北京课改版八年级上13.9《逆命题、逆定理》WORD教案(1)

逆命题和逆定理
能判断一些命并能运用推理的思想方法证命题的概念：对某一
做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。

来说，如果说“两直线平行，同位角相等①”为原命题，则“同位角相等，两直线平行②”为逆命题。

我们说①②两个命题叫做互逆命题。

如果
请学生分别说明上表的原命题，逆命题及真假。

、说出下列
②有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

面的交通工具是磁悬浮列车——假命题。

（指出逆命题、互逆命题不一定是真命题，
是互逆定理？
①注意组织适当的语句叙述出逆命题，
”的逆命题，判
注意：①用反例法证明。

定正确。

逆命题、逆定理的概念。

逆命题与逆定理教案八年级数学教案一、教材分析1、教材的地位和作用角平分线的概念在第一册的教材中已介绍过，它的性质很重要，在几何里证明线段或角相等时常常用到它们，同时在作图中也运用广泛，刚学过的运用HL定理来证明直角三角形全等的方法为证明角平分线的性质定理和逆定理创造了条件。

性质定理和它的逆定理为证线段相等、角相等，开辟了新的途径，简化了证明过程。

2、重点与难点分析本节内容的重点是角平分线的性质定理，逆定理及它们的应用。

本节内容的难点是：a、角平分线定理和逆定理的应用；b、这两个定理的区别C、学生对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用定理，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次定理。

3、教学目标(一) 知识目标：(1) 掌握角平分线的性质定理和逆定理；(2) 能够运用性质定理和逆定理证明两个角相等或两条线段相等；(二) 能力目标：(1) 通过定理的推导，培养学生的归纳能力(2) 通过定理的初步应用，培养学生的逻辑推理能力及创新的能力(三) 情感目标：(1) 通过学生的主动探索让学生体验获取数学知识的成就感；(2) 通过对角平分线的进一步认识，渗透运用不同的观点，从不同的侧面认识事物的辩证思维方法。

二、教法学法学生是学习的主体，只的学生真正融入到课堂教学中，学生才会深切地感受到数学带给他们的乐趣。

这节课，我主要采用学生自己动手实践，观察，组织讨论等方法，多媒体引导，以学生为主，给学生提供足够的活动时间，充分发挥他们的个性，让学生在实践中感受知识的力量，通过观察，让学生在观察中发现，在发现中探索，在探索中创新。

充分发挥他们的主观能动性，最大限度的发挥他们的创造力。

让学生成为课堂的主人。

教师只是在学生的思维受阻的情况下进行适时的引导。

三、教学过程1、通过生活中的实例，创设情境通过实例1的思考与探索，让学生复习了点到直线的距离这一概念。

通过实例2,给学生对角平分线有了一个初步的认识。

《勾股定理的逆定理》教学设计一、内容和内容解析1.内容勾股定理的逆定理证明及简单应用；原命题、逆命题的概念及相互关系．2．内容解析把勾股定理的题设和结论交换，可以得到它的逆命题．本节内容证明了这个逆命题是个真命题．勾股定理的逆定理给出的是判定一个三角形是直角三角形的方法和前面学过的一些判定方法不同，它通过计算来作判断．学习勾股定理的逆定理，对拓展学生思维，体会利用计算证明几何结论的数学方法有很大的意义．基于以上分析，可以确定本课的教学重点是探究证明勾股定理的逆定理．二、目标和目标解析1．目标（1）理解勾股定理的逆定理．（2）了解互逆命题、互逆定理．2．目标解析达成目标（1）的标志是学生经历“实验测量－猜想－论证”的定理探究过程后，能应用勾股定理的逆定理来判定一个三角形是直角三角形；目标（2）能根据原命题写出它的逆命题，并了解原命题为真命题时，逆命题不一定为真命题．三、教学问题诊断分析勾股定理的逆定理的证明是先作一个合适的直角三角形，再证明有已知条件的三角形和直角三角形全等等，这种证法学生不容易想到，难以理解，在教学时应该注意启发引导．本课的教学难点是证明勾股定理的逆定理．四、教学过程设计1．创设问题情境问题1 你能说出勾股定理吗？并指出定理的题设和结论．师生活动：学生独立回忆勾股定理，师生共同分析得出其题设和结论，教师引导指出勾股定理是从形的特殊性得出三边之间的数量关系．追问1：你能把勾股定理的题设与结论交换得到一个新的命题吗？师生活动：师生共同得出新的命题, 教师指出其为勾股定理的逆命题．追问2：“如果三角形三边长、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形．”能否把它作为判定直角三角形的依据呢？本节课我们一起来研究这个问题．【设计意图】通过对前面所学知识的归纳总结，自然合理地引出勾股定理的逆定理．问题2 实验观察：用一根打上13个等距离结的细绳子，让学生操作，以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用钉子钉成一个三角形，请学生用角尺量出最大角的度数（900）．师生活动：学生动手操作，教师适时指导，并介绍这是古埃及人画直角的方法．追问：你能计算出三边长的关系吗？师生活动：师生共同得出．【设计意图】介绍前人经验，启发思考，使学生意识到数学来源于生活．实验操作：（1）画一画，下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方，分别以这些数为边长（单位：cm）画三角形：①2．5，6，6．5；②4，7．5，8．5．（2）量一量：用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数．（3）想一想：判断这些三角形的形状，提出猜想．师生活动：教师引导学生画三角形，并计算三边的数量关系：，．接着度量三角形最大角的度数，发现最大角为900，并猜想：如果三角形的三边长、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形．把勾股定理记着命题1，猜想的结论作为命题2．【设计意图】让学生经历测量、计算、归纳和猜想的过程，了解几何知识的探索过程． 2．勾股定理的逆定理的证明勾股定理的逆命题正确吗？如果你认为是真确的，你能证明这个命题“如果三角形的三边长、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形”吗？已知，如图，△ABC中，AB＝c，AC=b，BC＝，且，求证：∠C＝900【设计意图】引导学生用图形和数学符号语言表示文字命题．追问：要证明△ABC是直角三角形，只要证明∠C＝900，由已知能直接证吗？师生活动：教师引导，如果能证明△ABC与一个以、b为直角边长的Rt△A/B/C/全等。

