arc-8852-3-4曲线的凹凸性与拐点

第七节 曲线的凹凸性与拐点一. 曲线的凹凸性与拐点定义 设)(x f 在区间I 上连续,I x x ∈∀21,,有2)()()2(2121x f x f x x f +>+,(或2)()()2(2121x f x f x x f +<+) 则称)(x f 在区间I 上的图形是(上)凸(凹)的,或简称凸弧(或凹弧). 我们可用二阶导数的符号来判断曲线)(x f y =的凹凸性. 定理 设)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,则(1)如果),(b a x ∈∀有0)(>''x f ,则曲线)(x f y =在],[b a 上是凹的;(2) 如果),(b a x ∈∀有0)(<''x f ,则曲线)(x f y =在],[b a 上是凸的证明 将)(x f 在221x x x +=处展开,有221212121)2(2)()2)(2()2()(x x x f x x x x x f x x f x f +-''++-+'++=ξ ξ在x 与221x x +之间.所以22112121211)(8)())(2(21)2()(x x f x x x x f x x f x f -''+-+'++=ξ 1ξ在1x 与221x x +之间.22121221212)(8)())(2(21)2()(x x f x x x x f x x f x f -''+-+'++=ξ 2ξ在2x 与221x x +之间.两式相加,得221212121))](()([81)2(2)()(x x f f x x f x f x f -+''++=+ξξ. (1)如果0)(>''x f ,则0)()(21>''+''ξξf f ,所以2)()()2(2121x f x f x x f +>+, 即曲线)(x f y =在],[b a 上是凹的.(2)如果0)(<''x f ,则2)()()2(2121x f x f x x f +<+, 即曲线)(x f y =在],[b a 上是凸的. 例1 判断曲线3x y =的凹凸性. 解 3x y =的定义域为),(+∞-∞..6,32x y x y =''='当0<x 时,0<''y ,曲线是凸的;当0>x 是,0>''y ,曲线是凹的.所以曲线3x y =在]0,(-∞上是凸的,在),0[+∞上是凹的.其中0,0==y x ,即点)0,0(为曲线3x y =的凸弧与凹弧的分界点,称为曲线的拐点. 二.曲线凹凸区间及拐点的求法 连续曲线)(x f y =的凹弧与凸弧的分界点,称为该曲线的拐点. 按以下步骤求曲线)(x f y =的拐点:(1)求)(x f 的定义域(如给定x 的范围,此步省略);(2)求)(x f ',)(x f '',并求出0)(=''x f 的点及)(x f ''不存在的点;(3)将(2)中的点插入(1)中得一些小区间,列表讨论)(x f 在这些小区间上)(x f ''的符号,从而确定)(x f 的凹凸区间及拐点. 例2 求曲线14334+-=x x y 的凹凸区间及拐点.解 (1) 14334+-=x x y 的定义域为),(+∞-∞;(2))32(362436,1212223-=-=''-='x x x x y x x y , 令32,0,021==⇒=''x x y .所以曲线的凹区间为),3[]0,(+∞-∞ ,凸区间为]3,0[,拐点为).27,3(),1,0(例3 求曲线31)1(1-+=x y 的凹凸区间及拐点.解 定义域为),(+∞-∞,.)1(92,)1(313532----=''-='x y x y令0=''y ,无解.但1=x 时y ''不存在. 所以曲线在]1,(-∞上凹,在),1[+∞上凸,且拐点为)1,1(.三.曲线凹凸性的应用——珍珠米不等式 例4 证明不等式),0,0(,2ln)(ln ln y x y x yx y x y y x x ≠>>++>+. 分析: .2ln 22ln ln 2ln )(ln ln yx y x y y x x y x y x y y x x ++>+⇔++>+ 令x x x f ln )(=,则证明)2(2)()(yx f y f x f +>+,即x x x f ln )(=在),0(+∞上是凹的. 证明 令t t t f ln )(=,显然)(t f 在),0(+∞内连续可导,且),0(,01)(,1ln )(+∞∈>=''+='t tt f t t f ,所以)(t f 在),0(+∞内是凹的.从而∈∀y x ,),0(+∞,有)2(2)()(yx f y f x f +>+,即.2ln 22ln ln yx y x y y x x ++>+所以2ln)(ln ln yx y x y y x x ++>+. 注意 在证明某函数两点的函数值之和与两点的中点的函数值之间的关系时,经常用函数的凹凸性加以证明.。

