鲁教版九年级数学第一章《解直角三角形》例题

解直角三角形一、锐角三角函数与解直角三角形【例1】在△ABC 中，∠C=90°．（1）若cosA=12，则tanB=______;（•2）•若cosA=45，则tanB=______．【例2】（1）已知：cos α=23，则锐角α的取值范围是（ ）A ．0°<α<30°B ．45°<α<60°C ．30°<α<45°D ．60°<α<90°（2）当45°<θ<90°时，下列各式中正确的是（ A ．tan θ>cos θ>sin θ B ．sin θ>cos θ>tan θC ．tan θ>sin θ>cos θD ．cot θ>sin θ>cos θ【例3】（1）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC ∠的平分线，∠CAB=60°，•CD=3，BD=23，求AC ，AB 的长．（2）曙光中学”有一块三角形状的花园ABC ，•有人已经测出∠A=30°，AC=40米，BC=25米，你能求出这块花园的面积吗？（3）某片绿地形状如图所示，其中AB ⊥BC ，CD ⊥AD ，∠A=60°，AB=200m ，CD=100m ，•求AD 、BC的长．二、解直角三角形的应用【回顾与回顾】问题⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩转化---直角三角形视角常用术语坡度方位角【例题经典】关于坡角【例1】下图表示一山坡路的横截面，CM 是一段平路，•它高出水平地面24米，从A 到B ，从B 到C 是两段不同坡角的山坡路．山坡路AB 的路面长100米，•它的坡角∠BAE=5°，山坡路BC 的坡角∠CBH=12°．为了方便交通，•政府决定把山坡路BC 的坡角降到与AB 的坡角相同，使得∠DBI=5°．（精确到0.01米）（1）求山坡路AB 的高度BE ．（2）降低坡度后，整个山坡的路面加长了多少米？（sin5°=0.0872，cos5°=0.9962，sin12°=0.2079，cos12°=0.9781）方位角.【例2】如图，MN 表示襄樊至武汉的一段高速公路设计路线图，•在点M 测得点N 在它的南偏东30°的方向，测得另一点A 在它的南偏东60°的方向；•取MN 上另一点B ，在点B 测得点A 在它的南偏东75°的方向，以点A 为圆心，500m•为半径的圆形区域为某居民区，已知MB=400m ，通过计算回答：如果不改变方向，•高速公路是否会穿过居民区？ 坡度【例3】为了农田灌溉的需要，某乡利用一土堤修筑一条渠道，•在堤中间挖出深为1.2米，下底宽为2米，坡度为1：0.8的渠道（其横断面为等腰梯形）•，并把挖出来的土堆在两旁，使土堤高度比原来增加了0.6米（如图所示）求：（1）渠面宽EF ；（2）修200米长的渠道需挖的土方数．例题精讲例1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，a = 1 , c = 4 , 则sinA 的值是 ( )A 、1515B 、41C 、31D 、415例2．在A ABC 中，已知∠C=90°，sinB=53，则cosA 的值是 ( )A ．43B ．34 c ．54 D ．53例4.为测楼房BC 的高，在距楼房30米的A 处，测得楼顶B 的仰角为α,则楼房BC 的高为（A ）30tan α米；（B ）30tan α米； （C ）30sin α米； （D ）30sin α米例5.某人沿倾斜角为β的斜坡走了100米，则他上升的高度是 米例6.如图7，初三年级某班同学要测量校园内国旗旗杆的高度，在地面的C 点用测角器测得旗杆顶A 点的仰角∠AFE=60°，再沿直线CB 后退8米到D 点，在D 点又用测角器测得旗杆顶A 点的仰角∠AGE=45°；已知测角器的高度是1．6米，求旗杆AB 的高度．(3的近似值取1．7，结果保留小数)。

