2007年浙江省初中数学竞赛初赛试题

2007年湖州市七年级数学竞赛试卷一、选择题（每小题5分，共40分）：1．在－0.1538中用数字4替换其中的一个非0数字后，使得所得的数最大，则被替换的数字是 （ ）A ．1 B. 5 C. 3 D. 82. 把99拆成四个数，使得第一个数加上2，第二个数减2，第三个数乘2，第四个数除以2，得到的结果都相等，那么被拆成的四个数不可能的是 ( )A ． 20 B. 24 C . 11 D. 343．如图，∠1=75°，∠2=80°，∠3=60°，∠4=35°，则∠5= （ ） A. 45° B.50° C.55° D.60°4．a 、b 是两个给定的整数，某同学分别计算当x=－1、1、2、4时代数式ax ＋b 的值，依次得到下列四个结果，已知其中只有三个是正确的，那么错误的一个是 （ ） A. －a ＋b=－1 B.a ＋b=5C . 2a ＋b=7D .4a ＋b=14 5．如图，△ABC 内有三个点D 、E 、F ，分别以A 、B 、C 、D 、E 、F这六个点为顶点画三角形，如果每个三角形的顶点都不在其他所有三角形的内部那么这些三角形的所有内角之和为（ ） A . 3600 B . 9000C . 12600D . 144006.方程xy －x －y －2=0的整数解的个数为 ()A ．1B ．2C ．3D ．4 7．在如图所示的方格纸中，每个方格都是边长为1的正方形，点A 、B 这个5×5的方格纸中，找出点C 使△ABC 的面积为2有 （ ） A. 2 个 B. 3个 C. 4 个 D. 5个8、将1，2，3，4，…,100这100个数任意分成50组,每组2个数,将这两个数分别记为a ，和b,代入代数式)(21b a b a ++-中进行计算求出结果,50组都代入进行计算得到50个值,则这些值的和的最大值是( )A. 3775B. 5050C. 2525D. 4025 二、填空题（每小题5分，共30分）：9. 现规定一种运算，a ※b=ab+a-b, 其中a,b 为实数，则a ※b+(b-a)※b= 10. 已知三角形的三边a ，b ，c 的长都是整数，且a ≤b ＜c ，如果b = 7，则这样的三角形共有 个11. 把两个长3cm 、宽2cm 、高1cm 的小长方体先粘合成一个大长方体，再把它切成两个大小相同的小长方体．被切成的一个小长方体的表面积最多可比原来的一个小长方体的表面积大_________cm 2．12. 从一副扑克牌中取出两组牌，分别是红桃1,2,3,4,5和梅花3,4,5,6,7,8;将它们背面朝上分别重新洗牌后，从两组牌中各摸出一张，那么摸出的两张牌的牌面数字和是平方数的概率是 . 13．已知整数a,b,c 使等式(x ＋a)(x ＋b) ＋c(x －10)=(x －11)(x ＋1)对任意的x 均成立，则c 的值为 。

2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为D C B A ,,,的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1. 已知z y x ,,满足x z z y x +=-=532，则z y y x 25+-的值为 （ ）（A ）1. （B ）31. （C ）31-. （D ）21. 【答】B.解 由x z z y x +=-=532得x z x y 23,3==，所以31333525=+-=+-x x x x z y y x ，故选（B ）.注：本题也可用特殊值法来判断.2．当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算代数式2211x x +-的值，将所得的结果相加，其和等于 （ ）（A ）－1. （B ）1. （C ）0. （D ）2007.【答】C.解 因为=+-++-222211)1(1)1(1n n n n 011112222=+-++-n n n n ，即当x 分别取值n 1，n n (为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0；而当1=x 时，0111122=+-.因此，当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算所得各代数式的值之和为0.故选（C ）. 3. 设c b a ,,是△ABC 的三边长，二次函数2)2(2b a cx x ba y ----=在1=x 时取最小值b 58-，则△ABC 是 （ ）（A ）等腰三角形. （B ）锐角三角形. （C ）钝角三角形. （D ）直角三角形.【答】D.解 由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=---,5822,1)2(2b b a c b a b a c 即⎪⎩⎪⎨⎧==+,53,2b c a c b 所以b c 53=，b a 54=，因此222b c a =+，所以△ABC 是直角三角形. 故选（D ）. 4. 已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（ ）（A ）30°. （B ）45°. （C ）60°. （D ）75°. 【答】C.解 锐角△ABC 的垂心在三角形内部，如图，设△ABC 的外心为O ，D 为BC 的中点，BO 的延长线交⊙O 于点E ，连CE 、AE ，则CE //AH ，AE //CH ，则OD CE AH OB 2===，所以∠OBD ＝30°，∠BOD ＝60°，所以∠A ＝∠BOD ＝60°.故选（C ）.5．设K 是△ABC 内任意一点，△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心分别为D 、E 、F，则ABC DEF S S △△:的值为 （ ）（A ）91. （B ）92. （C ）94. （D ）32. 【答】A.解 分别延长KD 、KE 、KF ，与△ABC 的三边AB 、BC 、CA 交于点M 、N 、P ，由于D 、E 、F 分别为△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心，易知M 、N 、P 分别为AB 、BC 、CA 的中点，所以ABC MNP S S △△41=.易证△DEF ∽△M N P ，且相似比为3:2，所以MNP DEF S S △△2)32(=ABC S △4194⋅=ABC S △91=. 所以:DEF S △19ABC S =△.故选（A ）. 6．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是 （ ）（A ）101. （B ）51. （C ）103. （D ）52. 【答】B.解 设摸出的15个球中有x 个红球、y 个黑球、z 个白球，则z y x ,,都是正整数，且7,6,5≤≤≤z y x ，15=++z y x .因为13≤+z y ，所以x 可取值2，3，4，5.当2=x 时，只有一种可能，即7,6==z y ；当3=x 时，12=+z y ，有2种可能，7,5==z y 或6,6==z y ；当4=x 时，11=+z y ，有3种可能，7,4==z y 或6,5==z y 或5,6==z y ；当5=x 时，10=+z y ，有4种可能，7,3==z y 或6,4==z y 或5,5==z y 或4,6==z y .因此，共有1＋2＋3＋4＝10种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种，所以所求的概率为51102=.故选（B ）. 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1. 设121-=x ，a 是x 的小数部分，b 是x -的小数部分，则=++ab b a 333____1___.解 ∵12121+=-=x ，而3122<+<，∴122-=-=x a . 又∵12--=-x ，而2123-<--<-，∴22)3(-=---=x b .∴1=+b a ，∴=++ab b a 333=++-+ab b ab a b a 3))((221)(3222=+=++-b a ab b ab a . 2. 对于一切不小于2的自然数n ，关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两个根记作n n b a ,（2≥n ），则)2)(2(122--b a )2)(2(133--+b a +)2)(2(120072007--+b a =.10034016- 解 由根与系数的关系得2+=+n b a n n ，22n n a b n ⋅=-，所以=--)2)(2(n n b a (2-n n b a 4)++n n b a 222(2)42(1)n n n n =--++=-+， 则11111()(2)(2)2(1)21n n a b n n n n =-=----++， )2)(2(122--b a )2)(2(133--+b a +)2)(2(120072007--+b a ＝11111111111003()()()()22334200720082220084016⎡⎤--+-++-=--=-⎢⎥⎣⎦. 3. 已知直角梯形ABCD 的四条边长分别为6,10,2====AD CD BC AB ，过B 、D 两点作圆,与BA 的延长线交于点E ，与CB 的延长线交于点F ，则BF BE -的值为____4_____.解 延长CD 交⊙O 于点G ，设DG BE ,的中点分别为点N M ,，则易知DN AM =.因为10==CD BC ，由割线定理，易证DG BF =，所以42)(2)(2==-=-=-=-AB AM BM DN BM DG BE BF BE .4． 若64100+a 和64201+a 均为四位数，且均为完全平方数，则整数a 的值是___17____.AB CD E F G M N解 设264100m a =+，264201n a =+，则100,32<≤n m ，两式相减得 ))((10122m n m n m n a -+=-=，因为101是质数，且101101<-<-m n ，所以101=+m n ，故1012-=-=n m n a .代入264201n a =+，整理得020*******=+-n n ，解得59=n ，或343=n （舍去）.所以171012=-=n a .第二试 （A ）一、 （本题满分20分）设n m ,为正整数，且2≠m ，如果对一切实数t ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离不小于2t n +，求n m ,的值.解 因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为3mt +.由题意，32mt t n+≥+，即22(3)(2)mt t n +≥+，即222(4)(64)90m t m n t n -+-+-≥. 由题意知，042≠-m ，且上式对一切实数t 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2mn m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m 或⎩⎨⎧==.1,6n m 二、（本题满分25分）如图，四边形ABCD 是梯形，点E 是上底边AD 上一点，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线交CD 的延长线于点M ，BM 与AD 交于点N .证明：∠AFN =∠DME . 证明 设MN 与EF 交于点P ，∵NE //BC ，∴△PNE ∽△PBC ，∴PC PE PB PN =, ∴PC PN PE PB ⋅=⋅.又∵ME //BF ，∴△PME ∽△PBF ，∴PF PE PB PM =, ∴PF PM PE PB ⋅=⋅.∴PF PM PC PN ⋅=⋅,故PFPC PN PM = 又∠FPN =∠MPE ，∴△PNF ∽△PMC ，∴∠PNF ＝∠PMC ，∴NF//MC ∴∠ANF ＝∠EDM.又∵ME//BF ，∴∠FAN ＝∠MED.∴∠ANF ＋∠FAN ＝∠EDM ＋∠MED ，∴∠AFN=∠DME.三、 （本题满分25分）已知a 是正整数，如果关于x 的方程056)38()17(23=--+++x a x a x 的根都是整数，求a 的值及方程的整数根.解 观察易知，方程有一个整数根11=x ，将方程的左边分解因式，得[]056)18()1(2=+++-x a x x因为a 是正整数，所以关于x 的方程 056)18(2=+++x a x （1）的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根.而原方程的根都是整数，所以方程（1）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即 224)18)(18(=-+++k a k a .显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以 A B D E F M N P⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a 当39=a 时，方程（1）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-.此时原方程的三个根为1，1-和56-.当12=a 时，方程（1）即056302=++x x ，它的两根分别为2-和28-.此时原方程的三个根为1，2-和28-. 第二试 （B ）一、（本题满分20分）设n m ,为正整数，且2≠m ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为1d ，二次函数nt x n t x y 2)2(2+-+-=的图象与x 轴的两个交点间的距离为2d .如果21d d ≥对一切实数t 恒成立，求n m ,的值.解 因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以31+=mt d ；一元二次方程02)2(2=+-+-nt x n t x 的两根分别为t 2和n -，所以n t d +=22.所以，21d d ≥22)2()3(23n t mt n t mt +≥+⇔+≥+⇔09)46()4(222≥-+-+-⇔n t n m t m （1）由题意知，042≠-m ，且（1）式对一切实数t 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2mn m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m 或⎩⎨⎧==.1,6n m 二、（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同. 三、（本题满分25分）设a 是正整数，二次函数a x a x y -+++=38)17(2，反比例函数xy=，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值. 解 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=,56,38)17(2x y a x a x y 消去y 得a x a x -+++38)17(2x56=，即 056)38()17(23=--+++x a x a x ，分解因式得[]056)18()1(2=+++-x a x x （1）显然11=x 是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点. 因为a 是正整数，所以关于x 的方程 056)18(2=+++x a x（2）的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根. 而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即 224)18)(18(=-+++k a k a .显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a 当39=a 时，方程（2）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-，此时两个函数的图象还有两个交点)56,1(--和)1,56(--.当12=a 时，方程（2）即056302=++x x ，它的两根分别为2-和28-，此时两个函数的图象还有两个交点)28,2(--和)2,28(--.第二试 （C ）一、（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设a 是正整数，如果二次函数a x a x y 710)232(22-+++=和反比例函数xa y 311-=的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值和对应的公共整点.解 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+++=,311,710)232(22x a y a x a x y 消去y 得a x a x 710)232(22-+++＝113a x-，即0113)710()232(223=-+-+++a x a x a x ，分解因式得 []0311)12()12(2=-+++-a x a x x （1）如果两个函数的图象有公共整点，则方程（1）必有整数根，从而关于x 的一元二次方程 0311)12(2=-+++a x a x（2）必有整数根，所以一元二次方程（2）的判别式∆应该是一个完全平方数， 而224)18(10036)311(4)12(222-+=++=--+=∆a a a a a .所以224)18(2-+a 应该是一个完全平方数，设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即224)18)(18(=-+++k a k a . 显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以 ⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a当39=a 时，方程（2）即0106512=-+x x ，它的两根分别为2和53-，易求得两个函数的图象有公共整点)53,2(-和)2,53(-.当12=a 时，方程（2）即025242=-+x x ，它的两根分别为1和25-，易求得两个函数的图象有公共整点)25,1(-和)1,25(-.。

