U A
B
图1
图2
2013～2014
学年度 高三第二次联考 理 科 数 学
命题人: 宝安中学 胡士军 南海中学 钱耀周
★祝同学们考试顺利★
本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：
1.答卷前,考生务必填写好答题卷上的有关项目.
2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卷的相应位置上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回.
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集U =R ,集合{}
09,A x x x =<<∈R 和{}
44,B x x x =-<<∈Z 关系的韦恩图如图1所示,则阴影部分所示集合中的元素共有( ) A ．3个 B ．4个
C ．5个
D ．无穷多个
2. 若复数()
()2
321i a a a -++-是纯虚数,则实数a 的值为( )
A ．2
B ．1
C ．2-
D ．1或2
3. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且24S =,420S =,则该数列的公差d =( )
A ．2
B ．3
C ．6
D ．7 4. 已知抛物线22y px =(0p >)的准线与圆22(3)16x y -+=相切,则p 的值为( )
A ．
1
2
B ．1
C ．2
D ．4 5. 如图2,矩形长为6,宽为4,在矩形内随机地撒300颗黄豆,数得落 在椭圆外．的黄豆数为96颗,以此实验数据为依据可以估计出椭圆的 面积约为( )
A ．16.32 B. 15.32 C ．8.68 D. 7.68
6. 已知平面α、β和直线m ,给出条件:①//m α；②m α⊥；③m α⊂；④αβ⊥；⑤//αβ.能推导出//m β的是( )
A ．①④
B ．①⑤
C ．②⑤
D ．③⑤
宝安中学 潮阳一中 桂城中学
南海中学 普宁二中 中山一中 仲元中学
2 3
1 正视图
侧视图
图3
图
4
7. 若变量,x y 满足约束条件02143y x y x y ≤⎧⎪
-≥⎨⎪-≤⎩
,则35z x y =+的取值范围是( )
A ．(],9-∞
B ．[)3,+∞
C ．[]8,9-
D ．[]8,3-
8. 对任意实数,x y ,定义运算x y ax by cxy ⊗=++,其中,,a b c 是常数,等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.已知123⊗=,234⊗=,并且有一个非零常数m ,使得x ∀∈R ,都有x m x ⊗=,则34⊗的值是( ) A. 4- B. 4 C. 3- D. 3
二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分） (一)必做题(9～13题)
9. 一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图3所示(均为直角三角形),则 该三棱锥的俯视图的面积为 .
10.
二项式5
的展开式中常数项为_______.
11．不等式215x x ++-≤的解集为___________．
12. 已知函数()cos ,0
1,
0x x f x x ≥⎧=⎨<⎩,则()22d f x x π-⎰的值等于 .
13. 已知ABC ∆的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,,
且120c b B =
==︒,则ABC ∆的面积等于
________.
（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）
14.(坐标系与参数方程选做题)
若直线πsin 4ρθ⎛
⎫+
= ⎪⎝
⎭与直线31x ky +=垂直,则常数k = ． 15.(几何证明选讲选做题)如图4,在ABC ∆中,//DE BC ,//EF CD , 若3BC =,2DE =,1DF =,则AB 的长为________．
三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．(本题满分12分)
图5
P
A
B
C
D
E
F
设函数⎪⎭
⎫
⎝⎛π-+=2sin sin )(x x x f ωω,R ∈x ． (Ⅰ) 若21
＝
ω,求)(x f 的最大值及相应的x 的取值集合； （Ⅱ）若8
π
=x 是)(x f 的一个零点,且100<<ω,求ω的值和)(x f 的最小正周期.
17．(本题满分12分)
某班有甲、乙两个学习小组,两组的人数如下:
现采用分层抽样的方法(层内采用简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名同学进行学业检测. （Ⅰ）求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率；
（Ⅱ）记X 为抽取的3名同学中男同学的人数,求随机变量X 的分布列和数学期望.
18.(本题满分14分)
如图5,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,且
2
PA PD AD ==
,E 、F 分别为PC 、BD 的中点. (Ⅰ) 求证://EF 平面PAD ； (Ⅱ) 求证:面PAB ⊥平面PDC ；
(Ⅲ) 在线段AB 上是否存在点G ,使得二面角C PD G --的余弦值为
1
3
?说明理由.
19.(本题满分14分)
已知n S 为数列{}n a 的前n 项和,且有111,1n n a S a +=+=(*
n ∈N ).
(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项n a ；
