【核按钮】2015高考新课标数学(理)课时作业：11.5 古典概型]

2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标1）一．选择题（共12小题）1．【2015新课标1】设复数z满足=i，则|z|=（）A．1B．C．D．2考点：复数求模．专题：计算题；数系的扩充和复数．分析：先化简复数，再求模即可．解答：解：∵复数z满足=i，∴z==i，∴|z|=1，故选：A．点评：本题考查复数的运算，考查学生的计算能力，比较基础．2．【2015新课标1】sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可．解答：解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=．故选：D．点评：本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查．3．【2015新课标1】设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．解答：解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4．【2015新课标1】投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312考点： n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．专题：概率与统计．分析：判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．解答：解：由题意可知：同学3次测试满足X∽B（3，0.6），该同学通过测试的概率为=0.648．故选：A．点评：本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查．5．【2015新课标1】已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定y0的取值范围．解答：解：由题意，=（﹣x0，﹣y0）•（﹣﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．点评：本题考查向量的数量积公式，考查双曲线方程，考查学生的计算能力，比较基础．6．【2015新课标1】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学明著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．解答：解：设圆锥的底面半径为r，则×2×3r=8，解得r=，故米堆的体积为××3×（）2×5=，∵1斛米的体积约为1.62立方，∴÷1.62≈22，故选：B．点评：本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础．7．【2015新课标1】设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．考点：平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：将向量利用向量的三角形法则首先表示为，然后结合已知表示为的形式．解答：解：由已知得到如图由===；故选：A．点评：本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量表示为．8．【2015新课标1】函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ﹣，kπ+，），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈zC．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z考点：余弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：由周期求出ω，由五点法作图求出φ，可得f（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得f（x）的减区间．解答：解：由函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为=2（﹣）=2，∴ω=π，f （x）=cos（πx+ϕ）．再根据函数的图象以及五点法作图，可得+ϕ=，k∈z，即ϕ=，f（x）=cos（πx+）．由2kπ≤πx+≤2kπ+π，求得2k﹣≤x≤2k+，故f（x）的单调递减区间为（，2k+），k∈z，故选：D．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题．9．【2015新课标1】执行如图的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5B．6C．7D．8考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由题意可得，算法的功能是求S=1﹣﹣≤t 时n的最小值，由此可得结论．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=1﹣﹣≤t 时n的最小值，再根据t=0.01，可得当n=6时，S=1﹣﹣=＞0.01，而当n=7时，S=1﹣﹣=≤0.01，故输出的n值为7，故选：C．点评：本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基础题．10．【2015新课标1】（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（）A．10 B．20 C．30 D．60考点：二项式定理的应用．专题：计算题；二项式定理．分析：利用展开式的通项，即可得出结论．解答：解：（x2+x+y）5的展开式的通项为T r+1=，令r=2，则（x2+x）3的通项为=，令6﹣k=5，则k=1，∴（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为=30．故选：C．点评：本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，确定通项是关键．11．【2015新课标1】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）A．1B．2C．4D．8考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可．解答：解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为：×4πr2+×πr22r×2πr+2r×2r+×πr2=5πr2+4r2，又∵该几何体的表面积为16+20π，∴5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，故选：B．点评：本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题．12．【2015新课标1】设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点．专题：创新题型；导数的综合应用．分析：设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，问题转化为存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解关于a的不等式组可得．解答：解：设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，∵g′（x）=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，当x＞﹣时，g′（x）＞0，∴当x=﹣时，g（x）取最小值﹣2，当x=0时，g（0）=﹣1，当x=1时，g（1）=e＞0，直线y=ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，故﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得≤a＜1故选：D点评：本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．二．填空题（共4小题）13．【2015新课标1】若函数f（x）=xln（x+）为偶函数．则a=1．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意可得，f（﹣x）=f（x），代入根据对数的运算性质即可求解解答：解：∵f（x）=xln（x+）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴（﹣x）ln（﹣x+）=xln（x+），∴﹣ln（﹣x+）=ln（x+），∴ln（﹣x+）+ln（x+）=0，∴，∴lna=0，∴a=1．故答案为：1．点评：本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．14．【2015新课标1】一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为（x﹣）2+y2=．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程．解答：解：一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．可知椭圆的右顶点坐标（4，0），上下顶点坐标（0，±2），设圆的圆心（a，0），则，解得a=，圆的半径为：，所求圆的方程为：（x﹣）2+y2=．故答案为：（x﹣）2+y2=．点评：本题考查椭圆的简单性质的应用，圆的方程的求法，考查计算能力．15．【2015新课标1】若x，y满足约束条件．则的最大值为3．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得，即A（1，3），则k OA==3，即的最大值为3．故答案为：3．点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及直线的斜率，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．16．【2015新课标1】在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是（﹣，+）．考点：三角形中的几何计算．专题：综合题；创新题型；解三角形．分析：如图所示，延长BA，CD交于点E，设AD=x，AE=x，DE=x，CD=m，求出x+m=+，即可求出AB的取值范围．解答：解：如图所示，延长BA，CD交于点E，则在△ADE中，∠DAE=105°，∠ADE=45°，∠E=30°，∴设AD=x，AE=x，DE=x，CD=m，∵BC=2，∴（x+m）sin15°=1，∴x+m=+，∴0＜x＜4，而AB=x+m﹣x=+﹣x，∴AB的取值范围是（﹣，+）．故答案为：（﹣，+）．点评：本题考查求AB的取值范围，考查三角形中的几何计算，考查学生的计算能力，属于中档题．三．解答题（共8小题）17．【2015新课标1】S n为数列{a n}的前n项和，己知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3（I）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{a n}的通项公式：（Ⅱ）求出b n=，利用裂项法即可求数列{b n}的前n项和．解答：解：（I）由a n2+2a n=4S n+3，可知a n+12+2a n+1=4S n+1+3两式相减得a n+12﹣a n2+2（a n+1﹣a n）=4a n+1，即2（a n+1+a n）=a n+12﹣a n2=（a n+1+a n）（a n+1﹣a n），∵a n＞0，∴a n+1﹣a n=2，∵a12+2a1=4a1+3，∴a1=﹣1（舍）或a1=3，则{a n}是首项为3，公差d=2的等差数列，∴{a n}的通项公式a n=3+2（n﹣1）=2n+1：（Ⅱ）∵a n=2n+1，∴b n===（﹣），∴数列{b n}的前n项和T n=（﹣+…+﹣）=（﹣）=．点评：本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．18．【2015新课标1】如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面ABCD，BE=2DF，AE丄EC．（Ⅰ）证明：平面AEC丄平面AFC（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．考点：异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG、EF、FG，运用线面垂直的判定定理得到EG⊥平面AFC，再由面面垂直的判定定理，即可得到；（Ⅱ）以G为坐标原点，分别以GB，GC为x轴，y轴，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G ﹣xyz，求得A，E，F，C的坐标，运用向量的数量积的定义，计算即可得到所求角的余弦值．解答：解：（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG、EF、FG，在菱形ABCD中，不妨设BG=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=，BE⊥平面ABCD，AB=BC=2，可知AE=EC，又AE⊥EC，所以EG=，且EG⊥AC，在直角△EBG中，可得BE=，故DF=，在直角三角形FDG中，可得FG=，在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，FD=，可得EF=，从而EG2+FG2=EF2，则EG⊥FG，AC∩FG=G，可得EG⊥平面AFC，由EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC；（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC为x轴，y轴，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G﹣xyz，由（Ⅰ）可得A（0，﹣，0），E（1，0，），F（﹣1，0，），C（0，，0），即有=（1，，），=（﹣1，﹣，），故cos＜，＞===﹣．则有直线AE与直线CF所成角的余弦值为．点评：本题考查空间直线和平面的位置关系和空间角的求法，主要考查面面垂直的判定定理和异面直线所成的角的求法：向量法，考查运算能力，属于中档题．19．【2015新课标1】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i和年销售量y i（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（x i﹣）2（w i﹣）2（x i﹣）（y i﹣）（w i﹣）（y i﹣）46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中w i=1，=（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（u n v n），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据散点图，即可判断出，（Ⅱ）先建立中间量w=，建立y关于w的线性回归方程，根据公式求出w，问题得以解决；（Ⅲ）（i）年宣传费x=49时，代入到回归方程，计算即可，（ii）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．解答：解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；（Ⅱ）令w=，先建立y关于w的线性回归方程，由于==68，=﹣=563﹣68×6.8=100.6，所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w，因此y关于x的回归方程为=100.6+68，（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y的预报值=100.6+68=576.6，年利润z的预报值=576.6×0.2﹣49=66.32，（ii）根据（Ⅱ）的结果可知，年利润z的预报值=0.2（100.6+68）﹣x=﹣x+13.6+20.12，当==6.8时，年利润的预报值最大．点评：本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题．20．【2015新课标1】在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：创新题型；导数的综合应用．分析：（I）联立，可得交点M，N的坐标，由曲线C：y=，利用导数的运算法则可得：y′=，利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程．（II）存在符合条件的点（0，﹣a），设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2．直线方程与抛物线方程联立化为x2﹣4kx﹣4a=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式可得k1+k2=﹣．k1+k2=0⇔直线PM，PN的倾斜角互补⇔∠OPM=∠OPN．即可证明．解答：解：（I）联立，不妨取M，N，由曲线C：y=可得：y′=，∴曲线C在M点处的切线斜率为=，其切线方程为：y﹣a=，化为．同理可得曲线C在点N处的切线方程为：．（II）存在符合条件的点（0，﹣a），下面给出证明：设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2．联立，化为x2﹣4kx﹣4a=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4a．∴k1+k2=+==﹣．当b=﹣a时，k1+k2=0，直线PM，PN的倾斜角互补，∴∠OPM=∠OPN．∴点P（0，﹣a）符合条件．点评：本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．【2015新课标1】已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）用min {m，n }表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min { f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：创新题型；导数的综合应用．分析：（i）f′（x）=3x2+a．设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x0，0），则f（x0）=0，f′（x0）=0解出即可．（ii）对x分类讨论：当x∈（1，+∞）时，g（x）=﹣lnx＜0，可得函数h（x）=min { f（x），g（x）}≤g（x）＜0，即可得出零点的个数．当x=1时，对a分类讨论：a≥﹣，a＜﹣，即可得出零点的个数；当x∈（0，1）时，g（x）=﹣lnx＞0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可．对a分类讨论：①当a≤﹣3或a≥0时，②当﹣3＜a＜0时，利用导数研究其单调性极值即可得出．解答：解：（i）f′（x）=3x2+a．设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x0，0），则f（x0）=0，f′（x0）=0，∴，解得，a=．因此当a=﹣时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）当x∈（1，+∞）时，g（x）=﹣lnx＜0，∴函数h（x）=min { f（x），g（x）}≤g（x）＜0，故h（x）在x∈（1，+∞）时无零点．当x=1时，若a≥﹣，则f（1）=a+≥0，∴h（x）=min { f（1），g（1）}=g（1）=0，故x=1是函数h（x）的一个零点；若a＜﹣，则f（1）=a+＜0，∴h（x）=min { f（1），g（1）}=f（1）＜0，故x=1不是函数h（x）的零点；当x∈（0，1）时，g（x）=﹣lnx＞0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可．①当a≤﹣3或a≥0时，f′（x）=3x2+a在（0，1）内无零点，因此f（x）在区间（0，1）内单调，而f（0）=，f（1）=a+，∴当a≤﹣3时，函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点，当a≥0时，函数f（x）在区间（0，1）内没有零点．②当﹣3＜a＜0时，函数f（x）在内单调递减，在内单调递增，故当x=时，f（x）取得最小值=．若＞0，即，则f（x）在（0，1）内无零点．若=0，即a=﹣，则f（x）在（0，1）内有唯一零点．若＜0，即，由f（0）=，f（1）=a+，∴当时，f（x）在（0，1）内有两个零点．当﹣3＜a时，f（x）在（0，1）内有一个零点．综上可得：当或a＜时，h（x）有一个零点；当a=或时，h（x）有两个零点；当时，函数h（x）有三个零点．点评：本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．22．【2015新课标1】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．考点：圆的切线的判定定理的证明．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切线；（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由射影定理可得关于x的方程x2=，解方程可得x值，可得所求角度．解答：解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，连接OE，则∠OBE=∠OEB，又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由已知得AB=2，BE=，由射影定理可得AE2=CE•BE，∴x2=，即x4+x2﹣12=0，解方程可得x=∴∠ACB=60°点评：本题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识，属基础题．23．【2015新课标1】在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C1，C2的极坐标方程．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积•C2M•C2N的值．解答：解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的极坐标方程为ρcosθ=﹣2，故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，求得ρ1=2，ρ2=，∴|MN|=ρ1﹣ρ2=，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，△C2MN的面积为•C2M•C2N=．点评：本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．24．【2015新课标1】已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）当a=1时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数f（x）的解析式，求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；再根据f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，从而求得a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1，即①，或②，或③．解①求得x∈∅，解②求得＜x＜1，解③求得1≤x＜2．综上可得，原不等式的解集为（，2）．（Ⅱ）函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|=，由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （，0），B（2a+1，0），故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），由△ABC的面积大于6，可得[2a+1﹣]•（a+1）＞6，求得a＞2．故要求的a的范围为（2，+∞）．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标1）一．选择题（共12小题）1．【2015新课标1】设复数z满足=i，则|z|=（）A．1B．C．D．22．【2015新课标1】sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（）A．B．C．D．3．【2015新课标1】设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 4．【2015新课标1】投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.3125．【2015新课标1】已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C．D．6．【2015新课标1】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学明著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛7．【2015新课标1】设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．8．【2015新课标1】函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ﹣，kπ+，），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈zC．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z9．【2015新课标1】执行如图的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5B．6C．7D．810．【2015新课标1】（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（）A．10 B．20C．30 D．6011．【2015新课标1】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）A．1B．2C．4D．812．【2015新课标1】设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）二．填空题（共4小题）13．【2015新课标1】若函数f（x）=xln（x+）为偶函数．则a=．14．【2015新课标1】一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为．15．【2015新课标1】若x，y满足约束条件．则的最大值为．16．【2015新课标1】在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是．三．解答题（共8小题）17．【2015新课标1】S n为数列{a n}的前n项和，己知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3（I）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和．18．【2015新课标1】如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE 丄平面ABCD，DF丄平面ABCD，BE=2DF，AE丄EC．（Ⅰ）证明：平面AEC丄平面AFC（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．19．【2015新课标1】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i和年销售量y i（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（x i﹣）2（w i﹣）2（x i﹣）（y i﹣）（w i﹣）（y i﹣）46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中w i=1，=（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（u n v n），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．20．【2015新课标1】在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）21．【2015新课标1】已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）用min {m，n }表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min { f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．选做题22．【2015新课标1】（2015春•从化市校级期末）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O 于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．23．【2015新课标1】在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．24．【2015新课标1】已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．。

