苏教版高中数学必修二2.1.2直线的方程(点斜式、斜截式)

直线的点斜式和斜截式方程说课稿直线的点斜式和斜截式方程说课稿作为一无名无私奉献的教育工作者，很有必要精心设计一份说课稿，借助说课稿可以更好地提高教师理论素养和驾驭教材的能力。

说课稿要怎么写呢？下面是小编帮大家整理的直线的点斜式和斜截式方程说课稿，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。

我本节课说课的内容是直线的点斜式和斜截式方程。

新课标指出，学生是教学的主体。

教师要以学生活动为主线。

在原有知识的基础上，构建新的知识体系。

我将以此为基础从教材地位和内容分析，教学目标分析，重点和难点分析，教法和学法分析，教学过程分析这几个方面加以说明。

一、教材地位和内容分析直线方程初步体现了解析几何的实质——用代数的知识来研究几何问题。

直线作为最常见的几何图形，在生产实践和生活应用中都有着广泛的应用。

直线的方程是是解析几何的基础知识，对后续圆、直线和圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论从知识上还是方法上都有着积极的作用。

二、教学目标分析1、识记直线的点斜式和斜截式方程，了解其推导过程2、会根据已知条件熟练求出直线的方程3、培养学生主动探究知识、合作交流的.意识三、重点与难点分析重点：会根据已知条件熟练求出直线的方程难点：直线点斜式方程的推导四、教法与学法分析1、教法分析遵循“教师的主导作用和学生的主体地位相统一的教学规律”，本节课通过教师点拨，启发学生自主探究来达到对知识的发现和接受。

