2013高中新课程数学(苏教版必修四)1.2.1 任意角的三角函数(1)教案

§任意角的三角函数〔1〕〔教案〕内江铁中高中数学组李大春指导教师：赖建军学情分析：本教学班级属于成都七中直播班〔未来课堂班〕，一共53名学生，但数学根底差、反响慢教学目标：1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义2.角终边上一点，会求角的正弦、余弦、正切的三角函数值3.理解并掌握三角函数值在各象限的符号教学重难点：任意角的正弦、余弦、正切的定义教学用具：平板电脑教学方法：“探究〞“讲练结合〞教学模式：“未来课堂〞教学模式教学班级：高一〔1〕班课型：新知课课时：一课时教学过程：一、复习回忆初中我们已经学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角α为自变量，以比值为函数值，定义了角α的正弦、余弦、正切的三角函数1正弦:inα=;2余弦:coα= ;3正切:tanα=二、新课引入由相似三角形的知识知道，这些比值不会随点P的位置改变而改变，所以通常取r=1的位置。

设锐角α的顶点与原点O重合，始边与轴的非负半轴重合,那么α的终边在1，那么根据初正弦:inα= =b ;余弦:coα= =a ;〔3〕正切:tanα=我们称以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆角的范围已经推广，那么对任意角α是否也能像锐角一样定义三角函数呢？本节课我们研究当角α是一个任意角时，其三角函数的定义．三、探究新知 1 任意角的三角函数的定义同样我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数设α是任意一个角,α的(3)正切:tanα= ≠0正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。

角的概念推广后，实际上是把角的集合与实数集R之间建立了一一对应的关系，故三角函数可以看成是自变量为实数〔弧度数或角度数〕的函数四、知识应用例1.求的正弦、余弦和正切值变式训练1 的正弦、余弦、正切值分别为〔〕A. -1 不存在 1 B 1 -1 0C -1 0 不存在 D不存在 -1 00-3,-4,求角α的正弦、余弦和正切值归纳：三角函数的等价定义：一般地，设角α终边上任意一点异于原点P,,它到原点顶点的距离为r>0〔不一定等于1〕，那么inα=;coα=;tanα=变式训练2 角α终边上经过点P-12,5,求角α的正弦、余弦和正切值五、探究新知〔2〕三角函数值的符号(1)正弦:inα= ; inα均为正（2）余弦:coα= ;（3）正切:tanα= ≠0Tanαcoα口诀：“一全、二正、三切、四余〞六、想一想七、课堂小结通过本节课的学习体会到任意角三角函数用单位圆上点的坐标〔或其等价定义〕表示更简单、方便，明白了三角函数的本质，知道如何确定三角函数值在各象限的符号八、课后作业1教材习题A组2、6、7〔书上〕2?乐学?〔1〕。