２００7年全国初中数学竞赛（初赛）试题说明：本卷共120分，时量分钟一、选择题（本大题共６个小题，每小题５分，满分３０分）１．若ｘ＝m3＋２，ｙ＝４－m 9．用含ｘ的代数式表示ｙ为（ ）Ａ．ｙ＝２ｘ Ｂ．ｙ＝2x Ｃ．ｙ＝2x －２ｘ Ｄ．ｙ＝４ｘ－2x ２．⊙Ｏ切△ＡＢＣ的三边于点Ｄ，Ｅ，Ｆ则△ＤＥＦ的形状为（ ）Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．不能确定 ３.如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝２， ｙＢＣ＝１，点Ａ，Ｃ分别在ｘ轴，ｙ轴上．点Ａ在ｘ轴 Ｂ上运动时，点Ｃ随之在ｙ轴上运动，在运动过程中， 点Ｂ到原点Ｏ的最大距离为（ ） Ａ．３ Ｂ．5＋１ Ｃ．2＋１ Ｄ．5 ４．已知π的前２４位数字为３１４１５９２６５３５８９７９３２３８４６２６４，在这２４个数字中随意地抽取一个数字，并依次记作1a ，2a ，… ，24a ，则（1a -2a ）（43a a -）…（2423a a -）的值为（ ）Ａ．奇数 Ｂ．偶数 Ｃ．奇数或偶数 Ｄ．质数５．如图，Ｐ是正方形ＡＢＣＤ内点一点，且ＰＡ＝２，ＰＢ＝１，ＰＤ＝３，则∠ＡＰＢ的度数为（ ）Ａ．１００° Ｂ．１１０° Ｃ．１２５° Ｄ．１３５°６．如图，在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ＣＤ，对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，且ＯＡ＞ＯＣ，ＯＢ＞ＯＤ，在ＡＯ上取ＡＥ＝ＯＣ，ＢＯ上取ＢＦ＝ＯＤ，连结ＤＥ，ＢＥ，ＡＦ，ＣＦ，记△ＡＦＣ的面积为1S ，△ＢＥＤ的面积为2S ，则有（ ）Ａ．1S ＞2S Ｂ．1S ＝2S Ｃ．1S ＜2S Ｄ．1S 和2S 的大小不能确定 Ｄ Ｃ Ｄ Ｃ Ｏ Ｐ Ｅ ＦＡ Ｂ Ａ Ｂ（第５题）（第６题）二、填空题（本大题共６个小题，每小题５分，满分３０分） ７．一个凸多边形的所有内角中，最多有（ ）个锐角． ８．已知a 1－a ＝１，那么代数式a1＋a 的值为（ ）． ９．为了了解用电量的多少，小明在３月初连续几天同一时刻观察电表显示的刻度数，记录如下表：由此可以估计小明３月份的用电量大约是( )度． １０．若分式方程22-+x ax ＝－１的解是正数，则ａ的取值范围是（ ） １１．如图，六面体的４个定点处分别有四只 Ａ蚂蚁1A ，2A ，3A ，4A ，要求它们在爬过所有 Ａ 2A 的９条棱后到达终点Ｂ，如果它们的爬速相同，那么最先到达终点的是（ ）． Ｂ１２．已知二次函数ｙ＝ａ2x ＋ｂｘ＋ｃ和一次函数ｙ＝ｋ（ｘ－１）－42k ，若它们的图像对任意实数ｋ都只有一个公共点，则该二次函数的解析式为（ ）三、解答题（本大题共４个小题，每小题１５分，满分６０分）13．若多项式2x －（ａ＋５）ｘ＋５ａ－１能分解成两个一次因式ｘ＋ｂ，ｘ＋ｃ的乘积（要求ｂ，ｃ是整数且ｂ＜ｃ），求ａ，ｂ，ｃ的值．１４．如图，已知正方形ＡＢＣＤ的边长为１，Ｇ为ＣＤ边上的一个动点（点Ｇ不与Ｃ，Ｄ重合）以ＣＧ为边在正方形ＡＢＣＤ外作正方形ＧＣＥＦ连结ＤＥ交ＢＧ的延长线于点Ｈ．⑴求证：△ＢＣＧ≌△ＤＥＣ⑵ＢＨ与ＤＥ垂直吗？证明你的结论．⑶当点Ｇ运动到什么位置时，ＢＨ垂直平分ＤＥ？请说明理由．ＡＤＨＧＦＢＣＥ１５.今有甲，乙两个游团取某公园游览，若分别购票，两团总计应付门票费１３１４０元；若合在一起作为一个团队购票，总计应付门票费１００８０元，问这两个游团各有多少人？附：公园门票价格购票人数１～５０人５１～１００人１００人以上每人门票价格１３０元１１０元９０元１６．如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，Ｃ是半径ＯＢ的中点，Ｄ是ＯＢ延长线上的一点，且ＢＤ＝ＯＢ，过Ｄ的直线交⊙Ｏ于Ｍ，Ｅ，连结ＭＢ．（１）求证：ＭＢ平分∠ＣＭＤ；（２）求ＭＤ︰ＭＣ的值；（３）当ＭＤ与⊙Ｏ相切时，ＭＤ︰ＭＣ的值是否发生变化？请说明理由．。

中国教育学会中学数学教学专业委员会 2007年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。

以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里。

不填、多填或错填得零分）1、方程组⎩⎨⎧=+=+6||12||y x y x 的解的个数为（ ）A 、1B 、 2C 、3D 、4 答案：A解析：若0≥x ，则⎩⎨⎧=+=+6||12y x y x ，于是6||-=-y y ，显然不可能若0 x ，则⎩⎨⎧=+=+-6||12y x y x于是18||=+y y ，解得9=y ，进而求得3-=x 所以，原方程组的解为⎩⎨⎧=-=93y x ，只有1个解．故选（A ）．2、口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）A 、 14B 、 16C 、18D 、20答案：B解析：用枚举法：红球个数 白球个数 黑球个数 种 数 5 2，3，4，5 3，2，1，0 4 4 3，4，5，6 3，2，1，0 4 3 4，5，6，7 3，2，1，0 4 2 5，6，7，8 3，2，1，0 4 所以，共16种． 故选（B ）．3、已知ABC ∆为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ． 若⊙O 的半径与ADE ∆的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过ABC ∆的（ ）A 、内心B 、外心C 、重心D 、垂心 答案：B解析： 如图，连接BE ∵ABC ∆为锐角三角形 ∴BAC ∠，ABE ∠均为锐角又∵⊙O 的半径与ADE ∆的外接圆的半径相等，且DE 为两圆的公共弦 ∴ABE BAC ∠=∠∴BAC ABE BAC BEC ∠=∠+∠=∠2 若ABC ∆的外心为1O 则BAC C BO ∠=∠21 ∴⊙O 一定过ABC ∆的外心 故选（B ）．4、已知三个关于x 的一元二次方程02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx 恰有一个公共实数根，则abc ca b bc a 222++的值为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 答案：D解析：设0x 是它们的一个公共实数根，则02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx把上面三个式子相加，并整理得()()01020=++++x x c b a因为0432112002+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x所以0=++c b a于是()()33333333222=+-=+-+=++=++abcb a ab abc b a b a abc c b a ab c ca b bc a 故选（D ）．5、方程256323+-=++y y x x x 的整数解（x ，y ）的个数是（ ）A 、0B 、1C 、3D 、无穷多 答案：A解析：原方程可化为()()()()()2113212++-=++++y y y x x x x x因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的。