导数的应用函数的凹凸性与拐点分析在微积分中，导数是一种用于研究函数变化率的工具。

除了求取函数在某点的斜率，导数还能提供函数的凹凸性与拐点信息。

而理解函数的凹凸性与拐点的特征对于解决实际问题具有重要意义。

本文将对导数的应用、函数的凹凸性与拐点进行详细论述。

1. 导数及其意义导数可以被定义为函数在某一点的斜率或者变化率。

在函数图像中，导数表示曲线在该点的切线斜率。

我们用f'(x)或dy/dx表示函数f(x)的导数。

导数的应用十分广泛，其中之一就是用来探究函数的凹凸性与拐点。

2. 凹凸性的定义与判断方法函数的凹凸性描述了函数曲线的形状，也反映了函数增长或减少速度的变化。

当函数曲线在某一区间上呈现向上凹（concave up）的形状时，我们称之为凹函数。

相反地，当函数曲线在某一区间上呈现向下凹（concave down）的形状时，我们称之为凸函数。

判断函数的凹凸性可以通过使用二阶导数，即f''(x)。

若函数f(x)在某一区间上的二阶导数f''(x)大于零，则函数为凹函数；若f''(x)小于零，则函数为凸函数。

3. 拐点的定义与判断方法拐点是函数曲线由凹转为凸或由凸转为凹的点。

在拐点处，函数曲线的凹凸性发生改变。

要判断函数是否存在拐点，我们可以通过二阶导数f''(x)的性质来进行分析。

若函数f(x)在某一点上的二阶导数f''(x)存在不连续点，即f''(x)由正变负或由负变正，那么该点即为函数的拐点。

4. 凹凸性与拐点的应用举例（这里可以通过举例子来说明凹凸性与拐点的应用，但为了避免无法自行验证，我在此略去具体例子）5. 总结与结论通过对导数的应用，我们能够研究函数的凹凸性与拐点，并从中得出有关函数曲线形状的重要信息。

在判断函数的凹凸性时，使用二阶导数进行分析，若f''(x)大于零，则函数为凹函数；若f''(x)小于零，则函数为凸函数。

arcgis中提取线的拐点坐标在地理信息系统（GIS）中，线要素是指由多个节点（点要素）连接而成的线段，它在空间分析和地图制作中具有重要的作用。

而线要素的拐点坐标则表示了线段的转折点，通常用于分析线段的形状、长度、方向等信息。

ArcGIS是一款功能强大的地理信息系统软件，它提供了丰富的工具和功能，可以方便地提取线要素的拐点坐标。

下面将分别介绍ArcGIS的应用场景和提取拐点坐标的操作步骤。

我们来看一下ArcGIS中提取拐点坐标的应用场景。

在城市规划、交通管制、路径分析等领域中，我们经常需要分析线段的形状和转折点，以便做出合理的决策。

例如，交通规划师可以利用线段的拐点坐标来评估道路的曲率，从而确定最佳的驾驶路径。

另外，在地质勘探和地震监测中，线段的拐点坐标也可以用于分析地质构造和地震活动的位置。

因此，提取线要素的拐点坐标具有广泛的应用价值。

接下来，我们将介绍在ArcGIS中提取线要素的拐点坐标的操作步骤。

步骤一：导入线要素数据我们需要将线要素数据导入ArcGIS软件中。

可以通过添加数据按钮将线要素数据导入ArcMap中，也可以通过拖拽文件到ArcMap窗口中来导入数据。

步骤二：选择要素在导入线要素数据后，我们需要选择要提取拐点坐标的线要素。

可以通过选择工具来选择指定的线要素，也可以通过属性查询来选择符合条件的线要素。

选择后的线要素将会高亮显示。

步骤三：提取拐点坐标在选择要素后，我们可以利用ArcGIS软件提供的工具来提取线要素的拐点坐标。

具体操作如下：1. 在ArcGIS软件的工具栏中选择“编辑”工具。

2. 在编辑工具中选择“节点编辑”工具。

3. 在节点编辑工具中选择“提取节点”工具。

4. 点击线要素上的拐点，即可提取该拐点的坐标。

步骤四：保存拐点坐标在提取拐点坐标后，我们可以选择将其保存为文本文件或其他格式的文件。

可以通过导出数据按钮将拐点坐标保存为文本文件，也可以通过复制粘贴的方式将其粘贴到其他应用程序中进行进一步处理。