2.4解直角三角形同步优生辅导训练一．选择题（共12小题）1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD 长的最大值是（）A．2+B．2+1C．2+D．2+22．如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan ∠OBD的值是（）A．B．2C．D．3．如图，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有（）A．h1＝h2B．h1＜h2C．h1＞h2D．以上都有可能4．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D，设∠CAB＝α，CD＝h，那么BC的长度为（）A．B．C．D．h•cosα5．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（）A．B．C．D．6．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值为（）A．2B．C．D．7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列关系式中错误的是（）A．BC＝AB•sin A B．BC＝AC•tan A C．AC＝BC•tan B D．AC＝AB•cos B 8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos B＝，则Rt△ABC的三边a、b、c之比a：b：c为（）A．2：：3B．1：：C．1：2：3D．2：：9．在△ABC中，BC＝2，AC＝2，∠A＝30°，则AB的长为（）A．B．2C．或4D．2或410．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB的中点，DE⊥AB交AC于点E，则cos A的值为（）A．B．C．D．11．在△ABC中，如果sin A＝，cot B＝，那么这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形12．如图，已知∠ABC＝60°，BD是∠ABC的平分线，BE是∠CBD的平分线，O，P分别是BD，BE上的动点（与点B不重合），分别过点O，P作OM⊥BC，PN⊥BC，垂足分别是点M，N．当点M，N重合时，的值是（）A．+1B．2﹣3C．2D．二．填空题（共4小题）13．将一副直角三角板拼成如图所示的四边形ABCD，一边重合，若∠CAB＝45°，∠CAD ＝30°，连接BD，则tan∠DBC＝．14．如图△ABC中∠ACB＝90°，D在AC上，AD＝4CD，若∠BAC＝2∠CBD，则tan A＝．15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，若斜边上的高CD＝2，则AC＝．16．在△ABC中，AB＝2AC，tan B＝，BC边上的高长为2，则△ABC的面积为．三．解答题（共4小题）17．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB．（1）若AE＝1，求△ABD的周长；（2）若AD＝BD，求tan∠ABC的值．18．如图1，△ABC中，D为AC边上一动点（不含端点），过点D作DE∥AB交BC于点E，过点E作EF∥AC交AB于点F，连接AE，DF．点D运动过程中，始终有AE＝DF．（1）求证：∠BAC＝90°；（2）如图2，若AC＝3，tan B＝，当AF＝AD时，求AD的长．19．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan B＝cos∠DAC．（1）求证：AC＝BD；（2）若sin C＝，BC＝12，求△ABC的面积．20．已知△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB边上一点，连接CD，E是CD上一点，且∠AED＝45°．（1）如图1，若AE＝DE，①求证：CD平分∠ACB；②求的值；（2）如图2，连接BE，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值．参考答案一．选择题（共12小题）1．解：如图，在AD的下方作Rt△ADT，使得∠ADT＝90°，DT＝1，连接CT，则AT＝，∵＝＝2，∴＝，∵∠ADT＝∠ABC＝90°，∴△ADT∽△ABC，∴∠DAT＝∠BAC，＝∴∠DAB＝∠TAC，∵＝，∴△DAB∽△TAC，∴＝＝，∴TC＝2，∵CD≤DT+CT，∴CD≤1+2，∴CD的最大值为1+2，故选：B．2．解：如图：作OF⊥AB于F，∵AB＝AC，AD平分∠BAC．∴∠ODB＝90°．BD＝CD＝6．∴根据勾股定理得：AD＝＝8．∵BE平分∠ABC．∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10﹣6＝4．设OD＝OF＝x，则AO＝8﹣x，在Rt△AOF中，根据勾股定理得：（8﹣x）2＝x2+42．∴x＝3．∴OD＝3．在Rt△OBD中，tan∠OBD＝＝＝．故选：A．3．解：如图，分别作出△ABC底边BC上的高为AD即h1，△PQR底边QR上的高为PE 即h2，在Rt△ADC中，h1＝AD＝5×sin55°，在Rt△PER中，h2＝PE＝5×sin55°，∴h1＝h2，故选：A．4．解：∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠DCA＝90°，∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠CAD＝α，在Rt△BCD中，∵cos∠BCD＝，CD＝h，∴BC＝．故选：B．5．解：法一、如图，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，∴AB＝＝＝3，∴cos∠ABC＝＝＝．故选：B．法二、在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，∴∠ABD＝∠BAD＝45°，∴cos∠ABC＝cos45°＝．故选：B．6．解：∵AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，∴AC2+AB2＝BC2．∴∠CAB＝90°．∴tan∠ABC＝．故选：C．7．解：如图所示：∵sin A＝，∴BC＝sin A×AB，故选项A正确；∵tan A＝，∴BC＝tan A×AC，故选项B正确；∵tan B＝，∴AC＝tan B×BC，故选项C正确；∵cos B＝，∴BC＝cos B×AB≠AC，故选项D错误．故选：D．8．解：∵∠C＝90°，∴cos B＝＝，设a＝2x，c＝3x，∴b＝＝x，∴a：b：c＝2x：x：3x＝2：：3．故选：A．9．解：作CD⊥AB交AB的延长线于点D，当B2C＝2时，∵∠A＝30°，∠ADC＝90°，AC＝2，∴CD＝，∴AD＝＝3，B2D＝＝1，∴AB2＝3﹣1＝2，同理可得，AB1＝3+1＝4，即AB的长为2或4，故选：D．10．解：∵在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝36°．∵D是AB中点，DE⊥AB，∴AE＝BE，AD＝BD＝AB＝2，∴∠ABE＝∠A＝36°，∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝72°＝∠C，∴BE＝BC＝AE，设BC＝AE＝x，则CE＝AC﹣AE＝4﹣x．∵∠ABC＝∠BEC，∠C＝∠C，∴△ABC∽△BEC，∴＝，即＝，解得：x1＝2﹣2，x2＝﹣2﹣2（舍去），∴AE＝2﹣2，∴cos A＝＝＝，故选：C．11．解：∵sin A＝，cot B＝，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴△ABC是直角三角形，故选：D．12．解：当M，N重合时，点P在OM上，如图，过点P作PH⊥BD于H，∵BE是∠CBD的平分线，PN⊥BC，∴PH＝PM，∵∠ABC＝60°，BD是∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠ABC＝30°，∴∠BOP＝90°﹣30°＝60°，∵在Rt△POH中，PO＝＝PH，∴＝+1．故选：A．二．填空题（共4小题）13．解：作DE⊥BC，交BC延长线于点E，设CD＝x，∵∠CAB＝45°，∠CAD＝30°，一副直角三角板拼成的四边形ABCD，∴∠ACB＝90°，∠ADC＝90°，∴∠DCE＝30°，∴BC＝AC＝2x，DE＝x，CE＝x，∴tan∠DBC＝＝＝．故答案为：．14．解：延长AC至E，使CE＝CD，连接BE，∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∵CE＝CD，∴BC是DE的垂直平分线，∴BD＝BE，∴∠E＝∠BDE，设∠CBD＝α，则∠BAC＝2α，∴∠E＝∠BDE＝90°﹣α，∴∠ABE＝180°﹣∠E﹣BAC＝180°﹣（90°﹣α）﹣2α＝90°﹣α，∴∠E＝∠ABE，∴AB＝AE，设CD＝x，则AD＝4x，∴AE＝AB＝6x，AC＝5x，在Rt△ABC中，BC＝＝＝x，∴tan A＝＝．故答案为：．15．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°．∵CD⊥AB，∴∠A+∠ACD＝90°．∴∠ACD＝∠B．∵sin B＝，∴sin∠ACD＝．∵sin∠BCD＝．∴＝．设AD＝a，则AC＝3a．．∵CD＝2，∴2．∴a＝．∴AC＝．故答案为：．16．解：在Rt△ADB中，tan B＝，∴＝，解得，BD＝6，由勾股定理得，AB＝＝＝2，∴AC＝＝＝，由勾股定理得，CD＝＝＝1，如图1，BC＝CD+BD＝1+6＝7，∴△ABC的面积＝×BC×AD＝×7×2＝7，如图2，BC＝BD﹣CD＝6﹣1＝5，∴△ABC的面积＝×BC×AD＝×5×2＝5，∴△ABC的面积为7或5，故答案为：7或5．三．解答题（共4小题）17．解：（1）如图，连接BD，设BC垂直平分线交BC于点F，∴BD＝CD，C＝AB+AD+BD△ABD＝AB+AD+DC＝AB+AC，∵AB＝CE，＝AC+CE＝AE＝1，∴C△ABD故△ABD的周长为1．（2）设AD＝x，∴BD＝3x，又∵BD＝CD，∴AC＝AD+CD＝4x，在Rt△ABD中，AB＝＝＝2．∴tan∠ABC＝＝＝．18．（1）证明：∵DE∥AB，EF∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形．∵AE＝DF，∴▱ADEF是矩形．∴∠BAC＝90°．（2）解：当AF＝AD时，由（1）知，此时四边形ADEF是正方形．方法1，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠B，∠EDC＝∠BAC＝90°．∴tan∠DEC＝tan B＝．在Rt△DEC中，设DC＝3x，则DE＝4x．∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝DE＝4x．∴AC＝AD+DC＝7x＝3．∴x＝，∴AD＝4x＝．方法2：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，tan B＝，AC＝3，∴AB＝4．∵四边形ADEF是正方形，设AD＝DE＝x．∵DE∥AB，∴△CED∽△CBA．∴，即，解得x＝，∴AD＝．19．（1）证明：∵AD是BC边上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵tan B＝cos∠DAC，∴＝，∴BD＝AC；（2）解：设AC＝BD＝x，∴CD＝BC﹣BD＝12﹣x，∵sin C＝，∴cos C＝，tan C＝，∴＝，＝，即＝，解得：x＝，∴CD＝12﹣x＝，∴AD＝CD＝×＝8，∴△ABC的面积＝BC×AD＝×12×8＝48．20．（1）①证明：∵AE＝DE，∴∠ADE＝∠DAE，∵∠CAD＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∠DAE+∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠ACD，∴EA＝EC，∵∠AED＝45°＝∠CAE+∠ACD，∴∠ACD＝22.5°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACD＝22.5°，∴CD平分∠ACB．②解：如图1中，过点D作DT⊥BC于T．∵CD平分∠ACB，DT⊥CB，DA⊥CA，∴DA＝DT，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝45°，∴BD＝DT＝AD，∴＝．（2）解：如图2中，连接BE，过点C作CT⊥AT交AE的延长线于T．∵AE⊥BE，CT⊥AT，∴∠AEB＝∠T＝∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠BAE+∠CAE＝90°，∴∠ABE＝∠CAT，∵AB＝AC，∴△ABE≌△CAT（AAS），∴AE＝CT，BE＝AT，∵∠AED＝∠CET＝45°，∠T＝90°，∴ET＝CT＝AE，∴BE＝2AE，∴tan∠ABE＝＝。