1．2.1 任意角的三角函数教学分析学生已经学过锐角三角函数，它是用直角三角形边长的比来刻画的．锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系．任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，它与“解三角形”已经没有什么关系了．因此，与学习其他基本初等函数一样，学习任意角的三角函数，关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质，并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律，解决简单的实际问题．本节以锐角三角函数为引子，利用单位圆上点的坐标定义三角函数．由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系，使得我们在讨论三角函数的问题时，对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问题等，都可以从圆的性质(特别是对称性)中得到启发．三角函数的研究中，数形结合思想起着非常重要的作用．利用信息技术，可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系，并在角的变化过程中，将这种联系直观地体现出来，所以信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质；激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境．三维目标1．通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数，并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域，理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号．2．正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来．3．能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题．重点难点教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义．教学难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数；三角函数符号的掌握；利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示．课时安排2课时第1课时导入新课我们把角的范围推广了，锐角三角函数的定义还能适用吗？譬如三角形内角和为180°，那么sin200°的值还是三角形中200°的对边与斜边的比值吗？类比角的概念的推广，怎样修正三角函数定义？由此展开新课．另外用“单位圆定义法”单刀直入给出定义，然后再在适当时机联系锐角三角函数，这也是一种不错的选择．推进新课任意角的三角函数1．任意角的三角函数的定义．角α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y)，它与原点的距离为r(r>0)，则角α的三角函数定义为：2．各象限角的三角函数值的符号如下图所示．图1 三角函数正值口诀：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ两切，Ⅳ余弦．教师提示：前面我们对角的概念已经进行了扩充，并且学习了弧度制，知道了角的集合与实数集是一一对应的，在此基础上，我们来研究任意角的三角函数．教师在直角三角形所在的平面上建立适当的坐标系，画出角α的终边；学生给出相应点的坐标，并用坐标表示锐角三角函数．如图2.设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限．在α的终边上任取一点P(x ，y)，它与原点的距离r ＝x 2＋y 2>0.过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则线段OM 的长度为x ，线段MP 的长度为y.图2根据初中学过的三角函数定义，我们有sinα＝MP OP ＝y r ，cosα＝OM OP ＝x r ，tanα＝MP OM ＝y x. 怎样将锐角的三角函数推广到任意角的三角函数呢？教师先让学生们相互讨论，并让他们动手画出图形，看看从图形中是否能找出某种关系来．然后提问学生，由学生回答教师的问题，教师再引导学生选几个点，计算一下对应的比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质来证明．最后可以发现，由相似三角形的知识，对于确定的角α，这三个比值不会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变．也就是说，对于确定的角α，比值y r 和x r 都惟一确定，故正弦、余弦都是角α的函数．当α＝π2＋kπ(k∈Z )时，角α的终边在y 轴上，故有x ＝0，这时tanα无意义．除此之外，对于确定的角α(α≠π2＋kπ，k∈Z )，比值y x也是惟一确定的，故正切也是角α的函数．sinα、cosα、tanα分别叫做角α的正弦函数、余弦函数、正切函数．以上三种函数都称为三角函数(trigonometric function)．由定义可知，正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各象限的符号，如图3所示．图3与学生一起讨论得到以上结论后，教师可以引导学生通过分析三角函数定义中的自变量是什么，对应关系有什么特点，函数值是什么．特别注意α既表示一个角，又是一个实数(弧度数)：“它的终边与单位圆交于点P(x ，y)”包含两个对应关系．从而可以把三角函数看成是自变量为实数的函数．值得注意的是：(1)正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．(2)sinα不是sin 与α的乘积，而是一个比值；三角函数的记号是一个整体，离开自变量的“sin”“tan”等是没有意义的．研究函数我们首先要考虑它的定义域，教师要注意引导学生从定义出发，利用坐标平面内点的坐标的特征得定义域．对于正弦函数sinα＝y r，因为y 恒有意义，即α取任意实数，y 恒有意义，也就是说sinα恒有意义，所以正弦函数的定义域是R ；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数tanα＝y x ，因为x ＝0时，y x无意义，即tanα无意义，又当且仅当角α的终边落在纵轴上时，才有x ＝0，所以当α的终边不在纵轴上时，y x恒有意义，即tanα恒有意义，所以正切函数的定义域是α≠π2＋kπ(k∈Z )．(由学生填写下表)三角函数的定义告诉我们，各三角函数在各象限内的符号，取决于x ，y 的符号，当点P 在第一、二象限时，纵坐标y>0，点P 在第三、四象限时，纵坐标y<0，所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的，对于第三、四象限角是负的(可制作课件展示)；同样地，余弦函数在第一、四象限是正的，在第二、三象限是负的；正切、余切函数在第一、三象限是正的，在第二、四象限是负的．从而完成上面结论的探究．思路1例1已知角α的终边经过点P(2，－3)，求α的正弦、余弦和正切值．图4解：因为x ＝2，y ＝－3，所以r ＝22＋－32＝13. 所以sinα＝y r ＝－313＝－31313，cosα＝x r ＝213＝21313， tanα＝y x ＝－32. 点评：本例是已知角α终边上一点的坐标，求角α的三角函数值问题．可以先根据三角形相似将这一问题化归到单位圆上，再由定义得解. 变式训练求5π3的正弦、余弦和正切值． 解：在平面直角坐标系中，作∠AOB＝5π3，如图5. 图5易知∠AOB 的终边与单位圆的交点坐标为(12，－32)． 所以sin 5π3＝－32，cos 5π3＝12，tan 5π3＝－ 3. 例2见课本本节例2.变式训练1．求证：当且仅当下列不等式组成立时，角θ为第三象限角．证明：我们证明如果①②式都成立，那么θ为第三象限角．因为①sinθ<0成立，所以θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；又因为②式tanθ>0成立，所以θ角的终边可能位于第一或第三象限．因为①②式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限．于是角θ为第三象限角．反过来请同学们自己证明． 点评：本例的目的是认识不同位置的角对应的三角函数值的符号，其条件以一个不等式出现，在教学时要让学生把问题的条件、结论弄清楚，然后再给出证明．这一问题的解决可以训练学生的数学语言表达能力.2.已知cosθtanθ<0，那么角θ是( ) A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角 答案：C思路2例1已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，则10sinα＋3secα＝________. 活动：要让学生独立思考这一题目，本题虽然是个填空题，看似简单但内含分类讨论思想，教师可以找两个学生来板演这个例题．对解答思路正确的学生给以鼓励，对思路受阻的学生教师要引导其思路的正确性，并适时地点拨学生：假如是个大的计算题应该怎样组织步骤？解析：设角α终边上任一点为P(k ，－3k)(k≠0)，则x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝k 2＋－3k 2＝10|k|.(1)当k>0时，r ＝10k ，α是第四象限角， sinα＝y r ＝－3k 10k＝－31010，secα＝r x ＝10k k ＝10， ∴10sinα＋3secα＝10×(－31010)＋310＝－310＋310＝0. (2)当k<0时，r ＝－10k ，α为第二象限角，sinα＝y r ＝－3k －10k ＝31010，secα＝r x ＝－10k k＝－10， ∴10sinα＋3secα＝10×31010＋3×(－10)＝310－310＝0.综合以上两种情况均有10sinα＋3secα＝0.答案：0点评：本题的解题关键是要清楚当k>0时，P(k ，－3k)是第四象限内的点，角α的终边在第四象限；当k<0时，P(k ，－3k)是第二象限内的点，角α的终边在第二象限内，这与角α的终边在y ＝－3x 上是一致的．例2求函数y ＝sinα＋tanα的定义域．活动：教师让学生先回顾求函数的定义域需要注意哪些特点，并让学生归纳出一些常见函数有意义的要求，根据函数有意义的特征来求自变量的范围．对于三角函数这种特殊的函数在解三角不等式时要结合三角函数的定义进行．求含正切函数的组合型三角函数的定义域时，正切函数本身的定义域往往被忽略，教师提醒学生应注意这种情况．同时，函数的定义域是一个集合，所以结论要用集合形式表示．解：要使函数y ＝s inα＋tanα有意义，则sinα≥0且α≠kπ＋π2(k∈Z )． 由正弦函数的定义知道，sinα≥0就是角α的终边与单位圆的交点的纵坐标非负． ∴角α的终边在第一、二象限或在x 轴上或在y 轴非负半轴上，即2kπ≤α≤π＋2kπ(k∈Z )．∴函数的定义域是{α|2kπ≤α<π2＋2kπ，或π2＋2kπ<α≤(2k＋1)π，k∈Z }． 点评：本题的关键是弄清楚要使函数式有意义，必须sinα≥0，且tanα有意义，由此推导出α的取值范围就是函数的定义域.课本本节练习1～6.本节课我们给出了任意角三角函数的定义，并且讨论了正弦、余弦、正切函数的定义域，任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展，是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距离、坐标与坐标的比，记忆方法可用锐角三角函数类比记忆，至于三角函数的定义域可由三角函数的定义分析得到． 课本习题1.2 1,5,6.关于三角函数定义法，总的来说就两种：“单位圆定义法”与“终边定义法”．这两种方法本质上是一致的．正因为这样，各种数学出版物中，两种定义方法都有采用．在学习本节的过程中可以与初中学习的三角函数定义进行类比、学习．理解任意角三角函数的定义不但是学好本节内容的关键，也是学好本章内容的关键．在教学中，教师应该充分调动学生独立思考和总结的能力，以巩固对知识的理解和掌握．教师在教学中，始终引导学生紧扣三角函数的定义，善于利用数形结合．在利用三角函数定义进行求值时，应特别强调要注意横向联系，即不仅仅能求出该值，还要善于观察该值与其他三角函数值之间的联系，找出规律来求解．一、关于余切、正割、余割函数设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆的交点P(x ，y)，那么除角α的正弦、余弦、正切外，还可定义角α的余切、正割、余割，它们分别是 cotα＝x y ，secα＝r x ，cscα＝r y. 