2、学法分析本节课所面对的是职高二年级的学生，这个年龄段的学生思维活跃，求知欲强，但思维习惯还有待教师引导。

本节课从学生原有的知识和能力出发，教师将带领学生创设疑问，通过合作交流，共同探索，寻求解决问题的方法。

五、教学过程分析根据新课标的理念，我把整个的教学过程分为几个阶段：1、温故知新上课前复习特殊角的正切值以及斜率的求法，为研究新课打下基础。

2、创设情境直线是点的集合，求直线方程实际上就是求直线上点的坐标所满足的一个等量关系。

高二数学教案 必修2 直线的方程——点斜式(斜截式) 班级 姓名 教学目标：1.通过本课掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程；了解直线方程的斜截式是点斜式的特例；2.能通过待定系数（直线上的一个点的坐标11(,)x y 及斜率k ，或者直线的斜率k 及在y 轴上的截距b ）求直线方程；3.牢记斜率不存在时的直线方程，即1x x =．【问题导思】1．若直线l 过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，设点P (x ，y )是直线l 上不同于点P 0的任意一点，那么x ，y 应满足什么关系？【提示】 y －y 0＝k (x －x 0)．2．经过点P 0(x 0，y 0)且斜率不存在的直线l 如何表示？【提示】 x ＝x 0.求直线的方程，其实就是研究直线上任意一点(,)P x y 的坐标x 和y 之间的关系．直线l 经过点111(,)P x y ，当直线斜率不存在时，直线方程为1x x =；当斜率为k 时，直线方程为11()y y k x x -=-，该方程叫做直线的点斜式方程.例1：已知一条直线经过点1(2,3)P -，斜率为2，求这条直线的方程．【解】∵直线经过点1(2,3)P -，且斜率为2，代入点斜式，得：)2(23+=-x y ，即07=+-y x ．点评:已知直线上一点的坐标和直线的斜率，可直接利用斜截式写出直线方程．例2：直线l 斜率为k ，与y 轴的交点是(0,)P b ，求直线l 的方程．【解】代入直线的点斜式，得：(0)y b k x -=-，即y kx b =+．点评:方程y kx b =+叫做直线的斜截式方程，其中b 叫做直线在y 轴上的截距．（1）直线l 与x 轴交点(,0)a ，与y 轴交点(0,)b ，称a 为直线l 在x 轴上的截距，称b 为直线l 在y 轴上的截距（截距可以大于0，也可以等于或小于0）；（2）方程由直线l 斜率k 和它在y 轴上的截距b 确定，叫做直线方程的斜截式．练习：1. 写出下列直线的点斜式方程：（1）经过点(2,1)A -， 12)y x +-；（2）经过点(B ，倾斜角为30； 2y x -； （3）经过点(0,3)C ，倾斜角是0;30y -=； （4）经过点D (5,6)，与x 轴垂直． x ＝5.2．写出下列直线的斜截式方程：（1y 轴上的截距是3-； 3y x =-；（2）斜率是3-，与x 轴交点坐标为(2,0)． 36y x =-+．3. 方程(2)y k x =-表示()A 通过点(2,0)-的所有直线 ()B y 轴上的截距是-2k()C 通过点(2,0)且不垂直于x 轴的直线 ()D 通过点(2,0)且除去x 轴的直线例3：（1）求直线2)y x =-的倾斜角；（2）求直线2)y x =-绕点(2,0)按顺时针方向旋转30所得的直线方程．【解】（1）设直线2)y x =-的倾斜角为α，则tan α=[0,180)α∈， ∴120α=；（2）∴所求的直线的倾斜角为1203090-=，且经过点(2,0)，所以，所求的直线方程为2x =．例4：在同一坐标作出下列两组直线 ，分别说出这两组直线有什么共同特征？（1）2y =，2y x =+，2y x =-+，32y x =+，32y x =-+；（2）2y x =，21y x =+，21y x =-，24y x =+，24y x =-【解】图略；（1）这些直线在y 轴上的截距都为2，它们的图象经过同一点(0,2)；（2）这些直线的斜率都为2，它们的图象平行．思考题：已知直线l 经过点P (－1，－2)，在y 轴上的截距的取值范围为[2,6]，求此直线斜率的取值范围．法一 设直线l 的斜率为k ，由于这条直线过点P (－1，－2)，所以，它的点斜式方程是y －(－2)＝k [x －(－1)]，可化为斜截式方程是y ＝kx ＋k －2，所以直线l 在y 轴上的截距为k －2.由已知得2≤k －2≤6，所以4≤k ≤8.所以直线l 斜率的取值范围为[4,8]．法二 设直线l 的斜截式方程为y ＝kx ＋b ，由于点P (－1，－2)在直线l 上，所以－2＝k (－1)＋b ，即k ＝b ＋2.又因为b ∈[2,6]，所以k ∈[4,8]．后记高二数学学案 必修2 直线的方程——点斜式(斜截式) 班级 姓名 学习目标：1.通过本课掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程；了解直线方程的斜截式是点斜式的特例；2.能通过待定系数（直线上的一个点的坐标11(,)x y 及斜率k ，或者直线的斜率k 及在y 轴上的截距b ）求直线方程；3.牢记斜率不存在时的直线方程，即1x x =．【问题导思】1．若直线l 过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，设点P (x ，y )是直线l 上不同于点P 0的任意一点，那么x ，y 应满足什么关系？2．经过点P 0(x 0，y 0)且斜率不存在的直线l 如何表示？例1：已知一条直线经过点1(2,3)P -，斜率为2，求这条直线的方程．例2：直线l 斜率为k ，与y 轴的交点是(0,)P b ，求直线l 的方程．练习：1. 写出下列直线的点斜式方程：（1）经过点(2,1)A - （2）经过点(B ，倾斜角为30；（3）经过点(0,3)C ，倾斜角是0； （4）经过点D (5,6)，与x 轴垂直．2．写出下列直线的斜截式方程：（1y 轴上的截距是3-； （2）斜率是3-，与x 轴交点坐标为(2,0)．3. 方程(2)y k x =-表示①通过点(2,0)-的所有直线 ②y 轴上的截距是-2k③通过点(2,0)且不垂直于x 轴的直线 ④通过点(2,0)且除去x 轴的直线例3：（1）求直线2)y x =-的倾斜角；（2）求直线2)y x =-绕点(2,0)按顺时针方向旋转30所得的直线方程．例4：在同一坐标作出下列两组直线 ，分别说出这两组直线有什么共同特征？（1）2y =，2y x =+，2y x =-+，32y x =+，32y x =-+；（2）2y x =，21y x =+，21y x =-，24y x =+，24y x =-思考题：已知直线l 经过点P (－1，－2)，在y 轴上的截距的取值范围为[2,6]，求此直线斜率的取值范围．高二数学作业 必修2 直线的方程——点斜式(斜截式) 班级 姓名1．已知直线的倾斜角为45°，在y 轴上的截距为2，则此直线方程为________．2．过点P (－2,0)，且斜率为3的直线的方程是________．3．直线x ＋y ＋1＝0的倾斜角与其在y 轴上的截距分别是________．4．斜率与直线y ＝32x 的斜率相等，且过点(－4,3)的直线的点斜式方程是________． 5．直线236x y -=在x 轴、y 轴上的截距分别是6．（1）经过点(2,4)P ，且倾斜角为60的直线方程是 ；（2）倾斜角为150，在y 轴上的截距为2-的直线方程是 ．7．若ABC ∆在第一象限，(1,1),(5,1)A B ，且点C 在直线AB 的下方，60,45CAB B ∠=∠=，则直线AC 的方程是 ，直线BC 的方程是 ．8．直线22(252)(4)50a a x a y a -+--+=的倾斜角为45，则a 的值为9．直线0Ax By C ++=通过第二、三、四象限，则系数,,A B C 需满足条件10．将直线l ：y ＝－3(x －2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转60°得到直线l ′，则直线l ′的方程为________．11．已知直线l 经过点(2,1)，且它的倾斜角是直线1l ：2y +的一半，求直线l 的方程．12．设直线0ax by c ++=经过点(1,1)和(3,5)-，求::a b c ．13．将直线1l ：20x y -=绕着它上面的一点按逆时针方向旋转15得直线2l ，求2l 的方程．14．已知直线l 的斜率为34，且与坐标轴所围成的三角形的面积为6，求直线l 的方程．15．已知直线12y x b =+与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，如果AOB ∆的面积（O 为坐标原点）不大于1，求b 的范围是。

直线的方程——点斜式连云港外国语学校谭军港1教材分析本节内容是苏教版必修2第二章第一节局部的内容。

本节是在初中学习了平面几何和一次函数，之前一节又学习了直线的斜率的根底上，通过以点的集合的方式来研究直线图像上的点应该满足的方程的问题，起着承上启下的作用。

首先它是对初中平面几何知识和一次函数的延续，其次它也是培养平面解析几何思想，〔也就是用代数的方法研究几何图形的性质，即通过引进直角坐标系，建立点与坐标、曲线与方程之间的对应关系，将几何问题转化为代数问题，从而用代数的方法研究几何问题〕用来解决后续的圆、圆锥曲线以及直线与圆、圆锥曲线关系等问题的根底。

其地位非常重要，这也是高考考纲中的C级要求知识点。

从研究直线方程开始，学生对“解析几何〞的学习进入了实质性阶段，“直线与方程〞关系的研究，是“曲线与方程〞的关系研究的前奏和根底，直线的点斜式方程的探索过程，对构建前后连贯，逻辑一致的研究过程与方法，起到了重要的根底作用，“直线的点斜式方程〞是“平面解析几何初步〞的起始课，也是高中平面解析几何的起始课，也将是学生亲自经历第一次“求曲线方程〞的探索实践。