解直角三角形练习题2一、选择题1、如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ） (A)．1 (B)．2 (C)．22 (D)．222、如果α是锐角，且54cos =α，那么αsin 的值是（ ）． （A ）259 （B ） 54 （C ）53 （D ）2516 3、等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）． （A ）513（B ）1213 （C ）1013 （D ）5124、. 以下不能构成三角形三边长的数组是 ( )（A ）（1，3，2） （B ）（3，4，5） （C ）（3，4，5） （D ）（32，42，52） 5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，下列式子中正确的是（ ）． （A ）B A sin sin = （B ）B A cos sin = （C ）B A tan tan = （D ）B A cot cot =6、在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且53cos =α,AB = 4, 则AD 的长为（ ）．A BCDE（A ）3 （B ）316 （C ）320 （D ）516 7、某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）． （A ）450a 元 （B ）225a 元 （C ）150a 元 （D ）300a 元 8、已知α为锐角，tan （90°－α）=3，则α的度数为（ ） （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75°9、在△ABC 中，∠C=90°，BC=5，AB=13，则sinA 的值是( ) （A ）135（B ）1312 （C ）125 （D ）51210、如果∠a 是等边三角形的一个内角，那么cosa 的值等于（ ）． （A ）21 （B ）22（C ）23 （D ）1二、填空题11、如图，在△ABC 中，若∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝22， 则BC ＝ w12、如图，沿倾斜角为30︒的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC 为2m ，那么相邻两棵树的斜坡距离AB 为 m 。

DBA C——一、选择题1、Rt△ABC 中,∠C=90°,已知cosA=35,那么tanA 等于( ) A.43 B.34 C.45 D.542、在△ABC 中，∠C=90°,BC=5,AB=13,则sinA 的值是 A ．135 B ．1312 C ．125 D ．512 3、如图,在Rt△ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,则下列线段的比中不等于sinA 的是( ) A.CD AC B.DB CB C.CB AB D.CD CB 4、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是( )m A.100sin ββ C.100cos βD. 100cos β 5、有一个角是︒30的直角三角形，斜边为cm 1，则斜边上的高为 （ ）（A ）cm 41 （B ）cm 21 （C ）cm 43 （D ）cm 23 6、在ABC ∆中，︒=∠90C ，若A B ∠=∠2，则tanA 等于（ ）． （A ）3 （B ）33 （C ）23 （D ）21 7、在△ABC 中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是( ) A.sinA=34 B.cosA=35 C.tanA=34 D.cosB=358、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）． （A ）450a 元 （B ）225a 元 （C ）150a 元 （D ）300a 元二、填空题 ︒15020米30米9θ，则tan θ＝______.10、在△ABC 中.∠C=90°，若tanA=21，则sinA=. 11、在Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=41,sinA=941,则AC=______,BC=_______. 12、Rt △ABC 中，8,60=︒=∠c A ，则__________,==b a ；13、在△ABC 中，若2,32==b c ,，则____tan =B ，面积S ＝；三、解答题14、计算：（1）、0045cos 360sin 2+（2）、130sin 560cos 300-（3）、︒30sin 22·︒+︒60cos 30tan tan60° （4）22sin45°+sin60°-2cos45°；15、在Rt△ABC 中,∠BCA=90°,CD 是中线,BC=8,CD=5.求sin∠ACD,cos∠ACD 和tan∠ACD.16、如图,分别求∠α,∠β的正弦,余弦,和正切.17、请设计一种方案计算tan15°的值。

