计数问题

【导语】成功根本没有秘诀可⾔，如果有的话，就有两个：第⼀个就是坚持到底，永不⾔弃；第⼆个就是当你想放弃的时候，回过头来看看第⼀个秘诀，坚持到底，永不⾔弃，学习也是⼀样需要多做练习。

以下是⽆忧考为⼤家整理的《⼩学奥数计数问题练习与答案【三篇】》供您查阅。

【第⼀篇：整体法经典练习题】经典例题展⽰1：有⼀类各位数字各不相同的五位数M，它的千位数字⽐左右两个数字⼤，⼗位数字也⽐左右两个数字⼤；另有⼀类各位数字各不相同的五位数W，它的千位数字⽐左右两个数字⼩，⼗位数字也⽐左右两个数字⼩。

请问符合要求的数M和W，哪⼀类的个数多？多多少？ 经典例题展⽰2：游乐园的门票1元1张，每⼈限购1张。

现在有10个⼩朋友排队购票，其中5个⼩朋友只有1元的钞票，另外5个⼩朋友只有2元的钞票，售票员没有准备零钱。

问有多少种排队⽅法,使售票员总能找得开零钱?【第⼆篇：递推⽅法的概述及解题技巧】在不少计数问题中，要很快求出结果是⽐较困难的，有时可先从简单情况⼊⼿，然后从某⼀种特殊情况逐渐推出与以后⽐较复杂情况之间的关系，找出规律逐步解决问题，这样的⽅法叫递推⽅法。

线段AB上共有10个点（包括两个端点），那么这条线段上⼀共有多少条不同的线段？ 分析与解答：从简单情况研究起： AB上共有2个点，有线段：1条 AB上共有3个点，有线段：1＋2＝3（条） AB上共有4个点，有线段：1＋2＋3＝6（条） AB上共有5个点，有线段：1＋2＋3＋4＝10（条） …… AB上共有10个点，有线段：1＋2＋3＋4＋…＋9＝45（条） ⼀般地，AB上共有n个点，有线段： 1＋2＋3＋4＋…＋（n－1）＝n×（n－1）÷2 即：线段数＝点数×（点数－1）÷2【第三篇：计数习题标数法和加法原理的综合应⽤】★★★★）有20个相同的棋⼦，⼀个⼈分若⼲次取，每次可取1个，2个，3个或4个，但要求每次取之后留下的棋⼦数不是3或4的倍数，有（）种不同的⽅法取完这堆棋⼦. 【分析】把20、0和20以内不是3或4的倍数的数写成⼀串，⽤标号法把所有的⽅法数写出来： 考点说明：本题主要考察学⽣对于归纳递推思想的理解，具体来说就是列表标数法的使⽤，难度⼀般，只要发现了题⽬中的限制条件，写出符合条件的剩余棋⼦数，然后进⾏递推就可以了。

计数法（排列与组合）【四年级计数问题：加乘原理难度：中难度/高难度】一个半圆周上共有12个点，直径上5个，圆周上7个，以这些点为顶点，可以画出多少个三角形？【分析与解答】分类计数一共分成三类：第一类两个点在圆弧上另一点在直径上C72×25=105(个)；第二类两个点在直径上另一个点在圆弧上共有C5×7=70（个）；第三类三个点都在圆弧上共有C73共有35个。

三类共105+70+35=210（个）【四年级乘法原理问题：难度：低难度】从南京到上海的某次快车中途要停靠六个大站．铁路局要为这次快车准备多少种不同的车票？这些车票中最多有多少种不相同的票价？【分析与解答】共有8个站．每个站到其它7个站各需1种车票，共有7×8=56种车票．因为A站到B 站与B站到A站的票价相同，所以最多有56÷2=28种票价．【四年级乘法原理问题：难度：中难度】有五张卡，分别写有数字1、2、4、5、8．现从中取出3张卡片，并排放在一起，组成一个三位数，问：可以组成多少个不同的偶数？【分析与解答】要写出这个三位数分三步走，第一步我们写受限制的个位只能从2、4、8中选一个放在个位上，有三种方法。

第二步从剩下的4个数字中选一个放在百位上有4种方法，第三步，再从剩下的三个数字中选出1个放在十位上，有3种方法。

所以一共有3×4×3=36个。

【四年级乘法原理问题：难度：中难度】有5张卡片分别写着2、3、4、5、6。

如果允许把6当做9来用，那么从中任意抽取3张卡片组合成三位数。

（1）一共可以组成多少个三位数？（2）一共可以组成多少个三位偶数？【分析与解答】（1）这些三位中分成两类，有6参加和没有6参加的。

有6参加的情况：从其他的4个数中选2个数，所以有C42=6种，每一种和6组成的三位数都是3的全排列共6个数，那么6种组合方式一共会有6×6=36个数，而且6可以当成9看，所以可以组成36×2=72个数。