所以本节课教学的效果直接决定了整个“解析几何〞教学的效果刚刚接触“解析几何〞的学生，幼稚懵懂的心理致使他们还不能理解“解析几何〞的实质，而本节课那么以比拟浅显的问题开启“解析几何〞学习知识之门，通过求直线方程的一般步骤“建系、设点、代入、化简、验证〞这一本质规律对后续解析几何内容学习产生重要影响，因为它也是求“曲线方程〞的一般步骤。

“解析几何〞中处处渗透了各种数学思想，特别是数形结合与等价转化思想，本节课那么以生动的具体事例有效地促进学生树立、稳固和熟练应用这些数学思想综上，本节课是高中数学教学中极为关键的内容，创设和实施优质的教学程序，在一定程度上影响着后面解析几何教学的成败2教学目标知识与技能1探索确定直线位置的几何要素，知道由一个点和斜率可以确定一条直线，探索、经历并掌握求直线的点斜式、斜截式方程过程与方法；2能根据条件熟练地求出直线的点斜式、斜截式方程，并有直线点斜式方程和斜截式方程代数形式的到直线的几何性质过程与方法1让学生经历求直线方程构建过程，培养学生观察、探究能力；2使学生进一步理解直线的方程与方程的直线之间的对应关系〔方程的解与直线上点的坐标的关系〕，渗透数形结合等数学思想情感态度与价值观1使学生进一步体会化归的思想，逐步培养他们分析问题、解决问题的能力；2利用多媒体课件的精彩演示，增强图形美感，使学生享受数学美，增进数学学习的情趣通过数学史的学习培养学生数学文化素养。

他学习目标1.掌握直线方程的两点式、截距式，能根据条件熟练求出直线的方程；2.能正确理解直线方程一般式的含义；能将点斜式、斜截式、两点式转化成一般式. 学习过程一 学生活动探究 如果直线l 经过两点),(),,(222111y x P y x P )(21x x ≠，求直线l 的方程。

二 建构知识1．直线的两点式方程：（1）一般形式：（2）适用条件：2．直线的截距式方程：（1）一般形式：（2）适用条件：注：“截距式”方程是“两点式”方程的特殊形式，它要求直线在坐标轴上的截距都不为0．3．直线的一般式方程：4．直线方程的五种形式的优缺点及相互转化：思考：平面内任意一条直线是否都可以用形如()00不全为，B A C By Ax =++的方程来表示？三 知识运用例题 例1 三角形的顶点()()()303405 - -，，，，，C B A ，试求此三角形所在直线方程．例2 求直线01553=-+ y x l ：的斜率以及它在x 轴、y 轴上的截距，并作图．例3 设直线l 的方程为062=+-+m my x ，根据下列条件分别确定m 的值：（1）直线l 在x 轴上的截距是3-； （2）直线l 的斜率是1； （3）直线l 与y 轴平行．例4 过点()21 ，的直线l 与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于B A ，两点，当AOB ∆的面积最小时，求直线l 的方程．巩固练习1． 由下列条件，写出直线方程，并化成一般式：（1）在x 轴和y 轴上的截距分别是23，－3； （2）经过两点P 1（3，－2），P 2（5，－4）．2．设直线l 的方程为()00不全为，B A C By Ax =++，根据下列条件， 求出C B A ，，应满足的条件：（1）直线l 过原点； （2）直线l 垂直于x 轴；（3）直线l 垂直于y 轴； （4）直线l 与两条坐标轴都相交．四 回顾小结掌握直线方程的两点式、截距式，能根据条件熟练求出直线的方程；能将点斜式、斜截式、两点式转化成一般式．五 学习评价双基训练:1经过点1(,3)2A ,和4(,2)3B -的直线方程是__________________ 2在x 轴、y 轴上的截距分别是2,3-的直线方程是_____________________.3.直线方程24x y -=的截距式方程是_____________________.4.过两点(1,1)-和(3,9)的直线在x 轴上的截距是_________________.5.直线22(23)(2)41m m x m m y m -+++=+在x 轴上的截距为1，则m 等于_________.6.直线l 过点(1,3)P 且与两坐标正半轴轴围成三角形的面积为6个平方单位，则该直线方程为_______________7.求过点(3,4)M -，且在坐标轴上的截距相等的直线方程.拓展延伸：8.已知直线(31)(2)10a x a y -+--=且该直线不经过第二象限，求实数a 的取值范围.9.已知直线kx+y+2=0和以M （-2，1），N （3，2）为端点的线段相交，求实数k 的取值范围.10.在直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点为A （0，3），B （3，3），C （2，0）.若直线x a =将ABC ∆分割成面积相等的两部分，求实数a 的值.2.1.2 直线的方程——两点式1.y=6301111x+;2.123x y-=;3.142x y-=;4.32-;5.2或12；6.126x y+=；7.4x+3y=0或x+y+1=0；8.123a≤≤；9.4332k k≤-≥或；。