九年级数学 第一章第1-3节用计算器求锐角的三角函数值 鲁教版制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。

【本讲教育信息】一. 教学内容：第一章 解直角三角形 第一节 锐角三角函数第二节 30°，45°，60°角的三角函数值 第三节 用计算器求锐角的三角函数值二. 教学目的：1. 认识并理解锐角三角函数的概念，可以正确地应用sinA 、cosA 、tanA 表示直角三角形中两条边之比，体会数形结合思想。

2. 理解并熟记30°，45°，60°角的三角函数值，会计算含有特殊锐角三角函数值的式子的值，会由一个特殊锐角的三角函数值，求出它所对应的角度。

3. 掌握用计算器求锐角的三角函数值，以及由三角函数值求它所对应的锐角的方法。

三. 教学重点、难点：锐角三角函数的概念中关于比的理解。

四. 教学过程： 〔一〕知识点：1. 锐角三角函数的概念 ：1〕正弦：一般地，在Rt ΔABC 中〔如以下图〕∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫∠A 的正弦，记作sinA 。

sinA=ca AB BC A ==∠斜边的对边。

2〕余弦：一般地，在Rt ΔABC 中〔如上图〕∠C=90°，我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫∠A 的余弦，记作cosA 。

cosA=cb AB AC A ==∠斜边的邻边。

3〕正切：一般地，在Rt ΔABC 中〔如上图〕∠C=90°，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫∠A 的正切，记作tanA 。

tanA=ba AC BC A ==∠邻边的对边。

注：假如一个锐角的角度确定之后，那么这个角的正弦值、余弦值、正切值是固定不变的，比值的大小与锐角的边长无关。

2. 特殊锐角三角函数的值度数 三角 函数30°45°60°sin α2122 23 cos α232221tan α3313如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°设BC ＝k ，那么AB ＝2k由勾股定理得AC k =3∴°sin 30212===BC AB k k cos303232°===AC AB k ktan 30333°===BC AC k k用同样的方法可求45°、60°角的三角函数值。

解直角三角形单元检测题（时间45分钟,总分100分，）一、选择题（每小题5分，共25分）1、在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝31，则sin B ＝( ) A ．1010 B ．32 C ．43 D ．101032、在正方形网格中,△ABC 的位置如图1所示,则cos ∠B 的值为（ ）A.21 B. 22 C. 23 D. 33 3、在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝2，AC ＝3，则sinB 的值是（ ）C（A ） 2 3 （B ） 3 2 （C ） 3 4 （D ） 4 34、小明从A 处出发沿北偏东60°向行走至B 处，又沿北偏西20°方向行走至 C 处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是（ ）A 、右转80°B 、左转80°C 、右转100°D 、左转100°5、直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC △如图3那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE 的值是（ ）A ．247 B．3 C ．724D ．13 68CE AB D 图3图1C AB D（图2）二、填空题（每小题5分，共25分）6、计算：2sin450+2 cos600 +4 tan450=_____. 7、已知ABC ∆中，AC =4，BC =3，AB =5，则sin A =_____.8、如图4，身高为1.6米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC=2米，BC=8米，则旗杆的高度是9、如图5，在Rt△ABC 中，∠CAB=90°，AD 是∠CAB 的平分线，tanB=21，则CD∶DB= .图510、图1是一张Rt △ABC 纸片，如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形（图2），那么在Rt △ABC 中，sin B ∠的值是 .三、解答题（第11、12、13题各8分，第14、15题各题13分，共50分）11、在Rt △ABC 中，∠C=900，，∠B=600，AB=4, 解这个直角三角形.12、如图，小明用一块有一个锐角为30的直角三角板测量树高，已知小明离树的距离为4米，DE 为1.68米，那么这棵树大约有多高？（精确到0.1米）图4 （图1）（图2） A B C13、如图6，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=5，tanC=34． （1）求点D 到BC 边的距离；（2）求点B 到CD 边的距离．14、如图，甲、乙两楼相距30 m ，甲楼高40 m ，自甲楼楼顶看乙楼楼顶，仰角为300，乙楼有多高？（精确到1 m ）15、如图，梯形ABCD 是拦水坝的横断面图，（图中3:1 i 是指坡面的铅直高度DE 与水平宽度CE 的比），∠B=60°，AB=6，AD=4，求拦水坝的横断面ABCD 的面积．（结果保留三位有效数字.图6 A DB Ei =1:3C附加题：（每题10分，共20分）1、如图7，小唐同学正在操场上放风筝，风筝从A 处起飞，几分钟后便飞达C 处，此时，在AQ 延长线上B 处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ 的顶点P 在同一直线上.（1）已知旗杆高为10米，若在B 处测得旗杆顶点P 的仰角为30°，A 处测得点P 的仰角为45°，试求A 、B 之间的距离；（2）此时，在A 处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC 约为多少？（结果可保留根号）2、阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜。