角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割统称为角α的三角函数．二、备用习题1．角α的终边经过点P(2a,3a)(a≠0)，则cosα的值是( )A.1313B.1312C ．±1313 D ．±213132．已知tanαcosα>0，且tanαsinα<0，则α在( ) A ．第二象限 B ．第三象限 C ．第四象限 D ．第三、四象限3．下列各三角函数值中，负值的个数是( )①sin(－660°) ②tan160° ③cos(－740°) ④sin(－420°)cos570°A ．1B ．2C ．3D ．44.tan －150°cos －210°cos420°tan －600°sin －330°＝__________. 5．确定下列各式的符号：(1)sin105°cos230°；(2)cos6tan6；(3)tan191°－cos191°.6．已知tanx>0，且sinx ＋cosx>0，则角x 是第__________象限角．参考答案：1.D 2.A 3.A 4.325．解：(1)∵105°、230°分别是第二、三象限角，∴sin105°>0，cos230°<0.∴sin105°cos230°<0.(2)∵3π2<6<2π，∴6是第四象限角． ∴cos6>0，tan6<0.∴cos6tan6<0.(3)∵tan191°>0，cos191°<0，∴tan191°－cos191°>0.6．一 解析：由tanx>0，知x 为第一或第三象限角，而当x 是第三象限角时，sinx 与cosx 都取负值，这与sinx ＋cosx>0矛盾，故知角x 是第一象限角．(设计者：房增凤)第2课时导入新课思路1.(情境导入)同学们都在一些旅游景地或者在公园中见过大观览车，大家是否想过大观览车在转动过程中，座椅离地面的高度随着转动角度的变化而变化，二者之间有怎样的相依关系呢？由此导入新课．思路2.(复习导入)我们研究了三角函数在各象限内的符号，前面还分析讨论了三角函数的定义域，这些内容的研究，都是建立在任意角的三角函数定义之上的，这些知识在以后我们继续学习“三角”内容时，是经常、反复运用的，请同学们务必在理解的基础上要加强记忆．由三角函数的定义我们知道，对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法．我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关．因此自然产生一个想法是以坐标轴的方向来规定有向线段的方向，以使它们的取值与点的坐标联系起来．推进新课活动：1.任意角的三角函数的几何表示，即三角函数线．2．有向线段，有向线段的数量及单位圆来表示三角函数．教师指导学生在平面直角坐标系内作出单位圆，设任意角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x ，y)，x 轴的正半轴与单位圆相交于A(1,0)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过A 作单位圆的切线，这条切线必平行于y 轴(垂直于同一条直线的两直线平行)，设它与角α的终边或其反向延长线交于点T.教师点拨学生观察线段的方向与点P 的坐标．显然，线段OM 的长度为|x|，线段MP 的长度为|y|，它们都只能取非负值．当角α的终边不在坐标轴上时，我们可以把OM 、MP 都看作带有方向的线段：如果x>0，OM 与x 轴同向，规定此时OM 具有正值x ；如果x<0，OM 与x 轴正向相反(即反向)，规定此时OM 具有负值x ，所以不论哪一种情况，都有OM ＝x.如果y>0，把MP 看作与y 轴同向，规定此时MP 具有正值y ；如果y<0，把MP 看作与y 轴反向，规定此时MP 具有负值y ，所以不论哪一种情况，都有MP ＝y.引导学生观察OM 、MP 都是带有方向的线段，这种被看作带有方向的线段叫做有向线段．于是，根据正弦、余弦函数的定义，就有sinα＝y r ＝y 1＝y ＝MP ，cosα＝x r ＝x 1＝x ＝OM. 这两条与单位圆有关的有向线段MP 、OM 分别叫做角α的正弦线、余弦线．类似地，我们把OA 、AT 也看作有向线段，那么根据正切函数的定义和相似三角形的知识，就有tanα＝y x ＝AT OA＝AT. 这条与单位圆有关的有向线段AT ，叫做角α的正切线(如图6、7)．当角α终边在y 轴的右侧时(图6)，在角α终边上取点T(1，y′)，则tanα＝y′1＝y′＝AT(A 为单位圆与x 轴正半轴的交点)；当角α终边在y 轴的左侧时(图7)，在角α终边的反向延长线上取点T(1，y′)，由于它关于原点的对称点Q(－1，－y′)在角α终边上，故有tanα＝－y′－1＝y′＝AT.图6 图7即总有tanα＝AT.因此，我们把有向线段AT叫做角α的正切线．有向线段MP、OM、AT都称为三角函数线．当角α的终边在不同象限时，其三角函数线如图8所示．图8师生共同讨论探究，最后一致得出以下几点：(1)当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．(2)当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点．(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆．(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x轴的公共点为起点．(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致，三种有向线段的数量与三种三角函数值相同．正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线．例1如图9，α、β的终边分别与单位圆交于点P、Q，过A(1,0)作切线AT，交射线OP 于点T，交射线OQ的反向延长线于点T′，点P、Q在x轴上的射影分别为点M、N，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________，sinβ＝________，cosβ＝________，tanβ＝________.图9活动：根据三角函数线的定义，可知sinα＝MP，cosα＝OM，tanα＝AT，sinβ＝NQ，cosβ＝ON，tanβ＝AT′.答案：MP OM AT NQ ON AT′点评：掌握三角函数线的作法，注意用有向线段表示三角函数线时，字母的书写顺序不能随意颠倒.例2证明恒等式11＋sin 2α＋11＋cos 2α＋11＋sec 2α＋11＋csc 2α＝2. 活动：引导学生总结证明恒等式的方法与步骤，特别地，在证明三角恒等式时，一般地是从较繁的一边推向较简的一边．从方向上来推证三角恒等式主要有三种推证方法，即从左边推向右边；从右边推向左边；左、右两边同推向第三个式子． 证法一：设M(x ，y)为角α终边上异于原点的一点，|OM|＝r ，由三角函数定义，有sinα＝y r ，cosα＝x r ，secα＝r x ，cscα＝r y. 原式左边＝11＋y 2r 2＋11＋x 2r 2＋11＋r 2x 2＋11＋r 2y 2 ＝r 2r 2＋y 2＋r 2r 2＋x 2＋x 2r 2＋x 2＋y 2r 2＋y2 ＝r 2＋y 2r 2＋y 2＋r 2＋x 2r 2＋x2 ＝2＝右边．∴原等式成立．证法二：左边＝11＋sin 2α＋11＋cos 2α＋11＋1cos 2α＋11＋1sin 2α ＝11＋sin 2α＋11＋cos 2α＋cos 2α1＋cos 2α＋sin 2α1＋sin 2α＝1＋sin 2α1＋sin 2α＋1＋cos 2α1＋cos 2α ＝2＝右边．∴左边＝右边．∴原等式成立．点评：根据本题的特点，被证式的左边比较复杂，故可由左边证向右边.证明：设M(x ，y)为α终边上异于原点的一点，|OM|＝r ，由三角函数定义，有sinα＝y r，cosα＝x r ，tanα＝y x ，secα＝r x. 左边＝1＋r x ＋y x 1＋r x －y x＝x ＋r ＋y x ＋r －y ＝x ＋r ＋y x ＋r ＋y x ＋r －y x ＋r ＋y＝x ＋r ＋y 2x ＋r 2－y 2＝2r 2＋2xy ＋2xr ＋2ry 2x 2＋2xr＝r ＋y r ＋x x r ＋x ＝r ＋y x ， 右边＝1＋y r x r＝r ＋y x，∴左边＝右边，故原等式成立. 课本本节练习7、8.本节课我们学习了有向线段的定义，正弦线、余弦线、正切线的定义，这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段，其之所以特殊，一是其与坐标轴平行(或重合)，二是其与单位圆有关，这些线段分别都可以表示相应三角函数的值，所以说它们是三角函数的一种几何表示．三角函数线是利用数形结合的思想解决有关问题的重要工具，利用三角函数线可以解或证明三角不等式，求函数的定义域以及比较大小，三角函数线也是后面将要学习的三角函数的图象的作图工具．利用单位圆和三角函数线证明：若α为锐角，则(1)sinα＋cosα>1；(2)sin 2α＋cos 2α＝1.证明：如图10，记角α与单位圆的交点为P ，过P 作PM⊥x 轴于M ，则sinα＝MP ，cosα＝OM.图10(1)在Rt△OMP 中，MP ＋OM>OP ，即sinα＋cosα>1.(2)在Rt△OMP 中，MP 2＋OM 2＝OP 2，即sin 2α＋cos 2α＝1.对于三角函数线，开始时学生可能不是很理解，教师应该充分发挥好图象的直观作用，让学生通过图形来感知、了解三角函数线的定义．在学生理解了正弦线、余弦线、正切线的定义后，教师应引导学生会利用三角函数线来发现、总结、归纳正弦函数、余弦函数、正切函数的性质，以便为了以后更好地学习三角函数的图象和性质打下良好的基础．教师要让学生对三角函数线了解即可，要让学生利用任意角的三角函数线来感知对应的三角函数图象的变化趋势，不要再向深处挖掘，因为三角函数线能解决的问题都可以用三角函数的图象来解决．教师在教学中要搞好师生互动，让学生自己动脑、动手，多启发学生善于发现问题、提出问题、解决问题的能力，让学生学会独立思考和归纳总结知识的能力．一、一个三角不等式的证明已知θ∈(0，π2)，求证：sinθ<θ<tanθ. 证明：如图11，设锐角θ的终边交单位圆于点P ，过单位圆与x 轴正半轴的交点A 作圆的切线交OP 于点T ，过点P 作PM⊥x 轴于点M ，则MP ＝sinθ，AT ＝tanθ，的长为θ，连结PA.图11∵S △OPA <S 扇形OPA <S △OAT ，∴12|OA||MP|<12|OA|2·θ<12|OA||AT|. ∴|MP|<θ<|AT|，则MP<θ<AT，即sinθ<θ<tanθ.二、备用习题1．若π4<θ<π2，则sinθ，cosθ，tanθ的大小关系是( ) A ．tanθ<cosθ<sinθ B．sinθ<tanθ<cosθ C ．cosθ<tanθ<sinθ D．cosθ<sinθ<tanθ2．若0<α<2π，则使sinα<32和cosα>12同时成立的α的取值范围是( ) A ．(－π3，π3) B ．(0，π3) C ．(5π3，2π) D．(0，π3)∪(5π3，2π) 3．在(0,2π)内，使sinx>cosx 成立的x 的取值范围是__________．4．设0<β<α<π2，求证：α－β>sinα－sinβ. 5．当α∈[0,2π)时，试比较sinα与cosα的大小．参考答案：1.D 2.D 3.(π4，5π4) 4．证明：如图12，设单位圆与角α、β的终边分别交于P 1、P 2，作P 1M 1⊥x 轴于M 1，作P 2M 2⊥x 轴于M 2，作P 2C⊥P 1M 于C ，连结P 1P 2，图12则sinα＝M 1P 1，sinβ＝M 2P 2，α－β＝， ∴α－β＝>P 1P 2>CP 1＝M 1P 1－M 1C ＝M 1P 1－M 2P 2＝sinα－sinβ，即α－β>sinα－sinβ.5．解：如图13.(1)当0≤α<π4时，设角α的终边与单位圆交于点P 1(x 1，y 1)，此时x 1>y 1，而sinα＝y 1，图13cosα＝x 1，∴cosα>sinα.(2)当α＝π4时，x 1＝y 1，此时sinα＝cosα. (3)当π4<α≤π2时，设角α的终边与单位圆交于点P 2(x 2，y 2)，此时y 2>x 2，而sinα＝y 2，cosα＝x 2，∴sinα>cosα.(4)当π2<α≤π时，s inα≥0，cosα<0，∴sinα>cosα. (5)当π<α<5π4时，设角α的终边与单位圆交于点P 3(x 3，y 3)，此时x 3<y 3<0，而sinα＝y 3，cosα＝x 3，∴sinα>cosα.(6)当α＝5π4时，有sinα＝cosα. (7)当5π4<α≤3π2时，设角α的终边与单位圆交于点P 4(x 4，y 4)，此时y 4<x 4<0，而sinα＝y 4，cosα＝x 4，∴sinα<cosα.(8)当3π2<α<2π时，cosα≥0，sinα<0， ∴cosα>sinα.综上所述，当α∈(π4，5π4)时，sinα>cosα；当α＝π4或5π4时，sinα＝cosα；当π4)∪(5π4，2π)时，sinα<cosα.α∈[0，。