2．1．2 直线的方程一、双基诊断1．过点（2，-3），且与y 轴平行的直线的方程是 。

2．已知直线y=kx+b 经过第二、三、四象限，则 （ ）A ．k ＞0，b ＜0B ．k ＞0，b ＞0C ．k ＜0，b ＞0D ．k ＜0，b ＜0 3．已知两点A(a,b),B(b,a),其中a ≠b ，则直线AB 的方程为 （ ）A ．x +y-a -b=0B ．x +y+a -b=0C ．x -y-a -b=0D ．x -y+a -b=0 4．直线y=k(x+1)+2经过的定点是 （ ） A ．（1，2）B ．（1，-2）C ．（-1，2）D ．（-1，-2）5．若不管t 取怎样的实数，点（-1+4t ，2+3t ）均在同一条直线上，这条直线的方程是1． 基本内容直线方程有5种不同的形式（1）点斜式：y-y 0=k(x-x 0)，点斜式方程表示经过点(x 0，y 0)且不垂直于x 轴的直线。

用点斜式表示直线方程的前提条件是直线的斜率必须存在。

（2）斜截式：y=kx+b ，斜截式方程是点斜式方程的特例，即该点必须取在y 轴上。

用斜截式表示直线方程的条件也是直线的斜率必须存在。

关于直线在y 轴上的截距b ，就是直线与y 轴交点的纵坐标，因此b 的取值范围为R ，它可以取正，取负，也可取0。

截距不是距离，因距离是非负的，而截距的取值是任意的。

相对于直线在y 轴上的截距，也有直线在x 轴上的截距a ，同样的直线方程可写为x=my+a ，它回避一类垂直于x 轴的直线，但不能表示重合或平行于y 轴的直线，它具有同直线斜截式一样的优越性。

（3）两点式：y -y 1y 2-y 1 = x -x 1x 2-x 1 ，由于x 1≠x 2，y 1≠y 2，故两点式方程不能表示垂直于坐标轴（含x 轴与y 轴）的直线。

当x 1=x 2时，直线方程为x= x 1（= x 2）；当y 1=y 2时，直线方程为y= y 1（= y 2）。

直线与方程盐城市亭湖高级中学 宋丽娜一、教学分析教材利用斜率公式推导出了直线的点斜式方程，利用直线的点斜式方程推导出了直线的斜截式方程，让学生讨论得出直线的两点式方程，在练习中给出了直线的截距式方程．值得注意的是本节所讨论直线方程的四种形式中，点斜式方程是基础是一个“母方程”，其他方程都可以看成是点斜式方程的“子方程”．二、三维目标1．掌握直线的点斜式方程和斜截式方程；了解直线的斜截式方程是点斜式方程的特例，培养普遍联系的辩证思维能力．2．理解直线的两点式方程和截距式方程，并能探讨直线方程不同形式的适用范围，提高学生思维的严密性．3．会求直线方程，提高学生分析问题和解决问题的能力．三、重点难点教学重点：直线方程的四种形式及应用．教学难点：求直线方程．四、教学过程（一）基础训练1已知直线 过点（3，1），且倾斜角为直线﹣2﹣1 =0倾斜角的2倍，则直线 的斜截式方程为_____﹣412=0与6﹣81=0之间的距离d=______过点（1，1）且A （1，3）,B （5，-1）到直线 的距离相等，则 的方程为__________（二）知识梳理1、（1）直线的倾斜角与斜率（2）经过两点 111222(,),(,)P x y P x y 的直线的斜率公式2、直线的方程3、00(,):0P x y l Ax By C ++=点到直线的距离公式为：4 1122:0:0l Ax By C l Ax By C ++=++=两条平行直线与之间的距离公式为：5（1）平面上两点间的距离（2）中点公式（三）数学应用 0,-2且与连结A-2,3和B3,2的线段 有公共点，则直线的斜率的范围为________变式1:已知直线过点2m ∈R ），那么直线的倾斜角的取值范围是_______________例2：过点ABC ∆(1,1),(3,2),(5,4)A B C 2－2m －3＋2m2＋m －1－2m ＋6＝0m ≠－1，直线在轴上的截距是-3,则实数m 的值为______ 2已知三条直线 和 共有三个不同的交点，则实数a 满足的条件为______________:-12=0 ∈R （1）证明：直线过定点；（2）若直线不经过第四象限，求的取值范围；（3）若直线交轴负半轴于A ，交轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线的方程五、课堂小结：通过本节课的学习，你有哪些收获？六、作业配套练习121212:60,:(2)320,(1),(2)//l x my l m x y m m l l l l ++=-++=⊥例3:已知直线求的值,使得: 10,280,x y x y ++=-+=350ax y +-=。