2021年鲁教版九年级数学上册《2.4解直角三角形》同步培优提升专题训练1．如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（）A．B．C．D．2．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则cos∠CAB的值是（）A．B．C．2D．3．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．4．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则sin∠ACB的值为（）A．B．C．D．无法求得5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（）A．B．C．D．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，CE是AB边上的中线，AD ＝3，CE＝5，则tan∠BCE的值为（）A．B．C．D．7．如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan ∠OBD的值是（）A．B．2C．D．8．△ABC中，若AB＝6，BC＝8，∠B＝120°，则△ABC的面积为（）A．B．12C．D．9．如图，△ABC中，cos B＝，sin C＝，AC＝5，则△ABC的面积是（）A．B．12C．14D．2110．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE＝2，则tan∠DBE的值（）A．B．2C．D．11．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA＝，则AD的长为（）A．2B．C．D．112．如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tan B＝，则tan∠CAD的值．13．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝，求sin C 的值．14．如图，在△ABC中，BC＝6，tan A＝，∠B＝30°，求AC和AB的长．15．如图，tan B＝且DA⊥BA于点A，DC⊥BC于点C，DA＝3，DC＝7．（1）求cos B，sin B的值；（2）连接BD，求BD的长．16．如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线．（1）求AC的长；（2）求tan∠FBD的值．17．如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB上一点，AC＝AE＝3，BC＝4，过点A作AB的垂线交射线EC于点D，延长BC交AD于点F．（1）求CF的长；（2）求∠D的正切值．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D、E分别在AB、AC上，DE⊥AC，垂足为点E，DE＝2，DB＝9．求：（1）BC的长．（2）tan∠CDE．19．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BC＝12，AD＝6，tan C＝．（1）求sin∠ABD的值；（2）过点B作BE⊥BC，若BE＝10，求AE的长．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．已知AC＝15，cos A＝．（1）求△BCD的周长；（2）求sin∠DBE的值．21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC＝12，BC ＝5．（1）求cos∠ADE的值；（2）当DE＝DC时，求AD的长．参考答案1．解：作P A⊥x轴于A，如右图．∵P（3，4），∴OA＝3，AP＝4，∴OP＝＝5，∴sinα＝．故选：D．2．解：取格点D，E，连接BD，如图，∵∠CDE＝∠BDE＝45°，∴∠CDB＝90°．∵AD＝，AB＝，∴在Rt△ADB中，cos∠CAB＝．故选：B．3．解：过B作BH⊥AC于H，∵S△ABC＝BC•AD＝AC•BH，∴BH＝＝，∴sin∠BAC＝＝＝，故选：B．4．解：作AD⊥BC于点D，由每个小正方形边长为1，故AC＝BC＝＝，由三角形等面积法可得：＝，即2×3＝，∴AD＝＝，∴sin∠ACB＝＝＝．故选：B．5．解：连接BF，∵CE是斜边AB上的中线，EF⊥AB，∴EF是AB的垂直平分线，∴S△AFE＝S△BFE＝5，∠FBA＝∠A，∴S△AFB＝10＝AF•BC，∵BC＝4，∴AF＝5＝BF，在Rt△BCF中，BC＝4，BF＝5，∴CF＝＝3，∵CE＝AE＝BE＝AB，∴∠A＝∠FBA＝∠ACE，又∵∠BCA＝90°＝∠BEF，∴∠CBF＝90°﹣∠BFC＝90°﹣2∠A，∠CEF＝90°﹣∠BEC＝90°﹣2∠A，∴∠CEF＝∠FBC，∴sin∠CEF＝sin∠FBC＝＝，故选：A．6．解：∵CE是AB边上的中线，CE＝5，∴AE＝BE＝5，AB＝10，∴∠BCE＝∠EBC，∵AD＝3，∴BD＝AB﹣AD＝7，DE＝AE﹣AD＝2，在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD＝＝＝，∴tan∠BCE＝tan∠EBC＝＝．故选：B．7．解：如图：作OF⊥AB于F，∵AB＝AC，AD平分∠BAC．∴∠ODB＝90°．BD＝CD＝6．∴根据勾股定理得：AD＝＝8．∵BE平分∠ABC．∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10﹣6＝4．设OD＝OF＝x，则AO＝8﹣x，在Rt△AOF中，根据勾股定理得：（8﹣x）2＝x2+42．∴x＝3．∴OD＝3．在Rt△OBD中，tan∠OBD＝＝＝．故选：A．8．解：作AD⊥BC于点D．∵∠B＝120°，∴∠ABD＝180°﹣120°＝60°，在直角△ABD中，AD＝AB•sin60°＝6×＝3，在△ABC的面积是：BC•AD＝×8×3＝12．故选：A．9．解：过点A作AD⊥BC，∵△ABC中，cos B＝，sin C＝，AC＝5，∴cos B＝＝，∴∠B＝45°，∵sin C＝＝＝，∴AD＝3，∴CD＝＝4，∴BD＝3，则△ABC的面积是：×AD×BC＝×3×（3+4）＝．故选：A．10．解：设菱形ABCD边长为t．∵BE＝2，∴AE＝t﹣2．∵cos A＝，∴．∴＝．∴t＝5．∴AE＝5﹣2＝3．∴DE＝＝4．∴tan∠DBE＝＝＝2．故选：B．11．解：作DE⊥AB于E，如图，∵∠C＝90°，AC＝BC＝6，∴△ACB为等腰直角三角形，AB＝AC＝6，∴∠A＝45°，在Rt△ADE中，设AE＝x，则DE＝x，AD＝x，在Rt△BED中，tan∠DBE＝＝，∴BE＝5x，∴x+5x＝6，解得x＝，故选：A．12．解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，∵tan B＝，即＝，∴设AD＝5x，则AB＝3x，∵∠CDE＝∠BDA，∠CED＝∠BAD，∴△CDE∽△BDA，∴＝＝＝，∴CE＝x，DE＝x，∴AE＝，∴tan∠CAD＝＝，故答案为．13．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，tan∠BAD＝＝，∴BD＝AD tan∠BAD＝9，∵BC＝14，∴CD＝BC﹣BD＝5，∴AC＝＝13，14．解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△BCD中，sin B＝sin30°＝＝．∴CD＝×6＝3，BD＝＝＝3在Rt△ACD中，tan A＝＝，∴AD＝＝4．AC＝＝＝5∴AB＝AD+BD＝4+3．15．解：（1）延长CD，BA，它们相交于点E，如图，∵DC⊥BC于点C，∴∠BCE＝90°．∵tan B＝，tan B＝，∴．设CE＝4k，则BC＝3k．∴BE＝．∴cos B＝．sin B＝．（2）如下图：∵DA⊥BA于点A，∴∠E+∠ADE＝90°．∵DC⊥BC于点C，∴∠E+∠CBE＝90°．∴∠ADE＝∠CBE．∴cos∠ADE＝cos∠CBE＝．∵cos∠ADE＝，∴．∵AD＝3，∴DE＝5．∴CE＝CD+DE＝5+7＝12．∵tan∠CBE＝，tan∠CBE＝，∴．∴BC＝9．∴BD＝．16．解：（1）∵AC⊥BD，cos∠ABC＝＝，BC＝8，∴AB＝10，在Rt△ACB中，由勾股定理得，AC＝＝＝6，即AC的长为6；（2）如图，连接CF，过F点作BD的垂线，垂足E，∵BF为AD边上的中线，即F为AD的中点，∴CF＝AD＝FD，在Rt△ACD中，由勾股定理得，AD＝＝＝2，∵三角形CFD为等腰三角形，FE⊥CD，∴CE＝CD＝2，在Rt△EFC中，EF＝＝＝3，∴tan∠FBD＝＝＝．解法二：EF直接用三角形中位线定理求解即可．17．解：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠ACB＝90°，∠B+∠BAC＝90°，∵AD⊥AB，∴∠BAC+∠CAF＝90°，∴∠B＝∠CAF，∴△ABC∽△F AC，∴＝，即＝，解得CF＝；（2）如图，过点C作CH⊥AB于点H，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，则CH＝＝，∴AH＝＝，EH＝AE﹣AH＝，∴tan D＝tan∠ECH＝＝．18．解：（1）在Rt△DEA中，∵DE＝2，sin A＝，∴AD＝＝＝3，∵DB＝9，∴AB＝BD+AD＝12，在Rt△ABC中，AB＝12，sin A＝，∴BC＝AB•sin A＝12×＝8；（2）∵在Rt△ABC中，AB＝12，BC＝8，∴AC＝＝4，∵在Rt△DEA中，DE＝2，AD＝3，∴AE＝＝，∴CE＝AC﹣AE＝3，∴tan∠CDE＝＝．19．解：（1）∵tan C＝＝＝，∴CD＝4，BD＝BC﹣CD＝12﹣4＝8，∴AB＝＝＝10，∴sin∠ABD＝＝＝．（2）过点A作AF⊥BE于点F，如图．∵∠AFB＝∠FBD＝∠ADB＝90°，∴四边形FBDA为矩形，AF∥BD，AF＝BD＝8，BF＝AD＝6，∴EF＝BE﹣BF＝10﹣6＝4，在Rt△AEF中，AE＝＝＝．20．解：（1）∵AC＝15，cos A＝，∴cos A＝＝，∴AB＝25，∴BC＝＝＝20，∵△ACB为直角三角形，D是边AB的中点，∴CD＝，∴△BCD的周长＝25+20＝45；（2）∵AC＝15，AB＝25，BC＝20，∴cos∠ABC＝＝，∵DC＝DB，∴∠DCB＝∠ABC，∴cos∠DCB＝cos∠ABC＝，∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴cos∠DCB＝，即＝，∴CE＝16，∴DE＝CE﹣CD＝16﹣12.5＝3.5，∴sin∠DBE＝＝＝．21．解：（1）∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°，∴∠A+∠ADE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠ADE＝∠B，在Rt△ABC中，∵AC＝12，BC＝5，∴AB＝13，∴，∴；（2）由（1）得，设AD为x，则，∵AC＝AD+CD＝12，∴，解得，∴．。