4-1.2.1 任意角的三角函数（一）【课题】：任意角的三角函数定义【学情分析】：（适用于平行班）教学对象是高一的学生，学生在初中已经学习了锐角三角函数的有关知识。

本节课，学生是在此基础上结合刚学习的任意角及弧度制知识，进一步学习任意角的三角函数知识。

我们通过对三角函数定义的剖析，使学生理解从锐角三角函数到任意角三角函数中定义的变化，认识锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解，从而掌握任意角的三角函数定义，这在平行班教学中是可行的。

【教学目标】：（1）理解并掌握任意角三角函数的定义；（2）理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号；（3）理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.【教学重点】：理解并掌握任意角三角函数的定义；理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号；理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.【教学难点】：理解并掌握任意角三角函数的定义.【教学突破点】：借助平面直角坐标系，通过对三角函数定义的剖析，使学生理解从锐角三角函数到任意角三角函数中定义的变化，认识锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解，达到突破难点之目的.【教法、学法设计】：采用观察法、对比法和定义法。

通过图示，使学生观察三角函数定义的变化：从锐角三角函数到任意角三角函数，由边的比变为坐标与距离、坐标与坐标的比，在理解掌握定义的基础上，通过对比，认识锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解。

通过对定义的剖析，使学生对各种三角函数在各象限内的符号，以及终边相同的角的同一三角函数值相等有比较深刻的认识.【课前准备】：课件【教学过程设计】：二、探究新知对于锐角三角函数，我们是在直角三角形中定义的，今天，对于任意角的三角函数，我们利用平面直角坐标系来进行研究.1. 任意角的三角函数定义设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）则P与原点的距离02222>+=+=yxyxr.比值ry叫做α的正弦，记作：ry=αsin.比值rx叫做α的余弦，记作：rx=αcos.比值xy叫做α的正切，记作：xy=αtan.学生活动：学生阅读教材,自学有关概念.教师引导:对比锐角三角函数的定义, 任意角三角函数的定义有何变化?学生活动:独立思考后,分小组讨论.教师进一步引导学生：从锐角三角函数到任意角三角函数，由边的比变为什么与什么的比？教师引导学生回答并归纳出:从锐角三角函数到任意角三角函数，由边的比变为坐标与距离、坐标与坐标的比.教师引导: 锐角三角函数与任意角三角函数之间有何联系?谁是谁的特殊情形？学生讨论归纳: 锐角三角函数是任意角三角函数的特殊情形.教师引导: 上述四个比值会不会随点P在α的终边上的位置的改变而改变呢？（教师画图示意，引导学生思考）学生活动：分小组讨论，并举手回答.教师归纳：根据相似三角形的知识，对于终边不在坐标轴上确定的角α，上述四个比值都不会随P点在α的终边上的位置的改变而改变.即对于确定的角α，上面的四个比值都是唯一确定的实数，这就是说，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.以上三种函数，统称为三角函数.注意：sinα是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积.其余两个符号也是这样.例1已知角α的终边经过点P(2，－3)(如右图)，求α的正弦、余弦、正切值.解：∵x＝2，ｙ＝－3∴13)3(222=-+=r引导学生阅读教材，培养自学能力引导学生思考,教师归纳，明晰概念学生口答，教师板书，巩固新学习的概念ry)(x,αP_x_y_P1_P22．终边相同的角的同一三角函数值相等引例 分别求出30°和390°的正弦、余弦、正切值.解: sin30°=sin390°=21cos30°=cos390°=23tan30°=tan390°=33学生活动：跃跃欲试,画图计算. 教师引导：(1)引导建立平面直角坐标系.（以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x 轴的非负半轴重合） (2)根据定义找出一点P ． 学生活动：回答结果．教师引导：为什么30°和390°的三角函数值相等?学生活动:热烈讨论结果.教师引导: 三角函数定义中,OP 是角α的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角α是任意的．学生归纳：390°和30°终边相同．教师引导：那么什么情况下，两个角的同一个三角函数值相等？ 学生猜想：终边相同的角的同一三角函数值相等． 教师总结：即有：sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=，其中k Z ∈． tan(2)tan k απα+=，这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．例2 求下列三角函数的值(1) sin(-1320°) (2)49cosπ （3）)611tan(π-. 教师分析：关键找到角的终边位置，将问题化归为0°~360°内的角的三角函数问题，然后求出终边上一点P 的坐标.学生活动：画图计算(教师引导学生画出角的终边位置，利用定义代入).解:(1) sin(-1320°)＝sin(-4×360°+120°)＝sin120°＝230x yα2400-5100P(3,1) _2_ 1_ 30 ° _x_y(2) 224cos )24cos(49cos==+=ππππ (3).336tan )26tan()611tan(==-=-ππππ 3．正弦、余弦、正切函数的定义域你能根据任意角三角函数的定义，说说正弦、余弦、正切函数的定义域分别是什么吗？学生活动：独立思考后，在小组内讨论.教师引导学生紧扣定义，观察并归纳：对于正弦函数ry=αsin ，因为ｒ＞0，所以r y 恒有意义，即α取任意实数，ry恒有意义，也就是说sin α恒有意义，所以正弦函数的定义域是R ；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数x y =αtan ，因为x ＝0时，xy无意义，即tan α无意义，又当且仅当角α的终边落在纵轴上时，才有x ＝0，所以当α的终边不在纵轴上时，xy恒有意义，即tan α恒有意义，所以正切函数的定义域是)(2Z ∈+≠k k ππα.从而有αααtan cos sin ===y y y )(2Z k k RR∈+≠ππα 例3 求下列各角的正弦、余弦、正切值. (1)0 (2)π (3)23π (4) 2π 教师分析：紧扣定义.学生活动：画图计算，分小组提交结果. 解：(1) ∵当α＝0时，x ＝ｒ，ｙ＝0∴sin0=0 cos0=1 tan0=0 (2) ∵当α＝π时，x ＝－ｒ，ｙ＝0∴sin π＝0 cos π＝－1tan π＝0(3) ∵当23πα=时，x ＝0，ｙ＝－ｒ ∴023cos 123sin =-=ππ 23tan π不存在 (4) ∵当α=2π时 r y x ==,0∴sin 2π=1 cos 2π=0 tan 2π不存在4. 三角函数在各象限内的符号规律 我们知道，锐角三角函数值都是正的，那么任意角的三角函数值是否也都是正的呢？学生活动：观察，热烈讨论.提问学生回答：第一象限：0,0.>>y x ，则sin α>0,cos α>0,tan α>0 第二象限：0,0.><y x ，则sin α>0,cos α<0,tan α<0第三象限：0,0.<<y x ，则sin α<0,cos α<0,tan α>0第四象限：0,0.<>y x ，则sin α<0,cos α>0,tan α<0 教师归纳： 记忆法则：第一象限全为正,二正三切四余弦 αsin 为正 全正 αtan 为正 αcos 为正 例4 确定下列三角函数值的符号 (1)cos250° （2）)4sin(π- （3）tan （－672°） (4))311tan(π学生活动：独立思考，画图计算. 教师引导：帮助学生突破难点——角的转化. 解：(1)∵250°是第三象限角 ∴cos250°＜0 (2)∵4π-是第四象限角，∴0)4sin(<-π (3)tan （－672°）＝tan （48°－2×360°）＝tan48° 而48°是第一象限角，∴tan （－672°）＞0 (4) 35tan )235tan(311tan ππππ=+= 而35π是第四象限角，∴0311tan <π. 教师小结：化归思想，将问题转化为0°~360°内的角的三角函数问题. cot α<0tan α<0cos α>0sin α<0cot α>0tan α>0cos α<0sin α<0cot α<0tan α<0cos α<0sin α>0sin α>0tan α>0cot α>0cos α>0。

