3力系的平衡1

第三章 力系的平衡、静定与超静定的概念本章首先导出空间任意力系的平衡方程，并讨论它的其他形式与特例。

其次在研究单个物体平衡的基础上，引出静定与超静定的概念，并分析物体系统平衡问题的求解方法。

最后分析特殊构架――桁架的内力求解。

第一节 平衡方程的解析形式一、空间任意力系由上一章得到的空间任意力系平衡的必要与充分条件为：力系的主矢和对于任意点O '简化的主矩等于零。

其矢量形式的平衡方程为0R='F ，0='O M。

将此两矢量式向任意选定的三维直角坐标系投影，就有⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫======∑∑∑∑∑∑======0)(,0)(,0)(0,0,0111111n i i z n i i y n i i x ni iz ni iy ni ix F M F M F M F F F（3-1） 式（3-1）表示的平衡方程为空间任意力系平衡方程的基本形式。

由此得到空间任意力系的平衡方程是六个，即对一个物体，可建立六个平衡方程，式3-1表示的六个平衡方程是彼此独立的，可求解六个未知量。

例题3－1 有一匀质矩形等厚的板（例题3-1图a ），重力P =200N ，角A 为球铰，另一端B 用铰链（沿轴y 向无约束力）与墙壁相连，再用一索EC 使板维持于水平位置。

若︒==30ϕθ，试求索内的拉力及A ,B 两处的约束力。

例题3-1图解 以板为研究对象，解除所有的约束，其受力分析如例题3－1图b 所示。

按题意，支座B 相当平面柱铰或径向轴承。

共有六个未知量，分别作用在三处，注意在A ,B 两处集中了五个未知量，即有五个未知量通过y 轴，因此我们以y 轴为矩轴，即可求得索的拉力F，设AD ＝CB =b ，则02sin ,0)(=⋅-⋅=∑bP b F F M iy θ 得 N 200==P F在解出力F后，y 向只有一个未知力，用力的投影方程即可求得，由0cos cos ,0=-=∑ϕθF F FAy iy得 N 15043==F F Ay 其他方向都有两个未知量，先用力矩的投影方程计算。

设AB =DC =l ，由02sin ,0)(=⋅-⋅+=∑l P l F l F F M Bzi x θ 得 022=-=FP F Bz 由0sin ,0=-++=∑P F F F FBz Az izθ得 N 1002=-=FP F Az 由 0,0)(==∑l F F M Bx i z得 0=Bx F 由0sin cos ,0=-+=∑ϕθF F F FBx Ax ix得 N 6.8643==F F Az 从求解过程中可以看出，先用力矩式，往往可以避免解联立方程，使问题的解决更简便。

同时，求解的次序往往不是唯一的，例题中求z 向的约束力与求x 向的约束力次序可以对换。

还须说明：式（3-1）给出的平衡方程，只是一种标准形式，而不是唯一的形式。

根据力在任意三个不相平行也不共面的轴上投影为零或对其取矩为零，都可以证明此力为零，同时，又根据力偶矩在任意三个不相平行也不共面的轴上投影为零，可得此力偶为零。

从而得到以下规律：（1）可以用力矩形式的平衡方程投影式来替代力形式的平衡方程的投影式，即有3－6个力矩投影式，也就是说力矩投影形式的平衡方程不得少于三个，至多可以有六个。

（2）力的投影轴与矩轴不一定重合，但投影轴及矩轴必须受到如下限制：①不全相平行；②不全在同一平面内。

（3）六力矩形式的矩轴不交于同一点。

据此，我们可以选择合适的力投影轴和矩轴，使每个方程所包含的未知量为最少，从而简化计算。

例题3－2 重力为P 的匀质正方形平台（例题3-2a ），由六根不计自重的直杆支撑，在水平力F的作用下保持静止。

杆与水平面的夹角均为︒=45ϕ，试求各杆的力。

解 以平台为研究对象，由于六根杆都是二力杆，则受力分析如例题3-2图b 所示。

这是一个含有六个未知量的空间力系，注意到在竖直方向有三个未知力，用多力矩形式求解。

设板边长为l ，由0cos ,03==∑ϕF Fiy因0cos ≠ϕ例题3-2图故 03=F由 0cos ,0)(5=⋅=∑'l F F M i A A ϕ，同样得05=F由0cos ,02=-=∑F F Fixϕ，得F F 22=由 02)sin (,0)(56=⋅+=∑BDF F F M i AC ϕ ，得06=F 由 02)sin (,0)(34=⋅++=∑l P l F F F M i AD ϕ ，得24PF -=（压）由0sin sin sin ,0654321=++++++=∑P F F F F F F Fizϕϕϕ得 F PF --=21（压） 读者可将最后一式改写成力矩形式。

对于空间力系中的特殊力系，其形式有如下三种。

特殊力系的平衡方程个数相应减少。

、 1. 空间汇交力系当力系中的各力的作用线均汇交于某一点，则各力对此点的矩恒为零（设此点为O ），即0)(1≡∑=i n i O F M ，独立平衡方程个数减少到三个，为0,0,0111===∑∑∑===ni izni iyni ixFFF（3-2）例3－3 用不计自重的杆件构成三角架（例题3-3图a ），由铰车提升重力为P 的物体。