鲁教五四版九年级（上）中考题单元试卷：第1章解直角三角形（07）一、选择题（共6小题）1．河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（）A．12米B．4米C．5米D．6米2．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC＝3m，则坡面AB的长度是（）A．9m B．6m C．m D．m3．如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB、CD分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC ＝120°，BC的长是50m，则水库大坝的高度h是（）A．25m B．25m C．25m D．m4．拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC＝10m，则坡面AB的长度是（）A．15m B．20m C．10m D．20m5．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（）A．4米B．6米C．12米D．24米6．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i ＝1：1.5，则坝底AD的长度为（）A．26米B．28米C．30米D．46米二、填空题（共3小题）7．如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB＝4米，此时，他离地面高度为h＝2米，则这个土坡的坡角为．8．已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为米．9．如图，某山坡的坡面AB＝200米，坡角∠BAC＝30°，则该山坡的高BC的长为米．三、解答题（共21小题）10．某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由1：1.8改为1：2.4（如图）．如果改动后电梯的坡面长为13米，求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长．11．我国南水北调中线工程的起点是丹江水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位．如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE，背水坡坡角∠BAE＝68°，新坝体的高为DE，背水坡坡角∠DCE＝60°．求工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的宽度AC（结果精确到0.1米．参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50，）．12．一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB＝3m，已知木箱高BE＝，斜面坡角为30°，求木箱端点E距地面AC的高度EF．13．（1）解不等式组并把解集在数轴上表示出来；（2）如图，已知墙高AB为6.5米，将一长为6米的梯子CD斜靠在墙面，梯子与地面所成的角∠BCD＝55°，此时梯子的顶端与墙顶的距离AD约为多少米？（结果精确到0.1米）（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）14．某景区为方便游客参观，在每个景点均设置两条通道，即楼梯和无障碍通道．如图，已知在某景点P处，供游客上下的楼梯倾斜角为30°（即∠PBA＝30°），长度为4m（即PB＝4m），无障碍通道P A的倾斜角为15°（即∠P AB＝15°）．求无障碍通道的长度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin15°≈0.21，cos15°≈0.98）15．某校有一露天舞台，纵断面如图所示，AC垂直于地面，AB表示楼梯，AE为舞台面，楼梯的坡角∠ABC＝45°，坡长AB＝2m，为保障安全，学校决定对该楼梯进行改造，降低坡度，拟修新楼梯AD，使∠ADC＝30°．（1）求舞台的高AC（结果保留根号）；（2）在楼梯口B左侧正前方距离舞台底部C点3m处有一株大树，修新楼梯AD时底端D是否会触到大树？并说明理由．16．小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC的坡角为30°，AC长米，钓竿AO的倾斜角是60°，其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离．17．如图，一堤坝的坡角∠ABC＝62°，坡面长度AB＝25米（图为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB＝50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到0.01米）（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20）18．如图，点A、B、C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB、BC表示连接缆车站的钢缆，已知A、B、C三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度AA′，BB′，CC′分别为110米、310米、710米，钢缆AB的坡度i1＝1：2，钢缆BC的坡度i2＝1：1，景区因改造缆车线路，需要从A到C直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）19．为邓小平诞辰110周年献礼，广安市政府对城市建设进行了整改，如图，已知斜坡AB 长60米，坡角（即∠BAC）为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE（下面两个小题结果都保留根号）．（1）若修建的斜坡BE的坡比为：1，求休闲平台DE的长是多少米？（2）一座建筑物GH距离A点33米远（即AG＝33米），小亮在D点测得建筑物顶部H 的仰角（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G，H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？20．如图，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角α是20°，小明种植的两棵树间的坡面距离AB是6米，要求相邻两棵树间的水平距离AC在5.3～5.7米范围内，问小明种植的这两棵树是否符合这个要求？（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）21．如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为6米，落在广告牌上的影子CD的长为4米，求铁塔AB的高（AB，CD均与水平面垂直，结果保留根号）．22．如图，小明从点A处出发，沿着坡角为α的斜坡向上走了0.65千米到达点B，sinα＝，然后又沿着坡度为i＝1：4的斜坡向上走了1千米达到点C．问小明从A点到点C上升的高度CD是多少千米（结果保留根号）？23．如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i＝1：．（1）求加固后坝底增加的宽度AF；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）24．在与水平面夹角是30°的斜坡的顶部，有一座竖直的古塔，如图是平面图，斜坡的顶部CD是水平的，在阳光的照射下，古塔AB在斜坡上的影长DE为18米，斜坡顶部的影长DB为6米，光线AE与斜坡的夹角为30°，求古塔的高（）．25．如图是某通道的侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AM∥BC∥DE，AB＝CD＝EF，∠AMF＝90°，∠BAM＝30°，AB＝6m．（1）求FM的长；（2）连接AF，若sin∠F AM＝，求AM的长．26．如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．（精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732．提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比）．27．如图，A，B，C表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB，BC表示连接缆车站的钢缆．已知A，B，C所处位置的海拔AA1，BB1，CC1分别为160米，400米，1000米，钢缆AB，BC分别与水平线AA2，BB2所成的夹角为30°，45°，求钢缆AB和BC的总长度．（结果精确到1米）28．如图，防洪大堤的横截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，α＝60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β＝45°．若原坡长AB＝20m，求改造后的坡长AE．（结果保留根号）29．如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜度由45°降为30°，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．求：改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（参考数据：＝1.414，＝1.732，＝2.449）30．如图，某公司入口处有一斜坡AB，坡角为12°，AB的长为3m，施工队准备将斜坡修成三级台阶，台阶高度均为hcm，深度均为30cm，设台阶的起点为C．（1）求AC的长度；（2）求每级台阶的高度h．（参考数据：sin12°≈0.2079，cos12°≈0.9781，tan12°≈0.2126．结果都精确到0.1cm）鲁教五四版九年级（上）中考题单元试卷：第1章解直角三角形（07）参考答案一、选择题（共6小题）1．A；2．B；3．A；4．D；5．B；6．D；二、填空题（共3小题）7．30°；8．26；9．100；三、解答题（共21小题）10．；11．；12．；13．；14．；15．；16．；17．；18．；19．；20．；21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．；28．；29．；30．；。

