函数与导数
（一）选择题
1.下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是( ) A.3y x = B.1y x =+ C.21y x =-+ D.2x
y -=
2.设357log 6,log 10,log 14a b c ===，则（ ）
A.c b a >>
B.b c a >>
C.a c b >>
D.a b c >>
3.若函数()x e f x （ 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是（ ）
A.()2x f x -=
B.2()f x x =
C.()3x f x -=
D.()cos f x x = 4.过)01(，-P 作曲线12
++=x x y 的切线，其中一条切线方程为（ ）
A.022=++y x
B.033=+-y x
C.01=++y x
D.01=+-y x
5.已知函数3lg(),0,()64,0
x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若关于x 的函数2()()1y f x bf x =-+有8个不同
的零点，则实数b 的取值范围是（ ）
A.(2,)+∞
B.[2,)+∞
C.17(2,
)4 D.17
(2,]4
6.已知函数2
2ln ()()2x x t f x x
+-=，若对任意的[1,2]x ∈，()()0f x x f x '⋅+>恒成立，
则实数t 的取值范围是（ ）
A.(,2)-∞
B.(,1)-∞
C.(0,1)
D.(1,2) （二）填空题
7.设12,x x 是函数3
2
2
()2f x x ax a x =-+的两个极值点，若122x x <<，则实数a 的取值范围是____. 8.设函数1,0,
()2,0
x
x x f x x +≤⎧=⎨
>⎩，则满足1()()12
f x f x +->的x 的取值范围是____.
9.已知方程2
2
(2)(2)0x x m x x n -+-+=的四个根组成一个首项为
1
4
的等差数列，则m n -=____.
10.若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则
b =____.
（三）解答题
11.已知函数1
()ln (0)f x x ax a x
=+
+≥. （1）当0a =时，求()f x 的单调区间； （2）当0a >，求()f x 的最小值的取值集合．
12.设函数2(),()()x f x x ax b g x e cx d =++=+，若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点
(0,2)P ，且在点P 处有相同的切线42y x =+.
（1）求,,,a b c d 的值；
（2）若2x ≥-时，()()f x kg x ≤，求k 的取值范围
13.已知函数()()x f x e x m m R =--∈. （1）求()f x 的最小值；
（2）判断()f x 的零点个数，说明理由；
（3）若()f x 有两个零点12,x x ，证明：120x x +<.
14.已知函数()ln f x ax x x =+在1x =处取得极值. （1）求()f x 的单调区间；
（2）若()1y f x m =--在定义域内有两个不同的零点，求实数m 的取值范围.
15.已知函数2
()ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥.
（1）求a .
（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220()2e f x --<<.
16.已知函数2()ln (21)f x x ax a x =+++. （1）讨论()f x 的单调性； （2）当0a <时，证明3
()24f x a
≤--.
（一）选择题
1.解析：3x y =为奇函数，12+-=x y 在),0(+∞上为减函数，2x
y -=在),0(+∞上为减函
数，故答案为B ．
2.解析：因为3355log 61log 2,log 101log 2,a b ==+==+77log 141log 2c ==+，则只要比较357log 2,log 2,log 2的大小即可，在同一坐标系中作出函数35log ,log y x y x ==以及7log y x =的图象，由三个图象的相对位置关系，可知a b c >>．故选D ．
3.解析：对于选项A ，当()2x f x -=时，()2()2
x x x x
e y e
f x e -==⋅=在函数()f x 的定义域
R 上单调递增，符合题意，应选A.
4.解析：设切点为)1,(2++x x x Q ，因为12++=x x y ，所以12+='x y ，所以
121
1
2+=+++x x x x ，解得0=x 或2-=x ，所以切线斜率为1或者-3，
所求切线方程为1+=x y 或)1(3+-=x y ，应选D. 5.解析：因为3lg(),0,
()64,0
x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨
-+≥⎪⎩，
即2
lg(),0,
()(2)(22),0
x x f x x x x x ⎧-<⎪=⎨-+-≥⎪⎩.
作出函数()f x 的简图，如图1所示，
由图象可得，当()f x 在(0,4]上任意取一个值时，都有4个
不同的x 与()f x 的值对应，再结合题中函数2()()1y f x bf x =-+有8个不同的零点，可
得关于k 的方程2
10k kb -+=有两个不同的实数根12,k k ，且1204,04k k <≤<≤.
所以240,04,2
0010,
16410
b b b b ⎧∆=->⎪
⎪<<⎪⎨⎪-⨯+>⎪-+≥⎪⎩解得1724b <≤，故选D. 6.解析：设()()g x xf x =，则由已知得()()()0g x f x x f x ''=⋅+>对[1,2]x ∈恒成立，即
211()[ln ()]02g x x x t x t x ''=+-=+->，所以1
t x x
<+对[1,2]x ∈恒成立，所以
min 1
()2t x x
<+=，应选A.