2.1.2 直线的方程第1课时 点斜式1．直线的点斜式方程(1)过点P 1(x 1，y 1)且斜率为k 的直线方程y －y 1＝k (x －x 1)叫做直线的点斜式方程．(2)过点P 1(x 1，y 1)且与x 轴垂直的方程为x ＝x 1．2．直线的斜截式方程斜截式方程：y ＝kx ＋b ，它表示经过点P (0，b )，且斜率为k 的直线方程．其中b 为直线与y 轴交点的纵坐标，称其为直线在y 轴上的截距．思考：(1)“斜截式方程的应用前提是什么？(2)截距是距离吗？提示：(1)斜截式方程应用的前提是直线的斜率存在．(2)纵截距不是距离，它是直线与y 轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、负数或零．1.思考辨析(1)当直线的倾斜角为0°时，过(x 0，y 0)的直线l 的方程为y ＝y 0.( )(2)直线与y 轴交点到原点的距离和直线在y 轴上的截距是同一概念．()(3)直线的点斜式方程不能表示坐标平面上的所有直线．()(4)当直线的斜率不存在时，过点(x1，y1)的直线方程为x＝x1.() [答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．过点(2，3)，斜率为－1的直线的方程为________．y＝－x＋5[由点斜式方程得：y－3＝－1·(x－2)，∴y－3＝－x＋2，即y＝－x＋5.]3.过点P(1，1)平行于x轴的直线方程为________，垂直于x轴的直线方程为________．y＝1x＝1[过点P(1，1)平行于x轴的直线方程为y＝1，垂直于x轴的直线方程为x＝1.]4.已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则此直线方程为________．3x－y－2＝0[k＝tan 60°＝3，且过点(0，－2)，所以直线方程为y＋2＝3 (x－0)，即3x－y－2＝0.](1)经过点B(2，3)，倾斜角是45°；(2)经过点C(－1，－1)，与x轴平行；(3)经过点A(1，1)，B(2，3)．思路探究：先求直线的斜率，再用点斜式求直线的方程．[解](1)∵直线的倾斜角为45°，∴此直线的斜率k＝tan 45°＝1，∴直线的点斜式方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.(2)∵直线与x轴平行，∴倾斜角为0°，斜率k＝0，∴直线方程为y＋1＝0×(x＋1)，即y＝－1.(3)∵直线的斜率k＝3－12－1＝2.∴直线的点斜式方程为y－3＝2×(x－2)，即2x－y－1＝0.1．求直线的点斜式方程的前提条件是：(1)已知一点P(x0，y0)和斜率k；(2)斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．2．求直线的点斜式方程的步骤是：先确定点，再确定斜率，从而代入公式求解．1．求倾斜角为135°且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(－1，2)；(2)在x轴上的截距是－5.[解](1)∵所求直线的倾斜角为135°，∴斜率k＝tan 135°＝－1，又直线经过点(－1，2)，∴所求直线方程是y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.(2)∵所求直线在x轴上的截距是－5，即过点(－5，0)，又所求直线的斜率为－1，∴所求直线方程是y－0＝－(x＋5)，即x＋y＋5＝0.(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.思路探究：(1)直接利用斜截式写出方程；(2)先求斜率，再用斜截式求方程；(3)截距有两种情况．[解](1)由直线方程的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5.(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－3 3.由斜截式可得方程为y＝－33x－2.(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan 60°＝3，∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.∴所求直线方程为y＝3x＋3或y＝3x－3.1.直线的斜截式方程使用的前提条件是斜率必须存在．2.当直线的斜率和直线在y轴上的截距都具备时，可以直接写出直线的斜截式方程；当斜率和纵截距不直接给出时，求直线的斜截式方程可以利用待定系数法求解．2．根据下列条件，求直线的斜截式方程．(1)倾斜角是30°，在y轴上的截距是0.(2)倾斜角为直线y＝－3x＋1的倾斜角的一半，且在y轴上的截距为－10.[解](1)由题意可知所求直线的斜率k＝tan 30°＝3 3，由直线方程的斜截式可知，直线方程为y＝33x.(2)设直线y＝－3x＋1的倾斜角为α，则tan α＝－3，∴α＝120°，∴所求直线的斜率k＝tan 60°＝ 3.∴直线的斜截式方程为y＝3x－10.1．对于直线y＝kx＋1，是否存在k使直线不过第三象限？若存在，k的取值范围是多少？[提示]直线y＝kx＋1过定点(0，1)，直线不过第三象限，只需k<0.2．已知直线l的斜率为2，在y轴上的截距为a.(1)求直线l的方程．(2)当a为何值时，直线l经过点(4，－3)?[提示](1)因为直线l的斜率k＝2，在y轴上的截距为a，由直线方程的斜截式可得y＝2x＋a.(2)由于点(4，－3)在直线l上，把点的坐标代入l的方程y＝2x＋a得－3＝2×4＋a，所以a＝－11.【例3】已知直线l经过点P(4，1)，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线l的点斜式方程．思路探究：设出直线的点斜式方程，表示出横、纵截距，利用三角形面积得斜率方程，求解即可．[解] 设所求直线的点斜式方程为：y －1＝k (x －4)(k <0)，当x ＝0时，y ＝1－4k ；当y ＝0时，x ＝4－1k .由题意，得12×(1－4k )×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－1k ＝8. 解得k ＝－14.所以直线l 的点斜式方程为 y －1＝－14(x －4)．在利用直线的点斜式方程或斜截式方程表示纵、横截距，从而进一步表示直线与坐标轴围成的三角形面积时，要注意截距并非一定是三角形的边长，要根据斜率进行判断，当正负不确定时，要进行分类讨论．3．已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l 的方程．[解] 设直线方程为y ＝16x ＋b ，则x ＝0时，y ＝b ；y ＝0时，x ＝－6b .由已知可得12·|b |·|－6b |＝3，即6|b |2＝6，∴b ＝±1. 故所求直线方程为y ＝16x ＋1或y ＝16x －1，即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.1．本节课的重点是了解直线方程的点斜式的推导过程，掌握直线方程的点斜式并会应用，掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念．难点是了解直线方程的点斜式的推导过程．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)求点斜式方程的方法步骤．(2)求斜截式方程的求解策略．(3)含参数方程问题的求解．3．本节课的易错点是利用斜截式方程求参数时漏掉斜率不存在的情况．1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则()A．直线经过点(－1，2)，斜率为－1B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D．直线经过点(－1，－2)，斜率为1C[方程变形为y＋2＝－(x＋1)，∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1.]2．经过点(－1，1)，斜率是直线y＝22x－2的斜率的2倍的直线方程是________．2x－y＋2＋1＝0[由方程知，已知直线的斜率为2 2，∴所求直线的斜率是2，由直线方程的点斜式可得方程为y－1＝2(x＋1)，即2x－y＋2＋1＝0.]3．直线x＋y＋1＝0的倾斜角与其在y轴上的截距分别是________．135°，－1[直线x＋y＋1＝0变成斜截式得y＝－x－1，故该直线的斜率为－1，在y轴上的截距为－1.若直线的倾斜角为α，则tan α＝－1，即α＝135°.] 4．求经过点A(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程．[解]设直线方程为y－4＝k(x＋3)(k≠0)．当x＝0，y＝4＋3k，当y＝0，x＝－4－3，k－3＝12，即3k2－11k－4＝0，∴3k＋4－4k∴k＝4或k＝－13.∴直线方程为y－4＝4(x＋3)或y－4＝－13(x＋3)，即4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.。

