2020秋上海教育版数学七年级上册10.1分式1

第十章 分 式10.1 分式的意义1、 两个整式A/B 相除，即A÷B 时，可以表示为A / B 。

如果B 中含有字母，那么A / B 叫做分式。

A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母2、 如果一个分式的分母为零，那么这个分式无意义10.2 分式的基本性质1、 整式和分式统称为有理式：即有理式2、 分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。

用式子表示为： A / B = A * C / B * C A / B = A ÷ C / B ÷ C（A 、B 、C 为整式，且B 、C ≠ 0 ）3、 约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分4、 分式的约分步骤：（1）如果分式的分子和分母都是或者是几个乘积的形式，将它们的公因式约去（2）分式的分子和分母都是将分子和分母分别，再将公因式约去注：公因式的提取方法：系数取分子和分母共有的系数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式5、 一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式。

约分时，一般将一个分式化为最简分式6、 通分：把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式，叫做分式的通分7、 分式的通分步骤：先求出所有分式分母的最简公分母，再将所有分式的分母变为最简公分母，同时各分式按照分母所扩大的倍数，相应扩大各自的分子8、 最简公分母的确定方法：系数取各因式系数的最小公倍数，相同字母的及单独字母的幂的乘积9、 注：(1) 约分和通分的依据都是分式的基本性质(2) 分式的约分和通分都是互逆运算过程10.3 分式的运算1、 分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。

用字母表示为：a / b * c / d = a c / b d2、 分式的除法法则1) 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘：a/b÷c/d=ad/bc2) 除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数a/b÷c/d=a/b*d/c 异分母分式通分时，关整式 分式键是确定公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

基本运算：分式的乘法：a c a cb d b d⋅⋅=⋅分式的除法：a c a d a db d bc b c⋅÷=⨯=⋅ 乘方：()n nn nn a a aa a aa ab b bb b bb b ⋅=⋅=⋅个个n 个＝(n 为正整数) 分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a bc c c±±=异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算。

结果以最简形式存在。

【例1】计算：（1）222934m m m m +-⋅-- （2）2342()()()b a ba b a -⋅-÷-（3）32231(4)()2mn m n ---÷- 【解析】（1）32m m +- （2）58a b - ⑶49128m n -【例2】（1）222256712228x x x x x x x x -+-+÷----（2）22266(3)443x x x x x x x -+-÷+⋅-+-（3）32322423()(1)2111x x x xx x x x x --÷-÷+-++分式运算例题讲解知识要点【解析】（1）21x x ++ （2）22x -- （3）23x -【例3】（1）2222135333x x x x xx x x +--+-++++ （2） 222222222222()()()()()()a b c b c a c a b a c b a b c b c a ------+++-+-+- （3）222424444254a a a a a a a -++-+--+ 【解析】（1）2 （2）1 （3）1【例4】（1）2221()111a a a a a a a ---÷⋅-++ （2）422423216424(2)416844m m m m m m m m m m -+-+÷⨯÷+++--+（3）()()22222222222a b ca b c ab ac a a ab ab a b a b -----+⋅÷-++- （4）abbc ac c ba ac ab bc b a c bc ac ab a c b +---++----+---222 （5）abbc ac c ba c ac bc ab b ac b bc ac ab a c b a +----++----++----222222( a ，b ，c 都不相等) 【解析】（1）22(1)(1)a a +-- （2）1 （3）a b c a b--+ （4）2c a - （5）0 【例5】计算： （1）1122x y x y ------（2）()()()()()()()()()()444444444476415642364316439643641164196427643564++++++++++ 【解析】（1）xyy x+（2）337 【例6】（1）求代数式22135624816x x x x x x x x ++++÷⋅++++的值，其中3x = （2）先化简，再求值:224125(2)2[2()](34)(2)a a a a a a a a+++÷--÷-+，其中4a =。

-------------分式的意义和性质（★★）1、理解和掌握分式的概念；2、通过类比分数探究分式有意义的条件和分式值为零的条件，初步形成运用类比转化的思想方法解 决问题的能力。

3、通过类比方法的教学，知道事物之间是普遍联系又是变化发展的辨证观点。

4、通过类比分数的基本性质，使学生理解和掌握分式的基本性质；掌握约分的方法和最简分式的化简方法。

知识结构 能准确地辨别分式与整式明确分式有意义和值为零的条件灵活运用分式的基本性质进行分式的恒等变形及最简分式的化简方法M B M A BA ⨯⨯= MB M A BA ÷÷=1.本部分建议时长5分钟.2.让学生回答分式无意义的条件，简述分式性质内容，老师给与补充。