计数原理题型
一、分类加法计数原理
分类加法计数原理是指在进行计数时，可以将问题分成若干个互不重叠的部分，分别计算各类事件的数量，然后将这些数量相加，得到总的事件数量。

这个原理主要应用于排列组合问题中，可以通过对问题的不同情况进行分类，然后分别计算每类情况下的事件数量，最后相加得到总数。

二、分步乘法计数原理
分步乘法计数原理是指在进行计数时，可以将问题分成若干个连续的步骤，每个步骤有不同的可能性，分别计算每一步的可能性数量，然后将这些数量相乘，得到总的事件数量。

这个原理主要应用于组合计数问题中，可以通过对问题的不同步骤进行分解，然后计算每一步的可能性数量，最后相乘得到总数。

三、排列组合计数原理
排列组合计数原理是指在进行计数时，可以将问题分成若干个不同的元素，然后根据元素的性质对这些元素进行组
合和排列，最后得到总的事件数量。

这个原理主要应用于概率统计和组合优化问题中，可以通过对问题的不同元素进行组合和排列，得到总的事件数量。

四、容斥原理
容斥原理是指在进行计数时，需要考虑多个条件，而每个条件下的计数又相互影响，这时需要采用容斥原理进行计算。

这个原理主要应用于概率统计和离散数学中，可以通过对不同条件下的计数进行容斥处理，得到总的事件数量。

五、递推关系计数原理
递推关系计数原理是指在进行计数时，需要使用递推关系式来计算事件的数量。

这个原理主要应用于动态规划问题中，可以通过建立递推关系式来求解最优解。

六、概率与计数原理
概率与计数原理是指在进行计数时，需要考虑事件的概率。

这个原理主要应用于概率论和统计学中，可以通过对事件的概率进行计算，得到总的事件数量。

计数原理题型总结
计数原理是组合数学的一个基本原理，用于计算具有特定属性的对象的个数。

常见的计数原理题型包括排列、组合和二项式系数等。

1. 排列问题：
- n个元素的全排列个数为n!，其中n表示元素的个数。

- 从n个元素中取出m（m≤n）个元素的排列个数为A(n,m)
= n!/(n-m)!，称为从n个元素中取出m个元素的排列数。

2. 组合问题：
- 从n个元素中取出m（m≤n）个元素的组合个数为C(n,m)
= n!/((n-m)!·m!)，称为从n个元素中取出m个元素的组合数。

- 组合数C(n,m)满足下列性质：
（1）C(n,0) = C(n,n) = 1；
（2）C(n,m) = C(n,n-m)；
（3）C(n,m) = C(n-1,m) + C(n-1, m-1)；
3. 二项式系数：
- 二项式系数的计算公式为：C(n,m) = C(n-1,m) + C(n-1, m-1)。

- 二项式系数有许多重要的性质，如：
（1）二项式定理：(a+b)^n = C(n,0)a^n·b^0 + C(n,1)a^(n-1)·b^1 + ... + C(n,n)a^0·b^n；
（2）二项式系数的对称性：C(n,m) = C(n,n-m)；
（3）二项式系数的递推关系：C(n,m) = C(n-1,m) + C(n-
1,m-1)；
（4）二项式系数的性质：C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-2,m-1)
+ ... + C(m,m-1)。

