车王”。

（获取更多高中作文素材请搜索关注微信公众号：高中语文作文）在天津港全球首个“智慧零碳”码头建设中，他将自己多年的操作经验数据化、标准化，当起了机器人的师傅，让人的经验技能和智慧科技深度融合，为先进的智能设备提供强大的技术支撑，让无人化的机械设备作业效率持续提升。

四、母永奇在幽暗的地层深处追逐光亮，寻梦而行参加工作12年来，他参与了高原铁路色季拉山隧道、深圳春风隧道、珠海隧道等大隧道掘进，驾驶着盾构机累计掘进里程达到28公里。

川藏铁路雅林段开工建设，他带领团队技术攻坚，开工一年实现两台超大直径TBM运输、组装、步进，并实现月掘进613米，填补我国高原大直径TBM施工空白，为国内高原高寒地区长大隧道智能化施工提供了技术借鉴和经验借鉴。

素材积累九篇素材积累作文篇1莱昂纳多·迪卡普里奥〔Leonardo DiCaprio〕，1974年11月11日诞生于美国加利福尼亚州洛杉矶，美国影视演员、制作人。

1990年，16岁的他参与了电视剧《成长的苦恼》的拍摄。

1993年，他凭借《不一样的天空》中的表演获得了第66届奥斯卡金像奖最正确男配角奖和第51届美国电影电视金球奖最正确男配角的提名1995年，拍摄电影《罗密欧与朱丽叶》，荣膺第47届柏林国际电影节最正确男主角。

1997年，莱昂纳多主演了《泰坦尼克号》。

20xx年，莱昂纳多出演了史蒂文斯皮尔伯格导演的《逍遥法外》，并因此获得了金球奖男主角的提名。

20xx年，和马丁西科塞斯合作的《飞行家》为莱昂迎来一个美国金球奖最正确男演员奖。

20xx年，凭借《无间道风云》和《血钻》获得金球奖最正确男主角的双提名。

20xx，他出演了《盗梦空间》。

20xx年，他主演了电影《了不得的盖茨比》。

20xx 年1月，他凭借《华尔街之狼》中的表演获得了金球奖最正确男主角奖；9月17日，被联合国授予联合国“和平使者”，关注气候改变[2]。

20xx年，莱昂纳多·迪卡普里奥收入2900万美元，居福布斯全球演员富豪榜排名第13位。

20xx年，凭借电影《荒野猎人》获得第73届金球奖最正确男主角奖和第88届奥斯卡金像奖最正确男主角奖。

素材积累作文篇2一、结合教材，激发习作爱好，落实三维目标。

对于刚进入三班级的同学，激发同学的写作爱好是很重要的。

我依据三班级的学段目标，结合教材的特点，首先把激发同学的写作爱好放在第一位。

教材中的习作在编排上努力为同学自由习作供应便利，不规定习作的题目，一般都提出一个内容的范围，使绝大多数同学都有可以写的内容。

题目由同学自己拟定，同学可以把想写的写下来，存题目也行，设题目也行。

这个宽泛的条件不再使同学感到写作的压力，同学想写什么就写什么，想怎样写就怎样写。

另外，我在教学中运用多种评价方式，激发同学的习作爱好。

倍的认识观课心得（精选5篇）第一篇：倍的认识观课心得《倍的认识》观课心得2017至2018第一学期六年级（1）班教师：杨斌本周一，我校数学组开展公开课听课活动。

本校的两位老教师通过精心准备，为所有新来的老师展示了两节精彩丰呈的课堂：《倍的认识》、《乘法的初步认识》。

因为我认为倍的认识较为抽象，所以对戴顺华老师的《倍的认识》更有感触。

下面我来谈谈听完课的一些感想。

《倍的认识》是三年级上册的教学内容，这一课的教学知识点主要有两个：一是认识倍，理解倍的意义；二是在此基础上，学习“求一个数是另一个数的几倍”的解决问题。

“倍”这个概念对于学生来说是比较陌生的，建立倍的表象认识有一定的难度。

戴老师在本节课的教学设计上，突出了以下几个特点：一、创设情境，激发学生学习兴趣。

在课的伊始，戴老师根据学生已知兔子的特点，出示了兔子爱吃的胡萝卜和红萝卜，通过小组交流让学生找找他们之间的关系。

然后通过教学白板，轻轻地点一点，圈一圈，拉近了师生间的距离。

让学生积极主动的全程参与到课堂教学中。

二、引导学生主动探索，给予学生创新的时间和空间操作是学生动手，动脑的协同活动，是培养和发展思维的有效手段，而语言是思维的载体。

知识的内化与相应的智力活动都必须伴随着语言表述的过程。

本节课戴老师把自己置于学生学习活动的组织者、引导者和合作者的地位，调动学生已有的经验去积极地思考，让他们通过自己的观察和比较去主动探索，尽量给学生多一点思考的时间，多一点自主活动的空间。