第三章 导 数§3.1 导数的概念及运算1.导数的概念(1)通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.(2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义. 2.导数的运算(1)能根据导数定义，求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3的导数.(2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数.导数的几何意义是高考考查的重点内容之一，常以选择、填空的形式出现，有时也出现在解答题中.导数的运算基本上每年都考，一般不单独设题，大都是在考查导数应用的同时考查.1.导数的概念 (1)定义如果函数y ＝f (x )的自变量x 在x 0处有增量Δx ，那么函数y 相应地有增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，比值ΔyΔx 就叫函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，即ΔyΔx＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .如果当Δx →0时，ΔyΔx有极限，我们就说函数y ＝f (x )在点x 0处 ，并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数，记作 或y ′0|x x =，即f ′(x 0)＝0lim →∆xΔyΔx ＝0lim →∆x f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx. (2)导函数当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数).y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝0lim →∆x f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx .(3)求函数y ＝f (x )在点x 0处导数的方法①求函数的增量Δy ＝ ；②求平均变化率ΔyΔx ＝ ；③取极限，得导数f ′(x 0)＝0lim →∆xΔy Δx. 2.导数的意义 (1)几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率.也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是 .相应的切线方程为 .(2)物理意义函数S ＝s (t )在点t 0处的导数s ′(t 0), 就是当物体的运动方程为S ＝s (t )时，物体运动在t 0时刻的瞬时速度v ，即 .设v ＝v (t )是速度函数，则v ′(t 0)表示物体在t ＝t 0时刻的 .3.基本初等函数的导数公式(1)c ′＝ (c 为常数)， (x α) ′＝ (α∈Q *)； (2)(sin x ) ′＝______________， (cos x ) ′＝ ； (3)(ln x ) ′＝ ， (log a x ) ′＝ ；(4)(e x ) ′＝ ，(a x ) ′＝ . 4.导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )] ′＝ . (2)[f (x )g (x )] ′＝ ；当g (x )＝c (c 为常数)时，即[cf (x )] ′＝ . (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ） ′＝ (g (x )≠0). 5.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为 .即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.【自查自纠】 1.(1)可导 f ′(x 0)(3)①f (x 0＋Δx )－f (x 0) ②f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx2.(1)f ′(x 0) y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0) (2)v ＝s ′(t 0) 加速度3.(1)0 αx α－1 (2)cos x －sin x (3)1x 1x ln a(4)e x a x ln a4.(1)f ′(x )±g ′(x ) (2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) cf ′(x ) (3)f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]25.y x ′＝y ′u ·u ′x函数f (x )＝1的导函数是( )A ．y ＝0B ．y ＝1C ．不存在D ．不确定 解：常数函数的导函数是y ＝f ′(x )＝0.故选A.函数f (x )＝a 3＋5a 2x 2的导数f ′(x )＝( ) A ．3a 2＋10ax 2 B ．3a 2＋10ax 2＋10a 2x C ．10a 2x D ．以上都不对 解：f ′(x )＝10a 2x .故选C.曲线y ＝e x 在点A (0，1)处的切线斜率为( )A ．1B ．2C ．e D.1e解：y ′＝e x ，y ′|x ＝0＝1，故选A.(2012·广东)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1，3)处的切线方程为 .解：y ′＝3x 2－1，当x ＝1时，y ′＝2，此时切线斜率k ＝2，故切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.故填2x －y ＋1＝0.物体的运动方程是s ＝－13t 3＋2t 2－5，则物体在t ＝3时的瞬时速度为 .解：v (t )＝s ′(t )＝－t 2＋4t ，t ＝3时，v ＝3， 故填3.类型一 导数的概念设f (x )为可导函数，当x 趋近于0时，f （1）－f （1－2x ）2x趋近于－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2解：f （1）－f （1－2x ）2x ＝f （1－2x ）－f （1）－2x ，当x 趋近于0时，－2x 也趋近于0，∴y ′|x ＝1＝－1，所以y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为－1.故选B. 【评析】本题利用导数定义求导数，将“表达式”变形为导数的“定义式”的标准形式是关键，这里要找准增量Δx ＝－2x .“y ′|x ＝1”是指曲线在x ＝1处的切线斜率．已知f ′(0)＝2，则h 趋近于0时，f （3h ）－f （0）h趋近于 .解：f （3h ）－f （0）h ＝3[f （0＋3h ）－f （0）]3h当h 趋近于0时，3h 也趋近于0.∴f （3h ）－f （0）h趋近于3f ′(0)＝6.故填6.类型二 导数的几何意义已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求满足斜率为1的曲线的切线方程； (2)求曲线在点P (2，4)处的切线方程； (3)求曲线过点P (2，4)的切线方程.解：(1)设切点为(x 0，y 0)，故切线的斜率为k ＝x 20＝1，解得x 0＝±1，故切点为⎝⎛⎭⎫1，53，(－1，1)． 故所求切线方程为y －53＝x －1和y －1＝x ＋1，即3x －3y ＋2＝0和x －y ＋2＝0.(2)∵y ′＝x 2，且P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，∴在点P (2，4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(3)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，又∵切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20， ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43. ∵点P (2，4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为 4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. 【评析】曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简．。

第八章立体几何§8.1空间几何体的结构，三视图和直观图1．认识柱，锥，台，球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．能画出简单空间图形(长方体，球，圆柱，圆锥，棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．3．会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．高考主要考查空间几何体的结构和视图，柱，锥，台，球的定义与性质是基础，以它们为载体考查线线，线面，面面的关系是重点，三视图一般会在选择题，填空题中考查，以给出空间图形选择其三视图或给出三视图判断其空间图形的形式出现，考查空间想象能力．1．棱柱，棱锥，棱台的概念(1)棱柱：有两个面互相______，其余各面都是________，并且每相邻两个四边形的公共边都互相________，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．※注：棱柱又分为斜棱柱和直棱柱．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．(2)棱锥：有一个面是________，其余各面都是有一个公共顶点的__________，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．※注：如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．(3)棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，叫做棱台．※注：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．※2.棱柱，棱锥，棱台的性质(1)棱柱的性质侧棱都相等，侧面是______________；两个底面与平行于底面的截面是__________的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是______________；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面，对角面都是________．(2)正棱锥的性质侧棱相等，侧面是全等的__________；棱锥的高，斜高和斜高在底面上的射影构成一个____________；棱锥的高，侧棱和侧棱在底面上的射影也构成一个____________；侧面的斜高，侧棱及底面边长的一半也构成一个____________；侧棱在底面上的射影，斜高在底面上的射影及底面边长的一半也构成一个____________．(3)正棱台的性质侧面是全等的____________；斜高相等；棱台的高，斜高和两底面的边心距组成一个____________；棱台的高，侧棱和两底面外接圆的半径组成一个____________；棱台的斜高，侧棱和两底面边长的一半也组成一个____________．3．圆柱，圆锥，圆台(1)圆柱，圆锥，圆台的概念分别以________的一边，__________的一直角边，________中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱，圆锥，圆台．(2)圆柱，圆锥，圆台的性质圆柱，圆锥，圆台的轴截面分别是________，___________，___________；平行于底面的截面都是__________．4．球(1)球面与球的概念以半圆的______所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的________．(2)球的截面性质球心和截面圆心的连线________截面；球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为______________．5．平行投影在一束平行光线照射下形成的投影，叫做__________．平行投影的投影线互相__________．6．空间几何体的三视图，直观图(1)三视图①空间几何体的三视图是用正投影得到的，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的．三视图包括__________，__________，__________．②三视图尺寸关系口诀：“长对正，高平齐，宽相等．” 长对正指正视图和俯视图长度相等，高平齐指正视图和侧(左)视图高度要对齐，宽相等指俯视图和侧(左)视图的宽度要相等．(2)直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：①在已知图形所在空间中取水平面，在水平面内作互相垂直的轴Ox ，Oy ，再作Oz 轴，使∠xOz ＝________且∠yOz ＝________．②画直观图时，把Ox ，Oy ，Oz 画成对应的轴O ′x ′，O ′y ′，O ′z ′，使∠x ′O ′y ′＝____________，∠x ′O ′z ′＝____________．x ′O ′y ′所确定的平面表示水平面．③已知图形中，平行于x 轴，y 轴或z 轴的线段，在直观图中分别画成____________x ′轴，y ′轴或z ′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．④已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的__________．⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．注：空间几何体的三视图和直观图在观察角度和投影效果上的区别是：(1)观察角度：三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形，直观图是从某一点观察几何体而画出的图形；(2)投影效果：三视图是在平行投影下画出的平面图形，用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形．【自查自纠】1．(1)平行 四边形 平行 (2)多边形 三角形2．(1)平行四边形 全等 平行四边形 矩形 (2)等腰三角形 直角三角形 直角三角形 直角三角形 直角三角形(3)等腰梯形 直角梯形 直角梯形 直角梯形 3．(1)矩形 直角三角形 直角梯形 (2)矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆4．(1)直径 球心 (2)垂直于 d ＝R 2－r 2 5．平行投影 平行6．(1)①正(主)视图 侧(左)视图 俯视图 (2)①90° 90°②45°(或135°) 90° ③平行于 ④一半下列说法中正确的是( ) A ．棱柱的底面一定是平行四边形B ．棱锥的底面一定是三角形C ．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥D ．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱解：根据棱柱，棱锥的性质及截面性质判断，故选D.以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是( )A ．球的三视图总是三个全等的圆B ．正方体的三视图总是三个全等的正方形C ．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D ．水平放置的圆台的俯视图是一个圆解：几何体的三视图要考虑视角，只有球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆．故选A.(2012·陕西)将正方体(如图a 所示)截去两个三棱锥，得到图b 所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )解：还原正方体知该几何体侧视图为正方形，AD 1为实线，B1C 的正投影为A 1D ，且B 1C 被遮挡为虚线．故选B.用一张4cm×8cm 的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱轴截面的面积为________cm 2(接头忽略不计)．解：以4cm 或8cm为底面周长，所得圆柱的轴截面面积均为32πcm 2，故填32π．已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为________．解：如图所示是实际图形和直观图．由图可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图中作C ′D ′⊥A ′B ′，垂足为D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′×C ′D ′＝12×a×68a ＝616a 2.故填616a 2.类型一 空间几何体的结构特征(2012·湖南)某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是()解：D 选项的正视图应为如图所示的图形． 故选D.【评析】本题主要考查空间想象能力，是近年高考中的热点题型．本题可用排除法一一验证：A ，B ，C 都有可能，而D 的正视图与侧视图不可能相同．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()解：从俯视图看，B ，D 符合，从正视图看，B 不符合，D 符合，而从侧视图看D 也是符合的．故选D.类型二 空间几何体的三视图如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为()A ．6 3B ．93C ．12 3D ．18 3解：由三视图可知该几何体是一个斜四棱柱，高h＝22－1＝3，底面积为9，所以体积V ＝9×3＝9 3.故选B.【评析】通过三视图考查几何体的体积运算是较为常规的考题，考生对此并不陌生．对于空间几何体的考查，从内容上看，柱，锥的定义和相关性质是基础，以它们为载体考查三视图，体积是重点．本题给出了几何体的三视图，只要掌握三视图的画法“长对正，高平齐，宽相等”，不难将其还原得到斜四棱柱．如图所示的三个直角三角形是 一个体积为20cm 3的几何体的三视图，则h ＝________cm.解：由三视图可知，该几何体为三棱锥，此三棱锥的底面为直角三角形，直角边长分别为5cm ，6cm ，三棱锥的高为h cm ，则三棱锥的体积为V＝13×12×5×6×h＝20，解得h ＝4cm.故填4.类型三 空间多面体的直观图如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．解：由三视图知该几何体是一个简单组合体，它的下部是一个正四棱台，上部是一个正四棱锥．画法：(1)画轴．如图1，画x 轴，y 轴，z 轴，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.图1(2)画底面．利用斜二测画法画出底面ABCD ，在z 轴上截取O ′使OO ′等于三视图中相应高度，过O ′作Ox 的平行线O ′x ′，Oy 的平行线O ′y ′，利用O ′x ′与O ′y ′画出底面A ′B ′C ′D ′.(3)画正四棱锥顶点．在Oz 上截取点P ，使PO ′等于三视图中相应的高度．(4)成图．连接P A ′，PB ′，PC ′，PD ′，A ′A ，B ′B ，C ′C ，D ′D ，整理得到三视图表示的几何体的直观图如图2所示．图2【评析】根据三视图可以确定一个几何体的长，宽，高，再按照斜二测画法，建立x 轴，y 轴，z 轴，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°，确定几何体在x 轴，y 轴，z 轴方向上的长度，最后连线画出直观图．已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为( )A . 2B ．6 2C .13D ．2 2解：因为四棱锥的底面直观图是一个边长为1的正方形，该正方形的对角线长为2，根据斜二测画法的规则，原图底面的底边长为1，高为直观图中正方形的对角线长的两倍，即22，则原图底面积为S ＝2 2.因此该四棱锥的体积为V ＝13Sh ＝13×22×3＝2 2.故选D.类型四 空间旋转体的直观图用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上，下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3cm ，求圆台的母线长．解：设圆台的母线长为l ，截得圆台的上，下底面半径分别为r ，4r .根据相似三角形的性质得， 33＋l ＝r4r ，解得 l ＝9. 所以，圆台的母线长为9cm.【评析】用平行于底面的平面去截柱，锥，台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相似比，设相关几何变量列方程求解．圆锥底面半径为1cm ，高为2cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.解：过圆锥的顶点S 和正方体底面的一条对角线CD 作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF ，正方体对角面CDD 1C 1如图所示. 设正方体棱长为x ，则CC 1＝x ，C 1D 1＝2x .作SO ⊥EF 于O ，则SO ＝2，OE ＝1.∵△ECC 1∽△ESO ，∴CC 1SO ＝EC 1EO ，即x2＝1－22x1， 解得x ＝22(cm)．故内接正方体的棱长为22cm.1．在研究圆柱，圆锥，圆台的相关问题时，主要方法就是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中容易找到这些几何体的有关元素之间的位置关系以及数量关系．2．正多面体(1)正四面体就是棱长都相等的三棱锥，正六面体就是正方体，连接正方体六个面的中心，可得到一个正八面体，正八面体可以看作是由两个棱长都相等的正四棱锥拼接而成．(2)如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，连接A 1B ，BC 1，A 1C 1，DC 1，DA 1，DB ，可以得到一个棱长为2a 的正四面体A 1-BDC 1，其体积为正方体体积的13.(3)正方体与球有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体；二是球与正方体的十二条棱相切；三是球外接于正方体．它们的相应轴截面如图所示(正方体的棱长为a ，球的半径为R )．3．长方体的外接球(1)长，宽，高分别为a ，b ，c 的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即a 2＋b 2＋c 2＝2R .(2)棱长为a 的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即3a ＝2R .4．棱长为a 的正四面体(1)斜高为32a ；(2)高为63a ；(3)对棱中点连线长为22a ； (4)外接球的半径为64a ，内切球的半径为612a ；(5)正四面体的表面积为3a 2，体积为212a 3.5．三视图的正(主)视图，侧(左)视图，俯视图分别是从几何体的正前方，正左方，正上方观察几何体画出的轮廓线，对于能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示．6．一个平面图形在斜二测画法下的直观图与原图形相比发生了变化，注意原图与直观图中的“三变，三不变”．三变：坐标轴的夹角改变，与y 轴平行线段的长度改变(减半)，图形改变．三不变：平行性不变，与x 轴平行的线段长度不变，相对位置不变．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S 直观图＝24S 原图形，S 原图形＝22S 直观图．1．由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体是( )A ．六棱锥B ．六棱台C ．六棱柱D ．非棱柱，棱锥，棱台的一个几何体解：平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体符合棱柱的定义，故选C .2．下列说法中，正确的是( ) A ．棱柱的侧面可以是三角形B ．若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其它侧面也是矩形C ．正方体的所有棱长都相等D ．棱柱的所有棱长都相等解：棱柱的侧面都是平行四边形，选项A 错误；其它侧面可能是平行四边形，选项B 错误；棱柱的侧棱与底面边长并不一定相等，选项D 错误；易知选项C 正确．故选C.3．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括( )A ．一个圆台，两个圆锥B ．两个圆台，一个圆柱C ．两个圆台，一个圆锥D ．一个圆柱，两个圆锥解：把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，由旋转体的定义可知所得几何体包括一个圆柱，两个圆锥．故选D.4．将正三棱柱截去三个角(如图1所示A ，B ，C 分别是△GHI三边的中点)得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( )A B C D解：观察图形，易知图2所示几何体的侧视图为直角梯形，且EB 为直角梯形的对角线．故选A.5．(2013·四川)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()A ．棱柱B ．棱台C ．圆柱D ．圆台 解：由俯视图可知该几何体的上，下两底面为半径不等的圆，又∵正视图和侧视图相同，∴可判断其为旋转体．故选D.6．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为()A ．2 2 B. 2 C ．