2007浙江省第六届数学分析竞赛试题一．计算题 1. 求951x dx x +⎰.解：原式()55215x d x =+⎰()232211553t dt t t C ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭⎰. 2. 求()()1120112limsin xxx x x x→+-+.解：令()()11xf x x =+，则原式()()002lim limsin x x f x f x xx x→→-=()()()0lim 22x f x f x →''=-()()()()()()00002lim lim 2lim 2lim 2x x x x f x f x f x f x f x f x →→→→''=-()()()()002lim 2lim 2x x f x f x e e f x f x →→''=-()()limx f x e f x →'=-()()2001ln 11lim lim 1x x x x x e x x →→-++=-+()0ln 1lim22x x ee x →-+=-=.3. 求p 的值，使()()220070bx p ax p edx ++=⎰.解：情形一，当a b =时，p 的值可以任意取；情形二，当a b ≠时，做变换t x p =+，则 原式左边22007b pt a pt e dt ++=⎰，因为被积函数是奇函数，故当()a p b p +=-+时，即2a b p +=-时，有()()220070b x p a x p e dx ++=⎰. 4. 设(),x ∀∈-∞+∞，()0f x ''≥，且()201x f x e-≤≤-，求()f x 的表达式.解：（1）由()2011x f x e-≤≤-<，知()f x 有界；（2）下证()0f x '=，(),x ∀∈-∞+∞.假若存在()0,x ∈-∞+∞，使得()00f x '≠，则()()()()()()2000012f x f x f x x x f x x ξ'''=+-+- ()()()000f x f x x x '≥+-，若()00f x '>，则()()()()000f x f x f x x x '≥+-→+∞，()x →+∞，这与()f x 有界矛盾；若()00f x '<，则()()()()000f x f x f x x x '≥+-→+∞，()x →-∞，这与()f x 有界矛盾，因此()00f x '=，(),x ∀∈-∞+∞，()f x C =，(),x ∀∈-∞+∞；（3）由()00010f e ≤≤-=，知()00f =，因此()0f x =，(),x ∀∈-∞+∞.5. 计算()2Sxy dS +⎰⎰，其中S 为柱面224x y +=，()01z ≤≤.解：方法一 因圆柱面224xy +=，()01z ≤≤的参数方程为2c o s 2s i nx uy u z v =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 故2dSEG F dudv =-，其中2224u u u E x y z =++=，0u v u v u v F x x y y z z =++=，2221v v v G x y z =++=， 于是()()122224cos 2sin Sxy dS dv u u du π+=+⎰⎰⎰⎰()2224cos 2sin u u du π=+⎰20cos21882u du ππ-==⎰.方法二 注意到对称性()22SSx y dS x dS +=⎰⎰⎰⎰()2212Sx y dS =+⎰⎰()1144221822S dS ππ==⋅⋅⋅⋅=⎰⎰. 二．设1211211212345632313nu n n n=+-++-+++--- ， 111123n v n n n=+++++ ，求（1）1010u v ，（2）lim n n u →∞.解：（1）因为111111232n u n n ⎛⎫=+++-+++ ⎪⎝⎭，111111232n v n n ⎛⎫=+++-+++ ⎪⎝⎭， 故n n u v =，因此10101u v =， （2）方法一 2111lim lim lim 1n n n n n n k u v k n n→∞→∞→∞===+∑()22001ln 1ln31dx x x ==+=⎡⎤⎣⎦+⎰.方法二 利用111ln 2n n c nε+++=++ ，其中lim 0n n ε→∞=，()()3lim lim ln3ln n n n n n u n c n c εε→∞→∞⎡⎤=++-++⎣⎦()3lim ln3n n n εε→∞=+- ln3=.三．有一个边长为4π的正方形纸（如图），C 、D 分别为AA '、BB '的中点，E 为DB '的中点.现将纸卷成圆柱形，使A 与A '重合，B 与B '重合，并将圆柱垂直放在xoy 平面上，且B 与原点O 重合，D 落在y 轴正向上.求：（1）通过C ，E 两点的直线绕z 轴旋转所得的旋转面方程； （2）此旋转面、xoy 平面和过A 点垂直于z 轴的平面所围成的立体体积. 解：()0,0,0B ，()0,4,4C π，()0,4,0D ，()2,2,0E ，通过()0,4,4Cπ和()2,2,0E 两点的直线l 方程为22224x y z π--==-，即22z x π=-，22zy π=+， （1）通过C ，E 两点的直线l 绕z 轴旋转所得的旋转面方程为22222222z z x y ππ⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即222282z x y π+=+； （2）此旋转曲面()222228z x y π=+-，xoy 平面0z=和过A 点垂直于z 轴的平面4z π=所围成的立体体积为22224082z x y V dxdydz dzdxdy ππΩ+≤+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰242082z dz πππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰432086z z πππ⎛⎫=+⎪⎝⎭ 222321283233πππ=+=.四．求函数()2222,,x yz f x y z x y z+=++，在(){}222,,:14D x y z x y z =≤++≤上的最大值和最小值.解：解法一 令cos x ρϕ=，cos sin y ρθϕ=，sin sin zρθϕ=，则()222221,,1sin 21sin 2x yz f x y z x y z θϕ+⎛⎫==+- ⎪++⎝⎭， 其中[]0,ϕπ∈，[],θππ∈-，因()311sin 21222g θθ-≤=-≤-，且32-，12-分别是()1sin 212g θθ=-的最小值和最大值， 故()2222,,x yz f x y z x y z +=++在D 上的最小值和最大值为别为31122⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，101+=.解法二 由()()22221122y z yz y z -+≤≤+， 得()()22222222213112222x y z x x yz x y z x -+++≤+≤+++， ()222222212x y z x yz x y z -++≤+≤++， ()1,,12f x y z -≤≤， 且等号能达到，(),0,01f x =，()10,,2f y y -=-，故()2222,,x yz f x y z x y z +=++在D 上的最小值和最大值为别为12-，1. 五．求11limnk n k n n knC →∞=+-∑. 解：记11n n kk n n kx nC =+-=∑， ()()()22212!3!4!10112n x n n n n n n n n≤=+++++---()212!12n n n n ≤+-+()441n n n=-<， 故11lim0nk n k n n knC →∞=+-=∑. 六．证明：24cos 21x x x ≤-++，20,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.证明：只要证()224cos 21x x x +≤+，20,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.该不等式等价于222cos 2cos 21x x x +≤，20,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即222cos 2sin 2x x x ≤，20,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令2tx =，则只要证 sin cos tt t≤，0,2t π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 为此，作()sin ,cos t f t t t =-0,2t π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭则()31cos cos 12t t f t +'=-，0,2t π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭因此()31cos cos 12t t f t +'=-311cos 110cos cos t tt≥⋅-=-≥，0,2t π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ 于是当02t π≤<时，()()sin 00cos tf t t f t=-≥=.结论得证.。

2007年宁波市东海杯初二数学竞赛试卷第1试一、填空题(第1--20题每题3分，第21-30题每题4分，共100分)1．若实数a，b，c满足abc=-2，a+b+c>O，则a，b，c中有个负数．2．设a△b=a2-2b，则(-2)△(3△4)的值为．3．如图，已知AB∥CD，MF⊥FG，∠AEM=50°，∠NHC=55°．则∠FGH的度数为．(第3题) (第4题)4．如图，把一个长26cm，宽14cm的长方形分成五块，其中两个大正方形和两个长方形分别全等．那么中间小正方形的面积是 cm。

．5．如图，MN是圆柱底面的直径，NO是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点M，P有一条绕了四周的路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿NO剪开，所得的侧面展开图可以是：(填序号)．6．A、B、C、D四人做相互传花球游戏，第一次A传给其他三人中的任一人，第二次由拿到花球的人再传给其他三人中的任一人，第三次由拿到花球的人再传给其他三人中的任一人．则第三次花球传回A的概率等于．7．一个正方体六个面上分别写着“东”、“海”、“实”、“验”、“学”、“校”，如图是这个正方体的三种不同的摆法，则与“东”、“海”、“实”所在面相对的面上的字分别是．8．设a ，b 是正整数(a>b>5)，以下列各组数为三角形的三边长：①a+3b，a+4b ，a+5b ；②a 2-b 2，2ab ，a 2+b 2；③a+b，a+5，b-2．则这样的三角形不可能是直角三角形的编号是 ．9．已知关于x 的不等式mx-2≤O 的负整数解只有-1,-2，则m 的取值范围是 ．10.若关于x,y 方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解为⎩⎨⎧==65y x ，则方程组⎩⎨⎧=+=+222111435435c y b x a c y b x a 的解为 ．11．如图，等腰三角形ABC 中，∠A=lOO °，CD 是△ABC 的角平分线，则BC 写成图中两条线段的和是：BC= + ．(所填线段应是图中已有字母表示的线段)(第11题) (第12题)12．某校为了了解八年级学生的体能情况，抽调了一部分学生进行一分钟跳绳测试．将测试成绩整理后作出如下的条形统计图．已知跳绳次数不少于100次的同学占96％，从左到右第二组有12人，第一、二、三、四组的人数之比为2：4：17：15，如果这次测试的中位数是120次，那么这次测试中成绩为120次的学生至少有 人．(注：每组含最小值，不含最大值)13． 已知a-b=4，ab+m 2-6m+13=0，则ab+m 的值为 ．14．已知a ，b,c 都是质数，且满足abc+a=85l ，则a+b+c 的值为 ．15．有一边长为20 m 的等边AABC 的场地，一个机器人从边AB 上点P 出发，先由点P 沿 平行于BC 的方向运动到AC 边上的点P 1，再由P l 沿平行于AB 方向运动到BC 边上的点P 2，又由点P 2沿平行于AC 方向运动到AB 边上的点P ，……，一直按上述规律运动下去，则机器人至少要运动 m 才能回到点P ．16．计算：)20081100711006110051()20081200714131211(++++÷-++-+-= . 17．已知正整数x ，y 满足：y=128++x x ，则符合条件的x ，y 的值为 ． 18．如图，四边形ABCD 中，∠BAD=60°，∠BCD=30°，AB=AD ，BC=8cm ，CD=5cm ，则AC的长为 cm ．(第18题) (第19题) (第20题)19．一个七边形棋盘如图所示，7个项点顺序从0到6编号，称为七个格子，一枚棋子放在O 格．现在依顾时针移动这枚棋子，第一次移动l 格，第二次移动2格，……，第n 次移动n 格，则不停留棋子的格子的编号有 ．20．如图，长方形ABCD 被分成8块，图中的数字是其中5块的面积数，则图中阴影部分的面积为 ．21．已知△AB C 的三条高的长分别为kk k -++31,1232,61,则k 的取值范围是 ． 22.已知：4321)4)(3)(2)(1(6+++++++=++++n d n c n b n a n n n n ，其中a,b,c,d 是常数， 则a+2b+3c+4d 的值为 ．23．如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A 、B 、C 、D 四个维修点某种配件各50件，在使用前发现需将A 、B 、C 、D 四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，6l件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次之和为．(注：n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)(第23题) (第24题)24．如图，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(0，0)，B(5，O)，C(3，6)，D(-1，3)，写出在如图10×10的正方形网格纸中，到AB和CD所在直线的距离相等的所有网格点P 的坐标：．25．有编号为A、B、C三个盒子，分别装有水果糖、奶糖、巧克力糖中的一种，将它们分给甲、乙、丙三位小客人．己知甲没有得到A盒；乙没有得到B盒，也没有得到奶糖；A盒中没有装水果糖，B盒中装着巧克力糖．则丙得到的盒子编号是，得到的糖是．26．某旅游团65人在快餐店就餐，该店备有9种菜，每份单价分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9(元)．该旅游团领队交代：每人可选不同的菜，但金额都正好是10元，且每种菜最多只能买一份．这样，该团成员中，购菜品种完全相同的至少有人．27．一个棱长为6厘米的立方体，把它切开成49个小立方体．小立方体的大小不必都相同，而小立方体的棱长以厘米作单位必须是整数．则切出的立方体棱长为2厘米的应有个．28．一个三角形有一内角为48°，如果经过其一个项点作直线能把其分成两个等腰三角形，那么它的最大内角可能是．29．用标有lg，2g，3g，25g，30g的砝码各一个，在某架无刻度的天平上称量重物．如果天平两端均可放置砝码，那么，该天平所能称出的不同克数(正整数的重物)至多有___________种．30．有三张点数不同的扑克牌，随意分给甲、乙、丙每人一张，然后收起来洗牌之后再分给他们，这样分了n次之后，三人累计的点数：甲为16，乙为11，丙为24，已知甲第一次得到的牌是其中点数最大的一张，则这三张牌的点数各是．(说明：扑克牌的点数与牌面上的数字相同，对于“A”、“K”、“Q”、“J”，它们的点数分别是l，13，12，11)参考答案及评分标准（第1~20题每题3分，第21~30题每题4分，共100分）1．1； 2．2 3． 15 4．36 5．② 6．92 7．验，校，学 （次序出错不给分）8．①③（只填对一个，给2分，有错误答案不给分）9．321-<≤-m （只是“=”号写错给2分） 10．⎩⎨⎧==84y x 11．AD ，CD （只填对一条线段不给分）12．7（提示：第一组占4%，则第二组占8%，故总人数为150人，则中位数在第四组，且是从小到大排列的第75，76两个数的平均数，而本组的最小值为120，第70个数开始是120，因此120次至少有7个）13．1-14．5015．30m 或60m （只给出一个正确答案给2分，有错误答案不给分）16．1 提示：)20081100711006110051()20081200714131211(++++÷-++-+-)20081100711006110051()]200814121(2200814131211[++++÷+++-+++++= )20081100711006110051()]100412111(200814131211[++++÷+++-+++++= )20081100711006110051(++++= )20081100711006110051(++++÷ =1 17．⎩⎨⎧==31y x ，⎩⎨⎧==22y x ，⎩⎨⎧==17y x （对一个给1分）18．8919．2，4，5 (提示：找出一个周期)20．85 提示：设未知的三块面积分别为z y x ,,（如图）则⎩⎨⎧++++=++++++=++65152050701550207065x y z z y x 经消元得：85=y21．2718<<-k 设三角形面积为S ， 则三边长分别为S k S k S k 23,4123,26-++，则由构成三角形的条件，列不等式组，即得 22．0提示： )4)(3)(2)(1(6++++n n n n =)3)(2(3)4)(1(3++-++n n n n =33234111+++-+-+n n n n 23．16 提示：设A 到B 调1x 件，B 到C 调2x 件，C 到D 调3x 件，D 到A 调4x 件，这里若)4,23,1(=i x i 为负数，则表明调动方向改变。