通过学生动手操作，动口表述，使学生对“倍”的概念以及“谁是谁的几倍”有了深入的理解。

三、层次练习，注重延伸拓展在学生对倍的概念有了初步认识后，戴老师带来了形式多样，具有梯度性的练习。

包括摆一摆、填一填、选一选等，这样的设计符合学生年龄特点和认知规律，体现了以学生为主体的学习过程，培养了学生的学习能力。

这节课里，戴老师让学生通过看一看，摆一摆，说一说，认识了倍的意义，并通过拓展延伸，巩固了倍的认识，在设计上突出内容的层次性、多样性、开放性和趣味性，给学生提供了思维拓展的空间。

福建省福州市乌山小学三年级数学上册素材期末专项复习解决问题应用题带答案解析一、三年级数学上册应用题解答题1．郑郑说：“把△的个数看作一份圈起来，□的个数圈了两次，□有2个△那么多，所以□的个数就是△个数的2倍。

”他说的对吗？为什么？解析：不对，理由见详解【分析】根据题意可知，把△的个数看作一份圈起来，则一份应是2。

而把□的个数圈成两份，每一份的个数是3。

不能据此说明□的个数就是△个数的2倍。

应该把□的个数按照2个一份圈出来，可以圈出3份。

则□有3个△那么多，所以□的个数就是△个数的3倍。

【详解】他说的不对，因为每一份△的个数和□的个数是不同的，□的个数应是△个数的3倍。

【点睛】求一个数是另一个数的几倍，就是看另一个数里面有几个这个数。

即把另一个数平均分成几份，每一份都是这个数的数量。

2．丽丽准备买一些橡皮，她所带的钱买2盒还剩36元，买3盒还差12元，已知每盒装8块橡皮，你知道丽丽带了多少元钱吗？解析：132元【详解】36+12=48（元）48×2+36=132（元）3．马小虎计算40加一个数时，不小心把这个数末尾的“0”丢了，算出的得数是43，正确的得数应该是多少？解析：43－40＝3 40＋30＝70【解析】【详解】略4．从体育场到学校500米，从公园到学校有多少米？解析：1080米 【详解】 略5．小文在计算两个数相加时，把一个加数个位上的1错误地当作7，把另一个加数十位上的8错误地当作3，所得的和是1995，原来两数相加的正确答案是多少？ 解析：正确答案是2039 【分析】一个加数个位是7，另一个加数十位是3，相加得到1995，可以构造算式57加上1938得到1995，然后求出正确的加数，再计算正确的结果。

【详解】一个加数个位是7，另一个加数十位是3； 5719381995+=正确的加数是51和1988； 5119882039+=答：原来两数相加的正确答案是2039。

【点睛】个位上的1错误地当作7，多算了6，十位上的8错误地当作3，少算了50，总共少算了44，1995加上44得到正确的结果。

神奇的魔盒—《倍的认识》单元主题化作业设计与实施案例一、单元作业的设计（一）课标要求分析《倍的认识》是新课标人教版三年级上册数学第五单元内容。

倍的概念的本质是“比率”。

比率概念在数学学习中有重要的作用，是学生学习比例、一元函数的基础。

理解两个量的倍数关系（比率）是儿童乘法认知结构建立的重要方面。

（二）学情分析对“整数倍”的学习是学生第一次接触比率。

“倍”的概念是学生认知中“加法结构”向“乘法结构”转变的重要转折点。

在学习“倍”概念前，学生头脑中建构的是“加法结构”，是数量的合并与多少的比较。

而“倍”体现的“乘法结构”反映的却是两个量之间的比率关系。

由于学生第一次真正意义上接触“乘法结构”，又受生活中的“倍”的歧义的影响，学生的对“倍”的概念的本质理解有一定的困难。

（三）作业目标设计1、在画“神奇魔盒”作业中，获得更深刻“倍”的直观体验，并巩固理解“几倍”与“几个几”的关系，加深理解“倍”的概念，促进学生认知的“加法结构”向“乘法结构”过渡，初步认识“魔盒”模型。

（认识结构）2、在画“生活中的魔盒” 作业中进一步熟悉“倍”的概念，进一步熟悉“魔盒”模型，感受数学与生活的密切联系。

（进一步认识结构）3、用“魔盒”语言分析跟“倍”有关的实际问题，会用“魔盒”模型解决问题，培养几何直观。

（运用结构）4、整理“魔盒家族”，发现几类“魔盒”区别与联系，形成知识体系，由此构建“倍”的模型。

（整理结构，形成模型）（四）作业内容在学情分析的基础上，为了让学生更加本质地认识“倍”的概念，在单元整体设计、生活化学习、主题式学习、整体优先学习等观念指导下，单元教学大胆整合教材，创设“神奇的魔盒”情境，设计主题教学过程，整个单元按照顺序设计如下四次作业——分别对应前文所述四个作业目标。