2 3 D. 3 解：由三视图可知，此多面体是四棱锥，底面是边长为2的正方形，并且有一条长为2的侧棱垂直于底面，所以最长棱长为22＋22＋22＝2 3.故选C.7．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于________．解：由正视图知，三棱柱是底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为2×12×2×2×32＝23，侧面积为3×2×1＝6，所以其表面积为6＋2 3.故填6＋23.8．如图是某个圆锥的三视图，根据图中所标尺寸可得俯视图中圆的面积为________，圆锥母线长为________．解：由三视图可知，圆锥顶点在底面的射影是底面圆的中心，根据图中的数据，底面圆的半径为10，则俯视图中圆的面积为100π，母线长为302＋102 ＝1010，故填100π；1010.9．如图a 是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图．解：图a 中几何体三视图如图b 所示：10．如图1是某几何体的三视图，试说明该几何体的结构特征，并用斜二测画法画出它的直观图．解：图1中几何体是由上部为正六棱柱，下部为倒立的正六棱锥堆砌而成的组合体．斜二测画法：(1)画轴．如图2，画x 轴，y 轴，z 轴，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝∠yOz ＝90°.(2)画底面，利用斜二测画法画出底面ABCDEF ，在z 轴上截取O ′，使OO ′等于正六棱柱的高，过O ′作Ox 的平行线O ′x ′，Oy 的平行线O ′y ′，利用O ′x ′与O ′y ′画出底面A ′B ′C ′D ′E ′F ′.(3)画正六棱锥顶点．在Oz 上截取点P ，使PO ′等于正六棱锥的高．(4)成图．连接P A ′，PB ′，PC ′，PD ′，PE ′，PF ′，AA ′，BB ′，CC ′，DD ′，EE ′，FF ′，整理得到三视图表示的几何体的直观图如图3所示．注意：图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．11．某长方体的一条对角线长为7，在该长方体的正视图中，这条对角线的投影长为6，在该长方体的侧视图与俯视图中，这条对角线的投影长分别为a 和b ，求ab的最大值．解：如图，则有AC 1＝7，DC 1＝6， BC 1＝a ，AC ＝b ，设AB ＝x ，AD ＝y ，AA 1＝z ，有 x 2＋y 2＋z 2＝7，x 2＋z 2＝6，∴y 2＝1.∵a 2＝y 2＋z 2＝z 2＋1，b 2＝x 2＋y 2＝x 2＋1， ∴a ＝z 2＋1，b ＝x 2＋1. ∴ab ＝（z 2＋1）（x 2＋1）≤z 2＋1＋x 2＋12＝4，当且仅当z 2＋1＝x 2＋1，即x ＝z ＝3时，ab 的最大值为4.水以匀速注入某容器中，容器的三视图如图所示，其中与题中容器对应的水的高度h 与时间t的函数关系图象是( )解：由三视图知其直观图为两个圆台的组合体，水是匀速注入的，所以水面高度随时间变化的变化率先逐渐减小后逐渐增大，又因为容器的对称性，所以函数图象关于一点中心对称．故选C.§8.2空间几何体的表面积与体积1．了解棱柱，棱锥，台，球的表面积和体积的计算公式．2．会利用公式求一些简单几何体的表面积与体积．高考主要考查空间几何体的侧面积，表面积，体积以及相关元素的关系与计算，这些内容常与三视图相结合，以选择题，填空题的形式出现，也可能以空间几何体为载体，考查线面关系，侧面积，表面积以及体积．1．柱体，锥体，台体的表面积(1)直棱柱，正棱锥，正棱台的侧面积S直棱柱侧＝__________，S正棱锥侧＝__________，S正棱台侧＝__________(其中C，C′为底面周长，h为高，h′为斜高)．(2)圆柱，圆锥，圆台的侧面积S圆柱侧＝________，S圆锥侧＝________，S圆台侧＝________(其中r，r′为底面半径，l为母线长)．(3)柱或台的表面积等于________与__________的和，锥体的表面积等于________与__________的和．2．柱体，锥体，台体的体积(1)棱柱，棱锥，棱台的体积V棱柱＝__________，V棱锥＝__________，V棱台＝__________(其中S，S′为底面积，h为高)．(2)圆柱，圆锥，圆台的体积V圆柱＝__________，V圆锥＝__________，V圆台＝__________(其中r，r′为底面半径，h为高)．3．球的表面积与体积(1)半径为R的球的表面积S球＝________．(2)半径为R的球的体积V球＝________.【自查自纠】1．(1)Ch 12Ch′12()C＋C′h′(2)2πrlπrlπ(r＋r′)l(3)侧面积两个底面积侧面积一个底面积2．(1)Sh 13Sh13h()S＋SS′＋S′(2)πr2h13πr2h13πh()r2＋rr′＋r′23．(1)4πR2(2)43πR3圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为()A．6π(4π＋3)B．8π(3π＋1)C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)解：分两种情况：①以边长为6π的边为高时，4π为圆柱底面周长，则2πr＝4π，r＝2，∴S底＝πr2＝4π，S侧＝6π×4π＝24π2，S表＝2S底＋S侧＝8π＋24π2＝8π(3π＋1)；②以边长为4π的边为高时，6π为圆柱底面周长，则2πr＝6π，r＝3.∴S底＝πr2＝9π，S表＝2S底＋S侧＝18π＋24π2＝6π(4π＋3)．故选C.正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为()A.23 2 B. 2 C.23 D.43 2解：∵正三棱锥的侧面均为直角三角形，故侧面为等腰直角三角形，且直角顶点为棱锥的顶点，∴侧棱长为2，V＝13×12×(2)2×2＝23.故选C.已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则圆柱的体积与球体积之比为()A．1∶2 B．2∶1 C．2∶3 D．3∶2解：设球半径为R，圆柱底面半径为R，高为2R.∵V球＝43πR3，V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，∴V圆柱∶V球＝3∶2.故选D.长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB＝2，AD＝3，AA1＝1，则球面面积为________．解：∵长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，则外接球的直径是长方体的体对角线，而长方体的体对角线的长为AB2＋AD2＋AA21＝22，∴半径R＝ 2.∴S球＝4πR2＝8π.故填8π.若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为____________．解：设圆锥底面半径为r，母线长为l，则⎩⎪⎨⎪⎧πr2＝π，πrl＝2π，有⎩⎪⎨⎪⎧r＝1，l＝2，从而可知圆锥的高h＝l2－r2＝4－1＝ 3.∴V＝13×π×3＝33π.故填33π.类型一空间几何体的面积问题如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；(2)若BD＝1，求三棱锥D-ABC的表面积．解：(1)证明：∵折起前AD是BC边上的高，∴沿AD把△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥BD.又DB∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC.又∵AD⊂平面ADB，∴平面ADB⊥平面BDC.(2)由(1)知，DA⊥BD，BD⊥DC，DC⊥DA，DB＝DA＝DC＝1，∴AB＝BC＝CA＝ 2.从而S△DAB＝S△DBC＝S△DCA＝12×1×1＝12，S△ABC＝12×2×2×sin60°＝32.∴三棱锥D-ABC的表面积S＝12×3＋32＝3＋32.【评析】充分运用图形在翻折前后的不变性，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变等，再由面面垂直的判定定理进行推理证明，然后再计算．(2013·福建)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图，侧视图，俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是____________．解：由三视图可知该组合体为球内接一个棱长为2的正方体，∴正方体的体对角线为球的直径2r＝22＋22＋22＝23，S球＝4πr2＝12π.故填12π.类型二空间旋转体的面积问题如图，半径为4的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是______．解：如图，设球的一条半径与圆柱相应的母线的夹角为α，圆柱侧面积S＝2π×4sinα×2×4cosα＝32πsin2α，当α＝π4时，S取最大值32π，此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为32π.故填32π.【评析】根据球的性质，内接圆柱上，下底面中心连线的中点为球心，且圆柱的上，下底面圆周均在球面上，球心和圆柱的上，下底面圆上的点的连线与母线的夹角相等，这些为我们建立圆柱的侧面积与上述夹角之间的函数关系提供了依据．(2012·辽宁)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为____________．解：由三视图知该几何体为长4宽3高1的长方体的中间挖去一个半径为1高为1的圆柱所成几何体，所以表面积为2×(4×3＋4×1＋3×1)－2×π×12＋2π×1×1＝38.故填38.类型三空间多面体的体积问题一个正三棱锥(底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面正三角形的中心)的底面边长为6，侧棱长为15，求这个三棱锥的体积．解：如图所示为正三棱锥S-ABC，设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高．连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AH⊥BC.∵△ABC是边长为6的正三角形，∴AE ＝32×6＝33，AH ＝23AE ＝2 3. 在△ABC 中，S △ABC ＝12BC ×AE ＝12×6×33＝93，在Rt △SHA 中，SA ＝15，AH ＝23， ∴SH ＝SA 2－AH 2＝15－12＝ 3.∴V 正三棱锥＝13×S △ABC ×SH ＝13×93×3＝9.【评析】(1)求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式V ＝13Sh进行计算．(2)求空间几何体体积的常用方法为割补法和等积变换法：①割补法：将这个几何体分割成几个柱体，锥体，分别求出柱体和锥体的体积，从而得出要求的几何体的体积；②等积变换法：特别的，对于三棱锥，由于其任意一个面均可作为棱锥的底面，从而可选择更容易计算的方式来求体积；利用“等积性”还可求“点到面的距离”．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为( )A.23 B.33 C.43 D.32 解：如图，过A ，B 两点分别作AM ，BN 垂直于EF ，垂足分别为M ，N ，连接DM ，CN ，可证得DM ⊥EF ，CN ⊥EF ，则多面体ABCDEF 分为三部分，即多面体的体积V ABCDEF ＝V AMD -BNC ＋V E -AMD ＋V F -BNC .依题意知AEFB 为等腰梯形．易知Rt △DME Rt △CNF ，∴EM ＝NF ＝12.又BF ＝1，∴BN ＝32.作NH 垂直于BC ，则H 为BC 的中点，∴NH ＝22. ∴S △BNC ＝12·BC ·NH ＝24.∴V F -BNC ＝13·S △BNC ·NF ＝224， V E -AMD ＝V F -BNC ＝224，V AMD -BNC ＝S △BNC·MN＝24. ∴V ABCDEF ＝23，故选A .类型四 空间旋转体的体积问题某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )A ．8－2π3B ．8－π3C ．8－2πD ．2π3解：由三视图知几何体为一个正方体中间去掉一个圆锥，所以它的体积是V ＝23－13×π×12×2＝8－23π.故选A.【评析】根据已知三视图想象出该几何体的直观图，然后分析该几何体的组成，再用对应的体积公式进行计算．(2012·河南模拟)已知某几何体的三视图如图所示，其中，正(主)视图，侧(左)视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与其内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A.2π3＋12 B.4π3＋16 C.2π6＋16 D.2π3＋12解：由三视图可得该几何体的上部是一个三棱锥，下部是半球，根据三视图中的数据可得V ＝12×43π×⎝⎛⎭⎫223＋13×⎝⎛⎭⎫12×1×1×1＝2π6＋16.故选C.1．几何体的展开与折叠(1)几何体的表面积，除球以外，都是利用展开图求得的，利用空间问题平面化的思想，把一个平面图形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力的常用方法．(2)多面体的展开图①直棱柱的侧面展开图是矩形；②正棱锥的侧面展开图是由一些全等的等腰三角形拼成的，底面是正多边形；③正棱台的侧面展开图是由一些全等的等腰梯形拼成的，底面是正多边形．(3)旋转体的展开图①圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的长(或宽)是底面圆周长，宽(或长)是圆柱的母线长；②圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径长是圆锥的母线长，弧长是圆锥的底面周长；③圆台的侧面展开图是扇环，扇环的上，下弧长分别为圆台的上，下底面周长．注：①圆锥中母线长l 与底面半径r 和展开图扇形中半径和弧长间的关系及符号容易混淆，同学们应多动手推导，加深理解．②圆锥和圆台的侧面积公式S 圆锥侧＝12cl 和S 圆台侧＝12(c ′＋c )l 与三角形和梯形的面积公式在形式上相同，可将二者联系起来记忆．2．空间几何体的表面积的计算方法有关空间几何体的表面积的计算通常是将空间图形问题转化为平面图形问题，这是解决立体几何问题常用的基本方法．(1)棱柱，棱锥，棱台等多面体的表面积可以分别求各面面积，再求和，对于直棱柱，正棱锥，正棱台也可直接利用公式；(2)圆柱，圆锥，圆台的侧面是曲面，计算其侧面积时需将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和；(3)组合体的表面积应注意重合部分的处理． 3．空间几何体的体积的计算方法(1)计算柱，锥，台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转轴截面，将空间问题转化为平面问题求解．(2)注意求体积的一些特殊方法：分割法，补体法，还台为锥法等，它们是计算一些不规则几何体体积常用的方法，应熟练掌握．(3)利用三棱锥的“等体积性”可以解决一些点到平面的距离问题，即将点到平面的距离视为一个三棱锥的高，通过将其顶点和底面进行转化，借助体积的不变性解决问题．4．由几何体的三视图求几何体的表面积与体积问题，一般按如下三个步骤求解：(1)由三视图想象出原几何体的形状；(2)由三视图给出的数量关系确定原几何体的数量关系；(3)如果是规则几何体，直接代入公式求解，如果不是规则几何体，通过“割补”后，转化为规则几何体求解．1．已知圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥体积为( )A .2π2B .2πC .3π3D .3π 解：易知圆锥的底面直径为2，母线长为2，则该圆锥的高为22－12＝3，因此其体积是13π·12×3＝3π3.故选C. 2．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的体对角线的长是( ) A ．2 3 B ．3 2 C ．6 D . 6 解：设长方体的长，宽，高分别为a ，b ，c ，则有ab ＝2，ac ＝3，bc ＝6，解得a ＝1，b ＝2，c＝3，则长方体的体对角线的长l ＝a 2＋b 2＋c 2＝ 6.故选D.3．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2π＋2 3B ．4π＋2 3C ．2π＋233D ．4π＋233解：该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，正四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为13×(2)2×3＝233.所以该几何体的体积为2π＋233.故选C . 4．将长，宽分别为4和3的长方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，得到四面体A -BCD ，则四面体A -BCD 的外接球的表面积为( )A ．25πB ．50πC ．5πD ．10π解：由题设知AC 为外接球的直径，∴2R ＝32＋42＝5，S 表＝4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫522＝25π.故选A.。

第七章 不 等 式§7.1 不等关系与不等式了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．本节在高考中主要考查运用不等式的性质判断正误、比较大小等，也有与函数单调性综合的题目，小题居多，难度一般不大．1．比较原理两实数a ，b 之间有且只有以下三个大小关系之一：__________、__________、__________．其中a ＞b ⇔a －b ＞0；a ＜b ⇔______________； a ＝b ⇔__________． 2．不等式的性质现行教材中介绍的不等式的11条性质可以分为两部分．第一部分为以下4条性质定理： (1)对称性：a >b ⇔__________；(2)传递性：a >b ，b >c ⇒__________；(3)不等式加等量：a >b ⇔a ＋c______b ＋c ； (4)不等式乘正量：a >b ，c >0⇒__________； 不等式乘负量：a >b ，c <0⇒__________．第二部分为两个不等式的运算性质，共有7条： (5)同向不等式相加：a >b ，c >d ⇒__________； (6)异向不等式相减：a >b ，c <d ⇒__________； (7)同向不等式相乘：a >b >0，c >d >0⇒__________；(8)异向不等式相除：a >b >0，0<c <d ⇒a c ______bd ；(9)不等式取倒数：a >b ，ab >0⇒1a ______1b；(10)不等式的乘方：a >b >0⇒______________； (11)不等式的开方：a >b >0⇒______________． 注：1.(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减；2．(7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除．【自查自纠】1．a ＞b a ＜b a ＝b a －b ＜0 a －b ＝0 2．(1)b <a (2)a >c (3)> (4)ac >bc ac <bc(5)a ＋c >b ＋d (6)a －c >b －d (7)ac >bd (8)＞ (9)＜ (10)a n >b n (n ∈N *且n >1) (11)n a >nb (n ∈N *且n >1)(2013·上海)如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( )A ．1a <1bB ．ab <b 2C ．－ab <－a 2D ．－1a <－1b解：1a －1b ＝b －a ab >0，故1a >1b ，∴－1a <－1b.故选D.设f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，x ∈R ，则f (x )与g (x )的大小关系是( )A ．f (x )＞g (x )B ．f (x )≥g (x )C ．f (x )＝g (x )D ．f (x )＜g (x )解：f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0恒成立，故选A.已知a ，b ∈R ＋，A ＝a 3＋b 3，B ＝a 2b ＋b 2a ，则A ，B 的大小关系为( )A ．A ≥B B ．A <BC ．A ≤BD ．与a ，b 的大小有关解：A －B ＝(a ＋b )(a 2＋b 2－ab －ab )＝(a ＋b )(a －b )2≥0，A ≥B .故选A.已知a ＝27，b ＝6＋22，则a ，b 的大小关系是a________b .解：由于a ＝27，b ＝6＋22，平方作差得a 2－b 2＝28－14－83＝14－83＝8⎝⎛⎭⎫74－3＞0，从而a ＞b .故填＞.若a ，b ∈R ＋，则1a ＋1b 与1a ＋b的大小关系是__________．解：∵a ，b ∈R ＋，∴⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ÷1a ＋b ＝（a ＋b ）2ab >2ab ab ＝2>1，∴1a ＋1b >1a ＋b .故填1a ＋1b >1a ＋b.燃导火线后要在燃放前转移到域．已知导火线的燃烧速度为4 m/s，导火线的长度解：人到达安全区域的时间小于导火线燃烧的时板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度为前一次的已知一个铁钉受击>ad.以其中两个作为条件，余下一个作结论，则可组成几个正确命题？解：(1)A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件a范围是________解：由＜－β＜4，所以的取值范围是解：∵－＜－β＜π2的大小．解法一：a ＋m b ＋m － 的是________①log 0.5(②(－a )③(－a )a为正整数，则个结论：§7.2一元二次不等式及其解法1．会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．一元二次不等式的解法是高考必考内容之一，常与函数、数列、平面向量、解析几何、导数等综合起来命题．小题易出现考查“三个二次”关系的题目，多与函数图象及性质、数列、导数等综合考查；解答题中易出现需要分类与整合的含参数的一元二次不等式的综合题，着重考查分类与整合思想．1．解不等式的有关理论(1)若两个不等式的解集相同，则称它们是；(2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的；(3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示．2．一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是．3．一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式．(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________．(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a ＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取，小于号取”求解集．(4)解一元二次不等式见下表：)4.分式不等式解法(1)化分式不等式为标准型．方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f（x）g（x）的形式．(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f（x）g（x）＞0⇔f(x)g(x)＞0；f（x）g（x）＜0 ⇔f(x)g(x)＜0；f（x）g（x）≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧f（x）g（x）≥0，g（x）≠0；f（x）g（x）≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧f（x）g（x）≤0，g（x）≠0.【自查自纠】1．(1)同解不等式(2)同解变形2.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x＞b a⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x＜b a a＝0，b＜03．(1)一元二次(2)解集(3)两边中间(4)(Ⅰ){}x|x＜x1或x＞x2(Ⅱ)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠－b2a(Ⅵ)若0＜a＜1，则不等式(x－a)⎝⎛⎭⎫x－1a＜0的解是()的解集为的解集为－2a＞0解：(1)当①当m＝－时，原不等式的解集为②当m＝.(2)当m2(1)x2－(3)x2－解：(1)而y＝的解集为所以方程＋1，x＜1，x≥0，()A．{x|－|－5≤x≤1}解：∵不等式∴x1＝－∴由韦达定理知＜x＜3}，求不等式解：由题意知因为不等式a＜0，由根与系数的关系得b解：(1)，不等式的解集为(2)当m的系数是参数时，首先对它是否为∈R)．解：不等式整理为当a＝0当a≠0时，解：x2x21≥0.⎭⎬⎫－2x ≤0，则A ．{x |－C ．{x |0≤⎦⎤0，12成立，则A ．0 解法一：－2，2]时，解法一：当－a2＜－5有一解，则A ．a <－C ．－1<解法一：个实根一个小于－值范围是( A ．－C ．－2<速生产某种产品得利润是100(1)要使生产该产品15元的价格销售，每天能卖出1元，日销售量将减少盏售价不低于应怎样制定这批台灯的销售价格？．不等式x －2x ＋1≤0的解集是( )．(－∞，－1)∪(－1，2]B ．[－1，2]．(－∞，－1)∪[2，＋∞) D ．(－1，2]解：x －2x ＋1≤0⇔()x ＋1()x －2≤0，且x ≠－1，即x ∈(－1，2]，故选D .．关于x 的不等式(mx －1)(x －2)＞0，若此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1m ＜x ＜2，则m 的取值范围是( )．m ＞0 B ．0＜m ＜2 ．m ＞12D ．m <0解：由不等式的解集形式知m ＜0.故选D . ．(2013·安徽)已知一元二次不等式f (x )<0的解集⎭⎬⎫<－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( ) ．{x |x <－1或x >lg2} ．{x |－1<x <lg2}－1]·(x2－－1中，令y＝0，得⎭⎫1－12－aa－1－1＝§7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．本节属于高考常考内容，以考查二元一次不等式(组)的几何意义、目标函数的最值(或范围)为主；关于线性规划的实际应用及逆向问题(知最值求参数)也是热点，也有与其他知识综合考查的题目或含参数的线性规划问题，难度一般不太大，小题居多．1．二元一次不等式表示的区域(1)当B＞0时，Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By ＋C＝0的；Ax＋By＋C＜0表示直线Ax＋By ＋C＝0的．(2)当B＜0时，Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By ＋C＝0的；Ax＋By＋C＜0表示直线Ax＋By ＋C＝0的．2．线性规划(1)不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．Z＝Ax＋By是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式，我们把它称为．由于Z＝Ax＋By是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做．另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的的问题，统称为线性规划问题．(3)满足线性约束条件的解(x，y)叫做，由所有可行解组成的集合叫做．