通过理解和熟练运用计数原理，可以帮助解决各种实际问题，如排列组合选择问题、概率计算问题等。

计数问题（一）1.张华、李明等七个同学照相，分别求出下列条件下有多少种站法？（1）七个人排成一排；（2）七个人排成一排，张华必须站在中间；（3）七个人排成一排，张华、李明必须有一人站在中间；（4）七个人排成一排，张华、李明必须站在两边；（5）七个人排成一排，张华、李明都没有站在边上；（6）七个人排成两排，前排三人，后排四人；2.学校乒乓球队有5名男生、3名女生，现在要选3人参加区里的比赛，（1）共有多少种不同的选法？（2）3人中没有女生，有多少种不同的选法？（3）3人中恰有一名女生，有多少种不同的选法？（4）A、B两名女生必须入选，有多少种不同的选法？（5）A、B两名女生不能同时入选，有多少种不同的选法？（6）至少1名女生入选，有多少种不同的选法？3.（1）用1、2、3、4、5、6、7可以组成多少个不同的三位数？（数字允许重复）（2）用1、2、3、4、5、6、7可以组成多少个没有重复数字的三位数？（3）用1、2、3、4、5、6、7可以组成多少个没有重复数字的七位数？（4）从1、2、3、4、5、6、7中选出三个不同数字，有多少种不同的选法？4.（1）用1、2、3、4、5、6可以组成多少个六位数？（2）用1、1、2、3、4、5可以组成多少个六位数？（3）用1、1、2、2、3、4可以组成多少个六位数？（4）用1、1、2、2、3、3可以组成多少个六位数？（5）用1、1、1、2、3、4可以组成多少个六位数？（6）用1、1、1、2、2、3可以组成多少个六位数？（7）用1、1、1、1、2、3可以组成多少个六位数？（8）用1、1、1、1、2、2可以组成多少个六位数？（9）用1、1、1、2、2、2可以组成多少个六位数？5.（1）将五枚相同的棋子，放入5×5的方格内。

使每行每列均有一枚棋子，有多少种不同情况？（每个方格内最多放一枚棋子）（2）将五枚不同的棋子，放入5×5的方格内。

使每行每列均有一枚棋子，有多少种不同情况？（每个方格内最多放一枚棋子）（3）将A、B两个字母，填入4×4的方格内，有多少种不同情况？（每个方格内最多填一个字母）（4）将A、B两个字母，填入4×4的方格内，使每行每列最多有一个字母，有多少种不同情况？（每个方格内最多填一个字母）（5）将两个A填入4×4的方格内，使每行每列最多有一个字母，有多少种不同情况？（每个方格内最多填一个字母）（6）将两个A和两个B填入4×4的方格内，使每行每列最多有一个字母，有多少种不同情况？（每个方格内最多填一个字母）6.小明从1、2、3、4中选出两个数字组成两位数，小刚从6、7、8、9中选出两个数字组成两位数，若用小明组成的两位数做分子，小刚组成的两位数做分母，那么所得到的分数（不进行约分）共有多少种不同情况？7.圆周上有7个点，以这些点为顶点连三角形，一共能画出多少个不同的三角形？以这些点为顶点连四边形，一共能画出多少个不同的四边形？8.有6个足球队进行单循环比赛，一共要赛多少场？9.从1至9这9个数字中选出3个数字，使得它们的和为偶数，有多少种不同情况？10.从1～7七个数字中，选出4个不同的数字，组成大于2000且小于7000的四位数，共有多少种不同情况？11.（1）右图是某地的街道示意图，从A点到B点的最短路线共有多少种不同的走法？（2）右图中有多少个长方形（包括正方形）？12.用皮筋在3×3的钉板上套出三角形，共有多少种不同情况？13.（1）将7名同学分成两组，共有多少种不同分法？（2）将6名同学分成两组，共有多少种不同分法？14.个位数字大于百位数字的且各位数字均不相同的四位数有多少个？1.电视台在两节目之间连续插播7条广告。

常见的几种计数问题环形排列：有9个人坐成一圈，问不同坐法有多少种？解：9个人坐成一圈的不同之处在于，没有起点和终点之分。

设集合D 为坐成一圈的坐法的集合。

以任何人为起点，把圈展开成直线，在集合A 中都对应不同元素，但在集合D 中相当于同一种坐法，所以集合D 中每个元素对应集合A 中9个元素，所以S （D ）=9！/9.隔板法 ： 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采隔板用法练习1.(a+b+c+d)15有多少项？解析： 当项中只有一个字母时，有14C 种（即a.b.c.d 而指数只有15故01414C C ⋅。

当项中有2个字母时，有24C 而指数和为15，即将15分配给2个字母时，如何分，隔板法一分为2，114C 即24C 114C 当项中有3个字母时34C 指数15分给3个字母分三组即可21434C C当项种4个字母都在时31444C C ⋅ 四者都相加即可．即01414C C ⋅+24C 114C +21434C C +31444C C ⋅=816（项） 练习2．有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？（216C ） 分析：先把每个盒子里放入编号个球，即1号盒子放1个球，2号盒子放2个球，3号盒子放3个球。

共有1种剩下的14个球+3个盒子（看作球）=17个球，用插空法把它们分为3组即可，共有16个空位置，所以有C 216种 。

所以一共有：C 216 =120种 合并单元格解决染色问题：（全国卷（文、理））如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不 得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）。