（说明：魔盒如下图。

有两个方舱，分别是原有舱（数学上表示1倍数），产出舱（表示几倍数），还有魔盒编号（如图数字2）表示倍数。

这样具有魔术性质的新鲜形象能激发学生的积极性和好奇心，也非常直观形象）二、单元作业的实施（一）实施过程本单元设计《神奇的魔盒》单元主题化课程，并由此设计配套的主题化作业。

《倍的理解》课标解读本单元内容是在学过了乘、除法之后，有助于学生深入理解乘、除法的含义，拓宽应用乘除法解决实际问题的范围与水平。

主要包括这些内容：一是建立倍的概念；二是解决与倍相关的实际问题。

本单元在内容编排的顺序、例题的安排、素材的选择等方面都有了明显的变化，其目的就是给学生提供自主探索的空间，协助学生在分类、观察、比较等活动中，获得“倍”的概念的直观体验，结合具体情境理解“几倍”与“几个几”的联系，建立“倍”的概念；能解决“求一个数是另一个数的几倍”“一个数的几倍是多少”的实际问题，在解决问题的过程中培养几何直观，渗透模型思想；培养学生观察、分析、合作交流、语言表达等水平，感受数学与实际生活的联系。

在课程实施中，要引导学生通过旧知迁移、实际操作、自主探究、合作交流等方式，理解含义，建立概念，掌握方法，建立模型。

1．改变知识结构，注重学生已有的知识基础，通过多次感知建立“倍”的概念修订后的教材将原来分散在二年级上册和二年级下册的关于“整数倍”的内容在本单元集中编排，充分利用学生已有的乘法和除法的知识，协助学生建立倍的概念。

先利用“几个几”引出倍的含义后，再从除法的角度加深对倍的概念的理解，让学生体会到倍的本质是两个数量在相互比较，即用其中的一个量作为标准，另一个量包含了几个标准量就是标准量的几倍。

“倍”的概念涉及两个量之间的比较，十分抽象，不易理解。

所以，教材安排多个层次的活动，让学生通过多次感知，在持续比较和抽象的过程中建立倍的概念。

先通过对萝卜的分类计数、圈图比较，把抽象的新知识“倍”与学生已经掌握的“几个几”建立联系，初步理解倍的概念。

再通过比较圆片、小棒等活动提供大量的比较两个量的倍数关系的机会，协助学生建立倍的直观模型。

最后，在解决问题的过程中借助线段图，表达出倍概念的本质特征，抽象概括出基本数量关系，有效协助学生建立倍的概念。

2．注重方法指导，加深含义的理解，借助图示分析数量关系，提供丰富的问题情境，通过解决问题建构数学模型与整套教材编排的思路一致，在建立了倍的概念之后，教材专门安排让学生使用“倍”的含义解决实际问题，在深化对“倍”概念的理解的同时，培养学生应用概念解决问题的水平。

倍的认识教案10篇倍的认识教案篇1“倍”的认识是后面继续学习乘法和除法计算的基础，必须让学生切实掌握好。

本节复习课重点关注以下两个方面：1.充分利用教材资源，引导学生在解决问题的过程中感受数学的价值。

在教学教材112页9题时，通过分析题意、独立解决、集体反馈几个步骤，让学生经历知识运用的过程，培养学生用数学眼光观察周围世界的意识，体会数学的应用价值。

通过对“倍”的认识及相关问题的解决，促进学生乘法认知结构的优化。

2.关注学生解决实际问题能力的培养。

学生在解决有关倍的问题时，经常会将“求一个数的几倍是多少”和“求一个数是另一个数的几倍”相混淆，主要是因为对题意理解得不够透彻，所以在本节复习课中，选取了贴近学生生活的问题，让学生分析、理解，使学生更清楚地了解“求一个数的几倍是多少”和“求一个数是另一个数的几倍”的意义，从而提高解决此类问题的能力。

教师准备 PPT课件1.课件出示教材110页1题（5）：飞机从北京飞往西安大约需要2小时，飞往乌鲁木齐的时间是飞往西安的2倍。

北京飞往乌鲁木齐大约需要几小时？（1）引导学生回顾有关倍的知识。

①“倍”的意义：一个数里面有几个另一个数，就说这个数是另一个数的几倍。

②“求一个数是另一个数的几倍”的意义：求一个数里面有几个另一个数。

③“求一个数的几倍是多少”的意义：一个数中有几个相同的另一个数，这个数就是另一个数的几倍。

（2）复习有关倍的问题的解题方法。

①求一个数的几倍是多少，用乘法计算。

②求一个数是另一个数的几倍，用除法计算。

（3）学生先独立解决问题，然后集体订正。

设计意图：通过对倍的知识的回顾和问题解决，使学生对“倍”有进一步的认识，明确“求一个数的几倍是多少”和“求一个数是另一个数的几倍”的意义及解题方法，为后面的练习作铺垫。

2.结合教材习题，复习倍的认识的解题方法及二者之间的区别。

（1）课件出示教材112页9题。

4元16元（）元（）元①笔袋的价钱是三角尺的几倍？②一盒彩笔的价钱是三角尺的9倍。