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的．线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内．(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：①首先，要根据(即画出不等式组所表示的公共区域)．②设，画出直线l0.③观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解．④最后求得目标函数的．(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出条件，确定函数．然后，用图解法求得数学模型的解，即，在可行域内求得使目标函数．【自查自纠】1．(1)上方区域下方区域(2)下方区域上方区域2．(1)目标函数线性目标函数(2)最大值或最小值(3)可行解可行域最优解(4)①线性约束条件画出可行域②z＝0④最大值或最小值(5)约束线性目标画出可行域取得最值的解下列命题中正确的是()A．点(0，1)在区域x－y＋1＞0内B．点(0，0)在区域x＋y＋1＜0内C．点(1，0)在区域y≥2x内D．点(0，0)在区域x＋y≥0内解：将(0，0)代入x＋y≥0，成立．故选D.不等式x－2y＋6＞0表示的区域在直线x－2y ＋6＝0的()A．左下方B．左上方C．右下方D．右上方解：画出直线及区域范围知C正确．故选C.(2013·天津)设变量x，y满足约束条件画出原不等式组表示的平面区域如图所示，由题意知，当目标函数z ＝y 时，z 取得最小值，所以示的平面区域为的取值范围是作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影y ＝a (x ＋1)恒过定点k BC ＝12，k AC ＝4，∴区域为D ，若指数函数的点，则a 的取值范围是A ．(1，若要指数函数y ＝a x 与可行域有交点，则底利用指数函数的性质，)，9时，底数a 最大，即点此时有a 2＝9⇒ a ＝3，所以－y ≥－1，＋y ≤3，≥0，≥0，依题意，画出可行域，如图所示，可行域为，显然，当直线y ＝12x －取得最小值为－3；过点B (3，0)A．有最小值B．有最小值C．有最大值画出不等式表示的平面区域，如图，由，令z＝0，画出y＝－(2，0)时，z取得最小值为，由于可行域是向右上方无限延伸的非封闭区向右上方移动时，z＝x＋区域被直线()由题目所给的不等式组可知，其表示的平面如图可得阴影部分即为满足x－的可行域，而直线ax－y＋1＝0恒过点，1)旋转，若不等式组所表示的平面区域内的面积等于则它是三角形，设该三角形为△ABC，因为标函数z＝ax的取值范围是A．(－1＋2y的斜率为－a2，目标函数在点画出可行域三角形ABO ，可知处取最大值为4，即4＝＋y －2≥02y ＋4≥0－y －3≤0.最小值？最大值、最小值各是多少？如图，作出可行域(图中的阴影部分包括边界)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －23x －，同理可得B (0，2)，C (1，，y )到原点的距离的平方，所以， 个根在(0，1)(1)b －2a －1的值域；(2)(a －1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （2）＞0，所表示的平面区域为纵坐标均为整数的点的通项公式为2y－5＞＋y－7＞≥0，y≥0，()画出可行域如图，令3x＋4y＝z，，0)，(2，0)，(3，0)，处作格子线，可知当y＝－34x＋z4过(42)，(2，4)，(4，1)逐个试验韭菜，种植面积不超过元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表黄瓜≤54，即⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤50，4x＋3y≤180，x≥0，y≥0.画出可行域如图所示．类产品，甲种设备每天能生产件，乙种设备每天能生产件．已知设备甲每天的租赁费为的租赁费为300对应的直线过两直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＋65y ＝10，x ＋2y ＝14的交点(4，5)时，目标函数z ＝200x ＋300y 取得最小值为2300元．故填2300.1．解客观题可利用特殊点判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在位置，如果直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过原点，则把原点代入Ax ＋By ＋C ，通过Ax ＋By ＋C 的正负和不等号的方向，来判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在的位置．2．如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处，目标函数取得最大值或最小值．最优解一般是多边形的某个顶点，到底是哪个顶点为最优解，有三种解决方法：第一种方法：将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的一个便是．第二种方法：利用围成可行域的直线斜率来判断． 特别地，当线性目标函数的直线与可行域某条边重合时，其最优解可能有无数组．第三种方法：将可行域所在多边形的每一个顶点P i 逐一代入目标函数i P Z ＝mx ＋ny ，比较各个i P Z ，得最大值或最小值．1．(2012·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，x －1≤0，则目标函数z ＝3x －2y 的最小值为( )A ．－5B ．－4C ．－2D ．3解：不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分，作辅助线l 0：3x －2y ＝0，结合图形可知，当直线3x －2y ＝z 平移到过点(0，2)时，z ＝3x －2y 的值最小，最小值为－4，故选B.2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，则z＝2x ＋y 的最大值为( )A ．－2B ．4C ．6D ．8解：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线y ＝－2x ＋z 过点B (3，0)时，z 取得最大值6.故选C .3．(2012·福建)若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A ．12B ．1C ．32D ．2解：可行域如图阴影部分所示，函数y ＝2x 的图象经过可行域上的点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x，x ＋y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2， 即函数y ＝2x 的图象与直线x ＋y －3＝0的交点坐标为(1，2)，当直线x ＝m 经过点(1，2)时，实数m 取到最大值为1.故选B.4．设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0所表示的平面区域为M ，则使函数y ＝a x ()a ＞0，a ≠1的图象过区域M 的a 的取值范围是( )A ．[1，3]B ．[2，10]C ．[2，9]D ．[10，9]解：如图，阴影部分为平面区域M ，显然a ＞1，只需研究过(1，9)，(3，8)两种情形，a 1≤9且a 3≥8即2≤a ≤9，故选C .5．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一如图，由条件可知，当直线x右上方时，可行域可以组成一个三角形，即时，可行域可以组成一个△OAB；当＝x＋y，则y＝－ABC，且x＋y的最大值只在点－y－3＝0，－my＝－1先作出可行域，而目标函数就是将直线y＝－kx平行移动发现，直线在y轴上的截距最大，故时，发现z不可能等于12.⎪⎧x－4y＋3≤0，3作出可行域如图中阴影部分，联立易得1)，C(5，2)．⇔y＝43x－z13，易知平移最大，z最大值为4×5－3×2如图，作出可行域，作直线l ：6x ＋12向右上方平移至l 1位置，直线经过可行域上的点且与原点距离最大，此时z ＝6x ＋12y 取最大值．＝300，得M (20，24)．所以生产甲种ax ＋b ＝0的两根分别在区间上的几何意义是：函数y ＝轴的两个交点的横坐标分别在区间不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f （f （f （则在坐标平面aOb 的切线，可求得切线方程为在区域内，故⎝⎛⎭⎫y x min ＝e.对应点C 时， ⎩⎪⎨⎪⎧5y ＝20－5x ，4y ＝20－12x ⇒§7.4 基本不等式及其应用1．了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 纵观近年高考，基本不等式一直都是热点，涉及范围较广，且常考常新，但一般不外乎以下四个层次：①直接考：即对“一正二定三相等”这一基本特征的考查，属基础知识型测试；②变化考：即考查学生能否通过使用加“0”、乘“1”、升(降)幂、取倒数、换元等手段将原问题转化成①，属知识、技能型测试；③灵活考：即从题面上看不一定是考查基本不等式，但若能灵活应用基本不等式，往往能突破题目难点，优化解题思路，避免分类与整合等，多为解答题，属能力型测试；④综合考：如综合各种数学思想，或与其他学科、背景综合等，属较高能力要求．1．如果a ＞0，b ＞0，那么 叫做这两个正数的算术平均数．2．如果a ＞0，b ＞0，那么 叫做这两个正数的几何平均数．3．重要不等式：a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥ (当且仅当a ＝b 时取等号)．4．基本不等式：a ＞0，b ＞0，则 ，当且仅当a ＝b 时等号成立，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．5．求最小值：a >0，b >0，当ab 为定值时，a ＋b ，a 2＋b 2有 ，即a ＋b ≥ ，a 2＋b 2≥ .6．求最大值：a ＞0，b ＞0，当a ＋b 为定值时，ab 有最大值，即，亦即 ；或a 2＋b 2为定值时，ab 有最大值(a ＞0，b ＞0)，即 .7．拓展：若a ＞0，b ＞0时，21a ＋1b ≤ ≤a ＋b 2≤ ，当且仅当a ＝b 时等号成立．【自查自纠】 1.a ＋b 2 2.ab 3.2ab 4.a ＋b 2≥ab5．最小值 2ab 2ab6．ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 ab ≤14(a ＋b )2ab ≤a 2＋b 227.ab a 2＋b 22设a ，b ∈R ，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( )A ．6B ．42C ．2 2D ．2 6解：因为2a ＞0，2b＞0，由基本不等式得2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝42，当且仅当a ＝b ＝32时取等号，故选B .若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )A ．12 B ．1 C ．2 D ．4解：∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12.当且仅当a ＝1，b ＝12时等号成立．故选A.(2012·陕西)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a ＜v ＜abB ．v ＝abC ．ab ＜v ＜a ＋b 2D ．v ＝a ＋b2解：设甲、乙两地之间的距离为s .∵a ＜b ，∴v ＝2s s a ＋s b＝2ab a ＋b ＜2ab2ab ＝ab .又v －a ＝2aba ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a 2a ＋b ＝0，∴v ＞a .故选A.下列函数中，最小值为4的是________．①y ＝x ＋4x；②y ＝sin x ＋4sin x (0＜x ＜π)；③y ＝4e x ＋e －x ；④y ＝log 3x ＋log x 3(0＜x ＜1)．解：注意基本不等式等号成立的条件是“a ＝b ”，同时考虑函数的定义域，①的定义域为x ∈R ，且x ≠0，函数没有最小值；②若sin x ＝4sin x取到最小值4，则sin 2x ＝4，显然不成立；③符合一正、二定、三相等，且最小值为4；④没有最小值．故填③.点(m ，n )在直线x ＋y ＝1位于第一象限内的图象上运动，则log 2m ＋log 2n 的最大值是 ．解：由条件知，m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝1，所以mn ≤⎝⎛⎭⎫m ＋n 22＝14，当且仅当m ＝n ＝12时取等号，的值域．解：∵y＝（最小值为解：∵t当且仅当M，则对任意实常数A．2∈C．2∈解法一：m2＋2m求矩形场地的一面利用旧墙三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用45元/m ，新墙的造价为的函数；，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．如图，设矩形的另一边长为x －2)＋180·2a ，得a ＝360x ，3602制造一个底宽孔流入，经沉淀后从高度为b m ，已知排出的水中该杂质的质量分数与的乘积ab 为排出的水中杂质的质量分数，y ＝kab，是比例系数且k ＞0.最小，只需ab 最大．2ab ＋2a ≤60(a ＞(a ＞0，b ＞0)．，30，得0＜ab 时取“＝”号，ab ＝3 m 时经沉淀后排出的水中杂同解法一得b ≤30－a ，代入1．若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是(10．已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝1，求S ＝2ab －4a 2－b 2的最大值．解：∵a ＞0，b ＞0，2a ＋b ＝1，∴4a 2＋b 2＝(2a＋b )2－4ab ＝1－4ab .且1＝2a ＋b ≥22ab ，即ab ≤24，ab ≤18，∴S ＝2ab －4a 2－b 2＝2ab －(1－4ab )＝2ab＋4ab －1≤2－12.当且仅当a ＝14，b ＝12时，等号成立．11．如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？解：(1)设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则由条件，知4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18.设每间虎笼的面积为S ，则S ＝xy . 解法一：由于2x ＋3y ≥22x ×3y ＝26xy ，∴26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272.当且仅当2x ＝3y 时等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ，2x ＋3y ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3. 故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大．解法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y .∵x ＞0，∴0＜y ＜6.S ＝xy ＝⎝⎛⎭⎫9－32y y ＝32(6－y )y . ∵0＜y ＜6，∴6－y ＞0.∴S ≤32⎣⎡⎦⎤（6－y ）＋y 22＝272.当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5.故每间虎笼长4.5 m ，宽3 m 时，可使每间虎笼面积最大．(2)由条件知S ＝xy ＝24.设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y . 解法一：∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24， ∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ，xy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4. 故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长度最小．解法二：由xy ＝24，得x ＝24y .∴l ＝4x ＋6y ＝96y ＋6y ＝6⎝⎛⎭⎫16y ＋y ≥6×216y×y ＝48，当且仅当16y＝y ，即y ＝4时，等号成立，此时x＝6.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长度最小．(2013·惠州模拟)如图所示，已知树顶A 离地面212米，树上另一点B 离地面112米，某人在离地面32米的C 处看此树，则该人离此树________米时，看A ，B 的视角最大．解：问题转化为求△ABC 中∠BCA 的取值范围．过点C 作CD ⊥AB 交AB 的延长线于点D .设该人距离此树的距离CD ＝x 米，看A ，B 的视角最大，即∠BCA 最大．不妨设∠BCD ＝α，∠ACD ＝β，则∠BCA＝β－α，且tan α＝4x ，tan β＝9x ，所以tan(β－α)＝9x －4x 1＋9x ×4x＝5x x 2＋36＝5x ＋36x ≤52x ×36x ＝512，当且仅当x ＝36x ，即x ＝6时取等号，此时∠BCA 最大．故填6.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{x |0≤x ＜3}，N ＝{x |x 2－3x －4＜0}，则集合M ∩N ＝( )A ．{x |0≤x ＜3}B ．{x |0≤x ≤3}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0≤x ＜1}解：x 2－3x －4＜0⇔ (x －4)(x ＋1)＜0⇔－1＜x ＜4，∴N ＝{x |－1＜x ＜4}，∴M ∩N ＝{x |0≤x ＜3}．故选A.2．不等式x ＋5()x －12≥2的解集是( )A.⎣⎡⎦⎤－3，12B.⎣⎡⎦⎤－12，3C.⎣⎡⎭⎫12，1∪(1，3]D.⎣⎡⎭⎫－12，1∪(1，3] 解：x ＋5（x －1）2≥2⇔（x ＋5）－2（x －1）2（x －1）2≥0⇔－2x 2＋5x ＋3（x －1）2≥0⇔－2x 2＋5x ＋3≥0(x ≠1)⇔2x 2－5x －3≤0(x ≠1) ⇔－12≤x ≤3且x ≠1.故选D.3．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＞0，则y x 的取值范围是( )A ．(0，1) B.(]0，1 C ．(1，＋∞)D.[)1，＋∞解：画出不等式组所表示的平面区域，而yx 表示过可行域上任意一点P ()x ，y 和原点连线的斜率，故选C .4．若一个矩形的对角线长为常数a ，则其面积的最大值为( )A ．a 2B ．12a 2C ．aD ．12a解：如图，设矩形的长和宽分别为x ，y ，则x 2＋y 2＝a 2，其面积S ＝xy ，由基本不等式得S ≤12(x 2＋y 2)＝12a 2，当且仅当x ＝y 时取等号，此时为正方形．故选B.5．函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＋5(x >1)的最小值为( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4解：函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＋5(x ＞1)＝log 2(x －1＋1x －1＋6)≥log 2⎝⎛⎭⎪⎫2（x －1）×1x －1＋6＝log 28＝3，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时取得等号．故选C.6．下列各式中，最小值等于2的是( )A ．log a b ＋log b aB ．x 2＋5x 2＋4C ．tan θ＋1tan θD ．2x ＋2－x解：对于选项A ，可能有log a b ＜0，不正确；对于选项B ，x 2＋5x 2＋4＝（x 2＋4）＋1x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4≥2，但等号不可能成立，不正确；对于选项C ，可能有tan θ＜0，不正确；对于选项D ，∵2x ＋2－x ＝2x ＋12x≥2，当且仅当x ＝0时等号成立，正确．故选D. 7．(2012·山东)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是()A ．⎣⎡⎦⎤－32，6 B ．⎣⎡⎦⎤－32，－1 C ．[－1，6]D ．⎣⎡⎦⎤－6，32解：作出不等式组所表示的区域如图，由z ＝3x(1＋a)x＋1＋a＋bf(x)＝x2＋(1＋a)x 方程x2＋(1＋a)x＋1图中的阴影部分为满足题意的可行域，(3，－4)，C(－5，0)三点都在圆周上0经过原点，所以直线mx＋P在线段DB上移动，因为直线若不等式的解集为因为不等式的解集为－16由图易知，直线z＝320x＋504y在可行域内经过的整数点中，点(5，2)使z＝320x＋504y取得最小值，504×2＝2608.每天调出A型车5辆，B型车2辆，公司所花＋4bx＋c，。

目录第一章集合与常用逻辑用语 (1)§1.1集合 (1)§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件 (7)§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 (13)单元测试卷 (18)第二章函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用 (21)§2.1函数及其表示 (21)§2.2函数的单调性与最大(小)值 (28)§2.3函数的奇偶性与周期性 (35)§2.4二次函数 (41)§2.5基本初等函数(Ⅰ) (47)§2.6函数与方程 (55)§2.7函数的图象 (60)§2.8函数模型及其应用 (66)单元测试卷 (74)第三章导数 (78)§3.1导数的概念及运算 (78)§3.2导数的应用(一) (83)§3.3导数的应用(二) (88)§3.4定积分与微积分基本定理 (92)单元测试卷 (97)第四章三角函数(基本初等函数(Ⅱ)) (100)§4.1弧度制及任意角的三角函数 (100)§4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式 (107)§4.3三角函数的图象与性质 (112)§4.4三角函数图象的变换 (121)§4.5三角函数模型的应用 (129)§4.6三角恒等变换 (136)§4.7正弦定理、余弦定理及其应用 (144)单元测试卷 (152)第五章平面向量 (157)§5.1平面向量的概念及线性运算 (157)§5.2平面向量的基本定理及坐标表示 (164)§5.3平面向量的数量积 (169)§5.4平面向量的综合应用 (176)单元测试卷 (183)第六章数列 (187)§6.1数列的概念与简单表示法 (187)§6.2等差数列 (194)§6.3等比数列 (201)§6.4数列求和及应用 (207)单元测试卷 (214)第七章不等式 (218)§7.1不等关系与不等式 (218)§7.2一元二次不等式及其解法 (223)§7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 (231)§7.4基本不等式及其应用 (239)单元测试卷 (244)第八章立体几何 (248)§8.1空间几何体的结构、三视图和直观图 (248)§8.2空间几何体的表面积与体积 (255)§8.3空间点、线、面之间的位置关系 (261)§8.4空间中的平行关系 (268)§8.5空间中的垂直关系 (275)§8.6空间向量及其加减、数乘和数量积运算 (283)§8.7空间向量的坐标表示、运算及应用 (290)单元测试卷 (302)第九章平面解析几何 (308)§9.1平面直角坐标系中的基本公式和直线的方程 (308)§9.2两条直线的位置关系 (314)§9.3圆的方程 (320)§9.4直线、圆的位置关系 (325)§9.5曲线与方程 (332)§9.6椭圆 (338)§9.7双曲线 (345)§9.8抛物线 (351)§9.9直线与圆锥曲线的位置关系 (357)单元测试卷 (366)第十章算法初步 (370)§10.1算法与程序框图 (370)§10.2基本算法语句 (378)。

