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椭圆的简单几何性质一．学习目标二．知识梳理标准方程22a x +22b y =1（a ＞b ＞0） 22a y +22bx =1（a ＞b ＞0） 图 形性质焦点 ()0,1c F -，()0,2c F ()c F -,01，()c F ,02焦距 ()22212b a c c F F -==范围a x a ≤≤-，b y b ≤≤-b x b ≤≤-，a y a ≤≤-对称性 对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点顶点 ()0,1a A -，()0,2a A ()b B -,01，()b B ,02 ()a A -,01，()a A ,02()0,1b B -，()0,2b B轴 长轴21A A 的长为a 2，短轴21B B 的长为b 2离心率()1,0∈=ace ，其中22b a c -=三．典例分析例.求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴.焦点在x 轴上，6a =，13e =；⑵.焦点在y 轴上，3c =，35e =；⑶.经过点(3,0)P -，(0,2)Q -； ⑷.长轴长等到于20，离心率等于35．四．练习题1．已知椭圆的中点在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程为（ ）．A ．2213624x y += B ．2213620x y += C ．2213236x y += D ．2213632x y += 2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点．若1F AB 的周长为8，则椭圆方程为（ ）A ．22143x y +=B ．2211612x y +=C ．2212x y += D ．22142x y +=3．椭圆的长轴长是短轴长的2倍，它的一个焦点为，0），则椭圆的标准方程是_____．4．设椭圆)50(,125222<<=+b b y x 的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则b 值为___________ 5．已知离心率为36的椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两个焦点分别为21,F F ，点P 在椭圆上，若021=→→PF PF，且21F PF ∆的面积为4，则椭圆的方程为_____． 6．求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴.经过点(P -，Q ；⑵.长轴长是短轴长的3倍，且经过点(3,0)P ； ⑶.焦距是8，离心率等于0.8．7．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为4，且点⎛ ⎝⎭在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 在椭圆上，∠F 2PF 1＝60°，求△PF 1F 2的面积．8．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点F 1，F 2在x 轴上，椭圆C 短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆C 短轴长为2．（1）求椭圆C 的标准方程．（2）P 为椭圆C 上一点，且∠F 1PF 2＝6π，求△PF 1F 2的面积．9.(2019年高考全国Ⅰ卷理数)已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为（ ）A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y +=D ．22154x y += 10.(2019年高考全国Ⅲ卷理数)设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___(________.11.(2018年高考全国Ⅱ理数)已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，A是C 的左顶点，点P 在过A 的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（ ） A ．23 B ．12 C ．13 D ．1412.(2017年高考全国Ⅲ理数)已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A ．3B ．3C ．3D ．13第5课：椭圆几何性质再探一．学习目标：了解椭圆的焦半径公式，进一步加强椭圆几何性质的掌握与应用. 二．焦半径公式.1.焦半径公式:设),(00y x P 是椭圆上一点，那么01||ex a PF +=，02||ex a PF -=，进一步，有222212,PF PF a ex b a ⎡⎤•=-∈⎣⎦2.设),(00y x P 是椭圆上一点，那么2022221x e c b PF PF +-=⋅→→，由于],0[20a x ∈,故我们有222222212,PF PF b c e x b c b ⎡⎤•=-+∈-⎣⎦三．典例分析.例1.椭圆12422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，且2||||21=-→→PF PF ，求→→⋅21PF PF .例2．已知焦点在x 轴上的椭圆14222=+b y x 的离心率21=e ，A F ,分别是椭圆的左焦点和右顶点，P 是椭圆上任意一点，求→→⋅21PF PF 的最大值和最小值．例3．椭圆C ：22x a +22y b=1（a ＞b ＞0）的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点P 为椭圆C 上的任意一点，且P 在第一象限，O 为坐标原点，F （3，0）为椭圆C 的右焦点，则OP •PF 的取值范围为（ ） A ．()16,10-- B ．3910,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．3916,4⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．39,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦例4.已知点P 为椭圆98222=+y x 上一个动点，点)5,0(A ，则||PA 的最小值为______.四．练习题1．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上点的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为 A ．2B ．3C ．6D ．82．设椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点为(1,0)F ，点(1,1)A -为椭圆E 内一点，若椭圆E 上存在一点P ，使得9PA PF +=，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ．1[,1)2B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．已知直线1:0l mx y m -+=与直线2:10l x my +-=的交点为Q ，椭圆22152x y +=的焦点为12,F F ，则12QF QF 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．)⎡+∞⎣C ．[]2,4D ．4⎡⎤⎣⎦4．设点12,F F 分别为椭圆22:195x y C +=的左、右焦点，点P 是椭圆C 上任意一点，若使得12PF PF m ⋅=成立的点恰好是4个，则实数m 的值可以是（ ） A ．12B ．3C ．5D ．85．设,P Q 分别为圆()2262x y +-=和椭圆221202x y +=上的点,则,P Q 两点间的最大距离是A ．BC ．D ．6．椭圆2214x y +=两个焦点分别是1F ，2F ，点P 是椭圆上任意一点，则12•PF PF 的取值范围是（ ） A ．[1,4]B ．[1,3]C ．[2,1]-D ．[1,1]-7．已知点P 是椭圆C ：2219x y +=上的一个动点，点Q 是圆E ：22(4)3x y +-=上的一个动点，则||PQ 的最大值是________.8. 已知)0,(),0,(21c F c F -为椭圆1:2222=+by a x E 的焦点，P 为E 上一点且221c PF PF =⋅→→,求此椭圆离心率的取值范围.。