3,5 2,4 分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5．下面分情况讨论:(ⅰ)当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时有四个单元格①②③⑤，不同的着色方法相当于4个元素 ①②③⑤的全排列数A 44（ⅱ）当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形(ⅰ)类似同理可得A 44 种着色法． 图1（ⅲ）当2、4与3、5分别同色时，将2、4；3、5分别合并，这样仅有三个单元格①②③ ，从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有A C 3334⋅种方法．由加法原理知：不同着色方法共有2A C A 333444+=48+24=72（种）此题的另一解法：区域号1 ，2 ，3 ，4 ，5同2，2 2,4方法数 4 ，3 ，2，1 ， 1故不同着色方法共有：4*3*2*（1*2+1*1）=72（种）几何问题1．四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有种（33C+3=33）5分析：3个侧面的5个点中取3个有：33C种方法，3条底边是3种方法5用转换法解排列组合问题5个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法？解把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列问题．5C=126种9某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种．解：无论怎样走必须经过三纵四横，因此，把问题转化为3个相同的白球与4个相同的黑球的排列问题．3C=35（种）=c477错位排列同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的卡片，则不同的分配方法有种（9）分析：设A、B、C、D四张贺卡分别由a、b、c、d四人所写，由于每个人都要拿别人写的，即不能拿自己写的，故a有三种拿法，不妨设a拿了B，则b可以拿剩下三张中的任一张，也有三种拿法，c和d只能有一种拿法，所以共有3x3x1x1=9种分配方式。

小学一年级数学题
1、计数问题
小明手里有3个桃子，小红给了他2个苹果，那么小明手里一共有几个水果？
答：小明手里一共有5个水果。

解析：小明本来有3个桃子，小红给了他2个苹果，所以一共有5个水果。

2、简单加法
小芳手里有4个橙子，小明给了她3个香蕉，那么小芳一共有几个水果？
答：小芳一共有7个水果。

解析：小芳本来有4个橙子，小明给了她3个香蕉，所以一共有7个水果。

3、简单减法
小明手里有5个苹果，他吃了2个，还剩下几个苹果？
答：小明还剩下3个苹果。

解析：小明本来有5个苹果，吃了2个，所以还剩下3个苹果。

4、简单乘法
小红有3个篮球，每个篮球上面有5个四角星图案，那么这些篮球一共有几个四角星图案？
答：这些篮球一共有15个四角星图案。

解析：小红有3个篮球，每个篮球上面有5个四角星图案，所以一共有15个四角星图案。

5、简单除法
小华有9个小糖果，她要分给3个小朋友，每个小朋友可以得到几个糖果？
答：每个小朋友可以得到3个糖果。

解析：小华有9个小糖果，要分给3个小朋友，所以每个小朋友可以得到3个糖果。

总结：
小学一年级的数学题主要包括计数问题、简单加法、简单减法、简单乘法和简单除法。

通过这些题目，可以培养学生对数字的理解能力和计算能力。

通过解析题目，学生可以得到正确的答案，并加深对数学的认识。

以上是一些小学一年级的数学题的例子，希望对学生们的学习有所帮助。

计数练习题目1. 从1到100，有多少个整数？2. 从1到100，有多少个奇数？3. 从1到100，有多少个偶数？4. 从1到100，能够被3整除的数有多少个？5. 从1到100，能够被5整除的数有多少个？6. 从1到100，能够被3和5同时整除的数有多少个？7. 从1到100，能够被3或5整除的数有多少个？8. 从1到100，能够被4整除但不能被8整除的数有多少个？9. 从1到100，个位数字为2的数有多少个？10. 从1到100，十位和个位数字相同的数有多少个？11. 从1到100，个位数字为奇数的数有多少个？12. 从1到100，十位数字能被3整除的数有多少个？13. 从1到100，百位数字为1的数有多少个？14. 从1到100，个位数字乘以十位数字小于20的数有多少个？15. 从1到100，个位和十位数字之和能被3整除的数有多少个？以上是一些计数练习题目，接下来让我们一起来解答这些问题。

