26 实数 演示文稿.ppt

实数除法
定义为乘法的逆运算，满足交换律、结合律和分配律。
实数乘法
定义乘法运算，满足交换律、结合律和分配律。
乘法与除法的应用
在面积、体积、商、利率等方面具有广泛的应用。
乘法与除法
实数幂运算
实数根运算
幂运算与根运算的应用
幂运算与根运算
03
实数在生活中的应用
科学计数法
使用科学计数法能够方便地表示大数或小数，例如，$123 \times 10^5$表示为$1.23 \times 10^7$。这种表示方法可以简化计算和记录过程，广泛应用于科学研究和工程计算中。
非标准分析
随着计算机科学的快速发展，实数在计算机图形学、数值分析和密码学等领域的应用越来越广泛。
计算机科学
现代数学中的实数
05
实数的扩展与应用
实数是连续的、无理数和有理数的总和，可以用代数数、超越数和三角函数等形式表示。
实数定义
实数可以进行加、减、乘、除等基本运算，运算结果仍然是实数。
实数的运算
古代数学中的实数
希腊数学
02
古希腊数学家如毕达哥拉斯和亚里士多德开始研究实数，并探索它们的性质。
印度数学
03
印度数学家在公元5世纪首次引入了负数的概念，为实数体系的完善做出了贡献。
近代数学中的实数
19世纪，康托尔等人建立了实数理论，为实数的性质和分类提供了严格的数学框架。

1、什么是立方根？ 若一个数的立方等于a,那么这个数叫做 a 的立方根或三次方根。
2、正数的立方根是一个______，负数的立方根是一个_______，0 的立正方数根是____；立方根是它 本身的数是______.平方根是它本身的数是__算术平方根是它本身的数是______.
负数
0 1、-1、0
2,
3 8,
有理数集合
无理数集合
谢谢观赏
3 a 3 a a为任何数
无限不循环的小数 叫做无理数. 有理数和无理数统称实数. 实数与 上的点数是轴一一对应的 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义 和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意 义完全一样
在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质同样适用。
有限小数及无限循环小数
有理数
100 = 10
被开方数
平方根的定义 如果一个数X的平方等于a，即X2=a，那么这个数X叫做a的平方根（二次方根）
a的平方根表示为
a 读作：正，负根号a
a
表示a的算术平方根
－a
表示a的算术平方根的相反数
a
表示a的平方根
x2 = a
X＝ a
求一个数a的平方根的运算叫做开平方
平方根的性质： 正数有2个平方根，它们互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根。
0 0、1

03
实数的连续性
实数集合具有连续性，即任意两个不相等的实数之间都存在其他实数。
实数的连续性是实数的重要性质，使得实数在数轴上可以表示为连续的
点。
实数与数轴
数轴的定义
数轴是一条直线，每一个点对应一个唯一的实数，每一个实数也对应数轴上的一个点。在 数轴上，可以表示任意两个实数的差值，正实数位于原点的右侧，负实数位于原点的左侧 。
Part
05
实数的扩展知识
实数的连续性
实数轴上的连续性
实数轴上的每一个点都是连续的 ，没有间断或空隙。这意味着任 意两个实数之间都存在无数个其
他实数。
连续性的性质
实数的连续性在数学中具有重要性 质，例如在微积分中，连续函数的 性质是基础，如极限、可导性等。
连续性的应用
在物理、工程和其他科学领域中， 连续性概念也具有广泛的应用，如 连续介质力学等。
无理数
不能表示为两个整数之比的实数 ，如π、√2等。
整数和分数
整数
没有小数部分的实数，包括正整数、 零和负整数。
分数
表示为两个整数之比的实数，如1/2、 2/3等。
Part
04
实数的应用
在数学中的应用
STEP 01
代数运算
STEP 02
几何学
实数可用于解决代数方程 、不等式等数学问题，如 求解一元二次方程、线性 方程组等。

0,
......
......
有理数集合
无理数集合
能在数轴上找到表示 2 的点吗？
数轴上的点与实数是一一对应的. 平面直角坐标系中的点与有序实数 对是一一对应的.
15.实数与有理数
1.有理数和无理数的区别: 不同之处在于"无限不循环小数"与"无限循环小数"的差 别，前者不能化为分数，而后者能化为分数·
的结果是(
B)
A 0 A a≤3
B -1 B a<3
C
1
D
½
A)
【例5】若|a-3|=3-a, 则a的取值范围是(
C a≥3
D a>3
7、有关实数的非负性
a 0
2
a 0
a 0 (a 0)
(1)任何非负数的和仍是非负数；
(2)若几个非负数的和是0，那么这几个非负数均为0.
wenku.baidu.com
)2 0 ， 【例1】若 a 3 b 2 (m 21
【例9】a、b互为相反数，c与d互为倒数， 则a+1+b+cd= 2 . 【例10】
2 3 3 2 的绝对值为__________.
2
【例11】找规律，并用公式表示出来.
1 3 1 2
2 4 1 3
2