“知识结构”这一部分的教学，可采用下面的策略：1.本部分建议时长20分钟.2.进行例题讲解时，教师宜先请学生试着自行解答.若学生能正确解答，则不必做过多的讲解；若学生不能正确解答，教师应对相关概念、公式进行进一步辨析后再讲解例题.3.在每一道例题之后设置了变式训练题，应在例题讲解后鼓励学生独立完成，以判断学生是否真正掌握了相关考点和题型.4.教师应正确处理好例题与变式训练题之间的关系，宜采用讲练结合的方式，切不可将所有例题都讲完后再让学生做变式训练题.分式的意义：例题1x 取何值时，下列分式无意义？（★★）（1）x x 212+ , (2) 25++x x , (3) 252++x x (4) xx x )1(-。

（1）x=0（2）x=-2是比较容易得出答案的。

（3）中分母x 2+2无论x 取何值时，x 2+2都不可能为零，所以这个分式总是有意义的。

（4）中分子与分母有相同的因式x,有学生说“可以将这个因式约去，这个式子就变成了x-1, 也就是变成了一个整式，所以也总是有意义的。

”这种想法是错误的，看一个代数式是不是分式，要看原来的式子，将分式约分是可以的，但必须有这个前提：被约去的因式不能为零。

分式的乘除运算【知识要点】1．分式的乘除法法则：两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。

分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘。

2. 分式的乘方法则：把分子、分母各自乘方.即n nn BA B A =)(.【典型例题】例1 计算：（1）222b aa b-⋅-； （2）2243364x x y y ⎛⎫÷- ⎪⎝⎭；（3）()2x yxy x xy--÷；（4）22222422x y x yx xy y x xy-+÷+++； （5）22214441a a a a a --⋅-+-；（6）()222a b a b ab-÷-； 例2 计算：（1）2222244432x x x x x x x ---⋅--++； （2）222122x x x x x x++÷⋅--； （3）()222663344x x x x x x x -+-÷+⋅--+；（4）()222x xy xyx y x xy y xy+÷+÷--； 例3 化简：11222---+-y x y xy x例4 先化简，再求值：（1）x x x x x 3139322+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---，其中31=x 【大展身手】一．判断正误（对的打“√”，错的打“”）（1）yx y x ++22 =x+y （ ）（2）（p －q ）2÷（q －p ）2=1（ ） （3）=48x x x 2（ ）（4）)(3)(2)(9)(422n m n m n m n m -+=-+（ ）（5）bam b m a =++（m ≠0）（ ） 二．填空题 （1）2ba ·（－2ab ）= . （2）a b 12÷ac23= . （3）________;2212•=++÷y x y x y x （4）若4:3:21:1:1=c b a ，则c b a ::= （5）若544zy x ==，则z y x y x 32+-+= （6）________;÷+=+-•+ba ab b a b a b a ab三．选择题 1． 计算32)32()23(yx x y ⋅-的结果是（ ） A.y x 3 B. y x 3- C. y x 32 D. yx 32- 2．计算bab a ⋅÷ 的结果是（ ） A.1 B.2a C. 2b D. 22ba3. 已知52=b a ，则2222335523b ab a b ab a +-+-的值为（ ）A.56 B.1 C. 65117 D. 594．化简mnm n m +-222的结果是（ ）A ．mnm 2- B ．mnm - C ．mnm + D ．nm nm +- 三、解答题：1. 化简求值：y x xyx y x y xy x -+÷-++222222，其中x=2， y=2019 2. 计算：yx y x xy xy y x -•÷-2222。