课程基本信息课题逆命题、逆定理教科书书名：义务教育教科书数学八年级上册出版社：北京出版社出版日期：2014年7月教学目标教学目标：1.会判断命题的题设和结论，能把一个命题改写为“如果…，那么…”的形式；2.了解原命题及其逆命题的概念，会写出一个命题的逆命题；3.会识别两个互逆的命题的真假，知道原命题是真命题时其逆命题不一定是真命题.4.有意识地培养学生有条理地思考和表达，让其感悟学习逆命题的意义.教学重点：判断一个命题的题设和结论，会写出一个命题的逆命题.教学难点：写出一个命题的逆命题.教学过程时间教学环节主要师生活动5′复习旧知引入新知命题的概念、结构和分类热身练习：说出下列命题的题设和结论，并判断真假.1.如果a>b，那么a+c>b+c；真命题2.如果直线m//n，那么直线m与直线n没有交点；真命题3.两条直线平行，内错角相等；真命题4.三个角对应相等的两个三角形全等；假命题反例：内错角相等，两条直线平行平行线判定定理这两个定理叫做互为逆定理，若其中一个称为原定理，则另一个为原定理的逆定理.回顾之前学习的内容，你能举出其它互为逆定理的例子吗？举例：两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行.思考：如何判断一个定理是否有逆定理呢？例判断下列定理是否有逆定理.（1）等腰三角形的两个底角相等；分析：改写为如果……那么……的形式如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等；逆命题：如果一个三角形的两个底角相等，那么它是等腰三角形.思考：这个逆命题对吗？改为：如果一个三角形有两个角相等，那么它是等腰三角形，该命题是真命题，为等腰三角形的判定定理，是原定理的逆定理。

（2）直角三角形的两个锐角互余；原定理如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；逆命题如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形.简述为：有两个锐角互余的三角形是直角三角形.是真命题，所以原定理有逆定理。