【精品】第11届（2007年浙江省初中生科学竞赛初赛试题卷及参考答案第11届（2007年）浙江省初中生科学竞赛初赛试题卷及参考答案浙江省第11届初中生科学竞赛初赛试题卷考生须知：1．本卷共4大题，34小题，考试时间120分钟，满分1 50分。

2．试卷分为试题卷(共6页)和答题卷(共4页)。

请在答题卷上写上考生姓名、学校、考号、所在地。

所有答案写在答题卷上，写在试题卷上无效。

3．可能用到的相对原子质量：H－1 C－12 O—16 Mg－24 Cl－35．5 ca－40 Cu－64一、选择题（本大题有16题，每题3分，共48分，每题只有1个选项正确，多选、错选、不选均得零分。

将选出的答案选项字母填在答题卷的相应空格内）1．钛（Ti）及其合金具有广阔的应用前景。

下列有关钛及其合金的叙述错误．．的是：A．钛或钛合金放入海水中数年，光亮如初，说明钛或钛合金具有很强的抗腐蚀性B．钛合金具有密度小、强度大、耐热等特性，可用于航空航天等领域C．钛放入稀盐酸中能放出气泡，说明钛活动性比铝强D．钛合金可用于牙齿矫形，是因为它具有记忆能力2．家在杭州的某同学感觉近段时间的天气一天比一天寒冷，夜色也一天比一天更早地降临了……，那么这段时间地球运行的位置变化是图中的（图中涂黑部分表示黑夜）：A ．a →bB ．b →cC ．c →dD ．d →a3．酵母菌在正常情况下进行有氧呼吸，在无氧情况下则进行无氧呼吸。

利用酵母菌酿酒时，如果开始先通入一段时间的空气，然后隔绝空气，结果将是：A ．酵母菌数量增多，不产生酒精B ．酵母菌大量死亡，产生酒精C ．酵母菌数量不变，产生酒精D ．酵母菌数量增多，产生酒精4．同学甲的居住地位于北回归线上，同学乙的居住地位于南回归线上，且两地恰好位于同一经线。

下列有关现象的叙述正确的是：A ．甲同学早上上学之时，正是乙同学下午放学之时B ．某天晚上甲同学看到上弦月，乙同学看到的也是上弦月C ．某日甲同学看到日食现象，而乙同学在那日晚上看到月食现象D ．甲同学居住地处于夏季时，乙同学居住地也处于夏季5．如图所示，当一个马蹄形线圈中的电流增加到一定大小时，软铁片受到线圈的吸引会向右运动，并造成电路断路，电线AB 断第2题图第5题图开，此种装置可用于下列电器中的：A．电饭锅保温开关 B．空调启动开关 C．断路器开关D．电铃开关6．关于化学反应2N2H4+N204＝3N2+4H20的有关说法：①该反应属于置换反应；②该反应中三种含氮物质的氮元素化合价均不同；③N2H4是一种化合物；④该反应中N204是还原剂。

2007年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） 1． 答案：D解：当x ＞0时，x y 1-=，图象在第四象限；当x ＜0时，xy 1=，图象在第三象限． 所以原函数的图象在第三、四象限． 2． 答案：A解：根据题意可知老王去上班路上所用的时间在40至50分钟之间，所以350035005040x ≤≤，即70≤x ≤87.5． 3． 答案：D解：连接AC ，设∠DAC =∠DAB =x º，∠ABC =y º，则有x +y =60，2x +y =90，解得 x =30．所以tan ∠DAC． 4． 答案：D解：由题意得，20p p p ++=，解得122,0p p =-=（舍去）当22p =-时，抛物线是22y x x =+-，求得顶点坐标是（19,24--）．5． 答案：C解：如图所示，易证AD =DC =BC ，△CDB ∽△ABC ． 所以BC BD AB BC =，BC AB BC AB BC -=，1BC ABAB BC=-．可解得BC AB =． 所以 DBC ABC S BD AB ADS AB AB ∆∆-===ABBC -1=． 6． 答案：B解：解方程组,10.y px y x =⎧⎨=+⎩，得101x p =-，因为x 和p 都是整数，所以110,5,2,1p -=±±±±，即11,9,6,4,3,1,2,0p =---共8个值，0p =舍去． 7． 答案：C解：设三个连续的正整数分别为n －1，n ，n ＋1（n 为大于1的整数），当一次项系数是n －1或n 时，方程的判别式△均小于零，方程无实数根；当一次项系数是n ＋1时，方程的判别式△=()22141314n n n n +--=--+（）（），要使△≥0，由于n 为大于1的整数，所以n 只能取2．当n =2时，方程2320x x ++=，22310x x ++=均有整数根，所以满足要求的a ，b ，c 只有两组：（1，3，2）、（2，3，1） 8．答案：A解：每掷一次可能得到6个点的坐标是(其中有两个点是重合的)：(1，1)，(1，1)， (2，3)，(3，2)，(3，5)，(5，3)，通过描点和计算可以发现，经过(1，1)，(2，3)， (3，5)三点中的任意两点所确定的直线都经过点P (4，7)，所以小明第三次掷得的点也在直线l 上的概率是3264=． 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分） 9．答案：1a +解：比a大的最小完全平方数是21)1a =+． 10．答案：解：作如图所示的辅助线，易知小正方形的边长是故所求周长为 11．答案：40º＜∠B ＜80°解：如图，当BC 最短时，∠ABC ＝40º，现以B 为圆心，AB 长为半径画弧交直线AC 于点C 1，当BC 1长等于AB 时， ∠ABC 1＝80º，所以40º＜∠B ＜80º． 12解：当△ABC 按顺时针方向旋转60°时（如图1），连结OA ，OB ′， ∵∠AOB ′=60°， ∴△OAB ′为正三角形，∴AB ′． 当△ABC 按逆时针方向旋转60°时（如图2），AB ′=2×OA=3a ． 13．答案：（178，3）解：梯形AOCD 的面积=358322+⨯=（）．过P 作PE ⊥y 轴于点E ，∵PAD POC S S ∆∆=，∴3AE =5OE ，即3(8-OE )=5OE ，解得OE =3．∴PAD POC S S ∆∆==7.5，PAO PCD S S ∆∆==(32-2×7.5)÷2=8.5．(第11题)(第10题)(图1)(图2)(第12题)C A ′ B C ′ CC ′A B ′(第13题)∴188.52PE ⨯⨯=，PE =178． ∴ P 点的坐标是（178，3）． 14．答案：35解：∵ A ＋B =45，……①A ＋C =49，……② C ＋D =64，B ＋D =60，②－①，得C －B =4，则B ＋C =B ＋(B ＋4)=2×B ＋4为偶数． 在54千克与55千克中，只有54为偶数，∴ B =25，∴D =35．三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分） 15．(12分)解： ①×2-②， 得a a b 3222=-．由题意，得 a ≠0．两边同除以2a ，得32b a a -=．16．(12分)解：(1) 图1中火柴棒的总数是(31m +)根，图2中火柴棒的总数是（52n +）根， 因为火柴棒的总数相同，所以3152m n +=+， 所以513n m +=． (2) 设图3中有3 p 个正方形，那么火柴棒的总数是(73)p +根， 由题意得a =315273m n p +=+=+，所以325177m n p --==． 因为m ，n ，p 均是正整数，所以当m =17，n =10时，p =7，此时a 的值最小，31715102773a =⨯+=⨯+=⨯+=52．1,8b a -= ……①212.4a a +=……②17．(12分)解：过点E 作BC 的垂线与圆交与点H ，与AC 交于点O ， 连结AH 和DH ，作AM ⊥BC ，垂足是M ．因为E 是切点，所以EH 必过圆心，即EH 是直径， 所以DH ⊥DE ，因为D ，E 是切点，所以BD =BE ， 又因为∠B =60°，所以△DBE 是正三角形， 所以∠BDE =∠BAC =60°， 所以DE ∥AC ，DH ⊥AC ．由已知得AM =EH ，又AM ∥EH ，所以四边形AMEH 是矩形， 所以AH ⊥H E ，即AH 是切线，所以AD =AH ，AC 垂直平分DH ，AC 必过圆心， 所以AC 与EH 的交点O 是圆心， 所以OE =OF ，因为∠COE =90°-∠C =30°，所以∠OEF =75°， 又∠DEO =∠EOC =30°， 所以∠DEF =30°+75°=105°．18．(14分)解：(1) 当a =1时，因为22221y ax amx am m =-+++=()221x m m -++．所以顶点A (m ，2m +1)，又P (1，3)，设直线AB 的解析式是y =kx +b ，把点A ，P 的坐标代入，得①—②，得2m -2=（m -1）k ，因为m ≠1（若m=1，则A ，B ，P 三点重合，不合题意），所以k =2，b =1，所以直线AB 的解析式是y =2x +1，得 l 2的顶点B (0，1)，因为l 2与l 1关于点P 成中心对称，所以抛物线的开口大小相同，方向相反，得 l 2的解析式是21y x =-+．(第17题)B21,m kmb +=+…①3.k b =+…②(第18题图1)因为点A ，B 关于点(1,3)P 成中心对称（如图1），作PE ⊥y 轴于点E ，作AF ⊥y 轴于点F ，则△BPE ∽△BAF ，所以AF =2PE ，即m =2．(2) 在Rt △ABF中，因为AB =＜5，所以当△ABC 为等腰三角形时，只有以下两种情况：i) 如图2，若BC AB ==OC =得0)C因为0)C 在12+-=ax y 上， 所以119a =ii) 如图3，若A C B C =，设C （x ，0），作AD ⊥x 轴于点D ，在Rt △OBC 中，221BC x =+，在Rt △ADC 中，()22225AC x =-+，由()221225x x +=-+，解得7x =． 因为C (7，0)在12+-=ax y 上，所以149a =． 综上可得，满足使△ABC 是等腰三角形的a 值有两个，1211,1949a a ==．(第18题图2)(第18题图3)。