第十二章 统 计1.随机抽样(1)理解随机抽样的必要性和重要性.(2)会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.2.用样本估计总体(1)了解分布的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点.(2)理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.(3)能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释.(4)会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.(5)会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.3.变量的相关性(1)会做两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系.(2)了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归方程系数公式不要求记忆).4.了解回归分析的思想、方法及其简单应用.5.了解独立性检验的思想、方法及其初步应用.§12.1 随机抽样1.简单随机抽样(1)简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N 个个体，从中逐个________地抽取n 个个体作为样本(n ≤N )，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会________，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.(2)最常用的简单随机抽样方法有两种：________法和________法.抽签法(抓阄法)：一般地，抽签法就是把总体中的N 个个体________，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取______个号签，连续抽取________次，就得到一个容量为n 的样本.随机数法：随机数法就是利用______________、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样.简单随机抽样有操作简便易行的优点，在总体个数不多的情况下是行之有效的.2.系统抽样 (1)一般地，假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样：①先将总体的N 个个体________.有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；②确定分段间隔k ，对编号进行分段.当N n(n 是样本容量)是整数时，取k ＝N n ，如果遇到N n不是整数的情况，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除；③在第1段用______________抽样方法确定第一个个体编号l (l ≤k )；④按照一定的规则抽取样本.通常是将l 加上________得到第2个个体编号________，再________得到第3个个体编号________，依次进行下去，直到获取整个样本.(2)当总体中元素个数较少时，常采用____________，当总体中元素个数较多时，常采用______________.3.分层抽样(1)分层抽样的概念：一般地，在抽样时，将总体分成________的层，然后按照一定的________，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样.(2)当总体是由__________的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法.(3)分层抽样时，每个个体被抽到的机会是________的.自查自纠：1.(1)不放回 都相等(2)抽签 随机数 编号 1 n 随机数表 2.(1)①编号 ③简单随机④间隔k (l ＋k ) 加k (l ＋2k ) (2)简单随机抽样 系统抽样3.(1)互不交叉 比例 (2)差异明显 (3)均等某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①.在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个，调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②.则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是( )A.分层抽样法，系统抽样法B.分层抽样法，简单随机抽样法C.系统抽样法，分层抽样法D.简单随机抽样法，分层抽样法解：依据题意，第①项调查宜采用分层抽样法，第②项调查宜采用简单随机抽样法.故选B.一个年级有12个班，每个班有50名学生，随机编号为1～50，为了了解他们课外的兴趣，要求每班第40号学生留下来进行问卷调查，这运用的抽样方法是( )A.分层抽样B.抽签法C.随机数表法D.系统抽样法解：由系统抽样的定义知这种抽样方法为系统抽样法.故选D.(2014·重庆)某中学有高中生3500人，初中生1500人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为( )A.100B.150C.200D.250解：样本抽取比例为703500＝150，该校总人数为3500＋1500＝5000，由n 5000＝150得n ＝100.故选A.为了了解某地参加计算机水平测试的5008名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析，运用系统抽样抽取样本时，每组的容量为____________.解：由于5008不能被200整除，所以须先剔除8人，再由5000÷200＝25知每组的容量为25.故填25.某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号为第1组，6～10号为第2组，…，196～200号为第40组).若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________.若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人.解：由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37；易知40岁以下年龄段的职工数为200×0.5＝100，所以40岁以下年龄段应抽取的人数为40200×100＝20.故填37；20.类型一 简单随机抽样某大学为了支援我国西部教育事业，决定从应届毕业生报名的18名志愿者中选取6名组成志愿小组.请用抽签法和随机数表法设计抽样方案.解：(抽签法) 第一步：将18名志愿者编号，编号为1，2，3， (18)第二步：将18个号码分别写在18张外形完全相同的纸条上，并揉成团，制成号签；第三步：将18个号签放入一个不透明的盒子里，充分搅匀；第四步：从盒子中逐个抽取6个号签，并记录上面的编号；第五步：所得号码对应的志愿者就是志愿小组的成员.(随机数表法)第一步：将18名志愿者编号，编号为01，02，03， (18)第二步：在随机数表中任选一数作为开始，按任意方向读数，比如从第8行第29列的数7开始，向右读；第三步：从数7开始，向右读，每次取两位，凡不在01～18中的数或已读过的数，都跳过去不作记录，依次可得到12，07，15，13，02，09；第四步：找出以上号码对应的志愿者，即是志愿小组的成员.点拨：考虑到总体中个体数较少，利用抽签法或随机数表法很容易获取样本，但须按这两种抽样方法的操作步骤进行.注意掌握随机数表的使用方法.有一批机器，编号为1，2，3，…，112，为调查机器的质量问题，打算抽取10台入样，请写出用简单随机抽样方法获得样本的步骤.解法一：将112个外形完全相同的号签(编号001，002，…，112)放入一个不透明的盒子里，充分搅拌均匀后，每次不放回地从盒子中抽取1个号签，连续抽取10次，就得到1个容量为10的样本.解法二：第一步，将机器编号为001，002，003， (112)第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向.比如选第9行第7个数“3”，向右读；第三步，从“3”开始，向右读，每次读取三位，凡不在001～112中的数跳过去不读，前面已经读过的数也跳过去不读，依次可得到074，100，094，052，080，003，105，107，083，092，这样就得到一个容量为10的样本；第四步，找出以上号码对应的机器，即是要抽取的样本.类型二系统抽样从某厂生产的10002辆汽车中随机抽取100辆测试某项性能，请合理选择抽样方法进行抽样，并写出抽样过程.解：因为总体容量和样本容量都较大，可用系统抽样.抽样步骤如下：第一步，将10002辆汽车用随机方式编号；第二步，从总体中剔除2辆(剔除法可用随机数表法)，将剩下的10000辆汽车重新编号(分别为00001，00002，…，10000)，并分成100段；第三步，在第一段00001，00002，…，00100这100个编号中用简单随机抽样方法抽出一个作为起始号码(如00006)；第四步，把起始号码依次加上间隔100，可获得样本.点拨：①总体容量和样本容量都较大时，选用系统抽样比较合适；②系统抽样的号码成等差数列，公差为每组的容量.(2013·陕西)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1, 2, … , 840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481, 720]的人数为( )A.11B.12C.13D.14解：从840名职工中抽取42人，按系统抽样分42组，每组20人，每组中抽取1人，在[481，720] 中有720－480＝240人，240÷20＝12组，编号落入区间[481，720]的人数为12.故选B.类型三分层抽样某企业共有5个分布在不同区域的工厂，职工3万人，其中职工比例为3∶2∶5∶2∶3.现从3万人中抽取一个300人的样本，分析员工的生产效率.已知生产效率与不同的地理位置的生活习俗及文化传统有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程.解：应采取分层抽样的方法.过程如下：(1)将3万人分为五层，其中一个工厂为一层.(2)按照样本容量的比例随机抽取各工厂应抽取的样本：300×315＝60(人)；300×215＝40(人)；300×515＝100(人)；300×215＝40(人)；300×315＝60(人).因此各工厂应抽取的人数分别为60人，40人，100人，40人，60人.(3)将300人组到一起即得到一个样本.点拨：分层抽样的实质为按比例抽取，当总体由差异明显的几部分组成时，多用分层抽样.应认识到，在各层抽取样本时，又可能会用到简单随机抽样，系统抽样，甚至分层抽样来抽取样本.(2014·天津)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取__________名学生.解：应从一年级本科生中抽取300×44＋5＋5＋6＝60名学生.故填60.1.简单随机抽样是系统抽样和分层抽样的基础，是一种等概率的抽样，它的特点是：(1)它要求总体个数较少；(2)它是从总体中逐个抽取的；(3)它是一种不放回抽样.2.系统抽样又称等距抽样，号码序列一旦确定，样本即确定好了.但要注意，如果编号的个体特征随编号的变化呈现一定的周期性，那么样本的代表性是不可靠的，甚至会导致明显的偏向.3.分层抽样一般在总体是由差异明显的几个部分组成时使用.4.抽样方法经常交叉使用，比如系统抽样中均匀分段后的第一段，可采用简单随机抽样；分层抽样中，若每层中个体数量仍很大时，则可辅之以系统抽样等.5.三种抽样方法的比较类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样抽样过程中每个个体被从总体中逐个抽样总体中的个体数较少系统抽样将总体均分成几部分，按事先确定在起始部分抽样时采用简单随机抽总体中的个体数较多1.(2013·湖南)某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查 ，则宜采用的抽样方法是( )A.抽签法B.随机数法C.系统抽样法D.分层抽样法解：由题意，男、女生需要按比例抽样，所以需要分层抽样.故选D.2.现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查. ②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈.③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名.为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本.较为合理的抽样方法是( )A.①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样B.①简单随机抽样；②分层抽样；③系统抽样C.①系统抽样；②简单随机抽样；③分层抽样D.①分层抽样；②系统抽样；③简单随机抽样 解：由各抽样方法的适用范围可知较为合理的抽样方法是：①用简单随机抽样，②用系统抽样，③用分层抽样.故选A.3.(2014·广东)为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( )A.50B.40C.25D.20解：由100040＝25，可得分段的间隔为25.故选C.4.(2014·湖南)对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )A.p 1＝p 2<p 3B.p 2＝p 3<p 1C.p 1＝p 3<p 2D.p 1＝p 2＝p 3解：根据抽样方法的概念可知，简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种抽样方法中每个个体被抽到的概率相等，均是nN，故p 1＝p 2＝p 3，故选D.5.(2013.江西)总体由编号为01，02， (19)20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出解：从选定的两位数字开始向右读，剔除不合题意及与前面重复的编号，得到符合题意的编号分别为08，02，14，07，01，…，因此选出来的第5个个体的编号为01.故选D.6.将参加夏令营的600名学生编号为001，002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区.三个营区被抽中的人数依次为( )A.25，17，8B.25，16，9C.26，16，8D.24，17，9解：依题意及系统抽样的意义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k (k ∈N *)组抽中的号码是3＋12(k －1).令3＋12(k －1)≤300得k ≤1034，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300＜3＋12(k －1)≤495得1034＜k ≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17；同理可知第Ⅲ营区被抽中的人数是8.故选A.7.(2014·上海)某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名，为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为__________.解：设高一、高二各抽取x ，y 名，由题意可知x 1600＝y 1200＝20800，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝40，y ＝30.∴x ＋y ＝70.故填70.8.将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，…，0020，从第一部分随机抽取一个号码0015，则第40个号码为________.解：系统抽样号码构成一个等差数列，公差为每组编号个数，所以第40个号码为0015＋(40－1)×100050＝0795.故填0795.9.为了考察某校的教学水平，将抽查该校高三年级部分学生本学年的考试成绩进行考察.为了全面地反映实际情况，采用以下三种方式进行抽样(已知该校高三年级共有20个教学班，并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号，假定该校每班学生人数都相同)：①从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20人，考察他们的学习成绩；②每个班都抽取1人，共计20人，考察这20个学生的成绩；③把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中抽取100名学生进行考察(已知若按成绩分，该校高三学生中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人).根据上面的叙述，回答下列问题：(1)上面三种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？(2)上面三种抽取方式中各自采用了何种抽取样本的方法？解：(1)这三种抽取方式中，其总体都是指该校高三全体学生本学年的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本学年的考试成绩.其中第一种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩，样本容量为20；第二种抽取方式中，样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩，样本容量为20；第三种抽取方式中，样本为所抽取的100名学生本学年的考试成绩，样本容量为100.(2)第一种采用简单随机抽样法；第二种采用系统抽样法和简单随机抽样法；第三种采用分层抽样法和简单随机抽样法.10.一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本.解：田径运动员的总人数是56＋42＝98(人)，要得到28人的样本，占总体的比例为27.于是，应该在男运动员中随机抽取56×27＝16(人)，在女运动员中随机抽取28－16＝12(人).这样，就可以得到一个容量为28的样本.11.某大学今年有毕业生1503人，为了了解毕业生择业的意向，打算从中选50人进行询问调查，试用系统抽样法确定出这50个人.解：总体中的每个个体都必须等可能地入样，为了实现系统抽样的平均分组且又等概率抽样，必须先剔除1503被50除的余数3，再“分段”，定起始位置.第一步：将1503名大学生随机编号：0001，0002， (1503)第二步：因为1503被50除余3，所以应从总体中剔除3人，用随机数表法确定被剔除的3位同学；第三步：将余下的1500名学生重新编号为0001，0002， (1500)第四步：将上述1500个号码按顺序平均分成50段，每段30人；第五步：在第一段0001，0002，…，0030这30个编号中随机确定一起始号i 0；第六步：取出编号为i 0，i 0＋30，i 0＋60，…，i 0＋49×30的大学生，即得所需样本.某公司有1000名员工，其中：高层管理人员为50名，属于高收入者；中层管理人员为150名，属于中等收入者；一般员工为800名，属于低收入者.要对这个公司员工的收入情况进行调查，欲抽取100名员工，应当怎样进行抽样？解：可以采用分层抽样的方法，按照收入水平分成三层：高收入者、中等收入者、低收入者.从题中数据可以看出，高收入者为50名，占所有员工的比例为501000＝5%，为保证样本的代表性，在所抽取的100名员工中，高收入者所占的比例也应为5%，数量为100×5%＝5，所以应抽取5名高层管理人员.同理，抽取15名中层管理人员、80名一般员工，再对收入状况分别进行调查.§12.2 用样本估计总体1.用样本的频率分布估计总体分布(1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种：一种是用样本的__________估计总体的__________；另一种是用样本的________估计总体的__________.(2)在频率分布直方图中，纵轴表示________，数据落在各小组内的频率用________________表示.各小长方形的面积总和等于________.(3)连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布________.随着样本容量的增加，作图时所分的________增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称之为______________，它能够更加精细地反映出____________________________________.(4)当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以____________________，而且可以______________，给数据的记录和表示都带来方便.2.用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数，中位数，平均数众数：在一组数据中，出现次数________的数据叫做这组数据的众数.中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或者最中间两个数据的________)叫做这组数据的中位数.平均数：样本数据的算术平均数，即x ＝______________.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该________.(2)样本方差，样本标准差 标准差s ＝1n[（x 1－x ）2＋（x 2－x ）2＋…＋（x n －x ）2]，其中xn 是__________________，n 是________，x 是________.标准差是反映总体__________的特征数，________是样本标准差的平方.通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差.自查自纠：1.(1)频率分布 分布 数字特征 数字特征 (2)频率组距各小长方形的面积 1 (3)折线图 组数 总体密度曲线 总体在各个范围内取值的百分比 (4)保留所有信息 随时记录2.(1)最多 平均数1n(x 1＋x 2＋…＋x n ) 相等(2)样本数据的第n 项 样本容量 平均数波动大小 样本方差在频率分布直方图中，各个长方形的面积表示( )A.落在相应各组的数据的频数B.相应各组数据的频率C.该样本所分成的组数D.该样本的样本容量解：在频率分布直方图中，小长方形面积＝组距×频率组距＝频率，所以每个小长方形的面积是相应各组数据的频率.故选B.有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5，15.5)2 [15.5，19.5)4 [19.5，23.5)9 [23.5，27.5)18 [27.5，31.5)11[31.5，35.5)12[35.5，39.5)7 [39.5，43.5)3根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5)的概率约是( )A.16B.13C.12D.23解：落在[31.5，43.5)的频数为22，所以概率约为13.故选B.小波一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )图1图2A.30%B.10%C.3%D.不能确定解：观察图2得，小波一星期的食品开支为：30＋40＋100＋80＋50＝300元；观察图1得，小波一星期的总开支为：30030%＝1000元，所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为301000×100%＝3%.故选C.(2013·上海)某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别为75，80，则这次考试该年级学生平均分数为____________.解：该年级学生平均分数为x ＝75×40%＋80×60%＝78.故填78.在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数为46.故填45，46.类型一 数字特征及其应用 某汽车制造厂分别从A ，B 两种轮胎中各随机抽取了8个进行测试，列出了每一个轮胎行驶的最远里程数(单位：1000 km)：轮胎A 96 112 97 108 100 10386 98轮胎B 108 101 94 105 96 9397 106(1)分别计算A ，B 两种轮胎行驶的最远里程的平均数、中位数；(2)分别计算A ，B 两种轮胎行驶的最远里程的极差、标准差；(3)根据以上数据，你认为哪种型号轮胎的性能更加稳定？解：(1)A 轮胎行驶的最远里程的平均数为： 96＋112＋97＋108＋100＋103＋86＋988＝100，中位数为：100＋982＝99；B 轮胎行驶的最远里程的平均数为： 108＋101＋94＋105＋96＋93＋97＋1068＝100，中位数为：101＋972＝99.(2)A 轮胎行驶的最远里程的极差为：112－86＝26， 标准差为： s ＝错误!＝2212≈7.43；B 轮胎行驶的最远里程的极差为：108－93＝15， 标准差为： s＝错误! ＝1182≈5.43.(3)虽然A 轮胎和B 轮胎的最远行驶里程的平均数相同，但B 轮胎行驶的最远里程的极差和标准差相对于A 轮胎较小，所以B 轮胎性能更加稳定. 点拨： 在理解平均数、中位数、众数、极差、标准差、方差的统计意义和数学表达式的情况下，不难作出解答. (2013·湖北)某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下： 7，8，7，9，5，4，9，10，7，4.则(1)平均命中环数为____________；(2)命中环数的标准差为____________.解：x ＝7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋410＝7，s ＝错误!＝2.故填(1)7；(2)2.类型二 频率分布表、频率分布直方图及其应用 (2014·全国Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？解：(1)这些数据的频率分布直方图为：(2)质量指标值的样本平均数为x ＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100，质量指标值的样本方差为s 2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋02×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104，所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.点拨：(1)先利用表中的数据正确计算每组的频率，再据此作出频率分布直方图，注意纵坐标是频率组距；(2)求平均值时注意利用区间中点值；(3)只须将满足题意的各组数据的频率相加，再进行判断.(2014·广东)随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36.1212的值； (2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；(3)根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30，35]的概率.解：(1)根据已知数据统计出n 1＝7，n 2＝2， 计算得f 1＝0.28，f 2＝0.08.(2)由于组距为5，用频率组距得各组的纵坐标分别为0.024，0.040，0.064，0.056，0.016.不妨以0.008为纵坐标的一个单位长，5为横坐标的一个单位长画出样本频率分布直方图如下.(3)根据样本频率分布直方图，以频率估计概率，则在该厂任取1人，其日加工零件数落在区间(30，35]的频率为0.2，估计其概率为0.2.∴在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30，35]的概率P ＝1－C 04(0.2)0(1－0.2)4＝0.590 4.类型三 茎叶图及其应用以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示.(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y 的分布列和数学期望.注：方差s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n－x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数.。

2015年普通高等学校招生全国统一考试 理 科 数 学第I 卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设复数z 满足i zz =-+11，则z =( ) （A ）1 (B)2 (C)3 (D)2（2）000010sin 160cos 10cos 20sin -=( ) （A ）-23 (B)23 (C) 21- (D)21 （3）设命题p:N n ∈∃，n n 22>，则⌝p 为( )（A ）n n N n 2,2>∈∀ （B ）nn N n 2,2≤∈∃（C ）n n N n 2,2≤∈∀ （D ）n n N n 2,2=∈∃（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。

已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )（A ）0.648 （B ）0.432 (C)0.36 (D)0.312 （5）已知M （00,y x ）是双曲线C:1222=-y X 上的一点，21,F F 是C 的两个焦点，若1MF 02<•MF ,则0y 的取值范围是( )（A ）（33,33-） （B ）（63,63-） （C ）（322,322-） （D ）（332,332-）（6）《九章算术》是我过古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出墙角的米约有（ ）（A ）14斛 （B ）22斛(C) 36斛 (D) 66斛(7)设D 为ABC ∆所在平面内一点,→BC =3→CD ,则（ ）（A ）→AD =-→→+AC AB 3431 （B ）→AD =→→+AC AB 3431 （C ）→AD =-→→+AC AB 3134 （D ）→AD =→→+AC AB 3134 （8）函数)cos()(ϕω+=x x f 的部分图像如图所示，则)(x f 的单调递增区间为（ ）（A ）Z k k k ∈+-),43,41(ππ （B ）Z k k k ∈+-),432,412(ππ （C ）Z k k k ∈+-),43,41( （D ）Z k k k ∈+-),432,412(（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（ ）（A ）5（B ）6（C ）7（D ）8(10) 52)(y x x ++的展开式中，25y x 的系数为（ ）(A) 10(B) 20 (C) 30 (D) 60(11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，该几何体的表面积为16+20π，则r=（ ）（A ）1(B) 2(C) 4(D) 5（12）设函数,)12()(a ax x e x f x +--=其中1<a ，若存在唯一的整数0x 使得0)(<x f ，则a 的取值范围是（ ）（A ）)1,23[e - (B))43,23[e - (C))43;23[e (D))1,23[e第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2015年普通高等学校招生全国统一考试(新课标I)数学理一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数z满足=i，则|z|=( )A.1B.2C.3D.2解析：∵复数z满足=i，∴z=i，∴|z|=1.故选：A2. sin20°cos10°-con160°sin10°=yA.3 -B.3 2C.1 2 -D.1 2解析：原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=1 2.答案：D3.设命题P：∃n∈N，2n>2n，则⌝P为( )A.∀n∈N，2n>2nB.∃ n∈N，2n≤2nC.∀n∈N，2n≤2nD.∃ n∈N，2n=2n解析：p⌝:n N∀∈，22nn≤.答案：C4.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.己知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312解析：由题意可知：同学3次测试满足X∽B(3，0.6)，该同学通过测试的概率为23C(0.6)2×(1-0.6)+33C(0.6)3=0.648.故选：A5.已知M(x0，y0)是双曲线C：2212xy-=上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若1MFu u u u r·2MFu u u u r＜0，则y0的取值范围是( )A.(-3，3)B.(-36，36)C.(-223，223)D.(-23，23)解析：由题意，1MFu u u u r·2MFu u u u r=(3-x0，-y0)·(-3-x0，-y0)=x02-3+y2=3y2-1＜0，所以-33＜y0＜33.故选：A6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