2.2.2直线的方程第1课时直线的点斜式方程与斜截式方程学习目标 1.了解直线的方程、方程的直线的概念.2.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程.3.结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y轴上的截距的含义．知识点一直线的方程与方程的直线如果直线l上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解，而且以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在直线l上，则称F(x，y)＝0为直线l的方程，而直线l称为方程F(x，y)＝0的直线，“直线l”也可说成“直线F(x，y)＝0”，记作l：F(x，y)＝0.知识点二直线的点斜式方程点斜式已知条件点P(x0，y0)和斜率k图示方程形式y－y0＝k(x－x0)适用条件斜率存在思考经过点P0(x0，y0)且垂直于x轴的直线是否都能用点斜式方程来表示？如果不能表示，该直线的方程是什么？答案垂直于x轴的直线斜率不存在．斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P0且斜率不存在的直线方程为x＝x0.知识点三直线的斜截式方程1．直线的截距当直线l既不是x轴也不是y轴时，若l与x轴的交点为(a,0)，则称l在x轴上的截距为a；若l与y轴的交点为(0，b)，则称l在y轴上的截距为b.一条直线在y轴上的截距简称为截距．2．直线的斜截式方程斜截式已知条件斜率k和直线在y轴上的截距b 图示方程式y＝kx＋b适用条件斜率存在1．对直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)也可写成k＝y－y0x－x0.(×)2．直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1,3)．(√)3．直线y＝kx－b在y轴上的截距为b.(×)4．直线在y轴上的截距是直线与y轴交点到原点的距离．(×)一、直线的点斜式方程例1(1)若直线l满足下列条件，求其直线方程．①过点(－1,2)且斜率为3；②过点(－1,2)且与x轴平行；③过点(－1,2)且与x轴垂直；④已知点A(3,3)，B(－1,5)，过线段AB的中点且倾斜角为60°.⑤过点(－1,2)且直线的方向向量为a＝(2，－1)．解①y－2＝3(x＋1)，即y＝3x＋5.②y＝2.③x＝－1.④斜率k＝tan 60°＝3，AB的中点为(1,4)，则该直线的点斜式方程为y－4＝3(x－1)，即y＝3x－3＋4.⑤直线的方向向量为a＝(2，－1)，∴k ＝－12＝－12，故直线的方程为y －2＝－12(x ＋1)，即y ＝－12x ＋32.(2)已知直线的方程为y ＋2＝－x －1，则( ) A ．该直线过点(－1,2)，斜率为－1 B ．该直线过点(－1,2)，斜率为1 C ．该直线过点(－1，－2)，斜率为－1 D ．该直线过点(－1，－2)，斜率为1 答案 C解析 原方程可化为y －(－2)＝(－1)[x －(－1)]， 即该直线斜率为－1，且过点(－1，－2)， 故选C.反思感悟 (1)只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程．(2)当倾斜角为0°，即k ＝0时，这时直线l 与x 轴平行或重合，直线l 的方程是y ＝y 0. (3)当倾斜角为90°时，直线无斜率，这时直线l 与y 轴平行或重合，直线l 的方程是x ＝x 0. 跟踪训练1 (1)求满足下列条件的直线的点斜式方程： ①过点P (4，－2)，倾斜角为150°； ②过两点A (1,3)，B (2,5)．解 ①∵α＝150°，∴k ＝tan 150°＝－33， ∴直线的点斜式方程为y ＋2＝－33(x －4)． ②∵k ＝5－32－1＝2，∴直线的点斜式方程为y －3＝2(x －1)． (2)直线方程y －y 0＝k (x －x 0)( ) A ．可以表示任何直线 B ．不能表示过原点的直线 C ．不能表示与y 轴垂直的直线 D ．不能表示与x 轴垂直的直线答案 D解析该直线方程为点斜式方程，斜率为k且一定存在，故不能表示垂直于x轴的直线，故选D.二、直线的斜截式方程例2(1)(多选)下列四个选项中，正确的是()A．任何一条直线在y轴上都有截距B．直线在y轴的截距一定是正数C．直线方程的斜截式可以表示不垂直于x轴的任何直线D．直线y＝2x－1在y轴上的截距为－1答案CD解析平行于y轴的直线与y轴不相交，所以在y轴上没有截距，故A不正确．直线在y轴上的截距即为直线与y轴交点的纵坐标，可正、可负、可为0，故B不正确．直线的斜截式方程y＝kx＋b所表示的直线斜率要存在，且直线在y轴上的截距要存在，所以直线的斜截式方程不能表示垂直于x轴的直线，故C正确．直线y＝2x－1在y轴上的截距为－1，故D正确．(2)根据条件写出下列直线的斜截式方程．①斜率为2，在y轴上的截距是5；②倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；③倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.解①由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5.②∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－3 3.由斜截式可得直线方程为y＝－33x－2.③∵直线的倾斜角为60°，∴斜率k＝tan 60°＝ 3.∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.∴所求直线方程为y＝3x＋3或y＝3x－3.反思感悟(1)在求解过程中，常因混淆截距与距离的概念，而漏掉解．(2)截距是直线与x轴(或y轴)交点的横(或纵)坐标，它是个数值，可正、可负、可为零．跟踪训练2(1)直线y＋2＝－2(x－3)化成斜截式方程为________________，在y轴上的截距为________．答案y＝－2x＋4 4解析y＋2＝－2(x－3)可化为y＝－2x＋4，在y轴上的截距为4.(2)已知直线l与直线l1：y＝2x＋6在y轴上有相同的截距，且l的斜率与l1的斜率互为相反数，则直线l的方程为________________．答案y＝－2x＋6解析l1：y＝2x＋6在y轴上的截距为6，斜率为2，故直线l的斜率为－2，在y轴上的截距为6，所以直线l的方程为y＝－2x＋6.1．方程y＝k(x－2)表示()A．通过点(－2,0)的所有直线B．通过点(2,0)的所有直线C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线D．通过点(2,0)且除去x轴的所有直线答案 C解析易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴．2．已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为3，则此直线方程为()A．y＝3x＋ 3 B．y＝－3x＋ 3C．y＝－3x－ 3 D．y＝3x－ 3答案 A解析直线的倾斜角为60°，则其斜率为3，利用斜截式直接写方程．3．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有()A．k>0，b>0 B．k>0，b<0C．k<0，b>0 D．k<0，b<0答案 B解析如图，∵直线经过第一、三、四象限，∴k >0，b <0.4．直线y ＝－2x ＋3的斜率为________，在y 轴上的截距为________，在x 轴上的截距为________． 