1．2.1 任意角的三角函数整体设计教学分析学生已经学过锐角三角函数，它是用直角三角形边长的比来刻画的．锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系．任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，它与“解三角形”已经没有什么关系了．因此，与学习其他基本初等函数一样，学习任意角的三角函数，关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质，并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律，解决简单的实际问题．本节以锐角三角函数为引子，利用单位圆上点的坐标定义三角函数．由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系，使得我们在讨论三角函数的问题时，对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问题等，都可以从圆的性质(特别是对称性)中得到启发．三角函数的研究中，数形结合思想起着非常重要的作用．利用信息技术，可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系，并在角的变化过程中，将这种联系直观地体现出来，所以信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质；激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境．三维目标1．通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数，并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域，理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号．2．正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来．3．能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题．重点难点教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义．教学难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数；三角函数符号的掌握；利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课我们把角的范围推广了，锐角三角函数的定义还能适用吗？譬如三角形内角和为180°，那么sin200°的值还是三角形中200°的对边与斜边的比值吗？类比角的概念的推广，怎样修正三角函数定义？由此展开新课．另外用“单位圆定义法”单刀直入给出定义，然后再在适当时机联系锐角三角函数，这也是一种不错的选择．推进新课新知探究任意角的三角函数1．任意角的三角函数的定义．角α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r(r>0)，则角α的三角函数定义为：2．各象限角的三角函数值的符号如下图所示．图1三角函数正值口诀：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ两切，Ⅳ余弦．教师提示：前面我们对角的概念已经进行了扩充，并且学习了弧度制，知道了角的集合与实数集是一一对应的，在此基础上，我们来研究任意角的三角函数．教师在直角三角形所在的平面上建立适当的坐标系，画出角α的终边；学生给出相应点的坐标，并用坐标表示锐角三角函数．如图2.设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限．在α的终边上任取一点P(x ，y)，它与原点的距离r ＝x 2＋y 2>0.过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则线段OM 的长度为x ，线段MP 的长度为y.图2根据初中学过的三角函数定义，我们有sin α＝MP OP ＝y r ，cos α＝OM OP ＝x r ，tan α＝MP OM ＝y x. 怎样将锐角的三角函数推广到任意角的三角函数呢？教师先让学生们相互讨论，并让他们动手画出图形，看看从图形中是否能找出某种关系来．然后提问学生，由学生回答教师的问题，教师再引导学生选几个点，计算一下对应的比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质来证明．最后可以发现，由相似三角形的知识，对于确定的角α，这三个比值不会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变．也就是说，对于确定的角α，比值y r 和x r 都惟一确定，故正弦、余弦都是角α的函数．当α＝π2＋k π(k∈Z )时，角α的终边在y 轴上，故有x ＝0，这时tan α无意义．除此之外，对于确定的角α(α≠π2＋k π，k∈Z )，比值y x也是惟一确定的，故正切也是角α的函数．sin α、cos α、tan α分别叫做角α的正弦函数、余弦函数、正切函数．以上三种函数都称为三角函数(trigonometric function)．由定义可知，正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各象限的符号，如图3所示．图3与学生一起讨论得到以上结论后，教师可以引导学生通过分析三角函数定义中的自变量是什么，对应关系有什么特点，函数值是什么．特别注意α既表示一个角，又是一个实数(弧度数)：“它的终边与单位圆交于点P(x ，y)”包含两个对应关系．从而可以把三角函数看成是自变量为实数的函数．值得注意的是：(1)正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．(2)sin α不是sin 与α的乘积，而是一个比值；三角函数的记号是一个整体，离开自变量的“sin”“tan”等是没有意义的．研究函数我们首先要考虑它的定义域，教师要注意引导学生从定义出发，利用坐标平面内点的坐标的特征得定义域．对于正弦函数sin α＝y r，因为y 恒有意义，即α取任意实数，y 恒有意义，也就是说sin α恒有意义，所以正弦函数的定义域是R ；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数tan α＝y x ，因为x ＝0时，y x无意义，即tan α无意义，又当且仅当角α的终边落在纵轴上时，才有x ＝0，所以当α的终边不在纵轴上时，y x恒有意义，即tan α恒有意义，所以正切函数的定义域是α≠π2＋k π(k∈Z )．(由学生填写下表)三角函数的定义告诉我们，各三角函数在各象限内的符号，取决于x ，y 的符号，当点P 在第一、二象限时，纵坐标y>0，点P 在第三、四象限时，纵坐标y<0，所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的，对于第三、四象限角是负的(可制作课件展示)；同样地，余弦函数在第一、四象限是正的，在第二、三象限是负的；正切、余切函数在第一、三象限是正的，在第二、四象限是负的．从而完成上面结论的探究． 应用示例思路1例1已知角α的终边经过点P(2，－3)，求α的正弦、余弦和正切值．图4解：因为x ＝2，y ＝－3，所以r ＝22＋－2＝13.所以sin α＝y r ＝－313＝－31313，cos α＝x r ＝213＝21313， tan α＝y x ＝－32. 点评：本例是已知角α终边上一点的坐标，求角α的三角函数值问题．可以先根据三角形相似将这一问题化归到单位圆上，再由定义得解.图5的终边与单位圆的交点坐标为(12，－32)．例2见课本本节例2.思路2例1已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，则10sin α＋3sec α＝________.活动：要让学生独立思考这一题目，本题虽然是个填空题，看似简单但内含分类讨论思想，教师可以找两个学生来板演这个例题．对解答思路正确的学生给以鼓励，对思路受阻的学生教师要引导其思路的正确性，并适时地点拨学生：假如是个大的计算题应该怎样组织步骤？解析：设角α终边上任一点为P(k ，－3k)(k≠0)，则x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝k 2＋－2＝10|k|.(1)当k>0时，r ＝10k ，α是第四象限角，sin α＝y r ＝－3k 10k＝－31010，sec α＝r x ＝10k k ＝10， ∴10sin α＋3sec α＝10×(－31010)＋310＝－310＋310＝0. (2)当k<0时，r ＝－10k ，α为第二象限角，sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，sec α＝r x ＝－10k k＝－10， ∴10sin α＋3sec α＝10×31010＋3×(－10)＝310－310＝0. 综合以上两种情况均有10sin α＋3sec α＝0.答案：0点评：本题的解题关键是要清楚当k>0时，P(k ，－3k)是第四象限内的点，角α的终边在第四象限；当k<0时，P(k ，－3k)是第二象限内的点，角α的终边在第二象限内，这与角α的终边在y ＝－3x 上是一致的．例2求函数y ＝sin α＋tan α的定义域．活动：教师让学生先回顾求函数的定义域需要注意哪些特点，并让学生归纳出一些常见函数有意义的要求，根据函数有意义的特征来求自变量的范围．对于三角函数这种特殊的函数在解三角不等式时要结合三角函数的定义进行．求含正切函数的组合型三角函数的定义域时，正切函数本身的定义域往往被忽略，教师提醒学生应注意这种情况．同时，函数的定义域是一个集合，所以结论要用集合形式表示．解：要使函数y ＝sin α＋tan α有意义，则sin α≥0且α≠k π＋π2(k∈Z )． 由正弦函数的定义知道，sin α≥0就是角α的终边与单位圆的交点的纵坐标非负． ∴角α的终边在第一、二象限或在x 轴上或在y 轴非负半轴上，即2k π≤α≤π＋2k π(k∈Z )．∴函数的定义域是{α|2k π≤α<π2＋2k π，或π2＋2k π<α≤(2k＋1)π，k∈Z }． 点评：本题的关键是弄清楚要使函数式有意义，必须sin α≥0，且tan α有意义，由此推导出α的取值范围就是函数的定义域.知能训练课本本节练习1～6.课堂小结本节课我们给出了任意角三角函数的定义，并且讨论了正弦、余弦、正切函数的定义域，任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展，是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距离、坐标与坐标的比，记忆方法可用锐角三角函数类比记忆，至于三角函数的定义域可由三角函数的定义分析得到．作业课本习题1.2 1,5,6.设计感想关于三角函数定义法，总的来说就两种：“单位圆定义法”与“终边定义法”．这两种方法本质上是一致的．正因为这样，各种数学出版物中，两种定义方法都有采用．在学习本节的过程中可以与初中学习的三角函数定义进行类比、学习．理解任意角三角函数的定义不但是学好本节内容的关键，也是学好本章内容的关键．在教学中，教师应该充分调动学生独立思考和总结的能力，以巩固对知识的理解和掌握．教师在教学中，始终引导学生紧扣三角函数的定义，善于利用数形结合．在利用三角函数定义进行求值时，应特别强调要注意横向联系，即不仅仅能求出该值，还要善于观察该值与其他三角函数值之间的联系，找出规律来求解．备课资料一、关于余切、正割、余割函数设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆的交点P(x ，y)，那么除角α的正弦、余弦、正切外，还可定义角α的余切、正割、余割，它们分别是cot α＝x y ，sec α＝r x ，csc α＝r y. 角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割统称为角α的三角函数．二、备用习题1．角α的终边经过点P(2a,3a)(a≠0)，则cos α的值是( ) A.1313 B.1312C ．