第二章函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用§2.1函数及其表示1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).从近几年高考来看，函数的概念、分段函数的解析式和求函数值是重点考查的内容之一，主要以选择、填空题的形式出现.1.函数的概念一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有________f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个________，记作y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做________，x的取值范围A叫做函数的________；与x的值相对应的y值叫做________，其集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________.2.函数的表示方法(1)解析法：就是用________表示两个变量之间的对应关系的方法.(2)图象法：就是用________表示两个变量之间的对应关系的方法.(3)列表法：就是________表示两个变量之间的对应关系的方法.3.构成函数的三要素(1)函数的三要素是：________，________，________.(2)两个函数相等：如果两个函数的________相同，并且完全一致，则称这两个函数相等.4.分段函数若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数.5.映射的概念一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于A中的________元素x，在集合B中都有________元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.6.映射与函数的关系(1)联系：映射的定义是在函数的现代定义(集合语言定义)的基础上引申、拓展而来的；函数是一种特殊的_____________.(2)区别：函数是从非空数集．．A到非空数集．．B的映射；对于映射而言，A和B不一定是数集．．.7.复合函数一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数.【自查自纠】1.唯一确定的数函数自变量定义域函数值值域2.(1)数学表达式(2)图象(3)列出表格3.(1)定义域对应关系值域(2)定义域对应关系5.任意一个唯一确定的6.(1)映射(2012·江西)下列函数中，与函数y＝13x定义域相同的函数为()A．y＝1sin x B．y＝ln xxC．y＝x e x D．y＝sin xx解：函数y＝13x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，列判断正确的是．都表示映射，都表示y 是x 的函数 ．仅③表示y 是x 的函数 ．仅④表示y 是x 的函数 ．都不能表示y 是x 的函数根据映射的定义，①②③中，x 与y 的对应关系都不是映射，当然不是函数关系，④是映射，是函数关系．故选C.函数y ＝－x 2－3x ＋4x的定义域________________.依题意知⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0，x ≠0， 解得－4≤1.故填[－4，0)∪(0，1]．规定记号“*”表示一种运算，且a *b ＝ab ，a b 是正实数，已知1*k ＝3.正实数k 的值为____________；在(1)的条件下，函数f (x )＝k *x 的值域是___________.∵1*k ＝k ＋k ＋1＝3，∴k ＝1；k *x ＝1*x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>1，∴函数f (x )＝k *x 的值域是．故填1；(1，＋∞)．________.①P ＝Z 素取绝对值与集合②P ＝{→y ＝x 2 ①A ＝R ②A ＝⎩⎨⎧a ：a →b ， 相等的函数是A ．g (x一函数的是(A．f(x)＝B．f(x)＝的定义域.(2)若函数的定义域求函数f(x)的定义域(2)已知函数的定义域.解：(1)∵(1)y＝11(3)y＝2，x ＜－12，，－12≤x ≤4，＞4，作出其图象，可知函数f (x )的值域是求函数值域的常用方法：①单调性法，(2)；③分离常数法，如(包括代数换元与三角换元⑥判别式法，如(4)；⑦不等式法，⑧导数法，主要是针对在某区间内连续可导的函数；⑨图象法求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出函数的值域，如(5)，(6))，其解法要针对具体题目可以将二元函数化为一元函数求值只能用不等式法求值域．求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．求下列函数的值域：(1)y ＝x ＋； (2)f (x )＝解：(1)函数的定义域为和y ＝(1)已知；(2)已知(3)已知，求f(x)(2)已知2x＋17，求(3)已知1－x），－1）－f ________.解：∵x>02x，x＞012（－x），范围是(A．(－1(a )＞f (－a )，则有由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log ）＞log 2（－a ）⇒⎩⎪⎨⎪⎧）＞0.或－1＜a ＜0.故选类型七 创新问题对实数a 与b ，定义运算a －b ≤1a －b >1.若函数y ＝f c 的取值范围是由图可知，要使y ＝f ()x 与y ＝c 的图象有两个交的活动范围是在l 1与l 2之间， a －b ）2)A ．f (x )＝§2.2函数的单调性与最大(小)值1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.掌握简单函数单调性的判断和证明方法.3.能将函数单调性、最大(小)值的定义、图象、求导等紧密结合，并能综合应用，解决函数单调性问题.函数的单调性、最值一直是高考的热点.1.函数的单调性(1)增函数与减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：①如果对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是.②如果对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是.(2)单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) ，区间D叫做y＝f(x)的.2.函数的最值(1)最大值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有；②存在x0∈I，使得.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值.(2)最小值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：①对于任意的x∈I，都有；②存在x0∈I，使得.那么我们称m是函数y＝f(x)的最小值.【自查自纠】1.(1)①任意两个增函数②任意两个减函数(2)单调性单调区间2.(1)①f(x)≤M②f(x0)＝M(2)①f(x)≥m②f(x0)＝m(2012·广东)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A．y＝ln(x＋2) B．y＝－x＋1C．y＝⎝⎛⎭⎫12xD．y＝x＋1x解：易知选项中4个函数均在区间(0，＋∞)上有意义，由y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)可知：y ＝ln(x＋2)在(0，＋∞)上是增函数．故选A.若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是()A．2 B．－2C．2或－2 D．0解：当a>0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2；当a<0时，a＋1－(2a＋1)＝2，即a＝－2，所以a＝±2.故选C.下列区间中，函数f(x)＝||ln（2－x）在其上为增函数的是()A．(－∞，1] B.⎣⎡⎦⎤－1，43C.⎣⎡⎭⎫0，32D．[1，2)解：f(x)的定义域为(－∞，2)，f(1)＝0，当x∈[1，2)时，f(x)＝－ln(2－x)，由复合函数的单调性特征知f(x)为增函数．故选D.函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是____________.解：f(x)的定义域为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.∵u＝2x＋1在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上单调递增，且u∈(0，＋∞)，y＝log5u在(0，＋∞)上单调递增．∴f(x)在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上单调递增．故填⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.(2012·上海)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数).若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是__________.解：图象法，根据函数f(x)＝e|x-a|＝⎩⎪⎨⎪⎧e x-a，x≥a，e-x+a，x＜a.的图象如图所示，由图象知当为增函数，而已知函数上为增函数，所以a的取值范围为判断函数的单调性，求函数的单调区间2013·重庆模拟)求下列函数的单调区间：①y＝－＋3；②y＝1x＋2；③y＝x①依题意，可得＝－x2＋2x＋3＝－(＝－x2－2x＋3＝－由二次函数的图象知，函数y＝－上是增函数，在[y＝－x2＋2|x|＋1]；单调减区间为0，得x≥2或x≤，则y＝1－u，减的是________①f(x)＝③f(x)＝上是单调增函数，求实数解：设是单调增函数．在区间[2解：设假设符合条件的当a>1时，由复合函数的单调性知，只需y)＝f(x＋(1)求证：(2)求f(∞)，且对一切时，有(1)求f(1)(2)判断－1)＜0，f (11)＝f (3)＞(80)＜f (11)，故选D .若函数f (x )＝||2x ＋a 的单调递增区a ＝____________.函数的对称轴为x ＝－a2，由对称性可知6. (3)＝0⇒a ＝－6.故填－若函数f (x )＝a x (a >0，，最小值为m ，且函数增函数.§2.3函数的奇偶性与周期性了解函数奇偶性的含义.在高考中，函数的奇偶性、周期性常与函数的其他性质结合在一起命题，综合考查学生对函数基本概念及性质的理解，题型以选择、填空为主.1.奇偶函数的概念(1)偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数.(2)奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数.2.奇偶函数的图象特征偶函数的图象关于对称；奇函数的图象关于对称.3.具有奇偶性函数的定义域的特点具有奇偶性函数的定义域关于，即定义域关于是一个函数具有奇偶性的条件.4.周期函数的概念(1)周期、周期函数对于函数f(x)，如果存在一个T，使得当x取定义域内的值时，都有，那么函数f(x)就叫做周期函数.T叫做这个函数的周期.(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.5.函数奇偶性与单调性之间的关系(1)若函数f(x)为奇函数，在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上应为；(2)若函数f(x)为偶函数，在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上应为.6.奇偶函数的“运算”(共同定义域上)奇±奇＝，偶±偶＝，奇×奇＝，偶×偶＝，奇×偶＝.7.函数的对称性如果函数f(x)，x∈D，满足∀x∈D，恒有f(a＋x)＝f(b－x)，那么函数的图象有对称轴；如果函数f(x)，x∈D，满足∀x∈D，恒有f(a－x)＝－f(b ＋x)，那么函数的图象有对称中心.8.函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴x＝a，x＝b(a<b)，则函数f(x)是周期函数，且周期T ＝2(b－a)(不一定是最小正周期，下同).(2)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两个对称中心A(a，0)，B(b，0)(a<b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝2(b－a).(3)如果函数f(x)，x∈D在定义域内有一条对称轴x＝a和一个对称中心B(b，0)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝4|b－a|.【自查自纠】1.(1)f(－x)＝f(x)(2)f(－x)＝－f(x)2.y轴原点3.原点对称原点对称必要不充分4.(1)非零常数每一个f(x＋T)＝f(x)(2)最小5.(1)增(减)函数(2)减(增)函数6.奇偶偶偶奇7.x＝a＋b2⎝⎛⎭⎫a＋b2，0(2013·广东)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是() A．4 B．3 C．2 D．1解：易知函数y＝x3，y＝2sin x为奇函数，故选C.(2013·山东)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝()A．－2 B．0 C．1 D．2解：∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.故选A.(2013·东北三校联考)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝()A．－1 B．1 C．－2 D．2解：∵函数f(x)的周期为5，∴f(3)－f(4)＝f(－2)－f(－1)，又∵f(x)为R上的奇函数，∴f(－2)－f(－1)＝－f(2)＋f(1)＝－2＋1＝－1.故选A.设函数f(x)＝x(e x＋a e－x)(x∈R)是偶函数，则实数a＝.解：令g(x)＝x，h(x)＝e x＋a e－x，因为函数g(x)(1)f(x)＝(2)f(x)＝，∴－2≤x≤2且x≠0定义域关于原点对称．偶性：(1)f(x)＝(2)f(x)＝(1)求证：(2)若f(1)(3)若当f(x)的解析式称，且当x∈x).解：由题意知函数期的周期函数．所以先求出一个周期内的表达式，然2]上单调递减，若值范围是________________解：∵∴f(1－－1，1)上又是减函数，且满足的取值范围为解：由奇函数的性质得＋x)＝f(5－2014，A．808解：∵数，且f(2)＝成立，则A．4024解：函数是定义在R 上的偶函数，且满足：；②当0≤x ≤1时，是否为周期函数；.）＝f （2－x ），）＝f （－x ） ⇒x )是周期为2的周期函数．1.5)＝f (1.5)＝f (2－x )的定义域为(－2，的定义域；为奇函数，并且在定义域上单调递减，的解集.由题意可知，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <3，12<x <52，的偶函数，当§2.4 二次函数二次函数虽属于初中内容，在考试大纲中也没有明确要求，但二次函数、一元二次方程和一元二次不等式又是高考的热点内容之一，因此，二次函数的重要性在于它的工具性和基础性，从题型上看，选择、填空、大题都有.掌握好二次函数的关键是掌握其图象，记住它的图象，其性质就很容易掌握.1.二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f (x )＝ (a ≠0)； (2)顶点式：f (x )＝ (a ≠0)； (3)零点式：f (x )＝ (a ≠0). 2.二次函数的图象与性质(1)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性分别是：①对称轴：x ＝ ； ②顶点坐标： ；③开口方向：a ＞0时，开口 ，a ＜0时，开口 ；④值域：a ＞0时，y ∈ ，a ＜0时，y ∈ ；⑤单调性：a ＞0时，f (x )在 上是减函数，在 上是增函数；a ＜0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－b2a 上是 ，在⎝⎛⎭⎫－b 2a ，＋∞上是____________. (2)二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的零点(图象与x 轴交点的横坐标)是相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的 ，也是一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0(或ax 2＋bx ＋c ≤0)解集的 .3.二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上必有最大值和最小值.它只能在区间的 或二次函数的 处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值.4.一元二次方程根的讨论(即二次函数零点的分布)设x 1，x 2是实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的两实根，则x 1，x 2的分布范围与系数之间的关向下④⎣⎡⎭⎫4ac－b24a，＋∞⎝⎛⎦⎤－∞，4ac－b24a⑤⎝⎛⎭⎫－∞，－b2a⎝⎛⎭⎫－b2a，＋∞增函数减函数(2)根端点值3.端点顶点函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是()A．m＝－2 B．m＝2C．m＝－1 D．m＝1解：当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1，对称轴为x＝1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立．故选A.(2013·重庆)()3－a()a＋6()－6≤a≤3的最大值为()A．9 B.92C．3 D.322解：（3－a）（a＋6）＝－⎝⎛⎭⎫a＋322＋814≤92，当a＝－32时，取等号．故选B.(也可用基本不等式求解)设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()解：A选项中，由于二次函数图象开口向下，所以a<0，且函数与y轴交点在y轴负半轴，所以c<0，又abc>0，所以b>0，函数的对称轴x＝－b2a>0，显然A不正确；B选项中，a<0，c>0，所以b<0，所以对称轴x＝－b2a<0，所以B不正确；C选项中，a>0，c<0，所以b<0，所以对称轴x＝－b2a>0，所以C错．故选D.若函数y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是.解：m＝0时，函数在给定区间上是增函数；m≠0时函数是二次函数，由题知m＞0，对称轴为x＝－12m≤－2，∴0＜m≤14，综上0≤m≤14.故填⎣⎡⎦⎤0，14.(2012·江苏改编)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)－c＜0的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________.解：由条件设f(x)－c＝(x－m)(x－m－6)，∴f(x)＝x2－(2m＋6)x＋m(m＋6)＋c.由于f(x)的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0，∴(2m＋6)2－4[m(m＋6)＋c]＝0，解得c＝9.故填9.类型一求二次函数的解析式已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1, f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式.解法一：(利用一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝8，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a＝－4，b＝4，c＝7.∴所求二次函数为y＝－4x2＋4x＋7.解法二：(利用顶点式)设f(x)＝a(x－m)2＋n，∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝2＋（－1）2＝12，∴m＝12，又根据题意，函数有最大值为8，∴n＝8，∴f(x)＝a⎝⎛⎭⎫x－122＋8.∵f(2)＝－1，即a⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1.解之得a＝－4.∴f(x)＝－4⎝⎛⎭⎫x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.解法三：(利用零点式)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，即g(x)＝f(x)＋1的两个零点为2，－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.⎭⎫32－x 对的两实根之差的绝对值等于析式.解：∵a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0， >0，c <0，b 2－4ac >0，图象开口向上，在y 轴上截距为负，且过故选A.【评析】a 决定抛物线开口的方向，c 确定抛物线轴上的截距，b 与a 确定顶点的横坐标(或对称轴，再结合题设条件就不难解答此题了．在同一坐标系中，函数y ＝ax 2＋bx ＋b (ab ≠0)的图象只可能是( )解：抛物线y ＝ax 2＋bx 过原点排除A ，又直线与抛物线y ＝ax 2＋bx 都过点⎝⎛⎭⎫－ba ，0，排除故选D.类型三 二次函数的最值(2013·济南模拟)已知f (x )＝ax (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值g (a ).解：(1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0，1]上单调递减，∴g (a )＝f (x )min ＝f (1)＝－2. 当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口方向向上，且其对称轴为x ＝1a .当0＜1a≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象对上有最小值解：f(x)①当t≤1②当t>1(1)若方程有两根，其中一根在区间另一根在区间(2)若方程两根均在区间1<0，2>0，2<0，5>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m<－m∈m<－m>－的取值范围为⎩⎨⎧m|－56＜m＜－轴交点落在区间1>0，2>0，4（2m＋1）≥0，≤1－2，∴－12<的取值范围为⎩⎨⎧m|－12＜m≤1一元二次方程根的分布，即二次函数零点的分布，关键在于作出二次函数的草图，由此列出不等式组，要注意二次函数的对称轴及2012·郑州模拟)已知二次函数bx＋c(b，＋b＝0的两个实数根分别在区间内，求实数解：由题意知2tx＋2t＋§2.5 基本初等函数(Ⅰ)1. 指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景.(2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.(3)理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象.(4)体会指数函数是一类重要的函数模型. 2. 对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.(2)理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点.会画底数为2，10，12的对数函数的图象.(3)体会对数函数是一类重要的函数模型.(4)了解指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a >0且a ≠1).3. 幂函数(1)了解幂函数的概念.(2)结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x的图象，了解它们的变化情况.指数函数、对数函数在高考中属常考内容.以考查指数函数、对数函数的图象、性质为主，性质又以单调性为主，有时在大题中与其他函数混合出现，一般用导数方法解决.高考中常以5种幂函数为载体，考查幂函数的图象及性质，题目多以选择填空题的形式 出现.(一)指数函数 1. 根式(1)n 次方根：如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的 ，其中n ＞1，且n ∈N *.①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个 数，负数的n 次方根是一个 数，这时a 的n 次方根用符号 表示.②当n 为偶数时，正数的n 次方根有 个，这两个数互为 .这时，正数a 的正的n 次方根用符号 表示，负的n 次方根用符号 表示.正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成 .③负数没有偶次方根.④0的n (n ∈N *)次方根是 ，记作 . (2)根式：式子na 叫做根式，这里n 叫做 ，a 叫做 .(3)根式的性质：n 为奇数时，na n ＝ ； n 为偶数时，na n ＝ . 2. 幂的有关概念及性质 (1)正整数指数幂：a n ＝(n ∈N *).(2)零指数幂：a 0＝ .这里a 0. (3)负整数指数幂：a -n ＝ (a ≠0，n ∈N *). (4)正分数指数幂：a m n＝ (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1).(5)负分数指数幂：a -m n＝ (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1).(6)0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂.(7)有理指数幂的运算性质 ⎩⎪⎨⎪⎧a r a s＝ （a ＞0，r ，s ∈Q ），（a r ）s＝ （a ＞0，r ，s ∈Q ），（ab ）r ＝ （a ＞0，b >0，r ∈Q ）.注：无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.3. 指数函数的图象及性质定义一般地，函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)叫做指数函数图象a ＞10＜a ＜1定义域 __________ 值域 __________ 性 质过定点__________在R 上是 __________在R 上是 __________位长度，所得图象与曲线⎛ _________(2)0.75－1614.(1)y＝⎝⎛(3)y＝2解：(1)(1)y＝82(3)y＝⎝⎛1 2解：(1)因为列五个关系：①＜a＜0)A．1个与指数函数有关的比较大小问题，除了应用函数的单调性外，还用到指数函数图象的程度，也就是函数f(x)增(减)的快慢．2013·合肥模拟)函数f(x)＝如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是)＜0＞0，b＞0，b＜0由图象知f(x)是减函数，∴0＜a＜轴的截距小于1可知a－b＜1，即－类型四指数函数的综合问题已知函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫13x，x∈[－＝f 2(x)－x)＋3的最小值为h(a).(1)若f(x(2)若2t f的取值范围解：(1)当(1)log535(2)a log(3)(log2(1)(lg2)2(2)(log32(3)lg600lg10，c＝A．c>b C．a>c 解：a＝-12，则(A．x＜yC．z＜y解：由对数与指数性质知(1)若f((2)若函数(3)若函数的取值范围；x＋3).(1)若f(1)(2)是否存在实数求出a的值；若不存在，说明理由a≠1).f(x)－f⎝⎛(1)求f(x(2)若方程图象，已知，C2，C3数形结合法)：如图，作直线的图象与直线x＝t的交点为的大小与图象交点的“高低特殊值法)：当x＝2时，，y4＝2－1＝12，故填3，2，12，－利用幂函数的性质比较大小，往往伴解：因为幂函数0.7＜1，所以1.3x是增函数，并且C ．3 ⎝⎛⎭⎫13，23，N ⎝⎛23，13，即α＝log 2313，β2313＝1.故选A.的方程a ·4x ＋b ·2x ＋异号，则下列结论中正确的是．此方程无实根．此方程有两个互异的负实根 ．此方程有两个异号实根 ．此方程仅有一个实根，则at 2＋bt ＋c ＝t 2＝－b a ＜0，t 1t 2＝2x 单调递增，所以只有一正根，故选D .已知函数f (x )＝lg x ， .(2x ＋t )(t§2.6函数与方程结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.从近两年的高考试题来看，函数的零点，方程根的问题是热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题.预计今后高考仍有可能以函数的零点，方程根的存在性问题为主要考点，并结合考查相应函数的图象和性质.1.函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数有零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴⇔函数y＝f(x) .2.函数的零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈，使得，这个c也就是方程f(x)＝0的根.3.二次函数的零点分布(即一元二次方程根的分布，见2.4考点梳理4)【自查自纠】1.(1)f(x)＝0(2)有交点有零点2.f(a)·f(b)＜0(a，b)(a，b)f(c)＝0函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1) B．(－1，0)C．(0，1) D．(1，2)解：∵f(－1)＝12－3<0，f(0)＝1>0，∴f(－1)·f(0)<0，因此，函数f(x)在区间(－1，0)内有零点．故选B.(2012·湖北)函数f(x)＝x cos x2在区间[0，4]上的零点个数为()A．4 B．5 C．6 D．7解：若f(x)＝0，则x＝0或cos x2＝0，x2＝kπ＋π2，k∈Z，又x∈[0，4]，k＝0，1，2，3，4，所以f(x)共有6个零点．故选C.已知a是函数f(x)＝ln x－log12x的零点，若0＜x0＜a，则()A．f(x0)＝0 B．f(x0)＞0C．f(x0)＜0 D．f(x0)的符号不确定解：因为f(x)＝ln x－log12x在(0，＋∞)上是增函数，所以当0＜x0＜a时，有f(x0)＜f(a)＝0，故选C.已知实数a≠0，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋a，x<1，－x－2a，x≥1.若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为.解：⎩⎪⎨⎪⎧a>0，2（1－a）＋a＝－（1＋a）－2a，或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，－（1－a）－2a＝2（1＋a）＋a .可得a＝－34.故填－34.方程ln x＝8－2x的实数根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.解：令函数f(x)＝ln x＋2x－8，∴f′(x)＝1x＋2＞0(x＞0)，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝－6＜0，f(2)＝ln2－4＜0，f(3)＝ln3－2＜0，f(4)＝ln4＞0，∴f(x)的唯一零点在(3，4)内，因此k＝3.故填3..(1)f(x)＝(2)f(x)＝的零点所在的大致区间是A．(1，C．(1，解：∵f1)内的零点个数是A．0解法一：定义域上单调递增且连续，＝2x，y2＝2－x3，在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，在区间(0f(x)的零点个数．故选零点个数为(A．1解：函数判断函数在给定区间零点的步骤确定函数的图象在闭区间[a，bb)的值并判断f(a)·f0，则有实数解.除了用上面的零点存在性定理判断外，有时还需结合相应函数的图象来作出判断.零点个数(方程f(x)＝判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由)＝0的判别式Δ＞0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断对于一般函数零点个数的判断，点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题.在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)·f(b)＜0，则长春第二次调研)若a ＞2，则函数2)内零点的个数为(．2 C ．1 (x )＝x 2－2ax ，由a 时恒为负数，即f (x )在(0，＝83－4a ＋1＜0，则内只有一个零点，故选是函数f (x )＝2x ＋11－x 的一个零点，若，＋∞)，则( )2)<0 B ．f (x 1)<02)<0 D ．f (x 1)>0g (x )＝11－x ＝－1x －＝2x 在(1，＋∞)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递增，所以函数x)，f(x)＝§2.7函数的图象1.掌握常见函数的图象(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、幂函数).2.会利用图象变换的知识作出一些简单函数的图象.3.会求经过某种变换后所得图象的函数表达式.4.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.图象是函数的重要表现形式，数形结合是研究函数的重要技巧与方法.在历年高考中，都有直接或间接考查函数图象的题目出现.1.作函数的图象有两种基本方法：(1)利用描点法作图，其一般步骤为：①确定函数定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；④描点并作出函数图象.(2)图象变换法.2.图象变换的四种形式(1)平移变换①水平平移：y＝f(x)的图象向左平移a(a＞0)个单位长度，得到________的图象；y＝f(x－a)(a＞0)的图象可由y＝f(x)的图象向________平移a个单位长度而得到.②竖直平移：y＝f(x)的图象向上平移b(b＞0)个单位长度，得到________的图象；y＝f(x)－b(b＞0)的图象可由y＝f(x)的图象向________平移b个单位长度而得到.总之，对于平移变换，记忆口诀为“左加右减，上加下减”.(2)对称变换①y＝f(－x)，y＝－f(x)，y＝－f(－x)三个函数的图象与y＝f(x)的图象分别关于、、对称；②若对定义域内的一切x均有f(m＋x)＝f(m－x)，则y＝f(x)的图象关于直线对称.(3)伸缩变换①要得到y＝Af(x)(A>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的纵坐标伸(A>1时)或缩(A<1时)到原来的；②要得到y＝f(ax)(a>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸(a<1时)或缩(a>1时)到原来的.(4)翻折变换①y＝|f(x)|的图象作法：作出y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，上方的部分不变；②y＝f(|x|)的图象作法：作出y＝f(x)在y轴右边的图象，以y轴为对称轴将其翻折到左边得y＝f(|x|)在y 轴左边的图象，右边的部分不变.【自查自纠】2.(1)①y＝f(x＋a)右②y＝f(x)＋b下(2)①y轴x轴原点②x＝m(3)①A倍②1a倍(2013·福建)函数f(x)＝ln()x2＋1的图象大致是()解：由函数解析式可知f(x)＝f(－x)，即函数为偶函数，排除C；由函数图象过(0，0)点，排除B，D.故选A.函数f(x)＝2x＋2－x的图象()解：令x ＝2，则y ＝－f (2－x )＝－f (0)项可排除，令x ＝1，则y ＝－f (2－x )＝－可排除A ，C 项，故选B.若将函数y ＝f (x )的图象向左平移再沿y 轴对折，得到y ＝lg(x ＋1)的图象，则 .解：把y ＝lg(x ＋1)的图象沿y 轴对折得到y ＝lg(－x ＋1)的图象，再将图象向右平移得y ＝lg[－(x －2)＋1]＝lg(3－x )的图象．∴f (x )＝lg(3－x )，故填lg (3－x )．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，log c ⎝⎛⎭⎫x ＋116，x ≥0 的图象如图所示，则abc ＝ .解：依图象有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，－a ＋b ＝0，log c116＝2.得a ＝(1)y ＝|x (2)y ＝|log (3)y ＝2(1)＝log 2x 的图象，然后向左平移轴下方的图象沿x 轴对折，图(3)函数的解析式为y ＝2x －1x ＋1＝2①本题中(2)(3)的函数的图象是由基本函数通过变换得到的，因此可先作最基本的函数的图象，伸缩、对称等变换作出待作函数的图象；②变换法作函数的图象是经常用到的一种作图方法，在作图时，应注意先作出图象的关键点和关键线(如对称轴、渐近线等函数奇偶性与基本函数图象的特征作图，也是常用方作出下列函数的图象：x －1－1＝2（x －1）＋1x －1.－∞，1)∪(1，＋∞)．的图象向右平移1个单位得＝1x －1的图象向上平移2个单位可得的图象．类型二 识图2012·山东)函数y ＝cos6x2x －2 )解：令f (x )＝cos6x2x －2－x，由f (－x )＝－f (x )知f (x )为奇 )解：由3x－1≠0，得x ≠0，可排除A ；当x ＜0，可排除B ；当x 趋近于＋∞时，y 趋近于0.可排故选C.类型三 用图设a 为实数，且1＜x ＜3，试讨论关于的方程x 2－5x ＋3＋a ＝0的实数解的个数.解：原方程即a ＝－x 2＋5x －3.分别作出函数y ＝－x 2＋5x －3＝－⎝⎛⎭⎫x －522＋1343)和y ＝a 的图象，得a ＞134或a ≤1时，原方程的实数解的个数为a ＝134或1＜a ≤3时，原方程的实数解的个数3＜a ＜134时，原方程的实数解的个数为2.＝x3＋x的零点依次为小顺序为(A．b>cC．a>b合理处理识图题与用图题对于给定的图象，要能从图象的左、右、上、下分布的范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、最大值、最函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量”的直观性，它是探求解题途径，使问题成功获解的重要依托.函数图象主要应用于以下方面：①求函数的解析式；②求函数的定义域；③求函数的值域；④求函数⑤判断函数的奇偶性；⑥求函数的单调区间；⑦解不等式；⑧证明不等式；⑨探求关于方程根的分布问题；⑩比较大小；⑪求函数周期.图象对称性的证明证明函数的对称性，即证明其图象上的任意一或对称轴)的对称点仍在图象上与C2的对称性，即证明或对称轴)的对称点在研究函数的图象必须与函数的性质有机结合起的完美结合，不要将二者割裂易知函数y＝e21x-为偶函数，因此排除e21x-＞0，故排除D.故选C.f(x)＝x－cos x，则方程f(x)＝0在[0上的实根个数是()．没有实根．有且仅有一个实根．有且仅有两个实根．有无穷多个实根令f(x)＝x－cos x＝0，即x＝cos x，画出函和y＝cos x的图象(如图)，函数y＝x与函数的图象仅在x＝α⎝⎛⎭⎫0<α<π2处有一个交点．把函数y＝log2(x－1)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12个单位长度所得图象的)＝log2(2x＋1) B．y＝log2(2x＋＝log2(2x－1) D．y＝log2(2x－把函数y＝log2(x－1)图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到y＝log2(2x－1)的图象，再向右单位长度，所得函数的解析式为⎦⎤⎭⎫12－1＝log2(2x－2)．故选D.y＝2-|x-1|－m的图象与x轴有交点时，取值范围是()。

"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 11-5古典概型课后强化作业 北师大版 "基础达标检测一、选择题1．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为( ) A.12 B.13 C.23 D ．1[答案] C[解析] 因为三个人被选中的可能性相等，且基本事件是有限的，故是古典概型，基本事件为甲乙，甲丙，乙丙，故甲被选中有甲乙，甲丙，故P ＝23.2．(文)盒中有10个铁钉，其中8个合格，2个不合格，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是( )A.15B.14C.45D.110 [答案] C[解析] 每个铁钉被选中的可能性是相等的，而且试验中所出现的基本事件共有10个，是有限的，是古典概型，任取一个恰为合格铁钉的事件有8个，故概率为P ＝810＝45. (理)从数字1,2,3中任取两个不同数字组成两位数，该数大于23的概率为( ) A.13 B.16 C.18 D.14[答案] A[解析] 从数字1,2,3中任取两个不同数字组成的两位数有12,21,13,31,23,32，共6种，每种结果出现的可能性是相等的，所以该试验属于古典概型．记事件A 为“取出两个数字组成两位数大于23”，则A 中包含31,32两个基本事件，故P (A )＝26＝13.3．(2014·金华模拟)从1,2,3,4,5,6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率是( )A.35B.25C.13D.23[答案] D[解析] 取出的两个数是连续自然数有5种情况，则取出的两个数不是连续自然数的概率P ＝1－515＝23.4．某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是( )A ．一定不会淋雨B ．淋雨的可能性为34C ．淋雨的可能性为12D ．淋雨的可能性为14[答案] D[解析] 此次野营共4种结果：下雨，收到帐篷；不下雨，收到帐篷；下雨，未收到帐篷；不下雨，未收到帐篷．只有“下雨，未收到帐篷”会淋雨，所以P ＝14.5．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34[答案] A[解析] 甲乙两位同学参加3个小组的所有可能性共3×3＝9(种)，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3种，故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为P ＝39＝13.6．(文)甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子(六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6)．设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x ，y ，则满足复数x ＋y i 的实部大于虚部的概率是( )A.16B.512 C.712 D.13 [答案] B[解析] 总共有36种情况．当x ＝6时，y 有5种情况； 当x ＝5时，y 有4种情况；当x ＝4时，y 有3种情况； 当x ＝3时，y 有2种情况；当x ＝2时，y 有1种情况． 所以P ＝5＋4＋3＋2＋136＝512.(理)投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)2为纯虚数的概率为( ) A.13 B.14 C.16 D.112[答案] C[解析] ∵(m ＋n i)2＝m 2－n 2＋2mn i 为纯虚数， ∴m 2－n 2＝0，∴m ＝n ，(m ，n )的所有可能取法有6×6＝36种，其中满足m ＝n 的取法有6种，∴所求概率P ＝636＝16. 二、填空题7．(2013·重庆高考)若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________．[答案] 23[解析] 本题考查排列组合及概率．甲、乙、丙三人站成一排共有6种站法，而甲、乙两人相邻的站法有4种， ∴甲、乙两人相邻的概率为46＝23.8．(文)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．[答案] 35[解析] 本题考查等比数列及古典概型的知识．等比数列的通项公式为a n ＝(－3)n －1.所以此数列中偶数项都为负值，奇数项全为正值．若a n ≥8，则n 为奇数且(－3)n －1＝3n －1≥8，则n －1≥2，∴n ≥3，∴n ＝3,5,7,9共四项满足要求．∴p ＝1－410＝35.(理)从甲、乙等10位同学中任选3位去参加某项活动，则所选3位中有甲但没有乙的概率为________．[答案]730[解析] 若所选的3位中有甲但没有乙，只需从剩下的8位同学中选2位即可，故所求概率为P ＝C 28C 310＝730.9．(文)一次掷两粒骰子，得到的点数为m 和n ，则关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋4＝0有实数根的概率是________．[答案]1112[解析] 基本事件共36个，∵方程有实根， ∴Δ＝(m ＋n )2－16≥0，∴m ＋n ≥4，其对立事件是m ＋n <4，其中有(1,1)，(1,2)，(2,1)共3个基本事件，∴所求概率为P ＝1－336＝1112. (理)(2013·黑龙江哈尔滨六校联考)第十五届全运会将在哈尔滨市举行，若将6名志愿者每2人一组，分派到3个不同场馆，则甲、乙两人必须在同组的概率是________．[答案] 15[解析] 6个人平均分3组共有C 26C 24C 22A 33＝15种，甲、乙同组的概率为P ＝315＝15. 三、解答题10．(文)(2013·陕西高考)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：(1)其中从B 组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表.(2)在的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．[解析] (1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：(2)记从12312组抽到的6个评委为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，其中b 1，b 2支持1号歌手，从{a 1，a 2，a 3}和{b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6}中各抽取1人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2共4种，故所求概率p ＝418＝29.(理)已知10件产品中有3件是次品．(1)任意取出3件产品作检验，求其中至少有1件是次品的概率；(2)为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品作检验？ [解析] (1)任意取出3件产品作检验，全部是正品的概率为C 37C 310＝724.∴至少有一件是次品的概率为1－724＝1724.(2)设抽取n 件产品作检验，则3件次品全部检验出的概率为C 33C n －37C n 10＝C n －37C n 10.由C n －37C n 10>0.6， 即7！(n －3)！(10－n )！>610·10！n ！(10－n )！，整理得n (n －1)(n －2)>9×8×6，∵n ∈N ，n ≤10，∴当n ＝9或n ＝10时上式成立．∴为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取9件产品作检验．能力强化训练一、选择题1．设a 、b 分别是甲、乙各抛掷一枚骰子得到的点数，已知乙所得的点数为2，则方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根的概率为( )A.23B.13C.12D.512[答案] A[解析] 由已知得b ＝2，则Δ＝a 2－4b ＝a 2－8>0，解得a >22，故a ＝3,4,5,6，故所求概率为46＝23，选A.2．(文)把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p ＝(m ，n )，q ＝(－2,1)，则向量p ⊥q 的概率为( )A.118B.112C.19D.16[答案] B[解析] ∵向量p ⊥q ，∴p ·q ＝－2m ＋n ＝0，∴n ＝2m ，满足条件的(m ，n )有3个：(1,2)，(2,4)，(3,6)，又基本事件的总数为36，∴P ＝336＝112，故选B.(理)已知k ∈Z ，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,4)，若|AB →|≤10，则△ABC 是直角三角形的概率是( )A.17B.27 C.37 D.47 [答案] C[解析] 由|AB →|＝k 2＋1≤10，解得－3≤k ≤3， 又k ∈Z ，故k ＝－3，－2，－1,0,1,2,3. BC →＝AC →－AB →＝(2,4)－(k,1)＝(2－k,3)若A 是直角，则AB →·AC →＝(k,1)·(2,4)＝2k ＋4＝0，得k ＝－2；若B 是直角，则AB →·BC →＝(k,1)·(2－k,3)＝(2－k )k ＋3＝0，得k ＝－1或3；若C 是直角，则BC →·AC →＝(2－k,3)·(2,4)＝2(2－k )＋12＝0，得k ＝8(不符合题意)． 故△ABC 是直角三角形的概率为37，选C.二、填空题3．(2013·新课标Ⅱ)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________． [答案] 0.2[解析] 从5个数中任取2个，所有基本事件为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共有10个元素．记A ＝“其和为5”，则A 中有(1,4)，(2,3)共2个元素， ∴P (A )＝210＝0.2.4．(文)(2014·银川模拟)将一颗骰子投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为________．[答案]512[解析] 圆心(2,0)到直线ax －by ＝0的距离d ＝|2a |a 2＋b 2，当d <2时，直线与圆相交，则有d ＝|2a |a 2＋b 2<2，得b >a ，满足题意的b >a 共有15种情况，因此直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为1536＝512.(理)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．[答案] 15[解析] 本题考查古典概型、排列组合知识． 解法1：基本事件总数A 66＝720.事件A “相邻两节文化课之间至少间隔一节艺术课”分两类，一类是相邻两节文化课间都恰有一节艺术课，有2A 33A 33＝72种排法，另一类是相邻两节文化课之间有一节艺术课或两节艺术课，有A 33C 23A 22A 22＝72种排法．∴P (A )＝72＋72720＝15.解法2：6节课的全排列为A 66种，先排3节艺术课有A 33种不同方法，同时产生4个空，再利用插空法排文化课共有A 34种不同方法，故由古典概型概率公式得P (A )＝A 33·A 34A 66＝15.三、解答题5．袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球．(1)试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；(2)若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率． [解析] (1)一共有8种不同的结果，列举如下：(红，红，红)、(红，红，黑)、(红，黑，红)、(红，黑，黑)、(黑，红，红)、(黑，红，黑)，(黑，黑，红)、(黑，黑，黑)．(2)记“3次摸球所得总分为5”为事件A .事件A 包含的基本事件为：(红，红，黑)、(红，黑，红)、(黑，红，红)，事件A 包含的基本事件数为3.由(1)可知，基本事件总数为8，所以事件A 的概率为P (A )＝38.6．(文)(2013·天津高考)某产品的三个质量指标分别为x 、y 、z ，用综合指标S ＝x ＋y ＋z 评价该产品的等级．若S ≤4，则该产品为一等品，现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品． (ⅰ)用产品编号列出所有可能的结果；(ⅱ)设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”，求事件B 发生的概率．[解析] (1)计算10件产品的综合指标S ，如下表：其中S ≤4的有A 1、A 2、A 4、A 5、A 7、A 9，共6件，故该样本的一等品率为610＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)(ⅰ)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 1，A 9}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 2，A 9}，{A 4，A 5}，{A 4，A 7}，{A 4，A 9}，{A 5，A 7}，{A 5，A 9}，{A 7，A 9}，共15种．(ⅱ)在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1、A 2、A 5、A 7，则事件B 发生的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 5，A 7}，共6种．所以P (B )＝615＝25.(理)如图，从A 1(1,0,0)，A 2(2,0,0)，B 1(0,1,0，)B 2(0,2,0)，C 1(0,0,1)，C 2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点．(1)求这3点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率； (2)求这3点与原点O 共面的概率．[解析] 从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是： x 轴上取2个点的有A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 2C 1，A 1A 2C 2，共4种， y 轴上取2个点的有B 1B 2A 1，B 1B 2A 2，B 1B 2C 1，B 1B 2C 2，共4种， z 轴上取2个点的有C 1C 2A 1，C 1C 2A 2，C 1C 2B 1, C 1C 2B 2，共4种，所选取的3个点在不同坐标轴上有A 1B 1C 1，A 1B 1C 2，A 1B 2C 1，A 1B 2C 2，A 2B 1C 1，A 2B 1C 2，A 2B 2C 1，A 2B 2C 2，共8种，因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种．(1)选取的这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有：A 1B 1C 1，A 2B 2C 2，共2种，因此，这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P 1＝220＝110.(2)选取的这3个点与原点O 共面的所有可能结果有：A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 2C 1，A 1A 2C 2，B 1B 2A 1，B 1B 2A 2，B 1B 2C 1，B 1B 2C 2，C 1C 2A 1，C 1C 2A 2，C 1C 2B 1，C 1C 2B 2，共12种．因此这3个点与原点O 共面的概率为P 2＝1220＝35.。