实数ppt课件
contents
目录
• 实数的基本概念 • 实数的运算规则 • 实数的四则运算 • 实数的应用举例 • 实数与有理数、无理数的关系 • 实数与其他数学概念的联系与区别
01
实数的基本概念
实数的定义与性质
实数的定义
实数包括有理数和无理数，是有理数与无理数的总称 。有理数可以表示为两个整数的比值，而无理数则不 能用有限的或无限循环的小数表示。
规则
实数的减法运算可以通过加法运算进行转化，即a-b=a+(-b)。
例子
5-3=2，(-1)-(-2)=1。
实数的乘法运算
定义
实数的乘法运算是指将两个或多个实数相乘得到一个实数的运算 。
规则
实数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律，即ab=ba和 (a+b)c=ac+bc。
例子
2×3=6，(-1)×(-2)=2。
实数的分类与表示方法
实数的分类
实数可以分为有理数和无理数两大类。有理数包括整 数和分数，而无理数则不能用有限的或无限循环的小 数表示，如π、√2等。
实数的表示方法
实数可以用小数、百分数、分数、算数、几何、概率等 多种方法表示。小数表示法是最常用的表示方法之一， 如1.23、3.14等。百分数表示法是将小数乘以100，如 12.34%等。分数表示法是将小数写成分数的形式，如 1/2、2/3等。算数表示法是用加减乘除等运算符号连 接多个数字来表示一个实数，如3+4.5、5*6等。几何 表示法是用长度、面积、体积等几何量来表示一个实数 ，如圆的半径、正方形的边长等。概率表示法是用概率 分布来表示一个实数，如掷一枚硬币正面朝上的概率为 1/2等。

生物计算：在生物学中，实数被用于计算细胞生 长速率、药物浓度对细胞生长的影响等。例如， 在研究肿瘤生长时，需要使用实数来计算肿瘤体 积的增长率。
工程设计
在工程设计中，实数也扮演 着重要的角色。以下是几个 方面的例子
机械设计：在机械设计中， 实数被用于计算扭矩、应力 、应变等力学量。例如，在 设计桥梁时，需要使用实数 来计算各个截面的应力分布 情况。
原点
数轴上的零点，表示0。
正半轴
数轴上右边的点表示正实数。
负半轴
数轴上左边的点表示负实数。
实数在数轴上的表示
实数
在数轴上有唯一确定的点与之对 应。
相反数
在数轴上与原点对称的点表示相反 数。
绝对值
在数轴上到原点的距离表示绝对值 。
数轴上的点与实数的关系
点与实数一一对应
数轴上的每一个点都表示一个唯一的实数。
05
1. 正整数指数：当指数 为正整数时，幂运算的 结果是原始数的重复次 数。例如，a^n表示n个 a相乘。
2. 负整数指数：当指数 为负整数时，幂运算的 结果是原始数的倒数。 例如，a^(-n)=1/a^n。
3. 分数指数：当指数为 分数时，幂运算的结果 是原始数的该分数的次 方根。例如， a^(m/n)=√(a^m)。
02
统计分析：在统计分析中， 实数被用于计算平均值、标 准差、相关系数等统计量。 例如，在研究一个产品的销 售情况时，需要使用实数来 分析销售数据的变化趋势。

详细描述
在化学、物理和工程领域中，温度、热量和能量的测 量是必不可少的。实数可以用来表示这些测量结果， 并且能够进行精确的计算和分析。例如，在计算物体 的温度时，实数可以用来表示温度值；在计算物体所 吸收或释放的热量时，实数可以用来表示热量值；在 计算物体所具有的能量时，实数可以用来表示能量值 。
05
乘法运算
总结词
乘法运算在实数范围内具有封闭性， 即任何两个实数相乘，其结果仍为实 数。
详细描述
实数的乘法运算遵循交换律和结合律 ，即ab=ba，(ab)c=a(bc)。
总结词
正数与负数相乘得负数，负数与负数 相乘得正数。
详细描述
正数乘以正数得正数，如2*3=6；正 数乘以负数得负数，如2*(-3)=-6； 负数乘以负数得正数，如(-2)*(3)=6。
配律。
无穷大和无穷小
无穷大的定义
在某个过程中，一个变量逐渐增大并超过所有有限的数值，称为 无穷大。
无穷小的定义
在某个过程中，一个变量逐渐减小并趋近于零，称为无穷小。
无穷大和无穷小的性质
无穷大和无穷小是数学中的重要概念，它们在极限、导数和积分等 领域有着广泛的应用。
无理数的性质和证明
无理数的定义
无法表示为两个整数之比的实数称为无理数。常见的无理 数有π和√2等。
CATALOGUE
实数的扩展知识