北京课改版初中数学目录（一）第一章走进数学世界1.1 生活中的图形1.2 我们周围的“数”1.3 计算工具的发展1.4 科学计算器的使用第二章对数的认识的发展2.1 负数的引入2.2 用数轴上的点表示有理数2.3 相反数和绝对值2.4 有理数的加法2.5 有理数的减法2.6 有理数加减法的混合运算2.7 有理数的乘法2.8 有理数的除法2.9 有理数的乘方2.10 有理数的混合运算2.11 有效数字和科学记数法2.12 用计算器做有理数的混合运算第三章一元一次方程3.1 字母表示数3.2 同类项与合并同类项3.3 等式与方程3.4 等式的基本性质3.5 一元一次方程3.6 列方程解应用问题第四章简单的几何图形4.1 平面图形与立体图形4.2 某些立体图形的展开图4.3 从不同方向观察立体图形4.4 点、线、面、体4.5 直线4.6 射线4.7 线段4.8 角及其表示4.9 角的分类4.10 角的度量4.11 用科学计算器进行角的换算4.12 角平分线4.13 两条直线的位置关系4.14 相交线与平行线4.15 用计算机绘图七年级下册第五章一元一次不等式和一元一次不等式5.1不等式5.2不等式的基本性质5.3不等式的解集5.4一元一次不等式及其解法5.5一元一次不等式组及其解法第六章二元一次方程组6.1二元一次方程和它的解6.2二元一次方程组和它的解6.3用代入消元法解二元一次方程组6.4用加减消元法解二元一次方程组6.5二元一次方程组的应用第七章整式的运算7.1整式的加减法7.2幂的运算7.3整式的乘法7.4乘法公式7.5整式的除法第八章观察、猜想与证明8.1观察8.2实验8.3归纳8.4类比8.5猜想8.6证明8.7几种简单几何图形及其推理第九章因式分解9.1因式分解9.2提取公因式法9.3运用公式法第十章数据的收集与表示10.1总体与样本10.2数据的收集与整理10.3数据的表示10.4用计算机绘制统计图10.5平均数10.6用科学计算器求平均数10.7众数10.8中位数八年级上册第十一章分式11.1 分式11.2 分式的基本性质11.3 分式的乘除法11.4 分式的加减法11.5 可化为一元一次方程的分式方. 第十二章实数和二次根式12.1 平方根12.2 立方根12.3 用科学计算器开方12.4 无理数与实数12.5 二次根式及其性质12.6 二次根式的乘除法12.7 二次根式的加减法第十三章三角形13.1 三角形13.2 三角形的性质13.3 三角形中的主要线段13.4 全等三角形13.5 全等三角形的判定13.6 等腰三角形13.7 直角三角形13.8 基本作图13.9 逆命题、逆定理13.10 轴对称和轴对称图形13.11 勾股定理13.12 勾股定理的逆定理第十四章事件与可能性14.1 确定事件与不确定事件14.2 事件发生的可能性14.3 求简单事件发生的可能性八年级下册第十五章一次函数,15.1函数15.2函数的表示法15.3函数图象的画法15.4一次函数和它的解析式15.5 一次函数的图象15.6一次函数的性质15.7一次函数的应用第十六章四边形,16.1多边形16.2平行四边形和特殊的平行四边.16.3平行四边形的性质与判定16.4特殊的平行四边形的性质与判.16.5三角形中位线定理16.心对称图形16.7梯形16.8等腰梯形与直角梯形第十七章一元二次方程,17.1一元二次方程17.2一元二次方程的解法17.3列方程解应用问题第十八章方差与频数分布, 18.1极差、方差与差18.2用计算器计算差和方差18.3频数分布表与频数分布图九年级上册第十九章相似形,19.1比例线段19.2黄金分割19.3平行线分三角形两边成比例19.4相似多边形19.5相似三角形的判定19.6相似三角形的性质19.7应用举例第二十章二次函数和反比例函数, 20.1二次函数20.2二次函数的图象20.3二次函数解析式的确定20.4二次函数的性质20.5二次函数的一些应用20.6反比例函数20.7反比例函数的图象、性质和应.第二十一章解直角三角形,21.1锐角三角函数21.2锐角的三角函数值21.3用计算器求锐角三角函数值21.4解直角三角形21.5应用举例第二十二章圆（上）,22.1圆的有关概念22.2过三点的圆22.3圆的对称性22.4圆周角第二十三章概率的求法与应用, 23.1求概率的方法23.2概率的简单应用九年级下册第二十四章圆（下）,24.1直线和圆的位置关系24.2圆的切线24.3圆和圆的位置关系24.4正多边形的有关计算第二十五章图形的变换,25.1平移变换25.2旋转变换25.3轴对称变换25.4位似变换第二十六章投影、视图与展开图, 26.1中心投影与平行投影26.2简单几何体的三视图26.3简单几何体的平面展开图第二十七章探索数学问题的一些方法.27.1探索数学问题的一些方法27.2探索数学问题举例第二十八章数学应用的一般思路, 28.1数学应用的一般思路28.2数学应用举例。

§13.5 逆命题与逆定理互逆命题与互逆定理教学目的：1．理解互逆命题与互逆定理2．准确应用互逆命题与互逆定理重点与难点：区分互逆命题与互逆定理教学过程：我们已经知道，表示判断的语句叫做命题．例如“两直线平行，内错角相等”、“内错角相等，两直线平行”都是命题．上面两个命题的条件和结论恰好互换了位置．一般来说，在两个命题中，假如第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．假如把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题．命题“两直线平行，内错角相等”的条件为____________________________；结论为_________________________________．所以它的逆命题为_______________________________________．每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，便可得到原命题的逆命题．但是原命题准确，它的逆命题未必准确．例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就是假命题．假如一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．我们已经知道命题“两直线平行，内错角相等”和它的逆命题“内错角相等，两直线平行”都是定理，所以它们就是互逆定理．一个假命题的逆命题能够是真命题，甚至能够是定理．例如“相等的角是对顶角”是假命题，但它的逆命题“对顶角相等”是真命题，且是定理．练习1．说出以下命题的条件和结论，并说出它们的逆命题：（1）假如一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；（2）等边三角形的每个角都等于60°；（3）全等三角形的对应角相等；（4）假如a=b，那么a3=b3．2．举例说明以下命题的逆命题是假命题：（1）假如一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除；（2）假如两个角都是直角，那么这两个角相等．3．在你所学过的知识内容中，有没有原命题与逆命题都准确的例子（即互逆定理）？试举出几对．课堂小结：总结一下你所学过的知识。