答案 －2 3 32解析 直线的斜率为k ＝－2，在y 轴上的截距为3，令y ＝0，解得x ＝32，故在x 轴上的截距为32. 5．已知直线l 过点P (2,1)，且直线l 的斜率为直线x －4y ＋3＝0的斜率的2倍，则直线l 的点斜式方程为____________． 答案 y －1＝12(x －2)解析 由x －4y ＋3＝0， 得y ＝14x ＋34，其斜率为14，故所求直线l 的斜率为12，又直线l 过点P (2,1)，所以直线l 的点斜式方程为y －1＝12(x －2)．1．知识清单：(1)直线的方程与方程的直线． (2)直线的点斜式方程． (3)直线的斜截式方程． 2．方法归纳：公式法．3．常见误区：直线的点斜式方程、斜截式方程并不能表示所有直线．1．下面四个直线方程中，是直线的斜截式方程的是( ) A ．x ＝3B ．y ＝3x －5C ．y －2＝3(x －1)D ．x ＝4y －1答案 B2．与直线y ＝32x 的斜率相等，且过点(－4,3)的直线方程为( )A ．y －3＝－32(x ＋4)B ．y ＋3＝32(x －4)C ．y －3＝32(x ＋4)D ．y ＋3＝－32(x －4)答案 C3．直线y ＝k (x －2)＋3必过定点，该定点为( ) A ．(3,1) B ．(2,3) C ．(2，－3) D ．(－2,3) 答案 B解析 直线方程为y ＝k (x －2)＋3， 可化为y －3＝k (x －2)，所以过定点(2,3)． 4．经过点(－1,1)，斜率是直线y ＝22x －2斜率的2倍的直线方程是( ) A ．y ＝－1 B ．y ＝1C ．y －1＝2(x ＋1)D ．y －1＝22(x ＋1) 答案 C解析 由方程知已知直线的斜率为22， ∴所求直线的斜率是2，由直线方程的点斜式，可得直线方程为y －1＝2(x ＋1)．5．(多选)在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线的斜截式方程为( ) A ．y ＝3x －6 B ．y ＝63x －6 C ．y ＝－3x －6 D ．y ＝－33x －6 答案 AC解析 因为直线与y 轴相交成30°角， 所以直线的倾斜角为60°或120°， 所以直线的斜率为3或－3， 又因为在y 轴上的截距为－6，所以直线的斜截式方程为y ＝3x －6或y ＝－3x －6.6．(多选)经过点(2,1)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为( ) A ．y ＝x ＋3 B ．y ＝x －1 C ．y ＝－x ＋3 D ．y ＝－x －1答案 BC解析 由题意可知直线的斜率为±1，当直线的斜率为1时，直线方程为y －1＝x －2，化简得y ＝x －1；当直线的斜率为－1时，直线方程为y －1＝－(x －2)，化简得y ＝－x ＋3. 7．已知直线l 的方程为y －m ＝(m －1)(x ＋1)，若l 在y 轴上的截距为7，则m ＝________. 答案 4解析 直线l 的方程可化为y ＝(m －1)x ＋2m －1， ∴2m －1＝7，得m ＝4.8．设直线l 的倾斜角是直线y ＝3x ＋1的倾斜角的12，且与y 轴的交点到x 轴的距离是3，则直线l 的斜率为________，直线l 的方程是____________________． 答案33 y ＝33x ±3 解析 y ＝3x ＋1的倾斜角为60°，则l 的倾斜角为30°，故斜率为tan 30°＝33. 由题意知，l 在y 轴上的截距为±3， ∴直线l 的方程为y ＝33x ±3. 9．求倾斜角为直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程． (1)经过点(－4,1)； (2)在y 轴上的截距为－10.解 由直线y ＝－3x ＋1的斜率为－3，可知此直线的倾斜角为120°，所以所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率k ＝ 3.(1)因为直线过点(－4,1)，所以由直线的点斜式方程得y －1＝3(x ＋4)，即y ＝3x ＋43＋1.(2)因为直线在y 轴上的截距为－10，所以由直线的斜截式方程得y ＝3x －10.10．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程． (1)过定点A (－2,0)； (2)斜率为16.解 依题意直线l 的斜率存在且不为0. (1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2) 令x ＝0，y ＝2k ， 令y ＝0，x ＝－2， ∴S ＝12|－2|·|2k |＝3，解得k ＝±32.∴直线l 的方程为y ＝32(x ＋2)或y ＝－32(x ＋2)．(2)设直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，令x ＝0，y ＝b ，令y ＝0，x ＝－6b ， ∴S ＝12|－6b |·|b |＝3，解得b ＝±1.∴直线l 的方程为y ＝16x ＋1或y ＝16x －1.11．一条直线过点(－2,3)且直线的一个法向量为v ＝(2,3)，则该直线的方程为( ) A ．y ＝23x ＋133B ．y ＝32x ＋6C ．y ＝－32xD ．y ＝－23x ＋53答案 D解析 直线的一个法向量v ＝(2,3)，则该直线的一个方向向量为a ＝(3，－2)，故k ＝－23，又直线过点(－2,3)，所以直线方程为y－3＝－23(x＋2)，即y＝－23x＋53，故选D.12．下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是()答案 C解析①当a>0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角，直线y＝x＋a在y轴上的截距为a>0，A，B，C，D都不成立；②当a＝0时，直线y＝ax的倾斜角为0°，所以A，B，C，D都不成立；③当a<0时，直线y＝ax的倾斜角为钝角，直线y＝x＋a的倾斜角为锐角且在y轴上的截距为a<0，只有C成立．13．已知直线l不经过第三象限，设它的斜率为k，在y轴上的截距为b(b≠0)，那么() A．kb<0 B．kb≤0 C．kb>0 D．kb≥0答案 B解析直线l不经过第三象限，则k≤0且b>0，即kb≤0.14．将直线y＝x＋3－1绕其上面一点(1，3)沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线的点斜式方程是________________．答案y－3＝3(x－1)解析由y＝x＋3－1得直线的斜率为1，倾斜角为45°.∵沿逆时针方向旋转15°后，倾斜角变为60°，∴所求直线的斜率为 3.又∵直线过点(1，3)，∴由直线的点斜式方程可得y－3＝3(x－1)．15．已知等边三角形ABC的两个顶点A(0,0)，B(3，3)，则AC边所在的直线方程为_____．答案 x ＝0或y ＝－33x 解析 k AB ＝3－03－0＝33， ∴直线AB 的倾斜角为30°，故直线AC 的倾斜角为90°或150°.当AC 的倾斜角为90°时，直线为y 轴，方程为x ＝0， 当AC 的倾斜角为150°时，k AC ＝－33，方程为y ＝－33x . 16．直线l 的方程为y ＝ax ＋3－a 5， (1)证明：直线l 恒经过第一象限；(2)若直线l 一定经过第二象限，求a 的取值范围．(1)证明 直线l ：y ＝ax ＋3－a 5， 可化为y －35＝a ⎝⎛⎭⎫x －15， 所以直线l 过定点P ⎝⎛⎭⎫15，35，又点P ⎝⎛⎭⎫15，35在第一象限，故直线l 恒经过第一象限．(2)解 因为直线l 过点P ⎝⎛⎭⎫15，35且点P 在第一象限，故只需l 在y 轴上的截距大于0即可，即3－a 5>0得a <3. 故a 的取值范围是(－∞，3)．。