2007年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题参考答案一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分） 1．答案：C 解：由3210x x x +++=，得1x =-， 所以2627--+x x + … +x x ++-11+ … +2726x x +=-1． 2．答案：A 解：连结AK 、EK ，设AK 与⊙O 的交点为H ，则AH 即为所求， 因为AK =22AE EK +=10，所以AH = 4．3．答案：C解：由题意得C 正确． 4．答案：A解：由已知可得t c b a c b a )(2++=++，当0a b c ++≠时，12t =，1124y x =+，直线过第一、二、三象限； 当0a b c ++=时，1t =-，1y x =-+，直线过第一、二、四象限．综合上可得，直线必定经过的象限是第一、二象限． 5．答案：C解：设直角三角形的两条直角边长为,a b (a b ≤)，则12a b k ab +=⋅（a ,b ,k 均为正整数），化简，得(4)(4)8ka kb --=，所以4148ka kb -=⎧⎨-=⎩或4244ka kb -=⎧⎨-=⎩．解得1512k a b =⎧⎪=⎨⎪=⎩或234k a b =⎧⎪=⎨⎪=⎩或⎪⎩⎪⎨⎧===.8,6,1b a k 即有3组解．6．答案：B解：在AC 上取一点G ，使CG =AB =4，连接OG ，则 △OG C ≌△OAB ，所以OG =OA =26，∠AOG =90°，所以△AOG 是等腰直角三角形，AG =12，所以AC =16．二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分） 7．答案：-2，2；解：当x ≤-3时，y = -3x -6； 当-3＜x ≤-2时，y = -x ； 当-2＜x ≤-1时，y =x +4； 当x ＞-1时，y =3x +6．；所以当x =-2时，y 的值最小，最小值为2． 8．答案：8个；解：正三角形的各边必为立方体各面的对角线，共有8个正三角形．9．答案：5312； A D（第2题） AB CEFO G（第6题）解：由S △ABC =S △ABD + S △ADC ，得：︒⋅⋅60sin 21AC AB =︒⋅⋅+︒⋅⋅30sin 2130sin 21AC AD AD AB ．解得AD =5312． 10．答案：1，或253±-；解：由已知，321x x x (200032120001)x x x x x -=1，321x x x (1999)32119991x x x x x -=1，解得123200012319991515,x x x x x x x x±±==． 所以12000=x ，或2000x =．11．答案：238104；解：设甲跑完x 条边时，甲、乙两老鼠第一次出现在同一条边上，此时甲走了120x 厘米，乙走了2.91208x ⨯厘米，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-+⨯>--+-⨯．，1201202402.91208120)1(1202402.9)1(1208x x x x解得328327<≤x ．因x 是整数，所以x =8，即经过2.98120⨯=232400=238104秒时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上． 12．答案：36；解：20152013的个位数字是7，所以可设710+=k M ，其中k 是m 位正整数，则k N m +⨯=107．由条件N =4M ，得k m+⨯107=)710(4+k ，即39)410(7-=m k ．当m =5时，k 取得最小值17948．所以T =179487，它的各位数字之和为36． 三、解答题（共4题，满分54分）13．(12分)解：（1）由B （0，4）得，c =4．G 与x 轴的交点A （2ba-，0）， 由条件ac b =，得b c a =，所以2b a -=22c-=-， 即A （2-，0）． 所以4,4240.b a a b =⎧⎨-+=⎩解得1,4.a b =⎧⎨=⎩所求二次函数的解析式为244y x x =++．（2）设图象L 的函数解析式为y =3-x +b ， 因图象L 过点A （2-，0），所以6b =-，即平移后所得一次函数的解析式为y =36x --．令36x --=244x x ++，解得12x =-，25x =-． 将它们分别代入y =36x --，得10y =，29y =．所以图象L 与G 的另一个交点为C （5-，9）． 如图，过C 作CD ⊥x 轴于D ，则S △ABC =S 梯形BCDO -S △ACD -S △ABO =111(49)53924222+⨯-⨯⨯-⨯⨯=15． 14．(12分)证明：延长BA 、EC ，设交点为O ，则四边形OADC 为平行四边形．∵F 是AC 的中点，∴ DF 的延长线必过O 点，且31=OG DG ． ∵AB ∥CD ，∴DN AN PN MN =．∵AD ∥CE ，∴DN CQPN PQ =． ∴+PN MN =PN PQ DN AN DN CQ +=DN CQ AN +． 又=OQ DN 31=OG DG ，∴OQ =3DN ．∴CQ =OQ -OC =3DN -OC =3DN -AD ，AN =AD -DN ，于是，AN +CQ =2DN ，∴+PN MN =PN PQ DNCQ AN +=2， 即MN +PQ =2PN ．15．(14分)解：不能．理由：设继i P 点涂成红色后被涂到的点是第j 号，j =2,22007,22007,22007.i i i i ≤⎧⎨->⎩若i =2007，则j =2007，即除2007P 点涂成红色外，其余均没有涂到． 若i ≠2007，则2i ≠2007，且2i ≠4014，即2i -2007≠2007， 表明2007P 点永远涂不到红色．16．(16分)解：（1）设123x x x ，，，…，1007x 是1，2，3，…，2008中任意取出的1007个数．首先，将1，2，3，...，2008分成1004对，每对数的和为2009， 每对数记作(m ，2009-m )，其中m =1，2，3， (1004)因为2008个数取出1007个数后还余1001个数，所以至少有一个数是1001个数之 一的数对至多为1001对，因此至少有3对数，不妨记为112233(2009)(2009)(2009)m m m m m m ---，，，，，(123m m m ，，互不相等)均为123x x x ，，，…，1007x 中的6个数．其次，将这2008个数中的2006个数(除1004、2008 外)分成1003对，每对数的和为2008，BACMN P E FQ DG O每对数记作(k ，2008-k ) ，其中k =1，2， (1003)2006个数中至少有1005个数被取出，因此2006个数中除去取出的数以外最多有1001个数，这1003对数中，至少有2对数是123x x x ，，，…，1007x 中的4个数，不妨记其中的一对为11(2008)k k -，． 又在三对数112233(2009)(2009)(2009)m m m m m m ---，，，，，，(123m m m ，，互不相等)中至少存在1对数中的两个数与11(2008)k k -，中的两个数互不相同，不妨设该对数为11(2009)m m -，，于是1111200920084017m m k k +-++-=．（2）不成立．当1006n =时，不妨从1，2，…，2008中取出后面的1006个数：1003，1004，…，2008，则其中任何四个不同的数之和不小于1003+1004+1005+1006=4018>4017；当1006n <时，同样从1，2，…，2008中取出后面的n 个数，其中任何4数之和大于1003+1004+1005+1006=4018>4017．所以1006n ≤时都不成立．。

浙江省第六届2007年数学分析竞赛试题及答案2007浙江省第六届数学分析竞赛试题一．计算题1．求?x59dx x?1解原式?25?xd5x?1?525?(t?1)dt?22?13?t?t???C 5?3?2x?1?152?5?x?1?1?C?x?2??????515? 3?(1?x)?(1?2x)sinx11x12x55x?1?C2．求limx?0 解令f(x)?(1?x)x，则原式?limxsinxlimf(x)?f(2x)x?lim?f?(x)?2f?( 2x)?x?0x?0x?0?lim?f?(x)?2f?(2x)??limf(x)lim x?0x?0f?(x)f(x)x?0?2limf(2x)limx?0f?(2x) f(2x)x?0?elimf?(x)f(x)x?0?2elimf?(2x)f(2x)11? xx?0?elimf?(x)f(x)x?0?2elimt?0f?(t)f(t) ??elimf?(x)f(x)x?0??elimbx?0limx?(1 ?x)ln(1?x)x2x?02??elim?ln(1?x)2xx?0?e2 3．求p的值，使?(x?p)2007e(x?p)dx?0a解情形1当a?b时，p的值可以任意取．情形２当a?b时，作变换t?x?p，则原式左边?p??b?a2?bab?pa?pt2007edt，因被积函数是奇函数，故当a?p??b?p时，即2t2时，?(x?p)2007e(x?p)dx?0．?x24．设?x?(??,??),f??(x)?0,且0?f(x)?1?e解0?f(x)?1?e?x2，求f(x)的表达式．?1知，f(x)有界．下证f?(x)?0,?x?(??,??)，假如存在x0?(??,?)使得f?(x0)?0，则f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)?122f??(?)(x?x0)?f( x0)?f(x0)(x?x0) 若f?(x0)?0，则f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)???(x???)，与f(x)有界矛盾． 1 若f?(x0)?0，则f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)???(x???)，与f(x)有界也矛盾．因此f?(x)?0,?x?(??,??)，f(x)?C,?x?(??,??) 0?f(0)?1?e0?0知，f(0)?0，因此f(x)?0,?x?(??,??) 5．计算??(x?y)dS,其中S为圆柱面x2?y2?4,(0?z?1)．S2?x?2cosu?解因圆柱面x2?y2?4,(0?z?1)的参数方程为?y?2sinu，故?z?v?dS?2222?y?z4?，F?xuxv?yuyv?zuzv?0，EG?Fdudv，其中E?xuuu2G?xv?yv?zv?1，于是122???(xS2?y)dS?2?dv0?(4cos??22u?2sin u)du ???2???(4cosu?2sinu)du?16?co sudu?8? 02二．设un?1? vn?1n?112??23?1n?214?15?26????113n?2 ?13n?1?23n ??3n 求u10v10limun n??解因un?1?12???11????1?????，3n?2n???，?1vn?1?12???11???1????3n? 2n1故un?vn，因此u10v10?1．2limun?limvn?n??n???1 ?x01dx??ln(1?x)?0?ln3 2 三．有一张边长为4?的正方行纸，C、D分别为AA?、BB?的中点，E为DB?的中点。