知识点1分式的乘除1.分式的乘法法则:分式乘分式,用分子的积作积的分子,分母的积作积的分母.用式子表示为：a c a cb d b d⋅⋅=⋅.2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为：a c a d a db d bc b c⋅÷=⋅=⋅.3.分式的乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方.用式子表示为：()n nna ab b=. 例1计算：（1）226()35a b cdc ab--⋅；（2）2223()2ab c dc a b-⋅-；（3）222x x yx y y x x÷-+；（4）3845a bxaby÷-；（5）2237844324a a aa a a+--⋅-+；（6）2222444a a aa a a+÷--+.例2 计算：（1）242()aba b；（2）232423()()()29yz xz xx y yz--⋅-⋅-；第十讲分式的运算知识要点（3）22234()()a ab a b c ac +-÷---； （4）234()()()a bab b a-⋅-÷-；（5）22222()x xy y x yxy x xy x-+--÷⋅.例3 当0.75m =，0.25n =时，求2222m m n nm m n n---+-+的值.知识点2 分式的加减1.分式加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减.用式子表示是：a b a bc c c±±=.2.通分：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式叫通分.通分的依据是分式的基本性质，通分的关键是确定最简公分母.最简公分母由下面的方法确定：（1）最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；（2）最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积.3.异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.用式子表示是：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=.注意：在异分母分式加减法的计算过程中，要注意下面几个问题： （1）异分母分式的加减，关键是确定最简公分母. （2）多项式分母要因式分解. （3）整式看成分母是1的分式.（4）一些较复杂的题目可以采用逐步通分法.（5）在分式的计算过程中注意利用乘法公式和因式分解法巧解分式计算.例1 计算：（1）53343a b b a a b a b a b a b +-++-+++； （2）22x y x y y x xy+-+；（3）2213411x x x x x -+++--.例2 对下列各分式进行通分： （1）224b a c ，223c ab ，5a bc ； （2）293a -，2243a a a +-+，234aa a --； （3）313xy ，212x y ，319x y ； （4）21()ab +，2a b -+，223a b-.例3 已知：320a b -=，求下式的值：(1)(1)b a b aa ab a a b+-÷---+.一.填空题1.计算：2233y xy x -÷= .2.计算：238392x y y x -⋅= .3.计算：23()()a b a ab b a-⋅=- .4.512c a 、8db 的最简公分母是 .课堂练习5.21x -、1322x x--的最简公分母是 . 6.2()(2)a a b b -+，3()(2)b b a b -+，4(2)cb +的最简公分母是 .7.计算：111a b c-+-= . 8.计算：33x a x a+--= . 9.计算:458126b c a b a cbc ab ac+--+-= .二.解答题 1.计算：（1）2222222ab b a b a ab b a ab +-⋅++-； （2）322(1)(12)1y y y y -÷-+-；（3）22222()x xy y x y xy x xy x -+--÷⋅； （4）22234()()()x y y y x x-⋅-÷.2.通分：（1）223a bc ，22512a c ，2378b c （2）21(1)x -，1xx - （3）22x x x --，12x - （4）241342x x -+，251556x x -+3.计算：（1）222244436x x x x x x +-÷+++； （2）22266(3)443x x x x x x x -+-÷+⋅-+-；（3）5331111x x x x+----； （4）2222223223x y x y x y x y x y x y ++--+---；（5）22332432()()()a b b c bc c a b a ⋅÷--； （6）22m n n mn m m n n m++----. 4.计算：（1）2462368()()4x z x y y x y⋅-⋅-； （2）36224310520(6)23c c ab c a b a b ÷-÷；（3）22224()()()a b c bc c ab a ⋅-÷-； （4）2x x y x y-++； （5）232394236y z z x x y yz zx xy ---++； （6）224281224x x y xyx y x y x y+---+--. 5.计算：（1）2222697103692(5)x x x x x x x x x -+-++⋅⋅----；（2）22222222222()()x y x xy y x xy xzx y z x y z x xy-+++-÷⋅-----；（3）244352102[]()()()x y y xy x x x y x y xy y⋅--⨯⨯÷--；（4）222222329656a b a b a ba b a ab b ab a b +---+-+---； （5）()()()()()()a b b c c aa cbc b a c a c b a b +++++------；6.计算：（1）2225613x x x x x x -++⋅--； （2）22222422x y x yx xy y x xy-+÷+++； （3）2481124811111x x x x x+++--+++-；（4）11111(1)(2)(2)(3)(99)(100)x x x x x x x ++++-------.7.化简求值：222396a ab a ab b --+，其中34a =，23b =-.8.已知1x =，求322248(4)4424x x x x x x ++÷⋅--++的值.一.填空题1.计算：223932b a a b ⋅=2.计算：226()a a ÷-=3.计算： 63423x y y x -⋅=4.计算：43321510x y y x-÷= 5.计算：2222()a b a b a b --÷=+ 6.计算： 23b ba a-= 7.计算：566x xy y += 8.计算：22a b a b a b -=-- 9.计算：2247(3)(3)x x x +-=-- 10.计算：121x +=+ 11.计算：a a ab b -=+ 12.计算：26142a a a -+=-- 13.计算：a a x y y x +=-- 14.计算：222(2)(2)x yx y y x -=-- 家庭作业15.计算：111(1)a a a +=++ 16.计算：111x x --=-二.选择题1.下列计算中，正确的是（ ）22543423322325102523. .261634963..2341(1)(1)22x y z z t t A B z x y y m n m ta a a C D a a a ab b b ⋅=÷=---⋅=÷=---++---2.分式22315,,68a a ab最简公分母是是（ ） 42322222.48 .24 .48 .24A a b B a b C a b D a b 3.下列计算正确的是（ ）. .2. .b c b c b c b c A B a a a a d adb c b c b c bd ac C D a d a d a d ad +++=+=+++=+=+4.分式a a b +加上22a-的和是（ ）22.0 . . .122a A B C D a a +--三.简答题1.计算：22820(10)4x x x x +-÷+- 2.计算：211(1)1mm m+÷⋅--3.若x 的倒数等于它本身，求222357420x x x x x x ---÷-+-的值。

