第五章生活中的轴对称第1、2节轴对称现象和探索轴对称的性质知识点聚焦1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做该图形的对称轴.注：（1）轴对称图形是一个图形，且这个图形被对称轴分成的两部分，对折后能够重合.（2）对称轴是一条直线，不是线段，也不是射线.（3）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条.（但至少有1条）（4）常见的轴对称图形：线段、角、等腰三角形、菱形、长方形、圆等。
2.成轴对称：对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能够完全重合，那么这两个图形成轴对称，这条直线就是这两个图形的对称轴.注：（1）两个图形成轴对称是指两个图形之间的形状和位置关系.（2）全等的两个图形不一定成轴对称，成轴对称的两个图形一定全等.3.轴对称图形与成轴对称的区别、联系与应用（1）区别：①轴对称图形是一个图形，成轴对称涉及两个图形；②轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形，成轴对称是说两个图形的位置关系；③轴对称图形的对应点在同一个图形上，成轴对称的对应点，分别在两个图形上；④轴对称图形不一定只有一条对称轴，成轴对称的两个图形只有一条对称轴.（2）联系：①都是沿某直线翻折后能够互相重合；②如果把成轴对称的两个图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形，反之，如果把轴对称图形沿着对称轴分成两部分，那么这两部分就是关于这条对称轴成轴对称.（3）应用：在数学里利用轴对称主要是求最短距离，证明线段相等，角度相等，图形全等。
其他方面如桌球路线、光线入射反射等情况。
4.轴对称的性质（1）关于某直线对称的两个图形是全等形.（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂直平分.（3）如果两个图形关于某直线对称，那么对应线段（对应的中线、高线、角平分线等）相等，对应角相等.（4）对应点的连线互相平行（或在同一直线上）.注：（1）如何判断轴对称图形上的对应点和对应线段.判断两个点是不是对应点：判断的标准是连接两个对应点的线段被对称轴垂直平分. 若找到了对应点，则对应线段自然就找到了.（2）轴对称的应用利用轴对称可以解决线段之和最小的问题.①将军饮马 ②建桥问题(要求桥垂直两岸) 方法：作A 点关于直线1l 的对称点A '， 方法：作2l BC ⊥，使d BC =，连结AC 交1l 于点D ，作1l DE ⊥交2l 于点E ，DE 即为建桥位置.5.利用轴对称性质作图（1）求作对称轴 （2）求作与已知图形成轴对称的图形典型例题 数的运算中会有一些有趣的对称现象，比如“1的金字塔”，你能发现其中的规律吗？按你发现的规律把下面的式子补充完整.121112=；123211112=；连接B A '交1l 于点P ,点P 即所找的位置.方法：先确定图形的两个对应点，再作 以这两个对应点为端点的线段的垂直 方法：①确定代表已知图形的关键点；②分别作出这些关键点关于对例1.123432111112=；=211111 ；=2111111 .分析：观察可知321123111112ΛΛ43421Λn n =个下图是由小正方形组成的“L ”图案，请你在图中添一个小正方形，使它变成轴对称图形，要求用三种方法.分析：要想添加图形使原图变成轴对称图形，首先要确定对称轴.如下图所示，需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到A ,B 两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置.分析：利用轴对称图形的性质可作A 关于公路的对称点A '，连接B A '，与公路的交点就是点P 的位置. 解：如图②，点P 就是飞机场所在的位置.例2.①②③例4.公路 图①公路例3.如下图所示，正方形纸片ABCD 的边长为8，将其沿EF 折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为多少？分析：折叠前后的两个图形关于折痕成轴对称， 因此E B BE '=，C B BC '=，F C CF '=，于是图中 ①②③④四个三角形的周长之和正方形的周长.正方形的周长为3248=⨯.如下图所示，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ABC ，︒=∠30A ，将BC 向BA 方向折叠，使点C 落在BA 上的C '处，折痕为BE ，请你探究C A '与EC 有什么样的关系？并说明理由. 分析：折叠后BCE ∆和E C B '∆是以BE 为对称轴的两个三角形，以此为突破口得到E C B BCE '∠=∠，再由︒=∠30A ，可以得到C E AC '=，则C E AC '=.解：C E AC '=，理由如下：因为CE 与E C '关于BE 对称，所以C E EC '=，B C E C '∠=∠.在ABC Rt ∆中，︒=∠30A ，所以︒=︒-︒=∠-︒=∠60309090A C .所以︒='∠60B C E .所以︒=︒-︒=∠-'∠='∠303060A B C E C AE .所以C AE A '∠=∠.所以C E AC '=.例5. 例6.如下图①所示，已知AOB ∠内一定点P ，试在OB OA ,上各找一点M ，N ,使得PMN ∆的周长最短.分析：利用“两点之间，线段最短”的原理，通过轴对称找到对应的点，就可以找出满足最小值的点. 解：如图②所示，作点p关于OB OA ,的对应点21,P P,连接21P P ，分别交OB OA ,于点N M ,.利用轴对称的性质可得M P PM 1=, PN N P =2,所以PMN ∆的周长为N P MN M P MN PN PM 21++=++.因为21,P P是定点，两点之间，线段最短，所以N P MN M P 21++最小，即图②中的点N M ,即为所求的点. 已知MON ∠小于︒60，D A ,分别是ON OM ,上的点，由于实际设计的需要，需在OM 和ON 上分别找出点B C ,， 使CD BC AB ++最短，应如何找？分析：解“两线+两点”型最短路线问题需要通过两次轴对称变换，得到所需的点与最短路线.解：如右图所示，作点A 关于ON 的对称点A ',点D关于OM 的对称点D '，连接D A '',分别交ON OM ,于点B C ,，则点C B ,就是所求的点，此时CD BC AB ++最短.图①例7.如下图，EFG ∆与ABC ∆关于某直线成轴对称，请用不同的方法确定对称轴.分析：确定对称轴的关键是利用对称轴垂直平分对应点的连线和对应边或其延长线的交点在对称轴上.解：如下图①②③④.A类 变式练习：1.下列交通标志中是轴对称图形的是( )2.下列图形中,对称轴的条数最少的图形是( ) A ．圆 B ．正六边形 C ．正方形 D ．等边三角形例8.方法一：如图①，连接对应FC ，和对应点D A ，，再取F C ，和的中点，连接，方法二：如图②，连接对应F C ，，再作F C ，的垂直平分线，直线就是所求作的①② ③④方法三：如图③，连接对应F C ，，再延长线段BC 和EF 交于点，过点作的垂线，方法四：如图④，延长线段BC 和EF 交于点M ，再延长线段BA 和交于点，连接，直3.在下图的几何图形中，一定是轴对称图形的有 （ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4.直线l 是一条河,Q P 、两地相距km 8，Q P 、 两地到l 的距离分别为km km 52、，欲在l 上的某点M 处修建一个水泵站，向Q P 、两地供水．现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道,则铺设的管道最短的是( )5.数的运算中会有一些有趣的对称形式，仿照等式①的形式填空，并检验等式是否成立。