学科数学班级二（5）二（6）任课教师课题13.9 逆命题、逆定理课型新授日期学习目标：1、了解原命题、逆命题、互逆命题、互为逆定理的概念；2、能写出一个命题的逆命题；3、会判断一个命题的原命题及逆命题的真假；4、会判断一个定理与其逆命题是否为逆定理。

学习重点原命题、逆命题、互逆命题、互为逆定理的概念学习难点判断一个定理与其逆命题是否为逆定理教具学具多媒体教学方法讨论法、谈话法教学过程一、课前准备1、学生在课下整理所学过的定理、性质、定义。

2、观察并思考这些定理、性质、定义有几部分组成。

二、探索新知每一个命题都可以写成“如果。

那么。

”的形式，比如：“两直线平行，内错角相等”，可以写成：如果两条直线平行，那么内错角相等；又如：“对顶角相等”，可以写成：如果两个是对顶角，那么这两个角相等。

一个命题由题设和结论两部分组成，我们把命题的题设和结论写在下面的表格中题设结论两条直线平行内错角相等把题设和结论交换一下位置，便得到一个新命题题设结论内错角相等两条直线平行教学过程互逆命题：两个命题，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题议一议：1、请你把“对顶角相等”这个命题的题设和结论写在下表中，然后再写出它的逆命题。

题设结论原命题逆命题2、把命题“如果a>b,那么a+c>b+c”的题设和结论填写在下表中，然后写出它的逆命题题设结论原命题逆命题根据上面的议一议，请你判断一个真命题的逆命题是真命题还是假命题？如果一个命题是真命题，可以称它为定理。

如果一个定理的逆命题也是真命题，可以称它为原定理的逆定理。

例1 把下列命题改写为“如果。

那么。

”的形式。

（1）对顶角相等；（2）等边对等角；（3）全等三角形的对应边相等；（4）等边三角形的三个角都等于60º例2 写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假（１）全等三角形的对应边相等；（２）对顶角相等；（３）等边对等角（４）若ａ＝ｂ，则ａ²＝ｂ²教学过程例３写出下列定理的逆命题，并指出那些互为逆定理。

13.5逆命题与逆定理教学目的：1．理解互逆命题与互逆定理2．正确应用互逆命题与互逆定理重点与难点：区分互逆命题与互逆定理教学过程：我们已经知道，表示判断的语句叫做命题．例如“两直线平行，内错角相等”、“内错角相等，两直线平行”都是命题．上面两个命题的条件和结论恰好互换了位置．一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题．命题“两直线平行，内错角相等”的条件为____________________________；结论为_________________________________．因此它的逆命题为_______________________________________．【答案】两直线平行内错角相等内错角相等，两直线平行每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，便可得到原命题的逆命题．但是原命题正确，它的逆命题未必正确．例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就是假命题．如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．我们已经知道命题“两直线平行，内错角相等”和它的逆命题“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就是互逆定理．一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理．例如“相等的角是对顶角”是假命题，但它的逆命题“对顶角相等”是真命题，且是定理．练习1．说出下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题：（1）如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；（2）等边三角形的每个角都等于60°；（3）全等三角形的对应角相等；（4）如果a=b，那么a3=b3．中小学教案、试题、试卷 12．举例说明下列命题的逆命题是假命题：（1）如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除；（2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等．【答案】1．说出下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题：（1）条件：一个三角形是直角三角形；结论：它的两个锐角互余；逆命题：一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形.（2）条件：三角形是等边三角形；结论：每个角都等于60°；逆命题：如果一个三角形的每个角都等于60°，那么这个三角形是等边三角形.（3）条件：两个三角形是全等三角形；结论：对应角相等；逆命题：对应角相等的两个三角形全等.（4）条件：a=b；结论：a3=b3；逆命题：如果a3=b3，那么a=b．2．举例说明下列命题的逆命题是假命题：（1）50也能被5整除，但是它的个位数字不是5，是0.（2）∠1=∠2=30°，则∠1与∠2不是直角.课堂小结：总结一下你所学过的知识中小学教案、试题、试卷 2。