±1313D ．±213132．已知tan αcos α>0，且tan αsin α<0，则α在( ) A ．第二象限 B ．第三象限C ．第四象限D ．第三、四象限3．下列各三角函数值中，负值的个数是( )①sin(－660°) ②tan160° ③cos(－740°) ④sin(－420°)cos570°A ．1B ．2C ．3D ．4 4.－－－－＝__________.5．确定下列各式的符号：(1)sin105°cos230°；(2)cos6tan6；(3)tan 191°－cos191°.6．已知tanx>0，且sinx ＋cosx>0，则角x 是第__________象限角．参考答案：1.D 2.A 3.A 4.325．解：(1)∵105°、230°分别是第二、三象限角， ∴sin105°>0，cos230°<0.∴sin105°cos230°<0.(2)∵3π2<6<2π，∴6是第四象限角． ∴cos6>0，tan6<0.∴cos6tan6<0.(3)∵tan191°>0，cos191°<0，∴tan191°－cos191°>0.6．一 解析：由tanx>0，知x 为第一或第三象限角，而当x 是第三象限角时，sinx与cosx都取负值，这与sinx＋cosx>0矛盾，故知角x是第一象限角．(设计者：房增凤)第2课时导入新课思路1.(情境导入)同学们都在一些旅游景地或者在公园中见过大观览车，大家是否想过大观览车在转动过程中，座椅离地面的高度随着转动角度的变化而变化，二者之间有怎样的相依关系呢？由此导入新课．思路2.(复习导入)我们研究了三角函数在各象限内的符号，前面还分析讨论了三角函数的定义域，这些内容的研究，都是建立在任意角的三角函数定义之上的，这些知识在以后我们继续学习“三角”内容时，是经常、反复运用的，请同学们务必在理解的基础上要加强记忆．由三角函数的定义我们知道，对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法．我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关．因此自然产生一个想法是以坐标轴的方向来规定有向线段的方向，以使它们的取值与点的坐标联系起来．推进新课新知探究活动：1.任意角的三角函数的几何表示，即三角函数线．2．有向线段，有向线段的数量及单位圆来表示三角函数．教师指导学生在平面直角坐标系内作出单位圆，设任意角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，y)，x轴的正半轴与单位圆相交于A(1,0)，过P作x轴的垂线，垂足为M；过A作单位圆的切线，这条切线必平行于y轴(垂直于同一条直线的两直线平行)，设它与角α的终边或其反向延长线交于点T.教师点拨学生观察线段的方向与点P的坐标．显然，线段OM的长度为|x|，线段MP的长度为|y|，它们都只能取非负值．当角α的终边不在坐标轴上时，我们可以把OM、MP都看作带有方向的线段：如果x>0，OM与x轴同向，规定此时OM具有正值x；如果x<0，OM与x轴正向相反(即反向)，规定此时OM具有负值x，所以不论哪一种情况，都有OM＝x.如果y>0，把MP看作与y轴同向，规定此时MP具有正值y；如果y<0，把MP看作与y 轴反向，规定此时MP具有负值y，所以不论哪一种情况，都有MP＝y.引导学生观察OM、MP都是带有方向的线段，这种被看作带有方向的线段叫做有向线段．于是，根据正弦、余弦函数的定义，就有sin α＝y r ＝y 1＝y ＝MP ，cos α＝x r ＝x1＝x ＝OM.这两条与单位圆有关的有向线段MP 、OM 分别叫做角α的正弦线、余弦线．类似地，我们把OA 、AT 也看作有向线段，那么根据正切函数的定义和相似三角形的知识，就有tan α＝y x ＝ATOA＝AT.这条与单位圆有关的有向线段AT ，叫做角α的正切线(如图6、7)．当角α终边在y 轴的右侧时(图6)，在角α终边上取点T(1，y′)，则tan α＝y′1＝y′＝AT(A 为单位圆与x 轴正半轴的交点)；当角α终边在y 轴的左侧时(图7)，在角α终边的反向延长线上取点T(1，y′)，由于它关于原点的对称点Q(－1，－y′)在角α终边上，故有tan α＝－y′－1＝y′＝AT.图6 图7即总有tan α＝AT.因此，我们把有向线段AT 叫做角α的正切线． 有向线段MP 、OM 、AT 都称为三角函数线．当角α的终边在不同象限时，其三角函数线如图8所示．图8师生共同讨论探究，最后一致得出以下几点：(1)当角α的终边在y 轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在． (2)当角α的终边在x 轴上时，正弦线、正切线都变成点．(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆．(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x轴的公共点为起点．(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致，三种有向线段的数量与三种三角函数值相同．正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线．应用示例例1如图9，α、β的终边分别与单位圆交于点P、Q，过A(1,0)作切线AT，交射线OP 于点T，交射线OQ的反向延长线于点T′，点P、Q在x轴上的射影分别为点M、N，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________，sinβ＝________，cosβ＝________，tanβ＝________.图9活动：根据三角函数线的定义，可知sinα＝MP，cosα＝OM，tanα＝AT，sinβ＝NQ，cosβ＝ON，tanβ＝AT′.答案：MP OM AT NQ ON AT′点评：掌握三角函数线的作法，注意用有向线段表示三角函数线时，字母的书写顺序不能随意颠倒.例2证明恒等式11＋sin 2α＋11＋cos 2α＋11＋sec 2α＋11＋csc 2α＝2. 活动：引导学生总结证明恒等式的方法与步骤，特别地，在证明三角恒等式时，一般地是从较繁的一边推向较简的一边．从方向上来推证三角恒等式主要有三种推证方法，即从左边推向右边；从右边推向左边；左、右两边同推向第三个式子．证法一：设M(x ，y)为角α终边上异于原点的一点，|OM|＝r ，由三角函数定义，有 sin α＝y r ，cos α＝x r ，sec α＝r x ，csc α＝ry .原式左边＝11＋y 2r 2＋11＋x 2r 2＋11＋r 2x 2＋11＋r 2y 2＝r 2r 2＋y 2＋r 2r 2＋x 2＋x 2r 2＋x 2＋y2r 2＋y 2 ＝r 2＋y 2r 2＋y 2＋r 2＋x 2r 2＋x 2 ＝2＝右边． ∴原等式成立．证法二：左边＝11＋sin 2α＋11＋cos 2α＋11＋1cos 2α＋11＋1sin 2α＝11＋sin 2α＋11＋cos 2α＋cos 2α1＋cos 2α＋sin 2α1＋sin 2α ＝1＋sin 2α1＋sin 2α＋1＋cos 2α1＋cos 2α ＝2 ＝右边． ∴左边＝右边． ∴原等式成立．点评：根据本题的特点，被证式的左边比较复杂，故可由左边证向右边.左边＝＋r x ＋y x 1＋r x －y x＝x ＋r ＋yx ＋r －y ＝＋r ＋＋r ＋＋r －＋r ＋＝＋r ＋2＋2－y 2＝2r 2＋2xy ＋2xr ＋2ry2x 2＋2xr ＝＋＋＋＝r ＋yx，知能训练课本本节练习7、8.课堂小结本节课我们学习了有向线段的定义，正弦线、余弦线、正切线的定义，这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段，其之所以特殊，一是其与坐标轴平行(或重合)，二是其与单位圆有关，这些线段分别都可以表示相应三角函数的值，所以说它们是三角函数的一种几何表示．三角函数线是利用数形结合的思想解决有关问题的重要工具，利用三角函数线可以解或证明三角不等式，求函数的定义域以及比较大小，三角函数线也是后面将要学习的三角函数的图象的作图工具．作业利用单位圆和三角函数线证明：若α为锐角，则(1)sin α＋cos α>1；(2)sin 2α＋cos 2α＝1.证明：如图10，记角α与单位圆的交点为P ，过P 作PM⊥x 轴于M ，则sin α＝MP ，cos α＝OM.图10(1)在Rt△OMP 中，MP ＋OM>OP ， 即sin α＋cos α>1.(2)在Rt△OMP 中，MP 2＋OM 2＝OP 2， 即sin 2α＋cos 2α＝1.设计感想对于三角函数线，开始时学生可能不是很理解，教师应该充分发挥好图象的直观作用，让学生通过图形来感知、了解三角函数线的定义．在学生理解了正弦线、余弦线、正切线的定义后，教师应引导学生会利用三角函数线来发现、总结、归纳正弦函数、余弦函数、正切函数的性质，以便为了以后更好地学习三角函数的图象和性质打下良好的基础．教师要让学生对三角函数线了解即可，要让学生利用任意角的三角函数线来感知对应的三角函数图象的变化趋势，不要再向深处挖掘，因为三角函数线能解决的问题都可以用三角函数的图象来解决．教师在教学中要搞好师生互动，让学生自己动脑、动手，多启发学生善于发现问题、提出问题、解决问题的能力，让学生学会独立思考和归纳总结知识的能力．备课资料一、一个三角不等式的证明已知θ∈(0，π2)，求证：sin θ<θ<tan θ.证明：如图11，设锐角θ的终边交单位圆于点P ，过单位圆与x 轴正半轴的交点A 作圆的切线交OP 于点T ，过点P 作PM⊥x 轴于点M ，则MP ＝sin θ，AT ＝tan θ，的长为θ，连结PA.图11∵S △OPA <S 扇形OPA <S △OAT ，∴12|OA||MP|<12|OA|2·θ<12|OA||AT|. ∴|MP|<θ<|AT|，则MP<θ<AT ，即sin θ<θ<tan θ. 二、备用习题1．若π4<θ<π2，则sin θ，cos θ，tan θ的大小关系是( )A ．tan θ<cos θ<sin θB ．sin θ<tan θ<cos θC ．cos θ<tan θ<sin θD ．cos θ<sin θ<tan θ 2．若0<α<2π，则使sin α<32和cos α>12同时成立的α的取值范围是( ) A ．(－π3，π3) B ．(0，π3)C ．(5π3，2π)D ．(0，π3)∪(5π3，2π)3．在(0,2π)内，使sinx>cosx 成立的x 的取值范围是__________． 4．设0<β<α<π2，求证：α－β>sin α－sin β.5．当α∈[0,2π)时，试比较sin α与cos α的大小． 参考答案：1.D 2.D 3.(π4，5π4)4．证明：如图12，设单位圆与角α、β的终边分别交于P 1、P 2，作P 1M 1⊥x 轴于M 1，作P 2M 2⊥x 轴于M 2，作P 2C⊥P 1M 于C ，连结P 1P 2，图12则sin α＝M 1P 1，sin β＝M 2P 2，α－β＝，∴α－β＝>P 1P 2>CP 1＝M 1P 1－M 1C ＝M 1P 1－M 2P 2＝sin α－sin β，即α－β>sin α－sin β.5．解：如图13.(1)当0≤α<π4时，设角α的终边与单位圆交于点P 1(x 1，y 1)，此时x 1>y 1，而sin α＝y 1，图13cos α＝x 1，∴cos α>sin α.(2)当α＝π4时，x 1＝y 1，此时sin α＝cos α.(3)当π4<α≤π2时，设角α的终边与单位圆交于点P 2(x 2，y 2)，此时y 2>x 2，而sin α＝y 2，cos α＝x 2，∴sin α>cos α.(4)当π2<α≤π时，sin α≥0，cos α<0，∴sin α>cos α.(5)当π<α<5π4时，设角α的终边与单位圆交于点P 3(x 3，y 3)，此时x 3<y 3<0，而sin α＝y 3，cos α＝x 3，∴sin α>cos α.(6)当α＝5π4时，有sin α＝cos α.(7)当5π4<α≤3π2时，设角α的终边与单位圆交于点P 4(x 4，y 4)，此时y 4<x 4<0，而sin α＝y 4，cos α＝x 4，∴sin α<cos α.(8)当3π2<α<2π时，cos α≥0，sin α<0，∴cos α>sin α.综上所述，当α∈(π4，5π4)时，sin α>cos α；当α＝π4或5π4时，sin α＝cos α；当α∈[0，π4)∪(5π4，2π)时，sin α<cos α.。