1. 从1到100，有多少个整数？答：从1到100的整数有100个。

2. 从1到100，有多少个奇数？答：从1到100的奇数有50个。

3. 从1到100，有多少个偶数？答：从1到100的偶数有50个。

4. 从1到100，能够被3整除的数有多少个？答：从1到100中能够被3整除的数有33个。

5. 从1到100，能够被5整除的数有多少个？答：从1到100中能够被5整除的数有20个。

6. 从1到100，能够被3和5同时整除的数有多少个？答：从1到100中能够被3和5同时整除的数有6个。

7. 从1到100，能够被3或5整除的数有多少个？答：从1到100中能够被3或5整除的数有48个。

8. 从1到100，能够被4整除但不能被8整除的数有多少个？答：从1到100中能够被4整除但不能被8整除的数有12个。

9. 从1到100，个位数字为2的数有多少个？答：从1到100中个位数字为2的数有10个。

10. 从1到100，十位和个位数字相同的数有多少个？答：从1到100中十位和个位数字相同的数有9个。

一年级数学计数题在一年级的数学学习中，计数是一个基础而重要的概念。

通过计数，孩子们可以学会认识数字，并掌握数数的方法，培养数学思维和逻辑推理能力。

本文将介绍一些适合一年级学生的数学计数题目，帮助他们巩固基本的计数概念和技巧。

1. 基础计数题1) 从1数到10，并写下每个数字。

2) 从10数到1，并写下每个数字。

3) 从1数到20，并写下每个数字。

4) 从20数到1，并写下每个数字。

2. 给定起始数字的计数题1) 从5开始，数到15。

2) 从10开始，倒数到0。

3) 从3开始，数到18。

4) 从12开始，倒数到2。

3. 随机数计数题1) 从一个随机的数字开始，数到比它大5个数。

2) 从一个随机的数字开始，倒数到比它小3个数。

3) 从一个随机的数字开始，数到比它大10个数。

4) 从一个随机的数字开始，倒数到比它小8个数。

4. 跳数计数题1) 每隔2个数字数一个数，数到20。

2) 每隔3个数字倒数一个数，倒数到1。

3) 每隔4个数字数一个数，数到32。

4) 每隔5个数字倒数一个数，倒数到5。

5. 数字序列计数题1) 2, 4, 6, 8, __, __, __, __, __, __, __2) 1, 4, 7, 10, __, __, __, __, __, __, __3) 10, 8, 6, 4, __, __, __, __, __, __, __4) 20, 17, 14, 11, __, __, __, __, __, __, __通过以上的一系列数学计数题目，一年级的学生可以巩固认识数字的能力，掌握数数的方法，并培养他们的数学思维和逻辑推理能力。

这些题目既包括了基础的计数技巧，也涉及了加减法的初步运算，对孩子们的数学综合能力提升有很大的帮助。

在解答这些题目的过程中，老师可以采用互动的方式，引导学生思考和交流，并鼓励他们在不会的地方寻求帮助。

此外，老师还可以设计一些游戏或竞赛，增加趣味性，激发学生的兴趣和学习动力。

数字的计数问题数字的计数问题是一个在日常生活中经常会遇到的情况。

无论是数学计算、统计数据还是计量单位，数字的计数都起着非常重要的作用。

本文将探讨数字的计数问题，包括计数的方法、常见应用场景以及可能遇到的相关挑战。

一、计数的方法数字的计数可以通过不同的方法进行。

以下是几种常用的计数方法：1. 单位计数法：使用特定的计量单位来表示数量。

例如，表示长度时使用米（m），表示质量时使用克（g）等。

2. 固定基数法：使用固定的基数词（如一、十、百、千等）进行计数。

比如，使用基数词一到十进行计数，可以表示从1到10的数量。

3. 频次计数法：根据某个事件或现象发生的次数进行计数。

比如，统计一个月内降雨的次数或一天内接到的电话数量。

以上是一些常用的计数方法，不同的场景可能需要使用不同的计数方法。

二、常见应用场景数字的计数在我们的日常生活中随处可见。

以下是一些常见的应用场景：1. 数学与统计：在数学和统计学中，数字的计数是非常重要的。

无论是进行简单的加减乘除运算，还是进行复杂的统计分析，都需要对数字进行计数。

2. 财务与经济：数字的计数在财务和经济领域也非常重要。

例如，统计销售额、计算利润率等都需要对数字进行准确的计数。

3. 人口普查与统计：在人口普查和统计调查中，数字的计数是了解人口规模、分布和组成的基础。

通过对数字的计数，可以为社会政策制定提供可靠的依据。

4. 生产与制造：在生产和制造行业中，数字的计数用于记录生产数量、库存管理等。

通过对数字的计数，可以实现生产效率的控制和优化。

三、相关挑战尽管数字的计数看似简单，但在实际应用中可能会遇到一些挑战。

以下是一些可能的挑战：1. 计量单位的转换：在不同的场景中，可能需要进行不同计量单位之间的转换。

需要注意单位之间的换算关系，以确保准确的计数结果。

2. 测量误差：在进行实际测量时，可能会存在测量误差。

需要进行有效的误差控制和数据校正，以提高计数的准确性和可靠性。

3. 数据采集的困难：在某些场景下，数据的采集可能存在一定的困难。