高中数学专题2.2.2 椭圆的简单的几何性质（2）练习（含解析）新人教A 版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学专题2.2.2 椭圆的简单的几何性质（2）练习（含解析）新人教A版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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椭圆的简单的几何性质（2）一、选择题1．已知m、n、m＋n成等差数列，m、n、mn成等比数列,则椭圆x2m＋错误!＝1的离心率为（）A。
错误!B．错误!C．错误!D．错误!［答案] C［解析］由已知得错误!解得错误!∴e＝错误!＝错误!，故选C。
2．AB为过椭圆错误!＋错误!＝1中心的弦，F（c，0)为椭圆的左焦点，则△AFB的面积最大值是（)A．b2B．bcC．ab D．ac[答案] B3．若点P（a,1)在椭圆错误!＋错误!＝1的外部，则a的取值范围为（)A．（－错误!，错误!）B．(错误!，＋∞）∪（－∞，错误!)C．(错误!，＋∞）D．(－∞，－错误!)［答案] B［解析] 因为点P在椭圆错误!＋错误!＝1的外部，所以错误!＋错误!>1，解得a>错误!或a<错误!，故选B.4．点P为椭圆错误!＋错误!＝1上一点，以点P及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积为1，则P 点的坐标为（)A．(±错误!，1) B．（错误!，±1)C．（错误!,1）D．（±错误!，±1)［答案］D[解析］设P（x0,y0）,∵a2＝5，b2＝4，∴c＝1,∴S△PF1F2＝错误!|F1F2｜·｜y0|＝|y0｜＝1，∴y0＝±1，∵错误!＋错误!＝1，∴x0＝±错误!。
2021届高考数学总复习第56讲：椭圆及其性质[最新考纲] 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆．(2)若a＝c，则集合P为线段．(3)若a＜c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)性半轴长长半轴长为a，短半轴长为b质离心率e＝ca，且e∈(0,1) a，b，c的关系c2＝a2－b2 [常用结论]1．过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为2b2a，过焦点最长弦为长轴．2．过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b.3．与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)有公共焦点的椭圆方程为x2a2＋λ＋y2b2＋λ＝1(λ＞－b2)．4．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若∠F1PF2＝θ，则(1)|PF1|＋|PF2|＝2a.(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ.(3)S△PF1F2＝12|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc.(4)焦点三角形的周长为2(a＋c)．(5)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆． ()(3)y2a2＋x2b2＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．()(4)x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)的焦距相等．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√二、教材改编1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10 D [依椭圆的定义知：|PF 1|＋|PF 2|＝2×5＝10.]2．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则椭圆C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 22＝1D.x 24＋y 23＝1D [设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．因为椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率e ＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝3，故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.]3．过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程为( ) A.x 215＋y 210＝1 B.x 225＋y 220＝1 C.x 210＋y 215＝1D.x 220＋y 215＝1A [设所求椭圆的方程为x 29＋λ＋y 24＋λ＝1(λ＞－4)，则有99＋λ＋44＋λ＝1，解得λ＝6，故所求椭圆方程为x 215＋y 210＝1.]4．已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为 ．⎝⎛⎭⎪⎫152，1或⎝⎛⎭⎪⎫152，－1[设P(x P，y P)，x P＞0，由题意知|F1F2|＝2.则S△PF1F2＝12×|F1F2|×|y P|＝1，解得|y P|＝1.代入椭圆的方程，得x25＋14＝1，解得x＝152，因此点P的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫152，1或⎝⎛⎭⎪⎫152，－1.]考点1椭圆的定义及应用利用定义求方程、焦点三角形及最值的方法求方程通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点P满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程求焦点三角形利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理．其中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧求最值抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值(1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为() A.x264－y248＝1 B.x248＋y264＝1C.x248－y264＝1 D.x264＋y248＝1(2)如图，椭圆x2a2＋y24＝1(a＞2)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一点，若∠F1PF2＝60°，那么△PF1F2的面积为()。