1 / 3§1.2.1 任意角的三角函数（1）教学目标：理解并掌握任意角三角函数的定义； 理解三角函数是以实数为自变量的函数； 理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号； 强化数形结合的数学思想.教学重点：任意角三角函数的定义； 各种三角函数在各象限内的符号.教学难点：任意角三角函数的定义及根据定义求任意角的三角函数值. 教学过程： 一、问题情境1．情境引入：作PMO Rt ∆，回顾初中三角函数的定义. 2．提出问题： POM ∠的三角函数有哪些？分别如何定义的？ 二、学生活动问题1：将POM ∠放到直角坐标系中，点P 的坐标分别表示什么？ 问题2：当点P 在终边OP 上移动时，POM ∠的三角函数值是否发生变化？ 三、建构数学问题3：此时POM ∠的各三角函数值是否可以由点P 的坐标),(y x P 以及点P 到原点的距离r （022>+=y x r ）来表示？正弦r y=αsin , 余弦r x=αcos ,正切x y=αtan .问题4：这样将锐角三角函数推广到任意角？ 四、数学理论 1.任意角的三角函数：一般地，对任意角α，我们规定： （1）比值ry叫做α的正弦，记作αsin ，即 αMOP),(y x P αMOxyryx),(y x P αOryx。

2 / 3r y =αsin ； （2）比值r x叫做α的余弦，记作αcos ，即r x=αcos ，（3）比值)0(≠x x y叫做α的正切，记作αtan ，即x y=αtan .2.回顾反思：（1）以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x 轴的非负半轴重合.（2）书写及读法名称，α为自变量，αsin ，αcos ，αtan 分别叫做α的正弦函数，余弦函数，正切函数，以上三种都称为三角函数，三角函数是以“比值”为函数值的函数.（3）对αsin 的理解，符号是不可分的，不能认为是α⋅sin . （4）αtan 中规定0≠x 的理解，即Z k k ∈+≠,2ππα.（5）一些特殊角的三角函数值，P16练习3.α 0︒ 30︒ 45︒ 60︒ 90︒ 120︒ 135︒ 150︒ 180︒ 270︒ 360︒ 弧度αsinαcosαtan3.三角函数在各象限内的符号α 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 αsinαcosαtan+—+ + +++—————αsinαcosαtan3 / 3总结规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦. 3.三角函数的定义域五、数学运用 1.例题例1．课本P15例1（变题：0),3,2(<-t t t P ） 例2．课本P15例2例3．确定下列条件的角α是第几象限角.（1）0cos ,0sin <>αα （2）0tan ,0sin <<αα （3）0tan ,0cos <>αα 2．练习：可以讨论课本P15练习1，2，4，5，6；P16链接. 六、总结反思任意角三角函数的定义及求任意角的三角函数值，各种三角函数在各象限内的符号.。