鲁教五四版九年级（上）中考题单元试卷：第1章解直角三角形（02）一、选择题（共17小题）1．tan60°的值等于（）A．1B．C．D．22．sin30°＝（）A．0B．1C．D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则cos A的值为（）A．B．C．D．4．sin30°的值是（）A．B．C．D．15．如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则下列三个结论：①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正确的结论为（）A．①②B．②③C．①②③D．①③6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则cos B的值是（）A．B．C．D．7．如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（3，m），且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则sinα的值为（）A．B．C．D．8．在△ABC中，若角A，B满足|cos A﹣|+（1﹣tan B）2＝0，则∠C的大小是（）A．45°B．60°C．75°D．105°9．下列运算：sin30°＝，＝2，π0＝π，2﹣2＝﹣4，其中运算结果正确的个数为（）A．4B．3C．2D．110．sin60°＝（）A．B．C．1D．11．计算：cos245°+sin245°＝（）A．B．1C．D．12．tan45°的值为（）A．B．1C．D．13．cos45°的值等于（）A．B．C．D．14．cos60°的值等于（）A．B．C．D．15．计算sin245°+cos30°•tan60°，其结果是（）A．2B．1C．D．16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B的值为（）A．B．C．D．17．在△ABC中，若|cos A﹣|+（1﹣tan B）2＝0，则∠C的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．105°二、填空题（共13小题）18．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B的值为．19．已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣|+＝0，则α+β＝．20．如图，已知在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则cos B的值为．21．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，则sin A＝．22．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，，则AB边的长是．23．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB＝13，则sin B的值等于．24．在△ABC中，已知∠C＝90°，sin A+sin B＝，则sin A﹣sin B＝．25．计算cos60°＝．26．△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，cos A＝，则BC的长．27．△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sin A＝，cos B＝，则∠C＝．28．若∠α＝30°，则∠α的余角等于度，sinα的值为．29．在△ABC中，∠B＝45°，cos A＝，则∠C的度数是．30．在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tan A﹣1|+（cos B﹣）2＝0，那么∠C＝．鲁教五四版九年级（上）中考题单元试卷：第1章解直角三角形（02）参考答案一、选择题（共17小题）1．C；2．C；3．D；4．A；5．D；6．B；7．A；8．D；9．D；10．D；11．B；12．B；13．B；14．A；15．A；16．D；17．C；二、填空题（共13小题）18．；19．75°；20．；21．；22．9；23．；24．±；25．；26．2；27．60°；28．60；；29．75°；30．75°；。