2.1.2直线与方程（1）点斜式，斜截式姓名1.过点()2,0,且斜率是3的直线方程为 36y x =-2.直线l 过点()2,1-,其斜率是直线122y x =--的斜率的相反数,则直线l 的方程是 25y x =-3.直线l 的斜率是-3,有y 轴上的截距是-3的直线方程是 33y x =--4.直线l 的方程为1y kx =-,其中0k >,则直线l 一定不经过第 二 象限5.过点()2,1,且只经过两个象限的直线的方程是,1,22x y y x === 6.直线():12l y k x -=-必过定点()2,17.直线l 过点()1,2P -,将点P 左移2个单位再上移3个单位后所得的点仍在直线l 上,则直线l 的方程是3122y x =-+8.将直线1y x =绕它上面的点(沿逆时针方向旋转15o ,所得直线方程是y =9.直线:23l y x =+,若直线1l l 与关于y 轴对称,则1l 的方程是 ,若直线2l l 与关于x轴对称,则2l 的方程是10．过不同的两点()()()2,,4,22m m m ≠的直线的方程为 ()242;22x m x m y m m ==-=+++ 11.若直线l 的方程为()()21110m x m y ---+=,(1)试就m 的取值确定直线l 的斜率；（2）若其斜率1k >-,求实数m 的范围.解:(1)当1m =时无斜率;当1m ≠211,11m y x m m -=+--,斜率为211m m --(2)当1m ≠,斜率为2111m m ->--,解得2,13m m <>12.直线13y x =+的倾斜角是的15,求分别满足下列条件的直线l 的方程(1)过点()3,4;P -(2)在y 轴上的截距为-3答:直线13y x =+的倾斜角是30o ,直线l 的倾斜角为150o ,斜率为tan1503=-o ,由点斜式方程,斜截式方程得到所求直线方程为()()14;2333y x y x =-+=--13.直线():0l y kx b b =+≠和直线0:4l x =相交于点()4,5P ,0l 与x 轴的交于点A ，l 与y 轴交于点,B O 是坐标原点,若AOB ∆的面积是12,求直线l 的方程.解:设直线():54,0,54,l y k x x y k -=-==-令得又()4,0A ，得454122ABC k S ∆-==，解得111,44k k ==-或，直线l 的方程为1116644y x y x =-=-+或。