13.9逆命题、逆定理（一）本课目标1．理解互逆命题、互逆定理的概念，通过比较，提高学生的辨析能力．2．掌握勾股定理逆定理的证明，并会运用逆定理判定直角三角形．（二）教学流程1．情境导入游戏：将全班同学分成两组A、B，每组说出一个命题，由另一组说出题设和结论．比一比，看哪组同学说得又快又好．2．课前热身生A：“两直线平行，内错角相等”．生B：题设为“两条直线平行”，结论为“内错角相等”．生B：“内错角相等，两直线平行”．生A：题设为“内错角相等”，结论为“两直线平行”．3．合作探究（1）整体感知①通过两组的竞赛，同学们热情高涨，教师引导对所举命题观察、比较，不难发现有的两个命题之间的关系很特殊：其中一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设．这样的两个命题叫互逆命题．②每个命题都有逆命题，但原命题正确，它的逆命题未必正确，请学生举例说明．③如果一个定理的逆命题也是定理，则这两个定理叫互逆定理．教师举出前两节学习的关于角平分线、线段垂直平分线的两条定理来加深学生的理解．（2）四边互动师：，我们曾学过勾股定理，同学们还记得它的内容吗？生：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．师：这个命题的逆命题是什么呢？生：如果一个三角形的一条边的平方等于另两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．师：很好．在这里特别要注意．题设中不能出现“斜边、直角边”这些名词．那么，这个逆命题也正确吗？下面我们就一起来证明．哪位同学能画出图形，写出已知、求证？生：（略）师：直接证明△ABC是直角很困难．以前我们常通过全等三角形来证明边、•角相等，现在要证明∠C=90°，也要向这个方向考虑．我们希望有一个Rt△A′B•′C′，∠C′=90°且△ABC≌△A′B′C′，那么∠C=90°，•如何作出我们所希望的三角形呢？生：构造Rt△A′B′C′，∠C′=90°，B′C′=a，A′C′=b．由勾股定理知道，A′B′根据S．S．S．有，△ABC≌△A′B′C′.所以，∠C=∠C′=90°师：很精彩．以前我们证明三角形是不是直角三角形，•可以证明三角形有一个内角是90°，或有两条边互相垂直，而勾股定理逆定理提供的判定方法需要通过代数运算“算”出来．通过计算证明几何题也是证明的重要方法．明确通过勾股定理逆定理的证明，体会到构造法证明的过程，以及利用逆定理来判定直角三角形的方法．4．达标反馈（1）判断题①任何命题都有逆命题，任何定理都有逆定理．（×）②“若x=y，则x2=y2”的逆命题是假命题．（∨）③一个假命题的逆命题一定是错误的．（×）（2）判断由如下三组线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形．①a=10，b=24，c=26 （∨）②a=1．5，b=2，c=2．5 （∨）③c=4 （∨）④a=4，b=5，c=6 （×）（3）已知：△ABC中，三条边长分别为a，b，c，a=n2-1，b=2n，c=n2+1（n>1），求证：•∠C=90°（提示：通过比较得出c最大，再验证明a2+b2=c2）5．学习小结（1）引导学生作知识总结：①了解原命题与逆命题的关系．②记住并会证明勾股定理的逆定理．③能由三边长判定三角形是不是直角三角形．（2）教师拓展：判定的具体步骤：①计算两条较短边的平方和与最长边的平方；②比较这两个数值的大小；③给出结论．（三）延伸拓展1．链接生活链接一：能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数（或勾股弦数）．•勾股数有无数组．你能举出几组？链接二：古埃及人曾用下面的方法画直角：（如图所示）•他们把一根长绳打上等距离的13个结，一个工匠同时握住第1个结和第13个结，•两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，在第4个结处就得到了一个直角．请你说出这种做法的根据．2．巩固练习（1）已知：如图所示，在△ABC 中，AB=13，BC=10，BC 边上的中线AD=12，求证：AB=AC ．（提示：因为BD 2+AD 2=AB 2所以AD ⊥BC ，又BD=CD 所以AD 为BC•的垂直平分线，•从而AB=AC ）（2）已知：如图所示，四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积．（提示：连结AC ，由勾股定理得出AC=5，再由勾股定理逆定理证明AC ⊥CD ．分别计算△ABC 和△ACD 的面积即可）（3）如图所示，已知，CD⊥AB于D，且AC2=AD·AB．求证：△ABC为直角三角形．（提示：因为BC2=CD2+BD2而AC2=AD·AB=AD·（AD+BD）=AD2+BD·AD则CD2=BD·AD所以BC2=BD·AD+BD2=BD·（AD+BD）=BD·AB所以AC2+BC2=AB·（AD+BD）=AB2）。