第十章 单元测试一、选择题1. 下列各式中，是分式的是（ ）（A ）21 (B) 32a (C) 222x x + (D) x x 212+ 2. 下列方程中，2=x 不是它的一个解的是（ ）（A ）251=+x x (B) 042=-x (C) 2212-=+-x x x (D) 02322=++-x x x 3. 下列各式中，是最简分式的是（ ）（A ）xyx 2 (B) xy a 2 (C)221++x x (D) 222y xy y x ++ 4.下列化简过程正确的是（ ） (A)421262x x x = (B) 22y x y x -+y x +=1 (C) x x x x x 3123222+=+ (D) 2362+=---x x x x 5. 当2-=x 时，分式（1）23-+x x (2)22+-x x (3))3)(2()3)(2(-+++x x x x (4))3)(2()3)(1(-+=-x x x x 中有意义的( ) (A)只有(1) (B)只有(4)(C)只有(1)、(3) (D)只有(2)、(4)6. 用科学记数法表示的数5104.3-⨯-的原数是( )(A)-0.0000034 (B)-0.000034©-0.00034 (D)0.000034二、填空题7. 将)(2c b a -÷写成分式的形式8. 用,2-1,2+x a 中的任意两个代数式组成一个分式9. 当x 时，分式x 21有意义. 10. 若,2-=x 则分式x-22= . 11. 当x 时,分式1-x x 无意义. 12. 当x 时,分式x x 23-的值为零. 13. 计算:b aa b ∙= .14. 化简:aab a 222+= . 15. 计算:= ⎝⎛⎪⎭⎫∙ ⎝⎛⎪⎭⎫-323232 . 16. 计算:=+xx 121125 . 17. 用科学记数法表示: -0.0000056= .18. 写成不含有分母的式子,)(=--233b a b a .三、计算题 19. 25443562222-+∙-++-x x x x x x x20. 12236522+-÷+++-x x x x x x21. 3221322321322222---+--+----x x x x x x x x x22. y x y x x +--122四、解方程23. 121132-=+x x24. 5515+-=++x x x25.654658322+--=+--x x x x x x26.3221+-=+-x x x x五、应用题27. 小丽、小明练习打字，小丽打字的速度是小明的1.2倍，同样打600个字，小丽比小明少用1分钟，问小丽每分钟打字多少个？。

分式的乘除运算【知识要点】1．分式的乘除法法则：两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。

分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘。

2. 分式的乘方法则：把分子、分母各自乘方.即n nn BA B A =)(. 【典型例题】例1 计算：（1）222b a a b -⋅-； （2）2243364x x y y ⎛⎫÷- ⎪⎝⎭；（3）()2x y xy x xy --÷； （4）22222422x y x y x xy y x xy-+÷+++； （5）22214441a a a a a --⋅-+-； （6）()222a b a b ab-÷-； 例2 计算： （1）2222244432x x x x x x x ---⋅--++； （2）222122x x x x x x ++÷⋅--；（3）()222663344x x x x x x x -+-÷+⋅--+； （4）()222x xy xy x y x xy y xy+÷+÷--； 例3 化简：11222---+-y x y xy x 例4 先化简，再求值：（1）x x x x x 3139322+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---，其中31=x 【大展身手】一．判断正误（对的打“√”,错的打） （1）y x y x ++22 =x+y （ ） （2）（p －q ）2÷（q －p ）2=1（ ）（3）=48x x x 2（ ） （4）)(3)(2)(9)(422n m n m n m n m -+=-+（ ） （5）ba mb m a =++（m ≠0）（ ） 二．填空题（1）2b a ·（－2a b ）= . （2）a b 12÷a c 23= . （3）________;2212∙=++÷y x y x y x （4）若4:3:21:1:1=c b a ,则c b a ::=（5）若544z y x ==,则z y x y x 32+-+= （6）________;÷+=+-∙+ba ab b a b a b a ab 三．选择题1． 计算32)32()23(yx x y ⋅-的结果是（ ） A.y x 3 B. y x 3- C. y x 32 D. yx 32- 2．计算ba b a ⋅÷ 的结果是（ ） A.1 B.2a C. 2b D. 22b a3. 已知52=b a ，则2222335523bab a b ab a +-+-的值为（ ） A.56 B.1 C. 65117 D. 594．化简mn m n m +-222的结果是（ ） A ．m n m 2- B ．m n m - C ．m n m + D ．nm n m +- 三、解答题：1. 化简求值：y x xy x yx y xy x -+÷-++222222，其中x=2, y=20192. 计算：y x y x xy xy y x -∙÷-2222。