2018--2019学年度第一学期鲁教版九年级上册数学单元测试题第一章解直角三角形做卷时间100分钟满分120分班级姓名一．单选题（共10小题,每题3分，计30分）1.三角形在方格纸中的位置如图所示，则tanα的值是（）A．B．C．D．2.如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得∠BAD=30°，在C 点测得∠BCD=60°，又测得AC=50米，则小岛B 到公路l 的距离为（）米．A．25B．253C．33100D．25+2533.为测量如图所示的上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据（单位：米），则该坡道倾斜角α的正切值是（）A．B．4C．D．题号一二三总分得分4.在中,如果各边的长度同时扩大2倍,那么锐角A 的正弦值和余弦值______A.都扩大2倍B.都缩小2倍C.都不变D.不能确定5.如图：某市在“旧城改造”中计划在市内一块三角形空地上种植某种草皮来美化环境，已知这种草皮每平方米售价为a 元，则购买这种草皮至少需要（）元。

A、450aB、225aC、150aD、300a6.在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA=31，则BC 等于（）A．45B．5C．D．7.如果α是锐角，那么sinα+cosα的值是（）A．小于1B．等于1C．大于1D．任意实数8.某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度，坝外斜坡的坡度i=1：1，则两个坡角的和为（）A．90°B．60°C．75°D．105°9.在△ABC 中，若tanA=1，sinB=23，你认为最确切的判断是（）A．△ABC 是等腰三角形B．△ABC 是等腰直角三角形C．△ABC 是直角三角形D．△ABC 是一般锐角三角形10.如图，两条宽度均为40m 的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分（图中阴影部分）的路面面积是（）A．（m 2）B．（m 2）C．1600sina（m 2）D．600cosα（m 2）二．填空题（共9小题,每题3分，计27分）1.一个钢球沿着坡比为i=1：3的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是___________米．2.若的三边长满足关系式，则的形状是。

DCA30m20m120A 第1章 解直角三角形 专项练习一、填空题1．如图，根据三角函数的定义填空：① sinA ＝ ； ② cosA ＝ ；③ tanA ＝ ； ⑤ cosB ＝ ； ⑥ tanB ＝ ．2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，假设AC ＝3，AB ＝5，那么cosB 的值为__________． 3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，假设AC ∶AB ＝1∶3，那么tanB 的值为 ． 4．在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，那么cosB ＝ ；tanB ＝ ． 5．填写以下特殊角的三角函数值：30º 45º 60º sin cos tan6．假设2cos 3，那么＝ °；3〔+30°〕＝3，那么＝ °．7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，tanA ＝0.5，那么sinB ＝ ；tanB ＝ ． 8．用科学计算器计算：〔1〕sin12º24′＝ ； 〔2〕cos20º8″＝ ；〔3〕tan37º41′21″＝ ． 〔4〕tan ＝2，那么＝ 〔用度分秒表示〕． 9．我市在“旧城改造〞中方案在市内一块如下图的三角形空地上 种植某种草皮以美化环境，这种草皮每平方米的售价为元， 那么购置这种草皮至少需要 元 (用含的代数式表示)． 10．如下图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝Rt ∠，CD ⊥AB 于点D ，AD ＝4，sin ∠ACD ＝45，那么BC ＝ ． 11．在△ABC 中，∠C ＝90°，斜边上的中线CD ＝6，sinA ＝31，那么△ABC 的面积为 ． 12．某人在坡比为1∶2的斜坡上，前进了100米，那么他所在的位置比原来升高了 米． 13．△ABC 中，AB ＝24，∠B ＝45°，∠C ＝60°，AH ⊥BC 于H ，那么CH ＝ ．14．平行四边形ABCD 中，两邻边长分别为4cm 和6cm ，它们的夹角为60°，那么较短的对角线的长为 cm 。

1解直角三角形一、选择：1、在△ABC 中，∠C =90︒，AC =5，AB =13，则sin A 的值是（ ）．A ．513 B ．1213 C ．512 D ．1252、等腰三角形的一腰长为cm 6，底边长为cm 36，则其底角为（ ） A . 030 B. 060 C. 090 D. 01203、某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度3:1=i ，坝外斜坡的坡度1:1=i ，则两个坡角的和为 （ ）A. 090 B. 060 C . 075 D. 0105 4、已知α为锐角，tan α=3，则α的度数为（ ）． A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．75︒5、如图，在矩形ABCD 中，DE⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且53cos =α, AB= 4, 则AD 的长为（ ）． （A ）3 （B ）316 （C ）320 （D ）516二、填空：6、如果α是锐角，且135cos sin 22=︒+α，那么=α º．7、如图，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米．8、如图,P 是∠α的边OA 上一点, 且P 点坐标为(3,4),则αsin = ,αcos =______.9、在离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，如果测角仪高为1.5米．那么旗杆的有为 米（用含α的三角函数表示）．10、在等腰三角形ABC 中，A B=AC=13,BC=10,则sinB= ,tanB= 三、解答：11、 3tan30°- sin60°+ 2cos 45° cos 245°- tan45°+ tan 230°12、在△ABC 中，∠C=90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，(1)已知：a=10.b=103,解这个三角形(2) 已知：b=12, ∠A=450,解这个三角形.13． △ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=10，求AB 的长．14、如图，北部湾海面上，一艘解放军军舰正在基地A 的正东方向且距A 地的正东方向且距A 地40海里的B 地训练.突然接到基地命令，要该军舰前往C 岛，接送一名病危的渔民到基地医院救治.已知C 岛在A 的北偏东60°方向，且在B 的北偏西45°方向，军舰从B 处出发，平均每小时行驶20海里，需要多少时间才能把患病渔民送到基地医院？（精确到0.1小时）15、某民航飞机在大连海域失事,为调查失事原因,决定派海军潜水员打捞飞机上的黑匣子,如图所示,一潜水员在A 处以每小时8海里的速度向正东方向划行,在A 处测得黑匣子B 在北偏东60°的方向,划行半小时后到达C 处,测得黑匣子B 在北偏东30 °的方向,在潜水员继续向东划行多少小时,距离黑匣子B 最近,并求最近距离.αPoy 34ABCDE︒60︒45A B北北F30︒北A 60︒C。