《18.2勾股定理的逆定理》教学目标1．掌握直角三角形的判别条件.2．熟记一些勾股数.3.掌握勾股定理的逆定理的探究方法.教学方法1．用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想. 2．通过对Rt△判别条件的研究，培养学生大胆猜想，勇于探索的创新精神.教学重点难点：教学重点：探究勾股定理的逆定理.教学难点：勾股定理的逆定理的应用.教学过程：一、创设问属情境，引入新课活动1：（1）总结直角三角形有哪些性质.（2）一个三角形，满足什么条件是直角三角形？设计意图：通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形，提高学生发现反思问题的能力.师生行为：学生分组讨论，交流总结；教师引导学生回忆.这一活动，教师应重点关注学生：①能否积极主动地回忆，总结前面学过的旧知识；②能否“温故知新”.生：直角三角形有如下性质：（1）有一个角是直角；（2）两个锐角互余，（3）两直角边的平方和等于斜边的平方；（4）在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半.师：那么，一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢？生：有一个内角是90°，那么这个三角形就为直角三角形.生：如果一个三角形，有两个角的和是90°，那么这个三角形也是直角三角形.师：前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a，b斜边c具有一定的数量关系即a2＋b2＝c2，我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢？二、讲授新课活动2：画画看，如果三角形的三边分别为2.5cm，6cm，6.5cm，有下面的关系，“2.52＋62＝6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4cm、7.5cm、8.5cm.再试一试. 设计意图：由特殊到一般，归纳猜想出“如果三角形三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就为直角三角形”的结论，培养学生动手操作能力和寻求解决数学问题的一般方法. 师生行为：让学生在小组内共同合作，协手完成此活动.教师参与此活动，并给学生以提示、启发.在本活动中，教师应重点关注学生：①能否积极动手参与.②能否从操作活动中，用数学语言归纳、猜想出结论.③学生是否有克服困难的勇气.生：我们不难AC＝3，BC＝4，AB＝5.因为32＋42＝52.我们围成的三角形是直角三角形. 生：如果三角形的三边分别是 2.5cm，6cm，6.5cm.我们用尺规作图的方法作此三角形，经过测量后，发现6.5cm的边所对的角是直角，并且2.52＋62＝6.52.再换成三边分别为4cm，7.5cm，8.5cm的三角形，目标可以发现8.5cm的边所对的角是直角，且也有42＋7.52＝8.52. 是不是三角形的三边只要有两边的平方和等于第三边的平方，就能得到一个直角三角形呢？活动3：下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c.5，12，13；7，24，25；8，15，17.（1）这三组数都满足a2＋b2＝c2吗？（2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？设计意图：本活动通过让学生按已知数据作出三角形，并测量三角形三个内角的度数来进一步获得一个三角形是直角三角形的有关边的条件.师生行为：学生进一步以小组为单位，按给出的三组数作出三角形，从而更加坚信前面猜想出的结论，教师对学生归纳出的结论应给予解释，我们将在下一节给出证明.本活动教师应重点关注学生：①对猜想出的结论是否还有疑虑.②能否积极主动的操作，并且很有耐心. 生：（1）这三组数都满足a2＋b2＝c2.（2）以每组数为边作出的三角形都是直角三角形. 师：很好，我们进一步通过实际操作，猜想结论.“三四五放线法”是一种古老的归方操作.所谓“归方”就是“做成直角”.譬如建造房屋，房角一般总是成90°，怎样确定房角的纵横两线呢？据说，我国古代大禹治水测量工程时，也用类似的方法确定直角.三、课时小结活动4：问题：你对本节内容有哪些认识？设计意图：这种形式的小结，激发了学生的主动参与意识，调动了学生的学习兴趣，为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功体验的机会，并为程度不同的学生提供了充分展示自己的机会，尊重学生的个体差异，满足学生多极化学习的需要.师生行为：教师课前准备卡片，卡片上写出三个数，让学生随意抽出，判断以这三个数为边的三角形能否构成直角三角形.在活动4中，教师应重点关注学生：（1）不同层次的学生对本节的认知程度.（2）学生再谈收获是对不同方面的感受.（3）学生独立面对困难和克服困难的能力.四、活动与探究与练习Tom和Jerry去野外宿营，在某地要确定两条互相垂直的线，而身边又未带直角尺，可利用的只有背包带，你能帮他们想一个简单可行的办法吗？过程：确定垂线，即为确定一个直角，进而想到构造直角三角形.结果：可在背包带上打结，在背包带上打13个等距离的结，把第5个结固定在地上，Tom 拿住第1个和第13个结，而Jerry拿住第8个结，拉直背包带，第5个结处即为直角. 练习1、在△ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中线BD=5cm.求证：△ABC是等腰三角形.2、已知：如图，∠DAC=∠EAC，AD=AE，D为BC上一点，且BD=DC，AC2=AE2+CE2.3、已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=14，试判定△ABC的形状.五、作业布置P60习题18.2第1、4题.。