本章复习与小结三角函数一、三角函数的基本概念 1.角的概念的推广(1)角的分类:正角(逆转) 负角(顺转) 零角(不转) (2)终边相同角:)(3600Z k k ∈+⋅=αβ (3)直角坐标系中的象限角与坐标轴上的角. 2.角的度量(1)角度制与弧度制的概念 (2)换算关系:8157)180(1)(180'≈==ππ弧度弧度(3)弧长公式:r l ⋅=α 扇形面积公式:22121r lr S α== 3.任意角的三角函数yxx y x rr x y r r y ======ααααααcot tan sec cos csc sin注:三角函数值的符号规律“一正全、二正弦、三双切、四余弦” 二、同角三角函数的关系式及诱导公式 （一）诱导公式：απ±⋅2k )(Z k ∈与α的三角函数关系是“立变平不变，符号看象限”。

如：,27cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ ()⎪⎭⎫⎝⎛--απαπ25sin ;5tan 等。

（二）同角三角函数的基本关系式： ①平方关系1cos sin 22=+αα；αααα2222tan 11cos cos 1tan 1+=⇔=+②商式关系αααtan cos sin =；αααcot sin cos = ③倒数关系1cot tan =αα；1sec cos ;1csc sin ==αααα。

关于公式1cos sin 22=+αα的深化()2cos sin sin 1ααα±=±；αααcos sin sin 1±=±；2cos2sinsin 1ααα+=+如：4cos 4sin 4cos 4sin 8sin 1--=+=+；4cos 4sin 8sin 1-=-注：1、诱导公式的主要作用是将任意角的三角函数转化为 0~ 90角的三角函数。

2、主要用途：a) 已知一个角的三角函数值，求此角的其他三角函数值（①要注意题设中角的X 围，②用三角函数的定义求解会更方便）； b) 化简同角三角函数式； 三、三角函数的性质y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx图象定义域 x ∈R x ∈R x ≠k π+2π(k ∈Z ) x ≠k π(k ∈Z ) 值域 y ∈[－1,1] y ∈[－1,1] y ∈R y ∈R 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数单调性在区间[2k π－2π,2k π+2π]上都是增函数在区间[2k π+2π，2k π+23π]上都是减函数 在区间[2k π－2k π]上都是增函数 在区间[2k π，2k π+π]上都是减函数在每一个开区间 (k π－2π, k π+2π) 内都是增函数在每一个开区间（k π,k π+π）内都是减函数周期 T=2πT=2π T=πT=π 对称轴 2ππ+=k xπk x =无无对称 中心()0,πk⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,2ππk ⎪⎭⎫⎝⎛0,2πk ⎪⎭⎫⎝⎛0,2πk基础题型归类1.运用诱导公式化简与求值：要求：掌握2k πα+,πα+,α-,πα-,2πα-,2πα+等诱导公式. 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. 例1.求值：cos600练1 （1）若cos(π+α)=12-，32π<α<2π, 则sin(2π－α)等于.（2）若(cos )cos3f x x =，那么(sin30)f ︒的值为.（3）sin (176-π)的值为.2.运用同角关系化简与求值：要求：掌握同角二式（22sin cos 1αα+=,sin tan cos ααα=），并能灵活运用. 方法：平方法、切弦互化. 例2 （1）化简sin 1sin tan tan sin cos x x x x x x +--； （2）已知51cos sin =+x x , 且π<<x 0, 求x tan 的值.练2 （1）已知81cos sin =⋅αα，且4π＜α＜2π，则ααsin cos -的值为. （2）已知αtan =3, 计算：（i ）2212sin cos sin cos αααα+-； （ii ）αααα22cos 4cos sin 3sin +-. 3.运用单位圆及三角函数线：要求：掌握三角函数线，利用它解简单的三角方程与三角不等式. 方法：数形结合. 例5 （1）已知42ππθ<<，则sin θ、cos θ、tan θ的大小顺序为.（2）函数12()log (sin cos )f x x x =-的定义域为.练5 （1）若1cos 2α>-, 则角α的取值集合为____________.（2）在区间（0，2π）内，使x x cos sin <成立的x 的取值X 围 . 4.弧度制与扇形弧长、面积公式：要求：掌握扇形的弧长与面积计算公式，掌握弧度制. 方法：方程思想.例6 某扇形的面积为12cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的弧度数为.练6 （1）终边在直线y =上的所有角的集合为，其中在－2π～2π间的角有. （2）若α为第三象限角，那么－α，2α、2α为第几象限的角? 5.三角函数的定义、定义域与值域：要求：掌握三角函数定义（单位圆、终边上点），能求定义域与值域. 方法：定义法、数形结合、整体.例7角α的终边过点P （－8m ，－6cos60°）且cos α=－54，则m 的值是.练7 （1）函数()tan(2)13f x x π=--+的定义域为____________.（2）把函数)32sin(π+=x y 的图像上各点的横坐标变为原来的13，再把所得图像向右平移8π，得到. 6.三角函数的图象与性质：要求：掌握五点法作图、给图求式，由图象研究性质. 方法：五点法、待定系数法、数形结合、整体.例8 （1）已知函数()tan(2)26f x x π=++.求()f x 的最小正周期、定义域、单调区间.（2）已知函数3sin(2)4y x π=+.（i ）求此函数的周期，用“五点法”作出其在长度为一个周期的闭区间上的简图. （ii ）求此函数的最小值及取最小值时相应的x 值的集合 练8 （1）函数sin()(0,0,)y A x A ωϕωϕπ=+>><最高点D 的坐标是(2,2)，由最高点运动到相邻的最低点时，函数图象与x 轴的交点坐标是(4，0)，则函数的表达式是 . （2）如图，它表示电流sin()(0,0)I A t A ωϕω=+>>在一个周期内的图象. 则其解析式为.（3）函数12log sin(2)4y x π=+的单调减区间为.（4）函数2cos ,[0,2]y x x π=∈的图象和直线y =2所围成的封闭图形的面积为. （5）画出函数3sin(2)3y x π=+，x ∈R 的简图. 并有图象研究单调区间、对称轴、对称中心.7.三角函数的应用（1）某港口水深y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）函数，记为)(t f y =，下面是某日水深数据： t （时） 03691215182124y （米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 经过长期观察，)(t f y =的曲线可以近似看成y=Asin ωt+b 的图象. （i ）根据以上数据求出)(t f y =的近似表达式；（ii ）船底离海底5米或者5米以上是安全的，某船的吃水深度为6.5米（船底离水面距离），如果此船在凌晨4点进港，希望在同一天安全出港，那么此船最多在港口停留多少时间？（忽略进出时间）.（2）如图，表示电流强度I 与时间t 的关系式sin()(0,0),I A t A ωϕω=+>>在一个周期内的图象.根据图象得到sin()I A t ωϕ=+的一个解析式是 .（3）已知某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，经过长期的观察，该函数的图象可以近似地看成sin()y A t b ωϕ=++.下表是测得的某日各时的浪高数据：依规定，当浪高不低于1米时浴场才开放，试安排白天内开放浴场的具体时间段.t (时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y （米） 1.51.00.51.01.51.00.50.991.5。

任意角的正弦、余弦、正切的定义．问题：用（什么内在联系？确切地说,关系正是初中学习了的锐角三角函数．提●在初中时我们学了锐角三角函数，你能回忆一下锐角三角函数的定义．用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数．这三个比值会改的三角函数它的终边与单位圆交于点P(x, y)，那α，即sinα=y；α，即cosα=x；探究三角函数值在各象限的符的终边经过点)(s变式：若）试判断下列三角函数值的符号．cos(-精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

1.2.1 任意角的三角函数（1）一、课题：任意角的三角函数（1）二、教学目标：1.掌握任意角的三角函数的定义；2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。

三、教学重、难点：根据定义求三角函数值。

四、教学过程：（一）复习：初中锐角的三角函数是如何定义的？在Rt ABC ∆中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依次为,,a b a sinA cosA tanA c c b=== ． 角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。

（二）新课讲解：1．三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么（1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y rα=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x rα=； （3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan y xα=； （4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x yα=； （5）比值r x 叫做α的正割，记作sec α，即sec r xα=； （6）比值r y 叫做α的余割，记作csc α，即csc r yα=． 说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，六个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小；③当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan y x α=与sec r x α=无意义；同理，当()k k Z απ=∈时，x coy y α=与csc r yα=无意义； ④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、y x 、x y 、r x 、r y 分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上六种函数统称为三角函数。