高中数学一、 空间向量的线性运算空间向量的线性运算包括加、 减及数乘运算，选定空间不共面的向量作为基向量， 并用 它们表示出目标向量， 这是用向量法解决立体几何问题的基本要求， 解题时，可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量.二、 空间向量的数量积由a b = |a ||b |cos 〈a , b 〉可知，利用该公式可求夹角、距离.还可由 a b = 0来判定垂直问题，要注意数量积是一个数，其符号由〈 a , b 〉的大小确定.三、 空间向量与平行和垂直空间图形中的平行与垂直问题是立体几何中最重要的问题之一， 主要是运用直线的方向向量和平面的法向量解决.利用空间向量解决空间中的位置关系的常用方法有： (1) 线线平行.证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量. (2) 线线垂直.证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，且 a 丄b ? a b = 0.(3) 线面平行.用向量证明线面平行的方法主要有：① 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；② 证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③ 利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量把直线的方向向量线性表示 出来. (4) 线面垂直.用向量证明线面垂直的方法主要有：① 证明直线的方向向量与平面的法向量平行； ② 利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题. (5) 面面平行.［对应学生用书P72]①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量);a bcos a b|a ||b|0討[0cos |cos a b |sin |cos |.n i n2 cosn i n2|n i||n|( 14( 1201 a( 3,2,5) b(1 x 1)a b 3 2x 5 2 x 5.52 A B C D AB AC 0 AC AD 0AB ADBCDBCD BCCBD(A TB)(ADAB 2耀合ifc力许佔一自科自沖160 )5 70a b 2 xAB)高中数学•••△ BCD 为锐角三角形. 答案：锐角三角形3.已知直线I 与平面a 垂直，直线的一个方向向量为 u = (1,3, z),向量v = (3, - 2,1)与平面a 平行，则Z = __________ .解析：T 平面a 的法向量u = (1,3 , z), v 与平面a 平行，• U 丄V , --u v= 1 x 3 + 3X (— 2) + z x 1 = 0, •・ z = 3.答案：3216.已知向量p 关于基底｛a , b , c ｝的坐标为(3,2, — 1)，贝U p 关于基底｛2a , — b , ?c ｝的 坐标是 ________ .解析：由已知得p = 3a + 2b — c , 则 P = |(2a ) + ( — 2)( — b ) + ( — 2) 2c . 故p 关于基底12a , — b , 2Ci 的坐标为g ,— 2,— 2/答案： g ，-2，-2)7•已知直线11, 12的方向向量分别为 a , b ,且a = (1,2, — 2), b = (— 2,3, m),若h 丄 l 2 ,则实数m 的值为 _______________ .解析：•••丨1丄I ? , • a 丄b.答案：34.已知空间三点 A(0,2,3), B(— 2,1,6), C(1, —1,5).若|a |= . 3,且 a 分别与AB ,TC垂直，则向量 a 为 _________解析：设 a = (x , y , z), AB = (— 2, —1,3), AC = (1,— 3,2). x 2+ y 2+ z2= 3,I则彳―2x — y + 3z = 0,解得 a = (1,1,1)或(—1,— 1,— 1).答案：(1,1,1)或(—1,— 1,— 1)5.已知 A(1,5, — 2), B(2,4,1), C(x,3, y + 2)，且 A 、B 、C 三点共线，则实数 x , y 的 值分另寸为 _______ 解析：若A 、B 、C 三点共线，则AB , BC 也共线.AB =(1 , —1,3), BC = (x — 2, —1, y +1),x — 23y + 1. • x = 3, y = 2.120 . 