2007年全国初中数学竞赛试题参考答案 中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2007年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）1．方程组12,6x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩的解的个数为（ ）．（A ）1 （B ） 2 （C ） 3 （D ）4答：（A ）．解：若x ≥0，则12,6,x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩于是6y y -=-，显然不可能．若0x <，则 12,6,x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩于是18y y +=，解得9y =，进而求得3x =-．所以，原方程组的解为⎩⎨⎧=-=,9,3y x 只有1个解．故选（A ）．2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）．（A ） 14 （B ） 16 （C ）18 （D ）20答：（B ）． 解：用枚举法：红球个数 白球个数 黑球个数 种 数5 2，3，4，5 3，2，1，0 4 4 3，4，5，6 3，2，1，0 4 3 4，5，6，7 3，2，1，0 4 2 5，6，7，8 3，2，1，0 4所以，共16种．故选（B ）．3．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ． 若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过△ABC 的（ ）．（A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心 答：（B ）．解： 如图，连接BE ，因为△ABC 为锐角三角形，所以BAC ∠，ABE ∠均为锐角．又因为⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，且DE为两圆的公共弦，所以BAC ABE ∠=∠．于是，2BEC BAC ABE BAC ∠=∠+∠=∠．若△ABC 的外心为1O ，则12B O C B A C ∠=∠，所以，⊙O一定过△ABC 的外心．故选（B ）．4．已知三个关于x 的一元二次方程02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx（第3题答案图）恰有一个公共实数根，则222a b c bc ca ab++的值为（ ）．（A ） 0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 答：（D ）． 解：设0x 是它们的一个公共实数根，则0020=++c bx ax ，0020=++a cx bx ，0020=++b ax cx ．把上面三个式子相加，并整理得200()(1)0a b c x x ++++=．因为22000131()024x x x ++=++>，所以0a b c ++=． 于是222333333()a b c a b c a b a b bc ca ab abc abc +++-+++== 3()3ab a b abc-+==．故选（D ）．5．方程323652x x x y y ++=-+的整数解（x ，y ）的个数是（ ）． （A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）无穷多 答：（A ）． 解：原方程可化为2(1)(2)3(1)(1)2x x x x x y y y ++++=-++（），因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的．所以，原方程无整数解．故选(A).二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6．如图，在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，CA ＝4．点P 是半圆弧AC 的中点，连接BP ，线段BP 把图形APCB 分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 ．答：4．解：如图，设AC 与BP 相交于点D ，点D 关于圆心O 的对称点记为点E ，线段BP 把图形APCB 分成两部分，这两部分面积之差的绝对值是△BEP 的面积，即△BOP 面积的两倍．而1122222BPO S PO CO ∆=⋅=⨯⨯=．因此，这两部分面积之差的绝对值是4．7．如图, 点A ，C都在函数0)y x =>的图象上，点B ，D 都在x 轴上，且使得△OAB ，△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为 ．答：（0）．解：如图，分别过点A ，C 作x 轴的垂线，垂足分别为E ，F ．设OE ＝a ，BF ＝b ， 则AE，CF，所以，点A ，C 的坐标为（a），（2a ＋b），（第7题答案图）所以2(2)a a b =+=解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此，点D的坐标为（0）．8．已知点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0）． 若二次函数()233y x a x =+-+的图象与线段AB 恰有一个交点，则a 的取值范围是 ．答：1-≤12a <-，或者3a =-解：分两种情况：（Ⅰ）因为二次函数()233y x a x =+-+的图象与线段AB 只有一个交点，且点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0），所以[][]032)3(231)3(122<+⨯-+⨯+⨯-+a a ，得112a -<<-．由031)3(12=+⨯-+a ，得1a =-，此时11=x ，32=x ，符合题意；由032)3(22=+⨯-+a ，得12a =-，此时21=x ，232=x ，不符合题意．（Ⅱ）令()2330x a x +-+=，由判别式0∆=，得3a =±．当3a =+时，12x x ==3a =-12x x ==综上所述，a 的取值范围是1-≤12a <-，或者3a =-9．如图，90A B C D E F G n ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=⋅︒，则n ＝ ．答：6．解：如图，设AF 与BG 相交于点Q ，则AQG A D G ∠=∠+∠+∠，于是A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠B C E F AQG =∠+∠+∠+∠+∠ B C E F BQF =∠+∠+∠+∠+∠ 540690=︒=⨯︒． 所以，n ＝6．10．已知对于任意正整数n ，都有312n a a a n +++= ，则23100111111a a a +++=--- ． 答：33100． 解：当n ≥2时，有3121n a a a a n n =++++- ，3121(1)n a a a n -+++=- ，两式相减，得 2331n a n n =-+， 所以),111(31)1(3111n n n n a n --=-=- ,4,3,2=n 因此23100111111a a a +++--- 11111111(1)()()32323399100=-+-++- 1133(1)3100100=-=． 三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11（A ）．已知点M ，N 的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P 是抛物线214y x =上的一个动点． （1）判断以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线1y =-的位置关系； （2）设直线PM 与抛物线214y x =的另一个交点为点Q ，连接NP ，NQ ，求证：PNM QNM ∠=∠． 解：（1）设点P 的坐标为2001(,)4x x ，则 PM20114x ==+;又因为点P 到直线1y =-的距离为220011(1)144x x --=+， 所以，以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线1y =-相切．…………5分（2）如图，分别过点P ，Q 作直线1y =-的垂线，垂足分别为H ，R ．由（1）知，PH ＝PM ，同理可得，QM ＝QR ．因为PH ，MN ，QR 都垂直于直线1y =-，所以，PH∥MN ∥QR ，于是QM MPRN NH =， 所以Q RP H R NH N=， 因此，Rt △PHN ∽Rt △QRN ．于是HNP RNQ ∠=∠，从而PNM QNM ∠=∠．…………15分12（A ）．已知a ，b 都是正整数，试问关于x 的方程21()02x abx a b -++=是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明.解：不妨设a ≤b ，且方程的两个整数根为12,x x (1x ≤2x )，则有1212,1(),2x x ab x x a b +=⎧⎪⎨=+⎪⎩所以 12121122x x x x a b ab --=+-，124(1)(1)(21)(21)5x x a b --+--=.…………5分因为a ,b 都是正整数，所以x 1，x 2均是正整数，于是，1x -≥0,1x -≥0，21a -≥1,21b -≥1，所以12(1)(1)0,(21)(21)5,x x a b --=⎧⎨--=⎩ 或 ⎩⎨⎧=--=--.1)12)(12(,1)1)(121b a x x （（1）当12(1)(1)0,(21)(21)5x x a b --=⎧⎨--=⎩时，由于a ,b 都是正整数，且a ≤b ，可得a ＝1，b ＝3，此时，一元二次方程为2320x x -+=，它的两个根为11x =，22x =．（2）当12(1)(1)1,(21)(21)1x x a b --=⎧⎨--=⎩时，可得a ＝1，b ＝1，此时，一元二次方程为210x x -+=，它无整数解.综上所述，当且仅当a ＝1，b ＝3时，题设方程有整数解，且它的两个整数解为11x =，22x =． ……………15分13（A ）．已知AB 为半圆O 的直径，点P 为直径AB 上的任意一点．以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，⊙A 与半圆O 相交于点C ；以点B 为圆心，BP 为半径作⊙B ，⊙B 与半圆O 相交于点D ，且线段CD 的中点为M ．求证：MP 分别与⊙A 和⊙B 相切．证明：如图，连接AC ，AD ，BC ，BD ，并且分别过点C ，D 作AB 的垂线，垂足分别为,E F ，则CE ∥DF ．因为AB 是⊙O 的直径，所以90ACB ADB ∠=∠=︒．在Rt △ABC 和Rt △ABD 中，由射影定理得22PA AC AE AB ==⋅，22PB BD BF AB ==⋅．……………5分两式相减可得()22PA PB AB AE BF -=-，又 ()22()()PA PB PA PB PA PB AB PA PB -=+-=-， 于是有 AE BF PA PB -=-， 即 PA AE PB BF -=-， 所以PE PF =，也就是说，点P 是线段EF 的中点．因此，MP 是直角梯形CDFE 的中位线，于是有MP AB ⊥，从而可得MP 分别与⊙A 和⊙B 相切．……………15分14（A ）．（1）是否存在正整数m ，n ，使得(2)(1)m m n n +=+？ （2）设k (k ≥3)是给定的正整数，是否存在正整数m ，n ，使得()(1)m m k n n +=+？解：（1）答案是否定的．若存在正整数m ，n ，使得(2)(1)m m n n +=+，则22(1)1m n n +=++，显然1n >，于是2221(1)n n n n <++<+，（第13A 题答案图）所以，21n n ++不是平方数，矛盾． ……………5分（2）当3k =时，若存在正整数m ，n ，满足(3)(1)m m n n +=+，则2241244m m n n +=+，22(23)(21)8m n +=++，(2321)(2321)8m n m n +--+++=，(1)(2)2m n m n -+++=，而22m n ++>，故上式不可能成立．………………10分当k ≥4时，若2k t =（t 是不小于2的整数）为偶数，取22,1m t t n t =-=-，则 2242()()()m m k t t t t t t +=-+=-， 2242(1)(1)n n t t t t +=-=-，因此这样的（m ，n ）满足条件．若2k t =＋1（t 是不小于2的整数）为奇数，取222,22t t t t m n -+-==，则 224321()(21)(22)224t t t t m m k t t t t t --+=++=+--， 2243221(1)(22)224t t t t n n t t t t +-++=⋅=+--， 因此这样的（m ，n ）满足条件．综上所述，当3k =时，答案是否定的；当k ≥4时，答案是肯定的．……………15分注：当k ≥4时，构造的例子不是唯一的．11（B ）．已知抛物线1C ：234y x x =--+和抛物线2C ：234y x x =--相交于A ，B 两点. 点P 在抛物线1C 上，且位于点A 和点B 之间；点Q 在抛物线2C 上，也位于点A 和点B 之间. （1）求线段AB 的长；（2）当PQ ∥y 轴时，求PQ 长度的最大值．解：（1）解方程组2234,34,y x x y x x ⎧=--+⎪⎨=--⎪⎩得 112,6,x y =-⎧⎨=⎩ 222,6,x y =⎧⎨=-⎩所以，点A ，B 的坐标分别是（-2，6），（2，-6）． 于是AB ==…………5分（2）如图，当PQ ∥y 轴时，设点P ，Q 的坐标分别为)43,(2+--t t t ， )43,(2--t t t ， 22t -<<，因此 PQ 22(4)t =-≤8， 当0t =时等号成立，所以，PQ 的长的最大值8．12（B ）．实数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，且0ab bc ca ++=，abc ＝1．求最大的实数k ，使得不等式a b +≥k c恒成立．解：当a b ==2c =时，实数a ，b ，c 满足题设条件，此时k ≤4． ……………5分下面证明：不等式a b +≥4c 对满足题设条件的实数a ，b ，c 恒成立． 由已知条件知，a ，b ，c 都不等于0，且0c >．因为2110,0ab a b c c=>+=-<，所以a ≤b 0<．由一元二次方程根与系数的关系知，a ，b 是一元二次方程22110x x c c++=的两个实数根，于是414c c∆=-≥0，所以 3c ≤14．……………10分因此21()a b a b c +=-+=≥44c c =． ……………15分13（B ）．如图，点E ，F 分别在四边形ABCD 的边AD ，BC 的延长线上，且满足DE ADCF BC =．若CD ，FE 的延长线相交于点G ，△DEG 的外接圆与△CFG 的外接圆的另一个交点为点P ，连接P A ，PB ，PC ，PD ．求证：（1）AD PDBC PC=； （2）△PAB ∽△PDC ．证明：（1）连接PE ，PF ，PG ，因为PDG PEG ∠=∠，所以PDC PEF ∠=∠．又因为PCG PFG ∠=∠，所以△PDC ∽△PEF ， 于是有,PD PECPD FPE PC PF=∠=∠， 从而 △PDE ∽△PCF ，所以PD DEPC CF =． 又已知DE AD CF BC =，所以，AD PDBC PC=． ………………10分（2）由于PDA PGE PCB ∠=∠=∠，结合（1）知，△PDA ∽△PCB ，从而有,PA PDPB PC= DPA CPB ∠=∠， 所以APB DPC ∠=∠，因此△PAB ∽△PDC ． ………………15分14（B ）．证明：对任意三角形，一定存在两条边，它们的长u ，v 满足1≤u v <证明：设任意△ABC 的三边长为a ，b ，c ，不妨设a b c >>．若结论不成立，则必有a b， ○1 b c． ○2 ………………5分记,b c s a b t c s t =+=+=++，显然,0s t >，代入○1得c s t c s +++≥12+， 11s t c c s c+++≥12+， 令,s tx y c c==，则11x y x +++． ○3 由a b c <+，得c s t c s c ++<++，即t c <，于是1ty c=<． 由○2得1b c s x c c +==+， ○4 由○3，○4得y≥11(1)2x ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭1=， 此式与1<y 矛盾．从而命题得证．………………15分。