椭圆综合复习学习目标：1..了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．3.能够把研究直线与椭圆位置关系的问题转化为研究方程解的问题，会根据根与系数的关系及判别式解决问题.技巧攻略：要点一、椭圆的定义及其标准方程椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c<2a，其中a>0，c>0，且a，c为常数．椭圆的标准方程：标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0,1)a，b，c的关系a2＝b2＋c2要点二、椭圆的几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程22221(0)x y a b a b +=>> 22221(0)x y a b b a +=>> 图形性质焦点 1(,0)F c -，2(,0)F c 1(0,)F c -，2(0,)F c焦距 2212||2()F F c c a b ==-2212||2()F F c c a b ==-范围 ||x a ≤，||y b ≤||x b ≤，||y a ≤对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 (,0)a ±，(0,)b ± (0,)a ±，(,0)b ±轴长轴长=a 2，短轴长=2b离心率(01)ce e a=<< 要点三、直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系将直线的方程y kx b =+与椭圆的方程22221x y a b+=(0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.①Δ＞0⇔直线和椭圆相交⇔直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②Δ＝0⇔直线和椭圆相切⇔直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③Δ＜0⇔直线和椭圆相离⇔直线和椭圆无公共点．直线与椭圆的相交弦设直线y kx b =+交椭圆22221x y a b+=(0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则22121212||()()PP x x y y -+-22121212()[1()]y y x x x x --+-2121|k x x +-同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -12||y y -椭圆的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆22221x y a b +=中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率2020b x k a y =-；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.要点四、椭圆的实际应用与最值问题对于椭圆的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立直角坐标系，然后利用椭圆定义，构建参数a,b,c 之间的关系，得到椭圆方程，利用方程求解椭圆中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种： （1）利用定义转化 （2）利用椭圆的几何性质 （3）转化为函数求最值经典例题透析:类型一：椭圆的方程与性质 例1：求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点⎝⎛⎭⎫－32，52； (3)经过点P ⎝⎛⎭⎫13，13，Q ⎝⎛⎭⎫0，－12.【变式1】：求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)短轴长25，离心率e ＝23；(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.【变式2】：分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3； (2)离心率为32，经过点(2,0)．例2. 已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆，求k 的取值范围．【变式1】：若方程22221(1)x y m m +=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A.12m >B. 12m <C. 112m m >≠且 D. 102m m <≠且【变式2】已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．例3. 已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1(a ＞b ＞0)的每一个焦点为(5，0)，离心率为35．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P(x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．【变式1】：如图所示，已知动圆P 过定点A (－3，0)，并且在定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．【变式2】ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A 的轨迹．类型二：椭圆的几何性质（离心率，焦点三角形）例4：椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ）11..5432A B C D 例5：椭圆22221(a b 0)x y a b+=>>的两顶点为A （a ,0），B(0,b ),且左焦点为F ，FAB ∆是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为（ ）A.12 B. 14+ C. 12 D. 14+例6：的直线l 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．12CD ．13例7：已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，F 1，F 2是两个焦点，若椭圆上存在一点P ，使1223F PF π∠=，求其离心率e 的取值范围。
高中数学专题2.2.2 椭圆的简单的几何性质（1）教案新人教A版选修2-1 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学专题2.2.2 椭圆的简单的几何性质（1）教案新人教A版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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椭圆的简单的几何性质（1）【教学目标】知识目标:1．能够根据椭圆的方程研究椭圆的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）;2．会根据椭圆的几何条件求出椭圆的方程．能力目标：通过对图像和方程研究椭圆的几何性质，体会数形结合的思想方法，培养学生综合运用能力、归纳能力，自觉养成运算能力、动手、动脑的良好习惯.情感目标：通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践.【重点难点】1.教学重点：能够根据椭圆的方程研究椭圆的几何性质。
2.教学难点：会用几何性质解决一些简单的问题。
【教学过程】☆情境引入☆椭圆的定义:到两定点F1、F2的距离之和等于常数（大于｜F1F2 |）的动点的轨迹叫做椭圆。
2。
椭圆的标准方程是：当焦点在X轴上时22221(0)x ya ba b+=>>当焦点在Y轴上时22221(0)y xa b a b+=>>☆探索新知☆椭圆22221x ya b+=简单的几何性质1、范围：221,x a ≤221yb≤得： -a≤x≤a, -b≤y≤b知椭圆落在x=±a,y= ± b 组成的矩形中 椭圆的对称性从图形上看，椭圆关于x 轴、y 轴、原点对称。
从方程上看：(1）把x 换成—x 方程不变,图象关于y 轴对称; （2）把y 换成-y 方程不变，图象关于x 轴对称；(3）把x 换成-x ，同时把y 换成-y 方程不变，图象关于原点成中心对称。