120 .AB 2 (AE2 3 cos AEFBFBa b 1 ( 2) 2 3 ( 2) m 4 2m 0.m 2.28a (cos 1 sin )b (sin1 cos ) a b a b_______ (a b ) (a b ) a 2 b 2 (cos 2sin 21) (sin 21 cos2 ) 0(a b )(ab )909a (cos sin 1)b (羽 1,2)|2a b |______2a b (2cos 眾 2sin 1,0)|2a b | 寸(2cos⑧(2sin\l 8 8sin (亍 n 4.410u (121)v (2,4,2)v 2(1 2 1) 2uv u11 ABC C 90 B 30 AB 4 D ABACDAB.13 A CD BCDEBCDBBF CDCDAFcAE CDAE BF V3 EF 2 AB 届.EA FB)2…cos答案: _6亍 14 .已知 OA = (1,2,3), QA QB 取得最小值时，点 OB = (2,i,2), OP = (i,i,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当Q 的坐标为 解析：•/ Q 在OP 上，•可设 Q(x , x,2x), 则 QA = (1 — x,2— x,3 — 2x), QB = (2 — x,1 — x,2 — 2x).•Q A QB = 6x 2— 16x + 10,QA -QB 最小，这时 Q 4, 3, 3 .••• x = 4时,答案：120°12.如图，在空间四边形 ABCD 中，AC 和BD 为对角线，GT T TABC 的重心，E 是 BD 上一点，BE = 3ED ，若以{ AB , AC , AD 为基底，则GE = _______ .解析：GE = AE — AG =AD + DE — | AM1i=AD + 4 DB — 3( AB + AC )1 1 11 H=AD +7 AB —^ AD —寸 AB —寸 AC4 4 3 3 1 1 3 T=—12 AB — 3 AC + 4 AD . 答案：一2 AB — 3 AC + 3 AD13.正方体ABCD — A i B i C i D i 中，BB i 与平面 ACD i 所成角的余弦值为 解析：以D 为原点，建立空间直角坐标系如图, D(0,0,0), B i (i,i,i) , B(i,i,O)，贝V BB i = (0,0,i).T B i D 丄平面ACD i ,二DB 1 = (i,i,i)为平面ACD i 的法向量. 设BB i 与平面ACD i 所成的角为0,则sin 0=I BB i || BQ |}"G设正方体棱长为i ,159014 ABCD ABC(1) 2 AA* 1BC 3 AB(2) M BD N BCC BD Y AA(1) DD G G DCGH 2DC AHAH11AA2BC 2 T AB .TAHT T(2) MN MB BN1DB23BC1 T 3 T5(AB AD ) 3(AA AD )1 4 1 T 31 AB1AD3AA .1 1 32 4 4.16 ( 14 ) A( 2,0,2)-1AC .(1) a b(2) k a b k a 2 b kTa AB ( 1,1,2)( 2,0,2) (1,1,0)BCGHB( 1b( 3,0,4)( 2,0,2) 1,0,2)bABAC(1)cos|a||b| 迄応(10101,2) C( 3,0,4) a AB高中数学(2)k a + b = (k , k,0) + (- 1,0,2) = (k — 1, k,2), k a — 2b = (k , k,0) — (— 2,0,4) = (k + 2, k , — 4), •••(k — 1, k,2) (k + 2, k ,— 4) =(k — 1)(k + 2) + k 2— 8 = 0. 即 2k 2+ k — 10= 0, 5• k =—或 k = 2.217.(本小题满分14分)如图所示，已知直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱 )ABC — A 1B 1C 1⑵取A 1C 的中点E ,连结 DE. 由于 E(1,0,1),••• a 与b 的夹角 B 的余弦值为一TO~V0-中，AC 丄BC , D 是AB 的中点, AC = BC = BB 1.(1)求证：BC 1 丄 AB 1；⑵求证：BC 1 H 平面CA 1D.证明：如图所示，以C 1点为原点，建立空间直角坐标系，设AC =BC = BB 1 = 2,则 A(2,0,2), B(0,2,2), C(0,0,2),"(2,0,0) , B 1(0,2,0), 6(0,0,0),D(1,1,2).—2, —2),AB ? = (— 2,2,—2),--BC 1 *AB i = 0— 4 + 4 = 0,即 BC 1 丄 AB 1 ,故 BC 1 丄 AB 1. ED = (0,1,1), 又 BC i = (0，— 2,— 2), ED =1 ——2 BC i , 且 ED 与 BC 1 不共线,• ED // BC 1, 又 ED?平面 CA Q , BC 1?