分式方程的解法学生姓名授课日期 教师姓名授课时长知识定位1．理解分式方程的概念；2．学会解决分式方程；3．会用使用换元法解决分式方程；4．学会转化思想的运用．知识梳理1分式方程的定义：是方程中的一种，且分母里含有未知数的（有理）方程叫做分式方程。

如：2312x x +=+．知识梳理2解分式方程的一般步骤：是通过去分母化为 整式方程 ，去分母的方法是方程各项同时乘以 最简公分母 验根是解分式方程必不可少的步骤，这是因为 在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根。

【试题来源】【题目】 指出下列方程哪些是整式方程，哪些是分式方程，并说出它们的区别．①21=+x x ②275-=y y ③2132-=x x ④ab x b a x -+=+2（x 是未知数）⑤x x x -=-2212．【试题来源】【题目】2．在下列方程中，关于x的分式方程的个数有 .①0432212=+-x x ②.4=a x③;4=x a ④.;1392=+-x x ⑤;621=+x ⑥211=-+-a x a x .A.2个B.3个C.4个D.5个【试题来源】【题目】甲、乙二人同时从A 地前往距A 地30千米的B 地，甲比乙每小时快2千米，结果比乙先到半小时，若设乙的速度为x 千米/小时，则可列出的方程为A ．2123030=--x x B ．2123030=+-x x C ．2130230=-+x x D ．2130230=--x x【试题来源】【题目】 某校学生进行急行军，预计行60千米的路程可在下午5点钟到达，后来由于每小时加快速度的51，结果于4点钟到达，这时的速度是多少？【试题来源】【题目】 解方程114112=---+x x x ．【试题来源】【题目】解分式方程：6122x x x +=-+【试题来源】【题目】若关于x 的分式方程311x a x x--=-无解，则a =【试题来源】【题目】 甲、乙两人合做某项工作，如果先由两人合作3天，剩下的由乙单独来做，那么再有1天便可完成. 已知乙单独做全部工作所需天数是单独做所需天数的2倍. 求甲、乙单独做这项工作各需多少天？习题演练【试题来源】【题目】m 为何值时，关于x 的方程234222+=-+-x x mx x 会产生增根？【试题来源】 【题目】解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-.352,413yx y x【试题来源】 【题目】解分式方程：13101x x x x --+=-【试题来源】【题目】如图，点A ，B 在数轴上，它们所对应的数分别是4-，2235x x +-，且点A 、B 到原点的距离相等，求x 的值．A B 0 4-【题目】解分式方程：163104245--+=--x x x x【试题来源】【题目】.解方程：12111x x x -=--．【试题来源】【题目】.A 、B 两地相距7千米，甲由A 地走向B 地，刚走完了1千米到达C ，在A 地的乙发现甲有物遗忘，为送物追甲，乙在D 处追上甲后又立即返回，当乙回到A 地时，甲正好到了B 地，求C 、D 间的距离.【试题来源】【题目】甲、乙两人同时从A 、B 两地相向而行，如果都走1小时，两人之间的距离等于A 、B 两地距离的81；如果甲走32小时，乙走半小时，这样两人之间的距离等于A 、B 间全程的一半，求甲、乙两人各需多少时间走完全程？【试题来源】 【题目】方程1111123x x x x -=-+--的解为1x =， 方程1111134x x x x -=----的解为x=2， 方程11111245x x x x -=-----的解为3x =，… 请写出能反映上述方程一般规律的方程，并直 接写出这个方程的解是 ．【试题来源】【题目】关于x 的方程xb a 111=+)0(≠+b a 的解为_________【题目】现有一项工程由甲乙两个工程队来做，若甲队先做10天，余下的由乙队单独完成还需30天；若甲队先做9天后，因故抽走甲队一半去做其它工作，剩下任务由乙队和甲队剩余人员合做18天完成。