《18．2勾股定理的逆定理》教学目标1．了解证明勾股定理逆定理的方法．2．经历探索勾股定理逆定理证明的过程，培养学生克服困难的勇气和坚强的意志．3．培养学生与人合作、交流的团队意识．教学重点难点：教学重点：勾股定理逆定理的证明.教学难点：勾股定理逆定理在生活中的应用.教学过程一、创设问题情境，引入新课活动1：以下列各组线段为边长，能构成三角形的是____________（填序号），能构成直角三角形的是____________．①3，4，5 ②1，3，4 ③4，4，6 ④6，8，10 ⑤5，7，2 ⑥13，5，12 ⑦7，25，24 设计意图：帮助学生回忆构成三角形的条件和判定一个三角形为直角三角形的条件．师生行为：由学生自己独立完成，教师巡视学生填的结果．在此活动中，教师应重点关注：①学生是否熟练地完成填空；②学生是否积极主动地完成任务．生：能构成三角形的是：①③④⑥⑦，能构成直角三角形的是；①④⑥⑦二、讲授新课给出一组式子：32＋42＝52，82＋62＝102，152＋82＝172，242＋102＝262．（1）你能发现上面式子的规律吗？请你用发现的规律，给出第5个式子；（2）请你证明你所发现的规律．过程：观察式子，要注意这些式子中不变的形式，如等式两边每一项的指数为2，等式左边是平方和的形式，右边是一个数的平方．很显然，我们发现的规律一定是“（）2＋（）2＝（）2”的形式．然后再观察每一项与序号的关系，如32，82，152，242与序号有何关系，可知32＝（22－1）2，82＝（32－1）2，152＝（42－1）2，242＝（52－1）2；所以我们可推想，第—项一定是（n2－1）2．（其n＞1，n为整数），同理可得第二项一定是（2n）2，等式右边一定是（n2＋1）2（其中n＞1，n为整数）．（1）解：上面的式于是有规律的，即（n2－1）2＋（2n）2＝（n2＋1）2（n为大于1的整数）．第5个式子是n＝6时，即（62－1）2＋（2×6）2＝（62＋1）2化简，得352＋122＝372．（2）证明：左边＝（n2－1）2＋（2n）2＝（n4－2n2＋1）＋4n2＝n4＋2n2＋1＝（n2＋1）2＝右边，证毕．进一步让学生体会用勾股定理的逆定理，实现数和形的统一，第（3）题又让学生从一次从一般形式上去认识勾股数，如果能让学生熟记几组勾股数，我们在判断三角形的形状时，就可以避开很麻烦的运算．师生行为：先由学生独立完成，然后小组交流．教师应巡视学生解决问题的过程，对成绩较差的同学给予指导．在此活动中，教师应重点关注学生：①能否用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．②能否发现问题，反思后及时纠正．③能否积极主动地与同学交流意见．生：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方．解：（1）因为152＋82＝225＋64＝289，172＝289，所以152＋82＝172，这个三角形是直角三角形．（2）因为132＋142＝169＋196＝365，152＝225所以132＋142≠152．这个三角形不是直角三角形．生：要证明它们是直角三角形的三边，首先应判断这三条线段是否组成三角形，然后再根据勾股定理的逆定理来判断它们是否是直角三角形的三边长．三、巩固练习师：我们先来完成练习第1题．生：a2＝c2－b2，移项得a2＋b2＝c2，所以根据勾股定理的逆定理，这三条线段组成的三角形是直角三角形．（1）判断以a＝10，b＝8，c＝6为边组成的三角形是不是直角三角形．解：因为a2＋b2＝100＋64＝164≠c2，即a2＋b2≠c2，所以由a，b，c不能组成直角三角形．请问：上述解法对吗？为什么？（2）已知：在△ABC中，AB＝13cm，BC＝10cm，BC边上的中线AD＝12cm．求证：AB＝AC．设计意图：这是利用勾股定理的逆定理解决实际问题的例子，可以使学生进一步理解勾股定理的逆定理，体会数学与现实世界的联系．学生只要能用自己的语言表达清楚解决问题的过程即可．师生行为：先由学生独立完成，然后小组交流，讨论；教师巡视学生完成问题的情况，及时给予指导．在此活动中，教师应重点关注学生：①能否进一步理解勾股定理的逆定理，②能否用语言比较规范地书写过程，说明理由．③能否从中体验到学习的乐趣．生：例：分析：这是一个利用直角三角形的判定条件解决实际问题的例子．解：在△ABD中，AB2＋AD2＝9＋16＝25＝BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角．在△BCD 中，BD2＋BC2＝25＋144＝169＝132＝CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角．因此这个零件符合要求．四、课时小结问题：你对本节的内容有哪些认识，掌握勾股定理的逆定理及其应用，熟记几组勾股数．设计意图：这种形式的小结，激发了学生主动参与意识，调动了学生的学习兴趣．为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功的体验机会．小结活动既要注重引导学生将数学知识体系化，又要从能力、情感态度等方面关注学生对课堂的整体感受．师生行为：教师可准备好写有勾股数的卡片，让学生随机抽取，让学生说明如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形吗？五、作业布置P60习题18．2第1、4题．。