已知ABC 为等边三角形，各杆与绳索DE 都与水平面成︒=60θ角，P =30kN 。

试求将重物匀速吊起时各杆的力。

例题3-3图解 以各力的汇交点D 为研究对象（例题3-3b ），设各杆均受拉力，在投影到水平面上的点O 上建立直角坐标。

显然，F ＝P ，只有C B A F F F ,,三个未知量。

由060sin cos 60sin cos ,0=︒-︒=∑θθB A ixF F F得B A F F =（如从受力与结构对称上看出，可省略此式）。

由0cos 60cos cos 2cos ,0=-︒+=∑θθθC A iyF F F F得 0=-+C A F F P ① 由0sin sin sin 2,0=----=∑θθθF P F F FC A iz得 )sin 11(2θ+-=+P F F C A ② 联立式①与式②得5.31-==B A F F kN(压)，55.1-=C F kN(压)2. 空间平行力系当力系中各力的作用线相平行（设平行于轴z ）则各力在轴x ,y 上的投影以及各力对轴z之矩恒等于零，即0)(,0,0111≡≡≡∑∑∑===ni i z ni iy ni ix F M F F独立的平衡方程.个数减少到三个，为0)(,0)(,0111===∑∑∑===n i i y ni i x ni iz F M F M F（3-3）例题3－4 等厚的空心楼板ABCD （重心位于中心），重力P =2.8kN ，在H ,G 处用竖绳悬挂，AB 边搁在粗糙的水平楼面上（例题3-4图a ）。

已知8ADGC HD ==，试求H ,G 两处绳的张力及楼面处的约束力。

例题3-4图解 以板为研究对象，由于G H F F ,及P 相互平行，AB 边虽受粗糙楼面约束，在板处于平衡时可知，由AB 边的分布约束力形成的合力E F 必作用在AB 边的中点E ，并与各力平行（例题3-4图b ）。

由 0)2187(87,0)(=--⋅=∑AD AD P AD F F M E i HG得 2.173==P F H kN由 0)2121,0)(=⋅-⋅+⋅=∑DC P DC F DC F F M E G i AD得 8.0=G F kN 由0,0=-++=∑P F F F FE G A iz得 8.0=H F kN 最后一式也可省略，而从受力及结构的对称上获知。

3. 空间力偶系空间力偶系的主矢恒为零，即01R≡'∑=n i F独立的平衡方程个数减少到三个。

即0,0,0111===∑∑∑===ni izni iyni ixMMM（3-4）例题3－5 在图示斜块上作用两个力偶，其中，一个作用在斜面上，其矩m kN 151⋅=M ，另一个作用在侧面上，其矩m kN 122⋅=M （例题3-5图a ）。

已知：l BB DC AB ===1=4m ，31==b CB m 。

试求A ,B ,C ,D 处的支座约束力。

解 主动力系是力偶系，由于力偶是最基本的力系之一，而力偶只能与力偶平衡，则A ,B ,C ,D 处的约束力必形成三对力偶，即),(C Ax F F ,),(D Ay F F ,),(B Az F F，如例题3-5图b例题3-5图所示。

我们将主动力偶用矢量表示，1M 垂直于斜面，2M垂直于侧面。

由 )0)((0==∑∑i y iy F M M或用力矩方程02=-M l F Ax得 kN 32===lM F F C Ax 由 )0)((0==∑∑i z iz F M M或用力矩方程0531=⋅-+M l F b F C D 得 kN 1531-=-==C D Ay F blb M F F 由 )0)((0==∑∑i x ix F M M或用力矩方程0541=⋅-+M l F l F Ay B 得 kN 4541=-==Ay B Az F lM F F 从上例可以看出，用力矩方程或用力偶矩方程是等价的，在解题时可灵活选用。

二、平面任意力系当力系中各力的作用线都分布在同一平面内，就构成平面力系。

设此平面为Oxy 平面，则各力在轴z 上的投影及对轴x ,y 的力矩都恒等于零，即01≡∑=ni iz F ，0)(1≡∑=ni i x F M，0)(1≡∑=n i i y F M ，故独立的平衡方程个数减少为三个，即0)(,0,0111===∑∑∑===ni i O ni iy ni ix F M F F（3-5）式（3-5）表示的是平面任意力系平衡方程的基本形式，其中的第三项原本应是0)(1=∑=n i i z F M，但在平面坐标中轴z 的投影为一点。

上式表明：平面力系平衡的充分和必要条件是力系的各力在同平面内任意两不相平行的坐标轴上投影的代数和以及对平面内任意点的矩的代数和均等于零。

平面任意力系平衡方程的基本形式的三个独立的平衡方程，可求解三个未知量。

例题3－6 图示刚架受到P =3kN ，M =6kN ·m ，m kN/2.1=D q 载荷的作用（例题3-6a ）。

已知：l =2m ，h =3m 。

试求支座A 和B 处的约束力。

解 将分布荷臷用第一章的方法，合成为一集中力q F ，作用在离点A h 32处，支座约束力如例题3-6图b 所示。

由 0,0q =+=∑F F FAx ix例题3-6图得 )(kN 8.121q ←-=-=-=h q F F D Ax 负号表示实际指向与假设相反，应向左。

由 0)(=∑i A F M ，0322q =⋅---⋅h l F Pl M l F B得 kN 9.3=B F 由0,0=-+=∑P F F FB Ay iy得 )(kN 9.0↓-=Ay F应该指出的是，应用平衡方程求解时，求解次序以避免解联立方程为宜，当受力图上有两个平行未知力时，一般先用力矩方程，再用力的投影方程。