7.5数列综合应用
【知识要点回顾】
一、数列综合问题中应用的数学思想
1．用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在自然数集上的函
数；
2．用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程；
3．用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列的研究； 4．数列综合问题常常应用分类讨论思想，特殊与一般思想，类比联想思想，归纳猜想思想等。
二、解决问题的主要思路有
1．把综合问题分解成几个简单的问题 2．把综合问题转化为熟悉的数学问题 3．通过观察，探索问题的一般规律性 4．建立数列模型，使用模型解决问题
三、实际问题的数列模型
依据实际问题的递推、等差、等比情境，将问题转换为递推数列、等差数列和等比数列，建立数列模型探究和解决实际应用问题。
四、注意
（1）直接用公式求和时，要注意公式的应用范围和公式的推导过程。
（2）求一般数列的前n 项和，无通法可循，为此平时要注意掌握某些特殊数列前n 项和的求法。
（3）数列求和时，要注意观察它的特点和规律，在分析数列通项的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。
【课前小练】 1、某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律，6小时后细胞成活的个数是（ B ）
A ．63
B ．65
C ．67
D ．71
65
6122)1(1125361
1121==+=∴⋅-=-∴-===-+a n a a a a a a a n n n n n n 时，，，解：
2、根据市场调查结果、预测某种家用商品从年初开始的几个月内积累的需求量n S （万件）
近似的满足：），，，，1221()521(90
2 =--=
n n n n
S n 按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（ C ）
A ．5月，6月
B ．6月，7月
【解析】6
111=
=S a ， 9
6054152
3)915(301)915(30
1
22221<<<+->-+--+-=-=≥-n n n n n n n S S a n n n n 所以，所以，，由
时， *∈N n ，所以n =7或8，选C
3、过圆x y x 1022=+内一点(5，3)有k 条弦,其长度组成等差数列,且最小弦长为数列{}n a 的
首项1a ，最大弦长为m 末项k a ，若公差)32
,31(∈d ，则k 最大值为（ B ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
【解析】因为圆内过点（5，3）的最小的弦长为以（5，3）为中点的弦长为8，即1a =8，又
最大的弦为直径，所以k a =10 B
k k k k d k k a a d k ，选故即所以，又所以67
32163
2
1231)3231(12
1max 1=<<>-><-<∴∈-=--=
4、已知一个运算程序如下：
6026
20091)(3)1(211是的运算结果，则，，，，⊗∈+=+⊗=⊗=⊗*N k n m k n m k n m {}6026
3120092200913213
)1(111=⨯-+=⊗⊗+=+⊗=⊗=）（等差数列，则
的，公差是为首项是可知数列，
，由已知解：令n k n k n m 5、某工厂2003年至2006年的产量和为100吨，2005年至2008年的产量和为121吨，则该工厂从2003年到2008年平均增长率为10﹪
【解析】设年平均增长率为p ，则各年的年产量依次成等比数列，公比为1+p ，
[]
[]
%
101.021.1)1121)1(1)1(1)1(100)1(1)1(124
214
1==∴=+⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧=+-+-+=+-+-p P p p p a p p a 所以（则
【典例精析】
题型一 函数与数列的综合问题
的等差数列。
，公差为是首项为，，，设，
且：已知例24)()()()()10(log )(121*∈≠>=N n a f a f a f a a x x f n a ①设a 是常数，求证：{}n a 成等差数列；
②若)(n n n a f a b =，{}n b 的前n 项和是n S ，当2=a 时，求n S 【解析】①222)1(4)(+=⨯-+=n n a f n ，
{}为等比数列。
所以为定值所以，所以即n n n n n n n n a a n a a
a a a a a n a )2(22log 222
212
2≥===+=+-+ ②)(n n n a f a b =
3
3
143254332542
5432
2222222222)1(2
1)21(2162)1(222222)1(2232222)1(2423222)1()2()22(2)22(log ++-++++++++++⋅=⋅+---+=⋅+-++++⋅=-⋅++⋅++⋅+⋅=⋅+++⋅+⋅+⋅=⋅+=⋅+==+==n n n n n n n n n n n n n n n n n a n n S n n S n n S n S n n b a a n a a 所以两式相减得
时，
当
【点拨】本例是数列与函数综合的基本题型之一，特征是以函数为载体构建数列的递推关系，