第四章 三角函数(基本初等函数(Ⅱ))§4.1 弧度制及任意角的三角函数1．了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．本节内容是整个三角函数部分的基础，主要考查三角函数的概念，三角函数值在各象限的符号，利用三角函数线比较三角函数值的大小等，一般不单独设题，主要是与三角函数相关的知识相结合来考查．1．任意角 (1)角的概念角可以看成平面内一条____________绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．我们规定：按____________方向旋转形成的角叫做正角，按____________方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个____________．(2)象限角使角的顶点与____________重合，角的始边与x 轴的____________重合．角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．①α是第一象限角可表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π<α<2k π＋π2，k ∈Z ；②α是第二象限角可表示为 ；③α是第三象限角可表示为 ； ④α是第四象限角可表示为 ． (3)非象限角如果角的终边在 上，就认为这个角不属于任何一个象限．①终边在x 轴非负半轴上的角的集合可记作{α|α＝2k π，k ∈Z }；②终边在x 轴非正半轴上的角的集合可记作_________________________________________；③终边在y 轴非负半轴上的角的集合可记作_________________________________________； ④终边在y 轴非正半轴上的角的集合可记作_________________________________________； ⑤终边在x 轴上的角的集合可记作_________________________________________； ⑥终边在y 轴上的角的集合可记作_________________________________________； ⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作_________________________________________； (4)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝________________________.2．弧度制(1)把长度等于____________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．||α＝ ，l 是半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长．(2)弧度与角度的换算：360°＝________rad ，180°＝________rad ，1°＝ rad≈0.01745rad ，反过来1rad ＝ ≈57.30°＝57°18′.(3)若圆心角α用弧度制表示，则弧长公式l ＝_______；扇形面积公式S 扇＝ ＝ ．3．任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义设α是一个任意角，它的终边上任意一点P (x ，y )与原点的距离为r (r >0)，则sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ (x ≠0)．※cot α＝x y (y ≠0)，sec α＝r x (x ≠0)，csc α＝ry (y ≠0)．(3)三角函数值在各象限的符号sin α cos α tan α4．三角函数线如图，角α的终边与单位圆交于点P .过点P 轴的垂线，垂足为M ，过点A (1，0)作单位圆的切线，设它与α的终边(当α为第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于点T .根据三角函数的定义，有OM ＝x ＝________，MP ＝________，AT ＝ ＝________.像OM ，MP 这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段，这三条与单位圆有关的有向线段MP ，OM ，AT ，分别叫做α的 、 、 ，统称为三角函数线．．特殊角的三角函数值30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270°sin15°＝6－24，sin75°＝6＋24，tan15°3，tan75°＝2＋3，由余角公式易求15°，75°的余弦值和余切值．【自查自纠】．(1)射线 逆时针 顺时针 零角 原点 非负半轴⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z③⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π<α<2k π＋32π，k ∈Z④⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋32π<α<2k π＋2π，k ∈Z 或{α|2k π－π2<α<2k π，k ∈Z }(3)坐标轴②{}α|α＝2k π＋π，k ∈Z③⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋π2，k ∈Z④⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋32π，k ∈Z ⑤{α|α＝k π，k ∈Z }⑥⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z ⑦⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π2，k ∈Z(4){β|β＝α＋2k π，k ∈Z }或{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z } 2．(1)半径长 l r (2)2π π π180 ⎝⎛⎭⎫180π°(3)||αr12||αr 2 12lr 3．(1)y r x r yx(2)①R ②R ③⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α≠k π＋π2，k ∈Z4．cos α sin α yx tan α 正弦线 余弦线正切线与－463°终边相同的角的集合是( )。

2015年普通高等学校招生全国统一考试新课标I 卷数学（理科）一．选择题：本大题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设复数z 满足11zi z+=-，则||z =( ) （A ）1 （B（C（D ）2 2．00sin 20cos10cos160sin10-=( ) （A）-BC ）12-（D ）123．设命题p ：n N ∃∈，22n n >，则p ⌝为( ) （A ）n N ∀∈，22n n > （B ）n N ∃∈，22n n ≤ （C ）n N ∀∈，22n n ≤ （D ）n N ∃∈，22n n =4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。

已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.3125．已知()00,M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是( ) （A）() （B）()（C）()- （D）()-6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图），米堆为一个圆锥的四分之一，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有( )（A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛7．设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（ ） （A ）1433AD AB AC =-+ （B ）1433AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ （D ）4133AD AB AC =-8．函数()()cos f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）()13,44k k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭54141yxO（B ）()132,244k k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ （C ）()13,44k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ （D ）()132,244k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭9．执行右面的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n = ( ) （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）810．()52x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( )（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）6011．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。

一、选择题1．某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是( )A．一定不会淋雨 B．淋雨的可能性为3 4C．淋雨的可能性为12D．淋雨的可能性为14[答案] D[解析]此次野营共4种结果：下雨，收到帐篷；不下雨，收到帐篷；下雨，未收到帐篷；不下雨，未收到帐篷．只有“下雨，未收到帐篷”会淋雨，所以P＝1 4 .2．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是( )A.15B.14C.45D.110[答案] C[解析]从盒中的10个铁钉中任取一个铁钉包含的基本事件总数为10，其中抽到合格铁钉(记事件A)包含8个基本事件，所以所求概率为P(A)＝810＝45.3．(文)(2012·济南统考)甲、乙两人随意入住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是( )A.14B.13C.12D.23[答案] C[解析]记两个房间的号码为1,2，则共有以下4个等可能事件：1甲2乙，1乙2甲，1甲1乙，2甲2乙．故所求概率为P＝24＝12.(理)如图所示，a，b，c，d是四处处于断开状态的开关，任意将其两个闭合，则电路被接通的概率为( )A ．1 B.12C.14 D ．0 [答案] B[解析] 四个开关任意闭合2个，有ab 、ac 、ad 、bc 、bd 、cd 共6种方案，电路被接通的条件是：①开关d 必须闭合；②开关a ，b ，c 中有一个闭合．即电路被接通有ad 、bd 和cd 共3种方案，所以所求的概率是36＝12.故选B. 4．(2012·深圳模拟)甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子(六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6)．设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x ，y ，则满足复数x ＋y i 的实部大于虚部的概率是( )A.16B.512C.712D.13 [答案] B[解析] 总共有36种情况．当x ＝6时，y 有5种情况；当x ＝5时，y 有4种情况；当x ＝4时，y 有3种情况；当x ＝3时，y 有2种情况；当x ＝2时，y 有1种情况．所以P ＝5＋4＋3＋2＋136＝512.5．将一枚质地均匀的硬币先后抛三次，恰好出现一次正面朝上的概率为( ) A.12 B.14 C.38 D.58 [答案] C[解析] 总事件数为8个，分别为：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．“恰好出现1次正面朝上”的事件为事件A ，包括(正，反，反)，(反，正，反)和(反，反，正)3个．所求事件的概率为38.6．(文)在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝n π6，n ＝1，2，3，…，10中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x ＝12的概率是( )A.15B.110 C.13 D.12 [答案] A[解析]数字1,2,3，…，10每个数字被取到的可能性一样．其中满足cos x＝12的有n＝2,10两个，故P＝210＝15.(理)从三棱锥的六条棱中任意选择两条，则这两条棱是一对异面直线的概率为( )A.120B.115C.15D.16[答案] C[解析]从六条棱中任选两条有C26＝15种，在两条棱中是一对异面直线的有3对，故其概率为315＝15.故选C.二、填空题7．(2011·江苏，5)从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．[答案]1 3[解析]用枚举法可以得到基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共6种，其中一个为另一个两倍的有两种，所求概率大小为1 3 .8．(文)一次掷两粒骰子，得到的点数为m和n，则关于x的方程x2＋(m＋n)x＋4＝0有实数根的概率是________．[答案]11 12[解析]基本事件共36个，∵方程有实根，∴Δ＝(m＋n)2－16≥0，∴m＋n≥4，其对立事件是m＋n<4，其中有(1,1)，(1,2)，(2,1)共3个基本事件，∴所求概率为P＝1－336＝1112.(理)(2011·重庆文，14)从甲、乙等10位同学中任选3位去参加某项活动，则所选3位中有甲但没有乙的概率为________．[答案]7 30[解析]此题考查古典概型的概率问题，特殊元素优先考虑．从10位同学任选3名有C310中选法，即n＝C310＝120.令A＝“3位中有甲但无乙”，事件A含基本事件数m＝C28＝28.∴P(A)＝mn＝28120＝730.三、解答题9．(2011·山东文，18)甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．[解析]记甲校的两名男教师为A1，A2,1名女教师为B1，记乙校的1名男教师为A3，两名女教师为B2，B3.(1)从甲校、乙校各选1名教师的所有可能结果为(A1，A3)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，A3)，(B1，B2)，(B1，B3)，共9种，其中性别相同的选法为：(A1，A3)，(A2，A3)，(B1，B2)，(B1，B3)，共4种，所求概率为P＝4 9 .(2)从报名的6名教师中任选2名，所有结果为：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，A3)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，A3)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，A3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B2，B3)，共15种，来自同一学校的情况有(A1，A2)，(A1，B1)，(A2，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B2，B3)，共6种，则所求概率为P＝615＝25.一、选择题1．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是( )A.12B.13C.14D.15[答案] A[解析]甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，所有基本事件的个数为4，甲、乙将贺年卡送给同一人包含的基本事件的个数为2，故所求概率为24＝12，选A.2．(文)设a、b分别是是甲、乙各抛掷一枚骰子得到的点数，已知乙所得的点数为2，则方程x2＋ax＋b ＝0有两个不相等的实数根的概率为( )A.23B.13C.12D.512[答案] A[解析] 由已知得b ＝2，则Δ＝a 2－4b ＝a 2－8>0，解得a >22，故a ＝3,4,5,6，故所求概率为46＝23，选A.(理)已知k ∈Z ，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,4)，若|AB →|≤10，则△ABC 是直角三角形的概率是( ) A.17 B.27 C.37 D.47 [答案] C[解析] 由|AB →|＝k 2＋1≤10，解得－3≤k ≤3，又k ∈Z ，故k ＝－3，－2，－1,0,1,2,3.BC →＝AC →－AB →＝(2,4)－(k,1)＝(2－k,3)若A 是直角，则AB →·AC →＝(k,1)·(2,4)＝2k ＋4＝0，得k ＝－2；若B 是直角，则AB →·BC →＝(k,1)·(2－k,3)＝(2－k )k ＋3＝0，得k ＝－1或3；若C 是直角，则BC →·AC →＝(2－k,3)·(2,4)＝2(2－k )＋12＝0，得k ＝8(不符合题意)． 故△ABC 是直角三角形的概率为37，选C.二、填空题3．盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球．若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是________． [答案] 12[解析] 本题主要考查古典概型的知识，题目情境简单，难度不大，是最基础的概率应用问题． 设3只白球为A ，B ，C,1只黑球为d ，则从中随机摸出两只球的情形有：AB ，AC ，Ad ，BC ，Bd ，Cd 共6种，其中两只球颜色不同的有3种，故所求概率为12.4．(文)甲、乙两人玩数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙想的数字记为b ，且a 、b ∈{1,2,3,4,5,6}，若|a －b |≤1，则称“甲乙心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为________．[答案] 49[解析] 数字a ，b 的所有取法有62＝36种，满足|a －b |≤1的取法有16种，所以其概率为P ＝1636＝49.(理)(2011·福建理，13)盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个，若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________．[答案] 35[解析]从5个球中任取2个球有C25＝10(种)取法，2个球颜色不同的取法有C13C12＝6(种)，故所求概率为610＝35.三、解答题5．袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球．(1)试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；(2)若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率．[解析](1)一共有8种不同的结果，列举如下：(红，红，红)、(红，红，黑)、(红，黑，红)、(红，黑，黑)、(黑，红，红)、(黑，红，黑)，(黑，黑，红)、(黑，黑，黑)．(2)记“3次摸球所得总分为5”为事件A.事件A包含的基本事件为：(红，红，黑)、(红，黑，红)、(黑，红，红)，事件A包含的基本事件数为3.由(1)可知，基本事件总数为8，所以事件A的概率为P(A)＝3 8 .6．(文)(2011·江西文，16)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，测评为优秀；若3杯选对2杯测评为良好；否测评为合格．假设此人对A和B饮料没有鉴别能力．(1)求此人被评为优秀的概率；(2)求此人被评为良好及以上的概率．[解析]将5杯饮料编号为：1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A饮料，编号4,5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)(235)，(245)，(345)可见共有10种．令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，F表示此人被评为良好及以上的事件，则(1)P(D)＝1 10，(2)P(E)＝35，P(F)＝P(D)＋P(E)＝710.(理)为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人).高校 相关人数 抽取人数A 18 xB 36 2C54y(1)求x ，y ；(2)若从高校B ，C 抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C 的概率． [解析] 本题考查分层抽样的概念及应用、等可能事件的概率等基础知识．(1)由题意可得，x 18＝236＝y54，所以x ＝1，y ＝3.(2)记从高校B 抽取的2人为b 1，b 2，从高校C 抽取的3人为c 1，c 2，c 3，则从高校B ，C 抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)共10种．设选中的2人都来自高校C 的事件为X ，则X 包含的基本事件有(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)共3种．因此P (X )＝310.故选中的2人都来自高校C 的概率为310.7．(文)把一颗骰子投掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点为a ，第二次出现的点数为b ，试就方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2，解答下列各题：(1)求方程组只有一个解的概率； (2)求方程组只有正数解的概率．[解析] 事件(a ，b )的基本事件共有36个． 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b x ＝6－2b ，2a －b y ＝2a －3.(1)方程组只有一个解，需满足2a －b ≠0，即b ≠2a ，而b ＝2a 的事件有(1,2)，(2,4)，(3,6)共3个，所以方程组只有一个解的概率为P 1＝3336＝1112.(2)方程组只有正数解，需b －2a ≠0且⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6－2b2a －b>0，y ＝2a －32a －b >0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a >b ，a >32，b <3或⎩⎪⎨⎪⎧2a <b ，a <32，b >3.其包含的事件有13个：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，因此所求的概率为1336.(理)已知实数a 、b ∈{－2，－1,1,2}． (1)求直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限的概率； (2)求直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝1有公共点的概率．[分析] 本题主要考查直线、圆及古典概型等基础知识，考查化归和转化、分类与整合的数学思想方法，以及简单的推理论证能力．[解析] 由于实数对(a ，b )的所有取值为：(－2，－2)，(－2，－1)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－2)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－2)，(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，共16种．设“直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限”为事件A ，“直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝1有公共点”为事件B .(1)若直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，b ≥0.即满足条件的实数对(a ，b )的取值为：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，共4种． ∴P (A )＝416＝14.故直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限的概率为14.(2)若直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则必须满足|b |a 2＋1≤1，即b 2≤a 2＋1.若a ＝－2，则b 的值可以为－2，－1,1,2此时实数对(a ，b )有4种不同取值； 若a ＝－1，则b 的值可以为－1,1，此时实数对(a ，b )有2种不同取值； 若a ＝2时，则b 的值可以为－2，－1,1,2，此时实数对(a ，b )有4种不同取值；若a ＝1，则b 的值可以以－1,1，此时实数对(a ，b )有2种不同取值．∴满足条件的实数对(a ，b )共有12种不同取值，∴P (B )＝1216＝34.故直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝1有公共点的概率为34.[点评] 古典概型是高考重点的内容之一，古典概型求解的关键是找到试验的基本事件的总数和要求事件所包含的基本事件数．。