2007年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题（2007年4月1日 下午1：00—3：00）一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分） 1．若3210x x x +++=，则2627--+x x+ … +x x ++-11+ … +2726x x +的值是（ ）（A ）1 （B ）0 （C ）-1 （D ）2 2．定义：定点A 与⊙O 上的任意一点之间的距离的最小值称为点A 与⊙O 之间的距离．现有一矩形ABCD 如图，AB =14cm ，BC =12cm ，⊙K 与矩形的边AB 、BC 、CD 分别相切于点E 、F 、G ，则点A 与⊙K 的距离为（ ）（A ）4cm （B ）8cm （C ）10cm （D ）12cm3．某班选举班干部，全班有50名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，50．老师规定：同意某同学当选的记“1”，不同意（含弃权）的记“0”． 如果令⎩⎨⎧=号同学当选．号同学不同意第，第号同学当选，号同学同意第，第，j i j i a ji 01 其中i =1，2，...，50；j =1，2， (50)则同时同意第1号和第50号同学当选的人数可表示为（ ） （A ）2111，，a a ++ … ++++250150501，，，a a a … +5050，a （B ）1211，，a a ++ … ++++502501150，，，a a a … +5050，a （C ） 50111，，a a +50212，，a a + … +5050150，，a a （D ） 15011，，a a +25021，，a a + … +5050501，，a a 4．若a b ct b c c a a b===+++，则一次函数2y tx t =+的图象必定经过的象限是（ ）（A ）第一、二象限 （B ）第一、二、三象限 （C ）第二、三、四象限 （D ）第三、四象限5．满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有( )(A)1个 (B) 2个 (C) 3个 (D)无穷多个A（第2题）6．如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连结AO ，如果AB =4，AO =26，那么AC 的长等于( )(A) 12 (B) 16(C)(D)二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）7．函数321+++++=x x x y ，当x = 时，y 有最小值，最小值等于 ．8．以立方体的8个顶点中的任意3个顶点为顶点的三角形中，正三角形的个数为 ．9．如图，△ABC 中，∠A 的平分线交BC 于D ，若AB =6 cm ，AC =4 cm ，∠A =60°，则AD 的长为 cm ． 10．设，，，321x x x … ，2007x 为实数，且满足321x x x …2007x =321x x x -…2007x =321x x x -…2007x =…=321x x x …20072006x x -=1，则2000x 的值是 ．11．正六边形轨道ABCDEF 的周长为7.2米，甲、乙两只机器鼠分别从A ，C 两点同时出发，均按A →B →C →D →E →F →A →… 方向沿轨道奔跑，甲的速度为9.2厘米／秒，乙的速度为8厘米／秒，那么出发后经过 秒钟时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上．12．正整数M 的个位上的数字与数20152013的个位上的数字相同，把M 的个位上的数字移到它的左边第一位数字之前就形成一个新的数N ．若N 是M 的4倍，T 是M 的最小值，则T 的各位数字之和等于 ．AB EFO（第6题）（第9题）ABCD三、解答题（共4小题，满分54分）13．（本题满分12分）已知二次函数2y ax bx c =++的图象G 和x 轴有且只有一个交点A ，与y 轴的交点为B （0，4），且ac b =． （1）求该二次函数的解析表达式；（2）将一次函数y =3-x 的图象作适当平移，使它经过点A ，记所得的图象为L ，图象L 与G 的另一个交点为C ，求△ABC 的面积．14．（本题满分12分）如图，AB ∥CD 、AD ∥CE ，F 、G 分别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交AB 、AD 、CD 、CE 于点M 、N 、P 、Q，求证：MN +PQ =2PN ．BACMN P EFQDG2007个质点均匀分布在半径为R 的圆周上，依次记为1P ，2P ，3P ，…，2007P ．小明用红色按如下规则去涂这些点：设某次涂第i 个质点，则下次就涂第i 个质点后面的第i 个质点．按此规则，小明能否将所有的质点均涂成红色？若能，请给出一种涂点方案；若不能，请说明理由． 16．（本题满分16分）从连续自然数1，2，3，…，2008中任意取n 个不同的数，（1）求证：当n =1007时，无论怎样选取这n 个数，总存在其中的4个数的和等于4017． （2）当n ≤1006（n 是正整数）时，上述结论成立否？请说明理由．参考答案一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分） 1．答案：C解：由3210x x x +++=，得1x =-，所以2627--+x x + … +x x ++-11+ … +2726x x +=-1．2．答案：A解：连结AK 、EK ，设AK 与⊙O 的交点为H ，则AH 即为所求， 因为AK =22AE EK +=10，所以AH = 4．3．答案：C解：由题意得C 正确． 4．答案：A解：由已知可得t c b a c b a )(2++=++，当0a b c ++≠时，12t =，1124y x =+，直线过第一、二、三象限； 当0a b c ++=时，1t =-，1y x =-+，直线过第一、二、四象限．综合上可得，直线必定经过的象限是第一、二象限．5．答案：C解：设直角三角形的两条直角边长为,a b (a b ≤)，则12a b k ab +=⋅（a ,b ,k 均为正整数），化简，得(4)(4)8ka kb --=，所以4148ka kb -=⎧⎨-=⎩或4244ka kb -=⎧⎨-=⎩．解得1512k a b =⎧⎪=⎨⎪=⎩或234k a b =⎧⎪=⎨⎪=⎩或⎪⎩⎪⎨⎧===.8,6,1b a k 即有3组解．6．答案：B解：在AC 上取一点G ，使CG =AB =4，连接OG ，则△OG C ≌△OAB ，所以OG =OA =26， ∠AOG =90°，所以△AOG 是等腰直角三角形，AG =12，所以AC =16．A（第2题）AB CEFO G（第6题）二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分） 7．答案：-2，2解：当x ≤-3时，y = -3x -6；当-3＜x ≤-2时，y = -x ； 当-2＜x ≤-1时，y =x +4； 当x ＞-1时，y =3x +6．；所以当x =-2时，y 的值最小，最小值为2． 8．答案：8个解：正三角形的各边必为立方体各面的对角线，共有8个正三角形． 9．答案：5312 解：由S △ABC =S △ABD + S △ADC ，得︒⋅⋅60sin 21AC AB =︒⋅⋅+︒⋅⋅30sin 2130sin 21AC AD AD AB ． 解得AD =5312．10．答案：1，或253±-解：由已知，321x x x ...200032120001x x x x x Λ-=1，321x x x (1999)32119991x x x x x Λ-=1，解得1232000123199911,22x x x x x x x x ±==L L ． 所以12000=x，或200032x ±=-．11．答案：238104解：设甲跑完x 条边时，甲、乙两老鼠第一次出现在同一条边上，此时甲走了120x 厘米，乙走了2.91208x ⨯厘米，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-+⨯>--+-⨯．，1201202402.91208120)1(1202402.9)1(1208x x x x解得328327<≤x ．因x 是整数，所以x =8，即经过2.98120⨯=232400=238104秒时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上．12．答案：36 解：20152013的个位数字是7，所以可设710+=k M ，其中k 是m 位正整数，则k N m+⨯=107．。