解：原式＝5 2； (2)3 3－|－3 3|. 解：原式＝3 3－3 3＝0.
第16课时 实数(2)
第16课时 实数(2)
第16课时 实数(2)
变式 1 计算： 第16课时 实数(2)
第16课时 实数(2)
第16课时 实数(2)
第16课时 实数(2)
第16课时 实数(2)
第16课时 实数(2)
3 第16课时 实数(2)
实数(2) 实数(2)
（－2）2－
14；
第16课时 实数(2)
第16课时 实解数(2)：原式＝2＋2－12＝72；
(3) 25＋| 2－ 3|－( 3－ 2)； 解：原式＝5＋( 3－ 2)－( 3－ 2)＝5； (4)( 3)2－| 3－2|＋3( 3－2)－4 3. 解：原式＝3－2＋ 3＋3 3－6－4 3＝－5.
A．a＋b>0 C．ab>0
B．a－b>0 D．ab>0
5．计算：3 －8＋ 16＝___2_____．
第16课时 实数(2)
6．计算： 第16课时 实数(2)
第16课时 实数(2)
第16课时 实数(2)
第16课时 实数(2)
(1)2 第16课时 实数(2)
第16课时 实数(2)
3＋3
2－5
3－3
变式 2 计算： (1) （－2）2－| 2－1|＋3( 2－1)； 解：原式＝2－ 2＋1＋3 2－3＝2 2； (2)( 6)2＋|1－ 2|－3 －8－(10－ 2)． 解：原式＝6＋ 2－1－(－2) －10＋ 2＝2 2－3.

实数
实数的运算
有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用.
实数与数轴
实数和数轴上的点是一一对应的.
第二章 实数
2.6 实数
- .
学习目标
✓ 了解实数的概念和意义，能按要求对
实数进行分类；
✓ 了解有理数的运算规律在实数范围内
仍然适用.
知识回顾
1.什么是有理数？有理数怎么分类？
整数
有理数
正有理数
有理数
分数
0
负有理数
2.什么是无理数？带根号的数都是无理数吗？
无理数是无限不循环小数.
带根号的数不一定是无理数，如 4.
些运算律？
加法、减法、乘法、除法、乘方.
加法交换律、加法结合律；
乘法交换律、乘法结合律、
乘法对加法的分配律.
探究新知
（2）判断下列各式成立吗？若成立，满足什么运算律？
2× 5= 5× 2， 成立，乘法交换律
1
1
3× 5× = 3×（ 5× ）= 3， 成立，乘法结合律
5
5
4 2+7 2=（4+7） 2=11 2.
B
它介于哪两个整数之间？
1
-2
-1
O
1
A
因为OB= 12 12 = 2 ， 所以OA= 2 .
点A对应的数是 2 ，位于1和2之间.

实数在实际生活中的应用
在物理学中的应用
描述物体运动轨迹
在物理学中，实数被广泛应用于描述物体的运动轨迹，如速度、 加速度和位移等。
计算物理量
物理量如力、能量、动量等都可以用实数表示，通过实数的运算可 以得出物理规律和公式。
电磁波的频率和振幅
在电磁波的描述中，频率和振幅都是实数，它们决定了电磁波的性 质和传播特性。
乘法运算
总结词
乘法运算的基本性质
详细描述
实数的乘法运算满足交换律、结合律 和分配律，即ab=ba，(ab)c=a(bc) 和a(b+c)=ab+ac。乘法运算还有一 些特殊性质，如0乘以任何数等于0， 1乘以任何数等于该数本身等。
除法运算
总结词
除法是乘法的逆运算
详细描述
实数的除法可以通过乘法来实现，即 a÷b=a×(1/b)。除法运算也有一些特 殊性质，如a÷b=c，则a=b×c；若 a÷b=1，则a=b；若a÷b=0，则a=0 等。
有理数
每一个有理数都可以找到一个唯一 的点与之对应。
无理数
无理数在数轴上无法找到一个唯一 的点与之对应，但是可以用有理数 无限逼近来表示。
数轴的性质
方向性
数轴有正方向和负方向，表示正 数和负数。
连续性
数轴上的点是连续的，没有间断 。
有序性
数轴上的点是有序的，可以比较 大小。

任何一个有理数对在坐 标戏中都可以用唯一的 一个点来表示
y
6
5
B（-3，3）
4
3
2
1
A（2，3）
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 O
-1
-2
-3
C（-3，-4）
-4
-5
-6
12345
x
D（3，-3）
那么像有序实数对（ 2,1） （ 3，1）（0，- 5）你能用坐标系中的
点来表示吗？ 并在坐标系中找出他们的位置
解：
由图可知，顶点A，C的坐标 分标为（0,0）（-2,0）.
过点B作BD⊥x轴，垂足是D，由△ABC是等边 三角形可知，点D是边CO的中点，所以DO=1.
2
3
1
D
在Rt△BDA中，∠ODB=90°，OB的长为2，由勾股定理 DB OB2 OD2 22 12 3
所以点B的坐标为（-1， 3 ）.
1. 已知在直角坐标系中，有一个点P，位于第二象限，它
到x轴的距离是3，到y轴的距离是 5 ， 则这个点的坐 标是 ( 5,3) .
2. 2 4.556 .(精确到0.001)
3.如图，菱形ABCD的边长是2， 坐标系原点O为 AD的中点，分 别求出A,B,C,D的坐标。
3.如图，菱形ABCD的边长是2， 坐标系原点O为 AD的中点，分 别求出A,B,C,D的坐标。