平面 CA Q , • BC 1 // 平面 CA 1D.18.(本小题满分16分)正厶ABC 的边长为4, CD 是AB 边上的高, E , F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ ABC 沿CD 翻折成直二面角 A — DC — B.(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由; ⑵求二面角E — DF — C 的余弦值;(1)由于 BC 1 = (0,19.(北京高考)(本小题满分16分)如图1，在Rt A ABC 中，/ C = 90° BC =3, AC = 6, 高中数学V 3s t 2“ t 沁 3 BC BP 1 BC 3.BCAP DE BP BC(1) ABC AC BCEF AB AB? DEF EF?DEFABDEF.DBDC DA A(0,0,2)B(2,0,0) D A1) CDF DAEDFDF n 01) F(1 V 30) "DF(1 V 3n (x y z)n (3 ⑴ 3)DA n ■ r 21 cos DAnI DA ||n | 7E DF C P(s t,0).21 7AP DEt 2/33B P (s 2BP PCt,0) PC (S ,2V3 t,0) (s 2)(^3t) stP AP DE.(0,30)C(0,2 3 0) E(0 V 32D、E分别为AC、AB上的点，且DE // BC, DE = 2,将厶ADE沿DE折起到△ A i DE的位置, 使A i C丄CD，如图2.(1)求证：A i C丄平面BCDE ;⑵若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小;(3)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由.解：(1)证明：因为AC丄BC, DE // BC,所以DE丄AC.所以ED丄AQ, DE丄CD，所以DE丄平面AQC. 所以DE丄AQ.又因为A1C丄CD，且CD A DE = D ,所以AQ丄平面BCDE.(2)如图，以C为坐标原点,CB、CD、CA1 为x、y、z 轴,建立空间直角坐标系C-xyz,则A1(0,0,2 3), D(0,2,0),M(0,1, ,3), B(3,0,0),E(2,2,0).设平面A1BE的法向量为n= (x, y, z),则n AB = 0, n -BE = 0. 又A^B = 3, 0,- 2 .3 , BE= (- 1,2,0),所以3X-2 '3Z= 0,I— x+ 2y= 0.令y = 1,则x= 2 , z= ,3.所以n = (2,1 , , 3).设CM与平面A1BE所成的角为CM = (0,1, 3)所以sin 0= |cos〈n , CM > |因为I 4||n||CM |= 8x ■,42 .19.(北京高考)(本小题满分16分)如图1，在Rt A ABC 中，/ C = 90° BC = 3, AC = 6,(p,0,0) p [0,3]2y 2 ^3z 0♦px 2y 0.p 0.[0,3]D GH E(2) ABQ AQ 2BD AD DQABQ 90 .PB ABQBA BQ BPB BA BQ BPCM A I BE ⑶ BC P A I DP A I BEA I DP m A l D 0 A 1D 0 m (x m DP 0.2.3 DP y z)(P 2,0)AQP A 1BEBC AQP A 1BE20 ( )( 16 P ABQ PB ABQ BA BP BQ AQ BQ AP BP AQ 2BD PD EQ PC FQ GH.(1) AB GHAB. (1) EF DC.EF? PCD DC? PCDAQ BQ AP BP EF AB DC EF PCD.EF ? EFQ EFQ PCD GHEF GH.EF AB AB GH.空间直角坐标系.设平面EFQ 的一个法向量为 m = (X 1, y 1,乙),m-Fa = o ，得—X1+2y1—Z1=0,|2y 1 — Z 1= 0,取 y 1= 1，得 m = (0,1,2).设平面PDC 的一个法向量为 n = (X 2, y 2, Z 2), n CP =0,得—X2— y2+ 2Z2= 0,|— y 2+ 2Z 2= 0,取 Z 2= 1，得 n = (0,2,1),因为二面角D — GH — E 为钝角,所以二面角D -GH — E 的余弦值为-4. 设 BA = BQ = BP = 2, 则 E(1,0,1), F(0,0,1), Q(0,2,0), D(1,1,0), C(0,1,0), P(0,0,2). 所以 EQ = (—1,2, 1), FQ = (0,2, —1),DP = (- 1,— 1, 2), CP = (0, — 1,2). J 所以 cos 〈 m , n > mn 4 |m ||n |= 5. =o , 由 n DP = 0,。