2007年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题答题时注意；1．用圆珠笔或钢笔作答．2．解答书写时不要超过装订线．3．草稿纸不上交．一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分．以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）1．函数||1xy-=图象的大致形状是（）2．老王家到单位的路程是3 500米，老王每天早上7∶30离家步行去上班，在8∶10(含8∶10)至8∶20(含8∶20)之间到达单位，如果设老王步行的速度为x米/分，则老王步行的速度范围是（）(A) 70≤x≤87.5 (B) x≤70或x≥87.5 (C) x≤70 (D) x≥87.5 3．如图，AB是半圆的直径，弦AD，BC相交于P，已知∠DPB=60º，D是 BC的中点，则tan∠ADC等于（）(A)12(B) 2(C)(A) (B) (C)4． 抛物线2y x x p =++（p ≠0）的图象与x 轴一个交点的横坐标是P ，那么该抛物线的顶点坐标是（ ） (A)（0,2-）(B)（19,24-） (C)（19,24-） (D) （19,24--）5． 如图，△ABC 中，AB =AC ，∠A =36º，CD 是角平分线，则△DBC的面积与△ABC 面积的比值是（ ）(A)(B)(C)(D)6． 直线:l y px =（P 是不等于0的整数）与直线10y x =+的交点恰好是格点（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线l 有（ ） (A) 6条 (B) 7条 (C) 8条 (D) 无数条 7． 把三个连续的正整数a ，b ，c 按任意次序（次序不同视为不同组）填入□x 2+□x +□=0的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，使所得方程至少有一个整数根的a ，b ，c （ ） (A) 不存在(B) 有一组(C) 有两组(D) 多于两组8． 六个面上分别标有1，1，2，3，3，5六个数字的均匀立方体的表面展开图如图所示，掷这个立方体一次，记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标，朝下一面的数为该点的纵坐标．按照这样的规定，每掷一次该小立方体，就得到平面内一个点的坐标．已知小明前两次掷得的两个点能确定一条直线l ，且这条直线l 经过点P (4，7)，那么他第三次掷得的点也在直线l 上的概率是（ ）A ．23B ．12C ．13D ．161 13 3 2 5 (第8题)BC(第5题)二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分） 9． 若a 是一个完全平方数，则比a 大的最小完全平方数是 ．10．按如图所示，把一张边长超过10的正方形纸片剪成5个部分，则中间小正方形（阴影部分）的周长为 ．11．在锐角三角形ABC 中，∠A =50º，AB ＞BC ，则∠B 的取值 范围是 ．12．设正△ABC 的边长为a ，将△ABC 绕它的中心(正△ABC 外接圆的圆心)旋转60°得到对应的△A B C '''，则A ，B ′两点间的距离等于 ．13．如图，在平面直角坐标系内放置一个直角梯形AOCD ，已知AD =3，AO =8，OC =5，若点P 在梯形内，且PAD POC S S ∆∆=，PAO PCD S S ∆∆=，那么点P 的坐标是 ．14．已知A ，B ，C ，D 四人的体重均为整数千克，其中A 最轻，其次是B ，C ，D ，以他们中的每两人为一组称得的体重如下（单位：千克）：45， 49， 54， 55， 60， 64．则D 的体重为 千克．三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）15．已知18b a -=，2124a a +=，求ba a -的值．(第13题)(第10题)16．现有a 根长度相同的火柴棒，按如图1摆放时可摆成m 个正方形，按如图2摆放时可摆成2n 个正方形．(1) 用含n 的代数式表示m ；(2) 当这a 根火柴棒还能摆成如图3所示的形状时，求a 的最小值．(图3)(图2) (图1)17．如图，已知直径与等边三角形ABC 的高相等的圆与AB和BC边相切于点D 和E ，与AC 边相交于点F 和G ，求∠DEF 的度数．E(第17题)18．已知抛物线l 1：22221y ax amx am m =-+++（a ＞0，m ＞0）的顶点为A ，抛物线l 2的顶点B 在y 轴上，且抛物线l 1和抛物线l 2关于点P (1，3)成中心对称． (1) 当1a =时，求l 2的解析式和m 的值； (2) 设l 2与x 轴正半轴的交点是C ，当△ABC 为等腰三角形时，求a 的值．2007年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） 1． 答案：D解：当x ＞0时，x y 1-=，图象在第四象限；当x ＜0时，x y 1=，图象在第三象限．所以原函数的图象在第三、四象限． 2． 答案：A解：根据题意可知老王去上班路上所用的时间在40至50分钟之间，所以350035005040x ≤≤，即70≤x ≤87.5． 3． 答案：D解：连接AC ，设∠DAC =∠DAB =xº，∠ABC =y º，则有x +y =60，2x +y =90，解得 x =30．所以tan ∠DAC ．4． 答案：D解：由题意得，20p p p ++=，解得122,0p p =-=（舍去）当22p =-时，抛物线是22y x x =+-，求得顶点坐标是（19,24--）．5． 答案：C解：如图所示，易证AD =DC =BC ，△CDB ∽△ABC ．(第18题备用图)所以BC BDAB BC=，BC AB BCAB BC-=，1BC ABAB BC=-．可解得BCAB=．所以DBCABCS BD AB ADS AB AB∆∆-===ABBC-1=．6．答案：B解：解方程组,10.y pxy x=⎧⎨=+⎩，得101xp=-，因为x和p都是整数，所以110,5,2,1p-=±±±±，即11,9,6,4,3,1,2,0p=---共8个值，0p=舍去．7．答案：C解：设三个连续的正整数分别为n－1，n，n＋1（n为大于1的整数），当一次项系数是n－1或n时，方程的判别式△均小于零，方程无实数根；当一次项系数是n＋1时，方程的判别式△=()22141314n n n n+--=--+（）（），要使△≥0，由于n为大于1的整数，所以n只能取2．当n=2时，方程2320x x++=，22310x x++=均有整数根，所以满足要求的a，b，c只有两组：（1，3，2）、（2，3，1）8．答案：A解：每掷一次可能得到6个点的坐标是(其中有两个点是重合的)：(1，1)，(1，1)，(2，3)，(3，2)，(3，5)，(5，3)，通过描点和计算可以发现，经过(1，1)，(2，3)，(3，5)三点中的任意两点所确定的直线都经过点P(4，7)，所以小明第三次掷得的点也在直线l上的概率是3264=．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．答案：1a+解：比a大的最小完全平方数是21)1a=+．10．答案：解：作如图所示的辅助线，易知小正方形的边长是，故所求周长为11．答案：40º＜∠B＜80°解：如图，当BC最短时，∠ABC＝40º，现以B为圆心，AB长为半径画弧交直线AC于点C1，当BC1长等于AB时，∠ABC1＝80º，所以40º＜∠B＜80º．12解：当△ABC按顺时针方向旋转60°时（如图1），连结OA，OB′，∵∠AOB′=60°，∴△OAB′为正三角形，(第11题)(第10题)∴AB ′． 当△ABC 按逆时针方向旋转60°时（如图2），AB ′=2×OA=3a ． 13．答案：（178，3） 解：梯形AOCD 的面积=358322+⨯=（）．过P 作PE ⊥y 轴于点E ，∵PAD POC S S ∆∆=，∴3AE =5OE ，即3(8-OE )=5OE ，解得OE =3．∴PAD POC S S ∆∆==7.5，PAO PCD S S ∆∆==(32-2×7.5)÷2=8.5．∴188.52PE ⨯⨯=，PE =178． ∴ P 点的坐标是（178，3）． 14．答案：35解：∵ A ＋B =45，……①A ＋C =49，……② C ＋D =64，B ＋D =60，②－①，得C －B =4，则B ＋C =B ＋(B ＋4)=2×B ＋4为偶数． 在54千克与55千克中，只有54为偶数，∴ B =25，∴D =35．三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分） 15．(12分)解： ①×2-②， 得a a b 3222=-．由题意，得 a ≠0．两边同除以2a ，得32b a a -=．16．(12分)解：(1) 图1中火柴棒的总数是(31m +)根，图2中火柴棒的总数是（52n +）根，1,8b a -= ……①212.4a a +=……②(第13题)因为火柴棒的总数相同，所以3152m n +=+， 所以513n m +=． (2) 设图3中有3 p 个正方形，那么火柴棒的总数是(73)p +根， 由题意得a =315273m n p +=+=+，所以325177m n p --==． 因为m ，n ，p 均是正整数，所以当m =17，n =10时，p =7，此时a 的值最小，31715102773a =⨯+=⨯+=⨯+=52．17．(12分)解：过点E 作BC 的垂线与圆交与点H ，与AC 交于点O ， 连结AH 和DH ，作AM ⊥BC ，垂足是M ．因为E 是切点，所以EH 必过圆心，即EH 是直径， 所以DH ⊥DE ，因为D ，E 是切点，所以BD =BE ， 又因为∠B =60°，所以△DBE 是正三角形， 所以∠BDE =∠BAC =60°， 所以DE ∥AC ，DH ⊥AC ．由已知得AM =EH ，又AM ∥EH ，所以四边形AMEH 是矩形， 所以AH ⊥H E ，即AH 是切线，所以AD =AH ，AC 垂直平分DH ，AC 必过圆心， 所以AC 与EH 的交点O 是圆心， 所以OE =OF ，因为∠COE =90°-∠C =30°，所以∠OEF =75°， 又∠DEO =∠EOC =30°， 所以∠DEF =30°+75°=105°．18．(14分)解：(1) 当a =1时，因为22221y ax amx am m =-+++=()221x m m -++．所以顶点A (m ，2m +1)，又P (1，3)，设直线AB 的解析式是y =kx +b ，把点A ，P 的坐标代入，得①—②，得2m -2=（m -1）k ，因为m ≠1（若m=1，则A ，B ，P 三点重合，不合题意），所以k =2，b =1，所以直线AB 的解析式是y =2x +1，得 l 2的顶点B (0，1)，因为l 2与l 1关于点P 成中心对称，所以抛物线的开口大小相同，方向相反，得 l 2的解析式是21y x =-+．(第17题)M21,m km b +=+…① 3.k b =+…②(第18题图1)初数初赛试题 第11页（共11页） 因为点A ，B 关于点(1,3)P 成中心对称（如图1），作PE ⊥y 轴于点E ，作AF ⊥y 轴于点F ，则△BPE ∽△BAF ，所以AF =2PE ，即m =2．(2) 在Rt △ABF中，因为AB =5，所以当△ABC 为等腰三角形时，只有以下两种情况：i) 如图2，若BC AB ==OC得0)C因为0)C 在12+-=ax y 上， 所以119a =ii) 如图3，若A C B C=，设C （x ，0），作AD ⊥x 轴于点D ，在Rt △OBC 中，221BC x =+，在Rt △ADC 中，()22225AC x =-+，由()221225x x +=-+，解得7x =．因为C (7，0)在12+-=ax y 上，所以149a =． 综上可得，满足使△ABC 是等腰三角形的a 值有两个，1211,1949a a == ．(第18题图2) (第18题图3)。

2007年宁波市东海杯初二数学竞赛试卷第2试(考试时间：2007年12月16 日 9：3 0—11：3 O)一、选择题:(每题6分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的)1．已知长度为l0cm的线段AB，以AB为直径向上作半圆，记该半圆的周长为C1；将AB两等分，分别以其一半线段为直径向上作半圆，记该两个半圆的周长之和为C2；再将AB三等分，分别以其三分之一线段为直径向上作半圆，记该两个半圆的周长之和为C3；如此继续，记k等分时各半圆周长之和为C k，那么随着等分数k的增加，各半圆周长之和C k的数值( ) A．越来越大 B．越来越小 C．不变 D．无法判断2．桌上放着6张扑克牌，全部正面朝下。

你已被告知其中有两张且只有两张是老K，但是你不知道老K在哪个位置。

你随便取了两张并把它们翻开，会出现下面两种情况：(1)两张牌中至少有l张是老K；(2)两张牌中没有l张是老K。

比较这两种情况的可能性，可知 ( )A．(1)的可能性大 B．(2)的可能性大 C．两者一样． D．无法比较3．有两面可绕一立轴转动的立式镜，我站在这两面镜手前的一个点上，这个点位于镜面夹角的角平分面上。

若两镜面的夹角为5O°，我将可以看到自己的镜像数为( )A．10 B．8 C．6 D．44．如图，平行四边形的每一个顶点都用直线与两条对边的中点相连。

这些直线所围成图形的面积是原平行四边形面积的 ( )A．四分之一 B．六分之一 C．八分之一 D．十分之一5．有一位作家，被一个稀奇古怪的困难弄得寝食不安。

他写作品写得越是接近结尾，就写得越慢。

他着手写一部作品的时候，每天的完成量同余下要写的页数成比例。

例如，对于某一本书来说，他写第一页用了10天时间，但写最后一页却要用50天时间。

这本书的页数与他写完的天数分别为 ( )(每当余下要写的页数与所用的天数不是整数时，总是用进一法化为大于它且最接近它的那个整数)A．8，130 B．7，125 C．6，120 D.5，115二、填空题(每题6分，共30分)6．如图所示，矩形被一些线段分割成若干块，其中有些线段的长度已知。