《逆命题与逆定理》教案教学目的1、理解互逆命题与互逆定理；2、正确应用互逆命题与互逆定理；3、线段的垂直平分线定理及逆定理；4、角平分线定理及逆命题的应用．重点与难点区分互逆命题与互逆定理；线段的垂直平分线定理及逆定理的应用；角平分线定理及逆命题的应用．教学过程【一】我们已经知道，可以判断正确或错误的句子叫做命题．例如“两直线平行，内错角相等”、“内错角相等，两直线平行”都是命题．上面两个命题的题设和结论恰好互换了位置．一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题．命题“两直线平行，内错角相等”的题设为____________________________________；结论为____________________________________．因此它的逆命题为_____________________________________________．每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题．但是原命题正确，它的逆命题未必正确．例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就是假命题．如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．我们已经知道命题“两直线平行，内错角相等”和它的逆命题“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就是互逆定理．一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理．例如“相等的角是对顶角”是假命题，但它的逆命题“对顶角相等”是真命题，且是定理．练习1．说出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题：(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；(2)等边三角形的每个角都等于60°；(3)全等三角形的对应角相等．2．举例说明下列命题的逆命题是假命题：(1)如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除；(2)如果两个角都是直角，那么这两个角相等．3．在你所学过的知识内容中，有没有原命题与逆命题都正确的例子(即互逆定理)？试举出几对．课堂小结：总结一下你所学过的知识．【二】我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，并知道线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．我们也可用逻辑推理的方法证明这一结论．如图，设直线MN是线段AB的垂直平分线，点C是垂足．点P是直线MN上任意一点，连结P A、PB．证明P A＝PB．已知：MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上任意一点．求证：P A＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得P A ＝PB．于是就有定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．此定理的逆命题是“到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，这个命题是否是真命题呢？即到一条线段的两个端点的距离相等的点是否一定在这条线段的垂直平分线上呢？我们也可以通过“证明”来解答这个问题．已知：如图，QA＝QB．求证：点Q在线段AB的垂直平分线上．分析：为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上，可以先经过点Q作线段AB的垂线，然后证明该垂线平分线段AB；也可以先平分线段AB，设线段AB的中点为点C，然后证明QC垂直于线段AB．于是就有定理：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．上述两条定理互为逆定理，根据上述两条定理，我们很容易证明：三角形三边的垂直平分线交于一点．从图中可以看出，要证明三条垂直平分线交于一点，只需证明其中的两条垂直平分线的交点一定在第三条垂直平分线上就可以了．试试看，现在你会证了吗？课堂练习1．如图，已知点A、点B以及直线l，在直线l上求作一点P，使P A＝PB．(第1题)2．如图，已知AE＝CE，BD⊥AC．求证：AB＋CD＝AD＋BC．（第2题）3．如图，在△ABC上，已知点D在BC上，且BD＋AD＝BC．求证：点D在AC的垂直平分线上．课堂小结：总结一下你所学过的知识．【三】回忆：我们知道角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．角平分线的这条性质是怎样得到的呢？如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E．当时是在半透明纸上描出了这个图，然后沿着射线OC对折，通过观察，线段P D和PE完全重合．于是得到PD＝PE．与等腰三角形的判定方法相类似，我们也可用逻辑推理的方法加以证明．图中有两个直角三角形△PDO和△PEO，只要证明这两个三角形全等，便可证得PD＝PE．于是就有定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．此定理的逆命题是“到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上”，这个命题是否是真命题呢？即到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？我们可以通过“证明”来解答这个问题．已知：如图，QD⊥OA，QE⊥O B，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．分析：为了证明点Q在∠AOB的平分线上，可以作射线OQ，然后证明Rt△DOQ≌Rt△EOQ，从而得到∠AOQ＝∠BOQ．于是就有定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．上述两条定理互为逆定理，根据上述这两条定理，我们很容易证明：三角形三条角平分线交于一点．从图中可以看出，要证明三条角平分线交于一点，只需证明其中的两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了．请你完成证明．课堂练习：1．如图，在直线l上找出一点P，使得点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等．2．如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE 的平分线上．课堂小结：总结一下你所学过的知识．。

逆命题和逆定理教学目标1、经历逆命题的概念的发生过程，了解一个命题都是由条件与结论两部分构成，每个命题都有它的逆命题，命题有真假之分。

2、了解逆命题、逆定理的概念。

3、经过逆命题、逆定理的学习，让学生领略数学的严谨性。

教学重点 重点：会识别两个命题是不是互逆命题，会在简单情况下写出一个命题的逆命题，了解原命题成立，其逆命题不一定成立．教学难点 难点：能判断一些命题的真假性，并能运用推理的思想方法证明一类较简单的真命题，同时知道假命题的证明方法是举反例说明． 设计亮点教学过程备 注一、回顾旧知，引入新课1、 命题的概念：对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。

我们还知道，命题都有两部分，即条件和结论，它的一般形式是“如果…，那么…”例1．命题：“两直线平行，同位角相等”条件是 ，结论是 。

命题：“同位角相等，两直线平行”条件是 ，结论是 。

以上两个命题有什么不同？请你说一说。

归纳：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。

就例1来说，如果说“两直线平行，同位角相等①”为原命题，则“同位角相等，两直线平行②”为逆命题。

我们说①②两个命题叫做互逆命题。

填表并思考命题条件 结论命题真假⑴两直线平行，同位角相等 ⑵同位角相等，两直线平行⑶如果a b =，那么22a b = ⑷如果22a b =，那么a b =请学生分别说明上表的原命题，逆命题及真假。

问：每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题是否一定为真命题？ 二、合作学习（P65，做一做）1、说出下列命题的逆命题，并判定逆命题的真假；①长方形有两条对称轴。

逆命题：有两条对称轴的图形是长方形——真命题。

②有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

逆命题：平行四边形有一组对边平行并且相等——真命题。

③磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具。